第七章 固体火箭冲压发动机内弹道性能计算

7.1固体火箭冲压发动机内弹道计算的任务

内弹道计算是对发动机的设计点进行的一种定点计算。发动机的内外工作状态（H、M_H燃气发生器等）不同时，则内弹道计算的结果也就不同。

飞行高度H、马赫M_H、攻角α_g，决定迎面气流的参数及进气情况，这是发动机工作的外界条件。

发动机各部件的型式尺寸，燃气发生器的工作情况和燃料性质，气流的掺混及补燃质量，气流沿流路各段总压损失等决定了冲入发动机气流的增压、加热及膨胀程度。因此它们是发动机工作的内在因素。

内在因素与外界条件协调配合决定了发动机的有效推力，因而也决定了飞行器的飞行性能。在迎面气流动压q_H，发动机最大迎风面积A_max已定的情况下，要求推力系数C_F最大。

按指定H，根据飞行任务，配合方案及发动机型式，全面考虑来选择设计马赫M_d并配合发动机工作的内在因素，从而决定了发动机的设计状态，而这正是内弹道计算的根据。

在设计状态下，通过内弹道计算可求得气流通道各主要截面气流参数及相对尺寸，因而也就决定了发动机性能指标，推力系数C_F、比冲I_s的数值。

同一飞行任务，可以用不同的发动机型式方案，每种型式方案又可以选择不同的设计状态。这就需要反复进行多次内弹道计算才能决定究竟采用哪一种型式方案及设计状态能更好地满足飞行任务的要求。

归纳起来进行发动机内弹道计算的目的有以下几点：

1、根据迎面气流参数，顺流分段算出发动机各主要截面的气流参数：

P*、p、T*、T、λ、V

2、确定发动机内通道各主要截面的相对尺寸，即截面积比值（如图7-1所示）

\({{A}_{1}}/{{A}_{2}}{{A}_{2}}/{{A}_{4}}{{A}_{r}}/{{A}_{2}}{{A}_{4}}/{{A}_{t}}{{A}_{t}}/{{A}_{5}}\)

本文H－H为未扰来流气流的捕获截面，1－1为进气道入口截面，2－2为进气道出口截面，3－3为补燃室入口截面，4－4为补燃室出口截面和冲压喷管入口截面，5－5为喷管出口截面。

3、求出发动机在设计状态下的性能指标

C_F、I_s

4、根据在设计点M_d时飞行器要求的推力，即发动机应该发出的有效推力F_e并且确定了A_max=A₅，利用已算出的各载面比值就可以求出发动机各主要截面的面积：A₁、A₂、A_r、A₃、A₄、A_t、A₅并定出其直径尺寸：D₁、D₂、D_r、D₃、D₄、D_t、D₅。

图7－1轴对称头部进气（方案1）

图7－2 单独进气道侧旁进气（方案2）

内弹道计算只是确定了各载面的尺寸，至于发动机各部件的长度则由部件设计决定。当发动机的形状尺寸都确定后，便可以画出原始设计方案草图并进一步考虑具体的构造设计了。

图7－1、图7－2两种方案，在进气道出口部位以及阻力的计算上有所不同，其余的处理及计算方法大同小异。内弹道计算的任务，一方面是根据给定的结构计算在指工作条件下的推力和比冲，另一方面是根据推力和比冲的要求选定工作和设计状态，设计冲压发动机各个典型截面的尺寸。

7.2 固体火箭冲压发动机性能指标表示形式

7.2.1基本假设

由前节可知，内弹道计算的主要目的就是要求出发动机在设计点的性能指标。为了便于计算，需要将各主要性能指标的表示式作进一步的推导。

火箭—冲压发动机的任务在于推进飞行器，因此推力应是它的主要性能指标。由第二章知，设计状态下的名义推力F_m可写成：

\({{F}_{m}}={{C}_{F}}{{q}_{H}}{{A}_{\max }}\)                                             （7-1）

