第三章 无粘性可压缩流体定常多维绝热流动的一般特征

3.1 第三章的运算符号

δ 不精确的微分

\(\nabla \) 矢量倒三角算子\(=\frac{\partial f}{\partial x}\overrightarrow{i}+\frac{\partial f}{\partial u}\overrightarrow{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\overrightarrow{k}\)

\(\nabla \cdot \overrightarrow{V}\)  \(\overrightarrow{V}\)的散度\(=\frac{\partial {{V}_{x}}}{\partial x}+\frac{\partial {{V}_{\text{y}}}}{\partial y}+\frac{\partial {{V}_{z}}}{\partial z}\)

\(\nabla \times \overrightarrow{V}\)  \(\overrightarrow{V}\)的旋\(=(\frac{\partial {{V}_{Z}}}{\partial y}-\frac{\partial {{V}_{y}}}{\partial z})\overrightarrow{i}+(\frac{\partial {{V}_{x}}}{\partial z}-\frac{\partial {{V}_{z}}}{\partial x})\overrightarrow{j}+\frac{\partial {{V}_{y}}}{\partial x}-\frac{\partial {{V}_{x}}}{\partial y})\overrightarrow{k}\)

\(\frac{D()}{Dt}=\frac{\partial }{\partial t}+(\overrightarrow{V}\times \nabla )\)   ( )实质导数，表示流体微团的运动, \(\frac{\partial }{\partial ()}\) 对于( )的偏微分

\((\overrightarrow{V}\times \nabla )\overrightarrow{V}=\nabla \frac{{{V}^{2}}}{2}-\overrightarrow{V}(\overrightarrow{V}\times \nabla )\)

\(\nabla \cdot (\rho \overrightarrow{V})=(\nabla \cdot \overrightarrow{V})\rho -\rho \nabla \cdot \overrightarrow{V})\)

x，y，z 笛卡尔坐标

r，θ，z 圆柱坐标

3.2 引言

第二章中，我们在刚性无加速控制体概念的基础上推导了流体流动的控制方程，这些方程包括积分和微分两种形式。

本章讲述可压缩流体定常多维绝热无粘性流动的一般特征。首先，采用微分形式的（矢量）控制方程推导对应于笛卡尔、圆柱和轴对称坐标系中的方程。然后，为了研究多维流动中流体的运动形态，我们讨论了一些重要概念，如环量、旋转、旋度等，进一步引入几个重要的定理，如Kelvin定理，Crocco定理，以及Helmholtz定理，这三大定理构成了研究多维旋转流动的基本理论。最后，引入速度势、以及流函数的概念，用于来描述定常二维流动。

3.3 关于可压缩流体定常多维绝热无粘性流动的控制微分方程

针对刚性无加速控制体，由表2.2我们得出了可压缩流体流动控制方程的微分形式。现将这些方程总结如下。

连续方程

\({{\rho }_{t}}+\nabla \cdot ({{\rho }_{t}}\overrightarrow{V})=0\)     （3.3.1）

动量方程

             （3.3.2）

能量方程

          （3.3.3）

熵方程

\(\rho \frac{Ds}{Dt}\ge \frac{\delta \overset{\cdot }{\mathop{Q}}\,}{T}\)    (3.3.4）

我们研究的流动条件为：无体积力（\(\overrightarrow{B}=\text{g}\)dz=0)、无外功（\(\delta \overset{\cdot }{\mathop{W}}\,=0\)、绝热（\(\delta \overset{\cdot }{\mathop{Q}}\,=0\)和无粘性

若流体流动过程是化学平衡的（即化学反应速度为无限大）或者化学成份为冻结的（即化学反应速度为0），则流动过程是可逆的。

在无体积力，无外功情况下，对可压缩流体的定常绝热无粘性流动，应用下列数学条件

                                (3.3.5）

此外，对于定常流动，有

\(D()\frac{D()}{Dt}=(\overrightarrow{V}\cdot \nabla )\)                  （3.3.6）

将方程（3.3.5）列出的条件代入方程（3.3.1）到（3.3.4），上述方程组变换为下列方程组

\({{\rho }_{t}}+\nabla \cdot (\rho \overrightarrow{V})=0\)         （3.3.7）

\(\rho \frac{D\overrightarrow{V}}{Dt}+\nabla p=0\)      （3.3.8）

\(\rho \frac{D}{Dt}(h+\frac{{{V}^{2}}}{2})=0\)    （3.3.9）

\(\rho \frac{Ds}{Dt}=0\)                     (3.3.10)

为了描述可压缩流体的流场，还常采用关于这种流体的状态方程。对于可压缩流体，这些状态方程的一般形式如下

\(T=T(p,\rho )\)     （3.3.11）

\(h=h(p,\rho )\)     （3.3.12）

3.3.1 笛卡尔坐标系

方程（3.3.7）到（3.3.10）是无体积力、无外功情况下可压缩流体定常绝热无粘性流动的矢量控制方程。为了更详细地研究流场，需要在合适的坐标系下定义流动变量。最常采用的是笛卡尔坐标系，我们首先对笛卡尔坐标系展开讨论。

图3.3.1（a）说明在笛卡尔坐标系中的一个速度矢量。设P（x，y，z）点表示流场中任意的选择点。在P（x，y，z）点处流体速度矢量为\(\overrightarrow{V}(x,y,z)\)，它分别有平行x，y，z轴的速度分量u，v ，w。平行于x，y，z轴的单位矢量以 \(\overrightarrow{i}\)，\(\overrightarrow{j}\)，\(\overrightarrow{k}\)表示。

 

 

 

（a）笛卡尔坐标                                     （b）圆柱坐标

图3.1 不同坐标系下的速度矢量

方程（3.3.7）到（3.3.10），用笛卡尔坐标表示时，变成

\({{\rho }_{t}}+{{(\rho u)}_{x}}+{{(\rho v)}_{y}}+{{(\rho w)}_{z}}=0\).   (3.3.13)

\({{u}_{t}}+u{{u}_{x}}+v{{u}_{y}}+w{{u}_{z}}+\frac{1}{\rho }{{p}_{x}}=0\)    (3.3.14)

\({{v}_{t}}+u{{v}_{x}}+v{{v}_{y}}+w{{v}_{z}}+\frac{1}{\rho }{{p}_{y}}=0\)     (3.3.15)

\({{v}_{t}}+u{{w}_{x}}+v{{w}_{y}}+w{{w}_{z}}+\frac{1}{\rho }{{p}_{z}}=0\)   (3.3.16)

\({{h}_{t}}+u{{h}_{x}}+v{{h}_{y}}+w{{h}_{z}}+{{(\frac{{{V}^{2}}}{2})}_{\text{t}}}+u{{(\frac{{{V}^{2}}}{2})}_{x}}+v{{(\frac{{{V}^{2}}}{2})}_{y}}+{{(\frac{{{V}^{2}}}{2})}_{z}}-\frac{{{p}_{t}}}{\rho }=0\)     (3.3.17)

\({{s}_{t}}+u{{s}_{x}}+v{{s}_{y}}+w{{s}_{z}}=0\)         (3.3.18)

这里，采用符号\(\frac{\partial (\rho u)}{\partial x}={{(\rho u)}_{x}}\)等。对于定常流动，关于对时间的偏微分项为0。

3.3.2 圆柱坐标系

图3.1（b）表示圆柱坐标系，坐标轴是r、和z。其中，r是任意点P(x,y,z)在xy平面上投影的半径，z是点P(x,y,z)与xy平面的距离，而θ是在xy平面中半径r与x轴之间的夹角。平行于圆柱坐标r，θ和z的单位切矢量分别以 ， 和 表示。流体在P（r，θ，z）点处的速度矢量是\(\overrightarrow{V}(r,\theta ,z)\) ，因此\(\overrightarrow{V}\) 对应于圆柱坐标的分量分别是\({{v}_{r}},{{v}_{\theta }}\)和\({{v}_{z}}\)。通过应用圆柱坐标系的矢量算符，方程（3.3.7）到（3.3.10）可用圆柱坐标系表达。为了避免混淆，在下列方程中，明确写出偏微分，并用下标表示速度分量。矢量方程（3.3.7）到（3.3.10），用圆柱坐标系表示时，变换为

对于定常流动，关于时间的偏微分项为0。

所谓二维平面流动是指在直角坐标系中流动参数沿某一个方向不变，而仅沿另外两个方向变化的流动。例如，流动参数沿z方向不变，即w=0，\(\frac{\partial ()}{\partial z}=0\)，而仅沿x、y两个方向变化的流动。

图 3.2 发动机中的流动

所谓轴对称流动，是指在轴对称体中具有轴对称性的流动。例如当火箭发动机的流道具有轴对称性时，其中的流动就是轴对称流动。如图3.2所示，流动的特征完全可以由roz平面中的流动来表征，且在任意\(\theta\)角的roz截面中，运动状态和参数变化都相同，因此流动对于z轴具有轴对称性。恰当地选择坐标系，对简化轴对称流动方程具有重要意义。对于轴对称流动，如用直角坐标系来描述，则其参数变化是三维的；用圆柱坐标系来描述，则其参数变化是二维的。由于二维流动与三维流动相比简单得多，因此选用圆柱坐标系来描述其流动参数较恰当。对于这种情况，由于流动的轴对称性，流动参数沿\({{i}_{\theta }}\)方向不变，即\({{v}_{\theta }}=0\)和\(\frac{\partial ()}{\partial \theta }=0\) 。因此，可以用r、z两个坐标来描述其流场参数，就成为二维的流动，即称为二维轴对称流动。

可见，轴对称流动是与二维平面流动、三维圆柱坐标系中流动都有区别的流动。轴对称流动的参数随r、z变化；三维圆柱坐标系的流动参数随r、\(\theta\)、z变化；二维平面流的参数随x、y变化。从数学概念上来说，轴对称流动是圆柱坐标系中参数仅随r、z变化，而\({{v}_{\theta }}=0\)，\(\frac{\partial ()}{\partial \theta }=0\)的流动。

比较以roz平面中的轴对称流动和以xoy平面中的平面流动可知，它们有共同之处，即都可以在平面直角坐标系中描述流动参数的变化，如图3.3所示。

由于我们比较习惯于使用直角坐标系，因此我们将轴对称流动中的r、z坐标转化为平面流动中的x、y坐标，从而得到对平面和轴对称流动统一的流动参数和控制方程表达方式。

由图3.3.3可见，转化的方式为由roz到xoy，将相应的坐标和流动速度分量对应变换：

图 3.3  轴对称流动向平面流动的转化

按照这种变换来转化控制方程。

以连续方程为例，定常连续方程，矢量形式由（3.3.7）为：

\(\nabla \cdot (\rho \overrightarrow{V})=0\)

在圆柱坐标系中的展开形式由（3.3.19）为：

因对于轴对称流动有\({{v}_{\theta }}=0\)，\(\frac{\partial ()}{\partial \theta }=0\)代入上面方程得到：

展开为：

做\(r\to \text{y},z\to x,{{v}_{r}}\to v,{{v}_{z}}\to u\)的变换，得

与平面流动中的连续方程 \(\frac{\partial }{\partial x}(\rho u)\text{+}\frac{\partial }{\partial \text{y}}(\rho v)=\text{0}\)相比，多了一项\(\frac{\rho \text{v}}{\text{y}}\)。为了使它们有统一的形式，将平面流动和轴对称流动都写成下列统一形式：

式中\(\delta\)为运算因子，对平面流动取\(\delta \) =0，对轴对称流动取 \(\delta \)=1。

对于动量、能量和熵方程也可作类似的变换。对平面和轴对称流动变换后的方程的表达形式完全相同。

因此，下列一组用笛卡尔坐标符号表示的控制方程，既能应用于二维平面流动，又能应用于二维轴对称流动。

连续方程：

                 （3.3.26）

这里，对平面流动 \(\delta \) =0，对轴对称流动\(\delta \) =1。

动量方程： \(u{{u}_{x}}+v{{u}_{y}}+\frac{1}{\rho }{{p}_{x}}=0\) （3.3.27）
\(u{{u}_{x}}+v{{u}_{y}}+\frac{1}{\rho }{{p}_{y}}=0\) （3.3.28）
能量方程 ： \(u{{h}_{x}}+v{{h}_{y}}+u{{(\frac{{{V}^{2}}}{2})}_{x}}+v{{(\frac{{{V}^{2}}}{2})}_{y}}=0\)  （3.3.29）
熵方程 ： \(u{{s}_{x}}+v{{s}_{y}}=0\) （3.3.30）
注意，虽然平面流动和轴对称流动的控制方程在形式上得到了统一，但二者的流动性质还是不同的。轴对称流动的y坐标具有圆柱坐标中r坐标的性质。由图3.4可见，圆柱坐标系连续方程中的\(\rho {{v}_{r}}/r\)项反映了r方向分量\(\rho {{v}_{r}}\) 随r成反比变化。方程（3.3.26）中的\(\rho v/r\)项，正是反映这种性质产生的附加项。

图3.4 圆柱坐标系
例3.1 下面提出某些表示二元平面速度场的方程，试确定哪一个方程是不可压流场。
（a）\(\overrightarrow{V}=-\Omega y\overrightarrow{i}+\Omega x\overrightarrow{j}\)
（b）\(\overrightarrow{V}=-\frac{\Gamma y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\overrightarrow{i}+\frac{\Gamma x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\overrightarrow{j}\)
式中\(\Gamma \)表示环量，假设它是常数（见章节3.5.1）。
（c）\(\overrightarrow{V}=-x{{e}^{x}}\overrightarrow{i}+y{{e}^{y}}\overrightarrow{j}\)

对于不可压流动，整个流场\(\rho\)=常数。因此，对二维平面不可压流动连续方程简化为

\(\nabla \cdot \overrightarrow{V}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}={{u}_{x}}+{{v}_{y}}=0\)

式中 u和 v分别表示\(\overrightarrow{V}\) 的x和y分量。若所设速度场满足不可压连续方程，则该速度场便是不可压流动。

（a）对于这种情况，\(u=-\Omega \text{y}\)，\(v=\Omega x\) 。因此

\(\vec{V}={{u}_{x}}+{{v}_{y}}=0+\text{0}=0\)

因此，方程（a）为不可压流动。

（b）在这种情况

\(u=-\frac{\Gamma y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\vec{i},v=\frac{\Gamma x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\vec{j}\)

式中\(\Gamma\)为常数，因此

\(\nabla \cdot \overrightarrow{V}={{u}_{x}}+{{v}_{y}}=-\frac{2xy\Gamma }{{{(x+y)}^{2}}}+\frac{2xy\Gamma }{{{(x+y)}^{2}}}=0\)

因此，方程（b）为不可压流动。

（c）对方程（c）\(u=x{{e}^{x}},v=y{{e}^{y}}\)。因此 \(\vec{V}={{u}_{x}}+{{v}_{y}}=x{{e}^{x}}+{{e}^{x}}+y{{e}^{y}}+{{e}^{y}}\ne 0\)

因此，方程（c）不是不可压流动。若方程（c）代表一个速度场，它将是可压流的流动。

图 3.5 例3.2示意图

事实上，方程（a）代表强迫涡的速度场，而方程（b）代表自由涡的速度场，在3.5.3节中我们讲详细讨论。

例3.2 一旋转轴以等角速度 \(\omega\)旋转，引起周围液体运动，如图3.3.5所示。设液体内的速度分布为\(\overrightarrow{V}=\frac{\omega {{R}^{2}}}{r}\overrightarrow{{{i}_{\theta }}}\)，若要求考虑重力（沿z轴负方向），试确定自由液面的压力梯度及其法线对z轴的倾角 \(\gamma\)（不计流体粘性）。

解：采用动量方程：

\((\overrightarrow{V}\cdot \nabla )\overrightarrow{V}+\frac{1}{\rho }\nabla \rho -\overrightarrow{B}=0\)

或\(\nabla \rho =\rho \vec{B}-\rho (\vec{V}\cdot \nabla )\vec{V}\)

式中 \(\rho (\vec{V}\cdot \nabla )\vec{V}\)为惯性力，对于定常匀速转动，惯性力只有向心力，故

\(\rho (\vec{V}\cdot \nabla )\vec{V}=-\rho \frac{{{v}_{\theta }}^{2}}{r}\overrightarrow{{{i}_{r}}}\)

\(\rho \overrightarrow{B}\)为体积力，现在为重力

\(\rho \vec{B}=-\rho g\overrightarrow{{{i}_{z}}}\)

因此得

例3.3 试分析\(\overrightarrow{V}=\left\{ {{x}^{2}}+{{y}^{2}},2xy,0 \right\}\) 的流动，可能是什么性质的流场？

解：由已知速度分量可见，该流场是定常、二维平面或轴对称流场

在平面及轴对称流场中，计算旋度

\(\overrightarrow{\xi }=(\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y})\overrightarrow{{{i}_{z}}}\)

为无旋流场。

又计算散度\(\nabla \cdot \overrightarrow{V}\).,在平面流场中为

\(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=4x\)

可见，若流场为二维平面流，除x=0点外，为不可压流。在轴对称流中

\(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{v}{y}=6x\)

