第一章 基础知识

矢量代数、矢量分析、场论以及曲线坐标系是多维气体动力学的基础，同时也是研究其它众多学科的有用工具。本章根据多维气体动力学的学习需求，简要地介绍矢量代数、矢量分析、场论和曲线坐标系的基础知识，目的是为多维流动学习建立必要的数学基础。需要说明的是，本章内容将着眼于工程应用，而不拘泥于严格的数学推导。

1.1 矢量代数

1.1.1 矢量概念

1）矢量的定义

在自然科学研究中，通常会遇到这样一类物理量，它们既有大小，又有方向，例如：速度、加速度、力、动量、流量等，这一类物理量称为矢量。

与矢量相对应，仅有大小，没有方向的物理量则称为标量。标量完全由其数值大小决定，例如：温度、压强、时间、质量和面积等。

2）矢量的表达方法

在数学上，用有向线段表示一个矢量。即用有向线段的长度来表示矢量的大小、用有向线段的方向来表示矢量的方向。

以\({{M}_{1}}\)为起点和\({{M}_{2}}\)为终点的有向线段所表示的矢量，记为\(\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}\)，如图1-1所示。习惯上，用粗体字母或具有上箭头的细体字母表示矢量。例如：\(a\)，\(M\)，\(v\)，\(F\)或\(\vec{a}\)，\(\overrightarrow{M}\)，\(\overrightarrow{v}\)，\(\overrightarrow{F}\)等等。

图1-1 矢量表示法

由于空间中的点可以用空间坐标表示，所以空间中的线段亦可以用坐标表示。

直角坐标系中矢量的分解表达式为：\(\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}=({{x}_{2}}-{{x}_{1}})\vec{i}+({{y}_{2}}-{{y}_{1}})\vec{j}+({{z}_{2}}-{{z}_{1}})\vec{k}\)，其中\(({{x}_{1}},{{y}_{1}},{{z}_{1}})\)，\(({{x}_{2}},{{y}_{2}},{{z}_{2}})\)分别是直角坐标系中矢量起点\({{M}_{1}}\)和矢量终点\({{M}_{2}}\)的坐标。

直角坐标系中矢量的坐标表达式为：\(\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}=\left\{ {{a}_{x}},{{a}_{y}},{{a}_{z}} \right\}\)，其中\({{\mathbf{q}}_{\mathbf{3}}}\)分别是直角坐标系中矢量\(\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}\)在三个坐标轴的投影值。

3）矢量的模

矢量的大小，即有向线段的长度，称为矢量的模。矢量\(\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}\)的模记为\(\left| \overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}} \right|\)；矢量\(a\)的模记为\(\left| a \right|\)。

4）单位矢量

模等于1的矢量称为单位矢量。而模等于0的矢量称为零矢量，零矢量用0或\(\overrightarrow{0}\)表示。

5）矢径

如果矢量的起点置于坐标原点\(O\)，终点为\({{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}}\)，则该矢量\(\overrightarrow{OM}\)称为点\(M\)对点\(O\)的矢径，常用粗体字\(r\)或者用具有上箭头的细体字母\(\vec{r}\)表示。

直角坐标系中，矢径的分解表达式为：\(\overrightarrow{OM}=\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}\)。

直角坐标系中，矢径的坐标表达式为：\(\overrightarrow{OM}=\vec{r}=\left\{ x,y,z \right\}\)。

由于矢径的起点位于坐标原点，因此，矢径的坐标与其终点坐标一致。

上式中，\(x,y,z\)为矢径端点M的坐标值，同时表示\(\vec{r}\)矢径在\(x,y,z\)坐标轴上的投影值，\(x,y,z\)又可成为坐标分量；\(\vec{i},\vec{j},\vec{k}\)分别表示\(x,y,z\)坐标轴上的单位矢量，其模为1，方向分别沿\(x,y,z\)坐标轴的正向。

6）矢径模与方向余弦的坐标表达式

矢径的两个要素分别其为大小和方向。

矢径可以用其坐标表示，也可用模和方向表示，因此，两种表示形式必然存在某种联系。下面给出矢量坐标表示的模和方向，以表述二者表达方式之间的联系。

设矢量\(\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}\text{=(}{{a}_{x}}\text{,}{{a}_{y}}\text{,}{{a}_{z}}\text{)}\)为自由矢量，为了处理方便将其起点\({{M}_{1}}\)置于坐标原点，那么它的终点\({{M}_{2}}\)的坐标就是\(\text{(}{{a}_{x}}\text{,}{{a}_{y}}\text{,}{{a}_{z}}\text{)}\)，这时该自由矢量变为失径，如下图1-2所示。

图1-2 矢量的模和方向

矢量\(\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}\)的模即为坐标原点O到\({{M}_{2}}\)的距离，因此有\(\left| \overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}} \right|\text{=}\left| \overrightarrow{O{{M}_{2}}} \right|=\sqrt{{{a}_{x}}^{2}\text{+}{{a}_{y}}^{2}\text{+}{{a}_{z}}^{2}}\)

矢量 \(\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}\)的方向，可由该矢量与三个坐标轴正向的夹角α，β，γ来确定，其中\(0\le \alpha \le \pi ,0\le \beta \le \pi ,0\le \gamma \le \pi \)。

α，β，γ称为矢量的方向角，可以唯一地确定矢量的方向。由上图还可得：

\(\cos \alpha =\frac{{{a}_{x}}}{\left| \overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}} \right|}=\frac{{{a}_{x}}}{\sqrt{{{a}_{x}}^{2}+{{a}_{y}}^{2}+{{a}_{z}}^{2}}}\)

\(\cos \beta =\frac{{{a}_{y}}}{\left| \overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}} \right|}=\frac{{{a}_{y}}}{\sqrt{{{a}_{x}}^{2}+{{a}_{y}}^{2}+{{a}_{z}}^{2}}}\)

\(\cos \alpha =\frac{{{a}_{z}}}{\left| \overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}} \right|}=\frac{{{a}_{z}}}{\sqrt{{{a}_{x}}^{2}+{{a}_{y}}^{2}+{{a}_{z}}^{2}}}\)

\(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma \)称为矢量\(\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}\)的方向余弦。容易得出方向余弦满足关系式：\({{\cos }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\beta +{{\cos }^{2}}\gamma =1\)。

7）用单位失径表示的矢径表达式

定义\(\vec{r}=r\cdot {{\vec{r}}_{0}}\)此处，\({{\vec{r}}_{0}}=\frac{{\vec{r}}}{r}\)是单位失径，其模为1，方向与\(\vec{r}\)相同。上式称为用单位失径表示的矢径表达式。\({{\vec{r}}_{0}}=\left\{ \cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma  \right\}\)

由上面不难看出，任意矢量的模、方向角、方向余弦以及单位矢量与矢径类似，在此不赘述。

1.1.2 矢量和与矢量差的定义与运算

矢量的“和”又称为矢量的“加”；矢量的“差”又称为矢量的“减”。

1）定义和运算法则

矢量的“和”与“差”可仿照两力合成原则进行，遵循平行四边形法则，定义如下：

（1）矢量和

设有矢量\(a=\overrightarrow{OA}\)和矢量\(b=\overrightarrow{OB}\)，以\(\overrightarrow{OA}\)和\(\overrightarrow{OB}\)为边作一平行四边形\(OACB\)，取对角线\(\overrightarrow{OC}\)表示为一矢量，记为\(c=\overrightarrow{OC}\)（如图1-3所示），则矢量\(c\)为矢量\(a\)和矢量\(b\)的“和”，记为：\(c=a+b\)。

不难看出，两矢量的“和”为以该两矢量为边所组成的平行四边形对角线矢量，这种法则称为平行四边形法则。

所谓矢量和的平行四边形法则就是用平行四边形对角线规定两矢量和的方法（如图1-3所示）。

矢量“和”也可按照矢量的三角形法则进行运算，其说明如下。矢量\(a\)和矢量\(b\)的和(或合成)是矢量\(c\)。将矢量\(b\)的起点放置在矢量\(a\)的终点处，再连接矢量\(a\)的起点到矢量\(b\)的终点而得到的矢量\(c\)，这一方法称为矢量加法的三角形法则，如图1-4所示。

图1-3 平行四边形法则 图1-4 三角形法则

（2）矢量差

矢量\(-b\)（如图1-5所示）是一个与\(b\)矢量大小（模）相等，方向相反的矢量，矢量\(a\)与\(b\)的差可以看成为矢量\(a\)与\(-b\)的和，如图1-6所示，这样就可以用矢量和的法则进行矢量差的运算，即：

\(c=a-b=a+(-b)\)

图1-5 矢量             图1-6 矢量减法定义

2）矢量“和”与“差”运算规律

设有矢量\(a=\left\{ {{a}_{x}},{{a}_{y}},{{a}_{z}} \right\}\)和矢量\(b=\left\{ {{b}_{x}},{{b}_{y}},{{b}_{z}} \right\}\)，即\(a={{a}_{x}}i+{{a}_{y}}j+{{a}_{z}}k\)，\(b={{b}_{x}}i+{{b}_{y}}j+{{b}_{z}}k\)，则

该两矢量和为：\(a+b=({{a}_{x}}+{{b}_{x}})i+({{a}_{y}}+{{b}_{y}})j+({{a}_{z}}+{{b}_{z}})k\)

该两矢量差为：\(a-b=({{a}_{x}}-{{b}_{x}})i+({{a}_{y}}-{{b}_{y}})j+({{a}_{z}}-{{b}_{z}})k\)

可以得出这样的重要结论：两矢量的和与差为对应分量的和与差。从几何角度来看，矢量\(a\)与矢量\(b\)的和（差）为，矢量\(a\)与矢量\(b\)（-\(b\)）所组成的平行四边形对角线矢量。

不难看出，矢量和差运算符合下面运算规律。

（1）交换律：\(a+b=b+a\)

（2）结合律：\(a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)\)

1.1.3 数量与矢量的乘法

设\(lambda\) 是一数量，\(a\)是一矢量。数量\(lambda\) 与矢量\(a\)的乘积\(\lambda a\)规定为：

\(\lambda a=\lambda ({{a}_{x}})i+\lambda ({{a}_{y}})j+\lambda ({{a}_{z}})k\)

当\(\lambda\) >0.时，\(\lambda a\)表示一新矢量，该新矢量的方向和\(a\)相同，模为\(\left| \lambda a \right|=\lambda \left| a \right|\)；

当\(\lambda\) =0时，\(\lambda a\)表示一零矢量，\(\lambda a=0\)；

当 \(\lambda\) <0.时，\(\lambda a\)表示一新矢量，该新矢量的方向和\(a\)相反，模为\(\left| \lambda a \right|=\left| \lambda  \right|\left| a \right|\)。

不难看出，数量与矢量的乘法符合下列运算法则：

（1）结合律：\(\lambda \left( \mu a \right)=\mu \left( \lambda a \right)=\left( \lambda \mu a \right)\)

（2）分配律：\(\left( \lambda +\mu  \right)a=\lambda a+\mu a\)

可以得出这样的重要结论：矢量与数量的乘仅需对矢量的各个坐标分别进行乘法运算，并且符合结合律和分配律。

1.1.4 两矢量的数量积

1）问题的引入

设一物体在常力\(F\)作用下沿直线由\({{M}_{1}}\)点移动到\({{M}_{2}}\)点，\(r\)表示位移\(\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}\)，则力\(F\)所做功为：

\(W=\left| F \right|\left| r \right|\cos \theta \)

其中：\(\theta \)为\(F\)与\(r\)夹角，如图1-7所示。

图1-7 物体运动做功图

由上述问题可知，我们有时需要矢量\(a\)和矢量\(b\)的模及它们夹角余弦乘积的运算，这一乘积称为矢量\(a\)和矢量\(b\)的数量积，又称为矢量\(a\)与矢量\(b\)的点积,记为\(a\bullet b\)。

2）定义

设有矢量\(a\)和矢量\(b\)，该两矢量的夹角为\(\theta \)，该两矢量的数量积\(c\)定义为

  \(c=a\bullet b=\left| a \right|\cdot \left| b \right|\cdot cos\left( a\mathbf{,}b \right)=\left| a \right|\cdot \left| b \right|\cdot cos\theta \)                  （1.1.1）

由于，\(\left| b \right|\cdot cos\left( a\mathbf{,}b \right)=\left| b \right|\cdot cos\theta \)为矢量\(b\)在矢量\(a\)方向上的投影，因此，两矢量的数量积也可表达为一个矢量的模和另一矢量在该矢量方向上投影的乘积。

重要结论：两矢量的数量积可表达为一个矢量的模和另一矢量在前一矢量方向上投影的乘积。

3）两矢量数量积的坐标表示法

在直角坐标系中，设\(a=\left( {{a}_{x}},{{a}_{y}},{{a}_{z}} \right)\)，\(\mathbf{b}=\left( {{b}_{x}},{{b}_{y}},{{b}_{z}} \right)\)，则

\(c=a\bullet b=\left( {{a}_{x}},{{a}_{y}},{{a}_{z}} \right)\bullet \left( {{b}_{x}},{{b}_{y}},{{b}_{z}} \right)=\left( {{a}_{x}}{{b}_{x}}+{{a}_{y}}{{b}_{y}}+{{a}_{z}}{{b}_{z}} \right)\).                  （1.1.2）

矢量本身的数量积可表示为

  \(a\bullet a=a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}={{a}_{i}}\bullet {{a}_{i}}\)                （1.1.3）

注意：公式（1.1.3）中\({{a}_{i}}\bullet {{a}_{i}}\)为张量表达式，它是\(a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}\)的缩写。

结论：两矢量点积为两矢量对应分量乘积求和。

4）两矢量数量积的运算法则

（1）交换律      \(a\bullet b=b\bullet a\)

（2）分配律       \(a\bullet \left( b+c \right)=a\bullet b+a\bullet c\)

（3）结合律       \(m\left( a\bullet b \right)=\left( ma \right)\bullet b=a\bullet \left( mb \right)=\left( a\bullet b \right)m\)

结论：两矢量的点积符合交换律、分配律和结合律的运算法则。

5）两矢量垂直的充分必要条件

设有矢量\(a\)、\(\mathbf{b}\)，且\(a\ne 0\)，\(\mathbf{b}\ne 0\)，\(a\bot \mathbf{b}\)，则\(a\bullet b=\left| a \right|\cdot \left| b \right|\cdot \cos \theta =a\cdot b\cdot \cos \theta =0\)

由此可得结论：两个非零矢量垂直的充分必要条件为这两个矢量的数量积为零。

上述观点包括两个方面：

（1）若两个非零矢量垂直，则数量积必为零；

（2）若两个非零矢量的数量积为零，则两个非零矢量必垂直。

利用两个矢量的数量积定义可容易证明这个结论，读者不妨自己推导。

6）直角坐标系中各单位矢量之间的关系

在直角坐标系中，三个坐标轴用\(x,y,z\)表示，三个坐标轴上的单位矢量用\(i,j,k\)表示，三个坐标轴上单位矢量之间存在如下关系：

\(i\bullet i=1,j\bullet j=1;k\bullet k=1\).
\(i\bullet j=0;j\bullet k=0;k\bullet i=0\)
7）应用
（1）求解某个方向的分矢量
例1-1 设已知一个方向的动量方程为\(F(M)=0\)，试求另一个方向（该方向单位矢量为\({{l}_{0}}\)）的动量方程？
解：根据两矢量数量积的意义可知：两矢量的数量积可表达为其中一个矢量的模和另一矢量在这个矢量方向上投影的乘积。
因此，可用已知方向的动量方程和所求方向矢量的数量积来求。
这样，所求方向的动量方程数学表达式为：\(F(M)\bullet {{l}_{0}}=0\)
其中：\({{\mathsf{l}}_{0}}\)为所求方向的单位矢量。
（2）计算通过一曲面的流体体积流率。
例1-2 设有一曲面\(\sigma \)，通过该曲面的流体的速度为\(V\)，求通过该曲面\(\sigma \)的流体体积流量？
解：在曲面 上取微元面矢量\(\mathbf{dA}=dAn\)，\(n\)为微元面法矢量，\(V\)与\(n\)夹角为\(\theta \)，则通过该微元面的流体体积流量为速度矢量和微元面法矢量的数量积。
\(d\dot{m}=V\bullet dA=dA\cdot V\cdot \cos \theta \)
利用曲面积分概念，则通过曲面$\sigma $的流体体积流量为：
\(\dot{m}=\iint\limits_{\sigma }{d\dot{m}}=\iint\limits_{\sigma }{V\bullet dA}=\iint\limits_{\sigma }{V\cdot \cos \theta \cdot dA}\)
容易得出，当求通过曲面$\sigma $的流体质量流量时，只要在上述方程中加入流体密度即可。
注：流体体积流率和质量流率概念不同；公式中\(d\dot{m}\)是微元体积流率，质量流率需要密度与\(d\dot{m}\)相乘！

1.1.5 两矢量的矢量积
1）定义
矢量\(a\)和\(b\)的矢量积（又称“叉”积）为一新矢量，记为\(a\times b=c\)。矢量积\(c\)的大小为矢量\(a\)的模、矢量\(b\)的模与它们夹角正弦的乘积，方向垂直\(a\)与\(b\)所组成的平面，且符合右手定则。
\(\left| a\times b \right|=absin\left( a,b \right)\)          (1.1.4)
式（1.1.4）的结果是以\(a\)、\(b\)为邻边的平行四边形的面积。矢量的叉积如图1-8所示。

图1-8 矢量叉积示意图
结论：两矢量的矢量积为一新矢量，该新矢量的大小为两矢量所组成的平行四边形的面积，方向符合右手定则。
2）两矢量矢量积的坐标表示法

在给定的坐标系中，设有矢量\(a=\left( {{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}} \right)\)和矢量\(b=\left( {{b}_{1}},{{b}_{2}},{{b}_{3}} \right),\)则两矢量\(a,b\)的矢量积为

\(a\times b=\left( {{a}_{1}}{{e}_{\mathbf{1}}}+{{a}_{2}}{{e}_{\mathbf{2}}}+{{a}_{3}}{{e}_{\mathbf{3}}} \right)\times \left( {{b}_{1}}{{e}_{\mathbf{1}}}+{{b}_{2}}{{e}_{\mathbf{2}}}+{{b}_{3}}{{e}_{\mathbf{3}}} \right)=\left( {{a}_{2}}{{b}_{3}}-{{a}_{3}}{{b}_{2}} \right){{e}_{\mathbf{1}}}+\left( {{a}_{3}}{{b}_{1}}-{{a}_{1}}{{b}_{3}} \right){{e}_{\mathbf{2}}}+\left( {{a}_{1}}{{b}_{2}}-{{a}_{2}}{{b}_{1}} \right){{e}_{\mathbf{3}}}\).

