第六章 固体火箭冲压发动机尾喷管
尾喷管是发动机的一个重要部件，它位于气流流路的最后部位。尾喷管对发动机的工作过程有着重要的影响。因为一方面燃气通过尾喷管时存在着各种损失，对发动机的推力有很大影响。另一方面由进气道进入发动机内部的空气，以及由燃气发生器排出的一次燃烧产物都必须经过尾喷管流出发动机，因此发动机整个气流流路的流动速度、补燃室中的压力、最大可能的加热量等参数都与尾喷管的“通过”能力有关。在发动机稳定工作情况下，尾喷管的“通过”能力必须与上游气流的总流量相适应。本章将对这些问题以及喷管设计中的某些问题进行分析讨论。
6.1 固体火箭冲压发动机尾喷管的特点
一体化固体火箭冲压发动机在结构上的显著特点是：它的补燃室同时也是固体火箭助推器的燃烧室。从工作顺序来看，它的补燃室首先作为火箭助推器的燃烧室，然后作为组合发动机的补燃室。这样就提出一个问题，燃烧室可以共用，尾喷管能否也共用呢？
大家知道作为助推器的动力装置，它的主要矛盾是加速性。也就是说要求它能够将导弹在较短的时间内加速到组合发动机有能够起动并能正常工作的速度。所以助推器的一般特点往往是推力大、工作时间短。这些要求正是发挥了固体火箭发动机的长处。对于固体火箭发动机来说，为了防止固体推进剂的反常燃烧，燃烧室压力必须大于推进剂的临界压力。这是固体火箭发动机设计中必须遵守的一条原则。一般双基推进剂的临界压力大约为3-MPa左右，复合推进剂的临界压力大约为2-4MPa左右，因此固体火箭助推器的燃烧室压力是比较高的。
固体火箭冲压发动机是作为巡航用的动力装置，其特点是工作时间长、推力小。组合发动机的燃烧室压力主要取决于冲压压力，而这个压力相对火箭发动机来说是比较小的。
图6-1 一体化固体火箭冲压发动机的工况转换过程简图
由以上分析可知，因为对于固体火箭助推器与固体火箭冲压发动机的技术要求不同，它们的工作参数也各不相同。虽然它们共用同一个燃烧室，但是它们的气流参数（例如流量、压力、温度等）相差悬殊，难以共用同一个尾喷管，而是分别各有自己的尾喷管，因为助推器首先工作，所以助推器的尾喷管也应该首先工作。不难看出，助推器尾喷管的喉部直径应该小于组合发动机尾喷管的喉部直径。按照发动机的工作顺序，当助推器工作结束后，应当紧接着进入组合发动机的工作状态。为此，助推器的尾喷管应当自动脱落，使组合发动机的尾喷管进行工作，这是一体化组合发动机工况转换的一个重要程序。图6-1示出的一体化液体火箭—冲压组合发动工况的转换过程。从图中可以看出工况转换过程的简单程序是：首先打开进气道出口处的堵盖，然后脱落助推器的喷管，紧接着组合发动机开始工作。燃烧室压力又开始上升。一体化固化固体火箭冲压发动机的工况转换过程基本上也是相同的。
压力比值=補燃室中的瞬时压力/巡航时補燃室压力
同时安装有二个尾喷管、以及助推器尾喷管能够自动脱落（有一套自动脱落机构），这些都是一体化固体火箭冲压发动机尾喷管的特点。
为了使二个不同尺寸的喷管顺序地进行工作，在结构上可能有如下一些方案：
（1）组合发动机喷管与助推器喷管前后顺离排列，如图6-2（a）所示。助推器工作结束后，利用自动脱落机构将助推器喷管抛掉。萨姆—6采用了这种方案。
图6-2 一体化组合发动机的尾喷管简图
（2）助推器喷管插入在组合发动机喷管之中，如图6-2（b）所示。当工况变换时，爆炸螺栓起爆，发动机的燃气将助推器喷管抛出。
（3）如图6-2（c）所示，尾喷管外壳与内锥形成的环形通道作为助推器尾喷管的通道（称为环形喷管），当助推器工作结束后，将内锥抛出，剩下的外壳形成组合发动机的尾喷管，并开始工作。
在设计组合发动机尾喷管时还有一个问题应当注意。因为在有的贫氧推进剂中加入了大量的金属燃烧剂（比一般的复合推进剂中的金属燃烧剂还要多）在喷管的气流温度和压力条件下，不可避免的会出现凝聚相的燃烧产物。因此对于采用这种推进剂的喷管，在设计、计算时应当考虑到两相流动的影响。
由以上分析可以看出，尽管组合发动机的尾喷管有自己的一些特点，但是在设计中仍然在许多方面可以借鉴火箭发动机喷管的设计经验。
6．2 尾喷管工作对发动机推力的影响
尾喷管的工作情况对发动机推力的影响是很大的，因为发动机的推力等于进气道进口与尾喷管出口截面上气流富裕冲量之差。喷管工作的好坏直接影响出口截面的气流富裕冲量。而喷管出口截面气流富裕冲量的损失将直接造成发动机推力的损失。
图6-2 一体化组合发动机的尾喷管简图
（2）助推器喷管插入在组合发动机喷管之中，如图6-2（b）所示。当工况变换时，爆炸螺栓起爆，发动机的燃气将助推器喷管抛出。
（3）如图6-2（c）所示，尾喷管外壳与内锥形成的环形通道作为助推器尾喷管的通道（称为环形喷管），当助推器工作结束后，将内锥抛出，剩下的外壳形成组合发动机的尾喷管，并开始工作。
在设计组合发动机尾喷管时还有一个问题应当注意。因为在有的贫氧推进剂中加入了大量的金属燃烧剂（比一般的复合推进剂中的金属燃烧剂还要多）在喷管的气流温度和压力条件下，不可避免的会出现凝聚相的燃烧产物。因此对于采用这种推进剂的喷管，在设计、计算时应当考虑到两相流动的影响。
由以上分析可以看出，尽管组合发动机的尾喷管有自己的一些特点，但是在设计中仍然在许多方面可以借鉴火箭发动机喷管的设计经验。
6．2 尾喷管工作对发动机推力的影响
尾喷管的工作情况对发动机推力的影响是很大的，因为发动机的推力等于进气道进口与尾喷管出口截面上气流富裕冲量之差。喷管工作的好坏直接影响出口截面的气流富裕冲量。而喷管出口截面气流富裕冲量的损失将直接造成发动机推力的损失。
6．2．1喷管冲量损失与发动机推力损失的关系
因为：\({{F}_{m}}=\left[ {{{\dot{m}}}_{5}}{{V}_{5}}+({{p}_{5}}-{{p}_{5}}){{A}_{5}} \right]-{{\dot{m}}_{H}}{{V}_{H}}\)
如果仅考虑5截面富裕冲量的变化对推力的影响，则
\(\Delta {{F}_{m}}=\Delta {{I}_{5ef}}\)
或者 \(\frac{\Delta {{F}_{m}}}{{{F}_{m}}}=\frac{\Delta {{I}_{5ef}}}{{{F}_{m}}}=\frac{{{I}_{5ef}}}{{{F}_{m}}}\cdot \frac{\Delta {{I}_{5ef}}}{{{I}_{5ef}}}\) （6-1）
若 \(\frac{\Delta {{I}_{5ef}}}{{{F}_{m}}}=2\)
则 \(\frac{\Delta {{F}_{m}}}{{{F}_{m}}}=2\frac{\Delta {{I}_{5ef}}}{{{I}_{5ef}}}\)
因此，当\(\frac{\Delta {{I}_{5ef}}}{{{I}_{5ef}}}=2%\)时，\(\frac{\Delta {{F}_{m}}}{{{F}_{m}}}=4%\)，也就是说，5截面的富裕冲量若降低2%，则可使发动机推力下降4%。
对于高速飞行的发动机，尾喷管对发动机推力的影响更为显著。图6-3中表示了尾喷管在完全膨胀条件下，比值\(\frac{\Delta {{F}_{m}}}{{{F}_{m}}}=2\frac{\Delta {{I}_{5ef}}}{{{I}_{5ef}}}\)与MH的变化关系。由图可见，当MH增大，比值\(\Delta {{I}_{5ef}}/{{F}_{m}}\)也增大，说明飞行M数越大，喷管工作对推力的影响也越大。
图6-3 比值\(\frac{\Delta {{I}_{5ef}}}{{{F}_{m}}}\)随MH的变化关系（喷管完全膨胀）
例如，喷管富裕冲量损失\(\frac{\Delta {{I}_{5ef}}}{{{I}_{5ef}}}=1%\)时
在MH=3.0 \(\frac{{{I}_{5ef}}}{{{F}_{m}}}=2.5-3.5\)，则\(\frac{\Delta {{F}_{m}}}{{{F}_{m}}}=2.5-3.5%\)
在MH=5.0 \(\frac{{{I}_{5ef}}}{{{F}_{m}}}=3.5-5.0\)，则\(\frac{\Delta {{F}_{m}}}{{{F}_{m}}}=3.5-5.0%\)
由图6-3还可以看出，在相同的MH下，余气系数α越大（巡航用发动机的α较大），喷管对推力的影响也越大。例如，取喷管富裕冲量量损失为1%，当MH=4.0时
在α=3.0 \(\frac{{{I}_{5ef}}}{{{F}_{m}}}=4.0\) 则\(\frac{\Delta {{F}_{m}}}{{{F}_{m}}}=4.0%\)
在α=2.0 \(\frac{{{I}_{5ef}}}{{{F}_{m}}}=3.0\) 则\(\frac{\Delta {{F}_{m}}}{{{F}_{m}}}=3.0%\)
固体火箭冲压发动机正是用于高速飞行的巡航动力装置，因此对于组合发动机尾喷管的设计应给予充分细致的考虑。
