第十二章 高超声速流动的特殊问题
高超声速流动是指物体的飞行速度远远大于当地介质的声速，而且出现一系列新特征的流动现象。高超声速空气动力学是近代空气动力学的一个分支，它研究高超声速流体或高温流体的运动规律及其与固体的相互作用。
高超声速空气动力学是本世纪60年代以来随着航天工程的进展而发展起来的。高超声速空气动力学研究的重点通常是放在航天器返回大气层时的气动力和气动热问题上。洲际弹道式导弹的弹头、载人飞船的回地舱、可回收式卫星的回收舱以及航天飞机的轨道器等航天器从太空轨道以极高速度（马赫数可达30左右）返回稠密大气层时，由于受到空气的阻滞而急剧减速，物面附近空气的温度和压强急剧增高，作用在航大器上的空气动力特征和一般超声速时已明显不同，气动加热问题也变得十分严重。研究这类高超声速飞行的气动问题仍属于连续介质的空气动力学范畴。
本章内容限于介绍高超声速流动的基础知识，包括高超声速流动的基本特征，高超声速流动中的激波以及高超声速流动中的气体力、气动热等问题。
12.1 高超声速流动的基本特征
高超声速（Hypersonic）这一术语是我国著名科学家钱学森于1964年在他的一篇重要论文中首创的。高超声速流动的定义有两种形式：
（1）指Ma≥5的流动。这是一般教科书所采用的经验方法，并不能作为判据。
（2）指某种高速流动范围。在此范围内，某些在超声速时并不显著的物理化学现象，由于马赫数的增大而变得重要了。
事实上，要给高超声速下一个简明而准确的定义是困难的，因为超声速与高超声速的区别不像亚声速与超声速那样明显。亚声速与超声速流动以Ma=1为界线，当Ma< 1时与Ma> 1时的流动在本质上是不同的；然而，如果用Ma=5作为区分超声速与高超声速流动的界线，而实际上Ma=4.99和Ma=5.01两种流动之间是不会有明显不同的。可见，在上述两种定义中，前者并不严格，但其优点是简单而直观，有助于初步建立高超声速空气动力学概念；后者比较逼真，但要理解这个定义，首先必须了解高超声速与超声速相比会出现哪些新的流动特征。这些特征可以归纳为由于马赫数非常高而产生的流体力学上的特征，以及由于流动能量很大而引起的流体物理或化学特征。下而分几个方面来叙述这些特征。
1.流场的非线性性质
当Ma∞≥1的高超声速气流受到扰动时，即使扰动速度与来流速度相比是十分微小的，但同声速相比可能并不小，因此微小的速度改变也会引起气流热力学参数相当大的变化。由理想一维流动的运动方程、完全气体状态方程和等熵关系式，可得如下关系式：
\(\frac{dp}{p}=-kM{{a}^{2}}\frac{dV}{V}\) (12.1a)
\(\frac{d\rho }{\rho }=-M{{a}^{2}}\frac{dV}{V}\) (12.1b)
\(\frac{dT}{T}=-\left( k-1 \right)M{{a}^{2}}\frac{dV}{V}\) (12.1c)
以上各式说明，当Ma＞＞1时，即使微小的速度变化也将引起气流压强、密度、温度和声速等参数发生相当大的变化。因此，我们就不能根据微弱扰动像超声速流那样采用小扰动假设使方程线性化了，而必须保留方程中的非线性项。高超声速流场的这种非线性性质，显然使绕流问题的理论研究更为复杂和困难。
但是，由于马赫角随马赫数的增加而减少，高超声速流中某些空气动力学问题与超声速时相比反而变得相对简单了。例如，翼剖面的结果可以直接应用于有限翼展，而略去翼梢的影响；飞行器各部件之间干扰的严重程度大为降低，允许用简单的方法进行计算，甚至完全忽略不计；等等。
2.薄激波层
根据气体动力学的斜激波理论，在气流偏转角给定的情况下，激波波后的密度增量随来流马赫数的增加而迅速增大。波后气体密度越高，对质量流量而言，所需面积越小。这意味着在高超声速流动中激波与物面之间的距离很小。激波与物面之间的流场称为激波层。高超声速绕物体流动的基本特征之一就是激波层很薄，而且，激波形状与物形往往很接近。例如，马赫数 Ma∞=36绕半楔角为15°的楔形体的高超声速流动，假定气体为比热比k=1.4的量热完全气体，按照理想气体斜激波理论，激波倾角仅为18°(见图12.1）。
如果计及高温化学反应的影响，激波角将更小。显然，激波紧靠物体，激波层很薄，如图 12.1所示。这一现象引起某些物理上的复杂化，例如激波自身的厚度消失于激波层中，又如在低雷诺数下，沿物面增长的附面层对流动的影响变得十分重要等。不过，在高雷诺数下，激波层可视为无黏性流，加之激波层很薄，这给理论分析带来了便利，形成了可视为“薄激波层理论”的分析方法。
在极端情况下，薄激波层趋近于1687年牛顿假定的流体动力学模型，这就是高超声速空气动力学的近似计算中常用的、既简单又直观的“牛顿理论关于激波层的计算将在后文中进行讨论。
3.熵层
高超声速飞行器都做成钝头部，即使是细长飞行器也都做成微钝头细长体。这是因为根据高超声速层流附面层方程的自相似解，头部驻点处的对流传热与头部曲率半径的平方根成反比，将头部钝化可以减轻热载荷，如图12.2所示，将图12.1所示的尖楔变成钝头楔。
在高马赫数下，钝头上的激波层很薄，激波脱体距离d亦很小。在头部区域，激波强烈弯曲。我们知道，流体通过激波后引起熵增，激波越强，熵增越大。在流动的中心线附近，弯曲激波几乎与流线垂直，故中心线附近的熵增较大。距流动中心线较远处，激波较弱，相应的熵增也较小。因此，在头部区域形成了一层低密度、中等超声速、低能、高熵、大熵梯度的气流，称为“熵层”。该熵层向下游流动，并覆盖在物体上。沿物面增长的附面层处于熵层之内，并受熵层影响，熵层处在激波层的内层，它和附面层是两个不同的概念。根据可压流动的克罗克（Crocco）定理可知，存在熵梯度的场必为有旋场，所以熵层为强旋涡区，有时把熵层影响称为“涡干扰”。熵层的存在给物面附面层的计算带来困难，因为确定这种附面层的外缘条件是一个难题。
4.黏性干扰
以高超声速平板附面层为例。高速或高超声速流动具有很大的动能，在附面层内，黏性效应使流速变慢时，损失的动能部分转变为气体的内能，这称为黏性耗散，且随之附面层内的温度升高而增大。
这种温度升高控制了高超声速附面层的特征。例如，气体的黏度随温度升高而增大，其结果使得附面层变厚；另外，附面层内的法向压力p为常数。由状态方程ρ=p/（RT）可知，温度增加导致密度减小，对附面层内的质量流而言，密度减小需要较大的面积，其结果也是使附面层变厚。这两种现象的联合作用，使得高超声速附面层的增长比低速情形更为迅速。对平板可压流动附面层而言，附面层厚度可表示为
δ∝\(Ma_{\infty }^{2}\) (12.2)
式中，Ma∞为自由流马赫数；Rex为当地雷诺数。可见，δ与\(Ma_{\infty }^{2}\)成正比，在高超声速速度下它将变得异常地大。
高超声速流动的附面层较厚，相应的位移厚度也较大，由此对附面层外的无黏性流动将施加较大的影响，使外部无黏性流动发生很大改变，这一改变反过来又影响附面层的增长。这种附面层与外部无黏性流动之间的相互作用称为黏性干扰。黏性干扰对物面的压力分布有重要影响，由此，对高超声速飞行器的升力、阻力和稳定性都造成重要影响。另外，黏性干扰使物面摩擦力和传热率增大。高超声速飞行器上的附面层在某些情况下变得与激波层差不多厚。对于这种情况，激波层必须视为全黏性的，通常的附面层分析方法己不再适用。
5.高温流动和真实气体效应
