第二章固体火箭发动机的主要性能参数

发表于： 2019年10月31日 2019年11月1日
分类：火箭发动机原理

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为了完成预定的飞行任务，总体要对固体火箭发动机提出一系列的要求。如：性能参数、工作条件及外形尺寸等。固体火箭发动机的主要性能参数有推力、总冲和比冲等。工程应用中经常用比冲来评定推进剂的能量特性和发动机的设计质量。本教材的主要任务就是明确地揭示出发动机性能与推进剂性质、发动机结构（尺寸和形状）、设计参数（燃烧室压强等）、工作条件（使用温度、工作高度）等之间的关系，以便发动机设计者有把握地设计发动机。但是火箭发动机的实际工作过程是十分复杂的，为了运用热力学和气体动力学的基本理论找出以上各参数间的定量关系，必须把火箭发动机复杂的实际过程加以抽象、简化、建立一个便于进行理论分析的物理模型（有时亦称为理想发动机）。为此，在火箭发动机性能参数分析过程中做如下的基本假设：

1．假定燃气是完全气体。因为推进剂燃烧产物温度很高（2000~4000K），而燃烧室压强不太高（一般在3~20兆帕左右），所以它的性质很接近完全气体。

2．在整个火箭发动机的燃烧室和喷管中，燃气的成分是均匀的、不变的，比热也不随温度而变。

3．燃气在喷管中的流动为一维定常流。也就是说，所有参数只沿发动机轴向变化，而不随时间变化。

4．燃烧室是绝热的，燃气在喷管中的流动过程是等熵的，即忽略散热损失和摩擦损失。

5．喷管入口处气流速度为零。

在以上假设基础上，本章将给出火箭发动机各个性能参数的定义，导出在以上理想条件下各参数的计算式，并分析影响发动机各性能参数的主要因素。

§2.1 推力与喷气速度

一、推力

推力是火箭、导弹飞行的基本动力，也是火箭发动机的主要性能参数。在火箭发动机工作时，固体推进剂装药燃烧产生的高温高压燃气，在拉瓦尔喷管中膨胀加速，形成超音速的燃气流喷射出去，那么，根据牛顿第三定律，高速喷出的燃气流必以大小相等、方向相反的反作用力作用于发动机上。这个反作用力就是火箭发动机推力的主要组成部分，但不是推力的全部。因为当发动机工作时，不仅发动机内表面受到高温高压燃气压强的作用，它的外表面还受到当地环境大气压强的作用。因此，火箭发动机的推力是发动机工作时内、外表面所受气体压力的合力，即：

$\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{F}={{\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{F}}_{in}}+{{\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{F}}_{out}}$ （2-1）

式中${{\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{F}}_{in}}$是高温燃气对发动机内表面的作用力，是推力的组成部分；${{\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{F}}_{out}}$是外界大气对发动机外表面的作用力。这里只考虑大气静压强的作用，它是垂直于发动机外表面的。在飞行中，如果发动机外表面直接与相对运动的气流接触，还有切向的空气阻力，阻力的大小与飞行器外形结构和飞行条件有关，而与发动机的工作状态无关。因此，切向作用力计入飞行器的阻力，发动机的推力只考虑垂直于发动机外表面的大气静压强的作用。

图2-1表示发动机工作时内、外表面上的压强分布情况，箭头的长短代表压强的大小。很明显，作用于内、外表面的压强处于不平衡状态，由于发动机是轴对称体，这样便产生了一个轴向不平衡力$\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{F}$推动发动机运动，这就是发动机的推力。

图2-1 作用在发动机内、外表面上的压强分布

下面我们用不同的方法推导火箭发动机推力计算的基本关系式。

（一）根据发动机内外表面上的压强分布推导推力计算式

参见图2-1，在发动机内壁上取一个微元面积ds，作用在该微元面积上的燃气压强均匀并记为p_i，那么，作用在微元面积ds上的内压强的合力为p_ids；设微元面积ds的外法线（垂直于ds，由内壁向外）与x轴的夹角为$\alpha $，那么微元面积ds上的内压强合力p_ids的轴向分力为${{p}_{i}}\cdot \cos \alpha \cdot \text{d}s$。由此可以得出，作用在整个发动机内壁上的压强的轴向合力为：

$\int_{\,\ in}{{{p}_{i}}\cdot \cos \alpha \cdot \text{d}s}$

同理，外界大气压强p_a作用于发动机外表面的轴向合力为：$\int_{\ \text{out}}{{{p}_{a}}\cdot \cos \alpha \cdot \text{d}s}$

如果取飞行器的飞行方向x为正向（参见图2-1），相反方向为负向，那么，根据推力的定义并考虑到垂直于发动机轴线方向的压力相互抵消，发动机推力的数学表达式可写为：

$F=\int_{\text{in}}{{{p}_{i}}\cdot \cos \alpha \cdot \text{d}s}-\int_{\text{out}}{{{p}_{a}}\cdot \cos \alpha \cdot \text{d}s}$ （2-2）

如果令$\text{d}A=\cos \alpha \,ds$是发动机壁面微元面积ds垂直于发动机轴向的投影，则A即为发动机的横截面积，那么（2-2）式可写为：

$F=\int_{\ 1}^{\ e}{{{p}_{i}}\text{d}A}-\int_{\ 1}^{\ e}{{{p}_{a}}\text{d}A}$ （2-3）

根据燃烧室内压强分布情况（参见图2-1），可以认为1-c段压强为常数p_c，c-e段压强随发动机横截面积A的变化而变化。由于发动机是轴对称的，则：

$\int_{\ 1}^{\ e}{{{p}_{i}}\text{d}A}=\int_{\ 1}^{\ c}{{{p}_{i}}\text{d}A}+\int_{\ c}^{\ e}{{{p}_{i}}\text{d}A}$ （a）

而在1-c段，如果燃烧室的横截面积A_c不变（即A=A_c=常数），且p_i=p_c=常数，则有：

$\int_{\ 1}^{\ c}{{{p}_{i}}\text{d}A=}\int_{\ 1}^{\ c}{{{p}_{c}}\text{d}A}={{p}_{c}}{{A}_{c}}$ （b）

在c-e段：

$ \int_{\ c}^{\ e}{{{p}_{i}}\text{d}A}=\int_{\ c}^{\ e}{\text{d}\left( {{p}_{i}}A \right)}-\int_{\ c}^{\ e}{A\text{d}{{p}_{i}}} $

$ \quad \quad \quad ={{p}_{e}}{{A}_{e}}-{{p}_{c}}{{A}_{c}}-\int_{\ c}^{\ e}{A\text{d}{{p}_{i}}} $

（c）

将（b）、（c）代入（a）中，则有：

$\int_{\ 1}^{\ e}{{{p}_{i}}\text{d}A}={{p}_{e}}{{A}_{e}}-\int_{\ c}^{\ e}{A\text{d}{{p}_{i}}}$ （d）

利用微分形式的动量守恒方程$\text{d}p+\rho \,u\text{d}u=0$和质量守恒方程$\dot{m}=\rho uA $，则有：$\int_{\ c}^{\ e}{A\text{d}{{p}_{i}}}=\int_{\ c}^{\ e}{-\dot{m}\text{d}u}$，代入式（d）中，则有：

$\int_{\ 1}^{\ e}{{{p}_{i}}\text{d}A}={{p}_{e}}{{A}_{e}}-\int_{\ c}^{\ e}{-\dot{m}\text{d}u}={{p}_{e}}{{A}_{e}}+\dot{m}\left( {{u}_{e}}-{{u}_{c}} \right)$ （e）

由于${{u}_{c}}<<{{u}_{e}}$，因此常假定喷管入口处气流速度${{u}_{c}}\approx 0$，则（e）式变为：

$\int_{\ 1}^{\ e}{{{p}_{i}}\text{d}A}={{p}_{e}}{{A}_{e}}+\dot{m}{{u}_{e}}$ （f）

假设发动机处在外界大气压强不变的环境当中，即：认为作用在发动机外表面上的大气压强是均匀分布的且等于未受扰动的周围大气压力p_a，那么，作用于发动机外表面的大气压强的轴向合力为：

$\int_{\ 1}^{\ e}{{{p}_{a}}\text{d}A}={{p}_{a}}{{A}_{e}}$ （g）

将（f）式和（g）式代入（2-3）式，即得出计算推力的表达式：

$F=\dot{m}{{u}_{e}}+{{A}_{e}}({{p}_{e}}-{{p}_{a}})$ （2-4）

在国际单位制中，推力的单位为牛顿。在式（2-4）中，$\dot{m}$为喷管的每秒质量流率（单位是千克/秒）、p_e为喷管出口截面处的燃气压强（单位是牛/米²或帕）、A_e为喷管出口截面处的横截面积（单位是米²）、u_e是喷气速度（单位是米/秒）。

（二）根据动量守恒定律推导推力计算式

参见图2-1，取发动机内壁面和喷管出口截面所围成的体积为控制体（如图2-2所示），以控制体内的燃气为研究对象，那么作用在控制体上的合力${{\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{F}}_{control}}$是发动机内壁面1-1~e-e与喷管出口截面e-e作用于控制体上的合力，即：

${{\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{F}}_{control}}={{\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{F}}_{1-e}}+{{\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{F}}_{e-e}}$ （2-5）

图2-2 发动机内壁面和喷管出口截面所围成的控制体及控制体受力示意图

而根据作用力与反作用力原理，有：

${{\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{F}}_{1-e}}=-\int_{\ 1-1}^{\ e-e}{{{p}_{i}}\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{n}\text{d}s}=-{{\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{F}}_{in}}$ （h）

式（h）表示：发动机内壁面1-1~e-e作用于控制体上的力与控制体内高温高压燃气作用于发动机内壁面上的力互为作用力与反作用力，式中$\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{n}$为微元面积ds的外法线方向（垂直于ds，由内壁向外与x轴的夹角为$\alpha $，参见图2-1）。

另外，根据一维定常流动假设及作用力与反作用力原理，有：

${{\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{F}}_{e-e}}=-{{p}_{e}}\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{n}{{A}_{e}}$ （i）

式（i）表示：发动机出口截面e-e作用于控制体上的力与控制体内高温高压燃气作用于出口截面e-e上的力互为作用力与反作用力。

将（h）、（i）代入（2-5）中，则有：

${{\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{F}}_{control}}=-\int_{\ 1-1}^{\ e-e}{{{p}_{i}}\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{n}\text{d}A}-{{p}_{e}}\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{n}{{A}_{e}}$

在发动机稳定工作时，发动机内燃气由1-1截面至e-e截面的流动过程中（见图2-2），燃气流速将由1-1截面处的入口速度u_in增加到出口截面e-e处的喷气速度u_e；而根据质量守恒定律，在发动机稳定工作期间，进入和流出控制体内的燃气质量流率满足${{\dot{m}}_{in}}={{\dot{m}}_{out}}=\dot{m}$，那么，单位时间内控制体中燃气动量的变化量可表示为：

${{\dot{m}}_{out}}{{\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{u}}_{e}}-{{\dot{m}}_{in}}{{\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{u}}_{in}}=\dot{m}\left( {{{\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{u}}}_{e}}-{{{\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{u}}}_{in}} \right)$

根据动量定理，则有：

$\dot{m}\left( {{{\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{u}}}_{e}}-{{{\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{u}}}_{in}} \right)={{\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{F}}_{control}}$

将式代入上式，则可推出：

${{\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{F}}_{}}=\int_{\ 1-1}^{\ e-e}{{{p}_{i}}\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{n}\text{d}A}=-\dot{m}\left( {{{\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{u}}}_{e}}-{{{\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{u}}}_{in}} \right)-{{p}_{e}}\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{n}{{A}_{e}}$ （2-6）

另一方面，利用封闭表面的矢量积分总是等于零这一原则，有：

$\int_{\ 1-1\tilde{\ }e-e+e-e}{{{p}_{a}}\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{n}\text{d}s}=\int_{\ 1-1}^{\ e-e}{{{p}_{a}}\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{n}\text{d}s}+\int_{\ e}^{\ e}{{{p}_{a}}\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{n}\text{d}s}=0$

式中下角标1-1~e-e+e-e表示由发动机的外壁面（1-1~e-e）与喷管出口截面（e-e）组成的封闭外表面。由上式可得出：

${{\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{F}}_{}}=\int_{\ 1-1}^{\ e-e}{{{p}_{a}}\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{n}\text{d}s}\,=-\int_{\ e}^{\ e}{{{p}_{a}}\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{n}\text{d}s}=-{{p}_{a}}\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{n}{{A}_{e}}$ （2-7）

式中$\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{n}$为外壁面微元面积ds的外法线方向（垂直于ds，由外壁向内与x轴的夹角为$\alpha $）。

将（2-6）和（2-7）式代入推力的定义式（2-1）式中，则可推出发动机推力计算式为：

$\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{F}=-\dot{m}\left( {{{\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{u}}}_{e}}-{{{\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{u}}}_{in}} \right)-{{p}_{e}}\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{n}{{A}_{e}}-{{p}_{a}}\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{n}{{A}_{e}}$ （2-8）

由于发动机通常是轴对称体，垂直于发动机轴线方向上的作用力互相抵消，因而发动机只有轴向力。那么，取飞行器的飞行方向x为正向（参见图2-2），取式（2-8）中各矢量在方向上的投影，同时考虑到${{u}_{in}}<<{{u}_{e}}$，则（2-8）式就变为了（2-4）式，即：

$F=\dot{m}{{u}_{e}}+{{A}_{e}}\left( {{p}_{e}}-{{p}_{a}} \right)$ （2-4）

对比上述两种推力计算公式的推导方法可见，前者能够直观地看出发动机推力形成的实质，即火箭发动机的推力是发动机工作时内、外表面所受气体压力的合力。但这种方法比较繁琐，而且需要预先知道燃气的压力分布；后者推导方法简单，但不能揭露推力形成的本质。

由推力基本计算公式（2-4）可见，发动机的推力与推进剂的类型无关，推导过程中亦没有涉及到发动机采用的是固体推进剂还是液体推进剂，所以计算式（2-4）适用于各种类型的火箭发动机。

二、喷气速度

喷气速度

推力基本计算公式（2-4）中的u_e是喷气速度（单位是m/s），喷气速度就是喷管出口截面上气流通过的速度。根据前面的假定，燃气在喷管中的流动是完全气体的一维定常等熵流动过程。将气体绝能流动能量方程用于喷管进、出口截面（即图2-1中的c-c、e-e截面），则有：