6.2.2喷管出口截面的气流总冲量和富裕冲量
为了分析喷管对发动机推力的影响，首先分析一下喷管出口截面的总冲量和富裕冲量。
喷管出口截面的总冲量可以计算如下（注：本章中下标r为补燃室混合燃气，不同于前几章下标r表示燃气发生器）：
\({{I}_{5}}={{\dot{m}}_{r}}{{V}_{5}}+{{P}_{5}}{{V}_{5}}={{\dot{m}}_{r}}({{V}_{5}}+\frac{{{P}_{5}}}{{{\rho }_{5}}{{V}_{5}}})\)
\(={{\dot{m}}_{r}}({{V}_{5}}+\frac{a_{5}^{2}}{{{k}_{r}}{{V}_{5}}})={{\dot{m}}_{r}}{{a}_{5}}({{M}_{5}}+\frac{1}{{{k}_{r}}{{M}_{5}}})\) （6-2）
或者
\({{I}_{5}}=\frac{{{k}_{r}}+1}{2{{k}_{r}}}{{\dot{m}}_{r}}{{a}_{cr}}Z({{\lambda }_{5}})\) （6-3）
\({{I}_{5}}=\frac{{{P}_{5}}{{A}_{5}}}{r({{\lambda }_{5}})}\) （6-4）
\({{I}_{5}}=P_{5}^{*}{{A}_{5}}f({{\lambda }_{5}})\) （6-5）
其中，\(r({{\lambda }_{5}})f({{\lambda }_{5}})\)是气动函数
当进口条件不变时，因喷管工作使总冲量减小的量就等于发动机推力损失的量，即
\(\Delta {{F}_{m}}=\Delta {{I}_{5}}=\Delta {{I}_{5ef}}\) （6-6）
在分析喷管损失对推力的影响时，采用总冲量也是比较方便的。喷管出口截面的富裕冲量可以按下式计算：
\({{I}_{5ef}}={{\dot{m}}_{r}}{{V}_{5}}+({{P}_{5}}-{{P}_{H}}){{A}_{5}}\)
令 \({{\bar{P}}_{5}}=\frac{{{P}_{5}}}{{{P}_{H}}}\)
所以 \({{I}_{5ef}}={{\dot{m}}_{r}}{{a}_{5}}({{M}_{5}}+\frac{1-1/{{{\bar{P}}}_{5}}}{{{k}_{r}}{{M}_{5}}})\) （6-8）
或者 \({{I}_{5ef}}={{\dot{m}}_{r}}\frac{{{k}_{r}}+1}{2{{k}_{r}}}{{a}_{cr}}\left[ Z\left( {{\lambda }_{5}} \right)-\frac{\tau ({{\lambda }_{5}})}{{{\lambda }_{5}}}\frac{1}{{{{\bar{P}}}_{5}}} \right]\) （6-9）
\({{I}_{5ef}}={{\dot{m}}_{r}}\frac{{{k}_{r}}+1}{2{{k}_{r}}}{{a}_{cr}}\left[ Z\left( {{\lambda }_{5}} \right)-\frac{2}{{{k}_{r}}+1}\frac{{{\lambda }_{5}}}{M_{5}^{2}}\frac{1}{{{{\bar{P}}}_{5}}} \right]\) （6-10）
对于理想喷管来说，上游气流参数确定以后，I5ef仅是\({{\bar{P}}_{5}}\)的函数。
在分析喷管气动性能的好坏时，主要从二个方面来进行。一是分析喷管中各种原因造成的总冲与损失，二是分析产生最大推力的喷管的工作状态。具备了这方面的知识以后，结合合理的结构设计，可以获得各方面性能良好的尾喷管。
6.2.3尾喷管中的推力损失（总冲量损失）
为了使喷管获得良好的气动性能，必须使燃气在尾喷管中的流动具有最小的损失。
试验和理论分析表明，尾喷管中的损失主要由以下三方面原因造成的，即：
（1）气流与管壁摩擦造成的损失。
（2）喷管出口截面上气流不平行造成的损失。
（3）在超音速气流中存在激波造成的损失。
除此以外，喷管向外界的散热也会造成损失，但是一般情况下为量甚微。
喷管中各种损失都使得出口截面上气流冲量减小。由（6-6）式可知，喷管总冲量的减小也意味着发动机推力的减小。
1、气流与管壁摩擦造成的损失
由摩擦引起的喷管总冲量的损失实际上是由喷管壁面附面层（Boundary Layer）引起的速度降所导致的，用\({{\eta }_{bl}}\)表示，称为喷管摩擦损失系数，其值等于
\({{\eta }_{bl}}=\frac{{{I}_{5bl}}}{{{I}_{5th}}}=1-\frac{{{(\Delta {{I}_{5}})}_{bl}}}{{{I}_{5th}}}\) （6-11）
式中：
\({{I}_{5bl}}\)——气流相对于喷管壁有摩擦时出口截面的总冲量。
\({{I}_{5bl}}\)——理想喷管（没有任何损失）出口截面的总冲量。
\({{(\Delta {{I}_{5}})}_{bl}}\)——因摩擦作用使喷管总冲量减小的量，也等于因摩擦使推力减小的量\({{(\Delta {{F}_{m}})}_{mc}}\)
摩擦阻力\({{(\Delta {{F}_{m}})}_{bl}}\)可以用下式计算
\({{(\Delta {{F}_{m}})}_{bl}}={{(\Delta {{I}_{5}})}_{bl}}=\int_{o}^{\ell }{\tau \cdot 2\pi rdx}\)
式中 τ——摩擦应力
令 \(\bar{r}=\frac{r}{{{R}_{t}}}\bar{x}=\frac{x}{2{{R}_{t}}}\)
则 \({{(\Delta {{I}_{5}})}_{bl}}=\int_{o}^{{\bar{\ell }}}{\tau 2\pi {{R}_{t}}}\frac{r}{{{R}_{t}}}2{{R}_{t}}d(\frac{x}{2{{R}_{t}}})=4\pi {{R}^{2}}_{t}\int_{o}^{{\bar{\ell }}}{\tau \bar{r}d\bar{x}}\)
式中 \(\bar{l }=\frac{l }{2{{R}_{t}}}\)
图6-4 尾喷管中摩擦损失的计算图
减小尾喷管长度，特别是超音速部分的长度，以及减小摩擦应力可以减小摩擦损失。
在考虑摩擦效应时，必须计算壁面的摩擦应力。如果手头没有能作更好估算的数据可供利用时，可以采用如下公式：
\(\tau =\frac{\rho {{V}^{2}}\cdot f}{8}\)
式中
\(f=5.5\times {{10}^{-3}}\left[ 1+{{(\frac{2\times {{10}^{4}}\Delta }{D}+\frac{{{10}^{5}}}{{{R}_{e}}})}^{\frac{1}{3}}} \right]\)
∆——壁的平均粗糙度（凸起高度）
Re 数根据当地直径D和自由流气流特性计算。
文献【7】介绍了如下估算方法：
\({{\eta }_{bl}}=1-{{C}_{1}}\bullet \frac{{{P}_{4}}^{0.8}}{D_{t}^{0.2}}\bullet \left[ 1+2\bullet \exp \left( -{{C}_{2}}\frac{{{P}_{4}}^{0.8}\bullet t}{D_{t}^{0.2}} \right) \right]\bullet \left[ 1+0.016\bullet \left( \varepsilon -9 \right) \right]\)
在这里p4¾¾喷管进口处压强（MPa）
Dt¾¾喷管喉部直径（cm）
C1,C2¾¾与喷管材料有关的常数，对于一般喷管
C1=0.00236,C2=0.0006052,
对于钢制喷管
C1=0.00327, C2=0;
t¾¾工作时间（s）
e¾¾面积膨胀比。当e<9时，1+0.0016(e–9)=1。
2、喷管出口截面上气流不平行造成的损失
这种损失又叫做扩散损失（Divergent），用\({{\eta }_{div}}\)表示，称为不平行系数，其值等于：
\({{\eta }_{div}}=\frac{{{I}_{5}}_{div}}{{{I}_{5}}_{th}}=1-\frac{{{(\Delta {{I}_{5}})}_{div}}}{{{I}_{5}}_{th}}\)
式中\({{I}_{5}}_{div}\)——喷管出口截面气流不平行时的总冲量。
根据径向流的条件，\({{I}_{5}}_{div}\)可以计算如下：
\({{I}_{5}}_{div}={{({{\dot{m}}_{r}}{{V}_{5}})}_{div}}+{{P}_{5}}{{A}_{5}}\)