如上所述，高速或高超声速流动的动能被附面层内的摩擦效应所消耗，极大的黏性耗散使得高超声速流动附面层内的温度非常高，足以激发分子的振动能，并引起附面层内的气体离解，甚至电离。如果高超声速飞行器表面用烧蚀防热层保护，那么，附面层中将有烧蚀产物，并引起复杂的碳氢化合反应。基于这两个原因，高超声速飞行器表面将被化学反应附面层所覆盖。在高超声速飞行器上，不仅有高温附面层流动区，对钝头飞行器而訁，还有头部高温区。
钝头飞行器头部的弓形激波是正激波或接近于正激波。在高超声速情况下，这种强激波波后的气体温度极高。例如，在高度H=59 km，T∞=258K，Ma∞=36，钝头体头部弓形激波后的温度，如取k=1.4，并按正激波关系计算，T2≈65260 K(考虑真实气体效应，T2≈11000 K），远比太阳表面温度（约6000K）要高。如果要精确计算激波层的温度，必须计及化学反应的影响，比热比为常数或k=1.4的假设不再有效。由此可见，对高超声速流动，不仅附面层内有化学反应，而且整个激波层内都为化学反应流动所控制。
下面简要分析一下高温气体的物理性质。
在经典热力学和可压缩流动研究中，通常假定气体的比热比为常数，即比热比k=cp/cv是常数，称在这些假定下比热比k为常数的气体为量热完全气体（见第一章）。这种运动气体的压力、密度、温度和马赫数之间存在理想的函数关系。然而，当气体温度很高时，气体的热力学性质变成“非理想”的，原因有二：一是非惰性气体分子的振动能被激发，使cp和cv变成温度的函数，随之，比热比k也变成温度的函数，对空气而言，当温度大于800 K时，这种影响变得很重要；二是如果气体温度进一步增高，将出现化学反应，对平衡的化学反应气体而言，cp和cv是温度和压力的函数，相应地有k=f（p，T）。以空气为例，在一个标准大气压（1.0133 × 105 Pa)下，温度达到2000K左右时，氧气开始离解（O2→20）；达到4000K左右时，氧分子全部离解，在此温度下，氮气开始离解（N2→2N）；到9000K时，氮分子全部离解；在9000K以上，出现电离（N→N+ + e–，O→O+ + e–），气体变成部分电离的等离子体。所有这些现象叫做高温效应，在空气动力学中称之为真实气体效应。与流体微元通过流场所需要的时间相比，如果振动激发和化学反应所需的时间非常短，则称为振动和化学平衡流动；如果反应所需的时间非常长，则称为化学冻结流动；而介于这两者之间的情形称为化学非平衡流动。对于非平衡流动，分析要困难得多，需要将流体力学方程和化学动力学方程耦合考虑。
另外，高超声速飞行器上高温流动产生的一个物理现象是，飞行器再入大气层期间，在某一高度和某一速度下将出现“通信中断”，这时飞行器不能向外发射或接收无线电波。这种现象是由高温气体的电离反应所造成的，电离反应产生自由电子，自由电子吸收了无线电波，使得无线电波既不能传进飞行器内部，也不能从飞行器内部传出来。
6.严重的气动热问题
在超声速飞行中物面附面层内气流受到黏性滞止，气体微团的动能转变为热能造成壁面附近的气温升高，高温空气将不断向低温壁面传热，这就是所谓的气动加热现象。对高超声速流，由于马赫数很高，附面层内贴近物面的气温能达到接近驻点温度的高温，气动加热变得十分严重。
例如在上例中，T2≈65260K，而实际上按平衡流计算出的T2≈11000 K，这仍是非常高的温度，因而热防护是航天器设计中的一个关键问题。
7.高空、高超声速流动存在低密度效应
现代的高超声速飞行器在大气密度很低的高空持续飞行，低密度效应对空气动力的影响很重要。当飞行高度极高时，密度可以如此之低，以至于分于的平均自由程（分子与相邻分子碰撞之间分子移动的平均距离）与飞行器的特征长度具有相同的量级。空气介质不再呈现连续性，必须采用与连续流完全不同的方法来研究这种流动。通常用分子运动论的技术来处理。当与飞行器表面相撞后由表面反射的分子与入射分子不发生相互作用时，这种流动被称为自由分子流。当飞行高度下降到一定高度时，尽管连续介质的控制方程近似成立，但物面处的边界条件必须被修止。低密度时物面处气流的速度不为零，应取一定大小的值，称为速度滑移条件。与此相似，壁面处的气体温度也不同于壁温，称此为温度跳跃条件。另外，高空低密度时，激波本身的厚度要变大，通常对激波所做的间断面假设不再有效，经典的朗金一雨贡纽激波关系式必须进行修正。这些都是低密度时重要的物理现象。
高超声速流动的物理特性如图12.3所示。
综上所述，高超声速流动区别于超声速流动的基本特征为流场的非线性性质、薄激波层、熵层、黏性干扰、高温流动和真实气体效应、严重的气动加热问题，以及高空、高超声速流动存在低密度效应。
12.2 高超声速流动中的激波关系式及流场性质
在Ma∞不是非常高，Re值不是非常低的高超声速流动中，物面上附面层还是相当薄的，引入不计附面层的无黏性流假设来近似计算物体表面的压强分布和气动系数还是允许的和可行的。
在无黏性流条件下，根据己知的激波前后各个物理量间的关系式，并结合高超声速流动中极高马赫数的特点和真实气体效应，可以得到激波前后气流参数变化的近似表达式。
12.2.1 平面斜激波前后参数的简化关系式
研究图12.2.1所示的直线斜激波。上游和下游条件分别用下标1和下标2表示。对于量热完全气体，即比热比k为常数的气体，激波间断面条件为
\({{\rho }_{1}}{{V}_{1n}}={{\rho }_{2}}{{V}_{2n}}\) (12.3)
\({{\rho }_{2}}{{V}_{2n}}\left( {{V}_{1n}}-{{V}_{2n}} \right)={{p}_{2}}-{{p}_{1}}\) (12.4)
\({{\rho }_{2}}{{V}_{2n}}\left( {{V}_{1t}}-{{V}_{2t}} \right)=0\) (12.5)
\(\frac{k}{k-1}\frac{{{p}_{1}}}{{{\rho }_{1}}}+\frac{V_{1n}^{2}+V_{1t}^{2}}{2}=\frac{k}{k-1}\frac{{{p}_{2}}}{{{\rho }_{2}}}+\frac{V_{2n}^{2}+V_{2t}^{2}}{2}\) (12.6)
式中，下标n和t分别表示激波的法向和切向。
由此得到通用的斜激波关系为
\(\frac{{{p}_{2}}}{{{p}_{1}}}=1+\frac{2k}{k+1}\left( Ma_{1}^{2}{{\sin }^{2}}\beta -1 \right)\) (12.7a)
\(\frac{{{\rho }_{2}}}{{{\rho }_{1}}}=\frac{\left( k+1 \right)Ma_{1}^{2}{{\sin }^{2}}\beta }{\left( k-1 \right)Ma_{1}^{2}{{\sin }^{2}}\beta +2}\) (12.7b)
\(\frac{{{V}_{2x}}}{{{V}_{1}}}=1-\frac{2\left( Ma_{1}^{2}{{\sin }^{2}}\beta -1 \right)}{\left( k+1 \right)Ma_{1}^{2}}\) (12.7c)
\(\frac{{{V}_{2y}}}{{{V}_{1}}}=\frac{2\left( Ma_{1}^{2}{{\sin }^{2}}\beta -1 \right)}{\left( k+1 \right)Ma_{1}^{2}}\cot \beta \) (12.8)