或

          

(1.1.5)

 

计算法则：按照线性代数中三阶行列式的Laplace展开式计算。
3）矢量积的运算法则
（1）交换律不成立

\(a\times b\ne b\times a\)，而是\(a\times b=-b\times a\)

（2）符合分配律

\(a\times \left( b+c \right)=a\times b+a\times c\)

（3）符合结合律

数乘两矢量的矢量积，具有如下的性质：

\(m\left( a\times b \right)=\left( ma \right)\times b=a\times \left( mb \right)=\left( a\times b \right)m\)

矢量和的矢量积运算公式：

   \(\left( \sum\limits_{i=1}^{k}{{{m}_{i}}{{a}_{i}}} \right)\times \left( \sum\limits_{j=1}^{l}{{{n}_{j}}{{b}_{j}}} \right)=\sum\limits_{i=1}^{k}{\sum\limits_{j=1}^{l}{{{m}_{i}}{{n}_{j}}\left( {{a}_{i}}\times {{b}_{j}} \right)}}=-\sum\limits_{j=1}^{l}{\sum\limits_{i=1}^{k}{{{m}_{i}}{{n}_{j}}}}\left( {{b}_{j}}\times {{a}_{i}} \right)\)                                (1.1.6)

4）两矢量共线（或平行）的充分必要条件

若\(a\)和\(b\)为非零矢量，且\(a\times b=0\)，则\(a\)必平行于\(b\)。

从上面可得，两个非零矢量共线（或平行）的充分必要条件为：这两个矢量的矢量积为零。

上述观点可以从下面两个方面理解。

（1）若两个非零矢量共线（或平行），则矢量积为零；

（2）若两个非零矢量的矢量积为零，则两个非零矢量共线（或平行）。

利用两个矢量矢量积的定义容易证明这个结论。

重要引论

若\(a//b,\)则\(a\times b=0\)，即\(a\times b\)的三个分量全为零。其式为

  \( {{a}_{2}}{{b}_{3}}-{{a}_{3}}{{b}_{2}}=0\quad \quad \quad \quad \quad \quad \frac{{{a}_{2}}}{{{b}_{2}}}=\frac{{{a}_{3}}}{{{b}_{3}}}\)

 \({{a}_{3}}{{b}_{1}}-{{a}_{1}}{{b}_{3}}=0\quad \quad \quad \quad \quad \quad \frac{{{a}_{1}}}{{{b}_{1}}}=\frac{{{a}_{3}}}{{{b}_{3}}}\)

 \({{a}_{1}}{{b}_{2}}-{{a}_{2}}{{b}_{1}}=0\quad \quad \quad \quad \quad \quad \frac{{{a}_{1}}}{{{b}_{1}}}=\frac{{{a}_{2}}}{{{b}_{2}}}\)

所以

\(\frac{{{a}_{1}}}{{{b}_{1}}}=\frac{{{a}_{2}}}{{{b}_{2}}}=\frac{{{a}_{3}}}{{{b}_{3}}}\)         （1.1.7）

式（1.1.7）为用分量表示的两矢量共线或平行的条件。

结论：两矢量共线或平行的条件是两矢量对应分量成正比例

5）直角坐标系中各单位矢量之关系

在直角坐标系中，三个坐标轴用 表示，三个坐标轴上单位矢量用\(i,j,k\) 表示，三个

坐标轴上单位矢量关系如下：

1.1.6 三矢混合积与三矢矢积

1）三个矢量的混合积\(a\bullet \left( b\times c \right)\)

（1）定义

设有三个矢量\(a\)、\(b\)和\(c\)，三个矢量的混合积定义为\(a\bullet \left( b\times c \right)\)，其为一标量。

（2）运算法则

先进行\(\left( b\times c \right)\)，再将\(\left( b\times c \right)\)的结果与\(a\)“点”积。

因为\(\left( b\times c \right)\)为一矢量，所以\(a\)与\(\left( b\times c \right)\)的“点”积为数量。乘积\(a\bullet \left( b\times c \right)\)称为数量三重积，也称混合积。

（3）几何意义

图1-9 数量三重积示意图

如图1-9所示，\(n\)为以\(b\)和\(c\)为邻边的平行四边形的法向单位矢量，方向与\(b\times c\)相同。\(b\times c\)的模\(\left| b \right|\cdot \left| c \right|\cdot sin\theta \)等于该平行四边形的面积，\(\theta \)为边\(b\)和\(c\)的夹角。

所以

可见，三矢量的混合积是一个数量，其绝对值表示以矢量\(ab\)和\(c\)为棱的平行六面体的体积。

若\(a\)与\(\left( b\times c \right)\)不在由\(b\)和\(c\)确定的平面的同一侧，即\(a\bullet n<0\)，则\(a\bullet \left( b\times c \right)\)为负值；由于以矢量为棱所组成的平行六面体体积\(V\)本身不会是负值，因此

   \(a\bullet \left( b\times c \right)=\pm V\)              (1.1.8)

（4）三个矢量混合积的坐标表示法

设有矢量\(a b c\)，其坐标表达式为

三个矢量的混合积用坐标表示为

 

      (1.1.9)

 

（5）重要公式

根据行列式的性质，三矢量的混合积有下述性质：按顺序轮换三矢量混合积的三个因子，其积不变；对调两个相邻的因子，则要改变积的符号。即

\(a\bullet \left( b\times c \right)=b\bullet \left( \mathbf{c}\times a \right)=\mathbf{c}\bullet \left( a\times b \right)=-a\bullet \left( \mathbf{c}\times b \right)=-b\bullet \left( a\times \mathbf{c} \right)=-\mathbf{c}\bullet \left( b\times a \right)\)

上述公式常在流体力学中用于简化定律方程。

若\(V=0\)，则表示\(abc\)共面。因此三矢量共面的条件为：

 \(a\bullet \left( b\times c \right)=0\)             (1.1.10)

只要\(a b c\)中任意两个矢量共线，式（1.1.10）均成立。

2）三个矢量的矢积\(a\times \left( b\times c \right)\)

（1）定义

设有三个矢量\(a b\)和\(c\)，三个矢量的矢积定义为：\(a\times \left( b\times c \right)\)，其为一矢量，故称为矢量三重积。

（2）运算规则

其运算规则为：先进行矢量\(b,c\)的矢量积运算，然后\(a\)矢量再与\(b ,c\)的矢量积进行矢量积运算。

1.2 矢量分析

本节将简要介绍矢性函数及其微积分知识，其在工程数学中被称为矢量分析，是矢量代数知识的深入和延续，是场论的基础，同时也是进行许多科学研究的重要工具之一。

1.2.1 矢性函数

1）矢性函数的概念

由前面矢量代数学习可知，矢量可分为常矢量和变矢量。我们把模和方向都保持不变的矢量称为常矢量；然而，在许多科学问题中，常常会遇到许多模和方向全部或其中之一改变的矢量，我们称其为变矢量。

我们知道，数量可以是变量，可以函数的形式出现，既然它可以以函数形式出现，那么它应该具备函数所具有的连续、极限、微分、积分等特征。

与数性变量类似，矢量也可以是变量，可以以函数形式出现，也应具备函数所具有的连续、极限、微分、积分等特征。

（1）矢性函数的定义

设有一矢量变量\(A\)和一数性变量\(t\)，如果当变量\(t\)在某个范围\(\left( {{t}_{1}},{{t}_{2}} \right)\)内取任一定值，变量\(A\)按照一定规律总有一确定值与它对应，则称矢量变量\(A\)为数性变量\(t\)的矢性函数，记为

    \(A=A(t)\)                             (1.2.1)

区间\(\left( {{t}_{1}},{{t}_{2}} \right)\)称为函数\(A\)的定义域。

在直角坐标系中，矢性函数\(A(t)\)可用三个坐标表示，

    \(A\text{=}{{A}_{x}}i+{{A}_{y}}j+{{A}_{z}}k\)     (1.2.2)

显然，三个坐标上的分量也应为\(t\)的函数：

\({{A}_{x}}(t)\)，\({{A}_{y}}(t)\)，\({{A}_{z}}(t)\)

其中：\(i\mathsf{}j\mathsf{}k\)为沿\(x\text{,}y\text{,}z\)三个坐标轴正向的单位矢量。

结论：一个矢性函数和三个有序的数性函数构成了一一对应关系。

2）矢端曲线及其矢量方程和参数方程

如图1-10所示，设\(A\text{(}t\text{)}\)为自由矢量，为了用图形直观表示矢性函数的变化规律，将\(A\text{(}t\text{)}\)的起点置于坐标原点，此时\(A\text{(}t\text{)}\)变为矢径\(r\)。

当 变化时，矢量\(A\text{(}t\text{)}\)的终点\(M\)就在空间中描绘出一条有向曲线\(l\)，该曲线称为矢性函数的矢端曲线，亦称矢性函数\(A\text{(}t\text{)}\)的图形。同时，称式（1.2.1）或式（1.2.2）为该曲线的矢量方程。

显然，\(A\text{(}t\text{)}\)的三个坐标\({{A}_{x}}\text{(}t\text{),}{{A}_{y}}\text{(}t\text{)},{{A}_{z}}\text{(}t\text{)}\)分量对应于失端终点M的三个坐标\(x,y,z\)，即有

 \(x={{A}_{x}}(t),y={{A}_{y}}(t),z={{A}_{z}}(t)\)      (1.2.3)

式(1.2.3)是曲线\(l\)的以\(t\)为参数的参数方程。

容易看出，曲线\(l\)的矢量方程（1.2.2）和参数方程（1.2.3）之间有着明显的一一对应关系。

矢性函数\(A\text{(}t\text{)}\)转化为矢径，如图1-10中的线段\(\overrightarrow{OM}\)。其用\(r\)表示为：

\(r=\overrightarrow{OM}=xi+yj+zk\)                                                                      (1.2.4)

图1-10 矢端曲线

典型曲线的矢量方程与参数方程如表1-1所示。

表1-1 典型曲线的矢量方程与参数方程

3）矢性函数的极限和连续性

与数性函数一样，矢性函数也具有极限和连续的概念。

（1）矢性函数极限的定义

类似于数性函数极限的定义，矢性函数极限定义如下。

设有矢性函数\(A\text{(}t\text{)}\)和数性变量\(t\)，矢性函数\(A\text{(}t\text{)}\)在点\({{t}_{0}}\)的某个邻域内有定义，如果\(t\)无限接近于\({{t}_{0}}\)时，即\(t\to {{t}_{0}}(t\ne {{t}_{0}})\)，函数\(A\text{(}t\text{)}\)无限接近于一个确定值\({{\text{A}}_{0}}\)，我们就说，\({{\text{A}}_{0}}\)是函数\(A\text{(t)}\)当\(t\to {{t}_{0}}(t\ne {{t}_{0}})\)时的极限，记为

\(\underset{t\to {{t}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,A\left( t \right)={{A}_{0}}\)

或

\(A\text{(}t\text{)}\to {{A}_{0}}\)         \((t\to {{t}_{0}})\)

矢性函数的运算法则：

Ⅰ.   \(\underset{t\to {{t}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,u\left( t \right)A\left( \text{t} \right)=\underset{t\to {{t}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,u\left( t \right)\underset{t\to {{t}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,A\left( \text{t} \right)\)

Ⅱ.   \(\underset{t\to {{t}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left[ A\left( \text{t} \right)\pm B\left( \text{t} \right) \right]=\underset{t\to {{t}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,A\left( \text{t} \right)\pm \underset{t\to {{t}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,B\left( \text{t} \right)\)

Ⅲ.   \(\underset{t\to {{t}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left[ A\left( \text{t} \right)\times B\left( \text{t} \right) \right]=\underset{t\to {{t}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,A\left( \text{t} \right)\times \underset{t\to {{t}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,B\left( \text{t} \right)\)

其中：\(u\left( t \right)\)为数性函数，\(A\left( \text{t} \right)\)与\(B\left( \text{t} \right)\)为矢性函数；且当\(t\to {{t}_{0}}\)时，\(u\left( t \right),A\left( \text{t} \right),B\left( \text{t} \right)\)均有极限存在。

（2）矢性函数连续的定义

设矢性函数\(A\left( \text{t} \right)\)在点\({{t}_{0}}\)的某个邻域内有定义，当自变量\(t\)在\({{t}_{0}}\)处有微小增量\(\Delta t=t-{{t}_{0}}\)，相应的函数增量为\(\Delta A\text{(t)=}A\text{(}{{\text{t}}_{0}}\text{+}\Delta \text{t)}-A\text{(}{{\text{t}}_{0}}\text{)}\)，如果当\(\Delta t=t-{{t}_{0}}\)无限接近于0时，函数增量\(\Delta A\text{(t)=}A\text{(}{{\text{t}}_{0}}\text{+}\Delta \text{t)}-A\text{(}{{\text{t}}_{0}}\text{)}\)也无限接近于0，即

\(\underset{t\to {{t}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,A\left( \text{t} \right)=A\left( {{\text{t}}_{0}} \right)\)

则称\(A\left( \text{t} \right)\)在点\(t={{t}_{0}}\)处连续。

容易得出：矢性函数\(A\left( \text{t} \right)\)在点\({{t}_{0}}\)处连续的充要条件是它的三个坐标函数\({{\text{A}}_{x}}(t)\)，\({{\text{A}}_{y}}(t)\)，\({{\text{A}}_{z}}(t)\)在\({{t}_{0}}\)处均连续。

若矢性函数\(A\left( \text{t} \right)\)在某个区间内的每一点处都连续，则称它在该区间连续。

1.2.2 矢性函数的导数和微分

1）矢性函数的导数

如图1-11所示，设有一起点在\(o\)点的矢性函数\(A\left( \text{t} \right)\)，当数性变量 在其定义域内从 变到\(t+\Delta t\left( \Delta t\ne 0 \right)\)时，对应的矢量分别为

\(A\left( t \right)=\overrightarrow{OM}\)；\(A\left( t+\Delta t \right)=\overrightarrow{ON}\)

图1-11 矢性函数的导数

则\(A\left( t+\Delta t \right)-A\left( t \right)=\overrightarrow{MN}\)，其叫做矢性函数\(A\left( t \right)\)的增量，记作\(\Delta A\)，即

\(\Delta A=A\left( t+\Delta t \right)-A\left( t \right)\)

定义：设矢性函数\(A\left( t \right)\)在点\(t\)的某一邻域\(({{t}_{1}},{{t}_{2}})\)内有定义，点\(t\)和\(t+\Delta t\)位于\(({{t}_{1}},{{t}_{2}})\)内，当自变量\(t\)有增量\(\Delta t\)，相应函数有增量\(\Delta A=A\left( t+\Delta t \right)-A\left( t \right)\)，函数\(A\left( t \right)\)对应于\(\Delta t\)的增量\(\Delta A\)与\(\Delta t\)之比为

\(\frac{\Delta A}{\Delta t}=\frac{A\left( t+\Delta t \right)-A\left( \text{t} \right)}{\Delta t}\)

当\(\Delta t\to 0\)时，如果\(\frac{\Delta A}{\Delta t}\)的极限存在，则称此极限为矢性函数\(A\left( t \right)\)在点\(t\)处的导数（简称导矢），即

\(\frac{dA}{dt}=\underset{\Delta t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta A}{\Delta t}=\underset{\Delta t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{A\left( t+\Delta t \right)-A\left( \text{t} \right)}{\Delta t}\)

记作\(\frac{dA}{dt}\)或\({{A}^{\prime }}\left( t \right)\)。

坐标表示法：若\(A\left( t \right)\)由坐标式给出，即

   \(A(t)={{A}_{x}}(t)i+{{A}_{y}}(t)j+{{A}_{z}}(t)k\)

当函数\({{A}_{x}}(t),{{A}_{y}}(t),{{A}_{z}}(t)\)在点\(t\)可导，则有

\(\frac{dA}{dt}=\underset{\Delta t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta A}{\Delta t}=\underset{\Delta t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta {{A}_{x}}}{\Delta t}i+\underset{\Delta t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta {{A}_{y}}}{\Delta t}j+\underset{\Delta t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta {{A}_{z}}}{\Delta t}k\)

\(=\frac{d{{A}_{x}}}{dt}i+\frac{d{{A}_{y}}}{dt}j+\frac{d{{A}_{z}}}{dt}k\)

即

        \({A}’\left( t \right)={{{A}’}_{x}}(t)i+{{{A}’}_{y}}(t)j+{{{A}’}_{z}}(t)k\)   (1.2.4)

结论：对矢性函数的导数可归结为三个数性函数的求导。

2）导矢的几何意义

如图1-12所示，设 为矢性函数\(A\left( t \right)\)的矢端曲线，点\(M\)因此失端曲线上的一点，点\(N\)为此失端曲线上靠近点\(M\)的另一点，此时，\(\overrightarrow{OM}\)对应矢量\(A\left( t \right)\)，\(\overrightarrow{ON}\)对应矢量\(A\left( t+\Delta t \right)\)，\(\overrightarrow{MN}\)对应于\(\Delta A\)。\(\frac{\Delta A}{\Delta t}\)称为\(l\)上割线\(MN\)的一个矢量。

当\(\Delta t>0\)时，其指向与\(\Delta A\)一致，即指向对应\(t\)值增大的一方；当\(\Delta t<0\)时，其指向与\(\Delta A\)相反，即指向对应\(t\)值减少的一方。

图1-12 导矢几何意义

在\(\Delta t\to 0\)时，由于割线\(MN\)将绕点\(M\)转动，\(N\)点无限接近于点\(M\)，\(M\)处的切线成为其极限位置。此时，割线上的矢量\(\frac{\Delta A}{\Delta t}\)的极限位置自然也就在此切线上，如此，导矢

\({A}’\left( t \right)=\underset{\Delta t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta A}{\Delta t}\)

处于点\(M\)处的切线上。

由上述分析可知，导矢的方向恒指向对应\(t\)值增大的一方，故导矢在几何上为一矢端曲线的切向矢量，指向对应\(t\)值增大的一方。

导矢的数学本质：\(\frac{\Delta A}{\Delta t}\)是函数\(A\)在以\(t\)和\(t+\Delta t\left( \Delta t\ne 0 \right)\)为端点区域上的平均变化率；而导矢\({A}’\left( t \right)=\frac{dA}{dt}\)是函数在\(t\)处的变化率，反映了函数随自变量变化的快慢程度。

3）矢性函数的微分

（1）微分的概念与几何意义

设有矢性函数\(A\left( t \right)\)，我们把

 \(dA={A}’\left( t \right)\cdot dt\)

称为矢性函数\(A\left( t \right)\)在\(t\)处的微分。

由于微分\(dA\)是导矢\({A}’\left( t \right)\)和增量\(\Delta t\)的乘积，所以它是一个新矢量，在点\(M\)处与\(A\left( \text{t} \right)\)的矢端曲线\(l\)相切。其指向为：当\(dt>0\)时，与\({A}’\left( t \right)\)的方向一致；当\(dt<0\)时，则与\({A}’\left( t \right)\)的方向相反，如图1-13所示。

图1-13 矢性函数的微分

表示法：微分\(dA\)的坐标表示式可由（1.2.4）式求得，即

\(dA={A}’\left( t \right)dt\)\(={{{A}’}_{x}}(t)dti+{{{A}’}_{y}}(t)dtj+{{{A}’}_{z}}(t)dtk\)

或

 \(dA=d{{A}_{X}}i+d{{A}_{Y}}j+d{{A}_{Z}}k\) (1.2.5)

结论：对矢性函数的微分归结为三个数性函数的微分。

（2）\(\frac{dr}{ds}\) 的几何意义

把矢性函数\(A\left( t \right)={{A}_{x}}\left( t \right)i+{{A}_{y}}\left( t \right)j+{{A}_{z}}\left( t \right)k\)看作起始于坐标原点的矢量，其变为失径，该失径表达式为

\(r=xi+yj+zk\)

存在\(x={{A}_{x}}(t)\)，\(y={{A}_{y}}(t)\)，\(z={{A}_{z}}(t)\)关系

       \(dr=dxi+dyj+dzk\)                             (1.2.6)

其模如图1-14所示，

        \(\left| dr \right|=\sqrt{d{{x}^{2}}+d{{y}^{2}}+d{{z}^{2}}}\)                                      (1.2.7)

图1-14 弧微分示意图

此时，\(\overrightarrow{OM}\)对应矢量\(r\)，\(\overrightarrow{ON}\)对应矢量\(r\text{+}dr\)，\(\overrightarrow{MN}\)对应于\(dr\)，\(MN\)弧长为\(ds\)。

由此可见

                                                                    \(\left| dr \right|=ds\)                            (1.2.8)

即矢性函数的微分的模等于弧微分的绝对值，从而由

\(\left| dr \right|=\left| \frac{dr}{ds}ds \right|=\left| \frac{dr}{ds} \right|\bullet \left| ds \right|\)

得出

  \(\left| \frac{dr}{ds} \right|=\left| \frac{dr}{ds} \right|=1\)                                                 (1.2.9)

结合导矢的几何意义可知，矢性函数对（其矢端曲线的）弧长\(s\)的导数\(\frac{dr}{ds}\)在几何上为一切向单位矢量，且方向恒指向\(s\)增大的方向。

（3）\(\frac{dr}{dt}\)的物理意义

如图1-15所示，假定质点在时刻$t=0$时位于点\({{M}_{0}}\)处，经过一段时间\(\Delta t\)后到达点\(M\)，其间在\(\mathbf{l}\)上所经过的路程为\(s\)。点\(M\)的矢径\(r\)显然是路程\(s\)的函数，而\(s\)又是时间\(t\)的函数，则有

\[\frac{dr}{dt}=\frac{dr}{ds}\cdot \frac{ds}{dt}\]