\(=\frac{1}{2}(1+\cos {{\alpha }_{e}}){{({{\dot{m}}_{r}}{{V}_{4}})}_{th}}+{{P}_{5}}{{A}_{5}}\)
\(=\frac{1}{2}(1+\cos {{\alpha }_{e}}){{I}_{5}}_{th}+\frac{1}{2}(1-\cos {{\alpha }_{e}}){{P}_{5}}{{A}_{5}}\)
因此 \({{\eta }_{div}}=\frac{1+\cos {{\alpha }_{e}}}{2}+\frac{{{P}_{5}}{{A}_{5}}}{{{I}_{5}}_{th}}\frac{1-\cos {{\alpha }_{e}}}{2}\)
因为 \[\frac{{{p}_{5}}{{A}_{5}}}{{{I}_{5}}_{th}}\frac{1-\cos \alpha }{2}\]是数量级更小的数。
所以 \({{\eta }_{div}}=\frac{1+\cos {{\alpha }_{e}}}{2}\)
在一般情况下，锥形喷管扩散角2\({{\alpha }_{e}}\)为20°～30°左右，不平行损失系数不超过2%，当尾喷管锥角2达到40°～50°时，\({{\eta }_{div}}\)可增加到3～5%。
（6－10a）式指的是出口膨胀半角为\({{\alpha }_{e}}\)，如果是特型喷管初始膨胀半角\({{\alpha }_{M}}\)，则扩散损失可以用下式处理：
\({{\eta }_{div}}=\frac{1+\cos \left( \frac{{{\alpha }_{e}}+{{\alpha }_{M}}}{2} \right)}{2}\)
3、由激波引起的损失（Shock Wave）。
即使在完全膨胀的喷管中，如果喷管型面设计不合理，在喷管的超音速气流中将产生激波。这些激波经过喷管壁的反射，沿着喷管长度方向传播，引起气流流动速度及压力变化。与无激波的喷管相比较有激波的喷管在出口截面上具有较小的气流速度以及较高的温度和压力，因而产生激波损失。激波损失系数用\({{\eta }_{sw}}\)表示，其值等于
\({{\eta }_{sw}}=\frac{{{I}_{5sw}}}{{{I}_{5}}_{th}}=1-\frac{{{(\Delta {{I}_{5}})}_{sw}}}{{{I}_{5}}_{th}}\)
图6-5 气流在曲线型面喷管内的流动
喷管内的激波是怎样产生的？现分析临界截面附近气流的流动情况。气流在这里由亚音速流动转变为超音速流动。由于结构方面的原因，在临界截面附近尾喷管的型面总是向轴线方向凸出，气流的流股也呈弯曲形状，如图6-5所示。气流流股因弯曲产生离心力，使得靠近壁面的流股压缩中心区的流股，在Ⅰ截面上造成各流股的速度及压力不均匀，中心流股的流速慢一些。由此可以想象到在临界截面区域内并不是所有流股在同一截面上同时达到音速的。达到音速的截面是一个曲面，向着超音速方向凸出，如图6-5中虚线所示。这种就产生一个问题：在同一截面上，中心区域流股流速慢尚未达到音速，为了继续加速其通道面积需要继续缩小（Da＜0），而边缘区的气流已超过音速，为了进一步加速需要增大通道面积（Da＞0），这些要求是矛盾的。如果超音段喷管型面与这种很不均匀的气流流场又很不协调，在音速截面之后的超音速气流中将产生激波。
对于型面设计不恰当的特型喷管，如同上面叙述的相似原因，在扩张段也会产生激波。所以，为了避免激波损失，应当合理地设计曲线型面，使所有气流流股都能连续地增加其流速，避免对超音速的气流进行压缩。对于锥形喷管来说，喷管超音段的形状是直线的，所以当音速截面气流流畅严重不均匀的情况下，在锥形喷管超音段会引起激波损失。可以说，锥形喷管的激波损失首先是由于临界截面区域的型面设计不恰当而引起的，因此锥型喷管的激波损失有时也称为进口损失或进口冲击损失，用ηi表示。
通过试验，分析了对进口损失ηi的因素。实验表明，ηi与收敛段的锥角2β无直接关系。显然，对进口损失起主要影响的临界截面区的喷管壁面的曲率。如图6-6所示。圆弧半径R越小，由激波引起的进口损失越大。当尾喷管进口部分的圆弧半径等于或大于临界截面直径2Rt时，激波损失就消除了。因此，在设计喷管时，应该尽量使R等于或大于2Rt。
图6-6 进口损失系数ηi与临界截面处圆弧半径\(\bar{R}\)的关系
到现在为止，还没有直接估算激波损失的计算方法。
4、尾喷管的总损失
喷管的总推力损失是各个单项推力损失之和。喷管的总推力损失系数用ηF表示，其值等于
\({{\eta }_{F}}=1-\frac{\underset{1}{\overset{n}{\mathop{\Sigma }}}\,{{(\Delta {{I}_{5}})}_{i}}}{{{I}_{5}}th}\) （6-12）
式中\(\underset{1}{\overset{n}{\mathop{\Sigma }}}\,{{(\Delta {{I}_{5}})}_{i}}\)—由某一原因（或摩擦、或流动不平行性、或激波）引起的推力损失的总和。
喷管总损失系数ηF是喷管出口截面的实际总冲量与理想喷管（无上述各项损失）总冲量之比。通过简单的换算可得：
\({{\eta }_{F}}=\underset{1}{\overset{n}{\mathop{\Sigma }}}\,(1-\frac{\Delta {{I}_{5}}_{i}}{{{I}_{5}}th})-(n-1)\)
式中 n——考虑损失的种类数目，现在n=3，因此
\({{\eta }_{F}}={{\eta }_{bl}}+{{\eta }_{div}}+{{\eta }_{sw}}-2\)
如果每一种损失不超过2~4%，则总的损失就很少超过5-6%。等式（6-11）可用下式计算，在实用上仍足够准确。
\({{\eta }_{F}}={{\eta }_{bl}}\cdot {{\eta }_{div}}\cdot {{\eta }_{sw}}\) （6-13）
除了采用上述冲量损失系数以外，还可以用其他系数说明喷管损失。其中最常用的有速度恢复系数∅P和总压恢复系数σP。在这一元流的情况下，它们之间有如下关系
\({{\varphi }_{P}}=\frac{{{V}_{5}}}{{{V}_{5}}_{th}}\) （6-14）
\({{\sigma }_{P}}=\frac{P_{5}^{*}}{P{{_{5}^{*}}_{th}}}=\frac{P_{5}^{*}}{P_{4}^{*}}\) （6-15）
根据（6-3）式，可以得到：
\({{\eta }_{F}}=\frac{Z({{\varphi }_{P}}{{\lambda }_{5}}_{th})}{Z({{\lambda }_{5}}_{th})}\) （6-16）
根据喷管出口截面速度与压力比的关系，可以得到：
\(\varphi _{P}^{2}=\frac{1-{{(\frac{{{P}_{5}}}{P_{4}^{*}{{\sigma }_{P}}})}^{\frac{{{k}_{r}}-1}{{{k}_{r}}}}}}{1-{{(\frac{{{P}_{5}}}{P_{4}^{*}})}^{\frac{{{k}_{r}}-1}{{{k}_{r}}}}}}\) （6-17）
或者 \(\frac{1}{{{\sigma }_{P}}}=(\frac{P_{4}^{*}}{{{P}_{5}}}){{\left\{ 1-\varphi _{P}^{2}{{\left[ 1-(\frac{{{P}_{5}}}{P_{4}^{*}}) \right]}^{\frac{{{k}_{r}}-1}{{{k}_{r}}}}} \right\}}^{\frac{{{k}_{r}}}{{{k}_{r}}-1}}}\) （6-18）
或者 \({{\sigma }_{P}}=\frac{P_{5}^{*}}{P_{4}^{*}}=\frac{P_{5}^{*}}{P{{_{5}^{*}}_{th}}}=\frac{P_{5}^{*}/{{P}_{5}}}{P{{_{5}^{*}}_{th}}/{{P}_{5}}}={{\left[ \frac{1-\frac{{{k}_{r}}-1}{{{k}_{r}}+1}\lambda {{_{5}^{2}}_{th}}}{1-\frac{{{k}_{r}}-1}{{{k}_{r}}+1}\lambda {{_{5}^{2}}_{th}}\cdot \varphi _{P}^{2}} \right]}^{\frac{kr}{kr-1}}}\) （6-18）
系数∅P和σP之间的关系，还可以用下图表示。
图6-7 尾喷管总压损失系数∅P与\(\frac{P_{4}^{*}}{{{P}_{5}}}\)及σP的关系