式中，β为激波角；k为比热比；V2x，V2y分别为速度的流向和纵向分量，如图12.4所示。
对于高超声速流，当\(Ma_{1}^{2}{{\sin }^{2}}\beta \gg 1\)时，上面的激波关系式简化为
\(\frac{{{p}_{2}}}{{{p}_{1}}}\to \frac{2k}{k+1}\left( Ma_{1}^{2}{{\sin }^{2}}\beta \right)\) (12.9)
\(\frac{{{\rho }_{2}}}{{{\rho }_{1}}}\to \frac{k+1}{k-1}\) (12.10)
\(\frac{{{V}_{2x}}}{{{V}_{1}}}\to 1-\frac{2{{\sin }^{2}}\beta }{k+1}\) (12.11)
\(\frac{{{V}_{2y}}}{{{V}_{1}}}\to \frac{\sin 2\beta }{k+1}\) (12.12)
另外
\(\frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}=\frac{{{p}_{2}}/{{p}_{1}}}{{{\rho }_{2}}/{{\rho }_{1}}}\to \frac{2k\left( k-1 \right)Ma_{1}^{2}{{\sin }^{2}}\beta }{{{\left( k+1 \right)}^{2}}}\) (12.13)
跨过激波后，流动特性的变化如图12.5所示。显然，当\(Ma_{1}^{2}{{\sin }^{2}}\beta \)→∞时，压力和温度的增量趋近于无穷大，而激波后的密度和马赫数趋于有限制。
压力因数定义为
\({{C}_{p}}=\frac{{{p}_{2}}-{{p}_{1}}}{{{q}_{1}}}\) (12.14)
式中 \({{q}_{1}}=\frac{1}{2}{{\rho }_{1}}V_{1}^{2}=\frac{k}{2}{{p}_{1}}Ma_{1}^{2}\) (12.15)
因此 \({{C}_{p}}=\frac{2}{kMa_{1}^{2}}\left( \frac{{{p}_{2}}}{{{p}_{1}}}-1 \right)\) (12.16)
将斜激波关系式代入式（12.16），得
\({{C}_{p}}=\frac{4}{k+1}\left( {{\sin }^{2}}\beta -\frac{1}{Ma_{1}^{2}} \right)\) (12.17)
在\(Ma_{1}^{2}{{\sin }^{2}}\beta \gg 1\)的极限情况下，有
\({{C}_{p}}\to \frac{4}{k+1}{{\sin }^{2}}\beta \) (12.18)
当气流转折角θ、来流马赫数Ma1已知时，激波角β由激波处的速度三角形确定，即
\(\tan \theta =\frac{\frac{{{V}_{2y}}}{{{V}_{1}}}}{\frac{{{V}_{2x}}}{{{V}_{1}}}}=\frac{\frac{2\left( Ma_{1}^{2}{{\sin }^{2}}\beta -1 \right)}{\left( k+1 \right)Ma_{1}^{2}}\cot \beta }{1-\frac{2\left( Ma_{1}^{2}{{\sin }^{2}}\beta -1 \right)}{\left( k+1 \right)Ma_{1}^{2}}}=\frac{2\left( Ma_{1}^{2}{{\sin }^{2}}\beta -1 \right)\cot \beta }{Ma_{1}^{2}\left( k+\cos 2\beta \right)+2}\) (12.19)
这就是平面斜激波的θ-β-Ma关系。
当Ma1→∞时，若取k→1，则有
β→θ (12.20)
\(${{C}_{p}}\to 2{{\sin }^{2}}\theta $\) (12.21)
这表明，当Ma1→∞时，激波几乎完全贴在楔面上，楔面上的Cp值几乎完全取决于壁面折角而与Ma1值无关。显然，此时作用在尖楔上的气动系数同样也与Ma1值无关。来流马赫数高过某个很大值以后，激波后壁面Cp值以及无黏性流的气动系数趋近于与来流马赫数无关的极限值，这种特性称为马赫数无关原理。
12.2.2 正激波前后参数关系式
当Ma∞＞＞1的高超声速气流绕过图12.6所示的钝头物体时，物体头部前将出现弓形脱体激波，端部前方的激波面接近正激波。正激波后气流等熵滞止到驻点2。驻点处压强p2*和温度T2*是表征高超声速气流压强分布和热传导的有用参考量。
对k为常数的完全气体，穿过正激波前、后参数之比可写为Ma1和k的函数，即
\(\frac{{{p}_{2}}}{{{p}_{1}}}=\frac{2kMa_{1}^{2}-\left( k-1 \right)}{k+1}\) (12.22)
\(\frac{{{\rho }_{2}}}{{{\rho }_{1}}}=\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{\left( k+1 \right)Ma_{1}^{2}}{\left( k-1 \right)Ma_{1}^{2}+2}\) (12.23)
\(\frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}=\frac{\left[ 2kMa_{1}^{2}-\left( k-1 \right) \right]\left[ \left( k-1 \right)Ma_{1}^{2}+2 \right]}{{{\left( k+1 \right)}^{2}}Ma_{1}^{2}}\) (12.24)
\(\frac{p_{2}^{*}}{{{p}_{1}}}={{\left[ \frac{\left( k+1 \right)Ma_{1}^{2}}{2} \right]}^{\frac{k}{k-1}}}{{\left[ \frac{k+1}{2kMa_{1}^{2}-\left( k-1 \right)} \right]}^{\frac{1}{k-1}}}\) (12.25)
\(\frac{T_{2}^{*}}{{{T}_{1}}}=\frac{T_{1}^{*}}{{{T}_{1}}}=1+\frac{k-1}{2}Ma_{1}^{2}\) (12.26)
但实际上，高超声速气流穿过正激波后，激波层内是高温气体，真实气体效应使比热比k值下降，层内静温、声速以及速度均低于完全气体值，而密度则显著增大，导致激波层厚度减小。
12.2.3 高超声速小扰动情况
当θ＜＜1时，在高超声速条件下也有β＜＜1，这时sinβ≈β，cosβ≈1，sinθ≈θ，cosθ≈1，式（12.19）化简为
\(\theta \beta =\frac{2\left( Ma_{1}^{2}{{\beta }^{2}}-1 \right)}{Ma_{1}^{2}\left( k+1 \right)+2}\) (12.27)
由式（12.27），解得