_{${{H}_{c}}+\frac{u_{c}^{2}}{2}={{H}_{e}}+\frac{u_{e}^{2}}{2}$}（2-9）

由于${{u}_{c}}<<{{u}_{e}}$，因此常假定喷管入口处气流速度${{u}_{c}}\approx 0$，所以上式可化为：

${{H}_{c}}={{H}_{e}}+\frac{u_{e}^{2}}{2}$

因此有：

${{u}_{e}}=\sqrt{2({{H}_{c}}-{{H}_{e}})}=\sqrt{\frac{2k}{k-1}R{{T}_{f}}\left( 1-\frac{{{T}_{e}}}{{{T}_{c}}} \right)}\ =\sqrt{\frac{2k}{k-1}\frac{{{R}_{0}}}{{\bar{m}}}{{T}_{f}}\left[ 1-{{\left( \frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}} \right)}^{\frac{k-1}{k}}} \right]}\ $ （2-10）

式中，$\bar{m}$——燃气平均分子量（kg/kmol或g/mol）；${{R}_{0}}$——通用气体常数（${{R}_{0}}=8.314$kJ/（kmol·K））；k——比热比，T_f——推进剂绝热燃烧温度（K）。

由式（2-10）可见，影响喷气速度u_e的因素包括两个方面，即推进剂的性能（反映在燃烧温度T_f、比热比k、燃气平均分子量$\bar{m}$）和喷管的膨胀压强比$\frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}}$。

2．极限喷气速度

由式（2-10）可见，当燃烧产物的热力学特性已定时，喷气速度只与喷管的膨胀压强比$\frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}}$有关。膨胀压强比$\frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}}$的大小反映了燃气在喷管中的膨胀程度，膨胀压强比$\frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}}$越小，燃气膨胀进行得越充分，有更多的热能转换为动能，可以达到更高的喷气速度，而极限喷气速度是为了说明燃气热能的利用程度而引入的一个概念：即假定喷管出口截面处燃气压强${{p}_{e}}=0$，这时燃气的全部热能都转换为喷气的动能，喷气速度达到极限值，称为极限喷气速度，用u_L表示：

${{u}_{L}}=\sqrt{2{{H}_{c}}}=\sqrt{2{{c}_{p}}{{T}_{f}}}=\sqrt{\frac{2k}{k-1}R{{T}_{f}}}\ \ $

极限喷气速度u_L是某种推进剂可提供的喷气速度的极限值，发动机工作时的实际喷气速度u_e永远达不到极限喷气速度，而$\frac{{{u}_{e}}}{{{u}_{L}}}=\sqrt{1-{{\left( \frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}} \right)}^{\frac{k-1}{k}}}}\ $，其中的$1-{{\left( \frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}} \right)}^{\frac{k-1}{k}}}$表示了喷管膨胀加速过程中热能利用的程度，数值上相当于喷管热动能转换的效率，即热能利用效率，按照热力学第二定律，热能利用效率是不可能达到1的，因而$\frac{{{u}_{e}}}{{{u}_{L}}}$值永远小于1。一般火箭发动机的$\frac{{{u}_{e}}}{{{u}_{L}}}$值约在0.65~0.75之间。

三、有关推力的讨论

从（2-4）式可清楚地看出，推力由两部分组成：

第一项$\dot{m}{{u}_{e}}$称为动推力，其大小取决于喷管质量流率$\dot{m}$和喷气速度u_e。它是推力的主要部分。通常占推力的90%以上，所以增大推力的主要途径是加大质量流率、提高喷气速度。

在火箭发动机设计中，为了经济有效地使用推进剂，使化学能更多的转换为燃气的动能，要尽可能的提高喷气速度，使其保持在较高的水平上。在此基础上，要想得到不同的发动机推力，主要靠改变质量流率$\dot{m}$。这样，喷管的燃气质量流率$\dot{m}$就成了发动机工作中的一个重要参数。

第二项${{A}_{e}}\left( {{p}_{e}}-{{p}_{a}} \right)$称为静推力，它是由喷管出口截面处燃气压强p_e和外界环境大气压强p_a不平衡产生的。不平衡的程度与喷管的工作状态（欠膨胀、完全膨胀、过膨胀）有关，即与喷管扩张面积比${{A}_{e}}/{{A}_{t}}$以及发动机的工作高度有关。对于设计定型的发动机（即：喷管结构尺寸、发动机工作参数等已定型的发动机），静推力随飞行高度的增加而增加。

下面是几个常用的、与推力有关的特征参数：

1．真空推力

从推力基本关系式（2-4）中可以看出，对于设计定型的发动机，随着发动机工作高度的增加，外界大气压力p_a逐渐减小，推力将随之增加。这是火箭发动机推力的一个重要特点。当发动机在真空中工作时p_a=0，这时的推力就叫做真空推力。若用F_V表示，则：

${{F}_{V}}=\dot{m}{{u}_{e}}+{{A}_{e}}{{p}_{e}}$ （2-11）

由式（2-11）可见，真空推力只取决于发动机内部的工作过程。对于设计定型的发动机，真空推力就是发动机可能产生的最大推力。若已知真空推力，则可用下式表示不同高度上的推力：

$F={{F}_{V}}-{{A}_{e}}{{p}_{a}}$ （2-12）

2．地面推力

由式（2-4）可见，火箭发动机的推力与飞行器的飞行速度等没有关系，因此火箭发动机的推力大小一般可以通过发动机地面热试车来测定，所以经常用到地面推力。若用F₀表示，则：

${{F}_{0}}=\dot{m}{{u}_{e}}+{{A}_{e}}({{p}_{e}}-{{p}_{a0}})$ （2-13）

式中p_a0为海平面的大气压强。

不同高度上的推力可用地面推力F₀来表示：

$F={{F}_{0}}+{{A}_{e}}({{p}_{a0}}-{{p}_{a}})$ （2-14）

3．特征推力

当喷管出口处的燃气压强p_e和外界大气压强p_a正好相等时，即p_e=p_a时，（2-4）式可化简为：

${{F}^{0}}=\dot{m}{{u}_{e}}$ （2-15）

式中F⁰称为特征推力。通常把p_e=p_a的状态叫做喷管的设计状态（此时喷管的工作状态为完全膨胀状态），设计状态下产生的推力叫做特征推力，或称最佳推力。在火箭发动机的工作过程中，工作高度是在变化的，大气压强p_a也随之变化，因此，在一般情况下，${{p}_{e}}\ne {{p}_{a}}$，仅在某一特定高度上才会出现p_e=p_a的情况。这一特定的高度，通常称为火箭发动机的设计高度。对于工作于设计高度上的发动机，特征推力是该发动机的最大推力。

4．等效喷气速度：

为便于分析，可将推力计算公式（2-4）改写为：

$F=\dot{m}\cdot \left[ {{u}_{e}}+\frac{{{A}_{e}}}{{\dot{m}}}({{p}_{e}}-{{p}_{a}}) \right]$

令 ${{u}_{ef}}={{u}_{e}}+\frac{{{A}_{e}}}{{\dot{m}}}({{p}_{e}}-{{p}_{a}})$ （2-16）

则 $F=\dot{m}{{u}_{ef}}$ （2-17）

这里u_ef称为等效喷气速度，即把火箭发动机推力计算式（2-4）中的动、静推力全部等效为动推力时所对应的喷气速度，因此u_ef是一个折算速度。

§2.2 喷管质量流率与特征速度

一、喷管质量流率

众所周知，在发动机稳定工作条件下，通过喷管任意截面的每秒燃气质量流率相等，并等于推进剂的每秒消耗率。超声速拉瓦尔喷管喉部为临界截面，临界截面处气流速度恰为声速，是一个特征截面，因此取这个截面上的气流参数计算喷管质量流率。

根据质量守恒方程，

$\dot{m}=\rho uA={{\rho }_{t}}{{u}_{t}}{{A}_{t}}$=常数（2-18）

其中下角标t表示喷管喉部临界截面。

参照喷气速度的计算式（2-10），可推出喷管中任一截面的燃气流速为：

$u=\sqrt{{{\frac{2k}{k-1}}_{{}}}R{{T}_{f}}\left[ 1-{{\left( \frac{p}{{{p}_{c}}} \right)}^{\frac{k-1}{k}}} \right]}$

将喷管中任一截面的燃气流速u代入（2-18）式中，并根据等熵过程方程 $\frac{\rho }{{{\rho }_{c}}}={{(\frac{p}{{{p}_{c}}})}^{\frac{1}{k}}}$和状态方程$p=\rho RT$对式（2-18）进行整理，则有：

$\dot{m}=A\sqrt{\frac{2k}{k-1}{{p}_{c}}{{\rho }_{c}}\left[ {{\left( \frac{p}{{{p}_{c}}} \right)}^{\frac{2}{k}}}-{{\left( \frac{p}{{{p}_{c}}} \right)}^{\frac{k+1}{k}}} \right]}$ （2-19）

通过喷管任意截面的每秒质量流率$\dot{m}$虽然不变，但通过喷管单位截面的质量流率$\frac{{\dot{m}}}{A}$却是变化的（因为拉瓦尔喷管是一变截面通道），且在喷管喉部截面上$\frac{{\dot{m}}}{A}$值最大，在超临界条件下，在该截面上流速达到临界声速${{a}_{t}}$，相应的压强称为临界压强p_t。

为了求得临界截面上气体的状态参数，可按照喷管质量流率公式（2-19）将$\frac{{\dot{m}}}{A}$对$\frac{p}{{{p}_{c}}}$求导，并令其导数为零，于是得：

$\frac{2}{k}{{\left( \frac{p}{{{p}_{c}}} \right)}^{\frac{2}{k}-1}}-\frac{k+1}{k}{{\left( \frac{p}{{{p}_{c}}} \right)}^{\frac{k+1}{k}-1}}=0$

因为临界截面处p=p_t，由此可得：

$\frac{{{p}_{t}}}{{{p}_{c}}}={{\left( \frac{2}{k+1} \right)}^{\frac{k}{k-1}}}$ （2-20）

将式（2-20）代入喷气速度的计算式（2-10），可得喷管喉部截面的临界速度为：

${{u}_{t}}=\sqrt{\frac{2k}{k+1}R{{T}_{f}}}$

根据等熵过程方程和气体状态方程有：

${{\rho }_{t}}={{\rho }_{c}}{{\left( \frac{2}{k+1} \right)}^{\frac{1}{k-1}}}=\frac{{{p}_{c}}}{R{{T}_{f}}}{{\left( \frac{2}{k+1} \right)}^{\frac{1}{k-1}}}$

将u_t、ρ_t代入式（2-18）中，则有：

$\dot{m}=\frac{{{p}_{c}}}{R{{T}_{f}}}{{\left( \frac{2}{k+1} \right)}^{\frac{1}{k-1}}}\cdot \sqrt{\frac{2k}{k+1}R{{T}_{f}}}\cdot {{A}_{t}} $

$ \ \ \ =\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{R{{T}_{f}}}}{{\left( \frac{2}{k+1} \right)}^{\frac{k+1}{2(k-1)}}}\cdot {{p}_{c}}{{A}_{t}} $

为了方便起见，令：

$\Gamma =\sqrt{k}{{\left( \frac{2}{k+1} \right)}^{\frac{k+1}{2(k-1)}}}$

最后得： $\dot{m}=\frac{\Gamma }{\sqrt{R{{T}_{f}}}}{{p}_{c}}{{A}_{t}}$ （2-21）

Г值只是比热比k的函数，其值列于表2-1。

表2-1 数值表

1.14

1.15

1.16

1.17

1.18

1.19

1.20

1.21

1.22

0.6366

0.6386

0.6407

0.6426

0.6446

0.6466

0.6485

0.6505

0.6524

1.23

1.24

1.25

1.26

1.27

1.28

1.29

1.30

1.31

0.6543

0.6562

0.6581

0.6599

0.6618

0.6636

0.6655

0.6674

0.6691

从（2-21）式可以看出，喷管质量流率$\dot{m}$与喷管入口滞止压强p_c和临界截面积A_t成正比，而与燃烧产物的$\sqrt{R{{T}_{f}}}$成反比，比热比k值的影响比较小。

为了计算方便，把影响比较小的和变化不太大的值，综合为一个常数，（2-21）式可以写为：

$\dot{m}={{C}_{D}}{{P}_{c}}{{A}_{t}}$

式中，C_D——流量系数，单位是（m^-1·s）或（s/m），其定义式为：

${{C}_{D}}=\frac{\Gamma }{\sqrt{R{{T}_{f}}}}=\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{R{{T}_{f}}}}{{\left( \frac{2}{k+1} \right)}^{\frac{k+1}{2(k-1)}}}$ （2-22）

由式（2-22）可见，流率系数反映了燃烧产物的热力学性质，主要由推进剂组分决定。

二、特征速度

在火箭发动机理论中，应用流量系数C_D的倒数c*似乎更为方便，意义也更明确一些。c*的定义是：

_{${{c}^{*}}=\frac{1}{{{C}_{D}}}=\frac{\sqrt{R{{T}_{f}}}}{\Gamma }=\frac{1}{\Gamma }\sqrt{\frac{{{R}_{0}}}{{\bar{m}}}{{T}_{f}}}$}

因为c*具有速度的量纲（m/s），故把c*叫做特征速度。它的值取决于推进剂燃烧产物的热力学特性，即与燃烧温度、燃烧产物的气体常数（或平均分子量$\bar{m}$）和比热比值有关，而与喷管喉部下游的流动过程无关。因此它是度量燃烧室中推进剂化学能转变为热能的有效程度的参数，即反映燃烧过程的参数。c*值越大，表明推进剂的能量越高，相应的喷气速度也越高。

图2-3 c*与$\sqrt{\frac{{{T}_{f}}}{{\bar{m}}}}$和k的关系曲线

图2-3表示特征速度c*随$\sqrt{{{T}_{f}}/\bar{m}}$和k值变化的关系。由图可以看出，c*对$\sqrt{{{T}_{f}}/\bar{m}}$的变化很敏感，而对k值的变化不太敏感。从能量角度来看，我们希望推进剂的c*值越大越好。一般双基推进剂的特征速度c*约为1400米/秒左右，复合推进剂的特征速度c*更高一些，约为1500~1800米/秒左右。

§2.3 推力系数

一、推力系数

将喷管质量流率（2-21）式和喷气速度（2-10）式分别代入推力计算公式：

$F=\dot{m}{{u}_{e}}+{{A}_{e}}({{p}_{e}}-{{p}_{a}})$ （2-4）

整理后可得：

$ F=\frac{\Gamma }{\sqrt{R{{T}_{f}}}}{{p}_{c}}{{A}_{t}}\ \sqrt{\frac{2k}{k-1}R{{T}_{f}}\left[ 1-{{\left( \frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}} \right)}^{\frac{k-1}{k}}} \right]}+{{A}_{e}}({{p}_{e}}-{{p}_{a}}) $