由图可见，σP取决于系数∅P及喷管内的压力降，并且它与压力降的关系非常大。所以用σP来估计喷管的损失是不方便的，但是用它计算4截面的气流参数却有方便之处。
尾喷管的型面和形状（角度）对尾喷管损失有重大影响。前面已经分析了喷管进口部分的型面对进口损失的影响，现在分析一下喷管扩张角2α对喷管损失的影响。当减小2α角时，气流不平行损失减小了，但是当面积比\(\frac{{{A}_{5}}}{{{A}_{t}}}\)一定时，喷管长度增加了，摩擦损失增加。显然，对于无激波喷管存在一个最佳扩张角，在这角度下，总的损失最小。在图6-8中给出了喷管损失系数\({{\eta }_{bl}}\)和\({{\eta }_{div}}\)的乘积随扩张角2α的变化关系。由图可见，当\({{A}_{5}}/{{A}_{t}}=6-7\)时，锥形喷管的最佳张角\(2\alpha =20{}^\circ -25{}^\circ \)，在此角度下，若无激波损失，可得到最大的尾喷管损失系数\({{\eta }_{F}}=0.96-0.97\)，合理设计的曲线型面喷管（无激波损失），具有较高的\({{\eta }_{F}}\)值，可达\({{\eta }_{F}}=0.97-0.98\)，相当的\({{\varphi }_{P}}=0.96\tilde{\ }0.97\)。从图中也可以看出，长度短的曲线型面喷管在气动性能方面稍优于锥形喷管（不考虑两相流动效应）。在超音喷管的收敛段和亚音喷管中，总压损失系数大约为\({{\sigma }_{P{}_{1}}}=0.98-0.99\)。
图6-8 喷管扩张角2α对喷管损失的影响
6.2.4 最大推力条件与喷管工况
合理的设计，一方面应合理选择喷管的形状（如收敛角、扩张角、转接圆弧半径等）和合理的型面设计，使喷管中的损失减小到最低限度；另一方面也要合理地选择面积比，使喷管处于或接近于能产生最大推力的工况下进行工作。
我们首先分析理想喷管的最大推力条件。气流在超音速扩张段中的流动，由于是超音速气流，从一元流的观点来看，各截面的气流参数都取决于面积比A/At。
（a）完全膨胀工况 （b）欠膨胀工况且 （c）过度膨胀工况
图6－9 喷管工作的典型三种工况
当面积比选择恰当，使出口截面P5=PH，这时称为完全膨胀工况，如图6-9（a）所示。
当面积比选择过小，使P5＞，这时称为欠膨胀工况。因为P5＞PH，若喷管进一步延长到C点，气体还可以进一步膨胀使出口截面压力等于PH。分析假想的喷管延长段内外壁的气流压力分布，可以看出在BC段壁面上还可以得到一部分推力，但在欠膨胀情况下这部分推力欲损失了。因此欠膨胀工况下产生的推力比完全膨胀工况时为小。
当面积比A5/At选择过大，使P5＜PH，这时称为过度膨胀工况。在此工况下，在喷管壁上总可以找到一个截面例如 D截面，在此截面上气流的压力等于PH，如图6-9（c）所示。分析DB壁内外表面上的压力，可以知道DB段外壁上作用的大气压力大于内壁的气流压力。因而在 DB段上产生阻力。因此过度膨胀工况下产生的推力也比完全膨胀工况时为小。
从以上简单的分析可以看出，在完全膨胀工况下推力最大。利用函数的极值条件，从数学上也可以分析出，当P5=PH，喷管的出口富裕冲量最大，推力也达到最大值。
但是在实际喷管中总是有损失的。显然喷管损失也与喷管的工况有关。当P5=PH时，喷管损失并不是最小。由于喷管存在损失，使得最大推力工况与条件P5=PH不相对应了。图6-10给出了喷管工况对实际喷管出口富裕冲量的影响。由图可见，获得最大富裕冲量（即最大推力的工况）是欠膨胀工况 。
图6-10 喷管工况对实际喷管出口富裕冲量的影响
应该强调指出，在喷管设计过程中，喷管工况的选择是由各方面因素决定的。喷管的气动性能仅是其中一方面的因素。此外还应该使喷管具有最小的质量和最小的迎风面积（即喷管出口面积），把这些因素综合起来考虑，显然采用欠膨胀工况是有利的。
一般可以选取P5=(1.1~1.2)PH
还应当注意到，固体火箭冲压发动机尾喷管的工况随着飞行M数和飞行高度的变化而变化。例如对高M数飞行合适的喷管在低M数飞行时会产生过度膨胀。因此在选择喷管的设计高度和飞行M数时应当考虑到发动机的工作范围，应能满足发动机主要工作状态下的综合性能，同时尽可能照顾其他工作状态时的性能。
6.3 尾喷管的流量特性
所谓尾喷管的通过能力是指流过尾喷管的燃气流量多少。整个组合发动机的燃气流量为喷管的临界截面所限制。
当喷管的最小截面达到音速之后，通过喷管的气体流量达到最大值，这正是组合发动机超音速喷管的一般工作状况。这时流过喷管的燃气流量由下式计算：
\(\dot{m}={{(\frac{2}{k+1})}^{\frac{k+1}{2(k-1)}}}\sqrt{\frac{k}{R}}\frac{P_{4}^{*}{{A}_{t}}}{\sqrt{T_{4}^{*}}}\)
令 \({{(\frac{2}{k+1})}^{\frac{k+1}{2(k-1)}}}\sqrt{\frac{k}{R}}=m\)
则 \(\dot{m}=m\frac{P_{4}^{*}{{A}_{t}}}{\sqrt{T_{4}^{*}}}=\frac{P_{4}^{*}{{A}_{t}}}{{{C}^{*}}}\) （6-20）
上式是对于理想喷管而言的，对于实际喷管要考虑到喷管截面到临界截面之间的损失，以及临界截面上气流流管的收缩等现象，实际喷管的流量为：
\(\dot{m}=m\frac{P_{4}^{*}{{A}_{t}}}{\sqrt{T_{4}^{*}}}\cdot {{\sigma }_{{{P}_{1}}}}\cdot \mu \) （6-21）
式中：\({{\sigma }_{{{P}_{1}}}}\)——喷管亚音段的总压损失系数。σP可取0.97-0.99
μ——气流收缩系数，或称喷管流量系数。
从（6-21）式可以看到影响喷管最大流量的诸因素：喷管的通过能力与At、\(P_{4}^{*}\)成正比，与\(\sqrt{T_{4}^{*}}\)成反比。也就是说喷管的通过能力既取决于临界截面的大小，而且也取决于上游气流参数（\(P_{4}^{*}\)、\(T_{4}^{*}\)）的大小。因此我们可以想象到，喷管通过能力的变化会直接影响进气道的空气流量，改变进气道的工况，进而影响补燃室的余气余数α以及4截面的气流参数；反过来，4截面的气流参数又影响喷管的通过能力。
喷管亚音段的型面，对临界截面气流参数的均匀性有很大影响。临界截面的气流速度如很不均匀除了使超音段的工作变坏以外（产生激波损失，前面已经分析过），还会使喷管的流量系数减小。如果亚音段型面按照公式（6-22）成型，气流在临界截面有很高的均匀性和很大的μ值，μ=0.99-1.0。
\({{r}_{x}}=\frac{{{R}_{t}}}{\sqrt{1-\left[ 1-{{(\frac{{{R}_{t}}}{{{r}_{O}}})}^{2}} \right]\frac{{{(1-\frac{{{x}^{2}}}{{{\ell }^{2}}})}^{2}}}{{{(1+\frac{{{x}^{2}}}{3{{\ell }^{2}}})}^{3}}}}}\) （6-22）
锥形喷管的μ值小一些，在图6-12中给出了亚音速锥形喷管的μ值与收敛角的关系（火箭——冲压发动机中不采用亚音速锥形喷管）。超音速锥形喷管的μ值比亚音速喷管的要大，因为超音速喷管在临界截面处一般总是有转接圆弧存在，并且临界截面后气流还继续膨胀。
图6-11 喷管的收敛段 图6-12 亚音速锥形喷管的μ值与收敛角2β的关系
图6-13 系数m和指数k及气流常数R的关系
气体的物性参数R及k对喷管流量也有关系。表现在对系数m的影响上，如图6－13所示。
6．4 两相流动效应
为了提高推进剂的热值，在固体火箭冲压组合发动机的贫氧推进剂中加入了相当数量的金属燃烧剂，例如铝、镁、铍、硼等物质。这些物质燃烧后形成的氧化物，在喷管的温度和压力条件下往往以凝聚相（液态或固态）出现。这样，在喷管中流动的燃烧物已不再是单独的气相物质，而是气相与凝聚相混合在一起的混合物。这种物质流中既含有气相物质，又含有凝聚相物质，故称为二相流，有时又称为气体——微粒流。
目前，关于两相流动的研究还很不充分，无论在理论上还是在实验方面积累的资料都很少，是一门正在发展着的新的学科，因此对于二相流动的计算还很不成熟。对于组合发动机喷管中的两相流动效应，我们也只能粗略地加以讨论。
6.4.1 两相流动效应的一般概念
在喷管内流动的燃气中夹带着凝聚相微粒时，以发动机的性能和喷管流动将产生如下影响：
（1）凝聚相微粒不是气体，在喷管流动过程中不能膨胀作功：喷管的主要作用是进行膨胀过程，将热能转变为功能。由于凝聚相微粒本身不能膨胀作功，因此燃气中凝聚相微粒的存在使得喷管中热能转变为动能的过程变坏。这是一种损失，这些凝聚相微粒所携带的热能只能通过加热气相物质，使其热能间接地转变为动能。