可见，若流场为轴对称流，除x=0点外，也是不可压流。

因此，题设流场是一个二维、定常、无旋（除x=0外）、不可压流场。

例3.4 设有一轴对称流动，\(\rho \)=常数。若\(v={{y}^{2}}-xy\)，求u？

解：因 =常数，故为不可压流动，应满足\(\nabla \cdot \vec{V}=0\)

\(\nabla \cdot \vec{V}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{v}{y}=0\)

\(\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{\partial v}{\partial y}-\frac{v}{y}=-3y+2x\)

\(u=-3xy+{{x}^{2}}+e\)

例3.5 有等截面竖直小管AB，在下端分支为两个水平管BC及CD，两个分支的截面积均为AB管截面积的一半。在竖直和水平管接合处各有一开关。关闭开关，灌注水于AB管内，水位达到高度a。设开关同时打开后，水因重力自两水平管中流出，试求竖直管内液面高度与时间t的关系和流空时间。

解：设开关打开后，在t时，液面处y和  处，且有\(\eta +\xi =a\)。需求y=f(t)和\({{\left. t \right|}_{y}}=0\)。

图3.6  例3.5示意图

可以用微分方程和积分方程两种方法求解。

(1)用微分方程求解

假设竖直管中任意点y处的压强为p，速度为v。

由不可压连续方程\(\nabla \cdot \vec{V}=0\)得\(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0\)。由于在竖直管内\(\frac{\partial u}{\partial x}=0\)，因此得\(\frac{\partial v}{\partial y}=0\)。

在竖直管中动量方程为\(\frac{\partial v}{\partial t}+u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}=-g-\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial y}\)。式中-g为由重力引起的单位质量的体积力。应用连续方程中导出的结果，得在竖直管中的动量方程为：

\(\frac{\partial v}{\partial t}=-g-\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial y}\)

对y积分得：

\(y\frac{\partial v}{\partial t}=-gy-\frac{p}{\rho }+{{f}_{1}}(t)\)     （a）

利用边界条件\(y=\eta \)时，\(p={{p}_{a}}\)，代入（a）式得：

\({{f}_{1}}(t)=g\eta +\frac{{{p}_{a}}}{\eta }+\eta \frac{\partial v}{\partial t}\)       （b）

将（b）代入（a）得：

\(\frac{p-{{p}_{a}}}{\rho }=(\eta -y)(g+\frac{\partial v}{\partial t})\)                    （c）

设水平管中任意点x处的压力为P，速度为u。

由水平方向的不可压连续方程\(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0\)，因\(\frac{\partial v}{\partial y}=0\)，得\(\frac{\partial u}{\partial x}=0\).。因此，水平管内的动量方程为：

\(\frac{\partial u}{\partial t}=-\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial x}\)

对x积分得：

\(x\frac{\partial u}{\partial t}=-\frac{p}{\rho }+{{f}_{2}}(t)\)         (d）

利用边界条件\(x=\xi ,p={{p}_{a}}\),代入方程（d）得：

\({{f}_{2}}(t)=\frac{{{p}_{a}}}{\rho }+\xi \frac{\partial u}{\partial t}\)                      （e）

将（e）代入方程（d）得：

\(\frac{p-{{p}_{a}}}{\rho }=(\xi -x)\frac{\partial u}{\partial t}\)                      （f）

在o点，x=0，y=0，且\(p={p}’\)，将此条件代入（c和（f），可得

\(\xi \frac{\partial u}{\partial t}=\eta (g+\frac{\partial v}{\partial t})\)                     （g）

利用\(\eta +\xi =a\)，以及\(u=\frac{d\xi }{dt}=\overset{\cdot }{\mathop{\xi }}\,,v=\frac{d\eta }{dt}=\overset{\cdot }{\mathop{\eta }}\,\)得：

\(\xi =a-\eta ,\frac{\partial u}{\partial t}=\ddot{\xi }=-\ddot{\eta },\frac{\partial v}{\partial t}=\ddot{\eta }\)，

代入（g）得：

\(-(a-\eta )\ddot{\eta }=g(g+\ddot{\eta })\)

或

\(\ddot{\eta }+\frac{g}{a}\eta =0\)     （h）

其特征根为：

\(r=\pm \sqrt{\frac{g}{a}}i\)

则（h）的通解为：

\(\eta ={{c}_{1}}\cos (\sqrt{\frac{g}{a}}t)+{{c}_{2}}\sin (\sqrt{\frac{g}{a}}t)\)

初始条件 t=0时，\(\eta =a,\dot{\eta }=0\)，可得c₁=a，c₂=0。因此可得流动规律为：

图3.7 例3.5控制体示意图

\(y=a\cos (\sqrt{\frac{g}{a}}t)\)  （i）

排空时，\(\eta =0\) ，故得

\(T=\frac{\pi }{\text{2}}\sqrt{\frac{\text{g}}{a}}\)                            (j)

(2)用积分方程求解

动量方程的积分形式为：

\(\int_{{{V}_{c}}}{\overrightarrow{B}\rho d{{V}_{c}}-\int_{A}{pd\overrightarrow{A}}}=\int_{{{V}_{c}}}{{{(\rho \overrightarrow{V})}_{t}}d{{V}_{c}}+\int_{A}{\overrightarrow{V}(\rho \overrightarrow{V}\cdot d\overrightarrow{A}}})\)

取控制体 ，写出竖直管中的动量方程为：

\(-\int_{{{V}_{c}}}{g\rho d{{V}_{c}}+\int_{A}{pd\overrightarrow{A}}}=\int_{{{V}_{c1}}}{\rho {{v}_{t}}d{{V}_{c1}}}\)

\(-g\int_{y}^{\eta }{dy}+\frac{p-{{p}_{a}}}{\rho }=\int_{y}^{\eta }{{{v}_{t}}dy}\)

\(\frac{p-{{p}_{a}}}{\rho }=\int_{y}^{\eta }{(g+{{v}_{t}})dy}\)

\(\frac{p-{{p}_{a}}}{\rho }=(\eta -y)(g+\frac{\partial v}{\partial t})\)                     （c）

取控制体\({{V}_{c2}}\)，写出水平管中的动量方程为：

\(\int_{{{A}_{2}}}{pdA}=\int_{{{V}_{c2}}}{\rho ud{{V}_{c}}}\)

\(\frac{{p}’-{{p}_{a}}}{\rho }=\int_{x}^{\xi }{{{u}_{t}}dx}\)

\(\frac{{p}’-{{p}_{a}}}{\rho }=(\xi -x)\frac{\partial u}{\partial t}\)                       （f）

以下解法同（1）

例3.6 设在定常、无粘、绝能、无体积力作用的流场中，\(V=\left\{ \sqrt{2}xy,\sqrt{2}xy \right\}\)。若某微团开始于（0，0），试推导该微团在流动中的温度变化规律，并以图形表示。

解：在题设条件下，能量方程为：

\(\overrightarrow{V}\cdot \nabla (h+\frac{{{V}^{2}}}{2})=0\)

设\(h={{C}_{p}}T,{{C}_{p}}\)为常数，则得

\({{C}_{p}}(\overrightarrow{V}\cdot \nabla )T+V(\overrightarrow{V}\cdot \nabla )T=0\)

\({{C}_{p}}(u\frac{\partial T}{\partial x}+v\frac{\partial T}{\partial y})+V(u\frac{\partial V}{\partial x}+v\frac{\partial V}{\partial y})=0\)

以\(u=\sqrt{2}xy,v=\sqrt{2}xy,V=2xy\)代入，得

\({{C}_{p}}(u\frac{\partial T}{\partial x}+v\frac{\partial T}{\partial y})+4x{{y}^{2}}+4{{x}^{2}}y=0\)

可看出上式的解为：

\(T={{T}_{0}}-\frac{2{{x}^{2}}{{y}^{2}}}{{{C}_{p}}}\)

式中\({{T}_{0}}\)为（0，0）处的温度，也就是V=0时的滞止温度\({{T}_{0}}\) 。

为了清楚地表示温度变化规律，可以沿着迹线给出。因为是定常流，迹线等于流线。流线方程为：

\(\frac{dx}{u}=\frac{dy}{v},\frac{dx}{\sqrt{2}xy}=\frac{dy}{\sqrt{2}xy},\int{(dx-dy)}=C,x-y=C\)

流线通过（0，0），故C=0，因此流线方程为x=y。

沿流线时，温度变化规律为

\(T={{T}_{0}}-\frac{2{{x}^{4}}}{{{C}_{p}}}\)

由此可求得T=0时的坐标为

\({{x}_{0}}=\sqrt{\frac{{{C}_{p}}{{T}_{0}}}{2}}={{y}_{0}}\)

图3.8 沿流线温度变化图

因此流动限于\(0\le x\le z,0\le y\le {{y}_{0}}\)。负向的一支流动也是可能的。

3.4 流线、轨迹、流体线和流管
流线是流场中的一系列曲线，位于流线上所有质点的速度向量都与曲线在相应点的切线重合，如图3.9所示；轨迹是指当流体微团在流场中运动时在运动空间划过的曲线。对定常流动，流线和轨迹是同一的。

图3.9 流线的特征
图3.10表示在笛卡尔坐标系中通过P点的流线。在P点，用\(d\overrightarrow{l}\). 表示的流线微段，为\(d\overrightarrow{l}=\overrightarrow{i}dx+\overrightarrow{j}dy+\overrightarrow{k}dz\)
矢量\(d\overrightarrow{l}\)是在P点与速度矢量\(\overrightarrow{V}\)相切的矢量。在平行于x，y和z坐标轴方向的\(\overrightarrow{V}\)的分量分别为u，v和w。若画一个六面体，以速度\(\overrightarrow{V}\)为对角线，且它的各面或边平行于笛卡尔坐标平面，如图3.10所示，则可见
\(\frac{dy}{u}=\frac{dy}{v}=\frac{dy}{w}\) （3.4.1）

图3.10 在笛卡尔坐标系中的流线
重新排列方程（3.4.1）产生
\(\frac{dy}{dx}=\frac{u}{v},\frac{dy}{dz}=\frac{v}{w},\frac{dx}{dz}=\frac{u}{w}\) （3.4.2）
方程（3.4.1）和（3.4.2）是笛卡尔坐标系中的流线方程。
轨迹定义为流动中流体微团划过的曲线。根据
\(\overrightarrow{V}=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}\)
可得轨迹线方程为：
\(\frac{dx}{dt}=u(x,y,z,t),\frac{dy}{dt}=v(x,y,z,t),\frac{dz}{dt}=w(x,y,z,t)\)（3.4.3）
或 \(\frac{dx}{u(x,y,z,t)}=,\frac{dy}{v(x,y,z,t)}=\frac{dz}{w(x,y,z,t)}\) （3.4.4）
如将轨迹线方程（3.4.3）积分，消去其中的t，便可得轨迹线方程。
在流线方程中，u，v，w是x，y，z的函数，也可以包含时间t。但是根据流线的定义，流线是某一瞬时不同微团的曲线，因此若含有t，在求流线方程时也作为常数处理。而轨迹线方程则不同，它是同一微团在不同时刻的曲线，因此t应作为自变量，x，y，z则也是t的函数。
流线与轨迹线是两种不同的概念，流线是流场中同一瞬时不同微团组成的曲线，可以形象地理解为流场的照相，流场中的流线表示同一瞬时不同微团的流动方向，它与欧拉法（控制体法）相联系。轨迹线是同一微团在不同时刻运动所形成的曲线，可以形象地理解为放录像，它与拉格朗日法（系统法）相联系。在非定常流动中，流线与轨线不重合，而在定常流动中，流线与轨迹线是重合的。图3.11是在大气中作匀速运动的机翼，其中（a）为作这种定常运动时某一时刻的流线谱，（b）为同一非定常运动中微团的轨迹。当坐标取在等速运动的机翼上时，气流运动就成为定常的，这时，如图3.4.3（c）所示，流线与轨迹线重合。对于在流体中作匀速运动的物体，若坐标取在静止的空间，则流动是非定常的；若取在物体上，则流动是定常的。后一种取法，可使问题简化。
例3.7 设流体运动的速度为\(\overrightarrow{V}\)={x+t，-y+t，0}，求t=0时，过（-1，-1）点的流线及轨迹线方程。
解：由流线方程\(\frac{dy}{dx}=\frac{v}{u}\)得\(\int{(vdx-udy)}=C\)。因此有：
\(\int{\left( (-y+t)dx-(x+t)dy \right)}=C\)

图3.11 匀速运动翼剖面的流线和轨迹
求流线方程时，t作常数处理，因此积分上式得：
-2xy+t（x-y）=C
以t=0时，x=-1，y=-1代入，得C=-2。因此所求流线方程为xy=1
由轨迹线方程\(\frac{dx}{dt}=u,\frac{dy}{dt}=v\)得：
\(\frac{dx}{dt}=x+t,\frac{dy}{dt}=-y-t\)
当x，y是t的函数时，他们是非齐次线性常微分方程，可得：
\(x{{e}^{-t}}=\int{t{{e}^{-t}}dt+{{c}_{1}}={{e}^{-t}}(-t-1)+{{c}_{1}},x={{c}_{1}}{{e}^{-t}}-t-1}\)
\(y{{e}^{-t}}=\int{t{{e}^{-t}}dt+{{c}_{2}}={{e}^{-t}}(-t-1)+{{c}_{2}},y={{c}_{2}}{{e}^{-t}}-t-1}\)
以t=0时x=-1，y=-1代入得 。因此所求轨迹线方程为
x=-t-1，y=t-1
消去 t得轨迹线方程为：
x+y=-2
将所得的流线和轨迹线方程画成图形，如图3.4.4所示，可见，在非定常运动中，流线和轨迹线是不重合的。

(a)流线                                               (b)轨迹线
图 3.12 流线图和轨迹线图
如果是定常运动，速度成为u=x，v=-y，w=0。则轨迹方程为
\(\frac{dx}{dt}=x,\frac{dy}{dt}=-y\)
消去dt得 \(\frac{dx}{x}=-\frac{dy}{y}\)
\(\int{(ydx+xdy)}=C\)
考虑到t=0时通过（-1，-1）的条件，c=2。因此轨迹线方程为：
xy=1
由此可见，定常运动时，轨迹线和流线确实重合。

图3.13 许多流线形成流管
我们定义，流体线是通过一系列不同流体微团的线。图3.13表示在流体中一条封闭曲线c，它就是流体线。
通过封闭曲线c的所有流线形成流管。根据流线的定义，流体只能在流管表面或内部流动，因此质量不可以穿过流管表面。流管有一性质，通过流管任意横截面的流量是常数。进一步，横截面无限小的流管称流丝。
3.5 环量、旋转和旋度
我们习惯于通过环量、旋转和旋度等参数来研究多维流动的一般概貌。在这一节，首先定义这些参数，然后举出几个说明它们的例子。
3.5.1 环量
图3.5.1表示流场中一条具体的单封闭曲线。在曲线c上每一弧段均可认为是微元矢量\(d\overrightarrow{l}\) ，其大小为\(dl\)，方向与曲线 相切。我们定义，围绕封闭曲线 的环量\(\Gamma \)为
\(\Gamma \equiv \oint_{c}{\overrightarrow{V}\cdot d\overrightarrow{l}=}\oint_{c}{Vdl\cos \alpha }\) (3.5.1）
式中 是\(\overrightarrow{V}\)和\(d\overrightarrow{z}\)之间的夹角。按照习惯，标量积\(\overrightarrow{V}\cdot d\overrightarrow{l}\)积分的正方向是逆时针方向。
为了说明环量\(\Gamma \)的重要意义，考虑一个二维流动，其封闭曲线 和速度矢量\(\overrightarrow{V}\)均在xy平面中。对\(\overrightarrow{V}\)和\(d\overrightarrow{l}\)，我们写出
\(\overrightarrow{V}=\overrightarrow{i}u+\overrightarrow{j}u,d\overrightarrow{l}=\overrightarrow{i}dx+\overrightarrow{j}dy\)