图1-15 \(\frac{dr}{dt}\)的物理意义

上式中，\(\frac{dr}{ds}\)的几何意义如前所述，表示一单位切矢量，现以\(\tau \)表示。式中，\(\frac{ds}{dt}\)是路程\(s\)对时间\(t\)的变化率，表示在点\(M\)处质点的运动速度，用\(v\)表示，则有\(\frac{dr}{ds}=v\tau \)
由上式可知，导矢\(\frac{dr}{dt}\)表示质点\(M\)运动的速度大小和方向，因而它就是质点\(M\)运动的速度矢量\(\mathbf{v}\)，即
\(v=\frac{dr}{dt}=v\tau \)
若定义二阶导矢\(\frac{{{d}^{2}}r}{d{{t}^{2}}}=\frac{d}{dt}\left( \frac{dr}{dt} \right)\)，则\(\mathbf{a}=\frac{dv}{dt}=\frac{{{d}^{2}}r}{d{{t}^{2}}}\)为质点\(M\)运动的加速度矢量。
上述两个表达式在后面的学习中将被广泛地应用。
（4）矢性函数的导数公式
设矢性函数\(A=A\left( t \right),B=B\left( t \right)\)及数性函数\(u=u\left( t \right)\)在\(t\)的某个范围内可导，则下列公式在该范围内成立：
（1）\(\frac{d}{dt}C=0\)（ 为常矢）；
（2）\(\frac{d}{dt}\left( A\pm B \right)=\frac{dA}{dt}\pm \frac{dB}{dt}\)；
（3）\(\frac{d}{dt}\left( kA \right)=k\frac{dA}{dt}\)（ 为常数）；
（4）\(\frac{d}{dt}(uA)=\frac{du}{dt}A+u\frac{dA}{dt}\)；
（5）\(\frac{d}{dt}\left( A\bullet B \right)=A\bullet \frac{dB}{dt}+\frac{dA}{dt}\bullet B\)；
特例：\(\frac{d}{dt}{{A}^{2}}=2A\bullet \frac{dA}{dt}\)（其中\({{A}^{2}}=A\bullet A\)）
（6）复合函数求导公式：若\(A=A\left( u \right),u=u\left( t \right)\)，则
\(\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{du}\frac{du}{dt}\).
1.2.3 矢性函数的积分
矢性函数与数性函数类似，也存在不定积分和定积分，现分述于下：
1）矢性函数的不定积分
若在变量\(t\)的某个区间\(I\)上，有\({B}’\left( t \right)=A\left( t \right)\)，则称\(B\left( t \right)\)为\(A\left( t \right)\)在此区间上的一个原函数，在该区间\(I\)上，\(A\left( t \right)\)原函数的全体，叫做\(A\left( t \right)\)在\(I\)上的不定积分，记作
\(\int{A(t)}dt\) （1.2.10）
这个定义和数性函数的不定积分定义类似，故和数性函数一样，若已知\(B\left( t \right)\)是\(A\left( t \right)\)的一个原函数，则有
\(\int{A\left( t \right)dt=B\left( t \right)+C,}\)（\(=\left\{ t,N \right\}\)为任意常矢） （1.2.11）
而且，数性函数不定积分的基本性质对矢性函数来说也仍然成立。
例如：
\(\int{k}A\left( t \right)dt=k\int{A\left( t \right)dt}\) （1.2.12）
\(\int{\left( A\left( t \right)\pm B\left( t \right) \right)}=\int{A\left( t \right)dt}\pm \int{B\left( t \right)dt}\) （1.2.13）
\(\int{u\left( t \right)}adt=a\int{u\left( t \right)}dt\) （1.2.14）
\(\int{a\bullet }A\left( t \right)dt=a\bullet \int{A\left( t \right)dt}\) （1.2.15）
\(\int{a\times }A\left( t \right)dt=a\times \int{A\left( t \right)dt}\) （1.2.16）
其中：\(k\)为非零常数，\(a\)为非零常矢。
据此，若已知\(A={{A}_{x}}i+{{A}_{y}}j+{{A}_{z}}k\)，则由（1.2.13）与（1.2.14）式得
（1.2.17）
此式将求一个矢性函数的不定积分，归结为求三个数性函数的不定积分。此外，数性函数的换元积分法与分部积分法亦适用于矢性函数，但由于两个矢量的矢量积符合于负交换律，即\(A\times B=-\left( B\times A \right)\)，故其分步积分公式的右端应为两项相加
\(\int{A\times {B}’}dt=A\times B+\int{B\times {A}’}dt\) （1.2.18）
2）矢性函数的定积分
设矢性函数\(A\left( t \right)\)在自变量\(t\)的区间\(\left( {{T}_{1}},{{T}_{2}} \right)\)上连续，则\(A\left( t \right)\)在\(\Delta t\)上的定积分是指如下形式的极限：
\(\int_{{{T}_{1}}}^{{{T}_{2}}}{A\left( t \right)dt}=\underset{\lambda \to 0}{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{i=0}^{n}{A\left( {{\xi }_{i}} \right)}\Delta {{t}_{i}}\) （1.2.19）
其中：\({{T}_{1}}={{t}_{0}}<{{t}_{1}}<…<{{t}_{n}}\)；\({{\xi }_{i}}\)为区间\(\left( {{t}_{i-1}},{{t}_{i}} \right)\)上的一点；\(\Delta {{t}_{i}}={{t}_{i}}-{{t}_{i-1}},\lambda =\max \Delta {{t}_{i}}\)，\(i=1,2,…n\)
矢性函数的定积分概念也和数性函数的定积分类似。因此，也具有和数性函数定积分相应的基本性质。例如：
若\(B\left( t \right)\)是连续矢性函数\(A\left( t \right)\)在区间\(\left( {{T}_{1}},{{T}_{2}} \right)\)上的一个原函数，则有
\(\int_{{{T}_{1}}}^{{{T}_{2}}}{A\left( t \right)dt}=B\left( {{T}_{2}} \right)-B\left( {{T}_{1}} \right)\) （1.2.20）
其他的性质就不一一列举了。
此外，类似于式（1.2.17），求矢性函数的定积分也可归结为求三个数性函数的定积分，即有
\(\int_{{{T}_{1}}}^{{{T}_{2}}}{A\left( t \right)dt}=\int_{{{T}_{1}}}^{{{T}_{2}}}{{{A}_{x}}\left( t \right)dt}i+\int_{{{T}_{1}}}^{{{T}_{2}}}{{{A}_{y}}\left( t \right)dt}j+\int_{{{T}_{1}}}^{{{T}_{2}}}{{{A}_{z}}\left( t \right)dt}k\)
结论：矢性函数的不定积分和定积分，均可以归结为求三个数性函数的不定积分和定积分。
1.3 场论基础
许多科学技术问题的研究中，常常需要考察某种物理量（如：温度、压力、密度及速度等）在空间中的分布与变化规律。为了能够更好地揭示和探索这些规律，在数学上引入场的概念。气体动力学中，采用场的概念可以使问题的研究极大地得到简化。
1.3.1 场
1）场的概念
设有一空间(有限或无限)，对于此空间内的每一点，如果都存在某一物理量的确定值（即该物理量在空间作一定的分布），我们就说在这空间内确定了该物理量的一个场。
若上述空间中每一点所对应的物理量是数量，则称确定了一个数量场，如温度场、浓度场等；若在上述空间每一点处所对应的物理量是矢量，则称确定了一个矢量场，如速度场、力场等；若空间内每一点处所对应的物理量是张量，则称确定了一个张量场，如应力场、变形率场等。场论是研究数量场或矢量场数学性质的一门数学分支。
若场中各点物理量的值不随时间而改变，则称为稳定场；若场中各点物理量的值随时间而改变，则称为不稳定场。场的分类如图1-16所示。

图1-16 场的分类
表达式
所谓给定了一个数量场，在数学上相当于给定了一个数量函数\(\varphi (M\text{)}\)，其中\({{A}_{out}}\)代表空间中的点；同样，如果给定了一个矢量场，就相当于给定了一个矢量函数\(a(r)\)。
由于场中每一点的位置都可以由矢径\(r\)确定，故当讨论一个数量场或矢量场时，就意味着对于每一个矢径\(r\)都有一个确定的数量函数\(\varphi \text{M}\)或矢量函数\(a(r)\)的量，此时自变量是矢径\(r\)。
由于空间中点的位置可用坐标\(({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}})\)表示，所以数量场和矢量场都可以表示为空间坐标\(({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}})\)的函数，表达式为
\(\varphi (M)=\varphi ({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}})\)
\(a(M)=a({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}})\)
在直角坐标系中，数量场和矢量场的表达式为
\(\varphi (M)=\varphi (x,y,z)\)
\(a(M)=a(x,y,z)\)
2）数量场的等位面
等位面定义
在数量场中，为了能够直观地研究数量（数性物理量）在场中的分布状况，引入等位面的概念。
所谓等位面，是指在给定一瞬时，把具有相同函数值的诸点联成的面，称为等位面（或等值面）。例如温度场等位面，就是由相同温度点组成的等位面，称为等温面。
数学概念
在直角坐标系中，数量函数\({{A}_{out}}\)在空间可表达为
\(\varphi (M)=\varphi (x,y,z)\)
因此，在给定瞬时，直角坐标系中等位面的方程为
\(\varphi (x,y,z)=c\)
式中：c为常数。
上式中，不同的常数将形成不同的等位面(总称等位面族)，如图1-17所示，在同一等位面上函数值\(\varphi \)是相等的。

图1-17 不同的等位面
由于空间中每个点只与物理量的一个值对应，因此，通过该点只存在一个等位面。由此可知，这些等位面充满了整个数量场所在的空间，且互不相交。对于二维的情况，等位面退化为等值线。
等位面的概念使得函数 在空间的变化率问题转换为从一个等位面到另一个等位面变化率的问题，这将对分析问题带来许多方便。
流场分析中，等温面和等温线概念经常被用到，等温面和等温线通常是指等温度面和等温度线。
3）矢量场的矢线
前文引进等位面的概念形象得描绘了数量场，对于矢量场\(a(M)\)，则引入矢线的概念，以直观得表示出其分布情况。
矢线是这样的曲线，在给定瞬时，其每一点的切线方向和对应于该点的矢量\(a\)的方向重合。对于流体的速度矢量场，矢线就是流线。矢量场中的每一点均有一条矢线通过，不同矢线构成矢线族，矢线族充满了整个矢量场所在的空间。静电场中的电力线，磁场中的磁力线都是矢线的例子。
若已知矢量场\(a=a(x,y,z)\)，怎样求出矢线方程呢？
设\(M(x,y,z)\)为矢线上的任一点，其矢径为
\(r=xi+yj+zk\)
其微分为
\(dr=dxi+dyj+dzk\)
在点\(M\)处与矢线相切，按矢线定义，\(dr\)必定在\(M\)点与矢量
\(a={{a}_{x}}i+{{a}_{y}}j+{{a}_{z}}k\)
共线。由于矢量\(d\overrightarrow{r}\)与\(\overrightarrow{a}\)共线，其对应分量必成比例，因此有
\(\frac{dx}{{{a}_{x}}}=\frac{dy}{{{a}_{y}}}=\frac{dz}{{{a}_{z}}}\)
这就是矢线的微分方程。若利用共线条件，也可得到它的矢量形式的方程
\(d\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{a}=0\) 
例1-4 已知流体运动速度的速度分量为\({{V}_{1}}=-c{{x}_{2}},{{V}_{2}}=c{{x}_{1}},{{V}_{3}}=0,\)其中 是正的常数，试求该速度场的流线族。
解：这是一个定常流动。因为流线的微分方程是
\(\frac{d{{x}_{1}}}{{{V}_{1}}}=\frac{d{{x}_{2}}}{{{V}_{2}}}\)
所以 \(\frac{d{{x}_{1}}}{-c{{x}_{2}}}=\frac{d{{x}_{2}}}{c{{x}_{1}}}\)
即 \({{x}_{1}}d{{x}_{1}}+{{x}_{2}}d{{x}_{2}}=0\)
积分后得 \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=C\)

图1-18 流线族
所以，流线族是以坐标原点为圆心的同心圆，如图1-18所示。为了进一步确定流体运动的方向，求出速度\(V\)与\({{x}_{1}},{{x}_{2}}\)轴夹角的余弦：
\(\begin{align}
& \cos (V,{{x}_{1}})=\frac{{{V}_{1}}}{V}=\frac{-{{x}_{2}}}{\sqrt{x_{^{1}}^{2}+x_{2}^{2}}} \\
& \cos (V,{{x}_{2}})=\frac{{{V}_{2}}}{V}=\frac{-{{x}_{1}}}{\sqrt{x_{^{1}}^{2}+x_{2}^{2}}} \\
\end{align}\)
若\(M\)点处于第一象限，\({{x}_{1}}\)和\({{x}_{2}}\)都为正值，则\(\cos \left( V,{{x}_{1}} \right)<0\)，故\(V\)与\({{x}_{1}}\)轴成钝角，因而流体运动的方向是逆时针方向的。
1.3.2 数量场的方向导数和梯度
1）数量场的方向导数
在数量场中，除需要了解物理量在场中的分布情况外，更需要了解物理量在场中各点沿每一方向的变化情况，即沿某方向变化率。通常这个变化率的大小在不同方向上是不同的。为此，需要引进方向导数的定义。

 

图1-19 数量场的方向导数
接下来将在直角坐标系中说明函数\(\varphi (x,y,z)\)在空间\(M(x,y,z)\)点处沿某个方向的变化率问题。
在空间中取一点\(M(x,y,z)\)，设有一数性函数值\(\varphi (x,y,z)\)在该点的某一邻域内有定义；经过\(M(x,y,z)\)引一任意射线\(l\)，并用\(l\)表示沿射线的单位矢量，如图1-19所示；然后，在此射线上取与\(M\)相邻的一点\({M}'(r+\Delta r)\)。\(M\)点到\({M}’\)点的线段用矢量\(\Delta r\)表示，其长度为\(\left| \Delta r \right|\)表示。\(M\)点到\({M}’\)点弧长为\(l\),
当\(M\)点移到\({M}’\)点时，函数\(\varphi (x,y,z)\)有一增量为
\(\Delta \varphi (r)=\varphi (r+\Delta r)-\varphi (r)\)
由导数概念得
\(\underset{\left| \Delta r \right|\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\varphi (r+\Delta r)-\varphi (r)}{\left| \Delta r \right|}=\underset{\left| \Delta r \right|\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta \varphi }{\left| \Delta r \right|}=\frac{\partial \varphi }{\partial l}\) （1.3.1）
我们称\(\frac{\partial \varphi }{\partial l}\)为函数 沿 方向的导数。
由式(1.3.1)可知，方向导数\(\frac{\partial \varphi }{\partial l}\)是一数量，它代表了函数\(M(x,y,z)\)沿方向\(l\)对空间距离的变化率。即：数性函数\(\varphi \)沿任意曲线\(l\)对弧长的导数叫数性函数\(\varphi \)沿\(l\)方向的方向导数。
直角坐标系中，方向导数具有以下定理。
定理：若数性函数\(\varphi (x,y,z)\)在\(M({{x}_{{}}},{{y}_{{}}},{{z}_{{}}})\)点可微，\(\cos \alpha \)，\(\cos \beta \)，\(\cos \gamma \)为\(l\)方向的方向余弦，则函数\(\phi (x,y,z)\)在\(M(x,y,z)\)点沿任意方向\(l\)的方向导数必存在，且有
\({{\left. \frac{\partial \varphi }{\partial l} \right|}_{}}=\frac{\partial \varphi }{\partial x}\cos \alpha +\frac{\partial \varphi }{\partial y}\cos \beta +\frac{\partial \varphi }{\partial z}\cos \gamma \) （1.3.2）
其中：\(\frac{\partial \varphi }{\partial x}\)，\(\frac{\partial \varphi }{\partial y}\)，\(\frac{\partial \varphi }{\partial z}\)是数性函数\(\varphi (x,y,z)\)在点\(M(x,y,z)\)处的偏导数。
证明：
根据函数\(\varphi (x,y,z)\)在\(M({{x}_{{}}},{{y}_{{}}},{{z}_{{}}})\)点可微的假设，函数的增量可表达为
\(\Delta \varphi (x,y,z)=\varphi (x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)-\varphi (x,y,z)=\frac{\partial \varphi }{\partial x}\Delta x+\frac{\partial \varphi }{\partial y}\Delta y+\frac{\partial \varphi }{\partial z}\Delta z+o(\Delta s)\)

两边同除\(\left| \Delta r \right|\)，得

\(\frac{\Delta \varphi (x,y,z)}{\left| \Delta r \right|}=\frac{\varphi (x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)-\varphi (x,y,z)}{\left| \Delta r \right|}=\frac{\partial \varphi }{\partial x}\frac{\Delta x}{\left| \Delta r \right|}+\frac{\partial \varphi }{\partial y}\frac{\Delta y}{\left| \Delta r \right|}+\frac{\partial \varphi }{\partial z}\frac{\Delta z}{\left| \Delta r \right|}+\frac{o(\Delta s)}{\left| \Delta r \right|}=\frac{\partial \varphi }{\partial x}\cos \alpha +\frac{\partial \varphi }{\partial y}\cos \beta +\frac{\partial \varphi }{\partial z}\cos \gamma +\frac{o(\Delta s)}{\left| \Delta r \right|}\).
之后两边取极限，得
\(\underset{\left| \Delta r \right|\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta \varphi (x,y,z)}{\left| \Delta r \right|}=\underset{\left| \Delta r \right|\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\varphi (x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)-\varphi (x,y,z)}{\left| \Delta r \right|}=\frac{\partial \varphi }{\partial x}\cos \alpha +\frac{\partial \varphi }{\partial y}\cos \beta +\frac{\partial \varphi }{\partial z}\cos \gamma \)
2）数量场的梯度
直角坐标系中，方向导数为：

\(\frac{d\varphi }{dl}=\frac{\partial \varphi }{\partial x}\frac{dx}{dl}+\frac{\partial \varphi }{\partial y}\frac{dy}{dl}+\frac{\partial \varphi }{\partial z}\frac{dz}{dl}=\frac{\partial \varphi }{\partial x}\cos \alpha +\frac{\partial \varphi }{\partial y}\cos \beta +\frac{\partial \varphi }{\partial z}\cos \gamma\)
其中：\(\frac{dx}{dl}=\cos \alpha \)，\(\frac{dy}{dl}=\cos \beta \)，\(\frac{dz}{dl}=\cos \gamma \)，\((\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )\)为\(l\)方向上单位矢量。
变形式后可得：
\({{\left. \frac{\partial \phi }{\partial l} \right|}_{}}=\left( \frac{\partial \phi }{\partial x}i+\frac{\partial \phi }{\partial y}j+\frac{\partial \phi }{\partial z}k \right)\bullet \left( \cos \alpha i+\cos \beta j+\cos \gamma k \right)\) （1.3.3）
式中：\((\frac{\partial \phi }{\partial x},\frac{\partial \phi }{\partial y},\frac{\partial \phi }{\partial z})\)为一矢量，令\(G=(\frac{\partial \phi }{\partial x},\frac{\partial \phi }{\partial y},\frac{\partial \phi }{\partial z})\)
则式(1.3.3)可写为\({{\left. \frac{\partial \phi }{\partial l} \right|}_{}}=G\bullet l=\left| G \right|\cos (G,\vec{l})\)。
由上式可知：\(G\)在给定点为固定矢量，\(G\)在\(l\)方向上的投影等于函数\(\varphi \)在该方向上的方向导数。
当方向\(l\)与矢量\(G\)的方向一致时，即\(\cos (G,l)=1\)时，方向导数有最大值。其最大值为\({{\left. \frac{\partial \phi }{\partial l} \right|}_{l\max }}=\left| G \right|\)。可见\(G\)为一特殊矢量，是数性函数增加最快的矢量。
梯度的定义：数量场\(\varphi (M)\)在点M的梯度是过该点的一个矢量\(G\)，沿着该矢量的方向，函数\(\varphi \)在该点的变化率最大，而且最大变化率的值等于该矢量的模。
矢量\(G\)定义函数\(\varphi (M)\)在点M处的梯度，记为\(grad\varphi \)，即
\(grad\varphi =G\) （1.3.4）
直角坐标系中的表达式为
\(grad\varphi =G=(\frac{\partial \varphi }{\partial x},\frac{\partial \varphi }{\partial y},\frac{\partial \varphi }{\partial z})\)
3）梯度的几何意义