其中\({{q}_{H}}=\frac{1}{2}{{\rho }_{H}}V_{H}^{2}=\frac{1}{2}k\cdot {{P}_{H}}\cdot M_{H}^{2}=0.7{{P}_{H}}\cdot M_{H}^{2}\)是迎面气流动压，A_max是最大迎风面积。而发动机的有效推力F_e则可写成：

\({{F}_{e}}={{F}_{m}}-{{X}_{ad}}\)                                          （7-2）

其中X_ad是发动机的附力阻力，在飞行过程中，发动机发出的有效推力除克服飞行器阻力外，同时因战术要求，飞行器可能要作加速、爬高、转弯等飞行，这就要求发动机应有足够的富余推力。

因此飞行任务对发动机的基本要求是：

飞行器在等H，等M_H飞行时应有足够的有效推力。

飞行器作加速，爬高等飞行时应有足够的富余推力。

在发动机的设计计算中，采用如（7-1）式所示与推力相应的无因次量C_F，可使我们不必先考虑发动机的绝对尺寸，而又便于与阻力系数C_x进行比较，因此推力系数C_F就被作为发动机的一个主要性能指标。

在满足飞行任务要求，保证足够推力的情况下，设计者必须要考虑到发动机是否具有良好的效率。设计时希望发动机能发出最大推力而消耗燃料较少，质量较轻，因此比冲I_S也是发动机的重要性能指标，它反映了发动机的效率。

设计时除推力F是根据飞行任务给定外，C_F、I_s都要通过内弹道计算求定。

计算的基本假设有：

• 燃气发生器喷管具有临界截面（壅塞式），内部工作不受补燃室反压的影响；
• 超音速旁侧进气道出口有拐弯段（进气道分为：轴对称头部进气、有单独进气道的补燃室头部或侧旁进气）。气流在进气道和喷管中的流动是绝热的，总温为常值；
• 具有无单独引射室的圆筒形补燃室，其空气进口有面积突变；
• 进气道、燃气发生器喷管和冲压喷管面积均不可调，燃气发生器装药满足预定的燃气流量规律；
• 多数计算截面上，认为流动为一维流动(或准一维流动)，流动参数可用平均值代替(或用修正系数与平均值的积来代替)，自迎面流管至喷口射流间，同截面上的气流速度、压强、温度、密度相同。
• 燃气发生器热力参数和补燃室参数分别由燃气发生器和混合补燃室热力计算提供，不考虑气体混合时化学成分的变化，以及高温燃气的解离和复合；
• 喷管的流动中，燃气成分冻结不变，总温、比热比和气体常数均为定值，不考虑发动机喷口射流散热所引起的动量损失；不考虑二相流动效应；
• 暂不考虑前弹体对进气参数的影响，认为进气道前端的气流参数与弹体来流参数相同，攻角(或侧滑角)的影响由对计算出的推力值进行修正得到。

由于上述假设条件的简化，使计算情况与发动机的实际情况就有了差别，故计算所得的性能指标与实际性能指标也就会有所差异。但计算的结果可作为参考。

7.2.2基本性能参数

性能计算中的基本定义式有：

1)名义推力F_m的计算公式

根据动量定理，名义推力F_m为喷口（图7-1、图7－2中之5截面）出口射流与迎面（图7-1、图7－2中之H截面）气流的富裕冲量差。

\(F{}_{m}={{I}_{5ef}}-{{I}_{Hef}}=\left[ {{{\dot{m}}}_{5}}{{V}_{5}}+({{p}_{5}}-{{p}_{H}}){{A}_{5}} \right]-{{\dot{m}}_{H}}{{V}_{H}}\)

其中

\({{\dot{m}}_{5}}={{\dot{m}}_{H}}+{{\dot{m}}_{r}}={{\dot{m}}_{H}}(1+\frac{1}{\alpha {{L}_{O}}})=\beta {{\dot{m}}_{H}}\)                   （7-3）

\({{\dot{m}}_{5}}={{\dot{m}}_{mx}}\)

\({{\dot{m}}_{H}}={{\dot{m}}_{K}}={{\dot{m}}_{2}}\)