图3.14 为了求环量，沿封闭曲线的积分
取标量积\(\overrightarrow{V}\cdot d\overrightarrow{l}\)之后，我们得环量\(\Gamma \)
\(\Gamma =\oint_{c}{\overrightarrow{V}\cdot d\overrightarrow{l}=}\oint_{c}{(udx+vdy)}\) （3.5.2）
通过应用Stokes定理，环量 可用由闭曲线c围成的面积A上的积分表示。Stokes定理说，若有表面A，以封闭曲线c为其周长，则
\(\oint_{c}{\overrightarrow{V}\cdot d\overrightarrow{l}=}\int_{A}{(\nabla \times \overrightarrow{V})}\cdot d\overrightarrow{A}\)（Stokes定理） （3.5.3）
对方程（3.5.1）应用Stokes定理产生
\(\Gamma =\oint_{c}{\overrightarrow{V}\cdot\overrightarrow{l}=}\int_{A}{(\nabla \times \overrightarrow{V})}\cdot d\overrightarrow{A}\) （3.5.4）
式中\(\nabla \times \overrightarrow{V}\)=旋度。\(curl\overrightarrow{V}=\overrightarrow{i}({{w}_{y}}-{{v}_{z}})+\overrightarrow{j}({{u}_{z}}-{{w}_{x}}),\overrightarrow{k}({{v}_{x}}-{{u}_{y}})\)。
方程（3.5.4）把围绕封闭曲线c的线积分变换为以曲线c围绕的面积A上的面积分。
对于在xy平面中的二维流动，\(\overrightarrow{V}=\overrightarrow{i}u+\overrightarrow{j}v\)，并且
\(\nabla \times \overrightarrow{V}=curl\overrightarrow{V}=\overrightarrow{k}({{v}_{x}}-{{u}_{y}})\) （3.5.5）
设\(d\overrightarrow{A}\) 表示被曲线c包围的面积A的微元面积。因为\(d\overrightarrow{A}\)完全位于xy平面内， \(d\overrightarrow{A}=\overrightarrow{k}dxdy\)。将\(\nabla \times \overrightarrow{V}\)和\(d\overrightarrow{A}\)代入方程（3.5.4），我们得
\(\Gamma =\int_{A}{({{v}_{x}}-{{u}_{y}})dxdy}\) （3.5.6）
取当A趋于零时\(\Gamma \)的极限，方程（3.5.6）产生
\(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Gamma }{A}=\frac{d\Gamma }{dA}=({{v}_{X}}-{{u}_{y}})=cur{{l}_{k}}\overrightarrow{V}\) （3.5.7）
3.5.2 旋转
在一点处流体的旋转定义为通过该点两根互相垂直的流体线（见§3.4）的瞬时平均角速度。流体旋转的定义是固体旋转定义的推广。
对于固体旋转，若P表示固体上的一点，而Q是任意邻近点，则当该物体绕通过P的轴以角速度\(\omega \)旋转时，速度矢量在Q点的旋度与P点处的旋度相同，因为固体的所有质点互相保持固定的关系。因此，说明固体上一条线的角速度就完全说明了所有线的角速度。
然而，对于流体或可变形体就不是这样。在流动的流体中，所有的流体线能够改变与另一流体线的相对位置，并本身也可以产生这样的位移。因此，在流体情况下，我们引进关于一点流体微元平均角速度的概念，并将平均角速度称为流体的旋转，或简称旋转，用矢量\(\overrightarrow{\omega }\)表示。
图3.15示意地表示在xy平面中流体质点的运动。在时刻t，流体质点的质心位于O点，并且它相对于x和y轴的笛卡尔速度分量分别以u和v表示。在图3.15中OA和OB线是从O点处流体质点发射出的两根互相垂直的流体线。在后一时刻t+ t，流体质点和流体线运动的结果是，O、A和B已向右上方运动到新位置，如图3.15所示。

图3.15 流体旋转的示意说明
因为在流体中的速度梯度，在A和B点处的流体质点以有别于O点处流体质点的速度运动。因此，流体线OA和OB分别相对于x和y轴产生角度\(d\alpha \)和\(-d\beta \)。角度\(d\beta \)应当定义为负的，因为\({{u}_{x}}dy\)的正值产生OB顺时针旋转，即负角度方向的旋转。
我们定义在垂直于z轴的平面中流体的旋转分量\({{\omega }_{z}}\) 为
\({{\omega }_{z}}=\frac{1}{2}(\frac{d\alpha }{dt}+\frac{d\beta }{dt})\) （3.5.8）
这里附于\(\omega \)的下标z不是偏微分符号，而是说明旋转\(\omega \)在垂直于z轴的平面中度量。经过无限小的时间间隔dt，角度\(d\alpha \)和\(d\beta \)小到可以认为\(\tan (d\alpha )\cong d\alpha ,\tan (d\beta )\cong d\beta \)，。从图3.15可见。
\(d\alpha =\frac{{{v}_{x}}dxdt}{dx}={{v}_{x}}dt\)     （3.5.9）
\(d\beta =\frac{{{u}_{y}}dydt}{dy}=-{{u}_{y}}dt\)     （3.5.10）
将方程（3.5.9）和（3.5.10）代入方程（3.5.8），我们得到
\({{\omega }_{z}}=\frac{1}{2}({{v}_{x}}-{{u}_{y}})\) (3.5.11）
同样可得在yz和xz平面中的旋转分量，分别是
\({{\omega }_{x}}=\frac{1}{2}({{w}_{y}}-{{v}_{z}})\) （3.5.12）
\({{\omega }_{y}}=\frac{1}{2}({{u}_{z}}-{{w}_{x}})\) （3.5.13）
式中下标 x和y表示在垂直于该方向的平面中的旋转。方程（3.5.11）、（3.5.12）和（3.5.13）的矢量和为
\(\overrightarrow{\omega }=\overrightarrow{i}{{\omega }_{_{x}}}+\overrightarrow{j}{{\omega }_{y}}+\overrightarrow{k}{{\omega }_{z}}=\frac{1}{2}\nabla \times \overrightarrow{V}\) （3.5.14）
对比方程（3.5.7）和（3.5.11），对二维流动，清楚地表明平均流体旋转等于每单位面积环量的一半。因此
\({{\omega }_{z}}=\frac{1}{2}({{v}_{x}}-{{u}_{y}})=\frac{1}{2}\frac{d\Gamma }{dA}\) （3.5.15）
3.5.3 旋度和涡管
对于在流场中每一个点处每一时间t，矢量 定义为等于 的矢量，并将 称为旋度矢量或简称为旋度，以 表示。因此
\(\overrightarrow{\zeta }=\nabla \times \overrightarrow{V}=2\overrightarrow{\omega }\) （3.5.16）
在笛卡尔坐标系中
\(\overrightarrow{\zeta }=\overrightarrow{i}\zeta +\overrightarrow{j}\zeta +\overrightarrow{k}\zeta =\overrightarrow{i}({{w}_{y}}-{{v}_{z}})+\overrightarrow{j}({{u}_{z}}-{{w}_{x}})+\overrightarrow{k}({{v}_{x}}-{{u}_{y}})\) （3.5.17）
式中x，y，z分别表示\(\overrightarrow{\zeta }\)在x，y，z方向的分量。从方程（3.5.15）和（3.5.17）可见，对二维流动，旋度等于每单位面积的环量。因此
\({{\zeta }_{z}}=\frac{d\Gamma }{dA}=2{{\omega }_{z}}\) （3.5.18）
我们定义，涡线是流体中的各点都与涡量相切的曲线，旋度矢量\(\overrightarrow{\omega }\)的分量\({{\omega }_{x}},{{\omega }_{y}},{{\omega }_{z}}\)与对应涡线切矢分量dx，dy，dz之间的关系为
\(\frac{dx}{{{\omega }_{x}}}=\frac{dy}{{{\omega }_{y}}}=\frac{dz}{{{\omega }_{z}}}\) （3.5.19）
方程（3.5.19）是笛卡尔坐标系中的涡线方程。

图3.16 涡线的性质                          图3.17 涡线形成涡管
图3.17表示流体中封闭曲线C，它是流体线，通过曲线C的所有涡线形成涡管，横截面无限小的涡管为涡丝。
由上述情况可知，环量，旋转和旋度三个参数关系是唯一的，因此若知三个参数的任何一个就可求得其它两个。在§3.7，§3.8和§3.9中，推演说明环量、旋转和旋度与其它流动参数间关系的几个普遍定理。
下面我们引入了旋涡强度的概念。在旋涡场中取一微小面积dA，如图3.18所示，该面积上的流体旋转角速度为\(\overrightarrow{\omega }\)，把\(\overrightarrow{\omega }\)在dA法线方向上的分量与dA的乘积的两倍，称为dA面积的旋涡强度或涡通量，其数学表达式为
\(k=2{{\omega }_{n}}dA\) （3.5.20）
或者写为
\(k=2\overrightarrow{\omega }\cdot \overrightarrow{n}dA\)（3.5.21）
其中 为dA面积法线方向的单位向量。

图3.18 涡旋强度定义
对于面积A的旋涡强度，则可由方程（3.5.20）对A进行积分得到，即
\(k=2\int_{A}{{{\omega }_{n}}dA}\) （3.5.22）
如果A面积内旋转角速度均匀分布，则其旋涡强度可简单地写成
\(k=2{{\omega }_{n}}A\)    （3.5.23）
若方程（3.5.23）中A表示涡管的横截面积，则k称为涡管的旋涡强度，这时涡管内横截面上的角速度应均匀分布。如果涡管横截面上的流体旋转角速度不是均匀分布，则涡管的旋涡强度应为方程（3.5.22）。
3.5.4 自由涡和强迫涡
自由涡和强迫涡是自然界中最常见的两类涡，下面我们将分别对这两种涡开展讨论。
1）自由涡
自由涡是一个环形流动，其流体速度的大小与离涡中心的距离成反比。自由涡是无旋运动的一个简单例子。图3.19表示自由涡的特性，它是澡盆的排水涡、管状固体推进剂火箭发动机内部燃烧的自旋流动、以及旋风涡等物理现象合理的近似。
在自由涡中流体速度的大小给出为
\(\overrightarrow{V}=\frac{k}{r}\)（3.5.24）

(a)速度分布                                (b)流线型式
图3.19 自由涡的流动特性
图3.19（a）表示自由涡中的速度分布。方程（3.5.20）在原点处是奇点，在那里速度为无限大，当然实际上它是不可能得到的。对于气体甚至最大等熵速度\({{{V}’}_{\max }}\) ，实际上也是不可能的，它有一个有限的数值。在实际流体的自由涡中，涡的中心区通常保持某些低速流体，它常具有某些强迫涡的性质（见章节3.5.3）；然而，在距涡的中心一段距离外，自由涡模型是真实流动很好的近似。
图3.19（b）表示在自由涡流场中的流线。围绕流线的环量为
\(\Gamma =\oint_{c}{\overrightarrow{V}\cdot d\overrightarrow{l}=}\int\limits_{0}^{2\pi }{\frac{k}{r}}(rd\theta )=2\pi k\)=常数 （3.5.25）
由方程（3.5.15），在xy平面中在原点处流体旋转的大小 为
\(2{{\omega }_{z}}=\underset{r\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Gamma }{A}=\frac{d\Gamma }{dA}=\underset{r\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2\pi K}{2\pi {{r}^{2}}}=\infty \) （3.5.26）
方程（3.5.22）指出，当曲线的半径趋于零时， 接近无限大。正如上面所指出，这种结果实际上是无意义的。
图3.20表示一个封闭曲线，该曲线整体位于流体速度V是有限值、且小于最大等熵速度的区域内，因此流动模型是真实的。考察对应着速度V1和V2的两条自由涡流线，对V1和V2的半径分别以R1和R2表示，并且它们分别与x轴成θ1和θ2角。将R2延长至对应V2的流线，形成封闭线abcd。围绕那一条封闭曲线的正积分方向在图3.19中用箭头指出。

图3.20 不包围自由涡原点的封闭曲线abcd
围绕封闭曲线abcd的环量 为(见方程（3.5.1）)
\(\Gamma =\oint_{c}{\overrightarrow{V}\cdot d\overrightarrow{l}=}{{V}_{2}}({{R}_{2}}({{\theta }_{2}}-{{\theta }_{1}}))-{{V}_{1}}({{R}_{1}}({{\theta }_{2}}-{{\theta }_{1}}))\) （3.5.27）
将方程（3.5.24）引入方程（3.5.27）得到
\(\Gamma =\frac{k}{{{R}_{2}}}({{R}_{2}}({{\theta }_{2}}-{{\theta }_{1}}))+\frac{k}{{{R}_{1}}}(R({{\theta }_{2}}-{{\theta }_{1}}))=0\) （3.5.28）
因为R1,R2，θ1和θ2是任意的，因此方程（3.5.28）可应用于不包括原点的任何封闭曲线的普遍结果。于是，对于这种情况，旋转为
\({{\omega }_{z}}=\frac{1}{2}\frac{d\Gamma }{dA}=0\)    （3.5.29）
方程（3.5.29）指出，在自由涡中心区以外的流动是无旋的流动。
2）强迫涡
图3.21表示强迫涡的流动特征。强迫涡具有在一点处流体速度的大小与该点离涡中心的距离成正比的性质，它是有旋流的一个简单例子。当端面燃烧的固体推进剂火箭发动机围绕其纵轴旋转时所产生的流场是强迫涡的实际例子。如3.5.3节所论，自由涡核心邻近区的流动与强迫涡流动相似。
流体切向速度的大小，以V表示，给出为
\(V=r\Omega \)     （3.5.30）
式中\(\Omega \)是强迫涡的角速度。图3.21（a）表示强迫涡中的速度分布。

(a)速度分布                                   (b)流线型式
图3.21 强迫涡的流动特征
图3.21（b）表示强迫涡中在半径r处的封闭流线，环形流线的中心，以O表示，是与坐标轴的原点一致的。半径r与x轴之间的角度是θ，而\(\overrightarrow{V}\)是沿流线的速度矢量。环量为
\(\Gamma =\oint_{c}{\overrightarrow{V}\cdot d\overrightarrow{l}=}\int\limits_{0}^{2\pi }{(r\Omega )(rd\theta )}\) （3.5.31）
因此 \(\Gamma =2\pi {{r}^{2}}\Omega \) （3.5.32）
由方程（3.5.15），流体旋转为
\({{\omega }_{z}}=\frac{1}{2}\frac{d\Gamma }{dA}=\frac{2\pi {{r}^{2}}\Omega }{2\pi {{r}^{2}}}=\Omega \)=常数 （3.5.33）
因此，流动是有旋的，事实上，整个流场旋转是常数，即它像固体那样旋转，因此，强迫涡有时称为固体涡。
例3.8 考察§3.3例子提出的速度场方程，哪一种可能应用到无旋流场？
（a） \(\overrightarrow{V}=-\overrightarrow{i}\Omega y+\overrightarrow{j}\Omega x\)
（b）\(\overrightarrow{V}=\frac{-\overrightarrow{i}\Gamma y}{({{x}^{2}}+{{y}^{2}})}+\frac{-\overrightarrow{j}\Gamma x}{({{x}^{2}}+{{y}^{2}})}\)
（c） \(\overrightarrow{V}=-\overrightarrow{i}x{{e}^{x}}+\overrightarrow{j}y{{e}^{y}}\)
解
对于无旋流场，\(\overrightarrow{\omega }=0\)，对二维流，要求
\(2{{\omega }_{z}}={{v}_{x}}-{{u}_{y}}=0\)
（a) \(2{{\omega }_{z}}=\Omega +\Omega =2\Omega \)
因此，（a）不可能是无旋流场
（b）\(2{{\omega }_{z}}=\frac{\Gamma (({{x}^{2}}+{{y}^{2}})-2x)}{{{({{x}^{2}}+{{y}^{2}})}^{2}}}+\frac{\Gamma (({{x}^{2}}+{{y}^{2}})-2{{y}^{2}})}{{{({{x}^{2}}+{{y}^{2}})}^{2}}}=\frac{0}{{{({{x}^{2}}+{{y}^{2}})}^{2}}}\)
这样，（b）除原点以外，处处是无旋流动。原点处是流场中的奇点。
（c）\({{\omega }_{z}}=0+0=0\)
方程（c）是无旋流场。然而，如§3.3例1中指出，若该流动存在，为满足连续方程，流体将必定是可压缩的。
3.6 对于可压缩流体定常绝热无粘性流动的欧拉动量方程
对于本节讨论的流动形式，有下面的数学限制

其中，条件\(\overrightarrow{{{V}_{t}}}={{\rho }_{t}}={{p}_{t}}=0\)表明流动参数不随时间变化，即流动是定常的；条件\(\overrightarrow{B}=gdz=0\)表明无体积力；条件 表明无粘性；条件\(\delta \overset{\cdot }{\mathop{W}}\,=0\)表明无外力做功；条件\(\delta \overset{\cdot }{\mathop{Q}}\,=0\)表明绝热，受上列限制支配的动量方程为方程（3.3.8）。因此，对定常流
\(\frac{D\overrightarrow{V}}{Dt}=(\overrightarrow{V}\cdot \nabla )\overrightarrow{V}\) （3.6.2）
参考方程（3.3.6），方程（3.3.8）可写为
\((\overrightarrow{V}\cdot \nabla )\overrightarrow{V}=\nabla (\frac{{{V}^{2}}}{2})-\overrightarrow{V}\times (\overrightarrow{V}\cdot \nabla )\) （3.6.3）
将方程（3.6.3）代入方程（3.6.2）给出
\((\overrightarrow{V}\cdot \nabla )\overrightarrow{V}=\frac{1}{\rho }\nabla p-\nabla (\frac{{{V}^{2}}}{2})\) （3.6.4）
方程（3.6.4）是空间中某几个矢量的和，如图3.6.1所示说明的那样。在任意矢量\(d\overrightarrow{r}=\overrightarrow{i}dx+\overrightarrow{j}dy+\overrightarrow{k}dz\)方向上，通过方程（3.6.4）的分量相加，可获得标量方程为