图1-20 梯度的几何意义
为了说明梯度的几何意义，在空间中取一点\(M\)，过\(M\)点作函数\(\varphi \)的等位面\(\varphi =C\)(如图1-20)，再过点\(M\)作等位面的切平面\(A\)，于是曲面\(\varphi =C\)上过点\(M\)的所有曲线的切线都位于此切平面上。
根据等位面的性质，在等位面\(\varphi =C\)上，函数\(\varphi \)保持常数，故函数\(\varphi \)在等位面上沿任意方向的导数都为零，即
\(\frac{d\varphi }{ds}=\frac{\partial \varphi }{\partial l}=0\)
因此，\(\left| grad\varphi \right|\cos (grad\varphi ,l)=0\)。梯度矢量\(grad\phi \)与切平面\(A\)在\(M\)点必然正交，即数量场中每一点的梯度矢量垂直于该点的等位面，或者数量场中每一点的梯度矢量方向是等位面法向方向。
由于函数\(\varphi \)沿着梯度矢量方向增加量最快，可知梯度矢量指向\(\varphi \)增大的方向，即梯度指向等量面的法向，其模为\(\varphi \)沿方向\(n\)的方向导数\(\frac{\partial \varphi }{\partial n}\)，表示为\(grad\varphi =\frac{\partial \varphi }{\partial n}n\)。
由以上分析可知，梯度的几何意义在于数量场中\(\varphi (M)\)每一点的梯度垂直于该点的等位面，且指向\(\varphi \)增大的方向。
4）重要定理
（1）数性函数的微分等于其梯度点乘矢径的微分，即
\(d\varphi =grad\varphi \bullet dr\) （1.3.5）
证明：\(d\varphi =\frac{\partial \varphi }{\partial x}dx+\frac{\partial \varphi }{\partial y}dy+\frac{\partial \varphi }{\partial z}dz\)
\(=\left\{ \frac{\partial \varphi }{\partial x},\frac{\partial \varphi }{\partial y},\frac{\partial \varphi }{\partial z} \right\}\bullet \left\{ dx,dy,dz \right\}=gra\varphi \bullet dr\)
（2）矢径模的梯度等于单位矢径，即
\(grad\left| r \right|=\frac{r}{r}={{r}^{0}}\) （1.3.6）
证明：\(gradr=\left\{ \frac{\partial r}{\partial x},\frac{\partial r}{\partial y},\frac{\partial r}{\partial z} \right\}\)
而，\(r=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}\)
则，\(\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}}=\frac{x}{r},\frac{\partial r}{\partial y}=\frac{y}{r},\frac{\partial r}{\partial z}=\frac{z}{r}\)
因此，\(grad\left| r \right|=\left\{ \frac{x}{r},\frac{y}{r},\frac{z}{r} \right\}=\frac{l}{r}\left\{ x,y,z \right\}=\frac{r}{r}={{r}^{0}}\)
例1-5 设\(r=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}\)为点\(M(x,y,z)\)的矢径r的模，试证\(gradr=\frac{r}{r}={{r}^{0}}\)
证明：\(\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}}=\frac{x}{r}\)
同样，\(\frac{\partial r}{\partial y}=\frac{y}{r}\)，\(\frac{\partial r}{\partial z}=\frac{z}{r}\)
则，\(gradr=\frac{\partial r}{\partial x}i+\frac{\partial r}{\partial y}j+\frac{\partial r}{\partial z}k=\frac{x}{r}i+\frac{y}{r}j+\frac{z}{r}k=\frac{r}{r}={{r}^{0}}\)
例1-6 求数量场\(u=x{{y}^{2}}+y{{z}^{3}}\)在点\(M(z,-1,1)\)处的梯度及在矢量\(l=(2,2,-1)\)方向的方向导数。
解：\(gradu=\frac{\partial u}{\partial x}i+\frac{\partial u}{\partial y}j+\frac{\partial u}{\partial z}k\)
则，\(grad{{\left. u \right|}_{m}}=\vec{i}-3\vec{j}-3\vec{k}\)
\(\vec{l}\)方向的单位矢量为
\(grad{{\left. u \right|}_{m}}=i-3j-3k{{l}^{0}}=\frac{l}{\left| l \right|}=\frac{2}{3}i+\frac{2}{3}j-\frac{1}{3}k\)
于是有
\({{\left. \frac{\partial u}{\partial l} \right|}_{M}}={{\left. gra{{d}_{l}}u \right|}_{m}}={{\left( gradu\bullet {{l}^{0}} \right)}_{M}}\text{=}1\times \frac{2}{3}+(-3)\times \frac{2}{3}+(-3)\times (-\frac{1}{3})\)
1.3.3 矢量场的通量和散度
1）矢量场的通量
通量的定义：设有矢量场\(a\)，其沿有向曲面\(\sigma \)某一侧的曲面积分
\(\Phi =\iint\limits_{\sigma }{a\bullet nd\sigma =\iint\limits_{\sigma }{{{a}_{n}}d\sigma }}\) （1.3.7）
称为矢量场\(a\)穿过曲面\(\sigma \)沿曲面所指一侧的通量。\(n\)为曲面\(\sigma \)的单位法矢。通量就是矢量场\(a\)在曲面上的有效通过量。
直角坐标系中，设
\(a=\left\{ P\left( x,y,z \right),Q(x,y,z),R(x,y,z) \right\}\)
由于\(d\sigma =nd\sigma =d\sigma \cos (n,x)i+d\sigma \cos (n,y)j+d\sigma \cos (n,z)k=dydzi+dxdzj+dxdyk\)
则通量可写成
\(\Phi =\iint\limits_{\sigma }{A\bullet d\sigma =\iint\limits_{s}{Pdydz+Qdxdz+Rdxdy}}\)
对于封闭曲面\(\sigma \)，\(\Phi =\mathop{{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\limits_s
a\bullet ds \)表示从内穿出\(\sigma \)的正流量与从外穿入\(\sigma \)的负流量的代数和。规定物理量流出为正，流入为负。
通过分析通量，可以确定场的性质：
（1）当通过封闭曲面的通量大于零，表示流出量多于流入量，在通过封闭曲面构成的体积内有物理量产生，称此场有源；
（2）当通过封闭曲面的通量小于零，表示流出量小于流入量，在通过封闭曲面构成的体积内有物理量消失，称此场有汇；
（3）当通过封闭曲面的通量等于零，表示流出量等于流入量，在通过封闭曲面构成的体积内没有物理量产生与消失，称此场为无源场。
流体力学中，通量的概念在连续方程、动量方程以及能量方程建立中均有应用。
2）高斯定理
高斯定律表达了空间封闭区域上三重积分与其边界上曲面积分之间关系，这种关系表达如下：
定理：在直角坐标系中，设\(A=\left\{ P\left( x,y,z \right),Q(x,y,z),R(x,y,z) \right\}\)，空间区域\(\Omega \)是由分片光滑的封闭曲面\(\sum \)围成，函数\(P\left( x,y,z \right)\)、\(Q\left( x,y,z \right)\)、\(R\left( x,y,z \right)\)在\(\Omega \)上具有一阶连续偏导数，则如下关系成立：
\(\mathop{{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\limits_\sum
A\bullet d\sigma =\mathop{{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\limits_\sum
Pdydz+Qdzdx+Rdxdy =\iiint\limits_{\Omega }{(\frac{\partial P}{\partial x}}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dv\)
或\(\mathop{{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\limits_\sum
A\bullet d\sigma =\mathop{{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\limits_\sum
(P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )dS =\iiint\limits_{\Omega }{(\frac{\partial P}{\partial x}}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dv\)
其中，\(\sum \)为空间区域\(\Omega \)的外表面，\(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma \)是给定外表面的法向余弦。
流体力学中，高斯定理用于积分方程与微分方程的转换。
3）矢量场的散度
在矢量场\(a(M)\)中，仅知道通量为正或负并不能说明该源（或汇）的强弱程度。为此，引入单位体积中所穿出通量的概念
\(\frac{1}{V}\int_{S}{a\bullet ndS}\)
上式表示\(V\)中源的平均强度（\(V\)表示封闭曲面所包围的空间体积）。为了能够进一步分析场中各点处源的强度以及分布，引入矢量场散度的概念。
散度的定义：设有矢量场\(a(M)\)，在场中任一点\(M\)处作包含\(M\)点在内的任意封闭曲面\(\sigma \)，其所包围的空间区域的体积为\(V\)，从体积\(V\)内穿出\(\sigma \)的通量\(\varphi \)。当\(V\to 0\)时，曲面\(\sigma \)向\(M\)点无限收缩，若

的极限存在，则称此极限为矢量场\(a(M)\)在\(M\)点的散度，记为\(diva\)，即
\(diva=\underset{\overline{V}\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\oint_{S}{a\bullet ndS}}{V}\) （1.3.8）
由此可见，矢量场的散度为一数量，其表示场中一点处单位体积中穿出的通量。
当\(diva>0\)时，表示该点有发散通量的源存在；
当\(diva<0\)时，表示该点有吸收通量的汇存在；
当\(diva=0\)时，表示该点处既无源也无汇，称为无源(汇)场。
散度的绝对值\(\left| diva \right|\)则表示该源或汇的强度。
4）散度在直角坐标系中的表达式
前文所述的散度定义与坐标系的选择无关。其在直角坐标系中的表达式如下：
设有矢量\(a(M)={{a}_{x}}(x,y,z)i+{{a}_{y}}(x,y,z)j+{{a}_{z}}(x,y,z)k\)，
其在任一点\(M(x,y,z)\)处的散度为
\(diva=\frac{\partial {{a}_{x}}}{\partial x}+\frac{\partial {{a}_{y}}}{\partial y}+\frac{\partial {{a}_{z}}}{\partial z}\) （1.3.9）
证明：根据散度的定义
\(diva=\underset{\overline{V}\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\oint_{S}{a\bullet nd\sigma }}{V}\)
引入高斯公式可得
\(diva=\underset{\overline{V}\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\oint_{S}{a\bullet nd\sigma }}{V}=\underset{\overline{V}\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\iiint\limits_{{{V}_{c}}}{(\frac{\partial {{a}_{x}}}{\partial x}}+\frac{\partial {{a}_{y}}}{\partial y}+\frac{\partial {{a}_{z}}}{\partial z})dV}{V}=\frac{\partial {{a}_{x}}}{\partial x}+\frac{\partial {{a}_{y}}}{\partial y}+\frac{\partial {{a}_{z}}}{\partial z}\)
例1-7 求矢径的散度
解：\(divr=\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial z}\)=3
例1-8 设\(\varphi \)为数性函数，\(a\)为矢性函数，试求\(div(\varphi a)\)
解： \(div(\varphi a)=\frac{\partial \left( \varphi {{a}_{x}} \right)}{\partial x}+\frac{\partial \left( \varphi {{a}_{y}} \right)}{\partial y}+\frac{\partial \left( \varphi {{a}_{z}} \right)}{\partial z}\)
\(=\varphi \frac{\partial {{a}_{x}}}{\partial x}+{{a}_{x}}\frac{\partial \varphi }{\partial x}+\varphi \frac{\partial {{a}_{y}}}{\partial y}+{{a}_{y}}\frac{\partial \varphi }{\partial y}+\varphi \frac{\partial {{a}_{z}}}{\partial z}+{{a}_{z}}\frac{\partial \varphi }{\partial z}\)
\(=\varphi (\frac{\partial {{a}_{x}}}{\partial x}+\frac{\partial {{a}_{y}}}{\partial y}+\frac{\partial {{a}_{z}}}{\partial z})+{{a}_{x}}\frac{\partial \varphi }{\partial x}+{{a}_{y}}\frac{\partial \varphi }{\partial y}+{{a}_{z}}\frac{\partial \varphi }{\partial z}\)
\(=\varphi diva+agrad\varphi \)
例1-9 在流体力学中速度矢量\(\overrightarrow{V}\cdot \text{d}\overrightarrow{A}\)的散度代表微团在运动过程中的体积膨胀率。

图1-21例1-9示意图
证：取一简单矩形六面体，如图1-21所示。在瞬时 ，六面体三边长度为\(\Delta {{x}_{1}}\)、\(\Delta {{x}_{2}}\)、\(\Delta {{x}_{3}}\)，体积为\(\Delta {{x}_{1}}\Delta {{x}_{2}}\Delta {{x}_{3}}\)，经过\(\Delta t\)时间后，\({{x}_{1}}\)向的长度变为\(\left( 1+\frac{\partial {{V}_{1}}}{\partial {{x}_{1}}}\Delta t \right)\Delta {{x}_{1}}\)，\({{x}_{2}}\)向的长度变为\(\left( 1+\frac{\partial {{V}_{2}}}{\partial {{x}_{2}}}\Delta t \right)\Delta {{x}_{2}}\)，\({{x}_{3}}\)向的长度变为\(\left( 1+\frac{\partial {{V}_{3}}}{\partial {{x}_{3}}}\Delta t \right)\Delta {{x}_{3}}\)。当\(\Delta t\)很小时，变形后微团的体积仍近似地按三边乘积计算。所以单位时间内单位体积的膨胀，即体膨胀率为
\(\frac{1}{\Delta t}\bullet \frac{1}{\Delta {{x}_{1}}\Delta {{x}_{2}}\Delta {{x}_{3}}}\left( \left( 1+\frac{\partial {{V}_{1}}}{\partial {{x}_{1}}}\Delta t \right)\left( 1+\frac{\partial {{V}_{2}}}{\partial {{x}_{2}}}\Delta t \right)\left( 1+\frac{\partial {{V}_{3}}}{\partial {{x}_{3}}}\Delta t \right)\Delta {{x}_{1}}\Delta {{x}_{2}}\Delta {{x}_{3}}-1 \right)=\frac{\partial {{V}_{1}}}{\partial {{x}_{1}}}+\frac{\partial {{V}_{2}}}{\partial {{x}_{2}}}+\frac{\partial {{V}_{3}}}{\partial {{x}_{3}}}\)
高斯公式（散度原理）：封闭曲面的通量等于散度的体积分
\(\mathop{{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\limits_s
a\bullet ndS=\iiint\limits_{{{V}_{c}}}{divad{{V}_{c}}} \) （1.3.10）
其常被用于体积分和面积分之间的变换。
1.3.4 矢量场的环量和旋度及调和函数
1）环量的定义
设有矢量\(A(\operatorname{M})\)，在场中取一封闭有向曲线\(l\)，则矢量\(A(\operatorname{M})\)沿该封闭有向曲线的积分为
\(\Gamma =\oint\limits_{l}{A\bullet dr}=\oint\limits_{l}{A\bullet \tau ds}\) （1.3.11）
称为矢量\(A(\operatorname{M})\)沿曲线 的环量。
直角坐标系中，设\(A=\left\{ P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) \right\}\)，有
\(dr=dx\cdot i+dy\cdot j+dz\cdot k=\tau ds=ds\cdot \cos (l,x)\cdot i+ds\cdot \cos (l,y)\cdot j+ds\cdot \cos (l,z)\cdot k\)
其中：\(\cos (l,x)\)，\(\cos (l,y)\)\(\cos (l,z)\)为\(l\)的切线矢量\(\tau \)的方向余弦，则环量可以写成：
\(\Gamma =\oint\limits_{l}{A\bullet dr}=\oint\limits_{l}{\left( P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) \right)}\bullet \left( dx\cdot i+dy\cdot j+dz\cdot k \right)=\oint\limits_{l}{Pdx+Qdy+Rdz}\) （1.3.12）
2）环量面密度
定义：在矢量场\(a(M)\)中任取一点\(M\)，作微元面积\(\Delta S\)，如图1-22所示。其法向单位矢量为\(n\)，围线为\(\Delta C\)，围线\(\Delta C\)的正向与\(n\)成右螺旋关系，那么矢量场\(a(M)\)沿围线\(\Delta C\)正向的环量为
\(\Delta \Gamma =\oint_{\Delta C}{a\bullet dr}\) （1.3.13）

图1-22 环量示意图
当曲面\(\Delta S\)无限缩小时，若极限
\(\underset{\Delta S\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta \Gamma }{\Delta S}=\underset{\Delta S\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\oint_{\Delta C}{a\bullet dr}}{\Delta S}\) （1.3.14）
存在，则称该极限为矢量场\(a(M)\)在\(M\)点沿方向\(n\)的环量面密度。可见，环量面密度是环量对面积的变化率。
在直角坐标系中，设
\(a(M)={{a}_{x}}i+{{a}_{y}}j+{{a}_{z}}k\)
由式(1.3.14)可得环量面密度在直角坐标系的表达式为
\(\underset{\Delta S\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta \Gamma }{\Delta S}=\underset{\Delta S\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\int_{\Delta C}{({{a}_{x}}dx+{{a}_{y}}dx+{{a}_{y}}dx)}}{\Delta S}\) （1.3.15）
3）斯托克斯公式
斯托克斯（Stokes）公式表达了空间中曲面积分与曲线积分关系。
矢量\(a\)沿一封闭曲线 的环量与此矢量的旋度通过该闭曲线所围成的曲面上的通量相等，即
\(\oint_{C}{a\bullet dr}=\int_{\sigma }{rota\bullet d\mathbf{\sigma }}\) （1.3.16）
可知，环量等于\(rota\)法向投影在上述曲面上的面积分，常用于面积分和线积分间的变换。
\(rota\)在直角坐标系中的表达式为
\(rota=\left( \frac{\partial {{a}_{z}}}{\partial y}-\frac{\partial {{a}_{y}}}{\partial z} \right)i+\left( \frac{\partial {{a}_{x}}}{\partial z}-\frac{\partial {{a}_{z}}}{\partial x} \right)j+\left( \frac{\partial {{a}_{y}}}{\partial x}-\frac{\partial {{a}_{x}}}{\partial y} \right)k\) （1.3.17）
其中：\({{\left( rota \right)}_{x}}\)，\({{\left( rota \right)}_{y}}\)，\({{\left( rota \right)}_{z}}\)分别是矢量\(rot\mathbf{a}\)在直角坐标系三轴上的分量。式(1.3.17)也可以写为
\(rota=\left| \begin{matrix}
i & j & k \\
\frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\
{{a}_{x}} & {{a}_{y}} & {{a}_{z}} \\
\end{matrix} \right|=\left\{ \frac{\partial {{a}_{z}}}{\partial y}-\frac{\partial {{a}_{y}}}{\partial z},\frac{\partial {{a}_{x}}}{\partial z}-\frac{\partial {{a}_{z}}}{\partial x},\frac{\partial {{a}_{y}}}{\partial x}-\frac{\partial {{a}_{x}}}{\partial y} \right\}\) （1.3.18）
4）矢量场的旋度
应用斯托克斯（Stokes）公式将环量面密度表示为
\(\underset{\Delta S\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta \Gamma }{\Delta S}=\underset{\Delta S\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\oint_{\Delta C}{a\bullet dr}}{\Delta S}=\underset{\Delta S\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\int_{S}{rota\bullet d\mathbf{S}}}{\Delta S}=rota\bullet n\) （1.3.19）
其中：\(rota\)为矢量，它仅与矢量函数\(a\)在\(M\)点的三个偏导数有关。当矢量函数\(a(M)\)确定后，在给定点处矢量\(rota\)就是一个确定的矢量，我们称其为矢量 的旋度。
上式中矢量\(n=\cos (n,{{x}_{1}}){{e}_{\mathbf{1}}}+\cos (n,{{x}_{2}}){{e}_{\mathbf{2}}}+\cos \)\((n,{{x}_{3}}){{e}_{\mathbf{3}}}\)代表\(\Delta S\)的方向，因此，式(1.3.19)可以写为
\(\underset{\Delta s\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta \Gamma }{\Delta S}=R\bullet n=\left| R \right|\cos (R,n)\) （1.3.20）
由式(1.3.19)可得
\(\underset{\Delta S\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta \Gamma }{\Delta S}=rota\bullet n={{(rota)}_{n}}\) （1.3.21）
环量虽然是标量，但其有正负，沿逆时针积分为正，沿顺时针积分为负；旋度为单位面积环量，即环量的强度，其表示矢量在场中的旋转程度。
\(rota=0\)的矢量场\(a\)称为无旋场，反之则称为有旋场。
若利用算符\(\nabla \)，矢量场\(a(M)\)的旋度则可写为
\(rota=\nabla \times a\) （1.3.22）
例1-10 电场强度矢量\(E=\frac{q}{{{r}^{2}}}r\)沿着任一圆周的积分，该圆周的中心在坐标原点，半径为任一不为零的正实数。
解：根据环量的定义，\(E\)的环量为：
\(\oint_{l}{E\bullet dr=\oint_{l}{E\bullet \tau ds}}\)
式中：\(\tau \)为圆周\(l\)上的单位切矢。
由于\(l\)指向\(\tau \)，且与\(\tau \)垂直，因此环量为零。
例1-11 设\(\varphi\)数性函数，\(a\)为矢性函数，试求\(rot(\varphi a)\)
解：\((\varphi a)=\left\{ \varphi {{a}_{x}},\varphi {{a}_{y}},\varphi {{a}_{z}} \right\}\)
\(ro{{t}_{x}}(\varphi a)=\frac{\partial \left( \varphi {{a}_{z}} \right)}{\partial y}-\frac{\partial \left( \varphi {{a}_{y}} \right)}{\partial z}=\frac{\partial \varphi }{\partial y}{{a}_{z}}+\varphi \frac{\partial {{a}_{z}}}{\partial y}-\frac{\partial \varphi }{\partial z}{{a}_{y}}-\varphi \frac{\partial {{a}_{y}}}{\partial z}\)
\(=\varphi (\frac{\partial {{a}_{z}}}{\partial y}-\frac{\partial {{a}_{y}}}{\partial z})+(\frac{\partial \varphi }{\partial y}{{a}_{z}}-\frac{\partial \varphi }{\partial z}{{a}_{y}})\) （a）
\(grad\varphi \times a=\left| \begin{matrix}
i & j & k \\
\frac{\partial \varphi }{\partial x} & \frac{\partial \varphi }{\partial y} & \frac{\partial \varphi }{\partial z} \\
{{a}_{x}} & {{a}_{y}} & {{a}_{z}} \\
\end{matrix} \right|\) （b）
式（a）等式右侧的第一项为\(\varphi ro{{t}_{x}}a\)，第二项与式（b）对比为\({{(grad\varphi \times a)}_{x}}\)。因此，
\(ro{{t}_{x}}(\varphi a)=\varphi ro{{t}_{x}}a+{{(grad\varphi \times a)}_{x}}\)
同理，
\(ro{{t}_{y}}(\varphi a)=\varphi ro{{t}_{y}}a+{{(grad\varphi \times a)}_{y}}\)
\(ro{{t}_{z}}(\varphi a)=\varphi ro{{t}_{z}}a+{{(grad\varphi \times a)}_{z}}\)
所以，\(rot(\varphi a)=\varphi rota+(grad\varphi \times a)\)
5）调和函数
在数学上
\(divgrad(\varphi )=0\)
称为拉普拉斯方程。
定义：适合拉普拉斯方程的函数称为调和函数，即方程 中的即为调和函数。
定理：若\(a\)为无源、无旋场，则其势函数\(\varphi \)是调和函数。逆定理也成立，即若势函数\(\varphi \)为调和函数时，\(a\)必定为无源、无旋场。（注：若\(a\)恰好是某一数量场\(\varphi \)的梯度，即\(a\)位有势场，\(\varphi \)为\(a\)的势函数。简而言之，有势场等于势函数的梯度）
例1-12 试求函数形如\(0\le \alpha \le \pi ,0\le \beta \le \pi ,0\le \gamma \le \pi \)的最一般的调和函数，其中a、b、c、d是常数。
解：设\(\cos \alpha =\frac{{{a}_{x}}}{\left| \overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}} \right|}=\frac{{{a}_{x}}}{\sqrt{{{a}_{x}}^{2}+{{a}_{y}}^{2}+{{a}_{z}}^{2}}}\)，拉普拉斯方程在直角坐标系中的展开式为
\(div(grad\varphi )=div(\frac{\partial \varphi }{\partial x}i+\frac{\partial \varphi }{\partial y}j+\frac{\partial \varphi }{\partial z}k)=\frac{{{\partial }^{2}}\varphi }{\partial {{x}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}\varphi }{\partial {{y}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}\varphi }{\partial {{z}^{2}}}\)
当满足拉普拉斯方程\(divgrad(\varphi )=0\)时
\(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma \)
将函数带入公式可得
\(\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}\)
由此可得