$ \ \ \ ={{p}_{c}}{{A}_{t}}\left[ \Gamma \sqrt{\frac{2k}{k-1}\left[ 1-{{\left( \frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}} \right)}^{\frac{k-1}{k}}} \right]}+\frac{{{A}_{e}}}{{{A}_{t}}}\left( \frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}}-\frac{{{p}_{a}}}{{{p}_{c}}} \right) \right] $

令

${{C}_{F}}=\Gamma \sqrt{\frac{2k}{k-1}\left[ 1-{{\left( \frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}} \right)}^{\frac{k-1}{k}}} \right]}+\frac{{{A}_{e}}}{{{A}_{t}}}\left( \frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}}-\frac{{{p}_{a}}}{{{p}_{c}}} \right)$ （2-23）

便得

$F={{C}_{F}}{{p}_{c}}{{A}_{t}}$ （2-24）

这里C_F称作推力系数，它是一个无因次系数，在面积比${{A}_{e}}/{{A}_{t}}$或压强比${{p}_{c}}/{{p}_{a}}$较大的变化范围内其数值约在1~2之间，初步估算发动机推力时常取C_F=1.5。实质上，推力系数就是一个放大倍数，即由于燃气在喷管中膨胀而使推力增大为（p_cA_t）的C_F倍。C_F值越大，说明燃气膨胀愈完善。因此，它是表征喷管性能的参数。

由式（2-23）可见，影响C_F的因素有比热比k、压强比${{p}_{e}}/{{p}_{c}}$、${{p}_{a}}/{{p}_{c}}$和面积比${{A}_{e}}/{{A}_{t}}$。对常用的固体推进剂来说，k值变化不大；在一般情况下，${{p}_{a}}<<{{p}_{c}}$，因而（$\frac{{{A}_{e}}}{{{A}_{t}}}\cdot \frac{{{p}_{a}}}{{{p}_{c}}}$）在数值上是比较小的，因此可以说，影响推力系数C_F的主要因素是膨胀压强比${{p}_{e}}/{{p}_{c}}$和喷管扩张面积比${{A}_{e}}/{{A}_{t}}$。

二、喷管面积比$\frac{{{A}_{e}}}{{{A}_{t}}}$与压强比$\frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}}$

根据超声速喷管流动理论，只要喷管内不产生激波和气流分离现象，当燃气比热比k一定时，膨胀压强比${{p}_{e}}/{{p}_{c}}$仅取决于喷管扩张面积比${{A}_{e}}/{{A}_{t}}$。下面就来讨论喷管扩张面积比${{A}_{e}}/{{A}_{t}}$和膨胀压强比${{p}_{e}}/{{p}_{c}}$之间关系。

根据连续方程，通过喷管每一个截面的质量流率都应该相等。即：

$\dot{m}={{\rho }_{t}}{{u}_{t}}{{A}_{t}}={{\rho }_{e}}{{u}_{e}}{{A}_{e}}$

因此有：

$\frac{{{A}_{e}}}{{{A}_{t}}}=\frac{{{\rho }_{t}}{{u}_{t}}}{{{\rho }_{e}}{{u}_{e}}}$ （2-25）

而根据喷管等熵流动理论，有：

${{\rho }_{t}}={{\rho }_{c}}{{\left( \frac{2}{k+1} \right)}^{\frac{1}{k-1}}}$

${{u}_{t}}={{a}_{t}}=\sqrt{\frac{2k}{k+1}R{{T}_{f}}}$

${{\rho }_{e}}={{\rho }_{c}}{{\left( \frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}} \right)}^{\frac{1}{k}}}$

${{u}_{e}}=\sqrt{\frac{2k}{k-1}R{{T}_{f}}\left[ 1-{{\left( \frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}} \right)}^{\frac{k-1}{k}}} \right]}$

将以上各式代入式（2-25）即可得到：

$\frac{{{A}_{e}}}{{{A}_{t}}}=\frac{\sqrt{k}{{\left( \frac{2}{k+1} \right)}^{\frac{k+1}{2(k-1)}}}{{\rho }_{c}}\sqrt{R{{T}_{f}}}}{{{\left( \frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}} \right)}^{\frac{1}{k}}}{{\rho }_{c}}\sqrt{\frac{2k}{k-1}R{{T}_{f}}\left[ 1-{{\left( \frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}} \right)}^{\frac{k-1}{k}}} \right]}}$

又因：

$\Gamma =\sqrt{k}{{\left( \frac{2}{k+1} \right)}^{\frac{k+1}{2(k-1)}}}$

最后得：

$\frac{{{A}_{e}}}{{{A}_{t}}}=\frac{\Gamma }{{{\left( \frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}} \right)}^{\frac{1}{k}}}\sqrt{\frac{2k}{k-1}\left[ 1-{{\left( \frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}} \right)}^{\frac{k-1}{k}}} \right]}}\ =\frac{{{\left( \frac{2}{k+1} \right)}^{\frac{1}{k-1}}}\sqrt{\frac{k-1}{k+1}}}{\sqrt{{{\left( \frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}} \right)}^{\frac{2}{k}}}-{{\left( \frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}} \right)}^{\frac{k+1}{k}}}}}$ （2-26）

式（2-26）是一个非常重要的公式，它把膨胀压强比p_e/p_c和喷管几何参数A_e/A_t联系起来了。在超音速喷管中，对应于一定的喷管面积比A_e/A_t就有一个确定的膨胀压强比p_e/p_c。反过来也一样，对应于一定的膨胀压强比p_e/p_c就有一个相应的面积比A_e/A_t。

对于几何结构一定的喷管（A_e/A_t一定），只要喷管内不产生激波和气流分离现象，在一定燃气比热比k值下，A_e/A_t就由（2-26）式确定了。

图2-4给出了不同燃气比热比k值下的面积比A_e/A_t与膨胀压强比p_e/p_c（或压强比p_c/p_e）的关系曲线。由图可以看出，随着膨胀压强比p_e/p_c的减小（即压强比p_c/p_e的增大），对应的A_e/A_t也增大，从而使喷管的尺寸和质量增加。

图2-4 面积比$\frac{{{A}_{e}}}{{{A}_{t}}}$与压强比$\frac{{{p}_{c}}}{{{p}_{e}}}$的关系

如果用喷管任一截面上的压强比$\frac{p}{{{p}_{c}}}$代替$\frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}}$，则可由（2-26）式计算相应截面上的喷管面积比$\frac{A}{{{A}_{t}}}$。必须强调指出，式（2-26）不论是喷管超声速段还是亚声速段都是适用的。对于不同的比热比k值，喷管面积比$\frac{A}{{{A}_{t}}}$和压强比$\frac{p}{{{p}_{c}}}$的关系，列于表2-2和表2-3中。

三、C_F与$\frac{{{A}_{e}}}{{{A}_{t}}}\sim \frac{{{p}_{a}}}{{{p}_{c}}}$的关系

当k值一定时，利用$\frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}}$与$\frac{{{A}_{e}}}{{{A}_{t}}}$的关系及式（2-23），可以得到不同压强比$\frac{{{p}_{c}}}{{{p}_{a}}}$下的推力系数C_F与面积比$\frac{{{A}_{e}}}{{{A}_{t}}}$的关系，如图2-5所示。

由图2-5可看出，对于每一个压强比$\frac{{{p}_{c}}}{{{p}_{a}}}$来说，推力系数C_F随$\frac{{{A}_{e}}}{{{A}_{t}}}$的变化基本相同。在给定的某个压强比$\frac{{{p}_{c}}}{{{p}_{a}}}$下，随着$\frac{{{A}_{e}}}{{{A}_{t}}}$的增大，C_F先增大后减小，中间经过一个最高点。这反映了在给定的某个压强比$\frac{{{p}_{c}}}{{{p}_{a}}}$下，推力系数随喷管膨胀状态（欠膨胀、完全膨胀、过膨胀）的变化而变化，且在喷管完全膨胀状态下具有最大推力系数或者最佳推力系数，而与最大或最佳推力系数对应的喷管膨胀面积比$\frac{{{A}_{e}}}{{{A}_{t}}}$称为最佳面积比。这个最佳面积比就是在给定的某个压强比$\frac{{{p}_{c}}}{{{p}_{a}}}$下，喷管处于设计状态（即完全膨胀状态）的面积比。必须注意，对于每一个给定的压强比$\frac{{{p}_{c}}}{{{p}_{a}}}$都有一个最大推力系数和对应的最佳面积比。