\(\beta =\left( \frac{k+1}{4}+\frac{1}{2Ma_{1}^{2}} \right)\theta \pm \sqrt{{{\left( \frac{k+1}{4}+\frac{1}{2Ma_{1}^{2}} \right)}^{2}}{{\theta }^{2}}+\frac{1}{Ma_{1}^{2}}}\) (12.28)
负根无意义，略去高阶小量后，得
\(\beta =\left( \frac{k+1}{4} \right)\theta +\sqrt{{{\left( \frac{k+1}{4} \right)}^{2}}{{\theta }^{2}}+\frac{1}{Ma_{1}^{2}}}\) (12.29)
在Ma1θ＞＞1的极限情况下，有
\(\frac{\beta }{\theta }=\frac{k+1}{2}\) (12.30)
如再令k→1，则有 β→θ (12.31)
这在式（12.20）中已对一般情况得到证明。对于常温下的空气，当k=1.4时，有
β→1.2θ (12.32)
把式（12.29）和式（12.30）分别代入式（12.9）~式（12.13）和式（12.18）中，其中令sinβ≈β，便可得出激波前、后各个物理量之比用Ma1θ表示的关系式。下面只列出有意义的部分式子。
从式（12.17），得
\({{C}_{p}}=\frac{4}{k+1}{{\beta }^{2}}\left( 1-\frac{1}{Ma_{1}^{2}{{\beta }^{2}}} \right)\) (12.33)
将式（12.30）代入式（12.33），利用式（12.29） ，可改写为
\({{C}_{p}}\approx 2\beta \theta \approx 2{{\theta }^{2}}\left[ \frac{k+1}{4}+\sqrt{{{\left( \frac{k+1}{4} \right)}^{2}}+\frac{1}{Ma_{1}^{2}{{\theta }^{2}}}} \right]\) (12.34)
即压力因数的函数形式为
\({{C}_{p}}={{\theta }^{2}}f\left( M{{a}_{1}}\theta ,k \right)\) (12.35)
由此可见，Ma1θ为高超声速小扰动情况下斜激波后流动的相似参数。
下面讨论当Ma1θ＞＞1时各个物理量的极限关系式。把式（12.30）代入到式（12.9）~式（12.13）和式（12.18）中，便得
\(\begin{align}& \frac{{{\rho }_{2}}}{{{\rho }_{1}}}\to \frac{k+1}{k-1} \\& \left( 12.36 \right) \\& \frac{{{p}_{2}}}{{{p}_{1}}}\to \frac{k\left( k+1 \right)}{2}Ma_{1}^{2}{{\theta }^{2}} \\& \left( 12.37 \right) \\& \frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}\to \frac{k\left( k-1 \right)}{2}Ma_{1}^{2}{{\theta }^{2}} \\& \left( 12.38 \right) \\& {{C}_{p}}\to \left( k+1 \right){{\theta }^{2}} \\& \left( 12.39 \right) \\& \frac{\Delta {{V}_{x}}}{{{V}_{1}}}=\frac{{{V}_{2x}}}{{{V}_{1}}}-1\to -\frac{k+1}{2}{{\theta }^{2}} \\& \left( 12.40 \right) \\& \frac{\Delta {{V}_{y}}}{{{V}_{1}}}=\frac{{{V}_{2y}}}{{{V}_{1}}}\to \theta \\& \left( 12.41 \right) \\\end{align}\)
由此可知，在极限高超声速小扰动情况下，斜激波后各个物理量变化的量级为
\(\begin{align}& \frac{\Delta \rho }{{{\rho }_{1}}}=\frac{{{\rho }_{2}}-{{\rho }_{1}}}{{{\rho }_{1}}}\approx \frac{{{\rho }_{2}}}{{{\rho }_{1}}}\sim O\left( \frac{k+1}{k-1} \right) \\& \left( 12.42 \right) \\& \frac{\Delta p}{{{p}_{1}}}=\frac{{{p}_{2}}-{{p}_{1}}}{{{p}_{1}}}\approx \frac{{{p}_{2}}}{{{p}_{1}}}\sim O\left( Ma_{1}^{2}{{\theta }^{2}} \right) \\& \left( 12.43 \right) \\& \frac{\Delta T}{{{T}_{1}}}=\frac{{{T}_{2}}-{{T}_{1}}}{{{T}_{1}}}\approx \frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}\sim O\left( Ma_{1}^{2}{{\theta }^{2}} \right) \\& \left( 12.44 \right) \\& {{C}_{p}}\sim O\left( {{\theta }^{2}} \right) \\& \left( 12.45 \right) \\& \frac{\Delta {{V}_{x}}}{{{V}_{1}}}\sim O\left( {{\theta }^{2}} \right) \\& \left( 12.46 \right) \\& \frac{\Delta {{V}_{y}}}{{{V}_{1}}}\sim O\left( \theta \right) \\& \left( 12.47 \right) \\\end{align}\)
根据\(c=\sqrt{kp/\rho }\)，不难导出激波后声速的量级为
\(\frac{c}{{{V}_{1}}}\sim O\left( \theta \right)\) (12.48)
我们不妨将上述结果和超声速情况作一比较。对于超声速小扰动情况，虽然θ＜＜1，但β并非小量，因而可以推导出，在激波后所有物理量的变化都是O（θ）量级。但高超声速小扰动情况却与此不同，激波后的Δρ/ρ1，Δp/p1，ΔT/T1都不是小扰动量，Cp和ΔVx/V1都是O（θ²）量级，比ΔVy/V1要高一阶。由此可知高超声速小扰动理论的非线性性质。
12.2.4 马赫数无关原理
高超声速流动还有一个重要的性质，即来流马赫数高过某个范围以后，物体绕流之解就一致趋近于其极限解，与来流马赫数的变化无关。这一原理对于任意物体的高超声速绕流都是成立的（不限于尖头细长体）；它既适用于无黏性的完全气体，也适用于计入真实气体效应和黏性效应的气体。
奥斯瓦梯（Oswatitsch，1951）首先提出了这一原理，其后，海斯和普洛布斯坦（Hayes and Probstein,1959)把它推广到包含真实气体效应和附面层流动的情况。