                                    （3.6.5）
将方程（3.6.5）在笛卡尔坐标中展开得到

                                （3.6.6）
这里，同前文一致，采用角标的形式表示微分，如\({{w}_{y}}={\partial w}/{\partial y}\;\)等。参考方程（3.5.11），（3.5.12）和（3.5.13），可见方程（3.6.6）左边包含\({{v}_{x}}-{{u}_{y}}=2{{\omega }_{z}}\)等项；而右边两项又分别等于\({1}/{\rho }\;dp\)和\(d({{{V}^{2}}}/{2}\;)\)。将这些表达式代入方程（3.6.6）我们得到
\(2(wdy-vdz){{\omega }_{x}}+(udz-wdx){{\omega }_{y}}+(vdx-udy){{\omega }_{z}}=\frac{1}{\rho }dp+d(\frac{{{V}^{2}}}{2})\).（3.6.7）
方程（3.6.7）对流场中任意方向\(d\overrightarrow{r}\) 都有效。
3.6.1 沿流线的定常运动
把流线方程，即方程（3.4.2）代入方程（3.6.7）得到
\(\frac{1}{\rho }dp+d(\frac{{{V}^{2}}}{2})=0\) （3.6.8）
方程（3.6.8）是对流线的欧拉方程。它对无体积力的定常无粘性流动是正确的。由
\((dp+\rho VdV+\rho gdz=0)\)
可见，方程（3.6.8）就是在无体积力时定常一维流动的伯努利方程。因此，在可压缩流体的定常多维无粘性流动时，伯努利方程沿流线是正确的。

图3.22 对于可压缩流体定常绝热无粘性流动的欧拉方程的矢量表示方法
将方程（3.6.8）积分产生
\(\int{\frac{dp}{p}}+\frac{{{V}^{2}}}{2}=\)常数 （沿流线） （3.6.9）
该常数是伯努利常数。通常，伯努利常数从一条流线到另一条流线将是变化的，取决于所研究情况下的流场性质。若所有流线都发源于均匀流动区，则伯努利常数在整个流场将有相同的值。
3.6.2 定常无旋流动
1）无旋流动和有旋流动
无旋流动是指流场中各处的流体微团旋转角速度均为零，即\(\overrightarrow{\omega }=\frac{1}{2}rot\overrightarrow{V}=0\)，它要求
\({{\omega }_{x}}={{\omega }_{y}}={{\omega }_{z}}=0\) （3.6.10）
有旋流动是指流体微团旋转角速度不为零的流动，有旋流动又称为旋涡流动。

（a）无旋流动                                    （b）有旋流动
图3.23 在流体中无旋和有旋运动的示意说明
流体运动是有旋还是无旋，仅仅取决于流体微团是否有旋转运动，而与流体微团的运动轨迹无关。在图3.23（a）所示的流动中，流体微团A沿曲线s-s运动，但在运动过程中，微团A并没有旋转，所以它是一种无旋的流动。在图3.22（b）所示流动中，虽然流体微团A的中心的轨迹是一条直线，但微团在运动过程中有旋转运动，所以是一种有旋运动。
\(\frac{1}{\rho }dp+d(\frac{{{V}^{2}}}{2})=0\) （3.6.11）
它还是伯努利方程。然而在方程（3.6.11）的用法上没有限制。因此，在定常无旋流动中，伯努利方程可在流动中的任意两点间应用。当积分时，方程（3.6.11）为
\(\int{\frac{dp}{p}}+\frac{{{V}^{2}}}{2}=\)常数 （整个无旋流场） （3.6.12）
方程（3.6.12）与对沿流线的流动所获得的数学结果方程（3.6.9）是相同的。在这里，若流动发源于无旋流动的匀流区，则伯努利常数在整个流场有相同的值。
总之，一个定常的无粘性流动，当无体积力时，初始有无旋的性质就像整个是无旋流动一样。在§3.7中将详细说明前面所述是确实的情况。
2）无旋流动的一般性质
（1）无旋流动流场中必然存在势函数
这一性质可以作如下证明。根据数学中空间曲线积分与路径无关的性质可知，如果在空间域A中函数P，Q，R及其偏导数全部是单值连续函数，并且在区域中处处存在如下关系式：
\(\frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial z},\frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}\) （3.6.13）
则在该空间域中一定存在一个连续函数F(x,y,z)，其全微分为
\(dF=Pdx+Qdy+Rdz\) （3.6.14）
或者写成
\(F(x,y,z)=\int{Pdx+Qdy+Rdz}\) （3.6.15）
这个积分与积分路径无关，并且有如下的关系式：
\(\frac{\partial F}{\partial x}=P,\frac{\partial F}{\partial y}=Q,\frac{\partial F}{\partial z}=R\) （3.6.16）
现在研究无旋流动流场。无旋流动条件为
\(\frac{\partial w}{\partial y}=\frac{\partial v}{\partial z},\frac{\partial u}{\partial z}=\frac{\partial w}{\partial x},\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial y}\) （3.6.17）
将上式与方程相比较，则有
\(u\sim P,v\sim Q,w\sim R\)
因此在无旋流动流场中存在一个连续函数
将方程（3.6.10）代入（3.6.7），我们得到，对于定常无旋流动\(\phi (x,y,z,t)\)，在某一瞬时，其全微分为
\(d\phi =udx+vdy+wdz\) （3.6.18）
并且还有如下关系式
\(\frac{\partial \phi }{\partial x}=u,\frac{\partial \phi }{\partial y}=v,\frac{\partial \phi }{\partial z}=w\) （3.6.19）
或者也可以写成
\(\nabla \phi =\overrightarrow{V}\) （3.6.20）
函数\(\phi \)称为势函数，由于它的梯度等于流场的速度矢，故又称为速度势。若运动流体所占的区域是单连通，则\(\phi \)是单值函数，否则一般是多值函数。由于方程（3.6.17）是势函数存在的充要条件，所以在无旋流动的流场中，必定存在势函数。反之，若流场中存在势函数，则流动一定是无旋的。也正因为这个原因，无旋流动一般也称为有势流动或势流。
（2）在单连通域无旋流动流场中，沿任意封闭空间曲线的速度环量总等于零
在流场中取一条任意的空间封闭曲线C，沿该曲线流体运动速度是连续变化的。回顾方程回顾方程（3.5.2），我们写出速度环量在三维空间中的一般表达式
\({{\Gamma }_{C}}=\oint_{C}{udx+vdy}+wdz\)   （3.6.21）
上式既适用于无旋流动，也适用于有旋流动。
对于单连通域中的无旋流动，由于无旋流动的流场中必定存在速度势 ，将速度势的表达式（3.6.18）带入到方程（3.6.21）中，则在无旋流动中沿任意封闭曲线的速度环量为
\({{\Gamma }_{C}}=\oint_{C}{udx+vdy}+wdz=\oint_{C}{d\phi }\) （3.6.22）
对于单连通域流场，从数学分析上可知，速度度势一定是单值函数，所以
\({{\Gamma }_{C}}=\oint_{C}{d\phi }=0\) （3.6.23）
这说明在无旋流动的单连域中，沿任意空间封闭曲线的速度环量总等于零。
3.7 Kelvin定理
Kelvin、Crocco、Heimholtz三定理是进一步研究漩涡运动的三个基本定理。

图3.24 对Kelvin定理的流动模型
我们对这样的问题感兴趣，如图3.24说明的那样，当封闭的流体线通过流场运动时，封闭流体线上的环量会发生怎样的变化。当曲线C随流体运动而运动时，因为流动的连续性，它保持封闭曲线。因此，在后一时刻t+dt，曲线C将移动一个微小位置，并且其形状将有一些变化，但它仍然是一封闭流体线。因此，一个要解决的问题是围绕曲线C环量作为对象的函数有什么变化。考虑在所有时间里，曲线C由相同的流体质点组成。
按照定义，处在封闭流体线C上微团参数的时间导数是物质导数。因此，在这里感兴趣的是围绕曲线C环量的物质导数，它以\({D\Gamma }/{Dt}\;\) 表示。这样
\(\frac{D\Gamma }{Dt}=\frac{D}{Dt}\oint_{c}{\overrightarrow{V}\cdot d\overrightarrow{l}}\) （3.7.1）
式中\(\overrightarrow{V}\)是曲线上一点处在任何瞬间的速度矢量。将方程（3.7.1）右边形成的标量和积分得到
\(\frac{D\Gamma }{Dt}=\frac{D}{Dt}\oint_{c}{(\frac{D\overrightarrow{V}}{Dt}\cdot d\overrightarrow{L}+\overrightarrow{V}\cdot \frac{D(d\overrightarrow{l})}{Dt})}\) （3.7.2）
方程（3.7.2）右边的第一项表示围绕流体线（曲线C）的速度变化，而第二项表示其位置变化。从方程（3.3.8）为
\(\oint_{c}{\frac{D\overrightarrow{V}}{Dt}d\overrightarrow{l}=}-\oint_{c}{\frac{1}{\rho }\nabla p\cdot d\overrightarrow{l}=}-\oint_{c}{\frac{dp}{\rho }}\)    (3.7.3）
若假设为正压流体，即或者\(\rho =\rho (p)\)或者\(\rho \)为常数，则\({dp}/{\rho }\;\)项是全微分，并且其线积分不取决于路径，特别是，对封闭曲线，其值为零。
方程（3.7.2）中第二项通过物质导数算符和微分算符次序的互换可改变形式。这样
\(\oint_{c}{\overrightarrow{V}\cdot \frac{D(d\overrightarrow{l})}{Dt}=}\oint_{c}{\overrightarrow{V}\cdot d(\frac{D\overrightarrow{l}}{Dt})}\)    （3.7.4）
矢量 是流体微团的位置矢量，因此它的时间导数（\({D\Gamma }/{Dt}\;\)）是流体速度\(\overrightarrow{V}\)。因此方程（3.7.4）变成
\(\oint_{c}{\overrightarrow{V}\cdot \frac{D(d\overrightarrow{l})}{Dt}=}\oint_{c}{\overrightarrow{V}\cdot dV+}\oint_{c}{\overrightarrow{V}\cdot d(\frac{{{V}^{2}}}{2})=0}\) （3.7.5）
也是这样，对封闭曲线，全微分的线积分为零。
将方程（3.7.3）和（3.7.5）代入方程（3.7.2），我们得到
\(\frac{D\Gamma }{Dt}=0\) （3.7.6）
对最后一个方程积分得到
\(\Gamma =\oint_{c}{\overrightarrow{V}\cdot d\overrightarrow{l}}=\)常数 （3.7.7）
方程（3.7.7）就是Kelvin定理。根据方程（3.7.7），若封闭流体线（积分的对象就是该流体线）随着组成封闭流体线的微团通过流体移动，则围绕封闭流体线的环量不随时间变化。因此，若整个流场的起始环量是零，它将对所有时间都保持为零。因为对\(\Gamma =0\( 的流动是无旋流动，方程（3.7.7）指出，若流动起始是无旋的，则将无限的维持无旋运动。另一方面，若起始为有旋的流动，将保持有旋，且其强度不减少。
该定理易推广应用到保守力场，保守力场即外力能从势能导来的力场。
Kelvin定理的适用条件，限于密度或者仅是压力的函数，或者是常数的无粘性流动，以及限于作用于流体上的纯外力是能从势能导来的情况。
3.8 Crocco定理
Crocco定理的一般关系表明了流体的旋度或旋度与其熵和滞止焓之间的联系。对于可压缩流体的定常无粘性流动，其推导如下。
方程（3.6.4）是欧拉方程的形式，为方便起见，写在下面，
\(\overrightarrow{V}\times (\nabla \times \overrightarrow{V})=\frac{1}{\rho }\nabla p+\nabla (\frac{{{V}^{2}}}{2})\) （3.8.1）
正如§3.6中所指出，方程（3.6.4）应用于无体积力情况下可压缩流体的定常无粘性流动。
对于完全气体，用下面方程表明流体参数间的关系
\(Tds\ge dh-\frac{1}{\rho }dp\) （3.8.2）
方程（3.8.2）对经历可逆或不可逆过程的均匀流体是正确的，可逆过程用等号，不可逆过程用不等号，将它应用到笛卡尔坐标系的每个方向，为
\(T{{s}_{x}}={{h}_{x}}-\frac{1}{\rho }{{p}_{x}}\) （3.8.3）
\(T{{s}_{y}}={{h}_{y}}-\frac{1}{\rho }{{p}_{y}}\) （3.8.4）
\(T{{s}_{z}}={{h}_{z}}-\frac{1}{\rho }{{p}_{z}}\) （3.8.5）
式中\({{s}_{x}}={\partial s}/{\partial x}\;\)等，与前文一致表示微分符号。将最后三个方程矢量相加得到
\(T\nabla s=\nabla h-\frac{1}{\rho }\nabla p\)（3.8.6）
推导方程（3.8.6）采用的方法可应用到对整个流场都正确（即不依赖路线）的任何全微分。
根据定义，流动流体的总焓为
\({{h}^{*}}=h+\frac{{{V}^{2}}}{2}\) （3.8.7）
对此表达式微分，并取其结果的梯度形式给出
\(\nabla {{h}^{*}}=\nabla h+\nabla (\frac{{{V}^{2}}}{2})\) （3.8.8）
将方程（3.8.6）和（3.8.8）代入（3.8.1）得：
\(\overrightarrow{V}\times (\nabla \times \overrightarrow{V})=\nabla h-T\nabla s+\nabla {{h}^{*}}-\nabla h=\nabla {{h}^{*}}-T\nabla s\)
采用旋转\(\overrightarrow{\omega }\) 和旋度\(\overrightarrow{\zeta }\) 的定义，参考方程（3.5.16）\(\overrightarrow{\zeta }=\nabla \times \overrightarrow{V}=2\overrightarrow{\omega }\)，我们得到下列形式的Crocco定理
\(\overrightarrow{V}\times (\nabla \times \overrightarrow{V})=\overrightarrow{V}\times \overrightarrow{\zeta }=\overrightarrow{V}\times (2\overrightarrow{\omega })=\nabla {{h}^{*}}-T\nabla s\) （3.8.9）
式中\(\nabla {{h}^{*}}\)和\(\nabla s\)分别为流体滞止焓和熵的梯度。对于无外力和体积力时，可压缩流体的定常绝热无粘性流动，h*和s值沿流体中的每一条流线保持常数。这样，若\(\nabla {{h}^{*}}\)≠0且\(\nabla s\)≠0，则\(\nabla {{h}^{*}}\)和\(\nabla s\)必定是垂直于流线的梯度。
Crocco定理表明，若这些梯度存在，则流动就是有旋的；此外，根据Kelvin定理，流动将在整个流场保持不改变强度地旋转，因此，流体的旋转，即这些梯度的存在，必定在初始流动中出现。
通过将速度矢量\(\overrightarrow{V}\)和方程（3.8.9）形成标量积，Crocco定理可应用到沿流线的流动。这样就有
\(\overrightarrow{V}\cdot (\overrightarrow{V}\times (\nabla \times \overrightarrow{V}))=(\overrightarrow{V}\cdot \nabla ){{h}^{*}}-T(\overrightarrow{V}\cdot \nabla )s\) （3.8.10）
因为\(\overrightarrow{V}\times (\nabla \times \overrightarrow{V})\)是垂直于\(\overrightarrow{V}\)的矢量，结果方程（3.8.10）左边的标量积等于零。回忆对定常流动，\(\frac{D()}{Dt}=(\overrightarrow{V}\cdot \nabla )()\)，方程（3.8.10）可写为
\(\frac{D{{h}^{*}}}{Dt}-T\frac{Ds}{Dt}=0\) （3.8.11）
因此，对定常流动，沿流线
\(\frac{D{{h}^{*}}}{Dt}=T\frac{Ds}{Dt}\) （3.8.12）
方程（3.8.12）指出，若在沿流线的流动中没有耗散的影响，即流动等熵，\(\frac{Ds}{Dt}=0\) ，则
\(\frac{D{{h}^{*}}}{Dt}=0\) （3.8.13）
将方程（3.8.13）积分产生
\({{h}^{*}}=h+\frac{{{V}^{2}}}{2}\)=常数 （沿流线） （3.8.14）
方程（3.8.14）是关于在无外功和体积力时可压缩流体定常一维绝热无粘性流动的推广。若流场中的所有流线都起源于匀流区，则滞止焓在流场中每一点处将有相同的值。
对于定常流动，Crocco定理的一些特殊情况将在下面讨论。
1）匀能流动
定常匀能流动是这样的流动，在流动中滞止焓沿所有流线有相同的常数值，即\(\nabla {{h}^{*}}=0\)。在这种情况下，流场中每一个质点都有相同的滞止焓值，于是方程（3.8.9）简化为
\(\overrightarrow{V}\times 2\overrightarrow{\omega }=-T\nabla s\) （3.8.15）
因此，若存在着垂直于流线的熵梯度，匀能流是有旋流动。
这种流动的例子是钝头物体以超音速通过大气运动在其前锋形成的弯曲激波之后的流场。应当注意，激波上游的流动是均匀的，因此是无旋的，但是流过弯曲激波以后，因为激波产生垂直于流线的熵梯度，因此流动变成有旋。
2）等熵和匀熵流动
等熵流动是这样的流动，在流动中沿每条流线的熵是常数，但是不同流线上的流动，熵值可以不同。匀熵流动是在每条流线上熵值都有相同常数值的流动，即\(\nabla s=0\)。因此，在匀熵流动中，所有流体微团在流场的各点处都有相同的熵值。
对匀熵流动，方程（3.8.9）简化为
\(\overrightarrow{V}\times 2\overrightarrow{\omega }=\nabla {{h}^{*}}\) （3.8.16）
方程（3.8.16）指出，若存在着滞止焓梯度，则流动是有旋的。在大多数（但不是全部）实际的可压缩流动中，滞止焓梯度的产生伴随着形成熵梯度。因此，由方程（3.8.16）描述的流动很少有实际意义。
3）匀熵匀能流动
对于h*和s二者在整个流场中都是均匀的流动，方程（3.8.9）简化为
\(\overrightarrow{V}\times 2\overrightarrow{\omega }=0\) （3.8.17）
矢量积\(\overrightarrow{V}\times 2\overrightarrow{\omega }\)给出
\(\overrightarrow{V}\times 2\overrightarrow{\omega }=2V\omega \sin \alpha \) （3.8.18）
式中 是\(\overrightarrow{V}\)和\(\overrightarrow{\omega }\)之间的夹角。若下列三种情况的任何一种发生，则方程（3.8.17）满足
(1) \(\overrightarrow{V}=0\)，没有流动
(2) \(\overrightarrow{\omega }=0\)，流动是无旋的。
(3) \(\overrightarrow{V}\)平行于\(\overrightarrow{\omega }\)，结果\(\sin \alpha \)为零。
当然，情况(1)是无足轻重的。在使用方程（3.8.17）时，必须鉴别情况(2)或(3)在什么条件下出现。