图2-5 推力系数C_F 与面积比$\frac{{{A}_{e}}}{{{A}_{t}}}$的关系曲线（k=1.2）

表2-2 亚声速段面积比A/A_t和压强比p/p_c的关系

d/d_t A/A_t

1.20

1.21

1.22

1.23

1.24

1.25

1.26

1.27

1.28

1.29

1.30

5.0

4.5

25.00

20.25

1.000

0.999

1.000

0.999

1.000

0.999

1.000

0.999

1.000

0.999

1.000

0.999

1.000

0.999

1.000

0.999

1.000

0.999

1.000

0.999

1.000

0.999

4.0

3.5

16.00

12.25

0.999

3.0

2.9

9.00

8.41

0.997

2.8

2.7

7.84

7.29

0.997

0.996

0.997

0.996

0.997

0.996

0.997

0.996

2.6

2.5

6.76

6.25

0.995

0.994

0.995

0.994

0.995

0.994

0.995

0.994

0.995

0.994

0.995

0.994

0.995

0.994

0.995

0.994

2.4

2.3

5.76

5.29

0.994

0.992

0.994

0.992

0.994

0.992

0.993

0.992

0.993

0.992

0.993

0.992

0.993

0.992

0.993

0.992

0.993

0.992

0.993

0.992

0.993

0.992

2.2

2.1

4.84

4.41

0.991

0.989

0.991

0.989

0.991

0.989

0.991

0.989

0.991

0.989

0.991

0.989

0.991

0.989

0.991

0.989

0.990

0.989

0.990

0.988

0.990

0.988

2.0

1.9

4.00

3.61

0.987

0.984

0.987

0.983

0.986

0.983

0.986

0.983

0.986

0.983

0.986

0.983

0.986

0.983

0.986

0.983

0.986

0.983

0.987

0.983

0.986

0.983

1.8

1.7

3.24

2.89

0.979

0.974

0.979

0.974

0.979

0.974

0.979

0.974

0.979

0.973

0.979

0.973

0.979

0.973

0.979

0.973

0.978

0.973

0.978

0.973

0.978

0.972

1.6

1.5

2.56

2.25

0.967

0.956

0.966

0.956

0.966

0.956

0.966

0.955

0.966

0.955

0.966

0.955

0.965

0.955

0.965

0.954

0.965

0.954

0.965

0.954

0.965

0.954

1.4

1.3

1.96

1.69

0.941

0.918

0.941

0.918

0.940

0.917

0.940

0.917

0.940

0.916

0.939

0.916

0.939

0.915

0.939

0.915

0.938

0.914

0.938

0.914

0.938

0.913

1.2

1.1

1.44

1.21

0.881

0.814

0.880

0.813

0.880

0.812

0.879

0.810

0.878

0.810

0.878

0.809

0.877

0.808

0.877

0.807

0.876

0.806

0.875

0.805

0.875

0.804

表2-3 超声速段面积比A/At和压强比p/p_c的关系

d/d_t A/At

1.20

1.21

1.22

1.23

1.24

1.25

1.26

1.27

1.28

1.29

1.30

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

1.00

1.21

1.44

1.69

1.96

2.25

2.56

2.89

3.24

3.61

0.564

0.293

0.209

0.159

0.125

0.101

0.0828

0.0692

0.0586

0.0502

0.563

0.291

0.207

0.157

0.123

0.0992

0.0815

0.0681

0.0576

0.0493

0.561

0.289

0.205

0.155

0.122

0.0978

0.0803

0.0670

0.0566

0.0484

0.559

0.287

0.203

0.153

0.120

0.0964

0.0791

0.0659

0.0557

0.0475

0.557

0.285

0.201

0.152

0.119

0.0951

0.0779

0.0648

0.0547

0.0467

0.555

0.283

0.199

0.150

0.117

0.0938

0.0767

0.0638

0.0538

0.0458

0.553

0.281

0.197

0.148

0.116

0.0925

0.0756

0.0628

0.0528

0.0450

0.551

0.279

0.196

0.147

0.114

0.0910

0.0744

0.0618

0.0519

0.0442

0.549

0.277

0.194

0.145

0.113

0.0900

0.0733

0.0608

0.0511

0.0434

0.548

0.275

0.192

0.143

0.111

0.0887

0.0722

0.0598

0.0502

0.0426

0.546

0.273

0.190

0.142

0.110

0.0875

0.0712

0.0589

0.0493

0.0419

2.0

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

4.00

4.41

4.84

5.29

5.76

6.25

6.76

7.29

7.84

8.41

0.0435

0.0379

0.0333

0.0295

0.0262

0.0235

0.0211

0.0191

0.0173

0.0157

0.0426

0.0372

0.0326

0.0288

0.0256

0.0229

0.0206

0.0186

0.0168

0.0153

0.0418

0.0364

0.0319

0.0282

0.0251

0.0224

0.0201

0.0181

0.0164

0.0149

0.0410

0.0357

0.0313

0.0276

0.0245

0.0219

0.0196

0.0177

0.0160

0.0146

0.0402

0.0350

0.0306

0.0270

0.0240

0.0214

0.0192

0.0173

0.0156

0.0142

0.0395

0.0343

0.0300

0.0264

0.0234

0.0209

0.0187

0.0768

0.0152

0.0138

0.0387

0.0336

0.0294

0.0259

0.0229

0.0204

0.0183

0.0164

0.0149

0.0135

0.0380

0.0329

0.0288

0.0253

0.0224

0.0199

0.0178

0.0160

0.0145

0.0131

0.0373

0.0323

0.0282

0.0248

0.0219

0.0195

0.0174

0.0157

0.0141

0.0128

0.0366

0.0316

0.0276

0.0242

0.0214

0.0191

0.0170

0.0153

0.0138

0.0125

0.0359

0.0310

0.0270

0.0237

0.0210

0.0186

0.0166

0.0149

0.0134

0.0122

表2-3续

d/d_t A/At

1.20

1.21

1.22

1.23

1.24

1.25

1.26

1.27

1.28

1.29

1.30

3.0

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

3.9

9.00

9.61

10.24

10.39

11.56

12.25

12.96

13.69

14.44

15.21

0.0144

0.0132

0.0121

0.0112

0.0103

0.0095

0.0089

0.0082

0.0077

0.0072

0.0140

0.0128

0.0118

0.0108

0.0100

0.0093

0.0086

0.0080

0.0075

0.0070

0.0136

0.0125

0.0114

0.0105

0.0097

0.0090

0.0084

0.0078

0.0072

0.0068

0.0129

0.0121

0.0111

0.0102

0.0095

0.0087

0.0081

0.0075

0.0070

0.0065

0.0129

0.0118

0.0108

0.0100

0.0092

0.0085

0.0079

0.0073

0.0068

0.0063

0.0126

0.0115

0.0105

0.0097

0.0089

0.0082

0.0076

0.0071

0.0066

0.0061

0.0123

0.0112

0.0103

0.0094

0.0087

0.0080

0.0074

0.0069

0.0064

0.0060

0.0119

0.0109

0.0100

0.0092

0.0084

0.0078

0.0072

0.0067

0.0062

0.0058

0.0116

0.0106

0.0097

0.0089

0.0082

0.0076

0.0070

0.0065

0.0060

0.0056

0.0113

0.0103

0.0094

0.0087

0.0080

0.0073

0.0068

0.0063

0.0058

0.0054

0.0110

0.0101

0.0092

0.0084

0.0077

0.0071

0.0066

0.0061

0.0057

0.0053

4.0

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

4.8

4.9

5.0

16.00

16.81

17.64

18.49

19.36

20.25

21.16

22.09

23.04

24.01

25.00

0.0067

0.0063

0.0059

0.0056

0.0052

0.0049

0.0047

0.0044

0.0042

0.0040

0.0038

0.0065

0.0061

0.0057

0.0054

0.0051

0.0048

0.0045

0.0043

0.0040

0.0038

0.0036

0.0063

0.0059

0.0055

0.0052

0.0049

0.0046

0.0044

0.0041

0.0039

0.0037

0.0035

0.0061

0.0057

0.0054

0.0050

0.0047

0.0045

0.0042

0.0040

0.0038

0.0036

0.0034

0.0059

0.0055

0.0052

0.0049

0.0046

0.0043

0.0041

0.0038

0.0036

0.0034

0.0033

0.0057

0.0054

0.0050

0.0047

0.0044

0.0042

0.0039

0.0037

0.0035

0.0033

0.0031

0.0056

0.0052

0.0049

0.0046

0.0043

0.0040

0.0038

0.0036

0.0034

0.0032

0.0030

0.0054

0.0050

0.0047

0.0044

0.0041

0.0039

0.0037

0.0035

0.0033

0.0031

0.0029

0.0052

0.0049

0.0046

0.0043

0.0040

0.0038

0.0035

0.0033

0.0032

0.0030

0.0028

0.0051

0.0047

0.0044

0.0041

0.0039

0.0036

0.0034

0.0032

0.0030

0.0029

0.0027

0.0049

0.0046

0.0043

0.0040

0.0038

0.0035

0.0033

0.0031

0.0029

0.0028

0.0026

推力系数关系式（2-23）适用于喷管的各种工作状态，即设计状态（完全膨胀状态）和非设计状态（欠膨胀状态和过膨胀状态），但要求在喷管内部不产生激波和分离现象。如果喷管过膨胀达到一定的程度，喷管中就会出现激波和分离现象，此时（2-23）式就不适用了。因此，图2-5中的曲线不再往右边延伸。

从图2-5还可看出，推力系数C_F与面积比$\frac{{{A}_{e}}}{{{A}_{t}}}$的曲线随压强比$\frac{{{p}_{c}}}{{{p}_{a}}}$的增加而向上移动，这说明推力系数是随着发动机工作高度的增加而增大的。从发动机的实际工作情况来看，如果燃烧室工作压强不变，$\frac{{{p}_{c}}}{{{p}_{a}}}$值的增加就意味着p_a减小，也就是发动机的工作高度增加，使（$\frac{{{A}_{e}}}{{{A}_{t}}}\cdot \frac{{{p}_{a}}}{{{p}_{c}}}$）的值减小，从而使C_F增大。当发动机在真空中（外界大气压强p_a=0）工作时，推力达最大值，推力系数同样也达最大值。一般称它为真空推力系数。用C_FV表示。

${{C}_{FV}}=\frac{{{F}_{V}}}{{{p}_{c}}{{A}_{t}}}=\frac{\dot{m}{{u}_{e}}}{{{p}_{c}}{{A}_{t}}}+\frac{{{A}_{e}}}{{{A}_{t}}}\frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}}$ （2-27）

真空推力系数列于表2-4中。

任意高度的推力系数和真空推力系数的关系为：

${{C}_{F}}={{C}_{FV}}-\frac{{{A}_{e}}}{{{A}_{t}}}\frac{{{p}_{a}}}{{{p}_{c}}}$ （2-28）

在（2-23）式中，当喷管在完全膨胀状态下工作，p_e=p_a，推力系数为：

$C_{F}^{0}=\Gamma \sqrt{\frac{2k}{k-1}\left[ 1-{{\left( \frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}} \right)}^{\frac{k-1}{k}}} \right]}$ （2-29）

$C_{F}^{0}$通常称为特征推力系数。实质上，特征推力系数$C_{F}^{0}$就是给定压强比$\frac{{{p}_{c}}}{{{p}_{a}}}$下的最大推力系数。

特征推力系数值列于表2-5和表2-6。

发动机工作于任意高度的推力系数C_F与其特征推力系数的关系是：

${{C}_{F}}=C_{F}^{0}+\frac{{{A}_{e}}}{{{A}_{t}}}\left( \frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}}-\frac{{{p}_{a}}}{{{p}_{c}}} \right)$ （2-30）

特征推力系数$C_{F}^{0}$可查表得出，再经过简单的计算就可求得发动机工作在其它情况下的推力系数。

必须指出，$C_{F}^{0}$是p_e=p_a时的推力系数，所以仍与外界压强有关，当p_e=p_a时，（2-29）式也可以写成

$C_{F}^{0}=\Gamma \sqrt{\frac{2k}{k-1}\left[ 1-{{\left( \frac{{{p}_{a}}}{{{p}_{c}}} \right)}^{\frac{k-1}{k}}} \right]}$ （2-31）

真空推力系数完全取决于喷管结构和比热比k值，所以使用真空推力系数似C_FV乎更方便一些。

当火箭发动机的飞行高度变化时，外界压强p_a随之变化，因而p_c/p_a也随高度变化。由图2-5可知，在不同的高度下，都有一个最大推力系数，把不同高度下的最大推力系数诸点连起来便得到一条最大推力系数曲线。从最大推力系数曲线看出，最大推力系数值是随高度的增加而增大的，而最大推力系数所对应的最佳面积比也是随高度的增加而增大的。由此可见，当发动机工作高度变化时，如果始终要获得最大推力系数，必须让喷管面积比随高度变化，使喷管在任何高度上都处于设计状态（即完全膨胀状态）。但是这种可变面积比的喷管在结构上是难以实现的，所以目前仍然广泛使用固定面积比的喷管。因此，在发动机设计中，必须根据发动机的工作高度范围选择一个合适的喷管面积比Ae/At。而对于一定的Ae/At来说，只有在某一个设计高度时才能有一个最大推力系数。设计高度越高，喷管越长越大，这样往往造成喷管的尺寸和质量超过规定的限度。因此，在确定喷管面积比时还应考虑到喷管的尺寸和质量的限制，不能单纯地追求最大的推力系数。