即\(c=-3\text{a},d=-3\text{b}\)
因此，\(\varphi \)的最一般调和函数形式为：
\(\varphi =a{{x}^{3}}+b{{x}^{3}}y-3axy-\frac{1}{3}b{{y}^{3}}\).
其中，a、b是任意常数。
1.4 哈密顿算子
在气体动力学中，引入矢量分析中一个非常重要的微分算子\(\nabla \)，即哈密顿算子，使用\(\nabla \)算子可以使梯度、散度、旋度等的表达式得以简化，接下来将对其作简要介绍。
1）哈密顿算子
矢量分析中，微分算子
\(\nabla \equiv \frac{\partial }{\partial x}i+\frac{\partial }{\partial y}j+\frac{\partial }{\partial z}k\). （1.4.1）
称为哈密顿算子或\(\nabla \)算子。记号读作“那勃拉（Nabla)”或“代尔塔（delta)”。
2）梯度、散度和旋度的表达式
引入哈密顿算子后，梯度、散度和旋度表达式为：
梯度：\(grad\varphi =(\frac{\partial }{\partial x}i+\frac{\partial }{\partial y}j+\frac{\partial }{\partial z}k)\varphi =\frac{\partial \varphi }{\partial x}i+\frac{\partial \varphi }{\partial y}j+\frac{\partial \varphi }{\partial z}k=\nabla \varphi \)
散度：\(divA=(\frac{\partial }{\partial x}i+\frac{\partial }{\partial y}j+\frac{\partial }{\partial z}k)\bullet ({{A}_{x}}i+{{A}_{y}}j+{{A}_{j}}k)=\frac{\partial {{A}_{x}}}{\partial x}+\frac{\partial {{A}_{y}}}{\partial y}+\frac{\partial {{A}_{x}}}{\partial x}=\nabla \bullet A\)
旋度：
\(rotA=\left| \begin{matrix}
i & j & k \\
\frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\
{{A}_{x}} & {{A}_{y}} & {{A}_{z}} \\
\end{matrix} \right|=(\frac{\partial {{A}_{z}}}{\partial y}-\frac{\partial {{A}_{y}}}{\partial z})i+(\frac{\partial {{A}_{x}}}{\partial z}-\frac{\partial {{A}_{z}}}{\partial x})j+(\frac{\partial {{A}_{y}}}{\partial x}-\frac{\partial {{A}_{x}}}{\partial y})k=\nabla \times A\)
（3）哈密顿算子的运算规律
\(\nabla \)算子本身并无意义，仅是一种微分运算符号，但其又被看作是矢量。因此，它在运算中具有矢量和微分的双重性质。一方面，它是一个矢量，在运算时可以利用矢量代数和矢量分析中的所有法则；另一方面，它又是一个微分算子，可以按微分法则进行运算。
以\(\nabla \varphi \)为例说明哈密顿算子如何使用，一方面\(\nabla \varphi \)是矢量
\(\frac{\partial }{\partial x}i+\frac{\partial }{\partial y}j+\frac{\partial }{\partial z}k\)
和标量\(\varphi \)的乘积，由矢量代数法则可知它是一个矢量，其分量是
\(\varphi \)与\(\frac{\partial }{\partial x}\)；\(\varphi \)与\(\frac{\partial }{\partial y}\)；\(\varphi \)与\(\frac{\partial }{\partial z}\)
的乘积；另一方面\(\nabla \)是微分算子，它应该对\(\varphi \)起微分作用，这样\(\nabla \varphi \)的三个分量是
\(\frac{\partial \varphi }{\partial x}\)，\(\frac{\partial \varphi }{\partial y}\)，\(\frac{\partial \varphi }{\partial z}\)
即
\(\nabla \varphi =\frac{\partial \varphi }{\partial x}i+\frac{\partial \varphi }{\partial y}j+\frac{\partial \varphi }{\partial z}k\)
对\(\nabla \bullet A\)进行同样的讨论，\(\nabla \bullet A\)是矢量\(\frac{\partial }{\partial x}i+\frac{\partial }{\partial y}j+\frac{\partial }{\partial z}k\)和矢量\({{A}_{x}}i+{{A}_{y}}j+{{A}_{z}}k\)的点乘，按照点乘法则得标量
\(\nabla \bullet A=\frac{\partial }{\partial x}{{A}_{x}}+\frac{\partial }{\partial y}{{A}_{y}}+\frac{\partial }{\partial z}{{A}_{z}}=divA\)
同时，\(\nabla \)对\(A\)起微分作用，于是\({{A}_{x}},{{A}_{y}},{{A}_{z}}\)应写在微分号内。可得
\(\nabla \bullet A=(\frac{\partial }{\partial x}i+\frac{\partial }{\partial y}j+\frac{\partial }{\partial z}k)\bullet ({{A}_{x}}i+{{A}_{y}}j+{{A}_{z}}k)=\frac{\partial {{A}_{x}}}{\partial x}+\frac{\partial {{A}_{y}}}{\partial y}+\frac{\partial {{A}_{z}}}{\partial z}=divA\)
由此可见，数量场\(\varphi \)的梯度与矢量场\(A\)的散度和旋度可用\(\nabla \)算子表示
\(grad\varphi =\nabla \varphi \)
\(divA=\nabla \bullet A\)
\(rotA=\nabla \times A\)
并且与其相关的一些公式，也可通过\(\nabla \)算子来表示。
此外，为了在某些公式中使用方便，我们还引入如下一个数性微分算子
\(A\bullet \nabla =({{A}_{x}}i+{{A}_{y}}j+{{A}_{z}}k)\bullet (i\frac{\partial }{\partial x}+j\frac{\partial }{\partial y}+k\frac{\partial }{\partial z}={{A}_{x}}\frac{\partial }{\partial x}+{{A}_{y}}\frac{\partial }{\partial y}+{{A}_{z}}\frac{\partial }{\partial z}\)
它既可作用在数性函数u(M)上，又可作用在矢性函数\(B(M)\)上。如：
\((A\bullet \nabla )u={{A}_{x}}\frac{\partial u}{\partial x}+{{A}_{y}}\frac{\partial u}{\partial y}+{{A}_{z}}\frac{\partial u}{\partial z}\)
\((A\bullet \nabla )B={{A}_{x}}\frac{\partial B}{\partial x}+{{A}_{y}}\frac{\partial B}{\partial y}+{{A}_{z}}\frac{\partial B}{\partial z}\)
注意：这里的\(A\bullet \nabla \)和上述的\(\nabla \bullet A\)是完全不同的。
现在我们把用\(\nabla \)表示的一些常见公式列出，以便查用，其中u与v为数性函数，\(A,B\)为矢性函数，c为常数。

\((1)\nabla (cu)=c\nabla u\)（c为常数）

\((2)\nabla \bullet (cA)=c\nabla \bullet A\)（c为常数）

\((3)\nabla \times (cA)=c\nabla \times A\)（c为常数）

\((4)\nabla (u\pm v)=\nabla u\pm \nabla v\)

\((5)\nabla \bullet (A\pm B)=\nabla \bullet A\pm \nabla \bullet B\)

\((6)\nabla \times (A\pm B)=\nabla \times A\pm \nabla \times B\)

\((7)\nabla \bullet (uc)=\nabla u\bullet c\)（c为常数）

\((8)\nabla \times (uc)=\nabla u\times c\)（c为常数）

\((9)\nabla (uv)=v\nabla u+u\nabla v\)

\((10)\nabla \bullet (uA)=u\nabla \bullet A+\nabla u\bullet A\)

\((11)\nabla \times (uA)=u\nabla \times A+\nabla u\times A\)

\((12)\nabla (A\bullet B)=A\times (\nabla \times B)+(A\bullet \nabla )B+B\times (\nabla \times A)+(B\bullet \nabla )A\)

\((13)\nabla \bullet (A\times B)=B\bullet (\nabla \times A)-A\bullet (\nabla \times B)\)

\((14)\nabla \times (A\times B)=(B\bullet \nabla )A-(A\bullet \nabla )B-B(\nabla \bullet A)+A(\nabla \bullet B)\)

\((15)\nabla \bullet (\nabla u)={{\nabla }^{2}}u=\Delta u\)((\(\Delta u\)为调和量)

\((16)\nabla \times (\nabla u)=0\)

\((17)\nabla \bullet (\nabla \times A )=0\)

\((18)\nabla \times (\nabla \times A )=\nabla (\nabla \bullet A )-\Delta \ \)

（其中：\(\nabla A =\Delta {{A}_{x}}i+\Delta {{A}_{y}}j+\Delta {{A}_{z}}k\)

在下面的公式中，\(r=xi+yj+zk,r=\left| r \right|\)

  \((19)\nabla r=\frac{r}{r}={{r}^{0}}\)

 \((20)\nabla r=3 \)

\( (21)\nabla \times r=0 \)

 \( (22)\nabla f(u)=f'(u)\nabla u \)

 \( (23)\nabla f(u,v)=\frac{\partial f}{\partial u}\nabla u+\frac{\partial f}{\partial v}\nabla v \)

  \( (24)\nabla f(r)=\frac{f'(r)}{r}r=f'(r){{r}^{0}} \)

 \( (25)\nabla \times (f(r)r)=0 \)

 \( (26)\nabla \times ({{r}^{-3}}r)=0(r\ne 0) \)

\( (27)\mathop{{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\limits_s
A\bullet dS =\iiint\limits_{\Omega }{(\nabla \bullet A)dV}\)

 \((28)\oint{_{t}A\bullet dl=\iint\limits_{s}{(\nabla \times A)\bullet dS}} \)

公式（1）至（8）和公式（15），可以根据\(\nabla \)算子的运算规则直接推导出来，是最基本的公式。由基本公式便可推证出其它公式。现在通过几个例子来说明使用\(\nabla \)算子是一种简易的计算方法。

例1-12 证明\(\nabla (uv)=u\nabla v+v\nabla u\)。

证:

算子\(\nabla \equiv \frac{\partial }{\partial x}i+\frac{\partial }{\partial y}j+\frac{\partial }{\partial z}k\)，实际上是三个数性微分算子\(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}\)的线性组合，而这些数性微分算子服从乘积的微分法则。当它们作用在两个函数的乘积时，每次只对其中一个因子运算，而把另一个因子看作常数。因此，作为这些数性微分算子线性组合的\(\nabla \)，在其微分性质中，自然也服从乘积的微分法则。

根据\(\nabla \)算子的微分性质，并按乘积的微分法则，有

\(\nabla (uv)=\nabla ({{u}_{c}}v)+\nabla (u{{v}_{c}})\)

在上式右端，我们根据乘积的微分法则，把暂时看成常数的量附以下标c，待运算结束后，再将之除去。依此得到

\(\nabla (uv)=\nabla ({{u}_{c}}v)+\nabla (u{{v}_{c}})=u\nabla v+v\nabla u.\)

例1-13 证明\(\nabla \bullet (uA)=u\nabla \bullet A+\nabla u\bullet A\)。

证：根据\(\nabla \)算子的微分性质，并按乘积的微分法则，有

\(\nabla \bullet (uA)=\nabla \bullet ({{u}_{c}}A)+\nabla \bullet (u{{A}_{c}})\)

右端第一项，由公式（2）得

\(\nabla \bullet ({{u}_{c}}A)={{u}_{c}}\nabla \bullet A=u\nabla \bullet A\)

右端第二项，由公式（7）得

\(\nabla \bullet (u{{A}_{c}})=\nabla u\bullet {{A}_{c}}=\nabla u\bullet A\)

所以，

\(\nabla \bullet (uA)=u\nabla \bullet A+\nabla u\bullet A\)

例1-14 证明\(\nabla \bullet (A\times B)=B\bullet (\nabla \times A)-A\bullet (\nabla \times B)\)

证：根据\(\nabla \)算子的微分性质，按乘积的微分法则，有

\(\nabla \bullet (A\times B)=\nabla \bullet (A\times {{B}_{c}})+\nabla \bullet ({{A}_{c}}\times B)\)

再根据\(\nabla \)算子的矢量性质，把上式右端两项都看成三个矢量的混合积，然后根据三个矢量在其混合积中的位置的轮换性：

\(a\bullet (b\times c)=c\bullet (a\times b)=b\bullet (c\times a)\)，

将上式右端两项中的常矢都轮换到\(\nabla \)的前面，同时使得变矢都留在\(\nabla \)的后面，据此

在\(\nabla \)算子的运算中，常常用到三个矢量的混合积公式

\(a\bullet (b\times c)=c\bullet (a\times b)=b\bullet (c\times a)\)

及二重矢量积公式

\(a\times (b\times c)=(a\bullet c)b-(a\bullet b)c\)

这些公式都有几种写法，比如上式右端第一项\((a\bullet c)b\)，还可以写成\((c\bullet a)b\)，\(b(a\bullet c)\)，\(b(c\bullet a)\)等。因此，在应用这些公式时，就要利用它的这个特点，设法将其中的常矢移到\(\nabla \)的前面，而使变矢留在\(\nabla \)的后面。

例1-15 证明\(\nabla \times (A\times B)=(B\bullet \nabla )A-(A\bullet \nabla )B-B(\nabla \bullet A)+A(\nabla \bullet B)\)。

证：根据\(\nabla \)算子的微分性质，应用乘积的微分法则，有

\(\nabla \times (A\times B)=\nabla \times ({{A}_{c}}\times B)+\nabla \times (A\times {{B}_{c}})\)

再根据\(\nabla \)算子的矢量性质，将上式右端两项都看成三个矢量的五重矢量积，应用二重矢量积公式有

\[\begin{align}
& \nabla \times ({{A}_{c}}\times B)={{A}_{c}}\left( \nabla \bullet B \right)-\left( {{A}_{c}}\bullet \nabla \right)B \\
& \text{ }=A\left( \nabla \bullet B \right)-\left( A\bullet \nabla \right)B \\
\end{align}\]
\[\begin{align}
& \nabla \times (A\times {{B}_{c}})=\left( {{B}_{c}}\bullet \nabla \right)A-{{B}_{c}}\left( \nabla \bullet A \right) \\
& \text{ }=\left( B\bullet \nabla \right)A-B\left( \nabla \bullet A \right) \\
\end{align}\]

所以，\(\nabla \times (A\times B)=(B\bullet \nabla )A-(A\bullet \nabla )B-B(\nabla \bullet A)+A(\nabla \bullet B)\)

1.5 曲线坐标系概念

在研究流体运动时，正确地选择坐标系的形式十分重要。例如，分析流体的一般平面运动时，可以选择笛卡尔直角坐标系。但在研究流体沿圆截面管道或叶轮机通道中的轴对称流动时，就应该采用圆柱坐标系，这样可以减少一个独立变量，使所研究的流体运动成为二维流动，并使边界条件得到简化。同理，在研究流体锥形流动时，就应该采用球坐标系。圆柱坐标系和球坐标系是正交曲线坐标系的两个特例。

为了帮助读者正确使用曲线坐标系来研究流体运动，这里我们将介绍正交曲线坐标系的基本性质和特点，并由此导出梯度、散度、旋度以及其他矢量关系中的表达式。

1.5.1 正交曲线坐标系的概念

1）正交曲线坐标系构成

定义：三个坐标轴为曲线，且相互正交的坐标系称为正交曲线坐标系。

空间中一点，不是用直角坐标系中的坐标\((x,y,z)\)表示，而是用另外三个有序数\(({{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}})\)表示。这样，每三个这样的有序数都对应着空间中的一个点；反之，空间每一个点都对应着这样三个有序数，则称这三个有序数\(({{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}})\)为空间的曲线坐标。

2）直角坐标系与曲线坐标系之间关系

空间中的同一点，在直角坐标系中用直角坐标\((x,y,z)\)三个数唯一来确定。此时，失径表达式为：\(\vec{r}=\left( x,y,z \right)\)。

同样，空间中的同一点，在曲线坐标系中，用曲线坐标\(({{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}})\)三个数唯一来确定。此时，失径表达式为：\(\vec{r}=\left( {{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}} \right)\)。

这样曲线坐标\({{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}}\)和直角坐标\(x,y,z\)必然存在某种联系。这种联系表现为，直角坐标中的点可以用曲线坐标唯一表示，同样，曲线坐标中的点也可以用直角坐标唯一表示。

曲线坐标中的点用直角坐标唯一表示为：

  \[\left\{ \begin{align}
& {{q}_{1}}={{q}_{1}}(M)={{q}_{1}}(x,y,z) \\
& {{q}_{2}}={{q}_{2}}(M)={{q}_{2}}(x,y,z) \\
& {{q}_{3}}={{q}_{3}}(M)={{q}_{3}}(x,y,z) \\
\end{align} \right.\]           (1.5.1)                     

这里，\(x,y,z\)都是\({{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}}\)的单值函数

直角坐标中的点用曲线坐标表示为：

                  \[\left\{ \begin{align}
& x=x(M)=x({{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}}) \\
& y=y(M)=y({{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}}) \\
& z=z(M)=z({{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}}) \\
\end{align} \right.\]                     (1.5.2)                           

这里，\({{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}}\)都是\(x,y,z\)的单值函数

若令\[\left\{ \begin{align}
& {{q}_{1}}(x,y,z)=c1 \\
& {{q}_{2}}(x,y,z)=c2 \\
& {{q}_{3}}(x,y,z)=c3 \\
\end{align} \right.\]

则这三个方程代表了\({{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}}\)的等值面，如图1-23所示。若给\(c1,c2,c3\)不同的数值就可以得到三族等值面，这三族等值面，称为坐标曲面。

图1-5 曲线坐标系

对于空间的任意点M，由于\({{q}_{1}}(x,y,z),{{q}_{2}}(x,y,z),{{q}_{3}}(x,y,z)\)都是该点的单值函数，所以每族中只有一个曲面经过M点。

在坐标曲面之间，两两相交而成的曲线成为坐标曲线，例如坐标曲面\[\left\{ \begin{align}
& {{q}_{3}}(x,y,z)=c3 \\
& {{q}_{2}}(x,y,z)=c2 \\
\end{align} \right.\]

相交而成的坐标曲线称为坐标曲线\({{q}_{1}}\)。因为在此曲线上\({{q}_{2}}\)，\({{q}_{3}}\)的值保持不变，只有\({{q}_{1}}\)的值可以变化。同理\[\left\{ \begin{align}
& {{q}_{3}}(x,y,z)=c3 \\
& {{q}_{1}}(x,y,z)=c1 \\
\end{align} \right.\]