图3.25 在笛卡尔坐标系中，矢量\(\overrightarrow{V}\)，\(\nabla \times \overrightarrow{V}\)和\(\overrightarrow{V}\times (\nabla \times \overrightarrow{V})\)
假设流动是二维的（平面或轴对称）且\(\overrightarrow{V}\)在x、y平面中。这时，若存在\(\overrightarrow{\omega }\)，则\(\overrightarrow{\omega }\)必定指向z（或-z）。这时是\(\overrightarrow{V}\bot \overrightarrow{\omega }\)，而不可能是情况(3)的\(\overrightarrow{V}\parallel \overrightarrow{\omega }\)。因此，在二维流动情况下，要\(\overrightarrow{V}\times 2\overrightarrow{\omega }=0\)，只有\(\overrightarrow{\omega }=0\)。也就是说，在二维流动中可能出现匀熵匀能无旋流动,即情况（2）。
然而，在三维流动中可能出现\(\overrightarrow{V}\parallel \overrightarrow{\omega }\)的情况，即情况（3）。这样的流动可以是无旋流动，也可以不是无旋流动，取决于初始流动是否是无旋的。因此，若初始流动是无旋的，则整个流动将保持无旋；若初始流动是有旋的，则根据Kelvin定理（§3.7），旋转将保持常数。于是旋度\(\xi \)或旋转\(\overrightarrow{\omega }\)必定是平行于\(\overrightarrow{V}\)的。这样的流动称为Beltrami流动。
3.9 Helmholtz定理
Kelvin定理表明，在定常、无粘、有势力作用和正压流体情况下，随流封闭流体线的环量为常数。Kelvin定理是沿流线的，而Helmholtz定理是对涡管的。
Helmholtz定理有三个内容：1.旋涡强度沿涡管不变；2.流动中涡管不会破坏，3.旋涡强度沿涡管的随流变化为零。
首先证明旋涡强度沿涡管不变。

图3.26涡管
应用散度原理：
\(\xi \int_{A}{\overrightarrow{\xi }\cdot d\overrightarrow{A}=\int_{{{V}_{c}}}{\nabla \cdot }}\overrightarrow{\xi }d{{V}_{c}}\) (3.9.1)
这里A=A1+A2+A3。涡管是旋度的管式场，对旋度\(\xi \)而言，为无旋场，故\(\nabla \cdot \xi =0\)。因此上式为：
\(\int_{{{A}_{1}}+{{A}_{2}}+{{A}_{3}}}{\overrightarrow{\xi }\cdot d\overrightarrow{A}=0}\) （3.9.2）
在涡管罩面A3上，因\(\xi \)与涡线相切，或说\(\overrightarrow{\xi }\bot \overrightarrow{{{A}_{3}}}\)，则，\(\overrightarrow{\xi }\cdot d\overrightarrow{{{A}_{3}}}=0\)。代入上式得
\(\int_{{{A}_{1}}}{\overrightarrow{\xi }\cdot d\overrightarrow{A}=}\int_{{{A}_{2}}}{\overrightarrow{\xi }\cdot d\overrightarrow{A}}\) （3.9.3）
其一般情况可写成：
\(\int_{A}{\overrightarrow{\xi }\cdot d\overrightarrow{A}=}\)常数 （3.9.4）
它表示在涡管的任意横截面上旋涡强度是常数，及旋涡强度的量值不变。
由此可以推知，涡管不可能在流体中消失，因此涡管只能存在两种形式，一种是首尾相接成环状，如图3.27（a）；另一种是在流体或固体界面上终止，如图3.27（b）。

（a)                                         (b)
图3.27 涡管存在两种形式
其次证明，在流动中涡管不会被破坏。
我们可以证明在涡管罩面上\(\Gamma =0\)。在涡管罩面上取流体线C，使用斯托克斯公式有
\(\Gamma =\oint_{c}{\overrightarrow{V}\cdot d\overrightarrow{l}=}\oint_{{{A}_{3}}}{\nabla \times \overrightarrow{V}\cdot d\overrightarrow{A}=}\oint_{A}{\overrightarrow{\zeta }\cdot d\overrightarrow{A}}\) （3.9.5）

图3.28 涡管未受破坏证明示意图
在流动中，从t到t+dt，涡管改变了位置，若C沿流线运动到C’，而C’仍在涡管的罩面上，因C是任取的，便可证明在流动中涡管未受破坏。事实上，在t瞬时，因C在罩上，故沿C，\(\Gamma =0\)。在t+dt瞬时，C’仍由原来的流体微团组成。根据Kelvin定理，在流动中\(\frac{D\Gamma }{Dt}=0\)，因此沿C’的环量\(\Gamma \)应保持原来的值，即\({\Gamma }’=\Gamma =0\)。因为\({\Gamma }’=0\)，因此C’仍在涡管罩面上。由此可知，在流动中涡管未受破坏。
最后证明涡管强度的随流变化等于零。

图3.29 流管中的涡管
取一封闭流体线C，通过C画一足够大的流管，在流动中流管始终包围着涡管。因此沿C的涡强就代表着这一涡管的涡强。根据Kelvin定理，随流封闭流体线的环量不随时间变化，即
\(\frac{D\Gamma }{Dt}=0\) （3.9.6）
因此，被围涡管的涡强，其随流变化等于零。
由证明过程可知，Helmholtz定理是Kelvin定理的应用，或说进一步发展。它们的使用条件是相同的。
在实际的流动中，由于存在粘性，涡会产生，或衰减、消失。
3.10 可压缩流体定常无粘性流动的热力学
在无粘交换、剪力、功和体积力情况下，可压缩流体定常多维流动的能量方程由方程（3.3.9）给出，它可重写成
\(\frac{D}{Dt}(h+\frac{{{V}^{2}}}{2})=0\) （3.10.1）
利用滞止焓\({{h}^{*}}=h+\frac{{{V}^{2}}}{2}\)，方程（3.10.1）可重写成
\(\frac{D{{h}^{*}}}{Dt}=0\) （3.10.2）
因此 \({{h}^{*}}=h+\frac{{{V}^{2}}}{2}\)=常数（沿流线） （3.10.3）
方程（3.10.3）是应用于定常一维流动的推广。
若流动起源于\({{h}^{*}}\)全为常数的匀流区，则（因为\({{h}^{*}}\)沿流线保持常数）滞止焓\({{h}^{*}}\)在整个流场保持常数。正如§3.8所指出，这种流动称为匀能流。匀能流在实际流动中常发生。例子是带有激波或无激波物体上的外流，以及发源于匀流区的许多内流。
3.10.1 状态方程
除基本的守恒定律以外，必须知道流体的状态方程。对无粘性流体，这些方程是热力状态方程和热状态方程。这些方程对完全气体可以用函数形式表示为
\(T=T(p,\rho )\) （3.10.4）
\(h=h(p,\rho )\) （3.10.5）
方程（3.10.4）和方程（3.10.5）可以通过适当的表格和图线获得，或者在简单的情况下，用代数方程表示。对完全气体，这些方程有下面特别简单的形式。
\(p=\rho RT\) （3.10.6）
\(h={{C}_{p}}T\) （3.10.7）
对于无逸散的流动，例如在本章中所讨论的流动，熵沿流线保持常数。因此\(s=s(p,\rho )\)，在等熵时则有
\(\rho =\rho (p)\)（沿流线） （3.10.8）
对完全气体，方程（3.10.8）给出为
\(p{{\rho }^{-k}}\)=常数（沿流线） （3.10.9）
对发源于匀流区的流动，方程（3.8.8）和（3.8.9）变成
\(\rho =\rho (p)\)（整个流场） （3.10.10）
以及
\(p{{\rho }^{-k}}\)=常数（整个流场） （3.10.11）
在研究可压缩流体的流动中，音速a是一个重要的参数。对完全气体， a是由下面函数关系给出的一个热力参数
\(a=a(p,\rho )\) （3.10.12）
对等熵流，沿流线\(\rho =\rho (p)\)，因此
\(a=a(p)\)（沿流线） （3.10.13）
若流动是匀熵的，即▽s=0，见§3.8，则
\(a=a(p)\)（整个流场） （3.10.14）
对等熵流，p和V通过伯努利方程，即方程（3.6.9）联系起来
\(\int{\frac{dp}{\rho }}+\frac{{{V}^{2}}}{2}\) =常数（沿流线） （3.6.9）
因为沿流线\(\rho =\rho (p)\)，方程（3.6.9）产生
\(V=V(p)\)（沿流线） （3.10.15）
并且方程（3.10.13）变成
\(a=a(V)\)（沿流线） （3.10.16）
对等熵流动，通过伯努利方程，即方程（3.6.12）说明p和V的关系，它重写如下
\(\int{\frac{dp}{\rho }}+\frac{{{V}^{2}}}{2}\)=常数（整个流场） （3.6.12）
因为对于匀熵流动，整个流场\(\rho =\rho (p)\)，方程（3.6.12）产生
\(V=V(p)\)（整个流场） （3.10.17）
并且方程（3.10.14）变成
\(a=a(V)\)（整个流场） （3.10.18）
方程（3.10.18）的一个例子是对完全气体给出的
\({{a}^{*2}}={{a}^{2}}\text{+}\frac{\text{k-1}}{\text{2}}\)常数（整个流场） （3.10.19）
3.10.2 音速方程
音速 定义为
\(a={{(\frac{\partial p}{\partial \rho })}_{\rho }}\) （3.10.20）
对于等熵流动（即沿其每一条流体线熵值都是常数的流动），方程（3.10.20）的偏微分可写为全微分。因此
\(dp={{a}^{2}}d\rho \)（沿流线） （3.10.21）
若跟踪一个质点的时间导数来确定，我们得到如下实质导数
\(\frac{Dp}{Dt}-{{a}^{2}}\frac{D\rho }{Dt}=0\) （3.10.22）
方程（3.10.22）的一种应用是可用于能量方程，即方程（3.3.9），当流动是等熵流时，从控制方程中消去焓的倒数。
另一种应用，方程（3.10.22）可用来消去控制方程中密度的导数。密度导数仅在连续方程中出现，即方程（3.3.1），它可写成
\(\frac{D\rho }{Dt}+\rho \nabla \cdot \overrightarrow{V}=0\) （3.10.23）
把方程（3.10.22）代入（3.10.23）得到下列形式的连续方程
\(\frac{DP}{Dt}+\rho {{a}^{2}}\nabla \cdot \overrightarrow{V}=0\) （3.10.24）

3.11 速度势函数
为了求解多维气体流动问题，通常需要联立连续方程、动量方程进行求解。然而，利用速度势函数\(\phi \(可将定常无旋流动（见3.6.2）的控制方程中的连续和动量方程联立简化为单个偏微分方程，极大地简化了求解过程。因此，在这一节将讨论速度势函数和上述偏微分方程。特别强调地是，正如3.6.2节所证明的，势函数存在的充要条件为流场是无旋的。
3.11.1 速度势函数的定义
根据Kelvin定理，对无旋流动
\(\Gamma \equiv \oint_{c}{\overrightarrow{V}\cdot d\overrightarrow{l}}=0\) （3.11.1）
由全微分的性质，乘积\(\overrightarrow{V}\cdot d\overrightarrow{l}\)是某个势函数的全微分。用 表示这个函数，称它为速度势函数。这样就有
\(\phi \equiv \overrightarrow{V}\cdot d\overrightarrow{l}\)（3.11.2）
因为在笛卡尔坐标中有\(\overrightarrow{V}=\overrightarrow{V}(x,y,z),\phi =\phi (x,y,z)\)，展开方程（3.11.2）得到
\(d\phi =\frac{\partial \phi }{\partial x}dx+\frac{\partial \phi }{\partial y}dy+\frac{\partial \phi }{\partial z}dz\)
\(\overrightarrow{V}\cdot d\overrightarrow{l}=udx+vdy+wdz\) （3.11.3）
因为dx，dy和dz是任意的，方程（3.11.4）中它们的系数必须相等。这样
\(u=\frac{\partial \phi }{\partial x},v=\frac{\partial \phi }{\partial y},w=\frac{\partial \phi }{\partial z}\) （3.11.4）
方程（3.11.4）指出，\(\overrightarrow{V}\)等于\(\phi \) 的梯度。这样就有
\(\overrightarrow{V}=\nabla \phi =u\overrightarrow{i}+v\overrightarrow{j}+w\overrightarrow{k}\)（3.11.5）
这样，单值变量 的数据完全说明了无旋流动的速度场。反过来说，若速度势 存在，流动必定是无旋的。
对任何标量

       （3.11.6）
因此
\(\nabla \times \nabla \phi =\nabla \times \overrightarrow{V}=\overrightarrow{\zeta }\) （3.11.7）
方程（3.11.7）指出旋度为零，正说明它必为无旋流动。
在圆柱坐标系中，速度势函数的表达式稍有不同。
\(d\phi \equiv \overrightarrow{V}\cdot d\overrightarrow{l}\)
在圆柱坐标系中的展开式为：
\(\frac{\partial \phi }{\partial r}dr+\frac{\partial \phi }{\partial \theta }d+\frac{\partial \phi }{\partial z}dz=({{v}_{r}}\overrightarrow{{{i}_{r}}}+{{v}_{\theta }}\overrightarrow{{{i}_{\theta }}}+{{v}_{z}}\overrightarrow{{{i}_{z}}})\cdot (dr\overrightarrow{{{i}_{r}}}+rd\theta \overrightarrow{{{i}_{\theta }}}+dz\overrightarrow{{{i}_{z}}})={{v}_{r}}dr+r{{v}_{\theta }}d\theta +{{v}_{z}}dz\)
因此 \({{v}_{r}}=\frac{\partial \phi }{\partial r},{{v}_{\theta }}=\frac{1}{r}\frac{\partial \phi }{\partial \theta },{{v}_{z}}=\frac{\partial \phi }{\partial z}\) （3.11.8）
在球坐标系中，速度势函数定义为
\({{v}_{r}}=\frac{\partial \phi }{\partial r},{{v}_{\theta }}=\frac{1}{r}\frac{\partial \phi }{\partial \theta },{{v}_{z}}=\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial \phi }{\partial \psi }\) （3.11.9）
在轴对称流动中的速度势函数与平面流中的相同

3.11.2 利用速度势函数的运动方程
通过方程（3.11.4），控制方程可以用\(\phi \) 代替\(\overrightarrow{V}\)来表达。对定常流动的连续方程，用消去密度导数的形式，即方程（3.10.24）
\((\overrightarrow{V}\cdot \nabla )p+\rho {{a}^{2}}\nabla \cdot \overrightarrow{V}=0\) （3.11.10）
对于定常无旋流动\((\overrightarrow{V}\times \nabla =0)\)欧拉方程可由方程（3.6.4）获得，为
\(\nabla p+\rho \nabla (\frac{{{V}^{2}}}{2})=0\) （3.11.11）
取\(\overrightarrow{V}\)的标量积，则由方程（3.11.11）得到
\((\overrightarrow{V}\cdot \nabla )p+\rho (\overrightarrow{V}\cdot \nabla )(\frac{{{V}^{2}}}{2})=0\) （3.11.12）
将方程（3.11.10）和（3.11.12）联立消去\(\Delta p\)得到
\((\overrightarrow{V}\cdot \nabla )p-{{a}^{2}}\nabla \cdot \overrightarrow{V}=0\) （3.11.13）
方程（3.11.13）是一个重要的结果，通常称它为气体动力方程。
在笛卡尔坐标系中展开的方程（3.11.13）得到
利用\(\phi \)，如方程（3.11.4）所定义的那样，方程（3.11.14）变为