（2）温度滞后现象：喷管内流动的气相物质，由于膨胀过程温度不断下降；而凝聚相物质只有在与气相物质有温差的条件下才能将热量传递给气相物质。因此，在流动过程中凝聚相微粒的温度将比气相物质为高。同时喷管内流动速度相当大，在二相混合物质流出喷管以前，凝聚相与气相之间来不及达到平衡，凝聚相物质的温度将高于气相物质的温度。这种现象称为温度滞后现象。温度滞后现象对喷管流动带来了影响，因为在从喷口喷出的物质中，凝聚相带走了更多的热能（它没有转变为动能），从热能转变为动能的膨胀过程来看，这也是一种损失。
（3）速度滞后现象：气相物质在喷管内一面膨胀，一面加速。气相物质中悬浮着的、凝聚相物质其速度如何变化呢？显然在气相物质膨胀加速的推动下，其速度也会加快。凝聚相微粒的速度之所以会加快，正是由于气相物质的速度大于凝聚相物质的速度，使凝聚相微粒承受了使之加速的气动力。并且凝聚相物质的惯性相对大一些，加速也慢一些，在喷管内流动的条件下，气相物质和凝聚相微粒的流动速度来不及达到平衡，存在着所谓速度滞后现象。喷管出口截面上凝聚相微粒速度小于气相的速度，使得喷管出口的总冲量下降，使发动机的比冲减小，这也是一种损失。
因此，燃气中夹带有凝聚相微粒的流动，与相同的进口温度下纯气相的流动比较，喷管的总冲量将减小、发动机的比冲将下降。既然如此，为什么在推进剂中还要加入金属燃烧剂呢？因为加入金属燃烧剂以后可以大大提高燃烧室温度，从而增大比冲。由此可见，在推进剂中加入金属燃烧剂以后将产生二种效果：一是提高燃烧温度，因而提高比冲，二是喷管流动中存在着二相流动效应，降低比冲。这二种效果究竟得多于失，还是得不偿失，需要进行具体的数量分析。
全面地估算两相流动效应是相当复杂的，特别是估算温度滞后、速度滞后对喷管流动的影响比较复杂。因此我们首先分析无温度滞后、无速度滞后条件下，喷管内的二相流动。
6.4.2 喷管内二相平衡流动
为了使问题简化，忽略速度滞后、温度滞后对喷管流动的影响，只考虑凝聚相微粒不能膨胀作功对喷管流动的影响。同时认为流动是一维定常流，气相物质比热容为常数，忽略流动过程中的相变，忽略凝聚相微粒的布朗运动对压力的影响。
首先我们研究二相流体的热力性质：
二相流体就是气相和凝聚相二种物质的混合物。经过任一截面二相流体的总流量中一部分是凝聚相物质，另一部分是气相物质。
混合物的质量流量用\({{\dot{m}}_{mx}}\)表示。对于固体火箭冲压发动机来说，
\({{\dot{m}}_{mx}}={{\dot{m}}_{r}}(1+\alpha {{L}_{O}})\)
凝聚相物质的质量流量用\({{\dot{m}}_{l}}\)表示，也就是金属氧化物的质量流量。气相物质的质量流量用\({{\dot{m}}_{g}}\)表示。
我们令ε代表凝聚相物质流量与混合物流量之比，即
\(\varepsilon =\frac{{{{\dot{m}}}_{l}}}{\dot{m}{}_{mx}}\) （6-23）
并称ε为质量比。其实质量比ε也就是单位质量混合物中夹带的凝聚相物质的数量。由连续方程可以知道，在任意截面上ε都是常数。对于固体火箭冲压发动机的ε值，可以根据混燃室的热力计算，即混燃室出口截面上的燃气成份进行计算。
根据混合物热力学性质的理论，二相流体的比热容\({{\bar{C}}_{P}}{{\bar{C}}_{V}}\)为：
\({{\bar{C}}_{p}}=(1-\varepsilon ){{C}_{pg}}+\varepsilon {{C}_{l}}\) （6-24）
\({{\bar{C}}_{v}}=(1-\varepsilon ){{C}_{vg}}+\varepsilon {{C}_{l}}\) （6-25）
式中注脚g代表气相，l代表凝聚相。
二相流体的比热容
比\(\bar{k}\)为：
\(\bar{k}=\frac{{{{\bar{C}}}_{P}}}{{{{\bar{C}}}_{V}}}=\frac{(1-\varepsilon ){{C}_{pg}}+\varepsilon {{C}_{l}}}{(1-\varepsilon ){{C}_{vg}}+\varepsilon {{C}_{l}}}\) （6-26）
二相流体的“气体常数”为：
\(\bar{R}={{\bar{C}}_{p}}-{{\bar{C}}_{v}}=(1-\varepsilon )({{C}_{pg}}-{{C}_{vg}})=(1-\varepsilon ){{R}_{g}}\) （6-27）
二相流动的基本方程组推导如下：
（1）质量守恒方程：
\({{\rho }_{g}}{{v}_{g}}A(1-\varepsilon ){{\dot{m}}_{mx}}\) （6-28）
因为无速度滞后，气相物质的流速就是二相流体的流速，即：
\({{V}_{g}}=\bar{V}\)
此外，就容积流量来说，下式成立：
\(\frac{{{{\dot{m}}}_{mx}}}{{\bar{\rho }}}=\frac{{{{\dot{m}}}_{g}}}{{{\rho }_{g}}}+\frac{{{{\dot{m}}}_{l}}}{{{\rho }_{l}}}\)
\(\frac{1}{{\bar{\rho }}}=(1-\varepsilon )\frac{1}{{{\rho }_{g}}}+\varepsilon \frac{1}{{{\rho }_{l}}}\)
\((1-\varepsilon )\frac{{\bar{\rho }}}{{{\rho }_{g}}}\left[ 1+\frac{\varepsilon }{1-\varepsilon }\frac{{{\rho }_{g}}}{{{\rho }_{l}}} \right]=1\)
由于凝聚相物质的密度\({{\rho }_{l}}\)大大地大于气相物质的密度\({{\rho }_{g}}\)，比值\(\frac{{{\rho }_{g}}}{{{\rho }_{l}}}\)的数量级约为10-3左右，\(\frac{\varepsilon }{1-\varepsilon }\)的数量级与1相同。因此上式可以简化为：
\(\bar{\rho }=\frac{{{\rho }_{g}}}{1-\varepsilon }\) （6-29）
代入（6-28）式，得：
\((1-\varepsilon )\bar{\rho }\bar{V}A=(1-\varepsilon ){{\dot{m}}_{mx}}\)
即\(\bar{\rho }\bar{V}A={{\dot{m}}_{mx}}\) （6-30）
（2）动量守恒方程：在不计摩擦的条件下：
图6-14 微元流路图
\({{\dot{m}}_{g}}d{{V}_{g}}+{{\dot{m}}_{l}}d{{V}_{l}}=-AdP\)
因为不计微粒布朗运动的影响，故p既是气相物质的压力，也就是二相流体的压力。则 \({{\dot{m}}_{mx}}d\bar{V}=Ad\bar{p}\)
将（6-30）式代入：
\(d(\frac{{{{\bar{V}}}^{2}}}{2})+\frac{d\bar{p}}{{\bar{\rho }}}=0\) （6-31）
（3）能量守恒方程：在绝热条件下，并且流体与外界无机械功交换。在此情况下，任意截面上流体的总焓为常数，也即流体的内能、动能和流动功之和为常数。对于纯气相物质来说：
\(\rho AV(u+\frac{1}{2}{{V}^{2}})+ApV=const\)
对于二相流体来说，也应该符合这种关系。但是气相和凝聚相二种物质应分别进行计算。这里对于凝聚相物质流动功的概念应补充加以说明。
从物理意义上看，流动功（ApV）就是该截面上单位时间内压力作的功（Ap）·（V）；流动功也等于截面上的压强p与通过该截面容积流量的乘积。即
ApV=（Ap）·V=p（AV）
这个概念有利于得到二相流体的推动功。对于二相流体来说，单位时间流过截面的总容积中有气相占有的容积，也有凝聚相占有的容积。
气相物质的容积比为：
\(\frac{{{{\dot{m}}}_{g}}/{{\rho }_{g}}}{{{{\dot{m}}}_{mx}}/\bar{\rho }}=\frac{{{{\dot{m}}}_{g}}}{{{{\dot{m}}}_{mx}}}\cdot \frac{{\bar{\rho }}}{{{\rho }_{g}}}=(1-\varepsilon )\frac{{\bar{\rho }}}{{{\rho }_{g}}}\)
凝聚相物质的容积比为：
\(\frac{{{{\dot{m}}}_{l}}/{{\rho }_{n}}}{{{{\dot{m}}}_{mx}}/\bar{\rho }}=\frac{{{{\dot{m}}}_{l}}}{{{{\dot{m}}}_{mx}}}\frac{{\bar{\rho }}}{{{\rho }_{l}}}=\varepsilon \frac{{\bar{\rho }}}{{{\rho }_{l}}}\)