相交而成的曲线称为坐标曲线\({{q}_{2}}\)

\[\left\{ \begin{align}
& {{q}_{1}}(x,y,z)=c1 \\
& {{q}_{2}}(x,y,z)=c2 \\
\end{align} \right.\]

相交而成的曲线称为坐标曲线\({{q}_{3}}\)。

从以上分析可以发现，各种坐标系之间的差异表现在：首先，坐标面是平面还是曲面；若是曲面则又是怎样的曲面，是柱面、球面还是其它曲面。其次，还在于坐标面(坐标曲线)之间的夹角如何。若在空间任一点M处，坐标曲线都互相正交，即坐标曲线在该点的切线互相垂直，相应地各坐标曲面也互相正交，即各坐标面在相互交点处的法线垂直，这种坐标系称之为正交曲线坐标系。柱坐标系和球坐标系就属于这种坐标系。

3）正交曲线坐标系基矢量

现在我们规定正交曲线坐标系的基矢量为\({{e}_{1}},{{e}_{2}},{{e}_{3}}\)，它们依次是坐标曲线\({{q}_{1}}\)，\({{q}_{2}}\)，\({{q}_{3}}\)上切线的单位矢量，其正向分别指向\({{q}_{1}}\)，\({{q}_{2}}\)，\({{q}_{3}}\)增加的一侧。基矢量相互位置除了相互垂直外，还符合右手坐标规则。

与直角坐标系的本质区别在于：在曲线坐标系中\({{e}_{1}},{{e}_{2}},{{e}_{3}}\)的方向一般随点的位置而变化。所以，一般而言它们是变矢。当然，对于具体的坐标系来说，例如柱坐标系，并不是三个基矢量都是变矢。

应用基矢量\({{e}_{1}},{{e}_{2}},{{e}_{3}}\)的概念， M点的矢量\(\overrightarrow{a}\)可表示为

\(\overrightarrow{a}={{a}_{1}}{{e}_{1}}+{{a}_{2}}{{e}_{2}}+{{a}_{3}}{{e}_{3}}\)

式中是矢量\({{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}}\) 在\({{e}_{1}},{{e}_{2}},{{e}_{3}}\)方向上的投影。
4）典型的几种坐标系和直角坐标系之间关系
（1）正交曲线坐标系与直角坐标系之间关系
直角坐标中三坐标为\(x\)，\(y\)，\(z\)；单位矢量为：\(\vec{i}\)，\(\vec{j}\)，\(\vec{k}\)；
曲线坐标中三坐标为\({{q}_{1}}\)，\({{q}_{2}}\)，\({{q}_{3}}\)；单位矢量为：\({{e}_{1}},{{e}_{2}},{{e}_{3}}\)
曲线坐标中的点在直角坐标表示为：\[\left\{ \begin{align}
& {{q}_{1}}={{q}_{1}}(M)={{q}_{1}}(x,y,z) \\
& {{q}_{2}}={{q}_{2}}(M)={{q}_{2}}(x,y,z) \\
& {{q}_{3}}={{q}_{3}}(M)={{q}_{3}}(x,y,z) \\
\end{align} \right.\]

直角坐标中的点用曲线坐标表示为：\[\left\{ \begin{align}
& x=x(M)=x({{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}}) \\
& y=y(M)=y({{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}}) \\
& z=z(M)=z({{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}}) \\
\end{align} \right.\]

（2）柱坐标系与直角坐标系之间关系
在柱坐标系中，三个坐标用三个有序数\(r,\theta ,z\)表示，即，用\(r,\theta ,z\)表示点的位置，如图1-24所示。

图1-24 圆柱坐标系
直角坐标中三坐标为\(x\)，\(y\)，\(z\)；单位矢量为：\(\vec{i}\)，\(\vec{j}\)，\(\vec{k}\)；
柱坐标系中三坐标为\(r\)，\(\theta \)，\(z\)；单位矢量为：\({{\vec{i}}_{r}}\)，\({{\vec{i}}_{\theta }}\)，\({{\vec{i}}_{z}}\)。
用直角坐标表示柱坐标坐标\[\left\{ \begin{align}
& r=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \\
& \theta =\arctan (y/x) \\
& z=z \\
\end{align} \right.\]

用柱坐标表示直角坐标\[\left\{ \begin{align}
& x=r\cos \theta \\
& y=r\sin \theta \\
& z=z \\
\end{align} \right.\]

（3）球坐标系与直角坐标系之间关系
在球坐标系中，三个坐标用三个有序数\(r,\theta ,\varphi \)表示，即，用\(r,\theta ,\varphi \)表示点的位置，如图1-25所示。

图1-25 球坐标系
用直角坐标表示球坐标坐标\[\left\{ \begin{align}
& r=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}} \\
& \theta =\arctan (y/x) \\
& \varphi =\arctan (\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}{z}) \\
\end{align} \right.\]

用球坐标表示直角坐标\[\left\{ \begin{align}
& x=r\cdot \sin \theta \cdot \cos \varphi \\
& y=r\cdot \sin \theta \cdot \sin \varphi \\
& z=r\cdot \cos \varphi \\
\end{align} \right.\]

1.5.2 曲线坐标系中失径微分、弧长微分和体积元素
微元分析法是推导流体力学方程的基础，本小节首先对直角坐标系中微元六面体和曲线坐标系中曲面微元六面体的概念加以说明；然后，说明曲线坐标系中失径微分、弧长微分和体积元素；最后，针对直角、圆柱和球坐标说明失径微分、弧长微分和体积元素。
1）直角坐标系中微元六面体概念
考察空间中的一点M，经微小时间变化到N点，M用失径\(\vec{r}\)表示，\(\vec{r}+d\vec{r}\)表示，\(\overrightarrow{MN}\)用\(d\vec{r}\)表示。以点M和N点为对角，在直角坐标系中作平行六面体，如图1-26所示。

图1-26 直角坐标系中的平行六面体
2）曲线坐标系中曲面微元六面体概念
考察空间中的一点M，经微小时间变化到N点，以点M和N点为对角，在正交曲线坐标系中作平行六面体，如图1-27所示。

图1-27 正交曲线坐标系中的平行六面体
3）失径微分表达式
直角坐标系中，失径\(\vec{r}=\left( x,y,z \right)\)，失径微分\(d\vec{r}=\left( dx,dy,dz \right)\)
正交曲线坐标系，失径
\(\vec{r}=\vec{r}({{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}})=\left\{ x\left( {{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}} \right),y\left( {{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}} \right),z\left( {{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}} \right) \right\}\)
失径微分 \(d\vec{r}=\frac{\partial \vec{r}}{\partial {{q}_{1}}}d{{q}_{1}}+\frac{\partial \vec{r}}{\partial {{q}_{2}}}d{{q}_{2}}+\frac{\partial \vec{r}}{\partial {{q}_{3}}}d{{q}_{3}}\)。
式中：\(\frac{\partial \vec{r}}{\partial {{q}_{1}}}\)，\(\frac{\partial \vec{r}}{\partial {{q}_{2}}}\)和\(\frac{\partial \vec{r}}{\partial {{q}_{3}}}\)均为导矢，其分别与 ， 和 失端曲线相切，分别指向\({{q}_{1}}\)，\({{q}_{2}}\)和\({{q}_{3}}\)增大的方向。
\(\frac{\partial \vec{r}}{\partial {{q}_{1}}}=\left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial {{q}_{1}}} \right|{{\vec{e}}_{1}}\)，令\(\left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial {{q}_{1}}} \right|={{H}_{1}}\)，称为尺度因子（拉梅系数）。
同理得
\(\frac{\partial \vec{r}}{\partial {{q}_{2}}}=\left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial {{q}_{2}}} \right|{{\vec{e}}_{2}}\)，\(\left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial {{q}_{2}}} \right|={{H}_{2}}\)
\(\frac{\partial \vec{r}}{\partial {{q}_{3}}}=\left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial {{q}_{3}}} \right|{{\vec{e}}_{3}}\)，\(\left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial {{q}_{3}}} \right|={{H}_{3}}\)
这样，曲线坐标失径微分
\(d\vec{r}={{H}_{1}}\cdot d{{q}_{1}}\cdot {{\vec{e}}_{1}}+{{H}_{2}}\cdot d{{q}_{2}}\cdot {{\vec{e}}_{2}}+{{H}_{3}}\cdot d{{q}_{3}}\cdot {{\vec{e}}_{3}}\)
拉梅系数表示对应坐标中导矢的模。
4）沿坐标曲线\({{q}_{1}}\)的弧长微分（又称弧元素）
由前述内容可知，失径对弧长的导数为单位切矢量。即
\(\frac{d\vec{r}}{ds}=\tau \)，且\(\left| \frac{d\vec{r}}{ds} \right|=1\)
这样，\(\left| d\vec{r} \right|=ds\)，则
\({{\left( \left| d\vec{r} \right| \right)}^{2}}={{\left( ds \right)}^{2}}={{\left( {{H}_{1}}\cdot d{{q}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{H}_{2}}\cdot d{{q}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{H}_{3}}\cdot d{{q}_{3}} \right)}^{2}}\)
下面根据上式分析平行六面体边长的变化情况。
在弧\(\overset\frown{M{{M}_{1}}}\)上，只有\({{q}_{1}}\)变化，\({{q}_{2}}\)和\({{q}_{3}}\)不变，因此，\(d{{s}_{1}}={{H}_{1}}\cdot d{{q}_{1}}\)
同理得：\(d{{s}_{2}}={{H}_{2}}\cdot d{{q}_{2}}\)
\(d{{s}_{3}}={{H}_{3}}\cdot d{{q}_{3}}\)
由此得到弧长微分（又称弧元素）的表达式。
5）微元面积微分表达式
由微元弧长的表达式，可以很容易确定各坐标面上的微元面积
\(\begin{align}
& d{{A}_{1}}=d{{s}_{2}}d{{s}_{3}}={{H}_{2}}{{H}_{3}}d{{q}_{2}}d{{q}_{3}} \\
& d{{A}_{2}}=d{{s}_{1}}d{{s}_{3}}={{H}_{1}}{{H}_{3}}d{{q}_{1}}d{{q}_{3}} \\
& d{{A}_{3}}=d{{s}_{1}}d{{s}_{2}}={{H}_{1}}{{H}_{2}}d{{q}_{1}}d{{q}_{2}} \\
\end{align}\)
6）微元六面体体积微分表达式
正交微元六面体体积
\(dV={{H}_{1}}{{H}_{2}}{{H}_{3}}d{{q}_{1}}d{{q}_{2}}d{{q}_{3}}\)
7）尺度因子
由于失径微分表达式、弧长微分表达式、微元面积表达式和微元六面体体积表达式均与尺度因子有关，下面说明尺度因子表达式。
尺度因子为\({{H}_{i}}=\left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial {{q}_{i}}} \right|\)
由于，\(\vec{r}=\vec{r}({{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}})=\left\{ x\left( {{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}} \right),y\left( {{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}} \right),z\left( {{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}} \right) \right\}\)
而，\(\frac{\partial \vec{r}}{\partial {{q}_{i}}}=(\frac{\partial x}{\partial {{q}_{i}}},\frac{\partial y}{\partial {{q}_{i}}},\frac{\partial z}{\partial {{q}_{i}}})\)
所以，\({{H}_{i}}=\left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial {{q}_{i}}} \right|=\sqrt{{{\left( \frac{\partial x}{\partial {{q}_{i}}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{\partial y}{\partial {{q}_{i}}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{\partial z}{\partial {{q}_{i}}} \right)}^{2}}}\)
结论：尺度因子可通过曲线坐标与直角坐标的联系得到。
8）不同坐标系中尺度因子、失径微分、弧元素、面积元素和体积元素
 正交曲线坐标系
三坐标为：\({{q}_{1}}\)，\({{q}_{2}}\)，\({{q}_{3}}\)
三坐标上单位矢量为：\({{e}_{1}}\)，\({{e}_{2}}\)，\({{e}_{3}}\)
三坐标上弧长：\({{s}_{1}}\)，\({{s}_{2}}\)，\({{s}_{3}}\)
坐标关系： \[\left\{ \begin{align}
& x=x(M)=x({{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}}) \\
& y=y(M)=y({{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}}) \\
& z=z(M)=z({{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}}) \\
\end{align} \right.\]

尺度因子： \[\left\{ \begin{matrix}
\left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial {{q}_{1}}} \right|={{H}_{1}} \\
\left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial {{q}_{2}}} \right|={{H}_{2}} \\
\left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial {{q}_{3}}} \right|={{H}_{3}} \\
\end{matrix} \right.\]

失径微分：\(d\vec{r}=\frac{\partial \vec{r}}{\partial {{q}_{1}}}d{{q}_{1}}+\frac{\partial \vec{r}}{\partial {{q}_{2}}}d{{q}_{2}}+\frac{\partial \vec{r}}{\partial {{q}_{3}}}d{{q}_{3}}\)
弧元素：\(d{{s}_{1}}={{H}_{1}}\cdot d{{q}_{1}}\)，\(d{{s}_{2}}={{H}_{2}}\cdot d{{q}_{2}}\)，\(d{{s}_{3}}={{H}_{3}}\cdot d{{q}_{3}}\)
体积元素：\(dV={{H}_{1}}{{H}_{2}}{{H}_{3}}d{{q}_{1}}d{{q}_{2}}d{{q}_{3}}\)
 直角坐标系
三个坐标：\(x\)，\(y\)，\(z\)
三个坐标单位切矢量：\(\vec{i}\)，\(\vec{j}\)，\(\vec{k}\)
相当于曲线坐标：\[\left\{ \begin{matrix}
{{q}_{1}}=x \\
{{q}_{2}}=y \\
{{q}_{3}}=z \\
\end{matrix} \right.\]，\[\left\{ \begin{matrix}
{{e}_{1}}=\vec{i} \\
{{e}_{2}}=\vec{j} \\
{{e}_{3}}=\vec{k} \\
\end{matrix} \right.\]

坐标关系： \[\left\{ \begin{align}
& x=x \\
& y=y \\
& z=z \\
\end{align} \right.\]

尺度因子： \[\left\{ \begin{matrix}
{{H}_{1}}=1 \\
{{H}_{2}}=1 \\
{{H}_{3}}=1 \\
\end{matrix} \right.\]

失径微分：\(d\vec{r}=dx\cdot \vec{i}+dy\cdot \vec{j}+dz\cdot \vec{k}\)
弧元素：\(d{{s}_{1}}=dx\)
\(d{{s}_{2}}=dy\)
\(d{{s}_{3}}=dz\)
体积元素：\(dV=dx\cdot dy\cdot dz\)
 圆柱坐标系
三坐标：\(r\)，\(\theta \)，\(z\)
三坐标单位切矢量：\({{i}_{r}}\)，\({{i}_{\theta }}\)，\({{i}_{z}}\).
相当于曲线坐标： \[\left\{ \begin{matrix}
{{q}_{1}}=r \\
{{q}_{2}}=\theta \\
{{q}_{3}}=z \\
\end{matrix} \right.\]，\[\left\{ \begin{matrix}
{{e}_{1}}={{i}_{r}} \\
{{e}_{2}}={{i}_{\theta }} \\
{{e}_{3}}={{i}_{z}} \\
\end{matrix} \right.\]

坐标关系：\[\left\{ \begin{align}
& x=r\cos \theta \\
& y=r\sin \theta \\
& z=z \\
\end{align} \right.\]

尺度因子： \[\left\{ \begin{align}
& {{H}_{1}}=1 \\
& {{H}_{2}}=r \\
& {{H}_{3}}=1 \\
\end{align} \right.\]
失径微分：\(d\vec{r}=dr{{\vec{i}}_{r}}+rd\theta {{\vec{i}}_{\theta }}+dz{{\vec{i}}_{z}}\)
弧元素： \[\left\{ \begin{align}
& d{{s}_{1}}=dr \\
& d{{s}_{2}}=rd\theta \\
& d{{s}_{3}}=dz \\
\end{align} \right.\]
体积元素：\(d{{V}_{c}}=rdrd\theta dz\)
 球坐标
三个坐标：\(r\)，\(\theta \)，\(\varphi \)
三个坐标单位矢量：\({{i}_{r}}\)，\({{i}_{\theta }}\)，\({{i}_{\varphi }}\)
相当于曲线坐标： \[\left\{ \begin{matrix}
{{q}_{1}}=r \\
{{q}_{2}}=\theta \\
{{q}_{3}}=\varphi \\
\end{matrix} \right.\]，\[\left\{ \begin{matrix}
{{e}_{1}}={{i}_{r}} \\
{{e}_{2}}={{i}_{\theta }} \\
{{e}_{3}}={{i}_{\varphi }} \\
\end{matrix} \right.\]
坐标关系： \[\left\{ \begin{align}
& x=r\sin \theta \cos \varphi \\
& y=r\sin \theta \sin \varphi \\
& z=r\cos \theta \\
\end{align} \right.\]

尺度因子： \[\left\{ \begin{align}
& {{H}_{1}}=1 \\
& {{H}_{2}}=r \\
& {{H}_{3}}=r\sin \theta \\
\end{align} \right.\]

失径微分：\(d\vec{r}=dr{{\vec{i}}_{r}}+rd\theta {{\vec{i}}_{\theta }}+r\sin \theta d\varphi {{\vec{i}}_{\varphi }}\)
弧元素： \[\left\{ \begin{align}
& d{{s}_{1}}=dr \\
& d{{s}_{2}}=rd\theta \\
& d{{s}_{3}}=r\sin \theta d\varphi \\
\end{align} \right.\]

体积元素：\(d{{V}_{c}}={{r}^{2}}\sin \theta drd\theta d\varphi \)
1.5.3 正交曲线坐标系中梯度、散度、旋度及调和量的表达式
1）梯度的表达式
梯度的表达式可根据梯度与方向导数关系得出。先说明坐标系如下：

曲线坐标系参数为：
三坐标：\({{q}_{1}}\)，\({{q}_{2}}\)，\({{q}_{3}}\)
三坐标上单位矢量：\({{\vec{e}}_{1}}\)，\({{\vec{e}}_{2}}\)，\({{\vec{e}}_{3}}\)
三坐标上弧长：\({{s}_{1}}\)，\({{s}_{2}}\)，\({{s}_{3}}\)
数性函数：\(\varphi (\mathbf{r})=\varphi ({{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}})=\varphi ({{s}_{1}},{{s}_{2}},{{s}_{3}})\)

图1-28 方向导数定义的示意图
设有一数性函数\(\varphi ({{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}})\)在\(M(\vec{r})\)点的某一邻接域内有定义并连续。在空间中取上述点\(M(\vec{r})\)，过该点做一有向线段\(\vec{l}\)，然后，在此射线上取与\(M\)相邻的另一点\({M}'(\vec{r}+\Delta \vec{r})\)，\(M\)点到\({M}’\)点的线段用\(\Delta \vec{r}\)表示，这两点之间弧长用\(\left| \Delta \vec{r} \right|\)表示（或用\(\Delta s\)），如图1-28所示。
正交曲线坐标系中方向导数定义为数性函数对弧长的导数。

上式中前一项，\(grad\varphi =\left\{ \frac{\partial \varphi }{\partial s1},\frac{\partial \varphi }{\partial s2},\frac{\partial \varphi }{\partial s2} \right\}\)为梯度；
后一项，\(\vec{\tau }=\left\{ \frac{\partial s1}{\partial s},\frac{\partial s2}{\partial s},\frac{\partial s3}{\partial s} \right\}\)为单位切矢量。
因为，\(d{{s}_{i}}={{H}_{i}}d{{q}_{i}}\)，
所以，梯度表达为\(grad\varphi =\left\{ \frac{1}{{{h}_{1}}}\frac{\partial \varphi }{\partial {{q}_{1}}},\frac{1}{{{h}_{2}}}\frac{\partial \varphi }{\partial {{q}_{2}}},\frac{1}{{{h}_{2}}}\frac{\partial \varphi }{\partial {{q}_{3}}} \right\}\)，
梯度也可表达为：
\(\begin{align}
& grad\varphi =\frac{1}{{{H}_{1}}}\frac{\partial \varphi }{\partial {{q}_{1}}}{{\mathbf{e}}_{\mathbf{1}}}+\frac{1}{{{H}_{2}}}\frac{\partial \varphi }{\partial {{q}_{2}}}{{\mathbf{e}}_{\mathbf{2}}}+\frac{1}{{{H}_{3}}}\frac{\partial \varphi }{\partial {{q}_{3}}}{{\mathbf{e}}_{\mathbf{3}}} \\
& \quad \quad \quad \\
\end{align}\)
2）散度的表达式