表2-4 真空推力系数C_FV值

d/dt A/At

1.20

1.21

1.22

1.23

1.24

1.25

1.26

1.27

1.28

1.29

1.30

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

1.00

1.21

1.44

1.69

1.96

2.25

2.56

2.89

3.24

3.61

1.2418

1.3208

1.3775

1.4229

1.4608

1.4932

1.5215

1.5465

1.5688

1.5889

1.2432

1.3217

1.3779

1.4228

1.4603

1.4923

1.5202

1.5448

1.5667

1.5864

1.2445

1.3225

1.3784

1.4228

1.4596

1.4914

1.5189

1.5431

1.5646

1.5840

1.2459

1.3235

1.3788

1.4228

1.4594

1.4905

1.5176

1.5414

1.5626

1.5817

1.2472

1.3244

1.3792

1.4228

1.4589

1.4897

1.5164

1.5398

1.5607

1.5794

1.2485

1.3253

1.3797

1.4228

1.4585

1.4888

1.5151

1.5382

1.5587

1.5771

1.2499

1.3262

1.3801

1.4228

1.4581

1.4880

1.5139

1.5367

1.5568

1.5749

1.2512

1.3271

1.2805

1.4228

1.4577

1.4872

1.5128

1.5352

1.5550

1.5727

1.2525

1.3280

1.3810

1.4228

1.4573

1.4865

1.5117

1.5337

1.5532

1.5706

1.2538

1.3289

1.3814

1.4229

1.4569

1.4857

1.5105

1.5322

1.5514

1.5685

1.2552

1.3298

1.3819

1.4229

1.4566

1.4850

1.5095

1.5308

1.5497

1.5665

2.0

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

4.00

4.41

4.84

5.29

5.76

6.25

6.76

7.29

7.84

8.41

1.6071

1.6238

1.6391

1.6532

1.6663

1.6785

1.6898

1.7005

1.7102

1.7199

1.6043

1.6207

1.6356

1.6495

1.6623

1.6742

1.6853

1.6957

1.7054

1.7146

1.5999

1.6176

1.6323

1.6458

1.6583

1.6700

1.6808

1.6909

1.7005

1.7094

1.5939

1.6146

1.6290

1.6422

1.6545

1.6658

1.6764

1.6863

1.6956

1.7023

1.5963

1.6117

1.6324

1.6387

1.6507

1.6618

1.6722

1.6818

1.6909

1.6994

1.5937

1.6088

1.6226

1.6353

1.6470

1.6579

1.6680

1.6774

1.6862

1.6945

1.5912

1.6060

1.6195

1.6319

1.6434

1.6540

1.6639

1.6731

1.6817

1.6898

1.5887

1.6032

1.6165

1.6287

1.6399

1.6502

1.6599

1.6689

1.6773

1.6852

1.5863

1.6005

1.6135

1.6254

1.6364

1.6466

1.6560

1.6648

1.6730

1.6807

1.5840

1.5979

1.6106

1.6223

1.6330

1.6430

1.6522

1.6607

1.6687

1.6762

1.5816

1.5653

1.6078

1.6192

1.6297

1.6394

1.6484

1.6568

1.6646

1.6719

表2-4续

d/dt A/At

1.20

1.21

1.22

1.23

1.24

1.25

1.26

1.27

1.28

1.29

1.30

3.0

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

3.9

9.00

9.61

10.24

10.89

11.56

12.25

12.96

13.69

14.44

15.21

1.7288

1.7372

1.7452

1.7528

1.7600

1.7669

1.7735

1.7797

1.7857

1.7915

1.7233

1.7315

1.7392

1.7466

1.7536

1.7603

1.7667

1.7728

1.7786

1.7842

1.7179

1.7158

1.7334

1.7406

1.7474

1.7539

1.7601

1.7660

1.7716

1.7771

1.7126

1.7203

1.7277

1.7347

1.7413

1.7476

1.7536

1.7594

1.7648

1.7701

1.7074

1.7150

1.7221

1.7289

1.7354

1.7415

1.7473

1.7529

1.7582

17633

1.7024

1.7097

1.7167

1.7233

1.7265

1.7355

1.7412

1.7466

1.7617

1.7567

1.6974

1.7045

1.7114

1.7178

1.7239

1.7297

1.7352

1.7404

1.7454

1.7502

1.6926

1.6996

1.7062

1.7124

1.7183

1.7240

1.7293

1.7344

1.7393

1.7439

1.6879

1.6947

1.7011

1.7072

1.7129

1.7184

1.7236

1.7285

1.7333

1.7378

1.6833

1.6899

1.6962

1.7021

1.7077

1.7130

1.7180

1.7228

1.7274

1.7318

1.6788

1.6852

1.6913

1.6971

1.7025

1.7077

1.7126

1.7172

1.7217

1.7259

4.0

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

4.8

4.9

5.0

16.00

16.81

17.64

18.49

19.36

20.25

21.16

22.09

23.04

24.01

25.00

1.7970

1.8023

1.8074

1.8124

1.8171

1.8217

1.8261

1.8304

1.8345

1.8385

1.8432

1.7895

1.7947

1.7996

1.8044

1.8090

1.8134

1.8177

1.8218

1.8258

1.8296

1.8334

1.7822

1.7872

1.7920

1.7962

1.8011

1.8058

1.8095

1.8135

1.8173

1.8210

1.8246

1.7751

1.7800

1.7846

1.7891

1.7934

1.7975

1.8015

1.8053

1.8091

1.8126

1.8161

1.7682

1.7729

1.7774

1.7817

1.7858

1.7898

1.7937

1.7974

1.8010

1.8045

1.8078

1.7614

1.7660

1.7703

1.7745

1.7785

1.7824

1.7861

1.7897

1.7932

1.7965

1.7998

1.7548

1.7592

1.7634

1.7675

1.7714

1.7751

1.7787

1.7822

1.7856

1.7888

1.7919

1.7484

1.7526

1.7567

1.7606

1.7625

1.7670

17710

1.7746

1.7781

1.7813

1.7843

1.7421

1.7462

1.7502

1.7540

1.7576

1.7611

1.7645

1.7677

1.7709

1.7739

1.7768

1.7360

1.7400

1.7438

1.7475

1.7510

1.7544

1.7576

1.7608

1.7638

1.7667

1.7696

1.7300

1.7388

1.7376

1.7411

1.7445

1.7478

1.7510

1.7540

1.7569

1.7598

1.7625

表2-5 特征推力系数值

d/dt A/At

1.20

1.21

1.22

1.23

1.24

1.25

1.26

1.27

1.28

1.29

1.30

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

1.00

1.21

1.44

1.69

1.96

2.25

2.56

2.89

3.24

3.61

0.6773

0.9659

1.0765

1.1550

1.2164

1.2668

1.3095

1.3463

1.3786

1.4073

0.6806

0.9695

1.0798

1.1580

1. 2190

1.2690

1.3113

1.3478

1.3798

1.4082

0.6839

0.7930

1.0831

1.1609

1.2216

1.2713

1.3132

1.3493

1.3810

1.4090

0.6872

0.9764

1.0863

1.1638

1.2241

1.2734

1.3150

1.3508

1.3821

1.4098

0.6904

0.9799

1.0895

1.1666

1.2266

1.2756

1.3168

1.3523

1.3832

1.4107

0.6936

0.9833

1.0926

1.1694

1.2291

1.2777

1.3186

1.3537

1.3844

1.4114

0.6968

0.9866

1.0957

1.1722

1.2315

1.2798

1.3203

1.3551

1.3855

1.4122

0.7000

0.9900

1.0988

1.1750

1.2339

1.2819

1.3221

1.3565

1.3865

1.4130

0.7031

0.9933

1.1019

1.1777

1.2363

1.2839

1.3238

1.3579

1.3876

1.4138

0.7063

0.9966

1.1049

1.1804

1.2387

1.2859

1.3255

1.3593

1.3886

1.4145

0.7094

0.9999

1.1079

1.1831

1.2410

1.2879

1.3271

1.3606

1.3897

1.4152

2.0

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

4.00

4.41

4.84

5.29

5.76

6.25

6.76

7.29

7.84

8.41

1.4331

1.4564

1.4776

1.4970

1.5149

1.5315

1.5469

1.5612

1.5746

1.5872

1.4336

1.4566

1.4775

1.4966

1.5143

1.5306

1.5457

1.5598

1.5729

1.5853

1.4341

1.4568

1.4774

1.4963

1.5136

1.5296

1.5445

1.5584

1.5713

1.5834

1.4346

1.4570

1.4773

1.4959

1.5130

1.5287

1.5434

1.5570

1.5697

1.5815

1.4351

1.4572

1.4773

1.4956

1.5124

1.5279

1.5422

1.5556

1.5680

1.5797

1.4356

1.4574

1.4772

1.4952

1.5117

1.5270

1.5411

1.5542

1.5665

1.5779

1.4361

1.4576

1.4771

1.4948

1.5111

1.5261

1.5400

1.5529

1.5649

1.5761

1.4366

1.4578

1.4770

1.4945

1.5105

1.5253

1.5389

1.5516

1.5634

1.5744

1.4370

1.4580

1.4769

1.4941

1.5099

1.5244

1.5378

1.5503

1.5618

1.5726

1.4375

1.4581

1.4768

1.4938

1.5093

1.5236

1.5368

1.5490

1.5603

1.5709

1.4379

1.4583

1.4767

1.4934

1.5087

1.5228

1.5357

1.5477

1.5589

1.5693

表2-5续

d/dt A/At

1.20

1.21

1.22

1.23

1.24

1.25

1.26

1.27

1.28

1.29

1.30

3.0

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

3.9

9.00

9.61

10.24

10.39

11.56

12.25

12.96

13.69

14.44

15.21

1.5991

1.6102

1.6208

1.6308

1.6403

1.6493

1.6580

1.6662

1.6740

1.6815

1.5969

1.6079

1.6182

1.6280

1.6373

1.6461

1.6545

1.6626

1.6702

1.6776

1.5948

1.6055

1.6157

1.6253

1.6343

1.6430

1.6512

1.6590

1.6665

1.6737

1.5927

1.6032

1.6132

1.6225

1.6314

1.6399

1.6479

1.6556

1.6629

1.6699

1.5907

1.6010

1.6107

1.6199

1.6286

1.6368

1.6447

1.6522

1.6593

1.6661

1.5886

1.5987

1.6083

1.6173

1.6258

1.6339

1.6415

1.6488

1.6558

1.6625

1.5867

1.5965

1.6059

1.6147

1.6230

1.6309

1.6384

1.6456

1.6524

1.6589

1.5847

1.5944

1.6035

1.6121

1.6203

1.6280

1.6354

1.6423

1.6490

1.6553

1.5828

1.5923

1.6012

1.6097

1.6176

1.6252

1.6324

1.6392

1.6457

1.6519

1.5809

1.5902

1.5990

1.6072

1.6150

1.6224

1.6294

1.6361

1.6424

1.6485

1.5790

1.5881

1.5967

1.6047

1.6124

1.6197

1.6265

1.6338

1.6392

1.6451

4.0

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

4.8

4.9

5.0

16.00

16.81

17.64

18.49

19.36

20.25

21.16

22.09

23.04

24.01

25.00

1.6887

1.6956

1.7022

1.7086

1.7147

1.7206

1.7263

1.7318

1.7371

1.7432

1.7472

1.6846

1.6913

1.6978

1.7040

1.7099

1.7159

1.7212

1.7266

1.7317

1.7367

1.7416

1.6805

1.6871

1.6934

1.6994

1.7052

1.7108

1.7162

1.7214

1.7265

1.7313

1.7360

1.6765

1.6829

1.6891

1.6650

1.7006

1.7061

1.7113

1.7164

1.7213

1.7260

1.7706

1.6726

1.6789

1.6849

1.6906

1.6961

1.7014

1.7065

1.7115

1.7162

1.7208

1.7252

1.6688

1.6749

1.6807

1.6863

1.6917

1.6969

1.7018

1.7066

1.7113

1.7157

1.7200

1.6651

1.6710

1.6767

1.6821

1.6874

1.6924

1.6972

1.7019

1.7064

1.7107

1.7149

1.6614

1.6672

1.6727

1.6780

1.6831

1.6880

1.6927

1.6973

1.7016

1.7059

1.7099

1.6578

1.6634

1.6688

1.6740

1.6790

1.6837

1.6883

1.6927

1.6970

1.7011

1.7050

1.6542

1.6597

1.6650

1.6700

1.6749

1.6795

1.6840

1.6883

1.6924

1.6964

1.7002

1.6507

1.6561

1.6612

1.6662

1.6709

1.6754

1.6797

1.6839

1.6879

1.6918

1.6956

表2-6 特征推力系数

${{p}_{e}}/{{p}_{c}}$

k=1.20

k =1.22

${{(\frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}})}^{\frac{k-1}{k}}}$

$C_{F}^{0}$

${{(\frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}})}^{\frac{k-1}{k}}}$

$C_{F}^{0}$

0.051600

0.034400

0.025800

0.020640

0.6103

0.5704

0.5437

0.2538

1.4025

1.4718

1.5174

1.5503

0.5860

0.5447

0.5171

0.4967

1.3679

1.4660

1.5007

1.5413

0.017200

0.014743

0.012900

0.011466

0.010320

0.5082

0.4953

0.4844

0.4750

0.4667

1.5755

1.5960

1.6131

1.6278

1.6406

0.4807

0.4675

0.4564

0.4468

0.4384

1.5656

1.5854

1.6018

1.6159

1.6281

0.009382

0.008600

0.007938

0.007371

0.006880

0.4594

0.4528

0.4468

0.4413

0.4363

1.6527

1.6619

1.6709

1.6792

1.6867

0.4309

0.4242

0.4181

0.4126

0.4075

1.6391

1.6486

1.6573

1.6651

1.6723

0.006450

0.006071

0.005733

0.005432

0.005160

0.4316

0.4272

0.4232

0.4194

0.4158

1.6937

1.7003

1.7062

1.7119

1.7171

0.4028

0.3984

0.3943

0.3905

0.3869

1.6789

1.6852

1.6909

1.6962

1.7011

0.004914

0.004690

0.004487

0.004300

0.4123

0.4091

0.4061

0.4033

1.7222

1.7268

1.7313

1.7355

0.3835

0.3802

0.3772

0.3743

1.7060

1.7104

1.7146

1.7185

§2.4 最大推力

由$F={{C}_{F}}{{p}_{c}}{{A}_{t}}$可知，对于燃烧室压强p_c、喷管喉面积At一定的发动机，只要推力系数最大，则推力最大。而由§2.3节的讨论可知，在给定的某个压强比p_c/p_a下，只要喷管处于设计状态（即完全膨胀状态），则发动机就具有最大的推力系数，相应的发动机也就具有最大的推力。但是，在给定的某个压强比p_c/p_a下，喷管的工作状态是与其膨胀面积比Ae/At相关的，因此，在进行发动机喷管设计时，当燃烧室压强p_c给定、并对于规定的工作高度（相当于p_c/p_a一定），选择多大的喷管膨胀面积比Ae/At，才能让喷管处于完全膨胀状态，以使发动机获得最大的推力呢？这是本节要解决的问题。

我们知道，在超声速喷管中，只要喷管内不出现激波和气流分离现象，喷管的膨胀压强比p_e/p_c仅仅决定于喷管的扩张面积比Ae/At（参见式2-26）。因此，当燃烧室压强p_c和喷管喉部截面积At给定后，喷管出口截面处的燃气压强p_e就必然随喷管出口横截面积Ae而变化。当发动机工作高度一定时（即外界压强p_a一定），随着喷管出口截面燃气压强p_e的变化，喷管的工作状态也就不同，即：当p_e=p_a时，喷管处于完全膨胀状态（或称设计状态），如果${{p}_{e}}\ne {{p}_{a}}$，喷管则处于欠膨胀或过膨胀状态（或称非设计状态）。

下面我们从数学上和推力产生的本质上来说明喷管处于完全膨胀状态（或称设计状态）下推力最大。

从推力计算公式（2-4）可知：

$F=\dot{m}{{u}_{e}}+{{A}_{e}}({{p}_{e}}-{{p}_{a}})$

对于燃烧室压强p_c给定并规定了工作高度（即p_a一定）的发动机，推力具有极大值的条件是：

$\frac{\text{d}F}{\text{d}{{p}_{e}}}=0$和$\frac{{{\text{d}}^{2}}F}{\text{d}p_{e}^{2}}0$

对推力公式（2-4）微分得：

$\frac{\text{d}F}{\text{d}{{p}_{e}}}=\dot{m}\frac{\text{d}{{u}_{e}}}{\text{d}{{p}_{e}}}+\frac{\text{d}{{A}_{e}}}{\text{d}{{p}_{e}}}({{p}_{e}}-{{p}_{a}})+{{A}_{e}}$ （2-32）

由微分形式的动量方程$\text{d}p+\rho u\text{d}u=0$和质量守恒方程$\dot{m}=\rho uA$可得如下关系：

$\dot{m}\text{d}{{u}_{e}}=-{{A}_{e}}\text{d}{{p}_{e}}$ （2-33）

或 $\dot{m}\frac{\text{d}{{u}_{e}}}{\text{d}{{p}_{e}}}=-{{A}_{e}}$

代入式（2-32）得：

$\frac{\text{d}F}{\text{d}{{p}_{e}}}=\frac{\text{d}{{A}_{e}}}{\text{d}{{p}_{e}}}({{p}_{e}}-{{p}_{a}})$

当${{p}_{e}}={{p}_{a}}$时，条件$\frac{\text{d}F}{\text{d}{{p}_{e}}}=0$得到满足。

再看推力计算公式（2-4）的二阶导数：

$\frac{{{\text{d}}^{2}}F}{\text{d}p_{e}^{2}}=\frac{{{\text{d}}^{2}}{{A}_{e}}}{\text{d}p_{e}^{2}}({{p}_{e}}-{{p}_{a}})+\frac{\text{d}{{A}_{e}}}{\text{d}{{p}_{e}}}$ （2-34）

由此可以看出，当${{p}_{e}}={{p}_{a}}$时，$\frac{{{\text{d}}^{2}}F}{\text{d}p_{e}^{2}}$的符号取决于$\frac{\text{d}{{A}_{e}}}{\text{d}{{p}_{e}}}$的符号。下面来分析$\frac{\text{d}{{A}_{e}}}{\text{d}{{p}_{e}}}$的符号。

因为：

$\frac{\text{d}{{A}_{e}}}{{{A}_{e}}}=(M_{e}^{2}-1)\frac{\text{d}{{u}_{e}}}{{{u}_{e}}}$ （2-35）

将（2-33）式改写为：

（2-36）

代入（2-35）式得：

$\frac{\text{d}{{A}_{e}}}{\text{d}{{p}_{e}}}=-(M_{e}^{2}-1)\frac{{{A}_{e}}}{{{\rho }_{e}}u_{e}^{2}}$ （2-37）

在超音速喷管中${{M}_{e}}>1$，所以$(M_{e}^{2}-1)>0$，因此，根据（2-37）式，有：$\frac{\text{d}{{A}_{e}}}{\text{d}{{p}_{e}}}<0$，将其代入（2-34）式中，则可得出：当${{p}_{e}}={{p}_{a}}$时，$\frac{{{\text{d}}^{2}}F}{\text{d}p_{e}^{2}}<0$。这就是说，当${{p}_{e}}={{p}_{a}}$时，$\frac{\text{d}F}{\text{d}{{p}_{e}}}=0,\frac{{{\text{d}}^{2}}F}{\text{d}p_{e}^{2}}<0$两个条件都能满足，因此，当${{p}_{e}}={{p}_{a}}$时，即发动机喷管在完全膨胀状态（或称设计状态）时，发动机的推力最大。

另一方面，还可以根据推力产生的本质，通过比较喷管在设计状态（即完全膨胀状态）下和非设计状态（即欠膨胀或过膨胀状态）下产生的推力大小来加以说明发动机喷管在设计状态时发动机的推力最大。

在燃烧室压强p_c和工作高度（即外界大气压强p_a）都给定的条件下（即p_a/p_c一定），

假设为同一台火箭发动机设计了扩张面积比不同的三个喷管，这三个喷管具有相同的喷喉截面积和扩张半角，只是三个喷管的长度不相同，为了便于比较把它们画在一张图上，如图2-6（a）所示，三个喷管的长度分别用出口截面2-2、1-1和3-3来表示。显然，在相同的外界大气压强p_a下，三个喷管具有不同的工作状态。若截面1-1所表示的中等长度的喷管正好是在设计状态下工作（即在截面1-1上p_e=p_a），那么短喷管2-2必定是在欠膨胀状态下工作（即在截面2-2上p_e>p_a），长喷管3-3必定是在过膨胀状态下工作（即在截面3-3上p_e<p_a）。现在比较一下这三个喷管所产生的推力。我们知道，火箭发动机推力产生的本质是在发动机工作时作用在发动机内外表面上壳体压力的轴向合力，因此应当对具有上述三个喷管的发动机内外表面上的压强分布进行比较。因为这三个喷管是为同一台发动机而设计的，那么在截面2-2之前，压强分布是完全相同的，因此只要在2-1-3段上进行比较即可。