由基谢列夫冲量公式

\(I=\dot{m}V+pA=\frac{k+1}{k}\dot{m}{{a}_{cr}}Z(\lambda )\)

将（7-3）式和基谢列夫公式代入名义推力F_m公式内得：

\(F{}_{m}=\frac{{{k}_{5}}+1}{{{k}_{5}}}{{\dot{m}}_{5}}{{a}_{5cr}}Z({{\lambda }_{5}})-{{\dot{m}}_{H}}{{a}_{Hcr}}{{\lambda }_{H}}-{{p}_{H}}{{A}_{5}}\)

\(=\frac{{{{\dot{m}}}_{H}}}{2}{{a}_{Hcr}}{{\lambda }_{H}}\left[ \frac{{{k}_{5}}+1}{{{k}_{5}}}\frac{{{{\dot{m}}}_{5}}}{{{{\dot{m}}}_{H}}}\frac{{{a}_{5cr}}}{{{a}_{Hcr}}}\frac{Z({{\lambda }_{5}})}{{{\lambda }_{H}}}-2 \right]-{{p}_{H}}{{A}_{5}}\)

\(=\frac{1}{2}{{\rho }_{H}}V_{H}^{2}{{\phi }_{H}}{{A}_{1}}\left[ \frac{{{k}_{H}}+1}{{{k}_{H}}}{{x}_{br}}\beta \sqrt{{{\tau }_{br}}}\frac{Z({{\lambda }_{5}})}{{{\lambda }_{H}}}-2 \right]-{{p}_{H}}{{A}_{5}}\)

式中:\({{x}_{br}}=\sqrt{\frac{{{k}_{H}}}{{{k}_{H}}+1}\frac{{{k}_{5}}+1}{{{k}_{5}}}\frac{{{k}_{5}}}{{{K}_{H}}}}=\sqrt{\frac{{{k}_{H}}}{{{k}_{H}}+1}\frac{{{k}_{br}}+1}{{{k}_{br}}}\frac{{{k}_{br}}}{{{k}_{H}}}}\)

此处假定火箭—冲压组合发动机在4和5截面上的气体性质相同。

2)推力系数C_F（一般指有效推力系数）

\({{C}_{F}}={}^{{{F}_{e}}}/{}_{{{q}_{H}}\cdot {{A}_{\max }}}\)

其中F_e为有效推力，q_m为飞行动压头,A_max为导弹弹体参考截面积。

由第二章知，推力系数

C_F=推力/迎面气流动压×发动机最大截面积

\(=\frac{F}{\frac{1}{2}{{\rho }_{H}}V_{\text{H}}^{2}\cdot {{A}_{\max }}}=\frac{F}{{{k}_{H}}/2M_{H}^{2}{{p}_{H}}{{A}_{\max }}}\)

所以\({{C}_{Fm}}=\frac{{{F}_{m}}}{{{k}_{H}}/2M_{H}^{2}{{p}_{H}}{{A}_{m}}}\)

\(={{\varphi }_{H}}\frac{{{A}_{1}}}{{{A}_{m}}}\left[ \frac{{{k}_{H}}+1}{{{k}_{H}}}{{x}_{br}}\beta \sqrt{{{\tau }_{br}}}\frac{Z({{\lambda }_{5}})}{{{\lambda }_{H}}}-2 \right]-\frac{2}{{{k}_{H}}M_{H}^{2}}\)      (7－4)

对于方案1假定\({{A}_{\max }}={{A}_{5}}\)，（7－4）式即为常用的推力系数公式。从式中可以看出飞行马赫M_H流量系数∅_H补燃室加热比τ_br尾喷管出口射流速度系数λ₅等的影响，实质上就是反映出发动机内部及外部工作状态的改变对推力系数C_F的影响。

3)比冲I_S

\({{I}_{S}}={}^{{{F}_{m}}}/{}_{{{{\dot{m}}}_{r}}}\)                                           (7－5)