图1-29 求散度示意图
如图1-29所示，在曲线坐标系中，过点 取无穷小曲面平行六面体。
过 点的矢量\(\mathbf{a}\)在\({{q}_{1}}\)坐标方向上的分量为\({{a}_{1}}\)，通过面\(M{{M}_{3}}{{N}_{1}}{{N}_{2}}\)矢量\(\mathbf{a}\)的通量为
\(-{{a}_{1}}d{{s}_{2}}d{{s}_{3}}=-{{a}_{1}}{{H}_{2}}{{H}_{3}}d{{q}_{2}}d{{q}_{3}}\)
因为，面\(M{{M}_{3}}{{N}_{1}}{{N}_{2}}\)的外法线方向与\({{\mathbf{e}}_{\mathbf{1}}}\)相反，故通量为负值。
对于面\({{M}_{1}}{{M}_{2}}N{{N}_{3}}\)矢量\(\mathbf{a}\)的通量为
\(\left( {{a}_{1}}+\frac{\partial {{a}_{1}}}{\partial {{q}_{1}}}d{{q}_{1}} \right)\left( {{H}_{2}}{{H}_{3}}+\frac{\partial \left( {{H}_{2}}{{H}_{3}} \right)}{\partial {{q}_{1}}}d{{q}_{1}} \right)d{{q}_{2}}d{{q}_{3}}\)
通过上述两表面的净流出通量，当略去了高阶微量后为
\(\left( {{a}_{1}}\frac{\partial \left( {{H}_{2}}{{H}_{3}} \right)}{\partial {{q}_{1}}}+{{H}_{2}}{{H}_{3}}\frac{\partial {{a}_{1}}}{\partial {{q}_{1}}} \right)d{{q}_{1}}d{{q}_{2}}d{{q}_{3}}=\frac{\partial \left( {{a}_{1}}{{H}_{2}}{{H}_{3}} \right)}{\partial {{q}_{1}}}d{{q}_{1}}d{{q}_{2}}d{{q}_{3}}\)
同理，通过另外两个相对表面的净流出通量为
\(\frac{\partial \left( {{a}_{2}}{{H}_{1}}{{H}_{3}} \right)}{\partial {{q}_{2}}}d{{q}_{1}}d{{q}_{2}}d{{q}_{3}}\)
\(\frac{\partial \left( {{a}_{3}}{{H}_{2}}{{H}_{1}} \right)}{\partial {{q}_{3}}}d{{q}_{1}}d{{q}_{2}}d{{q}_{3}}\)
所以，净流出无穷小微元体的通量为
\(\oint_{S}{\,\mathbf{a}\bullet d\mathbf{S}}=\left( \frac{\partial \left( {{a}_{1}}{{H}_{2}}{{H}_{3}} \right)}{\partial {{q}_{1}}}+\frac{\partial \left( {{a}_{2}}{{H}_{3}}{{H}_{1}} \right)}{\partial {{q}_{2}}}+\frac{\partial \left( {{a}_{3}}{{H}_{1}}{{H}_{2}} \right)}{\partial {{q}_{3}}} \right)d{{q}_{1}}d{{q}_{2}}d{{q}_{3}}\)
无穷小微元体的体积为
\(V=d{{s}_{1}}d{{s}_{2}}d{{s}_{3}}={{H}_{1}}{{H}_{2}}{{H}_{3}}d{{q}_{1}}d{{q}_{2}}d{{q}_{3}}\)
根据矢量场散度的定义
\(\begin{align}
& div\,\mathbf{a}=\underset{\bar{V}\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\oint_{s}{\,\mathbf{a}\bullet d\mathbf{S}}}{{\bar{V}}}=\frac{1}{{{H}_{1}}{{H}_{2}}{{H}_{3}}}\left( \frac{\partial \left( {{a}_{1}}{{H}_{2}}{{H}_{3}} \right)}{\partial {{q}_{1}}}+\frac{\partial \left( {{a}_{2}}{{H}_{3}}{{H}_{1}} \right)}{\partial {{q}_{2}}}+\frac{\partial \left( {{a}_{3}}{{H}_{1}}{{H}_{2}} \right)}{\partial {{q}_{3}}} \right) \\
& \, \\
\end{align}\). (1.5.3)
3）旋度的表达式
已知旋度的一个重要性质：矢量旋度在任一方向的投影等于该方向上的环量面密度。因此，\(rot\,\mathbf{a}\)在曲线坐标\({{q}_{1}}\)方向上(即沿\({{e}_{1}}\)方向)的投影为
\({{\left( rot\,\mathbf{a} \right)}_{1}}=\underset{\Delta {{S}_{1}}\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\oint_{\Delta {{c}_{1}}}{\,\,\mathbf{a}}\bullet d\mathbf{r}}{\Delta {{S}_{1}}}\) (1.5.4)
现在来分析\(\Delta {{S}_{1}}\)为无穷小时，线积分\(\oint_{\Delta {{C}_{1}}}{\,\,\mathbf{a}}\bullet d\mathbf{r}\)的值。

  

图1-30 微元面积示意图
如图1-30所示，\(\Delta {{S}_{1}}\)为围线\(M{{M}_{3}}{{N}_{1}}{{N}_{2}}\)所围的微元面积，其值为
\(\Delta {{S}_{1}}={{H}_{2}}{{H}_{3}}d{{q}_{2}}d{{q}_{3}}\)
矢量\(\mathbf{a}\)沿\(M{{M}_{3}}{{N}_{1}}{{N}_{2}}\)围线的积分是
\(\oint_{\Delta {{C}_{1}}_{{}}}{\,\,\mathbf{a}}\bullet d\mathbf{r}=\int_{M{{M}_{3}}}{\,\,\mathbf{a}\bullet d\mathbf{r}}+\int_{{{M}_{3}}{{N}_{1}}}{\,\,\mathbf{a}\bullet d\mathbf{r}}+\int_{{{N}_{1}}{{N}_{2}}}{\,\,\mathbf{a}\bullet d\mathbf{r}}+\int_{{{N}_{2}}M}{\,\,\mathbf{a}\bullet d\mathbf{r}}\)
若略去高阶无穷小量，则得
\(\oint_{\Delta {{C}_{1}}}{\,\,\mathbf{a}}\bullet d\mathbf{r}={{a}_{2}}{{H}_{2}}d{{q}_{2}}+\left( {{a}_{3}}{{H}_{3}}+\frac{\partial \left( {{a}_{3}}{{H}_{3}} \right)}{\partial {{q}_{2}}}d{{q}_{2}} \right)d{{q}_{3}}-\left( {{a}_{2}}{{H}_{2}}+\frac{\partial \left( {{a}_{2}}{{H}_{2}} \right)}{\partial {{q}_{3}}}d{{q}_{3}} \right)d{{q}_{2}}-{{a}_{3}}{{H}_{3}}d{{q}_{3}}=\left( \frac{\partial \left( {{a}_{3}}{{H}_{3}} \right)}{\partial {{q}_{2}}}-\frac{\partial \left( {{a}_{2}}{{H}_{2}} \right)}{\partial {{q}_{3}}} \right)d{{q}_{2}}d{{q}_{3}}\)
将此式和\(\Delta {{S}_{1}}\)的表达式代入(1.5.4)式，得
\({{\left( rot\,\mathbf{a} \right)}_{1}}=\frac{1}{{{H}_{2}}{{H}_{3}}}\left( \frac{\partial \left( {{a}_{3}}{{H}_{3}} \right)}{\partial {{q}_{2}}}-\frac{\partial \left( {{a}_{2}}{{H}_{2}} \right)}{\partial {{q}_{3}}} \right)\)
同理，可得\({{\left( rot\,\mathbf{a} \right)}_{2}}\)和\({{\left( rot\,\mathbf{a} \right)}_{3}}\)
\(\begin{align}
& {{\left( rot\,\mathbf{a} \right)}_{2}}=\frac{1}{{{H}_{3}}{{H}_{1}}}\left( \frac{\partial \left( {{a}_{1}}{{H}_{1}} \right)}{\partial {{q}_{3}}}-\frac{\partial \left( {{a}_{3}}{{H}_{3}} \right)}{\partial {{q}_{1}}} \right) \\
& {{\left( rot\,\mathbf{a} \right)}_{3}}=\frac{1}{{{H}_{1}}{{H}_{2}}}\left( \frac{\partial \left( {{a}_{2}}{{H}_{2}} \right)}{\partial {{q}_{1}}}-\frac{\partial \left( {{a}_{1}}{{H}_{1}} \right)}{\partial {{q}_{2}}} \right) \\
\end{align}\) (1.5.5)
这样矢量\(\mathbf{a}\)的旋度为
\(rot\,\,\mathbf{a}=\frac{1}{{{H}_{2}}{{H}_{3}}}\left( \frac{\partial \left( {{a}_{3}}{{H}_{3}} \right)}{\partial {{q}_{2}}}-\frac{\partial \left( {{a}_{2}}{{H}_{2}} \right)}{\partial {{q}_{3}}} \right){{\mathbf{e}}_{\mathbf{1}}}+\frac{1}{{{H}_{3}}{{H}_{1}}}\left( \frac{\partial \left( {{a}_{1}}{{H}_{1}} \right)}{\partial {{q}_{3}}}-\frac{\partial \left( {{a}_{3}}{{H}_{3}} \right)}{\partial {{q}_{1}}} \right){{\mathbf{e}}_{\mathbf{2}}}+\frac{1}{{{H}_{1}}{{H}_{2}}}\left( \frac{\partial \left( {{a}_{2}}{{H}_{2}} \right)}{\partial {{q}_{1}}}-\frac{\partial \left( {{a}_{1}}{{H}_{1}} \right)}{\partial {{q}_{2}}} \right){{\mathbf{e}}_{\mathbf{3}}}\) (1.5.6)
或写为
\(rot\,\mathbf{a}\,=\frac{1}{{{H}_{1}}{{H}_{2}}{{H}_{3}}}\left| \begin{matrix}
{{H}_{1}}{{\mathbf{e}}_{\mathbf{1}}} & {{H}_{2}}{{\mathbf{e}}_{\mathbf{2}}} & {{H}_{3}}{{\mathbf{e}}_{\mathbf{3}}} \\
\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}} & \frac{\partial }{\partial {{q}_{2}}} & \frac{\partial }{\partial {{q}_{3}}} \\
{{H}_{1}}{{a}_{1}} & {{H}_{2}}{{a}_{2}} & {{H}_{3}}{{a}_{3}} \\
\end{matrix} \right|\) (1.5.7)
4）调和量的表达式
所谓调和量就是梯度\(\nabla \varphi \)的散度，所以连续利用式(1.5.7)和(1.5.9)就可以得到
\(\Delta \varphi ={{\nabla }^{2}}\varphi =\frac{1}{{{H}_{1}}{{H}_{2}}{{H}_{3}}}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}\left( \frac{{{H}_{2}}{{H}_{3}}}{{{H}_{1}}}\frac{\partial \varphi }{\partial {{q}_{1}}} \right)+\frac{\partial }{\partial {{q}_{2}}}\left( \frac{{{H}_{1}}{{H}_{3}}}{{{H}_{2}}}\frac{\partial \varphi }{\partial {{q}_{2}}} \right)+\frac{\partial }{\partial {{q}_{3}}}\left( \frac{{{H}_{1}}{{H}_{2}}}{{{H}_{3}}}\frac{\partial \varphi }{\partial {{q}_{3}}} \right) \right)\) (1.5.8)
1.5.4 柱坐标系中的梯度、散度、旋度及调和量的表达式
在柱坐标系中，
梯度的表达式为
\(\nabla \varphi =\frac{\partial \varphi }{\partial r}{{\mathbf{i}}_{\mathbf{r}}}+\frac{\partial \varphi }{r\partial \phi }{{\mathbf{i}}_{\phi }}+\frac{\partial \varphi }{\partial z}{{\mathbf{i}}_{\mathbf{z}}}\) (1.5.9)
散度的表达式为
\(\nabla \bullet \mathbf{a}=\frac{1}{r}\frac{\partial \left( r{{a}_{r}} \right)}{\partial r}+\frac{\partial {{a}_{\phi }}}{r\partial \phi }+\frac{\partial {{a}_{z}}}{\partial z}\) (1.5.10)
旋度的表达式为
\(\nabla \times \mathbf{a}=\frac{1}{r}\left( \frac{\partial {{a}_{z}}}{\partial \phi }-\frac{\partial \left( {{a}_{\phi }}r \right)}{\partial z} \right){{\mathbf{e}}_{\mathbf{r}}}+\left( \frac{\partial {{a}_{r}}}{\partial z}-\frac{\partial {{a}_{z}}}{\partial r} \right){{\mathbf{e}}_{\phi }}+\frac{1}{r}\left( \frac{\partial \left( {{a}_{\phi }} \right)}{\partial r}-\frac{\partial {{a}_{r}}}{\partial \phi } \right){{\mathbf{e}}_{\mathbf{z}}}\)
或者
\(\nabla \times \mathbf{a}=rot\,\mathbf{a}\,=\left| \begin{matrix}
\frac{{{\mathbf{i}}_{r}}}{{{H}_{2}}{{H}_{3}}} & \frac{{{\mathbf{i}}_{\phi }}}{{{H}_{2}}{{H}_{3}}} & \frac{{{\mathbf{i}}_{z}}}{{{H}_{2}}{{H}_{3}}} \\
\frac{\partial }{\partial r} & \frac{\partial }{\partial \phi } & \frac{\partial }{\partial z} \\
{{H}_{1}}{{a}_{1}} & {{H}_{2}}{{a}_{2}} & {{H}_{3}}{{a}_{3}} \\
\end{matrix} \right|\) (1.5.11)
调和量的表达式为
\(\Delta \varphi ={{\nabla }^{2}}\varphi =\frac{1}{r}\left( \frac{\partial }{\partial r}\left( r\frac{\partial \varphi }{\partial r} \right)+\frac{\partial }{\partial \phi }\left( \frac{1}{r}\frac{\partial \varphi }{\partial \phi } \right)+\frac{\partial }{\partial z}\left( r\frac{\partial \varphi }{\partial z} \right) \right)\) (1.5.12)
算符▽的表达式为
\(\nabla =\frac{\partial }{\partial r}{{\mathbf{e}}_{\mathbf{r}}}+\frac{\partial }{r\partial \phi }{{\mathbf{e}}_{\phi }}+\frac{\partial }{\partial z}{{\mathbf{e}}_{\mathbf{z}}}\) (1.5.13)
1.5.5 球坐标系中的梯度、散度、旋度及调和量的表达式
在球坐标系中，
梯度的表达式为
\(\nabla \varphi =\frac{\partial \varphi }{\partial R}{{\mathbf{e}}_{\mathbf{R}}}+\frac{1}{R}\frac{\partial \varphi }{\partial \theta }{{\mathbf{e}}_{\mathbf{\theta }}}+\frac{1}{R\sin \theta }\frac{\partial \varphi }{\partial \phi }{{\mathbf{e}}_{\phi }}\) (1.5.14)
散度的表达式为
\(\nabla \bullet \mathbf{a}=\frac{1}{{{R}^{2}}\sin \theta }\left( \frac{\partial \left( {{a}_{R}}{{R}^{2}}\sin \theta \right)}{\partial R}+\frac{\partial \left( {{a}_{\theta }}R\sin \theta \right)}{\partial \theta }+\frac{\partial \left( {{a}_{\phi }}R \right)}{\partial \phi } \right)=\frac{1}{\sin \theta }\left( \sin \theta \frac{\partial \left( {{R}^{2}}{{a}_{R}} \right)}{{{R}^{2}}\partial R}+\frac{\partial \left( \sin \theta \ {{a}_{\theta }} \right)}{R\partial \theta }+\frac{\partial {{a}_{\phi }}}{R\partial \phi } \right)\) (1.5.15)
旋度的表达式为
\(\begin{align}
& \nabla \times \mathbf{a}=\frac{1}{{{R}^{2}}\sin \theta }\left( \frac{\partial \left( {{a}_{\phi }}R\sin \theta \right)}{\partial \theta }-\frac{\partial \left( {{a}_{\theta }}R \right)}{\partial \phi } \right){{\mathbf{e}}_{\mathbf{R}}}+\frac{1}{R\sin \theta }\left( \frac{\partial {{a}_{R}}}{\partial \phi }-\frac{\partial \left( {{a}_{\phi }}R\sin \theta \right)}{\partial R} \right){{\mathbf{e}}_{\mathbf{\theta }}}+\frac{1}{R}\left( \frac{\partial \left( {{a}_{\theta }}R \right)}{\partial R}-\frac{\partial {{a}_{R}}}{\partial \theta } \right){{\mathbf{e}}_{\phi }} \\
& \quad \quad \ \,\ =\frac{1}{R\sin \theta }\left( \frac{\partial \left( \sin \theta {{a}_{\phi }} \right)}{\partial \theta }-\frac{\partial {{a}_{\theta }}}{\partial \phi } \right){{\mathbf{e}}_{\mathbf{R}}}+\frac{1}{R}\left( \frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial {{a}_{R}}}{\partial \phi }-\frac{\partial \left( R{{a}_{\phi }} \right)}{\partial R} \right){{\mathbf{e}}_{\mathbf{\theta }}}\,+\frac{1}{R}\left( \frac{\partial \left( R{{a}_{\theta }} \right)}{\partial R}-\frac{\partial {{a}_{R}}}{\partial \theta } \right){{\mathbf{e}}_{\phi }} \\
\end{align}\) (1.5.16)
调和量的表达式为
\(\begin{align}
& \Delta \varphi ={{\nabla }^{2}}\varphi \\
& \quad \ =\frac{1}{{{R}^{2}}\sin \theta }\left( \frac{\partial }{\partial R}\left( {{R}^{2}}\sin \theta \frac{\partial \varphi }{\partial R} \right)+\frac{\partial }{\partial \theta }\left( \sin \theta \frac{\partial \varphi }{\partial \theta } \right)+\frac{\partial }{\partial \phi }\left( \frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial \varphi }{\partial \phi } \right) \right) \\
& \quad \,\,=\frac{1}{{{R}^{2}}\sin \theta }\left( \sin \theta \frac{\partial }{\partial R}\left( {{R}^{2}}\frac{\partial \varphi }{\partial R} \right)+\frac{\partial }{\partial \theta }\left( \sin \theta \frac{\partial \varphi }{\partial \theta } \right)+\frac{1}{\sin \theta }\frac{{{\partial }^{2}}\varphi }{\partial {{\phi }^{2}}} \right) \\
\end{align}\) (1.5.17)
算符 的表达式为
\(\nabla =\frac{\partial }{\partial R}{{\mathbf{e}}_{\mathbf{R}}}+\frac{\partial }{R\partial \theta }{{\mathbf{e}}_{\mathbf{\theta }}}+\frac{1}{R\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \phi }{{\mathbf{e}}_{\phi }}\) (1.5.18)
1.6 小结
1）矢量代数
（1）矢量的加减运算
交换律：\(a+b=b+a\)
结合律：\(a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)\)
（2）矢量的乘法运算
结合律：\(\lambda \left( \mu a \right)=\mu \left( \lambda a \right)=\left( \lambda \mu a \right)\)
分配律：\(\left( \lambda +\mu \right)a=\lambda a+\mu a\)
（3）矢量的数量积
\(c=a\bullet b=\left| a \right|\cdot \left| b \right|\cdot cos\left( a\mathbf{,}b \right)=\left| a \right|\cdot \left| b \right|\cdot cos\theta \)
\(c=a\bullet b=\left( {{a}_{x}},{{a}_{y}},{{a}_{z}} \right)\bullet \left( {{b}_{x}},{{b}_{y}},{{b}_{z}} \right)=\left( {{a}_{x}}{{b}_{x}}+{{a}_{y}}{{b}_{y}}+{{a}_{z}}{{b}_{z}} \right)\)
（4）矢量的矢量积
\(\left| a\times b \right|=absin\left( a,b \right)\)
\(a\times b=\left( {{a}_{1}}{{e}_{\mathbf{1}}}+{{a}_{2}}{{e}_{\mathbf{2}}}+{{a}_{3}}{{e}_{\mathbf{3}}} \right)\times \left( {{b}_{1}}{{e}_{\mathbf{1}}}+{{b}_{2}}{{e}_{\mathbf{2}}}+{{b}_{3}}{{e}_{\mathbf{3}}} \right)=\left( {{a}_{2}}{{b}_{3}}-{{a}_{3}}{{b}_{2}} \right){{e}_{\mathbf{1}}}+\left( {{a}_{3}}{{b}_{1}}-{{a}_{1}}{{b}_{3}} \right){{e}_{\mathbf{2}}}+\left( {{a}_{1}}{{b}_{2}}-{{a}_{2}}{{b}_{1}} \right){{e}_{\mathbf{3}}}\)
分配律：\(a\times \left( b+c \right)=a\times b+a\times c\)
结合律：\(m\left( a\times b \right)=\left( ma \right)\times b=a\times \left( mb \right)=\left( a\times b \right)m\)
（5）三矢混合积