因此流过某截面二相流体的流动功为：
\(A\bar{p}{{V}_{g}}\cdot (1-\varepsilon )=\frac{{\bar{\rho }}}{{{\rho }_{g}}}+A\bar{p}{{V}_{l}}\cdot \varepsilon \frac{{\bar{\rho }}}{{{\rho }_{l}}}\)
二相流体的能量方程就可以写成：
\({{\dot{m}}_{g}}({{u}_{g}}+\frac{1}{2}{{V}^{2}}_{g})+{{\dot{m}}_{l}}({{u}_{l}}+\frac{1}{2}{{V}^{2}}_{l})+A\bar{p}{{V}_{g}}\left[ (1-\varepsilon )\frac{{\bar{\rho }}}{{{\rho }_{g}}}+AP{{V}_{l}}\varepsilon \frac{{\bar{\rho }}}{{{\rho }_{l}}} \right]\)=常数
在无滞后条件下：\({{T}_{g}}={{T}_{l}}=\bar{T}V{}_{g}={{V}_{l}}=\bar{V}\)
\((1-\varepsilon )({{c}_{Vg}}\bar{T}+\frac{1}{2}{{\bar{V}}^{2}})+\varepsilon ({{C}_{l}}\bar{T}+\frac{1}{2}{{\bar{V}}^{2}})+A\bar{p}\bar{V}\left[ (1-\varepsilon )\frac{{\bar{\rho }}}{{{\rho }_{l}}}+\varepsilon \frac{{\bar{\rho }}}{{{\rho }_{l}}} \right]=i\)
因为\(\frac{\rho }{{{\rho }_{l}}}\)的数量级也是10-3左右，所以方括号中\(\varepsilon \frac{\rho }{{{\rho }_{l}}}\)可以略去。同时将（6-25）、（6-29）式代入，得
\(\bar{c}{}_{V}\bar{T}+\frac{1}{2}{{\bar{V}}^{2}}+A\bar{p}\bar{V}={{\bar{c}}_{P}}{{\bar{T}}^{*}}\) （6-32）
（4）状态方程：二相流体不是完全气体，无状态方程可信。但是对于气相物质可以写出它的状态方程：
\(\bar{p}={{\rho }_{g}}{{R}_{g}}\bar{T}\)
把（6-29）代入，得 \(\bar{p}=(1-\varepsilon )\bar{\rho }{{R}_{g}}\bar{T}\)
再利用（6-27）式，则得
\(\bar{p}=\bar{\rho }\bar{R}\bar{T}\) （6-33）
分析已经得到的无滞后二相流动的方程组（6-30）、（6-31）、（6-32）、（6-33），可以发现：这组方程与纯气体的一维流基本方程组完全相同，不过方程组中的参数cv、cp、k、R用（6-24）-（6-27）计算出来的\({{\bar{c}}_{V}}\)、\({{\bar{c}}_{P}}\)、\(\bar{K}\)、\(\bar{R}\)代替而已。显然，加以适当的变化，一般纯气体的喷管流动的公式都可以利用，例如：
喷管出口截面排气速度\({{\overline{V}}_{5}}\)：
\({{\bar{V}}_{5}}=\sqrt{\frac{2\bar{k}}{\bar{k}-1}\bar{R}T_{4}^{*}\left[ 1-{{(\frac{{{p}_{5}}}{p_{4}^{*}})}^{\frac{\bar{k}-1}{{\bar{k}}}}} \right]}\) （6-34）
喷管临界截面的流动速度
\({{\bar{V}}_{t}}=\sqrt{\frac{2\bar{k}}{\bar{k}+1}\bar{R}T_{4}^{*}}\) （6-35）
流量公式：在理想情况下
\({{\dot{m}}_{mx}}=\bar{m}\frac{p_{4}^{*}{{A}_{t}}}{\sqrt{T_{4}^{*}}}\) （6-36）
式中 \(\bar{m}={{(\frac{2}{\bar{k}+1})}^{\frac{\bar{k}+1}{2(\bar{k}-1)}}}\sqrt{\frac{{\bar{k}}}{{\bar{R}}}}\)
在许多情况，流量公式也写成如下形式：
\({{\dot{m}}_{mx}}=\bar{\Gamma }\frac{P_{4}^{*}{{A}_{t}}}{\sqrt{\bar{R}T_{4}^{*}}}\) （6-37）
式中 \(\bar{\Gamma }=\sqrt{{\bar{k}}}{{(\frac{2}{\bar{k}+1})}^{\frac{\bar{k}+1}{2(\bar{k}-1)}}}\)
喷管临界截面面积：
\({{A}_{t}}=\frac{1}{m}\frac{{{{\dot{m}}}_{mx}}\sqrt{T_{4}^{*}}}{p_{4}^{*}}\) （6-38）
或者 \({{A}_{t}}=\frac{1}{{\bar{\Gamma }}}\frac{{{{\dot{m}}}_{mx}}\sqrt{\bar{R}T_{4}^{*}}}{p_{4}^{*}}\) （6-39）
二相流动喷管的面积比：
\(\frac{A}{{{A}_{t}}}=\sqrt{\frac{\bar{k}-1}{{\bar{k}}}}\bar{\Gamma }\cdot \frac{1}{{{(\frac{p}{p_{4}^{*}})}^{\frac{1}{{\bar{k}}}}}{{\left[ 1-{{(\frac{p}{p_{4}^{*}})}^{\frac{\bar{k}-1}{{\bar{k}}}}} \right]}^{\frac{1}{2}}}}\) （6-40）
由以上分析可以看出凝聚相微粒对流动的影响。显然\(\bar{k}\)＜（k是气相物质的比热容比），说明微粒的存在使流动接近于等温流动。
在\(p_{4}^{*}\)、\(T_{4}^{*}\)及p5相同条件下，二相流动与纯气体流动喷管出口速度可以比较如下：由（6-34），
\({{\bar{V}}_{5}}=\sqrt{\frac{2\bar{k}}{\bar{k}-1}(1-\varepsilon ){{R}_{g}}T_{4}^{*}\left[ 1-{{(\frac{{{p}_{5}}}{p_{4}^{*}})}^{\frac{\bar{k}-1}{{\bar{k}}}}} \right]}\cdot \frac{\sqrt{\frac{2k}{k-1}\left[ 1-{{(\frac{{{p}_{5}}}{p_{4}^{*}})}^{\frac{k-1}{k}}} \right]}}{\sqrt{\frac{2k}{k-1}\left[ 1-{{(\frac{{{p}_{5}}}{p_{4}^{*}})}^{\frac{k-1}{k}}} \right]}}\)
\(=\sqrt{1-\varepsilon }\cdot \frac{\sqrt{\frac{2\bar{k}}{\bar{k}-1}{{\left[ 1-(\frac{{{p}_{5}}}{p_{4}^{*}}) \right]}^{\frac{\bar{k}-1}{{\bar{k}}}}}}}{\sqrt{\frac{2k}{k-1}\left[ 1-{{(\frac{{{p}_{5}}}{p_{4}^{*}})}^{\frac{k-1}{k}}} \right]}}\cdot \sqrt{\frac{2k}{k-1}{{R}_{g}}T_{4}^{*}\left[ 1-{{(\frac{{{p}_{5}}}{p_{4}^{*}})}^{\frac{k-1}{k}}} \right]}\)
即 \({{\bar{V}}_{5}}=\sigma \cdot {{V}_{5}}\) （6-41）
式中 \(\sigma =\sqrt{1-\varepsilon }\frac{\sqrt{\frac{2\bar{k}}{\bar{k}-1}\left[ 1-{{(\frac{{{p}_{5}}}{p_{4}^{*}})}^{\frac{\bar{k}-1}{{\bar{k}}}}} \right]}}{\sqrt{\frac{2k}{k-1}\left[ 1-{{(\frac{{{p}_{5}}}{p_{4}^{*}})}^{\frac{k-1}{k}}} \right]}}\) （6-42）
系数σ是小于1的数，是两相效应对出口速度的修正系数。