其中\({{\dot{m}}_{r}}\)为燃料的质量秒流量kg/s

比冲I_s的定义是：每秒钟消耗一千克燃料所产生的推力。因此其表示式为：

而F_m=C_Fmρ_HV_H²A_max

_{\({{\dot{m}}_{r}}={{V}_{H}}{{\Phi }_{H}}{{\rho }_{H}}{{A}_{1}}/\alpha {{L}_{o}}\)}

故               Is=\(\frac{\alpha {{L}_{0}}}{2}\frac{{{A}_{\max }}}{{{\Phi }_{H}}{{A}_{1}}}{{V}_{H}}{{C}_{Fm}}\)                                 （7-6）

由（7-6）式可知，如求得C_Fm，则可很容易地把I_s值计算出来。

比冲I_s也可以从总效率公式中引出，发动机总效率为：

\({{\eta }_{0}}=\frac{{{F}_{m}}{{V}_{H}}}{{{{\dot{m}}}_{r}}{{H}_{u}}}\)

故               I_s=\(\frac{F}{{{{\dot{m}}}_{r}}}=\frac{{{H}_{u}}}{A}\frac{{{\eta }_{0}}}{{{v}_{h}}}\)                                   （7-7）

由（7-7）式可见。当迎面流速V_H相同时，I_s值代表了发动机总效率的高低，即反映了发动机的效率。

4)空气／推进剂比N

\(N={}^{{{{\dot{m}}}_{K}}}/{}_{{{{\dot{m}}}_{r}}}\)                                                   (7－8)

式中\({{\dot{m}}_{K}}\)为进入混合补燃室的空气质量流量。

5)余气系数a                        

\(\alpha ={}^{{{{\dot{m}}}_{K}}}/{}_{{{{\dot{m}}}_{r}}\cdot {{L}_{O}}}\)                                                (7-9)

式中L₀为理论空气量（燃烧1kg燃料的）。

6)总压恢复系数𝝈_a-b

_{\({{\sigma }_{a-b}}={}^{p_{b}^{*}}/{}_{p_{a}^{*}}\)}                                                                                            (7-10)

式中a，b分别为通道上、下游假想截面。\(p_{a}^{*}\)，\(p_{_{b}}^{*}\)分别为对应截面的总压

7)加热比t

\(\tau =\frac{T_{4}^{*}}{T_{K}^{*}}\)                                                     (7-11)

其中T₄^*为补燃室出口燃气总温T_K^*为空气总温。

8)温度比q

\(\theta ={}^{T_{K}^{*}}/{}_{T_{r}^{*}}\)                                                   (7-12)

其中T_r^*为燃气发生器燃气总温。

9)燃气质量增加系数b

\(\beta ={}^{{{{\dot{m}}}_{4}}}/{}_{{{{\dot{m}}}_{K}}}=1+{}^{1}/{}_{N}\)                                           (7-13)

其中为补燃室出口燃气质量流量，当需要考虑包覆、隔热材料等的热分解产物的附加流量时，则

\(\beta =1+{}^{1}/{}_{N}+{}^{{{N}_{V}}}/{}_{N}…\)                                     (7-14)

式中，\({{N}_{v}}={{\dot{m}}_{V}}/{{\dot{m}}_{r}}\)。

10)进气道超临界裕度Ds

\(\Delta \sigma =1-{}^{{{\sigma }_{in}}}/{}_{{{\sigma }_{in,cr}}}\)                                         (7-15)

式中σ_in，σ_in,cr分别为进气道总压恢复系数和临界总压恢复系数。

7.3内弹道计算

7.3.1轴对称头部进气内弹道计算

7.3.1.1已知条件

1．设计状态：M_d H_d据此即可定出外界的其它参数，如p_H、T_H、λ_H、p_H*、T_H*，及一系列气动函数π（λ_H）、τ（_H）、τ（λ_H）、q（λ_H）等。

2.燃气发生器推进剂参数：Hu、Lo、P_r*、T_r*、R_r、c_Pr、k_r。其中p_r*取决于燃气发生器的设计，R_r、R_r、c_Pr则由推进剂燃气成分及温度参数确定。