现在仅以无黏性的完全气体为例来证明这一原理。首先与出基本方程和边界条件，然后再进行推证。
令x方向与来流速度V∞的方向一致，令y方向在流动平面内与x方向正交，令z方向与x,y方向止交。设vx，vy和vz分别表示扰动速度沿x方向、y方向和z方向的分量。
为了把基本方程和边界条件都无量纲化，采用以下的无量纲变量：
\(\left. \begin{align}& \overline{x}=x/l,\overline{y}=y/l \\& \overline{{{v}_{x}}}={{v}_{x}}/{{V}_{\infty }},\overline{{{v}_{y}}}={{v}_{y}}/{{V}_{\infty }},\overline{{{v}_{z}}}={{v}_{z}}/{{V}_{\infty }} \\& \overline{p}=p/\left( {{\rho }_{\infty }}V_{\infty }^{2} \right),\overline{\rho }=\rho /{{\rho }_{\infty }},\overline{c}=c/{{V}_{\infty }} \\\end{align} \right\}\) (12.49)
式中，l是参考长度。于是无黏性气体平面定常小扰动流动的基本方程如下：
连续性方程
\(\frac{\partial }{\partial \overline{x}}\left[ \overline{\rho }\left( 1+\overline{{{v}_{x}}} \right) \right]+\frac{\partial }{\partial \overline{y}}\left( \overline{\rho {{v}_{y}}} \right)+\frac{\partial }{\partial \overline{z}}\left( \overline{\rho {{v}_{z}}} \right)=0\) (12.50)
动量方程
\(\begin{align}& \left( 1+\overline{{{v}_{x}}} \right)\frac{\partial \overline{{{v}_{x}}}}{\partial \overline{x}}+\overline{{{v}_{y}}}\frac{\partial \overline{{{v}_{x}}}}{\partial \overline{y}}+\overline{{{v}_{z}}}\frac{\partial \overline{{{v}_{x}}}}{\partial \overline{z}}+\frac{1}{\overline{\rho }}\frac{\partial \overline{p}}{\partial \overline{x}}=0 \\& \left( 12.51a \right) \\& \left( 1+\overline{{{v}_{x}}} \right)\frac{\partial \overline{{{v}_{y}}}}{\partial \overline{x}}+\overline{{{v}_{y}}}\frac{\partial \overline{{{v}_{y}}}}{\partial \overline{y}}+\overline{{{v}_{z}}}\frac{\partial \overline{{{v}_{y}}}}{\partial \overline{z}}+\frac{1}{\overline{\rho }}\frac{\partial \overline{p}}{\partial \overline{y}}=0 \\& \left( 12.51b \right) \\& \left( 1+\overline{{{v}_{x}}} \right)\frac{\partial \overline{{{v}_{z}}}}{\partial \overline{x}}+\overline{{{v}_{y}}}\frac{\partial \overline{{{v}_{z}}}}{\partial \overline{y}}+\overline{{{v}_{z}}}\frac{\partial \overline{{{v}_{z}}}}{\partial \overline{z}}+\frac{1}{\overline{\rho }}\frac{\partial \overline{p}}{\partial \overline{z}}=0 \\& \left( 12.51c \right) \\\end{align}\)
量热完全气体沿流线等熵的条件
\(\left( 1+\overline{{{v}_{x}}} \right)\frac{\partial }{\partial \overline{x}}\left( \frac{\overline{p}}{\overline{{{\rho }^{k}}}} \right)+\overline{{{v}_{y}}}\frac{\partial }{\partial \overline{y}}\left( \frac{\overline{p}}{\overline{{{\rho }^{k}}}} \right)+\overline{{{v}_{z}}}\frac{\partial }{\partial \overline{z}}\left( \frac{\overline{p}}{\overline{{{\rho }^{k}}}} \right)=0\) (12.52)
与上述基本方程相对应的边界条件包括来流条件、激波条件和物面条件，它们可分别表示如下：
（1）来流条件：
\(\overline{{{v}_{x}}}=\overline{{{v}_{y}}}=\overline{{{v}_{z}}}=0,\overline{p}=\frac{1}{kMa_{\infty }^{2}}\to 0,\overline{\rho }=1\) (12.53)
（2）激波条件：从式（12.7）~式（12.8），得到
\(\begin{align}& \overline{{{p}_{2}}}=\frac{{{p}_{2}}}{{{\rho }_{\infty }}V_{\infty }^{2}}=\frac{1}{kMa_{\infty }^{2}}\left( \frac{{{p}_{2}}}{{{\rho }_{\infty }}} \right)=\frac{2}{k+1}{{\sin }^{2}}\beta \left[ 1-\left( \frac{k-1}{2k} \right)\frac{1}{Ma_{\infty }^{2}{{\sin }^{2}}\beta } \right]\to \frac{2}{k+1}{{\sin }^{2}}\beta \\& \left( 12.54 \right) \\& \overline{{{\rho }_{2}}}=\frac{\left( k+1 \right)Ma_{\infty }^{2}{{\sin }^{2}}\beta }{\left( k-1 \right)Ma_{\infty }^{2}{{\sin }^{2}}\beta +2}\to \frac{k+1}{k-1} \\& \left( 12.55 \right) \\& \overline{{{v}_{2x}}}=-\frac{2{{\sin }^{2}}\beta }{k+1}\left( 1-\frac{1}{Ma_{\infty }^{2}{{\sin }^{2}}\beta } \right)\to -\frac{2{{\sin }^{2}}\beta }{k+1} \\& \left( 12.56 \right) \\& \overline{{{v}_{2y}}}=\frac{2\left( Ma_{\infty }^{2}{{\sin }^{2}}\beta -1 \right)\cot \beta }{\left( k+1 \right)Ma_{\infty }^{2}}\to \frac{\sin 2\beta }{k+1} \\& \left( 12.57 \right) \\& \overline{{{v}_{2z}}}=\frac{2\left( Ma_{\infty }^{2}{{\sin }^{2}}\beta -1 \right)\cot \beta }{\left( k+1 \right)Ma_{\infty }^{2}}\to \frac{\sin 2\beta }{k+1} \\& \left( 12.58 \right) \\\end{align}\)
（3）物面条件：
\(\left( 1+\overline{{{v}_{x}}} \right)\frac{\partial \overline{F}}{\partial \overline{x}}+\overline{{{v}_{y}}}\frac{\partial \overline{F}}{\partial \overline{y}}+\overline{{{v}_{z}}}\frac{\partial \overline{F}}{\partial \overline{z}}=0\) (12.59)
此处\(\overline{F}\left( \overline{x},\overline{y},\overline{z},\alpha \right)=0\)是物面方程，其中α是攻角。
从气体无黏性定常平面流动的基本方程式（12.50）~式（12.52）和边界条件式（12.53）、式（12.58），我们注意到，在上述基本方程和物面条件中，都与Ma∞无关；只有在来流条件以及在激波条件的组合量Ma∞sinβ中出现Ma∞。但当Ma∞sinβ＞＞1时，不仅来流中的 \(\overline{p}\)→0，而且激波后的\(\overline{{{p}_{2}}},\overline{{{\rho }_{2}}},\overline{{{v}_{2x}}},\overline{{{v}_{2y}}}\)都趋近于各自的极限值，与Ma∞无关。这样便可从基本方程和边界条件中直接解出\(\overline{p},\overline{\rho },\overline{{{v}_{x}}},\overline{{{v}_{y}}}\)的极限值，与来流的马赫数无关。
由此，证明了马赫数无关原理，即对于任意给定物体的高超声速绕流，当Ma∞→∞时，在确定的有限区域内，流动之解一致趋近于其极限解。
应该指出，马赫数无关原理并非指所有的物理量都有极限解，例如p/p∞和T/T∞已由式（12.9）和式（12.13）表明，它们与\(Ma_{\infty }^{2}{{\sin }^{2}}\beta \)成正比，不存在极限解。
马赫数无关原理表明，对Ma∞→∞的极限状态，不同的来流马赫数的绕流之解基本上是相同的。这个结论成立的条件是，必须保持来流的ρ∞和V∞值不变。关于这一点，不难从基本方程和边界条件的建立，以及推证这个原理的过程中看出。
前面己论及马赫数无关原理适用的范围是Ma∞sinβ＞＞1，即激波前的法向来流马赫数Ma∞n＞＞1。对于钝头体绕流，头部附近的脱体激波的β较大，因而一般来说，当Ma∞≥5时，物而压力因数就趋近于其极限值。而对于尖头细长体，如要使物面压力因数趋近于极限值，来流Ma∞值要高许多，它与物形密切相关。
12.3 高超声速流动中的气动力和气动热
12.3.1 高超声速流动中的气动力
实际的高超声速流场很复杂，我们希望能找到简单的计算方法，利用它能得到与精确理论和实验相接近的结果。下面介绍的牛顿理论能满足这方面的要求。
1.牛顿公式
早在1687年，牛顿在他的名著《自然哲学的数学原理》中就提出了流体绕流时作用在物体上作用力的理论，称为牛顿碰撞理论。它的基本假设和理论要点如下：
（1）假设流体是由大量均匀分布的、彼此独立无相互作用的质点所组成的，它们排列整齐且平行地沿着直迹线流向物体。
（2）流体质点流与物面碰撞时，流体质点将失去与物面垂直的法向动量，而保持原有的切向动量沿物面向下流去。由于法向动量的变化从而引起流体作用在物体上的力。
（3）流体对物面的压力只作用在物面能与流体质点相碰撞的表面（称为迎风面）上，而流体碰撞不到的表面（称为遮蔽面）上压力为零。牛顿理论的数学模型如图12.7所示。为了确定物面上的压强，设在迎风面上研究和来流方向成斜角θ的微小面积dA，其上压强为p。由垂直物面等截面面积dA流管的积分形式动量方程有
\({{p}_{\infty }}+{{\rho }_{\infty }}V_{\infty n}^{2}={{p}_{\infty }}+{{\rho }_{\infty }}V_{\infty }^{2}{{\sin }^{2}}\theta =p\) (12.60)
写成压强因数形式是
\({{C}_{p}}=\frac{p-{{p}_{\infty }}}{\frac{1}{2}{{\rho }_{\infty }}V_{\infty }^{2}}=2{{\sin }^{2}}\theta \) (12.61)
式中，θ为物面切线与来流方向之间的夹角（在内法线n和V∞所组成的平面内)。
方程式（12.61)称为牛顿正弦平方律。它指明，流体作用在物体迎风面上的压强因数正比于物面当地切线与自由流夹角正弦值的平方。若改用内法线n与来流V∞之间的夹角\(\vartheta \)来表示，则式（12.61)又可写为
\({{C}_{p}}=2{{\cos }^{2}}\vartheta \) (12.62)
而在物体的遮蔽区内，由于没有受到流体质点的碰撞，Cp=0。
显然，从牛顿碰撞理论得出的结果，即式（12.61)或式（12.62），对亚、跨、超声速绕流问题是完全不适用的。但是，对于Ma∞＞＞1的高超声速流来说，分析绕流物体的流动，其绕流图却和牛顿理论的理论假设非常接近。其原因，一方而是由于在高超声速流中，气体的内能与动能之比（它正比于\(\frac{1}{Ma_{\infty }^{2}}\)）很小，流动气体分子无规则热运动效应不大，可以像牛顿理论那样认为气流是一股没有相互作用的质点流。另一方面，正如上节导出的，当Ma∞→∞，k→1时，β→θ，在物体迎风面上激波几乎贴近物面，气流通过激波后切向动量不变，而法向动量趋近于零，也正好与牛顿理论一致。所不同的仅仅是高超声速气流“碰撞”的是靠近物面的激波而不是物面本身。因此，牛顿理论所得出的迎风面压强因数\({{C}_{p}}=2{{\sin }^{2}}\theta \)也就与极高超声速流激波后物面压强因数完全相同。至于物体背风面的压强则应与来流压强p∞属同一量级，当Ma∞→∞时，