二相效应使喷管出口速度下降，也使得发动机推力下降。在喷管为完全膨胀条件下
\(\frac{\Delta {{F}_{m}}}{{{F}_{m}}}=\frac{1-\sigma }{1-\frac{\alpha {{L}_{O}}}{1+\alpha {{L}_{O}}}\frac{{{V}_{H}}}{{{V}_{5}}}}\)
无滞后的二相流动的推力损失，显然只考虑了微粒不能膨胀作功所引起的损失。若微粒的尺寸很小，例如微粒直径在0.1-10微米之间，可以近似地认为气相物质与凝聚相微粒之间存在着速度平衡和热平衡，以上计算可以作为二相效应的第一次近似估算。
无滞后情况下对喷管流动的影响，也是二相流动效应的一种极限情况。我们也可以估算另一种极限情况，即速度滞后、速度滞后为极大值的情况。
6.4.3 喷管内速度滞后温度滞后为极大值时的二相流动
凝聚相微粒在流动过程中，它的温度与速度均保持不变，等于喷管入口处的数值。因为凝聚相物质的喷管出口截面的速度极小，发动机所产生的推力基本上由气相物质产生，因此
\({{F}_{m}}=(1-\varepsilon ){{\dot{m}}_{5}}{{V}_{5}}+({{p}_{5}}-{{p}_{H}}){{A}_{5}}-{{\dot{m}}_{K}}{{V}_{H}}\) （6-44）
如果用折合的二相流动排气速度\({{\bar{V}}_{4}}\)估算二相流动对推力的影响，则
\({{\bar{V}}_{5}}=(1-\varepsilon ){{V}_{5}}\) （6-45）
实际情况下滞后状况将在以上二种极限情况之间，这时对二相效应的估算极为繁琐，本书不再介绍。
6．4．4 两相效应对喷管型面设计的影响
两相流动的喷管，其型面如何合理设计是一个很重要的问题，可惜无论是理论分析或是实验研究都很不够，公开发表的资料很少。但是两相流动对喷管型面设计肯定会有影响的。为了引起大家思考，对喷管型面设计有如下一些看法，供大家参考。
因为凝聚相微粒的惯性较大，在喷管中流线方向变化剧烈的地方，凝聚相微粒有跨越流线与喷管壁面发生碰撞的现象。由于碰撞消耗了动能，使得喷管出口冲量减小，使得喷管性能变坏。因此设计两相流动的喷管时，应力图减少这种碰撞。对于喷管壁面的曲率大小和方向（引起流线方向变化）就有所要求。首先要求喷管壁面应避免有向着轴线的曲率，因为这种曲率方向正好使得凝聚相微粒碰撞在管壁上。其次也不希望壁面有很大的离开轴线的曲率，因为这样的曲率将使凝聚相微粒具有径向速度，使微粒在下游稍远的地方碰到壁面。所以一般说来，二相流动喷管的壁面其曲率应当很小，只有在接近出口截面处允许有离开轴线的稍大的曲率。从这个观点看来，按理想气体最佳原则设计的特型喷管并不是有利的，反而不如锥形喷管更适宜于二相流动。
在喷管设计时还应当注意到两相流动效应的另一方面，即夹带有凝聚相微粒的高速气流对管壁的冲刷和沉积，特别在喷管喉部最容易产生烧蚀现象，而且喉部尺寸又是影响全局的重要尺寸。在设计中为了解决喷管喉部的烧蚀问题，可以吸取固体火箭发动机喷管设计的经验。
这里应该指出，滞后损失以及沉积和冲刷现象，都与喷管收敛段的外形有关，问题还是尽量避免凝聚相微粒对壁面的碰撞。
对喷管中的流动过程进行计算时，是在平衡流动或冻结流动的前提进行的。关于这个问题在第四章中略有叙述，这里不再重复。
6.5 尾喷管的设计
6.5.1 喷管的计算
在设计喷管时，必须首先求出喷管的临界面积（临界截面直径）、出口面积（出口截面直径）以及出口冲量。这时喷管进口截面的气流参数是已知的，即燃气流量\(\dot{m}\)、以及\(p_{4}^{*}\)、\(T_{4}^{*}\)、R、k等都已知的。
由（6-21）式，可以求出临界面积
\({{A}_{t}}=\frac{{{C}^{*}}}{\mu {{\sigma }_{{{P}_{1}}}}}\frac{{\dot{m}}}{p_{4}^{*}}\) （6-46）
式中：C*为混合燃气的特征速度，或者，利用临界截面与截面之间的流量连续关系，若不考虑燃气的比热容比K的变化，得：
\({{A}_{t}}=\frac{q({{\lambda }_{4}})}{\mu {{\sigma }_{{{P}_{1}}}}}\cdot {{A}_{4}}\) （6-47）
喷管出口面积并不限制燃气的流量。有二种方法计算喷管出口面积及其气流参数。
第一种情况：合理地选定压力比\(\frac{{{p}_{5}}}{{{p}_{H}}}\)，即合理地选定喷管设计状态下的工况后，根据下式可以计算出选定的压力降
\(\frac{p_{4}^{*}}{{{p}_{5}}}=\frac{p_{4}^{*}}{{{p}_{H}}}\frac{{{p}_{H}}}{{{p}_{5}}}\) （6-48）
式中 pH——喷管的设计高度选定后，pH即为已知。喷管的设计高度取决于飞行器的工作范围。
\({{p}_{5}}/{{p}_{H}}\)——该值决定了设计状态下喷管的工况，一般取为1.1~1.2在理想喷管中\(p_{5}^{*}=p_{4}^{*}\)，因此
\({{\lambda }_{5}}_{th}=\sqrt{\frac{{{k}_{5}}+1}{{{k}_{5}}-1}\left[ 1-{{(\frac{{{p}_{5}}}{p_{4}^{*}})}^{\frac{{{k}_{5}}-1}{{{k}_{5}}}}} \right]}\) （6-49）
对于实际喷管，\(p_{5}^{*}={{\sigma }_{P}}\cdot p_{4}^{*}\)，因此
\({{\lambda }_{5}}=\sqrt{\frac{{{k}_{5}}+1}{{{k}_{5}}-1}\left[ 1-{{(\frac{{{p}_{5}}}{{{\sigma }_{P}}p_{4}^{*}})}^{\frac{{{k}_{5}}-1}{{{k}_{5}}}}} \right]}\) （6-50）
利用流量连续关系，不考虑燃气的比热容比k的变化，则
\({{A}_{5}}=\frac{q({{\lambda }_{4}})}{q({{\lambda }_{5}}){{\sigma }_{P}}}\cdot {{A}_{4}}\) （6-51）
\({{A}_{5}}=\frac{q({{\lambda }_{4}})}{q({{\lambda }_{5}}_{th})}\cdot {{A}_{4}}\) （6-52）
总压损失系数σP可以在选定速度损失系数∅p后由（6-18）或（6-19）式计算。或者直接选定σP的数值。
因此可以排出如下的计算链：
选\(\frac{{{p}_{5}}}{{{p}_{H}}}\to (6-48)\)式\(\frac{p_{4}^{*}}{{{p}_{5}}}\to (6-49)\)式\({{\lambda }_{5}}_{th}\to {{\lambda }_{5}}={{\varphi }_{P}}{{\lambda }_{5}}_{th}\)
∟选\({{\phi }_{P}},(6-18){{\sigma }_{P}}\to p_{5}^{*}={{\sigma }_{P}}p_{4}^{*}\)
∟\((6-51){{A}_{5}}\to {{d}_{5}}\)
验算\({{d}_{5}}/d{}_{t}\)，或\({{A}_{5}}/{{A}_{4}}\)是否在合理的范围之内，一般取\({{A}_{5}}/{{A}_{4}}\)=1.0～1.25。如果从结构上看，A5值不合理，则重新选取\({{p}_{5}}/{{p}_{H}}\)值，重新计算。
第二种情况：首先选定面积比\({{A}_{5}}/{{A}_{4}}\)，则可按下面的计算链进行计算：
选\(\frac{{{A}_{5}}}{{{A}_{4}}}\to (6-52)\)，\({{\lambda }_{5}}_{th}\to \)选\({{\phi }_{P}}\to (6-19),{{\sigma }_{P}}\to p_{5}^{*}={{\sigma }_{P}}\cdot p_{4}^{*}\)
∟\({{\lambda }_{5}}={{\phi }_{P}}{{\lambda }_{5}}_{th}\to \frac{{{p}_{5}}}{{{p}_{H}}}=\frac{p_{5}^{*}\cdot \pi ({{\lambda }_{5}})}{{{p}_{H}}}\)
验算\({{p}_{5}}/p{}_{H}\)值，若不在合理范围内，则重新选取\({{A}_{5}}/{{A}_{4}}\)，重新进行计算。
在求出\({{\lambda }_{5}}\)、\(p_{5}^{*}\)、p5、A5等值之后，喷管出口截面的总冲量和富裕冲量可用公式（6-5）、（6-9）求得。
以上计算没有考虑二相流动效应。
6.5.2 锥形喷管的设计