2）矢量分析
（1）矢性函数的运算法则
\(\underset{t\to {{t}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,u\left( t \right)A\left( \text{t} \right)=\underset{t\to {{t}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,u\left( t \right)\underset{t\to {{t}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,A\left( \text{t} \right)\)
\(\underset{t\to {{t}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left( A\left( \text{t} \right)\pm B\left( \text{t} \right) \right)=\underset{t\to {{t}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,A\left( \text{t} \right)\pm \underset{t\to {{t}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,B\left( \text{t} \right)\)
\(\underset{t\to {{t}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left( A\left( \text{t} \right)\times B\left( \text{t} \right) \right)=\underset{t\to {{t}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,A\left( \text{t} \right)\times \underset{t\to {{t}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,B\left( \text{t} \right)\)
\(\underset{t\to {{t}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left( A\left( \text{t} \right)\bullet B\left( \text{t} \right) \right)=\underset{t\to {{t}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,A\left( \text{t} \right)\bullet \underset{t\to {{t}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,B\left( \text{t} \right)\)
（2）矢性函数的导数公式
\(\frac{d}{dt}C=0\)（ 为常矢）
\(\frac{d}{dt}\left( A\pm B \right)=\frac{dA}{dt}\pm \frac{dB}{dt}\)
\(\frac{d}{dt}\left( kA \right)=k\frac{dA}{dt}\)（ 为常数）
\(\frac{d}{dt}(uA)=\frac{du}{dt}A+u\frac{dA}{dt}\)
\(\frac{d}{dt}\left( A\bullet B \right)=A\bullet \frac{dB}{dt}+\frac{dA}{dt}\bullet B\)
特例，\(\frac{d}{dt}{{A}^{2}}=2A\bullet \frac{dA}{dt}\)（其中，\({{A}^{2}}=A\bullet A\)）
\(\frac{d}{dt}\left( A\times B \right)=A\bullet \frac{dB}{dt}+\frac{dA}{dt}\bullet B\)
\(\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{du}\frac{du}{dt}\)
（3）矢性函数的积分
\(\int{k}A\left( t \right)dt=k\int{A\left( t \right)dt}\)
\(\int{\left( A\left( t \right)\pm B\left( t \right) \right)}=\int{A\left( t \right)dt}\pm \int{B\left( t \right)dt}\)
\(\int{u\left( t \right)}adt=a\int{u\left( t \right)}dt\)
\(\int{a\bullet }A\left( t \right)dt=a\bullet \int{A\left( t \right)dt}\)
\(\int{a\times }A\left( t \right)dt=a\times \int{A\left( t \right)dt}\)
\(\int_{{{T}_{1}}}^{{{T}_{2}}}{A\left( t \right)dt}=\underset{\lambda \to 0}{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{i=0}^{n}{A\left( {{\xi }_{i}} \right)}\Delta {{t}_{i}}\)
\(\int_{{{T}_{1}}}^{{{T}_{2}}}{A\left( t \right)dt}=B\left( {{T}_{2}} \right)-B\left( {{T}_{1}} \right)\)
\(\int_{{{T}_{1}}}^{{{T}_{2}}}{A\left( t \right)dt}=i\int_{{{T}_{1}}}^{{{T}_{2}}}{{{A}_{x}}\left( t \right)dt}+j\int_{{{T}_{1}}}^{{{T}_{2}}}{{{A}_{y}}\left( t \right)dt}+k\int_{{{T}_{1}}}^{{{T}_{2}}}{{{A}_{z}}\left( t \right)dt}\)
3）场论基础
（1）数量场的方向导数与梯度
方向导数：\({{\left. \frac{\partial \varphi }{\partial l} \right|}_{}}=\frac{\partial \varphi }{\partial x}\cos \alpha +\frac{\partial \varphi }{\partial y}\cos \beta +\frac{\partial \varphi }{\partial z}\cos \gamma \)
梯度：\(grad\varphi =G=(\frac{\partial \varphi }{\partial x},\frac{\partial \varphi }{\partial y},\frac{\partial \varphi }{\partial z})\)
（2）矢量场的通量与散度
通量：\(\Phi =\iint\limits_{\sigma }{A\bullet d\sigma =\iint\limits_{s}{Pdydz+Qdxdz+Rdxdy}}\)
散度：\(diva=\frac{\partial {{a}_{x}}}{\partial x}+\frac{\partial {{a}_{y}}}{\partial y}+\frac{\partial {{a}_{z}}}{\partial z}\)
高斯定理：\(\iiint\limits_{\Omega }{(\frac{\partial P}{\partial x}}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dv=\mathop{{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\limits_\sum
Pdydz+Qdzdx+Rdxdy \)
（3）矢量场的环量和旋度
环量：\(\Gamma =\oint\limits_{l}{A\bullet dl}=\oint\limits_{l}{Pdx+Qdy+Rdz}\)
环量面密度：\(\underset{\Delta S\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta \Gamma }{\Delta S}=\underset{\Delta S\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\oint_{\Delta C}{a\bullet dr}}{\Delta S}\)
环量面密度：

\(\underset{\Delta S\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta \Gamma }{\Delta S}=\left( \frac{\partial {{a}_{z}}}{\partial {{x}_{2}}}-\frac{\partial {{a}_{y}}}{\partial {{x}_{3}}} \right)\cos (n,{{x}_{1}})+\left( \frac{\partial {{a}_{x}}}{\partial {{x}_{3}}}-\frac{\partial {{a}_{z}}}{\partial {{x}_{1}}} \right)\cos (n,{{x}_{2}})+\left( \frac{\partial {{a}_{y}}}{\partial {{x}_{1}}}-\frac{\partial {{a}_{x}}}{\partial {{x}_{2}}} \right)\cos (n,{{x}_{3}})\)
旋度：\(rota=\left( \frac{\partial {{a}_{z}}}{\partial {{x}_{2}}}-\frac{\partial {{a}_{y}}}{\partial {{x}_{3}}} \right){{e}_{1}}+\left( \frac{\partial {{a}_{x}}}{\partial {{x}_{3}}}-\frac{\partial {{a}_{z}}}{\partial {{x}_{1}}} \right){{e}_{2}}+\left( \frac{\partial {{a}_{y}}}{\partial {{x}_{1}}}-\frac{\partial {{a}_{x}}}{\partial {{x}_{2}}} \right){{e}_{3}}\)
斯托克斯公式：\(\oint_{C}{a\bullet dr}=\int_{S}{rota\bullet d\mathbf{S}}\)
哈密顿算子定义：\(\nabla \equiv \frac{\partial }{\partial \text{x}}i+\frac{\partial }{\partial \text{x}}j+\frac{\partial }{\partial \text{x}}k\)
梯度：\(grad\varphi =\nabla \varphi \)
散度：\(divA=\nabla \bullet A\)
旋度：\(rotA=\nabla \times A\)

常用公式：
\((1)\nabla (cu)=c\nabla u\)（c为常数）
\((2)\nabla \bullet (cA)=c\nabla \bullet A\)（c为常数）
\((3)\nabla \times (cA)=c\nabla \times A\)（c为常数）
\((4)\nabla (u\pm v)=\nabla u\pm \nabla v\)
\((5)\nabla \bullet (A\pm B)=\nabla \bullet A\pm \nabla \bullet B\)
\((6)\nabla \times (A\pm B)=\nabla \times A\pm \nabla \times B\)
\((7)\nabla \bullet (uc)=\nabla u\bullet c\)（c为常数）
\((8)\nabla \times (uc)=\nabla u\times c\)（c为常数）
\((9)\nabla (uv)=v\nabla u+u\nabla v\)
\((10)\nabla \bullet (uA)=u\nabla \bullet A+\nabla u\bullet A\)
\((11)\nabla \times (uA)=u\nabla \times A+\nabla u\times A\)
\((12)\nabla (A\bullet B)=A\times (\nabla \times B)+(A\bullet \nabla )B+B\times (\nabla \times A)+(B\bullet \nabla )A\)
\((13)\nabla \bullet (A\times B)=B\bullet (\nabla \times A)-A\bullet (\nabla \times B)\)
\((14)\nabla \times (A\times B)=(B\bullet \nabla )A-(A\bullet \nabla )B-B(\nabla \bullet A)+A(\nabla \bullet B)\)
\((15)\nabla \bullet (\nabla u)={{\nabla }^{2}}u=\Delta u\)(\(\Delta u\)为调和量)
\((16)\nabla \times (\nabla u)=0\)
\((17)\nabla \bullet (\nabla \times A )=0\)
\((18)\nabla \times (\nabla \times A )=\nabla (\nabla \bullet A )-\Delta A\)

\((19)\nabla r=\frac{r}{r}={{r}^{0}} \)
\((20)\nabla r=3 \)
\((21)\nabla \times r=0 \)
\((22)\nabla f(u)=f'(u)\nabla u \)
\( (23)\nabla f(u,v)=\frac{\partial f}{\partial u}\nabla u+\frac{\partial f}{\partial v}\nabla v \)
\( (24)\nabla f(r)=\frac{f'(r)}{r}r=f'(r){{r}^{0}} \)
\( (25)\nabla \times (f(r)r)=0 \)
\( (26)\nabla \times ({{r}^{-3}}r)=0(r\ne 0) \)
\( (27)\mathop{{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\limits_s
A\bullet dS =\iiint\limits_{\Omega }{(\nabla \bullet A)dV}\)
\( (28)\oint{_{t}A\bullet dl=\iint\limits_{s}{(\nabla \times A)\bullet dS}} \)

4）曲线坐标系
弧长微分：\(d{{S}_{i}}={{H}_{i}}d{{q}_{i}}\)
尺度因子：\({{H}_{i}}=\sqrt{{{\left( \frac{\partial x}{\partial {{q}_{2}}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{\partial y}{\partial {{q}_{2}}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{\partial z}{\partial {{q}_{2}}} \right)}^{2}}}\)
（1）正交曲线坐标系中的梯度、散度、旋度及调和量的表达式
\(\nabla =\frac{1}{{{H}_{1}}}\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}{{e}_{1}}+\frac{1}{{{H}_{2}}}\frac{\partial }{\partial {{q}_{2}}}{{e}_{2}}+\frac{1}{{{H}_{3}}}\frac{\partial }{\partial {{q}_{3}}}{{e}_{3}}=\frac{1}{{{H}_{i}}}\frac{\partial }{\partial {{q}_{i}}}{{e}_{i}}\)
梯度：\(grad\varphi =\frac{1}{{{H}_{1}}}\frac{\partial \varphi }{\partial {{q}_{1}}}{{e}_{1}}+\frac{1}{{{H}_{2}}}\frac{\partial \varphi }{\partial {{q}_{2}}}{{e}_{2}}+\frac{1}{{{H}_{3}}}\frac{\partial \varphi }{\partial {{q}_{3}}}{{e}_{3}}=(\frac{1}{{{H}_{1}}}\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}{{e}_{1}}+\frac{1}{{{H}_{2}}}\frac{\partial }{\partial {{q}_{2}}}{{e}_{2}}+\frac{1}{{{H}_{3}}}\frac{\partial }{\partial {{q}_{3}}}{{e}_{3}})\varphi \)
散度： \[\begin{align}
& div\,a=\frac{1}{{{H}_{1}}{{H}_{2}}{{H}_{3}}}\left[ \frac{\partial \left( {{a}_{1}}{{H}_{2}}{{H}_{3}} \right)}{\partial {{q}_{1}}}+\frac{\partial \left( {{a}_{2}}{{H}_{3}}{{H}_{1}} \right)}{\partial {{q}_{2}}}+\frac{\partial \left( {{a}_{3}}{{H}_{1}}{{H}_{2}} \right)}{\partial {{q}_{3}}} \right] \\
& \, \\
\end{align}\]

旋度：\(rot\,\,\,a=\frac{1}{{{H}_{2}}{{H}_{3}}}\left( \frac{\partial \left( {{a}_{3}}{{H}_{3}} \right)}{\partial {{q}_{2}}}-\frac{\partial \left( {{a}_{2}}{{H}_{2}} \right)}{\partial {{q}_{3}}} \right)\,{{e}_{1}}+\frac{1}{{{H}_{3}}{{H}_{1}}}\left( \frac{\partial \left( {{a}_{1}}{{H}_{1}} \right)}{\partial {{q}_{3}}}-\frac{\partial \left( {{a}_{3}}{{H}_{3}} \right)}{\partial {{q}_{1}}} \right){{e}_{2}}+\frac{1}{{{H}_{1}}{{H}_{2}}}\left( \frac{\partial \left( {{a}_{2}}{{H}_{2}} \right)}{\partial {{q}_{1}}}-\frac{\partial \left( {{a}_{1}}{{H}_{1}} \right)}{\partial {{q}_{2}}} \right){{e}_{3}}\)
调和量：\(\Delta \varphi ={{\nabla }^{2}}\varphi =\frac{1}{{{H}_{1}}{{H}_{2}}{{H}_{3}}}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}\left( \frac{{{H}_{2}}{{H}_{3}}}{{{H}_{1}}}\frac{\partial \varphi }{\partial {{q}_{1}}} \right) \right.+\frac{\partial }{\partial {{q}_{2}}}\left( \frac{{{H}_{1}}{{H}_{3}}}{{{H}_{2}}}\frac{\partial \varphi }{\partial {{q}_{2}}} \right)\left. +\frac{\partial }{\partial {{q}_{3}}}\left( \frac{{{H}_{1}}{{H}_{2}}}{{{H}_{3}}}\frac{\partial \varphi }{\partial {{q}_{3}}} \right) \right)\)
（2）柱坐标系中的梯度、散度、旋度及调和量的表达式
\(\nabla =\frac{\partial }{\partial r}{{e}_{r}}+\frac{\partial }{r\partial \phi }{{e}_{\phi }}+\frac{\partial }{\partial z}{{e}_{z}}\)
梯度：\(\nabla \varphi =\frac{\partial \varphi }{\partial r}{{e}_{r}}+\frac{\partial \varphi }{r\partial \phi }{{e}_{\phi }}+\frac{\partial \varphi }{\partial z}{{e}_{z}}\)
散度：\(\nabla \bullet a=\frac{1}{r}\left( \frac{\partial \left( {{a}_{r}}r \right)}{\partial r}+\frac{\partial \left( {{a}_{\phi }} \right)}{\partial \phi }+\frac{\partial \left( {{a}_{z}}r \right)}{\partial z} \right)\)
旋度：\(\nabla \times a=\frac{1}{r}\left( \frac{\partial {{a}_{z}}}{\partial \phi }-\frac{\partial \left( {{a}_{\phi }}r \right)}{\partial z} \right){{e}_{r}}+\left( \frac{\partial {{a}_{r}}}{\partial z}-\frac{\partial {{a}_{z}}}{\partial r} \right){{e}_{\phi }}+\frac{1}{r}\left( \frac{\partial \left( {{a}_{\phi }} \right)}{\partial r}-\frac{\partial {{a}_{r}}}{\partial \phi } \right){{e}_{z}}\)
调和量：\(\Delta \varphi ={{\nabla }^{2}}\varphi =\frac{1}{r}\left( \frac{\partial }{\partial r}\left( r\frac{\partial \varphi }{\partial r} \right)+\frac{\partial }{\partial \phi }\left( \frac{1}{r}\frac{\partial \varphi }{\partial \phi } \right)+\frac{\partial }{\partial z}\left( r\frac{\partial \varphi }{\partial z} \right) \right)\)
（2）球坐标系中的梯度、散度、旋度及调和量的表达式
\(\nabla =\frac{\partial }{\partial R}{{e}_{R}}+\frac{\partial }{R\partial \theta }{{e}_{\theta }}+\frac{1}{R\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \phi }{{e}_{\phi }}\)
梯度：\(\nabla \varphi =\frac{\partial \varphi }{\partial R}{{e}_{R}}+\frac{1}{R}\frac{\partial \varphi }{\partial \theta }{{e}_{\theta }}+\frac{1}{R\sin \theta }\frac{\partial \varphi }{\partial \phi }{{e}_{\phi }}\)
散度：\(\begin{align}
& \nabla \bullet a=\frac{1}{{{R}^{2}}\sin \theta }\left( \frac{\partial \left( {{a}_{R}}{{R}^{2}}\sin \theta \right)}{\partial R}+\frac{\partial \left( {{a}_{\theta }}R\sin \theta \right)}{\partial \theta }+\frac{\partial \left( {{a}_{\phi }}R \right)}{\partial \phi } \right) \\
& \quad \quad \,=\frac{1}{\sin \theta }\left( \sin \theta \frac{\partial \left( {{R}^{2}}{{a}_{R}} \right)}{{{R}^{2}}\partial R}+\frac{\partial \left( \sin \theta \ {{a}_{\theta }} \right)}{R\partial \theta }+\frac{\partial {{a}_{\phi }}}{R\partial \phi } \right) \\
\end{align}\)
旋度：\(\nabla \times a=\frac{1}{R\sin \theta }\left( \frac{\partial \left( \sin \theta {{a}_{\phi }} \right)}{\partial \theta }-\frac{\partial {{a}_{\theta }}}{\partial \phi } \right){{e}_{R}}+\frac{1}{R}\left( \frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial {{a}_{R}}}{\partial \phi }-\frac{\partial \left( R{{a}_{\phi }} \right)}{\partial R} \right){{e}_{\theta }}+\frac{1}{R}\left( \frac{\partial \left( R{{a}_{\theta }} \right)}{\partial R}-\frac{\partial {{a}_{R}}}{\partial \theta } \right){{e}_{\phi }}\)
调和量：\(\begin{align}
& \Delta \varphi ={{\nabla }^{2}}\varphi \\
& \quad \ =\frac{1}{{{R}^{2}}\sin \theta }\left( \frac{\partial }{\partial R}\left( {{R}^{2}}\sin \theta \frac{\partial \varphi }{\partial R} \right)+\frac{\partial }{\partial \theta }\left( \sin \theta \frac{\partial \varphi }{\partial \theta } \right)+\frac{\partial }{\partial \phi }\left( \frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial \varphi }{\partial \phi } \right) \right) \\
& \quad \,\,=\frac{1}{{{R}^{2}}\sin \theta }\left( \sin \theta \frac{\partial }{\partial R}\left( {{R}^{2}}\frac{\partial \varphi }{\partial R} \right)+\frac{\partial }{\partial \theta }\left( \sin \theta \frac{\partial \varphi }{\partial \theta } \right)+\frac{1}{\sin \theta }\frac{{{\partial }^{2}}\varphi }{\partial {{\phi }^{2}}} \right) \\
\end{align}\)
习题
1.设\(\mathbf{a}(t)\)，\(\mathbf{b}(t)\)，\(\mathbf{c}(t)\)均为t的可微函数，计算\(\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left( \mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) \right)\)。
2.求曲线\(x=a{{\sin }^{2}}t\)，\(y=a\sin 2t\)，\(z=a\cos t\)，在\(t=\frac{\pi }{4}\)处的切矢量。
3.设\(\varphi (M)={{x}^{3}}-3xy{{z}^{2}}+{{y}^{3}}z+2x+y+4z\)，通过引入梯度概念求函数\(\varphi (M)\)在点\({{M}_{0}}(1,2,3)\)处沿矢量\(a=(yz,zx,xy)\)方向的变化速率。
4.试分析\(div\left( rota \right)\),\(rot(grad\varphi )\)分别是什么性质的场。（提示：首先证明它们恒等于零，然后试分析。）
5.设有矢性函数\(F(M)=f(r)r\)，\(r\)是矢径，\(r=\left| r \right|\)，若该函数为无源场，求解其所需要满足的条件。
6.证明：若\(\mathbf{A}\)，\(\mathbf{B}\)无旋，则\(\mathbf{A}\times \mathbf{B}\)无源。
7.证明：\(\nabla \times (u\mathbf{A})=u\nabla \times \mathbf{A}+\nabla u\times \mathbf{A}\)。
8.证明：\(rot(c\times r)=2c\)，\(c\)是常矢。
9.求\(div\frac{r}{\left| r \right|}\)，\(r\)是矢径。
10.设\(a=(-3c{{r}^{2}}cos\theta ,c{{r}^{2}}\sin \theta ,2c{{r}^{2}})\)，c为常数。对于矢性该函数，判断是否存在势函数，若存在势函数，试求该势函数。
11.在圆柱坐标系下，有函数\(u(\rho ,\varphi ,z)={{\rho }^{2}}cos\varphi +{{z}^{2}}sin\varphi \)，试求\(\text{A=gradu}\)，进一步求和\(\text{divA}\)。
12.在球坐标系下，已知\(u(r,\theta ,\varphi )=2sin\theta +{{r}^{2}}cos\varphi \)，求\(\nabla u\)。