\[{{C}_{p}}=\frac{2}{kMa_{\infty }^{2}}\left( \frac{p}{{{p}_{\infty }}}-1 \right)\to 0\]
也与牛顿理论在遮蔽区内Cp=0的假设一致。
从近代观点看，牛顿理论实际上是极高超声速流中强激波下物体气动特性与马赫数无关这一原理的另一种推导和表示的方法。因此，牛顿理论的应用范围除要求极高的马赫数外还应包括对物体形状的限制。
线化小扰动理论仅对马赫数不很高的超声速、细长体、小迎角等问题给出了准确的结果；而牛顿理论则提供了马赫数与流动偏转角组合参数Ma∞sinθ＞＞1时的可用结果，即Ma∞很大时θ可小些，Ma∞不太高时θ要大些。实验证明，牛顿公式一般要在Ma∞很高（Ma∞>10）的范围才接近实验情况。应用牛顿理论可以很方便地计算出高超声速气流中任意形状物体的表面压强分布以及相应的气动参数。
2.修正的牛顿公式
牛顿压力公式在Ma∞→∞，k→1时才是准确的，这时密度比\(\varepsilon =\frac{k-1}{k+1}\)趋于零。事实上，即使在极高的温度下，对空气来说密度比也不可能比1／20更小，牛顿公式不能表示真实的高超声速流动。为了获得与精确解更为接近的计算结果，在工程计算中通常要对牛顿公式进行修正。
首先，在高Ma∞下圆锥表面上使用牛顿公式计算Cp值的结果与精确解相当接近，而对高 Ma∞下的尖楔表面上使用牛顿公式计算Cp值的结果与精确解相比要差一些。其次，按牛顿公式，二维和三维物体的计算结果并无差别，不够合理。还有，高马赫数绕钝头体的流动，在顶点θ=π/2处，按牛顿公式该点Cp=2，但该点是驻点，压强因数应是正激波后的\(C_{{{p}_{2}}}^{*}\ne 2.0\)(取决于来流马赫数），也有必要对牛顿公式进行修正。
为进行对牛顿公式的修正，我们将高超声速流中物面的压强因数统一写为
\({{C}_{p}}=C_{p}^{*}\frac{{{\sin }^{2}}\theta }{{{\sin }^{2}}{{\theta }_{0}}}\) (12.63)
式中 \(C_{p}^{*}\)——物体顶点处的压强因数；
\({{\theta }_{0}}\)——物体顶点处物面切线与来流的夹角。
对钝头体，\({{\theta }_{0}}=\frac{\pi }{2},{{\sin }^{2}}{{\theta }_{0}}=1,C_{p}^{*}=C_{p2}^{*}={{C}_{p,\max }}\)，按式(12.63）得\({{C}_{p}}={{C}_{p,\max }}{{\sin }^{2}}\theta \)。当Ma∞≤ 4时，可按完全气体正激波公式计算\(C_{p2}^{*}\);而当Ma∞>4时，则必须计及穿过激波高温空气的真实气体效应，例如Ma=24，\(C_{p2}^{*}\)=1.932。但对激波附体的二维物体和尖头旋成体绕流，\(C_{p}^{*}\)则应由绕尖楔和圆锥的高超声速来流马赫数Ma∞的激波解来确定。对尖楔，由
\[{{C}_{p}}=2{{\theta }^{2}}\left[ \frac{k+1}{4}+\sqrt{{{\left( \frac{k+1}{4} \right)}^{2}}+\frac{1}{Ma_{1}^{2}{{\theta }^{2}}}} \right]\]
可得近似表达式
\(\frac{C_{p}^{*}}{{{\theta }^{2}}}=\left( k+1 \right)+\frac{{{K}_{1}}}{K}\) (12.64a)
式中，K=Ma∞θ，而
\({{K}_{1}}=\frac{k+1}{2}\left[ \sqrt{{{K}^{2}}+{{\left( \frac{4}{k+1} \right)}^{2}}}-K \right]\) (12.64b)
当K→∞时，
\[\frac{{{K}_{1}}}{K}\to 0,\frac{C_{p}^{*}}{{{\theta }^{2}}}\to k+1=2.4\left( k=1.4 \right)\]
对尖头旋成体，由高超声速圆锥的近似解有
\(\frac{C_{p}^{*}}{{{\theta }^{2}}}=1+\frac{\left( k+1 \right){{K}^{2}}+2}{\left( k-1 \right){{K}^{2}}+2}\ln \left( \frac{k+1}{2}+\frac{1}{{{K}^{2}}} \right)\) (12.65a)
式中，K=Ma∞θ。当K→∞时，可得
\(\frac{C_{p}^{*}}{{{\theta }^{2}}}\to 1+\frac{k+1}{k-1}\ln \frac{k+1}{2}=2.094\left( k=1.4 \right)\) (12.65b)
实验和精确理论计算的结果表明，对于K=Ma∞θ值大的情形使用修正的牛顿公式可以得到比牛顿公式更好的效果，而且对三维物体比二维物体更好。
修正的牛顿公式不论是对钝头体还是对尖头旋成体的压强分布计算，均能提供满意的结果，常用于高超声速飞行器的初步设计中。
12.3.2 高超声速飞行器的气动加热和热防护
当飞行器以高超声速飞行时，与飞行相联系的巨大动能转化为激波层内气体温度的急剧升高，从而导致严重的气动加热。因此，在高超声速飞行器的设计中，热传导率和气动加热的预计以及热防护是至关重要的。
1.导热率和气动加热的预计
我们知道，高温气体传递给物面的热量是用单位面积、单位时间所传递的热量，即热流密度qω来表示的。无量纲的热传导系数可用努塞尔数Nu或斯坦顿数St来表示。斯坦顿数的定义是
\(St=\frac{{{q}_{\omega }}}{{{\rho }_{\infty }}{{V}_{\infty }}\left( {{h}_{a,w}}-{{h}_{w}} \right)}\) (12.66)
式中ha，w和hw分别为绝热恢复壁温和实际壁温所对应的比焓值。为近似估计qω，这里假设温度恢复因子为1，并设气体为k=1.4的完全气体，则
\({{h}_{a,w}}\approx h_{\infty }^{*}={{C}_{p}}{{T}_{\infty }}+\frac{V_{\infty }^{2}}{2}\) (12.67)
对Ma∞＞＞1的高超声速流动，有
\(\frac{V_{\infty }^{2}/2}{{{C}_{p}}{{T}_{\infty }}}=\frac{k-1}{2}Ma_{\infty }^{2}\gg 1\) (12.68)
故 \({{h}_{a,w}}\approx \frac{V_{\infty }^{2}}{2}\) (12.69)
由于壁面温度Tw是T∞量级，\({{h}_{a,w}}-{{h}_{w}}\approx \frac{V_{\infty }^{2}}{2}\)，因此当Ma∞＞＞1时，由式(12.66）可得如下近似表示式：
\({{q}_{\omega }}={{\rho }_{\infty }}{{V}_{\infty }}\left( {{h}_{a,w}}-{{h}_{w}} \right)St\approx \frac{1}{2}{{\rho }_{\infty }}V_{\infty }^{3}St\) (12.70)