图2-6 喷管设计和非设计工作状态对推力影响

由图2-6（a）可以看出，在喷管的1-3段上，作用在外表面上的大气压强p_a处处大于内表面的燃气压强p。图2-6（b）给出了喷管1-3段内外表面压强的合力F_1-3，并将该合力分解为轴向分力（ΔF_1-3）和径向分力，因为喷管是轴对称体，径向分力必然互相抵消。轴向分力ΔF_1-3和发动机推力的方向相反，因而就减小了发动机的推力。也就是说，具有过膨胀喷管3-3的发动机推力F₃比使用设计状态喷管1-1的发动机推力F₁小了一个ΔF_1-3值，因此可见，在燃烧室压强和发动机工作高度一定的条件下，设计状态下工作的喷管所产生的推力大于过膨胀状态下工作的喷管所产生的推力。

由图2-6（a）还可以看出，在喷管2-1段上，作用在喷管内表面上的燃气压强p处处大于外表面上的大气压强p_a。图2-6 （b）给出了喷管2-1段内外表面压强的合力F_1-2及其轴、径向分力，其中径向分力互相抵消而轴向分力ΔF_2-1和发动机推力的方向相同，因此在2-1段上要产生推力。而如果采用欠膨胀的短喷管2-2，那么短喷管有一部分（即2-1段）内外表面的压强差没有得到利用，从而使发动机推力损失掉了一个ΔF_2-1值。因此，具有欠膨胀喷管的发动机推力F₂比F₁小了一个ΔF_2-1值，因此可见，在燃烧室压强和发动机工作高度一定的条件下，设计状态下工作的喷管所产生的推力大于欠膨胀状态下工作的喷管所产生的推力。

总之，在给定的燃烧室压强p_c和工作高度下，只有设计状态下工作的喷管所产生的推力最大。

由§2.3节可知，推力系数计算式（2-23）适用于喷管的各种工作状态，但要求喷管内部不产生激波和气流分离现象。下面我们来分析一下，喷管内部产生激波和气流分离现象时，发动机推力如何变化。

由气体动力学可知，超声速喷管在过膨胀状态下工作时，喷管出口要产生激波，而当p_a/p_e大于某一数值之后（即：过膨胀达到一定程度之后），激波即进入喷管内。喷管内气流通过激波时，从超声速流动转变为亚声速流动，气体压强也突然升高。由于激波前后的正压强梯度的作用，就会发生附面层分离、回流和漩涡等现象。理论上认为，喷管壁面上的压强在分离面上突然上升到外界压强p_a，从分离面到喷管出口截面的压强分布是等压分布，均等于外界压力p_a，如图2-7所示。图2-8表示激波进入喷管并发生气流分离时喷管内外表面上的压强分布情况。

图2-7 有气流分离和无气流分离的喷管内壁面压强的变化

图2-8 有气流分离和无气流分离的喷管内外壁压强分布

当喷管过膨胀（p_e<p_a）到一定程度时，假设在超声速喷管内截面2-2上发生了气流分离现象。那么参见图2-7，理论上认为自分离面到喷管出口段（即2-e段）上内外压强轴向合力等于零，也就是2-e段说不会产生负的轴向推力分量，对发动机推力没有影响。此时就相当于把2-e段截掉了，使喷管出口截面Ae移到了分离面2-2上，于是实际起作用的喷管缩短了。由此可见，在喷管入口参数相同的情况下，超声速喷管有气流分离的过膨胀状态比无气流分离的过膨胀状态所产生的推力大（因为无气流分离的过膨胀状态下，2-e段会产生一个与发动机推力方向相反的轴向推力分量，参见图2-6（b））。从这个角度来看，气流分离是有利的。但是，有气流分离时由于出现涡流，可能造成较大的能量损失。其次分离面后的扩张段未被利用，白白增加了喷管的尺寸和质量。所以在设计中并不把喷管设计得特别长，使它在有分离的过膨胀状态下工作。通常遇见的有分离的过膨胀状态情况是高空工作的完全膨胀喷管在地面或低空工作时，将会产生气流分离现象。

根据气流分离能够改变喷管扩张段内压强分布这一原理，可以采取强制气流在所需的喷管截面上与壁面分离的方法（如二次喷射）来调节固体火箭发动机的推力及其方向，这是推力矢量控制技术之一。

§2.5 发动机的高度特性

图2-9中给出了某设计定型（即推进剂性能、发动机工作参数p_c、结构参数At、Ae等均确定不变）的火箭发动机的推力随着工作高度变化的情况。从图中可以看出，推力随工作高度的变化比较显著，当发动机在真空中（p_a=0）工作时，推力达到最大值。由此可推出，对设计定型的发动机，真空推力是其最大推力。因为，根据推力计算的基本公式（2-4）可知，发动机推力是由喷气的反作用力$\dot{m}{{u}_{e}}+{{p}_{e}}{{A}_{e}}$和作用在发动机外表面大气压强的合力$\left( -{{p}_{a}}{{A}_{e}} \right)$所组成，而喷气的反作用力只决定于发动机内部的工作过程，与外界大气的状况无关。因此，对于一个已设计定型的发动机喷管来说，工作高度的变化对喷气的反作用力无影响，只影响发动机外表面大气压强的合力$\left( -{{p}_{a}}{{A}_{e}} \right)$，且随着工作高度的增加，环境压强p_a下降，发动机外表面大气压强的合力减小，发动机的推力增加。当发动机在真空的条件下工作时，大气压强等于零，推力达到最大值。这就是发动机的高度特性。

图2-9 火箭发动机推力随高度的变化

由图2-9可见，对于设计定型的发动机，只有在设计高度上p_e=p_a、喷管处于完全膨胀状态（亦称设计状态）。因为对于设计定型的发动机，其喷管面积比一定、燃烧室压强p_c也保持不变，那么喷管出口截面的燃气压强p_e也恒定不变，所以当发动机在不同高度上工作时，喷管必然处于不同的工作状态。在设计高度上，p_e=p_a，喷管处于设计状态；高于设计高度，p_e>p_a，喷管处于欠膨胀状态；低于设计高度，p_e<p_a，喷管处于过膨胀状态。从性能要求上看，当然希望发动机大部分时间均在接近于设计状态的条件下工作，因此如何正确选择设计高度或喷管面积比（不同的设计高度环境压强p_a不同，因而使喷管处于完全膨胀状态的扩张面积比也不同）是发动机设计中应关注的问题。

在发动机设计中，为了取得最佳性能常常要选取最佳喷管面积比Ae/At。选取的方法是根据发动机的实际工作高度范围选择一个设计高度，并由相应的p_c/p_a确定最佳喷管面积比Ae/At。但是当压强比p_c/p_a很大时（如高空发动机），对应的最佳面积比Ae/At也非常大，这就可能使喷管过长、过重。为解决这一问题，一般采用以下两种途径：

（1）采用欠膨胀喷管。由图2-5可见，在一定的压强比p_c/p_a下，最大推力系数点附近的曲线变化比较平缓，因此从减小喷管尺寸和质量的角度出发，希望选择比最大推力系数对应的最佳喷管面积比的值小一些的喷管面积比（即采用欠膨胀喷管），这样既减小了喷管尺寸和质量，同时推力系数也比最大推力系数小得不多，从而使推力也比最大推力小得不多，而推质比（推力与发动机总质量之比）却可以提高，这就叫做折衷面积比。

（2）采用特型喷管。在喷管扩张面积比A_e/A_t和喷管喉面积At相同时，与扩张半角为15°的锥形喷管相比，特型喷管的长度可以减少25%。因此高空工作的发动机经常采用折衷面积比或特型喷管，低空工作的发动机大多采用最佳面积比（即完全膨胀喷管），而大批量生产的小型战术火箭发动机经常采用工艺性良好的锥形喷管，并且常根据经验直接选定喷管面积比。

在发动机设计中，如选择不同的设计高度，所设计的喷管的面积比也就不同，此时发动机的推力高度特性曲线也就不相同。例如有两台发动机，它们的燃烧室压强p_c和喷喉的截面积At都相同，但它们所选择的设计高度不同，分别为H₁和H₂，而且H₂>H₁。对应于设计高度H₁和H₂的最佳喷管面积比分别为A_e1/A_t和A_e2/A_t，且A_e2>A_e1。两台发动机推力高度特性曲线如图2-10所示。

图2-10 不同设计高度的发动机的推力高度特性曲线

由图2-10中可见，第一台发动机在设计高度H₁至海平面上工作时，它的推力总是大于第二台发动机的推力。而第二台发动机在设计高度H₂至真空中工作时，它的推力也总是大于第一台发动机的推力。在两个设计高度H₁和H₂之间是一个过渡段，在其中某一个高度H上两台发动机的推力相等。由此可得出设计高度不同时的发动机高度特性的主要差别是：当喷管内没有激波和气流分离现象时，发动机的设计高度高，则其在高空工作时（与设计高度低的发动机比较）推力较大，也就是说设计高度高的发动机的高空性能较好；发动机的设计高度低，则其在低空工作时（与设计高度高的发动机比较）推力较大，即设计高度低的发动机的低空性能较好。

为了使发动机在不同工作高度上的推力都达到最大值，最好有一个出口截面积可调节的喷管，即当飞行高度增加时，可调喷管的出口截面A_e也相应地增加，使发动机在任何高度上都处于设计状态，相应的推力高度特性就是图2-10中的虚线，它实际上是一组推力高度特性曲线的外包络线。当然，要在结构上实现喷管出口截面积连续调节还是比较困难的。比较现实的办法是根据发动机的任务及工作高度范围，充分考虑各方面因素的影响，确定一个适当的设计高度及相应的喷管膨胀面积比，以确保发动机达到较好的综合性能。

§2.6 总冲和比冲

一、总冲

为了使火箭获得一定的速度，达到一定射程、高度，要求发动机具有一定的总冲量。火箭发动机的总冲量是指发动机推力的冲量，简称总冲。在推力不变的情况下，火箭发动机的总冲就等于发动机的推力F和工作时间t_a的乘积，用符号I表示，即：

$I=F\cdot {{t}_{a}}$ （2-38）

式中t_a是发动机的工作时间。固体火箭发动机的工作时间t_a包括其产生推力的全部时间，即从点火起动、产生推力开始，到发动机排气过程结束、推力下降到零为止。t_a可以从发动机试验的压强——时间或推力——时间曲线（参见图2-11）来确定。为了在确定时有统一的标准，通常按下列惯用的方法确定t_a：以发动机点火后压强连续上升到0.3MPa或推力上升到10%最大推力（或其它规定的压强或推力）的一点为起点，以发动机熄灭火后压强连续下降到0.3MPa或推力下降到10%最大推力（或其它规定的压强或推力）的一点为终点，这两点间的时间间隔作为工作时间t_a。除了发动机工作时间以外，固体火箭发动机设计计算中还常用到装药的燃烧时间t_b，t_b是指从点火起动、装药开始燃烧到装药燃烧层厚度烧完为止的时间，不包括拖尾段（燃烧结束后的推力下降过程）。因此，燃烧时间比工作时间短。燃烧时间的确定也有一个惯用的方法：计算燃烧时间的起点与工作时间是一样的，但终点则是推进剂装药肉厚的燃完点。燃完点的确定是在压强——时间或推力——时间曲线上的工作平衡段尾段和下降段各作一条切线（指最优拟合线的延长线），两切线夹角的平分线与压强——时间或推力——时间曲线的交点就是燃完点，作为计算燃烧时间的终点。

总冲单位是牛顿·秒（N.s）。在工程制中，总冲的单位是公斤·秒或吨·秒。

在火箭发动机的工作过程中，一般情况下，其推力是随着工作时间变化的，所以总冲应是推力对工作时间的积分，即：

$I=\int_{\ 0}^{\ {{t}_{a}}}{F\text{d}t}$ （2-39）

由式（2-39）可知，发动机的实际总冲等于实测推力一时间曲线下面所包围的面积。将（2-17）式代入（2-39）式，即得：

$I=\int_{\ 0}^{\ {{t}_{a}}}{\dot{m}{{u}_{ef}}\text{d}t}$

图2-11 固体火箭发动机工作时间、燃烧时间确定示意图

而对于设计定型的发动机，等效喷气速度u_ef在工作过程中变化不大，可近似认为常数，则有：

$I={{u}_{ef}}\int_{\ 0}^{\ {{t}_{a}}}{\dot{m}\text{d}t}={{u}_{ef}}{{M}_{p}}$ （2-40）

式中M_p为装药质量。

由式（2-40）可知，总冲与等效喷气速度及装药量有关。要提高发动机的总冲，必须用高能推进剂来提高等效喷气速度，同时更重要的是增加装药量。由于固体火箭发动机的燃烧室本身就是固体推进剂的贮箱，增大装药量就意味着增大燃烧室的尺寸和质量，因此总冲在一定程度上反映了发动机的大小。

另一方面，由火箭发动机总冲的定义可知，对于同样的总冲，根据发动机用途的不同可以选择不同的推力——时间方案。如助推器之类，可选用推力大、工作时间短的方案，即采用大燃面、高燃速的推进剂；续航发动机可选用推力小、工作时间长的方案，即采用小燃面、低燃速的推进剂。由此可见，即使总冲相同，由于推力——时间曲线变化规律不同，发动机的结构、推进剂、装药几何形状等往往会有很大的差异。

二、比冲

发动机的比冲是燃烧一千克质量推进剂所产生的冲量，常用I_s表示，即：

${{I}_{s}}=\frac{I}{{{M}_{p}}}$ （2-41）

比冲的单位是米/秒（m/s）。在工程制中，比冲的单位是（（公斤·秒）/公斤）或（秒）。由式（2-41）可见，比冲I_s是个平均量，而不是瞬变量。另一个参数称为比推力，就是推力F与喷管质量流率$\dot{m}$之比，常用F_s表示，即${{F}_{s}}=\frac{F}{{\dot{m}}}$，是指每秒钟消耗一千克质量推进剂所产生的推力。比推力的单位与比冲相同，但比推力是一个瞬变量。

在发动机工作过程中，如果推力F和流率$\dot{m}$都是常量，则有：

${{I}_{s}}=\frac{I}{{{M}_{P}}}=\frac{F}{{\dot{m}}}={{F}_{s}}={{u}_{ef}}$ （2-42）

由式（2-42）可见，比冲、比推力在火箭发动机中是通用的，不过液体火箭发动机常用比推力这个概念，而固体火箭发动机技术中通常使用比冲这个概念。

我们知道，推力$F={{C}_{F}}{{p}_{c}}{{A}_{t}}$，流率$\dot{m}=\frac{{{p}_{c}}{{A}_{t}}}{{{c}^{*}}}$，将它们代入式（2-42），得：