方程（3.11.15）是对于定常多维无旋流动用速度势\(\phi \)表示的控制偏微分方程。方程（3.11.15）是偏微分方程。因为式中\(\phi \)的最高次导数是二次，是线性的，而它们的系数是非线性的，因此方程称为二阶非齐次准线性偏微分方程。高次导数是速度分量u，v和w的函数，也是音速a的函数。除了某些具有简单对称情况的特殊流动以外，对方程（3.11.15）获得精确解是非常困难的。
对于定常二维平面或轴对称流动，方程（3.11.14）和（3.11.15）变成
\(({{u}^{2}}-{{a}^{2}}){{u}_{x}}+({{v}^{2}}-{{a}^{2}}){{v}_{y}}+2uv{{u}_{y}}-\delta \frac{{{a}^{2}}v}{y}=0\) （3.11.16）
及
\(({{\phi }_{x}}^{2}-{{a}^{2}}){{\phi }_{xx}}+({{\phi }_{y}}^{2}-{{a}^{2}}){{\phi }_{yy}}+2{{\phi }_{x}}{{\phi }_{y}}{{\phi }_{xy}}-\delta \frac{{{a}^{2}}{{\phi }_{y}}}{y}=0\) （3.11.17）
这里，对平面流动，\(\delta =0\)，而对轴对称流动，\(\delta =1\)。对于二维无旋流动，\(\overrightarrow{\omega }=0\)，它要求
\({{u}_{v}}-{{v}_{x}}=0\) （3.11.18）
在推导方程（3.11.16）和（3.11.17）中，用到了方程（3.11.18）。
在定常三维不可压流动情况下，\({{a}^{2}}=\infty \)。以\({{a}^{2}}\) 除方程（3.11.15），并设\({{a}^{2}}=\infty \)，得到
\({{\phi }_{xx}}+{{\phi }_{vv}}+{{\phi }_{zz}}={{\nabla }^{2}}\phi =0\) （3.11.19）
方程（3.11.19）是拉普拉斯方程。它只能用于定常无旋不可压流动。
3.11.3 势方程的一般特征
考察方程（3.11.17），它是定常二维无旋流动的势方程。若能找到一个对流场的函数 （x，y），一切流动参数就能求得，当然，函数\(\phi \)（x，y）必须满足边界条件在流场中的任意点，若\(\phi \)（x，y）已知，则在该点处的流体速度\(\overrightarrow{V}\) 可以算出。更进一步，通过采用能量方程、状态方程，以及对等熵过程流体间的关系，我们可计算P,ρ，h，T和a。
通常，关于流体流动的边界条件是在流场特殊区域已知的\(\overrightarrow{V}\)，P,ρ，h，T和a。值。若区域未被没入流体的物体扰动，则边界条件是未受扰动的自由流边界条件；它们通常用\({{V}_{\infty }},{{p}_{\infty }},{{\rho }_{\infty }},{{h}_{\infty }},{{t}_{\infty }},{{a}_{\infty }}\)表示。若该流动是平行于x轴无限远处的均匀流动，该边界条件表达为\({{({{\varphi }_{x}})}_{\infty }}={{\overrightarrow{V}}_{\infty }}\)和\({{({{\phi }_{v}})}_{\infty }}=0\)。
在已知形状没入流体的物体附近，边界条件规定为流动必须与物体表面相切。换句话说，\(\phi \)的梯度必须平行于物体的表面。当流动是二维的情况，物体的几何形状也必须是二维的。
对于二维流动，方程（3.11.17）是非齐次二阶偏微分方程，从二阶导数的意义上说是线性的，它属于一般形式
\(A{{u}_{xx}}+B{{u}_{xy}}+C{{u}_{yy}}+D{{u}_{x}}+E{{u}_{y}}+Fu=0\)（3.11.20）
式中u是x和y的任意函数，u=u（x，y）。方程（3.11.20）可分为三种性质不同的类型，取决于准则\(({{B}^{2}}-4AC)\) 是正、负或零。若\(({{B}^{2}}-4AC)\)为正，方程是双曲型；若它为负，方程是椭圆型；若它为零，方程是抛物型。
以\(-{{a}^{2}}\) 除方程（3.11.17），并写成下面的形式
\((1-\frac{{{u}^{2}}}{{{a}^{2}}}){{\phi }_{xx}}-\frac{2uv}{{{a}^{2}}}{{\phi }_{xy}}+(1-\frac{{{v}^{2}}}{{{a}^{2}}}){{\phi }_{yy}}+\delta \frac{v}{y}=0\) （3.11.21）
对方程（3.11.21），准则\(({{B}^{2}}-4AC)\)给出为
\(({{B}^{2}}-4AC)=\frac{4{{u}^{2}}{{v}^{2}}}{{{a}^{2}}}-4(1-\frac{{{u}^{2}}}{{{a}^{2}}})(1-\frac{{{v}^{2}}}{{{a}^{2}}})=4(\frac{{{v}^{2}}}{{{a}^{2}}}-1)=4({{M}^{2}}-1)\) （3.11.21）
对于亚音速流动（M<1），\(({{B}^{2}}-4AC)\)<0，指出方程（3.11.17）是椭圆型的。对于音速流动（M=1），\(({{B}^{2}}-4AC)\)=0，指出方程是抛物型的。对于超音速流动（M>1），\(({{B}^{2}}-4AC)\)>0，指出方程是双曲型的。
把势方程区分为亚音速、音速和超音速流动三种类型，是为了说明在流场中相应于这三种流动类型物理上的差别。若流场由一种以上的流动类型组成，流动方程同样具有一种以上的类型，流场分析变得复杂。这样的情况在跨音速流动中遇到，在那里，控制流场的方程类型发生变化。
例3.9 下面给出几种可能的速度势函数，若流动是不可压的，问哪一种是确实可能的势函数？
（a） \(\phi =-\Gamma {{\tan }^{-1}}({x}/{y}\;)\) 
（b） \(\phi =x+y\)
（c） \(\phi =\ln xy\).
解：若速度势存在，则\(\overrightarrow{V}=\nabla \varphi ,\nabla \cdot \overrightarrow{V}={{\nabla }^{2}}\varphi =0\)，换句话说，若满足\({{\nabla }^{2}}\varphi =0\)，即定常无旋不可压流拉普拉斯方程（3.11.19），则 就是不可压流中确实存在的势函数。这时，\(2\omega =\nabla \times \overrightarrow{V}=\nabla \times \nabla \varphi =0\)是自动满足的。因此流动既是不可压，又是无旋的。
（a）\({{\nabla }^{2}}\phi ={{\phi }_{xx}}+{{\phi }_{yy}}=\frac{\partial }{\partial x}(\frac{-\Gamma y}{({{x}^{2}}-{{y}^{2}})})+\frac{\partial }{\partial y}(\frac{-\Gamma x}{({{x}^{2}}-{{y}^{2}})})=\frac{2xy\Gamma }{({{x}^{2}}+{{y}^{2}})}+\frac{2xy\Gamma }{({{x}^{2}}+{{y}^{2}})}=0\)
方程（a）定义了一个可能的速度势函数。事实上，它产生§3.3例1和§3.5例的（b）部分给出的速度场，为自由涡流场。
（b）\({{\nabla }^{2}}\phi ={{\phi }_{xx}}+{{\phi }_{yy}}=\frac{\partial }{\partial x}(l)+\frac{\partial }{\partial y}(l)=0\)
方程（b）定义了一个确实存在的速度势函数。
（c）\({{\nabla }^{2}}\phi ={{\phi }_{xx}}+{{\phi }_{yy}}=\frac{\partial }{\partial x}(\frac{yz}{xyz})+\frac{\partial }{\partial y}(\frac{xz}{xyz})+\frac{\partial }{\partial y}(\frac{xy}{xyz})=-(\frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}+\frac{1}{{{z}^{2}}})\ne 0\)
方程（c）并不定义一个确实存在的速度势函数。
例3.10 考察章节3.5.3讨论的自由涡，速度场给出为
\(\overrightarrow{V}=\frac{-\overrightarrow{i}\Gamma y}{({{x}^{\text{2}}}+{{y}^{\text{2}}})}\text{+}\frac{-\overrightarrow{\text{j}}\Gamma y}{({{x}^{\text{2}}}+{{y}^{\text{2}}})}\)
这里环量\(\Gamma \) 为常数。对上述流场推导速度势函数。
解
对于无旋流场，\(u={{\phi }_{x}},v={{\phi }_{v}}\)。因此
\({{\phi }_{x}}=u=\frac{-\Gamma y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\)
\({{\phi }_{1}}=\int{\frac{-\Gamma y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}dx}+{{c}_{1}}(y)=\Gamma {{\tan }^{-1}}(\frac{x}{y})+{{c}_{1}}(y)\)

同样 \({{\phi }_{y}}=v=\frac{\Gamma x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\)
\({{\phi }_{2}}=\int{\frac{-\Gamma x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}dy}+{{c}_{2}}(y)=\Gamma {{\tan }^{-1}}(\frac{y}{x})+{{c}_{2}}(x)\)
比较\({{\phi }_{1}},{{\phi }_{2}}\) 可见，\({{\phi }_{2}}\) 并不单独包含y的函数，因此在\({{\phi }_{1}}\)的表达式中
\({{c}_{1}}(y)\) 可选等于零。同样，在\({{\phi }_{2}}\)的表达式中\({{c}_{2}}(x)\)可选等于零。利用三角函数的性质
\({{\tan }^{-1}}a+{{\tan }^{-1}}b={{\tan }^{-1}}\frac{a+b}{1-ab}\)
由\({{\phi }_{2}}\)与\({{\phi }_{1}}\)相减产生\(\phi -\phi =\Gamma {{\tan }^{-1}}(\frac{y}{x})+\tan (\frac{x}{y})=\Gamma {{\tan }^{-1}}\frac{\frac{y}{x}+\frac{x}{y}}{1-1}=\Gamma {{\tan }^{-1}}(\infty )=(2n+1)\frac{\pi }{2}\Gamma \)

式中n=0,1,2，……。因此，\({{\varphi }_{2}}\)和\({{\varphi }_{1}}\)仅差一个常数。因此，对于自由涡，二者都满足速度势函数。
\(\phi \)为常数的线给出为
\(y=\left( \tan (\frac{\phi }{\Gamma }) \right)x\) 
它是从原点径向指向外的直线。\(\phi \)为常数的线与流线垂直，因此对自由涡其流线是同心圆。
3.12 流函数
我们在定常无旋流的条件下定义了速度势函数\(\varphi \)，下面将引进一个在流体力学中占有重要地位的新的全微分函数，即流函数。流函数的存在在数学上带来了某些简化，因为我们可以以流函数来代替两个速度分量u和v，从而减少了未知函数的数量。在下面的讨论中，我们首先给出流函数的定义。
3.12.1 流函数的定义
为了方便比较，采用另一种方式表述，我们定义速度势函数\(u={{\varphi }_{x}},v={{\varphi }_{y}}\)，使二维流动时的无旋条件（3.11.18）：\(\frac{\partial }{\partial x}(-v)+\frac{\partial }{\partial y}(u)=0\) 
（3.12.1）
满足，即将\(\mu ={{\phi }_{\chi }},\mu ={{\phi }_{y}}\)代入（3.12.1）得
\(\frac{{{\partial }^{2}}\phi }{\partial x\partial y}=\frac{{{\partial }^{2}}\phi }{\partial y\partial x}\)
类似地，采用定常二维连续方程来定义流函数。对于平面流动，连续方程（3.3.26），当\(\delta =0\)时为
\(\frac{\partial }{\partial x}(\rho u)+\frac{\partial }{\partial y}(\rho v)=0\) （3.12.2）
如果定义流函数\(\psi \)，使
\({{\psi }_{x}}=-\rho v,{{\psi }_{y}}=\rho u\)（或\({{\psi }_{x}}=\rho v,{{\psi }_{y}}=-\rho u\) （3.12.3）
便可使二维平面流连续方程（3.12.2）满足，即为
\(\frac{{{\partial }^{2}}\psi }{\partial x\partial y}-\frac{{{\partial }^{2}}\psi }{\partial y\partial x}=0\) 
对于不可压定常二维平面流动，流函数定义为
\({{\psi }_{x}}=-v,{{\psi }_{y}}=u\)或\({{\psi }_{x}}=v,{{\psi }_{y}}=-u\) （3.12.4）
对于定常轴对称流动,连续方程(3.3.26)为
\(\frac{\partial }{\partial x}(\rho u)+\frac{\partial }{\partial y}+\frac{\rho v}{y}=0\) (3.12.5)
或写成 \({{y}_{x}}\rho u+{{(\rho u)}_{x}}y+{{y}_{y}}\rho u+{{(\rho v)}_{y}}y=0\) 
即 \({{(y\rho u)}_{x}}+{{(y\rho v)}_{y}}=0\) 
因此对定常轴对称流动,流函数定义为
\({{\psi }_{x}}=-y\rho v,{{\psi }_{y}}=y\rho u\) (或\({{\psi }_{x}}=y\rho v,{{\psi }_{y}}=-y\rho u\) (3.12.6)
可使连续方程满足。
对于定常轴对称的可压流动，流函数定义为
\({{\psi }_{x}}=-yv,{{\psi }_{y}}=yu\) (或\({{\psi }_{x}}=yv,{{\psi }_{y}}=-yu\) (3.12.7)
对于圆柱坐标系中的定常二维流动，连续方程为
\(\frac{\partial }{\partial r}(r\rho {{v}_{r}})+\frac{\partial }{\partial \theta }(\rho {{v}_{\theta }})=0\)
因此流函数可定义为
\({{\psi }_{r}}=-\rho {{v}_{\theta }},{{\psi }_{\theta }}=r\rho {{v}_{r}}\) (或\({{\psi }_{r}}=\rho {{v}_{\theta }},{{\psi }_{\theta }}=-r\rho {{v}_{r}}\)) (3.12.8)
不可压流时为
\({{\psi }_{r}}=-{{v}_{\theta }},{{\psi }_{\theta }}=r{{v}_{r}}\) (或\({{\psi }_{r}}={{v}_{\theta }},{{\psi }_{\theta }}=-r{{v}_{r}}\)) (3.12.9)
3.12.2 流函数的物理解释
1）流函数等于常数的曲线是流线
证明：因为流函数是全微分，因此可以写出
\(d\psi ={{\psi }_{x}}dx+{{\psi }_{y}}dy\) 
代入流函数的定义得
\(d\psi =\rho (udy-vdx)\) （3.12.10）
由流线方程
\(\frac{dx}{u}=\frac{dy}{v}\)
可得 \(udy-vdx=0\) （3.12.11）
将流线方程（3.12.11）代入（3.12.10）得
\(d\psi =0,\psi =c\) （沿流线） （3.12.12）
这就说明，在流线上流函数 等于常数
反之，若 ,则由（3.12.10）得
\(d\psi =\rho (udy-vdx)=0\) 
因此得 \({{\left| \frac{dy}{dx} \right|}_{\psi =c}}=\frac{v}{u}\) （3.12.13）
它说明，若\(\psi \) =常数的曲线是流线。
2）两流线间的质量流率与两流线间的流函数之差成正比。
图3.12.1表示一个二维流场，在任意两流线之间，过AB两点的质量流率为\(d\overset{\cdot }{\mathop{m}}\,\)。AB两点间的截面是可以任取的，使计算较为简单的取法是平行于x和y轴的OA和OB，这时
\(d\overset{\cdot }{\mathop{m}}\,=(\rho udy-\rho vdx)D\) (3.12.14)
式中D是流通通道的宽度，式中负号的引入是因为从A到O位dx的负方向。

图3.30 任意两条流线间的流动
对于二维平面流，流函数的全微分
\(D\psi ={{\psi }_{x}}dx+{{\psi }_{y}}dy=(\rho udy-\rho vdx)\) （3.12.15）
比较方程(3.12.14)和方程（3.12.15）可得\(d\dot{m}=Dd\psi \) （3.12.16）
在A和B点之间对方程（3.12.16）积分产生
\({{\dot{m}}_{A,B}}=({{\psi }_{B}}-{{\psi }_{A}})D\)  (3.12.17)
对于轴对称流动

\({{\dot{m}}_{A,B}}=2\pi ({{\psi }_{B}}-{{\psi }_{A}})\)  （3.12.18）
因此(3.12.17)和（3.12.18）表示在二维流中两条流线之间的质量流率与两条流线之间的流函数之差成正比。
3.12.3 速度势函数与流函数的关系
1. 流线和等势线垂直（或流面与等势面垂直）
前面已经说过，流函数为常数的曲线是流线，即
\({{\left. \frac{dy}{dx} \right|}_{\psi }}=\)常数\(=\frac{v}{u}\) （3.12.19）
又，在二维流动中，速度势函数\(\phi \)=常数的曲线是等势线，即由
\(d\phi ={{\phi }_{x}}dx+{{\phi }_{y}}dy=udx+vdy\) 
得 \({{\left. \frac{dy}{dx} \right|}_{\varphi }}=const.=-\frac{v}{u}\) （等势线） （3.12.20）