这说明，热流密度qω或气动加热量Q与来流速度的立方成正比。而气动组阻力
\(X={{C}_{x}}\frac{1}{2}{{\rho }_{\infty }}V_{\infty }^{2}A\)参 (12.71)
则是正比于速度的平方。因此，随着飞行速度的增高，气动加热量比阻力增长得更快，变成设计所面临的重要问题。
根据理论和实验研究结果，对简单物形可使用以下简单公式来估计qω：
\({{q}_{\omega }}=\rho _{\infty }^{N}V_{\infty }^{M}C\) (12.72)
式中 N，M——常数；
C——某个函数。
（1）钝头体驻点处的qω：此时，有
N=0.5，M=3.0
\(C=1.83\times {{10}^{-6}}{{R}^{-\frac{1}{2}}}\left( 1-\frac{{{h}_{w}}}{h_{\infty }^{*}} \right)\) (12.73)
式中，R为钝头体头部半径。
（2）层流平板的qω：此时，有
N=0.5，M=3.2
\(C=2.53\times {{10}^{-9}}{{\left( \cos \varphi \right)}^{\frac{1}{2}}}\left( \sin \varphi \right){{x}^{-\frac{1}{2}}}\left( 1-\frac{{{h}_{w}}}{h_{\infty }^{*}} \right)\) (12.74)
式中 x——沿物面的距离；
\(\varphi \)——局部物面相对来流的夹角。
由式（12.73）可看到，在超声速时具有低波特性的尖头体，由于尖头体（如旋成体顶点和机翼前缘）半径很小，将承受很高的气动加热率，而尖头体的热容量小，散热困难，温度升得很高，容易熔化或烧蚀（取决于所用的材料），从而大大降低了它在高超声速时的应用价值。因此，高超声速飞行器的气动外形首先要从减少气动加热的角度来考虑。另外，从式（12.72）可知，qω还取决于飞行高度上的空气密度值，故气动加热问题一般只在稠密的大气中以高超声速飞行（例如，航天器从外层空间返回地面穿过大气层）时才变得十分严重。
下面来近似估计传给高超声速飞行器的热量。将牛顿第二定律应用到一个无推力高超声速飞行器在大气层中作减速运动的情况上，得
\(\frac{W}{g}\frac{d{{V}_{\infty }}}{dt}=-X=-\frac{1}{2}{{\rho }_{\infty }}V_{\infty }^{2}A{{C}_{x}}\) (12.75)
式中 W——飞行器重力，近似视为常值；
V∞——飞行速度；
g——重力加速度，取为常数；
X——飞行器所受的阻力；
A——参考面积。
由于重力远小于阻力，重力影响可不计。
单位时间传给飞行器的热量可表示为
\(\frac{dQ}{dt}=\overline{St}{{\rho }_{\infty }}{{V}_{\infty }}{{A}_{biao}}\left( {{h}_{a,w}}-{{h}_{w}} \right)\approx \overline{St}{{\rho }_{\infty }}{{V}_{\infty }}{{A}_{biao}}\frac{V_{\infty }^{2}}{2}\) (12.76)
式中 Q——传给飞行器的总热量；
A表——暴露在高温气流中飞行器的表面积；
\(\overline{St}\)——平均斯坦顿数。
由雷诺比拟有
\(\overline{St}=\frac{{{\overline{C}}_{f}}}{2S}=C{{\overline{C}}_{f}}\) (12.77)
式中 \({{\overline{C}}_{f}}\)——物面平均摩阻因数；
S——雷诺比拟因子(S平板=\({{\Pr }^{2/3}}\))，C=1/2S。
将式（12.75）和式（12.77）代入式（12.76），得
\(dQ=C{{\overline{C}}_{f}}{{\rho }_{\infty }}{{V}_{\infty }}{{A}_{biao}}\frac{V_{\infty }^{2}}{2}dt=-{{C}^{\prime }}\frac{{{\overline{C}}_{f}}}{{{C}_{x}}}d\left( \frac{W}{2g}V_{\infty }^{2} \right)\) (12.78)
式中，\({{C}^{\prime }}=C\frac{{{A}_{biao}}}{{{A}_{can}}}\)。再近似假设\(\frac{{{\overline{C}}_{f}}}{{{C}_{x}}}\)与V∞无关，求积分
\(\int_{0}^{{{Q}_{f}}}{dQ}=-{{C}^{\prime }}\frac{{{\overline{C}}_{f}}}{{{C}_{x}}}\frac{W}{2g}\int_{{{V}_{\infty i}}}^{0}{dV_{\infty }^{2}}\) (12.79)
得 \({{Q}_{f}}={{C}^{\prime }}\frac{{{\overline{C}}_{f}}}{{{C}_{x}}}\frac{W}{2g}V_{\infty i}^{2}\) (12.80)
式中，Qf为消耗的动能、克服摩阻后传给飞行器的总热量，它正比于飞行器的初始动能以及摩阻因数与总阻力因数之比。因此，当\(\frac{{{\overline{C}}_{f}}}{{{C}_{x}}}\)值减少时，Qf下降。换言之，当摩阻占总阻力比例愈小时，传给飞行器的热量就越小。某些典型物形的\(\frac{{{\overline{C}}_{f}}}{{{C}_{x}}}\)值见表12.1。
2.高超声速飞行器的热防护
由于高超声速飞行器气动加热严重，必须考虑热防护问题。
（1）选择合理的气动外形，减少气动加热量。从上面的分析可以得出结论，为降低驻点的传热率、提高热容量，减轻气动加热问题，飞行器外形要设计成钝头体。如果采用细长体飞行器，由于头激波较弱，摩擦阻力占总阻力的比重较大，因而传递给周围气体的热量较少，传递给飞行器本身的热量多，气动热问题严重。采用钝头体飞行器，头激波很强，摩擦阻力占总阻力的比例较小，因而传给飞行器本身的热量不多，从而缓解了气动加热问题。
采用钝头体可以减轻高超声速飞行器的气动加热这一原理，己在航天器的设计中得到广泛的应用。例如，若希望高超声速飞行器具有低阻外形，通常可采用小钝头的细长锥体；而对长时间飞行的航天飞机，为控制气动加热量应设计成在大迎角下飞行的钝头飞机，以增加阻力系数；等等。
（2）选用耐高温的合金材料来制造飞行器的结构部件，例如使用钛合金等。
（3）加隔热和防热装置来减少传给飞行器的热量。例如，采用陶瓷或碳纤维材料制造防护瓦覆盖在航天飞机高温区的表面上；或者在机内安装薄膜冷却和对流冷却装置，通过消耗冷却剂来降低飞行器局部区的高温；等等。
思考与练习题
12.1 什么是高超声速流动？高超声速流动有那些重要的基本特征？
12.2 简述马赫数无关原理以及它的适用范围和使用条件。
12.3 为什么高超声速飞行时飞行器气动加热现象严重？应该如何进行热防护？