${{I}_{s}}=\frac{F}{{\dot{m}}}={{C}_{F}}{{c}^{*}}$ （2-43）

因此可以说，比冲是火箭发动机的重要质量指标之一。它一方面与推进剂本身能量的高低有关，另一方面与发动机中工作过程的完善程度有关。推进剂的能量越高、工作过程的完善程度越好，比冲就越大。若发动机的总冲已给定，比冲越大，则所需的推进剂质量就越小。因此整个发动机的尺寸和质量都可以减小。反之，若推进剂的质量给定，发动机的比冲越大，发动机的总冲也越大，火箭、导弹的最大速度、射程或高度也相应增加。因此尽量提高发动机的比冲就成了一个相当重要的问题。为了明确提高比冲的方向，应当对影响比冲的因素进行必要的讨论。

由（2-42）式可以导出

$ {{I}_{s}}={{u}_{ef}}={{u}_{e}}+\frac{{{A}_{e}}}{{\dot{m}}}({{p}_{e}}-{{p}_{a}}) $

$ \ \ \ \ ={{u}_{e}}+{{c}^{*}}\frac{{{A}_{e}}}{{{A}_{t}}}\left( \frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}}-\frac{{{p}_{a}}}{{{p}_{c}}} \right) $ （2-44）

将（2-10）、（2-22′）和（2-26）式代入上式可以进一步得出：

${{I}_{s}}=\sqrt{R{{T}_{f}}}\left[ \sqrt{\frac{2k}{k-1}\left[ 1-{{\left( \frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}} \right)}^{\frac{k-1}{k}}} \right]}+\frac{{{\left( \frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}} \right)}^{-\frac{1}{k}}}}{\sqrt{\frac{2k}{k-1}\left[ 1-{{\left( \frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}} \right)}^{\frac{k-1}{k}}} \right]}}\ \cdot \left( \frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}}-\frac{{{p}_{a}}}{{{p}_{c}}} \right) \right]\ $

下面根据式分别讨论各个因素对比冲的影响：

1．推进剂能量对比冲的影响

推进剂能量对比冲的影响主要体现在参数T_f、R和上。由式可知，比冲I_s与燃烧室温度$\sqrt{{{T}_{f}}}$成正比。燃烧温度越高，比冲就越大。因此，提高比冲的主要途径是选择高能推进剂，以提高燃烧温度。例如采用某些高能推进剂或者在推进剂中添加某些高能组元，都有利于提高燃烧温度。但是温度太高，会使燃烧室和喷管受热严重，特别是喷管的烧蚀问题必须加以妥善解决。此外，燃烧产物在高温下要发生离解，温度越高，离解现象越严重，所以在选取推进剂时不能一味地追求燃烧温度最高，应综合考虑。

比冲与燃烧产物气体常数$R=\frac{{{R}_{0}}}{{\bar{m}}}$的平方根成正比，即与燃气的平均分子量$\bar{m}$的平方根成反比，也就是说，燃气的平均分子量越小，比冲就越大。从这个角度考虑，采用含氢较多的推进剂是有利的。目前，固体推进剂燃烧产物的分子量最低值约为15克/摩尔，一般在20~40克/摩尔之间。

比热比k对比冲的影响不大。对于目前使用的固体推进剂，燃烧产物的k值大约在1.1~1.3之间，变化不大，所以对比冲的影响很小。

2．喷管面积比（或膨胀压强比$\frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}}$）对比冲的影响

比冲随面积比$\frac{{{A}_{e}}}{{{A}_{t}}}$（或膨胀压强比$\frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}}$）变化的规律和推力系数完全相同（参见图2-5）。在压强比$\frac{{{p}_{c}}}{{{p}_{a}}}$给定的情况下，比冲随面积比的增加是先增大后减小，中间经过一个最高点，最高点对应于比冲的最大值。只有在设计状态（即完全膨胀状态p_e=p_a）时，比冲最大。

图2-12是双芳镁-3推进剂，在压强比p_c/p_a=100时，比冲随喷管面积比的变化曲线。由图可见，当A_e/A_t=10时，比冲达到最大值。

图2-12 比冲随面积A_e/A_t的变化关系（双芳镁-3，p_c/p_a=100）

3．飞行高度对比冲的影响

在喷管面积比Ae/At一定的情况下，比冲随压强比p_c/p_a的增加而增大。由于压强比p_c/p_a增加，即工作高度增加，大气压强p_a要减小，因此比冲要增大。当大气压强p_a减小到零时，比冲达最大值，此时的比冲称为真空比冲。

图2-13是双芳镁-3推进剂，在喷管面积比Ae/At=4时，比冲随压强比p_c/p_a的变化曲线。

图2-13比冲随压强比p_c/p_a变化关系（双芳镁-3 ，Ae/At=4）

4．燃烧室压强对比冲的影响

提高燃烧室压强p_c可以增加比冲。当发动机的工作高度一定时，大气压强p_a就是定值，此时提高燃烧室压强p_c，就使压强比p_c/p_a增大，比冲也就增加。所以提高燃烧室压强p_c的作用相当于减小大气压强p_a的作用。燃烧室压强和比冲的关系如图2-14所示。由图2-14可见，喷管膨胀压强比p_e/p_c和外界大气压强p_a一定时，燃烧室压强低于5.89×10⁶帕（即60kg/cm²）时比冲对燃烧室压强比较敏感。当燃烧室压强超过9.8×10⁶帕（即100kg/cm²）时，压强p_c对比冲的影响就比较小了。同时，提高燃烧室压强p_c，会增加发动机的结构重量，所以一般不用这种方法来提高比冲。

图2-14 燃烧室压强和比冲的关系

5．推进剂初温对比冲的影响

固体火箭发动机的一个主要缺点是性能受气温影响较大，导致这一影响的主要原因是固体推进剂的燃速随初始温度而变化，所以当初始温度变化时，不但会引起燃烧室压强的变化而且还会引起发动机工作性能（如比冲）的变化。但是在发动机经常使用的环境温度范围内（+50℃~-40℃），初温引起的比冲变化一般不会超过2%。

§2.7 发动机性能参数的实际值

前面各节给出的发动机的主要性能参数，包括推力、质量流率、喷气速度、比冲、总冲、特征速度和推力系数等，是在理想条件下（如在喷管流动过程的分析中假设燃气流动是一维定常流，是没有传热和摩擦作用的等熵流动等）的计算式。根据这些计算式进行计算而得出的性能参数，称为发动机性能参数的理论值。而发动机性能参数的实际值，一般是通过发动机静止点火试验、在一些实测参数的基础上（如试验前测量推进剂装药质量M_p、喷管喉径d_t；试验过程中测得的推力– 时间曲线和燃烧室压强– 时间曲线等），经过适当计算求得的（如某些性能参数：特征速度、推力系数和比冲等）。

下面简要说明特征速度c*、推力系数C_F和比冲I_s等的实际值的计算原理。

1．特征速度c*的实际值$c_{\exp }^{*}$

特征速度c*的实际值，可通过发动机静止试验所测得的压强——时间（p~t）曲线来确定。即对喷管质量流率公式$\dot{m}=\frac{{{p}_{c}}{{A}_{t}}}{{{c}^{*}}}$的两端在发动机工作时间内积分，得：

$\int_{\ 0}^{\ {{t}_{a}}}{\dot{m}\text{d}t}=\int_{\ 0}^{\ {{t}_{a}}}{\frac{{{p}_{c}}{{A}_{t}}}{{{c}^{*}}}\text{d}t}$

在发动机工作过程中，如喷管喉部材料烧蚀很轻微，则可认为喷管喉部截面积At不随时间变化；在一般情况下，特征速度c*可看作常数（或取工作时间内的平均值），这样，上式可写成：

${{M}_{P}}=\frac{{{A}_{t}}}{{{c}^{*}}}\int_{\ 0}^{\ {{t}_{a}}}{{{p}_{c}}\text{d}t}$

所以特征速度c*的实际值：

$c_{\exp }^{*}=\frac{{{A}_{t}}}{{{M}_{P}}}\int_{\ 0}^{\ {{t}_{a}}}{{{p}_{c}}\text{d}t}\quad $ （2-45）

式中ta为发动机工作时间。At和Mp可在发动机静止试验前测定、$\int_{\ 0}^{\ {{t}_{a}}}{{{p}_{c}}\text{d}t}$称为压强冲量，相当于实测的燃烧室压强——时间（p~t）曲线下面所包围的面积，可用分段积分的办法处理试验曲线得到。因为Mp、At、p_c~t都是取自发动机工作的实际值，于是由式（2-45）计算出的特征速度也是实际值。

2．推力系数C_F的实际值C_F,exp

推力系数C_F的实际值C_F,exp可通过发动机静止试验所测得的推力——时间（F~t）曲线和压强——时间（p~t）曲线来确定。

对推力计算公式：$F={{C}_{F}}{{p}_{c}}{{A}_{t}}$ 积分得：

$\int_{\ 0}^{\ {{t}_{a}}}{F\text{d}t}={{C}_{F}}{{A}_{t}}\int_{\ 0}^{\ {{t}_{a}}}{{{p}_{c}}\text{d}t}$

所以有：

${{C}_{F,\exp }}=\frac{\int_{\ 0}^{\ {{t}_{a}}}{F\text{d}t}}{{{A}_{t}}\int_{\ 0}^{\ {{t}_{a}}}{{{p}_{c}}\text{d}t}}=\frac{I}{{{A}_{t}}\int_{\ 0}^{\,{{t}_{a}}}{{{p}_{c}}\text{d}t}}\ \ \ $ （2-46）

上式中$\int_{\ \,0}^{\ \,{{t}_{a}}}{F\text{d}t}$是试验测得的推力——时间曲线下面所包围的面积，也就是总冲，$\int_{\ 0}^{\ {{t}_{a}}}{{{p}_{c}}\text{d}t}$等于实测的压强——时间曲线下面所包围的面积，即压强冲量。这就是说，只要有了试验过程中实测的发动机的推力、压强时间曲线，就可以处理得到推力系数的实际值C_F,exp。

3．比冲I_S或等效喷气速度u_ef的实际值

以上各节已经给出了发动机性能参数之间的关系：

${{I}_{s}}={{u}_{ef}}=\frac{I}{{{M}_{p}}}=\frac{F}{{\dot{m}}}=\frac{{{C}_{F}}}{{{C}_{D}}}={{C}_{F}}\cdot {{c}^{*}}$

所以比冲或等效喷气速度的实际值可以用特征速度和推力系数的实际值求得，即：

${{I}_{s,\exp }}={{C}_{F,\exp }}\cdot c_{\exp }^{*}$

此外，还可以根据下式计算比冲的实际值：

${{I}_{s,\exp }}=\frac{{{I}_{\exp }}}{{{M}_{P,\exp }}}=\frac{\int_{\ 0}^{\ {{t}_{a}}}{F\text{d}t}}{{{M}_{P,\exp }}}\ \ \ \ $ （2-47）

§2.8 发动机设计质量系数

火箭发动机的实际工作过程要比理想条件下的工作过程复杂的多，因此，一般情况下，发动机性能的实际值是低于理论计算值的，也就是说，发动机性能的理论值与实际值之间是有差别的。这种差别通常叫做性能损失，在火箭发动机中常用实际值对理论值的比值来表示这个差别，这个比值就叫做发动机设计质量系数。通常采用三个设计质量系数，即燃烧室设计质量系数x_c，喷管设计质量系数x_N和整个发动机的设计质量系数x。

1．燃烧室设计质量系数x_c

燃烧室设计质量系数x_c是实际特征速度与理论特征速度之比，即

${{\xi }_{C}}=\frac{c_{\exp }^{*}}{c_{th}^{*}}\ $ （2-48）

x_c反映了燃烧室中工作过程的完善程度，这是因为特征速度的实际值不但与推进剂的能量特性有关，而且与推进剂燃烧过程进行的实际情况有关。

特征速度c*的理论值$c_{th}^{*}$，可以根据推进剂的组成，通过热力计算求得。而实际燃烧过程中存在着燃烧不完全、散热等现象，这就使实际燃烧温度达不到热力计算中所确定的理论燃烧温度，因此特征速度的理论值总是大于实际值。

x_c的大小与燃烧室的结构有关。对于帖壁浇铸的内孔燃烧装药来说，燃烧过程中的散热损失很小，x_c值较高（约0.98左右）。对于自由装填装药来说，高温燃气直接与室壁接触，燃烧过程中散热损失较大，x_c值便小一些，例如，多根管状装药的x_c值约为0.94。此外，x_c的大小还与燃烧室的尺寸有关，尺寸大，x_c值可能高一些。

2．喷管设计质量系数x_N

喷管的实际推力系数和理论推力系数的比值叫做喷管设计质量系数，即：

${{\xi }_{N}}=\frac{{{C}_{F,\exp }}}{{{C}_{F,th}}}$ （2-49）

x_N反映了喷管的实际膨胀过程与理论膨胀过程的差别。喷管理论推力系数，可利用相应的理论计算公式或图表查出。但在推导其理论计算公式时，曾假设喷管内是一维等熵流动，而喷管中的实际流动不仅有散热和摩擦损失，同时还有径向分速损失。因此，实际的推力系数也要小于理论值。

x_N的大小主要取决于喷管的结构，特别是喷管扩张段的结构。对比较合理的喷管结构来说，x_N值可达0.96~0.98左右。

3．发动机的设计质量系数x

发动机的设计质量系数x是发动机实际比冲与理论比冲的比值，因此也叫做发动机的冲量系数，即：

$\xi =\frac{{{I}_{s,\exp }}}{{{I}_{s,th}}}\ $ （2-50）

比冲的理论值可以用（2-43）式计算。

发动机的设计质量系数x也可以由燃烧室设计质量系数x_c和喷管设计质量系数x_N来表示，即：

$\xi =\frac{{{I}_{s,\exp }}}{{{I}_{s,th}}}={{\xi }_{C}}\cdot {{\xi }_{N}}$

由上式可见，燃烧室设计质量系数和喷管设计质量系数表示了由于发动机实际工作过程与理论过程的差别而产生的对比冲的影响，因此也称x_c为燃烧室冲量系数，x_N为喷管冲量系数。实际上，这三个系数只要知道其中任意两个，便可以得出第三个。发动机的设计质量系数越大，说明能量转换的效率越高，发动机设计的质量越好。

发动机设计质量系数的数值决定于发动机的实际结构对工作过程的影响。除了一般的结构因素以外，发动机的大小是一个重要的因素。一般大尺寸的发动机能够达到较高的x值，小尺寸的发动机x值则相对小一些。现代固体火箭发动机的设计质量系数一般在0.82~0.96。