图3.31 流函数和势函数
对比（3.12.19）和（3.12.20），两曲线的斜率为负倒数，可见流线与等势线是垂直的。因此流线和等势线可以构成正交曲线网络，它的疏密表示参数变化的快慢。
设流线\(\overrightarrow{l}\)表示，等势线以\(\overrightarrow{n}\)表示，由它们构成的正交曲线坐标表示在图3.12.2。由（3.12.2）知，\(d\varphi =\overrightarrow{V}\cdot d\overrightarrow{l}\)，因为\(\overrightarrow{V}//\overrightarrow{l}\)，故得\(d\phi =Vdl\)，或
\(\frac{d\phi }{dl}=V\)  （3.12.21）
在\(\overrightarrow{l}\)、\(\overrightarrow{n}\)坐标系下，连续方程的形式为
\(\frac{\partial }{\partial l}(\frac{\rho }{{{\rho }^{\text{*}}}}u)+\frac{\partial }{\partial n}(\frac{\rho }{{{\rho }^{*}}}v)=0\) （3.12.22）
式中u、v分别表示V沿\(\overrightarrow{l}\)、\(\overrightarrow{n}\)方向的分量，而滞止密度\({{\rho }^{*}}\)作为一个参考量引入。在现在的情况下，\(\overrightarrow{V}\)沿\(\overrightarrow{l}\)，即有\(u=V,v=0\)。因此这时流函数定义为
\(\frac{\partial \psi }{\partial n}=\frac{\rho }{{{\rho }^{*}}}V\cdot \frac{\partial \psi }{\partial l}=0\) （3.12.23）
将（3.12.21）式代入（3.12.23）式可得
\(\frac{\partial \phi }{\partial l}=\frac{\rho }{{{\rho }^{*}}}\frac{d\psi }{dn}\)
或 \(\frac{dl}{dn}=\frac{\rho }{{{\rho }^{*}}}\frac{d\phi }{d\psi }\) （3.12.24）
写成有限差分形式为
\(\frac{\Delta l}{\Delta n}=\frac{\rho }{{{\rho }^{*}}}\frac{\Delta \phi }{\Delta \psi }\) （3.12.25）
它表示在正交曲线坐标系中， 和 网络分别与 和 成正比。若取\(\Delta \phi =\Delta \psi \)，则由于\(\rho /{{\rho }^{*}}<1\)，故\(\Delta l<\Delta n\)，表示一种\(\Delta l\)和\(\Delta n\)不相等的正交网络，若为不可压流，\(\rho /{{\rho }^{*}}=1\)，这时（3.12.25）式成为
\(\frac{\Delta l}{\Delta n}=\frac{\Delta \phi }{\Delta \psi }\) （3.12.26）
若取\(\Delta \phi =\Delta \psi \)，则\(\Delta l\)和\(\Delta n\)表示为等距的正交网络。
方程（3.12.25）和（3.12.26）都说明\((\frac{\Delta l}{\Delta n})\)的疏密表示参数\(\frac{\Delta \phi }{\Delta \psi }\)变化的快慢。
2）\(\phi \)与\(\psi \)互求
如果已知\(\phi \)，通过V为中间参数，可以求得\(\psi \)；反之亦然。
对于平面流动，可压时有
\({{\phi }_{x}}=u=\frac{{{\psi }_{y}}}{\rho },{{\phi }_{y}}=v=\frac{-{{\psi }_{x}}}{\rho }\) （3.12.27）
不可压时，有 \({{\phi }_{x}}=u={{\psi }_{y}},{{\phi }_{y}}=v=-{{\psi }_{x}}\) （3.12.28）
对轴对称流动，可压时有
\({{\phi }_{x}}=u=\frac{{{\psi }_{y}}}{\rho y},{{\phi }_{y}}=v=\frac{-{{\psi }_{x}}}{\rho y}\) （3.12.29）
不可压时有
\({{\phi }_{x}}=u=\frac{{{\psi }_{y}}}{y},{{\phi }_{y}}=v=\frac{-{{\psi }_{x}}}{y}\) （3.12.30）
在极坐标系中，对可压流有
\({{\phi }_{r}}={{v}_{r}}=\frac{r\theta }{r\rho },{{\phi }_{\theta }}=r{{v}_{\theta }}=-\frac{r{{\psi }_{r}}}{\rho }\) （3.12.31）
对不可压流有
\({{\phi }_{r}}={{v}_{r}}=\frac{\psi \theta }{r},{{\phi }_{r}}=r{{v}_{\theta }}=-r{{\psi }_{r}}\) （3.12.32）
引入速度势函数和流函数可使流场表示更为形象，通过下面的例子可以说明。
例3.11 设平面流\(\phi =\frac{1}{2}a({{x}^{2}}-{{y}^{2}})\)，a为常数。（1）试画出等势线和流线网图；（2）求流场的压力分布。
解：（1）首先检查一下流场的性质。因为
\(\frac{{{\partial }^{2}}\phi }{\partial {{x}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}\phi }{\partial {{y}^{2}}}=a-a=0\) 
满足拉普拉斯方程，因此流动是常数、无旋、不可压的。
流速 \(u=\frac{\partial \phi }{\partial x}=ax,v=\frac{\partial \phi }{\partial y}=-ay\) 
不可压流动的流函数，由
\(\frac{\partial \psi }{\partial y}=u=ax,{{\psi }_{1}}=axy+{{C}_{(Z)}}\)
\(\frac{\partial \psi }{\partial y}=-v=ay,{{\psi }_{2}}=axy+{{C}_{(y)}}\)
可知，流函数为
\(\psi =axy+C\)
这样便可得流线方程为\(xy=k\)，等势线方程为\({{x}^{2}}-{{y}^{2}}={k}’\)。由流线和等势线表示的流场如图3.32（a）所示。

 

(a)

 (b)
图3.32 流线和等势线
当a为正数时，流向如图中箭头所示。流场对x轴对称，上下流动不交混，x轴如“固体壁”。
（2）流场是无旋的，因此伯努利方程在全流场成立。
\(p={{p}^{*}}-\frac{1}{2}\rho {{V}^{2}}={{p}^{*}}-\frac{1}{2}\rho {{a}^{2}}({{z}^{2}}+{{y}^{2}})={{p}^{*}}-\frac{\rho }{2}{{a}^{2}}{{r}^{2}}\)
当r=0时，p=p*，随着r增长，p下降。当p=0时，
\({{r}_{0}}=\sqrt{\frac{2{{p}^{*}}}{\rho {{a}^{2}}}}\)
当r≥r0的范围内，流动不可能存在。
3.13 几种简单的势流及其叠加
本节首先介绍几种最简单的定常、无旋、不可压势流。某些较复杂的势流由最简单的势流叠加组成。这也是求解某些势流流场的方法。
势流叠加原理可表述为：总势流的势函数或流函数分别由其组成势流的势函数或流函数代数相加而得；总流速则为分流速的矢量和；由势流叠加而得的流动仍为势流。
3.13.1 匀直流
匀直流是速度分布均匀，数值不变的平行直线流动，如图3.33所示。其势函数为
\(\phi =ax+by\) （3.13.1）
流速为
\(u\text{=}\frac{\partial \phi }{\partial x}=a,v=\frac{\partial \phi }{\partial y}=b\) （3.13.2）

 

图3.33 匀直流
流函数为
\(\frac{\partial \psi }{\partial x}=-b,\frac{\partial \psi }{\partial y}=a\) （3.13.3）
\(\psi =ay-bx\) （3.13.4）
流线方程为
\(ay-bx=c\) （3.13.5）
当流动为平行于x轴，速度为 的匀直流时，其势函数和流函数分别为
\(\phi ={{v}_{\infty }}x,\psi ={{v}_{\infty }}y\) （3.13.6）
3.13.2 点源
点源是从某一点径向均匀向外辐射具有一定流量的流动，如图3.34（a）所示：与其流向相反的流动，称点汇。

(a)

(b)
图3.34 点源
若源在坐标原点上，总流量为Q，则有
\(Q=2\pi r{{v}_{r}}\) （3.13.7）
流速 \({{v}_{r}}=\frac{Q}{2\pi }\frac{l}{r},{{v}_{\theta }}=0\) （3.13.8）
流函数为 \(\frac{\partial \psi }{\partial \theta }=r{{v}_{r}}=\frac{Q}{2\pi },\psi =\frac{Q}{2\pi }\theta +{{C}_{1}}\)或\(\psi =\frac{Q}{2\pi }arctg\frac{y}{x}\) （3.13.9）
流线是由原点出发的辐射线簇。势函数为
\(\frac{\partial \varphi }{\partial r}={{v}_{r}}=\frac{Q}{2\pi }\frac{l}{r},\varphi =\frac{Q}{2\pi }\ln r+{{C}_{2}}\) （3.13.10）
式中\(r=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\)。等势线是一簇以原点为中心的圆，取等\(\Delta \phi \)作出的同心圆成等比数列。
如果源不在原点，设位于\(A(\xi ,\eta )\)，而受扰点P（x,y），则AP的距离为
\(r=\sqrt{{{(x-\xi )}^{2}}+{{(y-\eta )}^{2}}}\) （3.13.11）
于是 \(\varphi =\frac{Q}{2\pi }\ln \sqrt{{{(x-\xi )}^{2}}+{{(y-\eta )}^{2}}}\) （3.13.12）
\(\psi =\frac{Q}{2\pi }arctg\frac{y-\eta }{x-\xi }\) （3.13.13）
\(u=\frac{Q}{2\pi }\frac{x-\xi }{{{(x-\xi )}^{2}}+{{(y-\eta )}^{2}}},v=\frac{Q}{2\pi }\frac{y-\eta }{{{(x-\xi )}^{2}}+{{(y-\eta )}^{2}}},\)， （3.13.14）
3.13.3 偶极子
在轴线x上有一对等强度的源和汇分别位于（-h，0），（0，0）处，从源发出的流量都进入汇，其正向如图3.35（a）中所示。
应用叠加原理，势函数可由位于-h的源和0处的汇叠加给出，为
\(\phi =\frac{Q}{2\pi }\left( \ln \sqrt{{{(x+h)}^{2}}+{{y}^{2}}}-\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right)=\frac{Q}{4\pi }\ln \frac{{{(x+h)}^{2}}+{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\)
（3.13.15）
流函数为 \(\psi =\frac{Q}{2\pi }({{\theta }_{1}}-{{\theta }_{2}})\) （3.13.16）
现在我们来考察一种极限情况：在\(h\to 0\)的同时Q增大，使\(\frac{Qh}{2\pi }\)保持不变。这种极值情况不是指一个有限强度的源和另一个等强度的汇放在一起，恰好抵消，什么也没有；而是指随着\(h\to 0,Q\to \infty \)的这种极值情况，称为偶极子流，如图3.35（b）所示。
偶极子流的势函数为
\(\phi =\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{Q}{4\pi }\left( \ln \frac{{{(x+h)}^{2}}+{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right)=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{Q}{4\pi }\left( \ln \frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2xh+{{h}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right)=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{Q}{4\pi }\frac{\ln \left( 1+\frac{2xh+{{h}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right)}{\frac{2xh+h}{{{x}^{\text{2}}}+{{y}^{\text{2}}}}}\cdot \frac{2xh+h}{{{x}^{\text{2}}}+{{y}^{\text{2}}}}\)

（a)

（b）
图3.35 偶极子
利用极限公式\(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln (1+x)}{x}=1\) ，可得
\(\phi =\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{Q}{4\pi }\frac{2xh+{{h}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{Mx+\frac{M}{2}h}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\)
最后得 \(\phi =M\frac{x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\) （3.13.18）
流函数求得为
\(\psi =-M\frac{y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\) （3.13.19）
速度求得为
\(u=\frac{M({{y}^{2}}-{{x}^{2}})}{{{({{x}^{2}}+{{y}^{2}})}^{2}}}=-M\frac{\cos 2\theta }{{{r}^{2}}},v=\frac{M(2xy)}{{{({{x}^{2}}+{{y}^{2}})}^{2}}}=-M\frac{\sin 2\theta }{{{r}^{2}}}\)（3.13.20）
\(V=\frac{M}{{{r}^{2}}}\) （3.13.21）
注意，偶极子的方向定义为x的负向。如果偶极子指向x的正向，那么（3.13.18）和\(\phi \)和（3.13.19）的\(\psi \)都要改变符号。如果偶极子的轴线与y轴重合，方向指向y的负向，那么上述\(\phi \)和\(\psi \)式的分子应对调。如果偶极子的轴线与x轴成\(\theta \) 角而其正向指向第三象限，则
\(\phi =\frac{M}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}(x\cos \theta +y\sin \theta )\) （3.13.22）
如果偶极子位于（ξ，η），轴线为x轴，则
\(\phi =M\frac{z-\xi }{{{(x-\xi )}^{2}}+{{(y-\eta )}^{2}}}\) （3.13.23）
\(\psi =-M\frac{y-\eta }{{{(x-\xi )}^{2}}+{{(y-\eta )}^{2}}}\) （3.13.24）
3.13.4 点涡
点涡即自由涡流动，逆时针为正，如图3.36所示。其势函数、流函数和流速为
\(\phi =\frac{{{\Gamma }_{0}}}{2\pi }\theta \) （3.13.25）
\(\psi =-\frac{{{\Gamma }_{0}}}{2\pi }\ln r\) （3.13.26）
\({{v}_{r}}=0,{{v}_{\theta }}=\frac{{{\Gamma }_{0}}}{2\pi }\frac{l}{r}\) （3.13.27）
若点涡位于（ξ，η），则
\(\phi =\frac{{{\Gamma }_{0}}}{2\pi }\theta arctg\frac{y-\eta }{x-\xi }\) （3.13.28）

图3.36 点涡
\(\psi =-\frac{{{\Gamma }_{0}}}{2\pi }\ln \sqrt{{{(x-\xi )}^{2}}+{{(y-\eta )}^{2}}}\) （3.13.29）
点涡也可以看到为在z方向无限长的直线涡，这样的流场，除涡心外，其余各点均是无旋流。
3.13.5 匀直流加点源
根据势流叠加原理，匀直流加点源的势函数和流速为
\(\phi ={{v}_{\infty }}x+\frac{Q}{2\pi }\ln r={{v}_{\infty }}x+\frac{Q}{4\pi }\ln ({{x}^{2}}+{{y}^{2}})\) （3.13.30）
\(u={{v}_{\infty }}+\frac{Q}{2\pi }\frac{x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}},v=\frac{Q}{2\pi }\frac{y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\) （3.13.31）
叠加后的流场如图3.37所示。
由图3.13.5（a）可见，在x轴线上点源流速与\({{v}_{\infty }}\)相抵，合速为零的一点A为驻点。由ua=0可得驻点坐标。
\({{x}_{A}}=-\frac{Q}{2\pi {{v}_{\infty }}}\) （3.13.32）

（a)

(b)
图3.37 匀直流加点源
图3.36（a）中有一条经过驻点的特殊流线\(BA{B}’\)，它像一道围墙一样把流场划分为两部分，来自匀直线的流动在“墙影外”，点源流在“墙”内各自进行流动。流线是流体微团不可逾越的线。因此可以把那道“墙”看作为那样形状的物体，外部流动绕着那样的物体进行。该“物体”后面不能封口，是一个半无限体，源流流向无穷远，其宽度渐趋于渐进值D。\(BA{B}’\)的形状可根据流函数\(\psi =0\)，或从流量关系推算出来。当\(x\to 0\) 时，速度\(u={{v}_{\infty }},v=0,Q={{v}_{\infty }}D\)。因此可得
\(D=\frac{Q}{{{v}_{\infty }}}\) （3.13.33）
\(BA{B}’\)线上其它点的坐标也可用流量相等的关系导出。例如\(P(r,\theta )\)点，假想当无源的匀直线流过OP截面时流量为\({{v}_{\infty }}r\sin \theta \)，现被点源流在中心角\(\pi -\theta \)流出的流量\(\frac{Q}{2\pi }(\pi -\theta )\)顶替，由它们相等，\({{v}_{\infty }}r\sin \theta =\frac{Q}{2\pi }(\pi -\theta )\)，可以得到\(r=f(\theta )\)的曲线方程为
\(r=\frac{Q}{2\pi {{v}_{\infty }}}\frac{\pi -\theta }{\sin \theta }=\frac{D}{2\pi }\frac{\pi -\theta }{\sin \theta }\) （3.13.34）
流场的压力可用伯努利方程表示
\(p=({{p}_{\infty }}+\frac{\rho }{2}{{v}_{\infty }}^{2})-\frac{\rho }{2}({{u}^{2}}+{{v}^{2}})\) （3.13.35）
通常将压力表示为无因次的压力系数\({{C}_{p}}\) ，它定义为
\({{C}_{p}}=\frac{p-{{p}_{\infty }}}{\frac{\rho }{2}{{v}_{\infty }}^{2}}\) （3.13.36）
将（3.13.35）代入（3.13.36）得
\({{C}_{p}}=1-\frac{{{u}^{2}}+{{v}^{2}}}{{{v}_{\infty }}^{2}}\)
再将（3.13.31）代入上式，并利用（3.13.34）的关系，可得
\({{C}_{p}}=-\frac{\sin 2\theta }{\pi -\theta }-{{(\frac{\sin \theta }{\pi -\theta })}^{2}}\) （3.13.37）
\({{C}_{p}}\)随x变化的曲线见图3.37（b）。
3.13.6 匀直流加偶极子
在匀直流中加点源，出现半无限体的流动，物形不会收口，要它收口，应再加汇。当源和汇的强度相等时，物形才是收口时，如图3.38（a）所示。在匀直流中加一个偶极子，可以得到一个封闭圆的物形，正如图3.38（b）所示。图中假设匀直流 指x正向，偶极子位于原点，指x负向。这样的流动也可看作为绕无限长圆柱体的流动。