喷管的型面设计是喷管设计工作中的重要内容。从设计观点来看，将喷管型面分成三个组成部分：收敛段、临界段、扩张段。所谓锥形喷管就是指扩张段为截锥形的喷管。具有曲线型面扩散段的喷管称为特型喷管。
锥形喷管由于它构造简单，易于加工，并且性能也很好，因此在中小型发动机上得到广泛应用。
（1）收敛段：
这里主要介绍二种型式的收敛段。
双圆弧的喷管收敛段，如图6-15所示。它的型面一般由二段圆弧和一段直线组成（也可以没有直线段）。这种收敛有三个几何参数：
图6-15 双圆弧的喷管收敛段
进口圆弧半径Ra：圆弧Ra改善了喷管进口的流动情况。Ra太小容易在进口截面产生涡流损失，流线方向变化也较剧烈。Ra太大便收敛段长度增加。一般0＜Ra＜r4。
转接圆弧半径R：如前所述，这个半径对进口损失系数ηi影响甚大。在有些情况下进口损失往往占到尾喷管全部损失的一半。下图所列数据可供选择R时参考。（见图6-16）。
R值选择过大显然增长收敛段的长度，太小则降低进口损失系数ηi。一般可取1.4Rt＜R＜2Rt。
收敛角2β：β值不能选择太小，否则会使收敛段加长，喷管质量增大。β值也不宜过大，否则在喷管喉部产生收缩现象，使实际临界截面积减小，同时在临界截面附近产生涡流区，对流动带来不利因素。一般2β值在90°～120°范围内选取，这是一般的数据范围，有些发动机的2β不在此范围内。
图6-16 不同收敛段结构参数下的进口损失系数ηi
另一种收敛段的型面是按图6-17，公式（6-22）成型的。这种型面的优点是临界截面区速度场均匀（转接圆弧的曲率半径也大），但收敛段的型面形状较复杂。
图6－17 临界截面区的收缩现象
（2）临界段：
临界段即喷管喉部，临界直径是发动机关键性的尺寸之一。设计临界段最主要的任务是解决烧蚀问题。
固体火箭发动机为解决烧蚀问题已积累了许多经验。例如采用耐热材料作成喉衬镶于金属本体之中。
可以采用高熔点的钨、钼等单金属材料作为临界段（喉衬）的耐热材料。钼的熔点2620℃热传导系数相当高。然而机械加工较困难，但可以用粉末冶金的办法压制成环状材料，进行小量机械加工与喷管本体组合使用。钨的熔点为3410℃机加工也困难，但还可以加工成喉衬，或者用电弧喷涂在喷管内表面，以增强抗烧蚀能力。
非金属耐热材料主要有石墨及陶瓷类材料。石墨的熔点一般在3500℃以上。在工作过程中，它不是不烧蚀，而是以升华的方式以极慢的速度进行烧蚀。石墨的强度和硬度都比较差，通常只能做成喉衬镶于喷管本体之中。由于石墨喉衬的硬度较低，为了增强其抗烧蚀能力，有时在石墨喉衬表面进行渗氮或渗硅，在一定条件下具有明显效果。陶瓷类的材料如三氧化二铝、碳化硅、二氧化硅、氧化铬等，它们的熔点都在2000℃以上，在高温下
它们都能保持坚硬状态，但是性能脆、抗拉强度差、热传导系数低。
从型面设计上解决烧蚀问题，最通常的办法是将喷管喉部设计成一个短的圆柱段，如图6-18所示。在产生烧蚀时，从尖点A和B开始，逐渐扩大。在A和B点产生烧蚀时圆柱段的中间部分还继续保持喉部截面尺寸。当烧蚀范围扩大到整个圆柱段衬，发动机的工作已经结束，从而保证在整个工作过程中，喷管喉部的尺寸不变。这种办法对于短时间工作的发动机来讲是比较简便而有效的办法，对于长时间工作的发动机来说与耐热材料结合使用方能奏效。
图6－18 喷管喉部圆柱段
为了提高圆柱段抗烧蚀的能力，加大喉部型面的曲率半径，避免尖角，也有一定效果。因为尖角处相对受热面积较大，容易被烧蚀掉。增大喉部附近的曲率半径，减轻了烧蚀，可以相对地减短圆柱段（图6-18b）。
喷管喉部圆柱段的长度主要取决于发动机的工作时间，从2毫米到十几毫米范围内选取。
增加喉部壁面的光洁度，也有助于减轻烧蚀，因为表面粗糙，增长了燃气向壁面的传热速度和摩擦应力。
（3）扩张段：
对于锥形喷管来说主要是选定扩张角2α。一方面扩张角对喷管损失有影响，另一方面对喷管长度（喷管质量）有影响，如图6-19所示。
图中 
由图可见，随着2α的增大喷管质量不断下降，但是由10°增至20°范围内质量减轻很显著，随后质量减轻的程度减缓。一般2α角在20°～30°范围内选取，喷管损失较小，喷管质量也不大。
在构造设计时，应保持出口边缘的尖边，否则会影响出口截面面积。
图6－19 扩张角2α对喷管损失和质量的影响
决定锥形喷管型面的参数有：喉部半径Rt、喉部下游半径RtD、面积膨胀比𝛆A、出口膨胀半角αe，锥形喷管由于其较长的长度在大型高性能的发动机中很少采用。其型面参数采用下面公式确定：
出口内半径：\({{R}_{e}}={{R}_{t}}\sqrt{{{\varepsilon }_{A}}}\) （6－53）
扩散段长度：\({{L}_{e}}=\frac{{{R}_{e}}-\left( {{R}_{t}}+{{R}_{tD}}-{{R}_{tD}}\cos {{\alpha }_{e}} \right)}{tg{{\alpha }_{e}}}+{{R}_{tD}}\sin {{\alpha }_{e}}\) （6－54）
6.5.3 特型喷管的设计
（1） 三次多项式优化曲面
三次多项式的形式为： y = a + bx + cx2 + dx3 （6－55）
已知条件是（图6－20）：
am 扩散段初始膨胀半角
ae 出口膨胀半角
\(\overline{{{R}_{tD}}}\) =RtD/Rt 喉部下游过渡圆弧无因次半径；
𝛆A面积膨胀比，
经过优化的三次多项式曲面的曲线方程为：
\(\overline{y}=\frac{y}{{{R}_{t}}}=1+\overline{{{R}_{tD}}}\left( 1-\cos {{\alpha }_{e}} \right)+\text{tg}{{\alpha }_{e}}\overline{x}-\frac{\left( \text{tg}{{\alpha }_{e}}-tg{{\alpha }_{m}} \right){{\left( 2\text{tg}{{\alpha }_{e}}+\text{tg}{{\alpha }_{\text{m}}} \right)}^{2}}}{27{{\left[ \sqrt{{{\varepsilon }_{A}}}-1-\overline{{{R}_{t2}}}\left( 1-\cos {{\alpha }_{e}} \right) \right]}^{2}}}{{\left( \overline{x} \right)}^{3}}\)
(6－56)
\(\bar{x}=x/{{r}_{t}}\)
扩散段的最佳长度为：
\(L=\frac{3}{2\text{tg}{{\alpha }_{e}}+\text{tg}{{\alpha }_{m}}}\left( {{r}_{e}}-{{r}_{m}} \right)\) (6－57)
图6－20 三次多项式最优型面结构示意图
对于用户自行输入的型面难以保证在变参数设计过程中满足膨胀比、出口膨胀半角和出口膨胀半角的要求。
（2）指定的曲线
上面的优化的三次曲线设计的喷管最端，但是用户有时也可以采用其它方式给出喷管扩散段曲面，母线的方程可采用三次多项式形式(6-55)：
在曲线上选取一段me弧段作为型面母线，并使其满足在m点
\({{\left( \frac{dy}{dx} \right)}_{m}}=\text{tg}{{\alpha }_{\text{m}}}\) （6－58）
在e点满足膨胀比的要求，即：
\(\frac{{{R}_{e}}}{{{R}_{t}}}={{\varepsilon }_{A}}\) （6－59）
同时可以求出在该点的扩张半角\({{\alpha }_{e}}=t{{g}^{-1}}{{\left( \frac{dy}{dx} \right)}_{e}}\),用户需要给出多项式中的系数a,b,c,d和曲线的起点坐标(Xm，Ym)，出口坐标（Xe,Ye）可以根据满足面积膨胀比的要求求出。喷管扩散段总长为：
\({{L}_{e}}={{R}_{t\text{D}}}\sin {{\alpha }_{m}}+\left( {{X}_{e}}-{{X}_{m}} \right)\) （6－60）
（3）双圆弧扩散段
所谓双圆弧法就是喷管型面是由两个圆弧组成，第一个圆弧是喷管喉部下游过渡型面，半径是RtD,圆弧半径等于喉部直径，即：RtD=2Rt；第二圆弧是喷管扩张段型面，圆弧中心位置及圆弧半径R0的大小要使圆弧恰好与第一个圆弧相切于m点（图6－20）。
双圆弧法是基于点源流条件提出的，经验证明，只要最大初始膨胀角取得合适，流动不会产生激波，因为它的型面与精确型面比较吻合，不会引起显著的推力损失，单室双圆弧法求得的喷管型面会产生一部分欠膨胀损失与扩散损失，然而由于双圆弧型面喷管较短，摩擦损失较小，补偿了出口气流不均匀的损失,详细计算参见文献[7]。
事实上对于冲压喷管，由于喉径较大、膨胀比较小，采用特型喷管带来的好处不大，一般采用锥形的扩张段。