§2.9 发动机及推进剂的性能对火箭飞行器性能的影响

一、火箭飞行器的运动方程

火箭飞行器在飞行过程中的受力简图如图2-15所示。图中火箭发动机的推力沿着火箭飞行器的纵轴O₁X₁通过飞行器的质心，$\alpha $是飞行攻角，J为当地弹道倾角。

图2-15 火箭飞行器飞行过程中的受力简图

火箭飞行器在重力场中的运动可以用如下的矢量方程描述：

$M\frac{\text{d}\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{V}}{\text{d}t}=\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{F}+M\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{g}+\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{f}\ \ \ $ （2-51）

式中M为火箭飞行器的瞬时质量M=M(t)；$\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{V}$为火箭飞行器的飞行速度；$\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{F}$为火箭发动机产生的推力；$\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{g}$为重力加速度；$\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{f}$为火箭飞行器的气动阻力。

火箭飞行器在加速过程中往往需要克服气动阻力和自身重力。阻力和重力的作用是会影响到火箭飞行器的最大速度的，但阻力和重力对飞行器最大速度的影响程度取决于飞行条件，而与火箭发动机及推进剂的性能没有直接联系。因此，为了分析发动机及推进剂性能对火箭飞行器最大速度的影响，使问题简化，假设：

（1）重力和气动阻力可以忽略不计；

（2）发动机的推力矢量与飞行速度的方向始终一致（即飞行攻角$\alpha $为零）。

因此，式（2-51）可以简化为：

$M\frac{\text{d}V}{\text{d}t}=F$ （2-52）

式（2-52）中火箭飞行器的瞬时质量M将随着推进剂的不断燃烧消耗而减小，在任意时刻，飞行器的瞬时质量应为：

$M={{M}_{0}}-\int_{\ 0}^{\ t}{\dot{m}\text{d}t}$ （2-53）

式中，$\dot{m}$为推进剂燃烧产物的质量流率；${{M}_{0}}={{M}_{e}}+{{M}_{s}}+{{M}_{p}}$为火箭飞行器的初始质量，包括有效载荷Me、飞行器结构质量Ms和发动机全部推进剂的质量Mp。

发动机工作结束后，火箭飞行器的消极质量Mf应为：

${{M}_{f}}={{M}_{0}}-{{M}_{p}}={{M}_{e}}+{{M}_{s}}$

显然，M₀和M_f均为与时间无关的量，而推进剂的消耗率就是火箭飞行器质量减小的速率，所以$\frac{\text{d}M}{dt}=-\dot{m}$，于是由（2-42）式可得：

$F=\dot{m}{{u}_{ef}}=\dot{m}{{I}_{s}}=-\frac{\text{d}M}{\text{d}t}{{I}_{s}}$

将上式与（2-52）合并，即得：

$\text{d}V=-\frac{\text{d}M}{M}{{I}_{s}}$

假设发动机比冲Is为常数，将上式从对整个火箭飞行器开始加速（V=V₀）时起到最大速度（V=V_max）时止进行积分，可得：

$\Delta V={{V}_{\max }}-{{V}_{0}}={{I}_{s}}\ln \frac{{{M}_{0}}}{{{M}_{f}}}$ （2-54）

式中V_max为火箭发动机工作结束时刻火箭飞行器的飞行速度，此时加速过程结束，火箭飞行器达到最大的飞行速度；V₀为火箭飞行器被加速前的初始飞行速度。

若定义火箭飞行器的质量数μ为：

$\mu =\frac{{{M}_{0}}}{{{M}_{f}}}$

则（2-54）式又可写为：

${{V}_{\max }}-{{V}_{0}}={{I}_{s}}\ln \mu $ （2-55）

对于单级火箭，通常是${{V}_{0}}=0$，于是上式可变为：

${{V}_{\max }}={{I}_{s}}\ln \mu $ （2-56）

式（2-56）即是著名的齐奥尔科夫斯基公式。式中的V_max是无阻力无重力环境下火箭飞行器的最大飞行速度。实际上，火箭飞行器在飞行中还会受到重力和气动阻力的影响（在推力公式中已考虑了大气静压的作用），所以实际飞行所达到的最大速度必定略小于V_max值。

火箭飞行器为了飞出地球，实际飞行速度必须超过第一宇宙速度7.9公里/秒。实际上，按现有推进剂的能量特性计算，即使采用最佳材料和最佳设计质量，也很难达到这一要求，所以现代运载火箭均为多级（2级~4级）结构。在同样的条件下（比冲、起飞质量和有效载荷相同），多级火箭比单级火箭能达到更高的飞行速度。但是，多级火箭结构复杂，可靠性下降。一般说，具有特定用途的火箭飞行器，应有其最佳级数和初始质量数。对于多级火箭，发动机工作结束后的最终的最大飞行速度应等于各级火箭速度增量之和，即：

${{V}_{\max }}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\Delta {{V}_{i}}}$ （2-57）

二、火箭飞行器的性能参数和质量参数

火箭飞行器的主要性能参数是最大飞行速度V_max（单级火箭）、速度增量ΔV（多级火箭）、最大射程、最大飞行高度、有效载荷等。其中，最大飞行速度V_max是最基本的性能参数。因为有效载荷一定时，射程或高度完全取决于V_max。一般地，火箭飞行器的总体性能最佳就是要求：有效载荷一定时，火箭的射程或飞行高度最大；或将有效载荷送到预定高度或射程上时所用的时间最短；或在给定射程（或高度）下，可以运载的有效载荷最大。但是不论那种情况，实际上都是要求最大飞行速度V_max值尽可能大。

火箭飞行器的主要质量参数是质量数μ。这个参数之所以重要，是因为可以通过齐奥尔科夫斯基公式（2-56）把它和最大飞行速度直接联系起来。在火箭发动机的设计计算中还会用到火箭飞行器的推进剂质量比ζ和火箭飞行器结构（完善性）系数б_k，它们的定义分别为

$\zeta =\frac{{{M}_{P}}}{{{M}_{0}}}=\frac{{{M}_{P}}}{{{M}_{f}}+{{M}_{P}}}$ （2-58）

${{\sigma }_{k}}=\frac{{{V}_{P}}}{{{M}_{f}}}$ （2-59）

其中V_p是推进剂体积。因为M_p=V_pρ，所以有：

$\mu =\frac{{{M}_{0}}}{{{M}_{f}}}=\frac{{{M}_{f}}+{{M}_{p}}}{{{M}_{f}}}=1+\frac{{{M}_{p}}}{{{M}_{f}}}=1+\frac{{{V}_{p}}{{\rho }_{p}}}{{{M}_{f}}}=1+{{\sigma }_{k}}{{\rho }_{P}}$ （2-60）

对于火箭发动机来说，推进剂质量比应为：

$\zeta =\frac{{{M}_{p}}}{{{M}_{k}}+{{M}_{P}}}$ （2-61）

式中M_k是火箭发动机的结构质量。发动机的结构质量是火箭飞行器结构质量M_s的一部分，所以减轻了发动机的结构质量，也就是减轻了火箭飞行器的结构质量，也可以使火箭飞行器的性能有所提高。因此，在保证发动机可靠工作的前提下，应当尽可能减轻发动机的结构重量。ζ值越接近1，说明发动机的结构质量越轻。

三、发动机及推进剂的性能对火箭飞行器性能的影响

由式（2-56）可知，在火箭飞行器质量数μ不变的条件下，V_max随I_s增大而增大；而在发动机比冲I_s不变的条件下，V_max随μ的增大也增大。因此，从（2-56）式不难看出，为了得到一定的V_max，提高发动机的比冲I_s和增大火箭飞行器质量数μ同样都具有效果。增大μ意味着消极质量M_f（主要是火箭飞行器的结构质量）在飞行器的初始总质量中所占的比例下降，推进剂所占的比例上升。若μ和I_s均为可变量，为了达到一定的飞行速度V_max，可根据dV_max=0的条件、微分式（2-56）得到μ和I_s变化量之间的关系为：

$\frac{\text{d}\mu }{\mu }=-\ln \mu \frac{\text{d}{{I}_{s}}}{{{I}_{s}}}$ （2-62）

式（2-62）中的负号表明，降低比冲I_s可由增加质量数μ来补偿。反之，提高比冲I_s，即可相应减小质量数μ。为了便于分析质量数μ和比冲I_s之间相互补偿量的定性关系，对（2-62）式进行改写，变为：

$\frac{\text{d}\mu }{\mu }\cdot \frac{1}{\ln \mu }=-\frac{\text{d}{{I}_{s}}}{{{I}_{s}}}$ （2-63）

分析式（2-63）可见，在最大飞行速度V_max一定的条件下：

当火箭飞行器质量数μ=e（自然对数的底）时，lnμ=1，即有：$\frac{\text{d}\mu }{\mu }=-\frac{\text{d}{{I}_{s}}}{{{I}_{s}}}$，说明μ和I_s之间的相互补偿量是相等的，即如发动机比冲降低1%，可以用火箭飞行器质量数增加1%来补偿，以确保V_max一定；
当火箭飞行器质量数μ<e时，$\ln \mu <1$，而$\frac{1}{\ln \mu }>1$，说明为了补偿发动机比冲1%的变化，要求火箭飞行器质量数的改变小于1%，即可确保V_max一定。也就是说当μ<e时，火箭飞行器质量数的变化对最大速度的影响程度将大于发动机比冲变化对最大速度的影响；
当火箭飞行器质量数μ>e时，$\ln \mu >1$，而$\frac{1}{\ln \mu }<1$，说明为了补偿发动机比冲1%的变化，要求火箭飞行器质量数的改变大于1%，即可确保V_max一定。也就是说当μ>e时，火箭飞行器质量数的变化对最大速度的影响程度将小于发动机比冲变化对最大速度的影响。

图2-16表示V_max随质量数μ值变化的关系。由图可见，在发动机比冲一定的情况下，质量数μ越大，则飞行器的最大飞行速度增大，而增大μ值的有效办法是采用多级火箭。就单级火箭而言，使μ值增大的办法，首先是改进火箭和发动机的设计，尽量提高发动机的质量（或结构）完善系数б_k，其次是采用高密度的推进剂。

对于大多数的火箭飞行器来说，火箭飞行器的质量数μ>>e，火箭飞行器质量数的变化对最大速度的影响程度小于发动机比冲变化对最大速度的影响程度，因此提高发动机的比冲是现代火箭发动机的一般发展趋势。另一方面，若射程不变，提高比冲，就可以增大有效载荷并送入指定轨道；在射程、高度和有效载荷一定的情况下，提高比冲就可以减小火箭飞行器的起飞质量和飞行器结构消极质量。

图2-16 V_max与μ关系曲线

为了分析火箭飞行器结构质量Ms的影响，我们假定推进剂质量Mp和有效载荷Me均为常数，由：

$\mu =\frac{{{M}_{0}}}{{{M}_{f}}}=\frac{{{M}_{f}}+{{M}_{p}}}{{{M}_{f}}} $

$ \ \ \ \ \ =1+\frac{{{M}_{P}}}{{{M}_{f}}} $

其中飞行器的消极质量M_f是有效载荷Me和飞行器结构质量Ms之和，即：Mf=Me+Ms，在推进剂质量Mp为常数的情况下，上式可写为：

$\frac{\text{d}\mu }{\mu }=-\frac{1}{\mu }\frac{{{M}_{P}}}{{{M}_{f}}}\frac{\text{d}{{M}_{f}}}{{{M}_{f}}}$

代入（2-62）式即得

$\frac{\text{d}{{M}_{f}}}{{{M}_{f}}}=\frac{\mu }{\mu -1}\ln \mu \frac{\text{d}{{I}_{s}}}{{{I}_{s}}}$ （2-64）

飞行器的结构质量Ms是整个飞行器消极质量Mf的一部分，如果只考虑飞行器结构质量Ms的变化，可令$d{{M}_{f}}=d{{M}_{s}}$，将上式变为

$\frac{\text{d}{{M}_{s}}}{{{M}_{s}}}=\frac{{{M}_{f}}}{{{M}_{s}}}\frac{\mu }{\mu -1}\ln \mu (\frac{\text{d}{{I}_{s}}}{{{I}_{s}}})$$ （2-65）

式（2-65）说明，如果火箭飞行器的结构质量增加，则必须相应提高推进剂的比冲，才能保证飞行器一定的飞行速度，否则火箭的性能下降。不过从（2-65）式还可看出，飞行器结构质量的影响还与质量数μ值和Mf/Ms有关。一般说，μ越小，此项影响就越大。

为了分析推进剂密度对火箭性能的影响，可将（2-60）式代入（2-56）式，把齐奥尔科夫斯基公式改写为：

${{V}_{\max }}={{I}_{s}}\ln (1+{{\sigma }_{k}}{{\rho }_{P}})={{I}_{s}}\ln \left( 1+\frac{{{V}_{p}}}{{{M}_{f}}}\cdot {{\rho }_{p}} \right)$

从上式可见，在发动机质量（或结构）完善系数б_k一定的情况下，选用密度较大的推进剂，可以增加装药量而不增加发动机的结构质量，从而使V_max增大。因此，固体推进剂的高密度便成为一个很有意义的长处。利用相似的方法也可以从上式以及dV_max=0的条件得到：

$\frac{\text{d}{{I}_{s}}}{{{I}_{s}}}=-\frac{\zeta }{\ln \mu }\frac{\text{d}{{\rho }_{P}}}{{{\rho }_{P}}}$ （2-66）

式（2-66）表明，为了达到同一飞行速度，增大推进剂密度就相当于提高比冲，其作用之大小取决于推进剂质量比ζ和lnμ的值，一般说，单级火箭和多级火箭的第一、第二级（或助推器级）的推进剂质量比ζ值较大，而μ值较小，所以增加推进剂密度的作用相当大。在许多场合下，低比冲、高密度的固体推进剂比高比冲、小密度的液体推进剂更为优越（即可得到较大的V_max或ΔV_max）。这也是固体火箭发动机得到广泛应用的一个重要原因。

系统

331

第二章固体火箭发动机的主要性能参数

§2.1 推力与喷气速度

§2.2 喷管质量流率与特征速度

§2.3 推力系数

§2.4 最大推力

§2.5 发动机的高度特性

§2.6 总冲和比冲

§2.7 发动机性能参数的实际值

§2.8 发动机设计质量系数

§2.9 发动机及推进剂的性能对火箭飞行器性能的影响

系统

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§2.1 推力与喷气速度

§2.2 喷管质量流率与特征速度

§2.3 推力系数

§2.4 最大推力

§2.5 发动机的高度特性

§2.6 总冲和比冲

§2.7 发动机性能参数的实际值

§2.8 发动机设计质量系数

§2.9 发动机及推进剂的性能对火箭飞行器性能的影响

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