 

（a)

(b)
图3.38 匀直流加偶极子
匀直流加偶极子的流动，其势函数由二者的叠加而得，为
\(\phi ={{v}_{\infty }}x+M\frac{x}{{{r}^{2}}}\) （3.13.38）
圆物形的半径可由驻点处u=0定义，即由
\(u=\frac{\partial \phi }{\partial x}={{v}_{\infty }}+\frac{M}{{{r}^{2}}}-\frac{2M{{x}^{2}}}{{{r}^{2}}}=0\) 
代入驻点处坐标\(x=-r\)时，可得\({{r}^{2}}=\frac{M}{{{v}_{\infty }}}\)。这时的r即为圆半径a，因此得
\({{a}^{2}}=\frac{M}{{{v}_{\infty }}}\) （3.13.39）
利用（3.13.39）的关系，势函数（3.13.38）可完成
\(\phi ={{v}_{\infty }}(x+\frac{{{a}^{2}}x}{{{r}^{2}}})={{v}_{\infty }}(r+\frac{{{a}^{2}}}{r})\cos \theta \) （3.13.40）
流函数为 \(\psi ={{v}_{\infty }}(r-\frac{{{a}^{2}}}{r})\sin \theta \) （3.13.41）
由\(\psi =0\)可求得两条特殊的流线。其一由\(\sin \theta =0\)，即\(\theta =0\)或\(\pi \)，为x轴线；其二由\((r-\frac{{{a}^{2}}}{r})=0\)，得为r=a的圆。
流速为 \(u={{v}_{\infty }}(1-\frac{{{a}^{2}}}{{{r}^{2}}}\cos 2\theta ),v=-{{v}_{\infty }}\frac{{{a}^{2}}}{{{r}^{2}}}\sin 2\theta \) （3.13.42）
圆柱面上的压力系数为
\({{C}_{p}}=1-\frac{{{V}^{2}}}{{{v}_{\infty }}^{2}}=1-4{{\sin }^{2}}\theta \) （3.13.43）
其曲线表示在图3.38中，由于假设是无粘流，因此无阻力；对称，无升力。

图3.39 圆柱表面压力系数图
如将以a为半径的圆看作为固体壁，就解决了圆柱绕流问题。
3.13.7 匀直流加偶极子加点涡
如在匀直流加偶极子的基础上再加一个顺时针的负点涡。其流动图如图3.40所示。

图3.40 匀直流加偶极子加点涡
在匀直流加偶极子加负点涡情况下
\(\phi ={{v}_{\infty }}(1+\frac{{{a}^{2}}}{{{r}^{2}}})x-\frac{\Gamma }{2\pi }\theta \) （3.13.44）
\(\psi ={{v}_{\infty }}(1-\frac{{{a}^{2}}}{{{r}^{2}}})y-\frac{\Gamma }{2\pi }\ln r\) （3.13.45）
流速为 \({{v}_{r}}=\frac{\partial \phi }{\partial r}={{v}_{\infty }}(1-\frac{{{a}^{2}}}{{{r}^{2}}})\cos \theta \) （3.13.46）
\({{v}_{\theta }}=\frac{1}{r}\frac{\partial \phi }{\partial \theta }=-{{v}_{\infty }}(1+\frac{{{a}^{2}}}{{{r}^{2}}})\sin \theta -\frac{\Gamma }{2\pi r}\) （3.13.47）
r=a仍是一条特殊流线，在该圆上
\({{v}_{r}}=0,{{v}_{\theta }}=-2{{v}_{\infty }}\sin \theta -\frac{\Gamma }{2\pi r}\) （3.13.48）
驻点现在不在\(\theta =\pi \)和\({{\theta }_{0}}\) 处了，其位置可以从\({{v}_{\theta }}=0\)定出，为
\(\sin {{\theta }_{\theta }}=-\frac{\Gamma }{4\pi a{{v}_{\infty }}}\) （3.13.49）
流动左右对称，但上下不对称。x方向的合力为零（无粘，阻力为零），y方向的合力升力Y。取如图3.40中的虚线所示的控制面，用动量方程可计算升力Y。控制面中A，在物面上，流动参数不穿过它，而两割线上参数相抵消，因此只要对面积A进行计算。如取物体作用在气流上的升力为负，则动量方程为

设流动为定常、无粘、略去体积力，则得
\(Y=-\int_{A}{p\sin \theta dA-}\int_{A}{v\rho {{v}_{r}}dA}\)
考虑到\(dA={{r}_{1}}d\theta \) ，以及图3.40左右的对称性，可得
\(Y=-2\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{{{r}_{1}}}p\sin \theta d\theta -2\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\rho {{r}_{1}}}{{v}_{r}}vd\theta \) （3.13.50）
我们分别来计算升力计算式（3.13.50）中的两项积分。
利用势函数（3.13.44）可求得
\(u={{v}_{\infty }}(1-\frac{{{a}^{2}}}{{{r}^{2}}}\cos 2\theta )+\frac{\Gamma }{2\pi }\frac{\sin \theta }{r}\) （3.13.51）
\(v=-{{v}_{\infty }}\frac{{{a}^{2}}}{{{r}^{2}}}\sin 2\theta -\frac{\Gamma }{2\pi }\frac{\cos \theta }{r}\) （3.13.52）
将（3.13.46）、（3.13.52）的和代入升力计算式（3.13.50）的第二个积分中时，可得
\(-2\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\rho {{r}_{1}}}{{v}_{r}}vpd\theta =2\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\rho {{r}_{1}}}{{v}_{\infty }}(1-\frac{{{a}^{2}}}{{{r}^{2}}})\cos \theta ({{v}_{\infty }}\frac{{{a}^{2}}}{{{r}^{2}}}\sin 2\theta +\frac{\Gamma }{2\pi }\frac{\cos \theta }{{{r}_{1}}})d\theta =\frac{1}{2}\rho {{v}_{\infty }}\Gamma (1-\frac{{{a}^{2}}}{{{r}^{2}}})\)
（3.13.53）
动量方程（3.13.50）第一个积分中压力可用伯努利方程求得，为
\(p={{p}_{\infty }}+\frac{\rho }{2}{{v}_{\infty }}^{2}-\frac{\rho }{2}{{V}^{2}}\) （3.13.54）
式中\({{p}_{\infty }}+\frac{\rho }{2}{{v}_{\infty }}^{2}\)，当它代入升力计算式（3.13.50）的第一个积分中时，乘以 \(\sin \theta \)为奇函数，在对称区内积分为零。所以第一个积分为
\(-2\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{{{r}_{1}}}p\sin \theta d\theta =\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\rho {{r}_{1}}}{{V}^{2}}\sin \theta d\theta \) （3.13.55）
式中\({{V}^{2}}={{u}^{2}}+{{v}^{2}}\)，将方程（3.13.51）和（3.13.52）代入运算后得
\({{V}^{2}}={{v}_{\infty }}^{2}+{{v}_{\infty }}^{2}\frac{{{a}^{4}}}{{{r}_{1}}^{4}}+{{(\frac{\Gamma }{2\pi {{r}_{1}}})}^{2}}-2{{v}_{\infty }}^{2}\frac{{{a}^{2}}}{{{r}_{1}}^{2}}\cos 2\theta +{{v}_{\infty }}\frac{\Gamma }{2{{r}_{1}}}\sin \theta d\theta +{{v}_{\infty }}\frac{\Gamma {{a}^{2}}}{\pi {{r}_{1}}^{2}}(\cos \theta \sin 2\theta -\sin \theta \cos 2\theta )\)

式中前面四项是偶函数，如代入积分式中乘以后为奇函数，在对称区中积分为零。这样前一个积分是（3.13.55）经运算后为
\(2\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{{{r}_{1}}}p\sin \theta d\theta =\frac{1}{2}\rho {{v}_{\infty }}\Gamma (1+\frac{{{a}^{2}}}{{{r}_{1}}^{2}})\) （3.13.56）
将第一、二个积分值（3.13.56）和（3.13.53）代入升力计算式（3.13.50），而得升力
\(Y=\rho {{v}_{\infty }}\Gamma \) （3.13.57）
该式表示单位长度“柱体”上的升力，其表达式表明，其升力与 取多大没有关系；与“柱体”的形状也没有关系，只要求是一个封闭物体，其中正源和负汇的强度相等，当源与汇为偶极子时，封闭体为圆柱。关键在于必须有一个物体的环量存在，有了环量，有了匀直流，便产生升力。

图3.41 圆柱表面压力系数
为什么有了环量便有升力，可以从图3.41物体上的压力分布看到。\(\Gamma =0\)时，上下半圆的压力分布对称，合力为零，因此无升力。有环量后，上半圆的负压远远超过下半圆，所以有升力，这个力的来源只要靠上半圆的吸力。机翼产生升力就是这样的原理。
3.14 小结
在第三章中，对于第二章推导的流体流动控制方程的微分形式限于 的条件。所得到的方程是控制可压缩流体定常绝热无粘性流动的矢量方程，为了参考方便，将它们收集在表3.1中，从这些方程，推导出笛卡尔和圆柱坐标中关于可压缩流体定常多维绝热无粘性流动的对应方程，将它们列于表3.2中。表3.2中用同一组方程说明二维平面流动（\(\delta =0\)和二维轴对称流动（\(\delta =1\)两种流场。
表3.1 控制可压缩流体定常绝热无粘性流动的矢量方程

关于普遍方程的积分和微分形式见表2.1和2.2
表3.2 关于可压缩流体定常多维绝热无粘性流动的控制方程

 

我们定义了环量Γ，旋转\(\overrightarrow{\omega }\)和旋度\(\overrightarrow{\zeta }\)这些参数，并说明它们相互的关系（见表3.2）。旋度等于单位面积的环量，而旋转等于旋度的一半。对于\(\overrightarrow{\omega }\ne 0\)的流动称为有旋流动，而对于\(\overrightarrow{\xi }=0\)的流动称为无旋流动。无旋流的简单例子是自由涡，它在原点有一奇点（见§3.5之四）。有旋流的例子是强迫涡（见§3.5之五）。
在定常多维无粘性流动情况中，伯努利方程沿流线是正确的。通常，伯努利常数的数值从这条流线到那条流线是不同的，它取决于流场的性质。然而，若流动发源于匀流区，则伯努利常数在整个流场有相同的数值，这种规则对定常无旋流动也是正确的。
Kelvin定理（见§3.7）指出，若流动初始是无旋的，它将随时间保持无旋；若它初始是有旋的，它将保持强度不变的有旋。若这两条结论限于无粘性流动，且其密度或者单纯是压力的函数或者是常数，以及作用在流体上的合外力有势。
对于定常匀能流动，滞止焓h*在整个流场均匀（即\(\nabla {{h}^{*}}=0\)）。Crocco定理（见§3.8）指出，若在这样的流场中存在熵梯度\(\nabla s\)，则流动是有旋的（\(\overrightarrow{\omega }\ne 0\)）。对于匀熵定常流动，熵在整个流场均匀（\(\nabla s\)=0）。若在这样的流场中存在滞止焓梯度\(\nabla {{h}^{*}}\)，则流动是有旋的（\(\overrightarrow{\omega }\ne 0\)）。
对于无旋流动，简单变量速度势 说明速度场。只有流动是无旋（\(\overrightarrow{\omega }=0\)）时，才存在速度势。利用速度势\(\phi \)，对定常多维流动导得了单个控制偏微分方程（见表3.3）。

表3.3 对于可压缩流体定常多维无旋流动的控制方程

对于定常二维流动，可定义一个称为流函数ψ的全微分函数。对二维流动，ψ存在的必要条件仅是流动为常数。流函数ψ沿流线有不变的数值，并且在两条流线之间ψ值之差正比于两流线间流体流动的质量流率。对于定常二维流动，Ф为常数的线与ψ为常数的线是垂直的。
对于定常、无旋、不可压势流，某些比较复杂的势流由几个最简单的势流叠加组成。

习题
1、试写出在轴对称坐标系中的加速度、散度、旋度、流线方程、势函数、流函数的表达式，它们与平面流中的有无区别？试总结在这两种坐标系中，哪些表达式有区别，为什么这些表达式有区别？

2、一细直管水平放置，活塞以u=at的速度推动它前面的一段长l的液体，液体的自由端压力为零，求液体中距活塞为x处的压强。当细直管倾斜α角，且自由端压力为Pa时，再解此题。

3、装有液体的容器以等角速度\(\omega \)旋转，求液体中任两点压强的表达式和自由液面方程。不计粘性，要考虑重力作用，外界大气压为Pa。

4、试分析\(\bar{V}=\left\{ \frac{c}{r},\frac{k}{{{r}^{2}}},0 \right\}\)（r为矢径\(\bar{r}\) 的模，c、k为常数）可能是什么性质的流场？
5、试用克洛克定理重新解§3.3例6。
6、设不可压流场中\({{v}_{r}}=-\frac{Q}{2\pi r},{{v}_{\theta }}=-\frac{\Gamma }{2\pi r},{{v}_{z}}=0\)（Q、Γ均为常数）。
（1）试画出流线谱，并对该流动进行物理描述。
（2）求流场的压力和温度分布，并对它们进行分析和解释。
7、设速度场\(\overrightarrow{V}=ax\overrightarrow{i}+(bx+cy)\overrightarrow{j}\)，a、b、c为常数。在下列两种情况下求a、b、c必须满足的条件，以及两种情况下的流线形状：（1）不可压流；（2）不可压无旋流。
8、在一垂直放置的等截面圆柱体中，液体作\({{v}_{r}}=0,{{v}_{\theta }}=r\omega \)的无粘运动（w为常数）。假设底部突然打开，试以速度、加速度和流线方程，以及简要的文字和图形描述其中液体微团运动的物理状态。又问，此运动的轨线与流线是否重合，为什么？
9、设流体在半径为R的圆柱面上流动，\({{v}_{r}}=0,{{v}_{\theta }}=bz,{{v}_{z}}=a\theta \)（a和b为常数），失球流线方程。
10、轴对称流\(\rho ={{\rho }_{0}}xy\)（ 为常数），u=x。设y=1处，v=x。试求v=？
11、设一无限长的轴在一无限长的空心圆柱管中绕同一轴线旋转，半径分别为R1,R2，转速分别为\({{\omega }_{1}},{{\omega }_{2}}\)（常数），在两圆柱之间不可压流体的速度分布为试确定流体中一点处旋度的表达式。若可能，在什么条件下，旋度将为零。
12、插图表示一圆柱形箱，水箱通过箱底处一个形状很好的圆孔流出。试用A1,A2,h0,g和t表示的高度h的表达式。假设 A1>>A2。

第12题图
13、已知一匀熵匀能二维不可压流场，x方向的分速u=kxy（k是常数），试求y方向的分速 的表达式。
14、已知流体在一个平面中流动，其势函数为\(\phi =a\ln r\)，a为常数，r为矢径的模，试对此流动加以描述，并分析流动的性质。
15、考察下列函数，确定它们是否能代表不可压无粘性流动的速度势？
（1）f=x+y+z
（2）f=x+xy+xyz
（3）f=l0x
16、流函数\(\psi ={{U}_{\infty }}({{R}^{2}}/r-r)\sin \theta \)代表无限长圆柱体的不可压无粘性流动，其中R为圆柱半径，\({{U}_{\infty }}\)为自由流速度，而\(\theta \)从圆柱前锋滞止点按顺时针方向度量。试确定vr和\({{v}_{\theta }}\)，以及势函数φ 的表达式。
17、试推导自由涡流函数的表达式。
18、设有一不可压平面流动，在（-2,0）处有一点源，源流量为\(q=2\pi {{M}^{2}}/s\)，在（2,0）处有一点汇，汇流量为\(q=2\pi {{M}^{2}}/s\)，以及有一自左向右的匀直流，流速为\({{u}_{o}}=4M/s\)，试描述三者叠合而成的流动情景。
19、已知桥墩宽1.8M，水深3M，水趋近桥墩时的流速为1.2M/s。试求桥墩的半圆柱头部所受的水冲击力。
20、设平面上有一匀直流和点涡，如不可压流场的滞止温度为T，试求A点处的静温。
21、在一自由涡的中心上还有一点汇，试求该流场中的流线方程。