3.进气道参数：σ_in、φ_H由所选用的进气道模型实验或进气道性能计算，就可知道进气道设计状态的σ_in、φ_H值。

4.要选择的参数：λ₂、p_r、α、η_br、σ_p1、σ_p2、σ_r。

5.气流热力参数：k₂、R₂、c_P2、k₄、R₄、c_P4

其中4截面气流热力参数k₄、R₄、c_P4要根据贫氧推进剂燃烧情况算出；2截面参数k₂、R₂、c_P2近似可用来流空气参数，可查空气热力性质表。

7.3.1.2计算步骤

（1）H—H截面

由M_d、H_d查表得p_H、T_H。查k=1.4的气动函数表得q（λ_H）、τ（λ_H）、π（λ_H）再根据公式可得：

\(T_{H}^{*}=\frac{{{T}_{H}}}{\tau ({{\lambda }_{H}})}\),\(p_{H}^{*}=\frac{{{p}_{H}}}{\pi ({{\lambda }_{H}})}\),\({{\text{V}}_{\text{H}}}={{\text{M}}_{\text{d}}}\bullet {{\text{a}}_{\text{H}}}\)                             (7-16)

其中a_H=\(\sqrt{kR{{T}_{H}}}\)可查表得出

（2）H—1—2各截面

由连续方程得：

\(\frac{p_{H}^{*}{{\phi }_{H}}{{A}_{1}}q({{\lambda }_{H}})}{\sqrt{T_{H}^{*}}}=\frac{p_{2}^{*}{{A}_{2}}q({{\lambda }_{2}})}{\sqrt{T_{2}^{*}}}\)

式中T_H*=T₂*、\(\frac{p_{2}^{*}}{p_{H}^{*}}={{\sigma }_{in}}\)

根据选定的λ₂查出q（λ₂），则由连续方程得出：

\(\frac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}=\frac{{{\sigma }_{in}}q({{\lambda }_{2}})}{q({{\lambda }_{H}}){{\varphi }_{H}}}\)                                                 （7-17）

将已知参数σ_in、φ_H、q（λ_H）、q（λ₂）代入（7-17）式：即可求得\(\frac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}\)。\(\frac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}\)与M_H的关系可绘成曲线如图7-3（1）所示，由图可见，M_H增大\(\frac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}\)也增大，一般当M_H＞3时\(\frac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}\)将大于1.0。

图7-3

由λ₂查得π（λ₂）、τ（λ₂），由此可得2截面的气体参数：

\({{p}_{2}}*=p_{H}^{*}{{\sigma }_{in}} \)

\({{p}_{2}}=p_{2}^{*}\pi ({{\lambda }_{2}}) \)

\({{T}_{2}}=T_{2}^{*}\tau ({{\lambda }_{2}}) \)

（3）r截面（燃气发生器出口截面）

令\({{p}_{r}}=\frac{{{p}_{r}}}{{{p}_{2}}}\){{p}_{2}}\)，其中\(\frac{{{p}_{r}}}{{{p}_{2}}}={{\overline{p}}_{r}}\)是选定的，一般\({{\overline{p}}_{r}}=0.5\tilde{\ }2.0\)范围内。

因为：\(\pi ({{\lambda }_{r}})=\frac{{{p}_{r}}}{p_{r}^{*}{{\sigma }_{r}}}\)

即可求出π（λ_r）

再由\(\pi ({{\lambda }_{r}})={{(1-\frac{{{k}_{r}}-1}{{{k}_{r}}+1}\lambda _{r}^{2})}^{\frac{{{k}_{r}}}{{{k}_{r}}-1}}}\)

求出λ_r，由λ_r即可求出q（λ_r）

\(q({{\lambda }_{r}})={{(\frac{{{k}_{r}}+1}{2})}^{\frac{1}{{{k}_{r}}-1}}}{{\lambda }_{r}}{{(1-\frac{{{k}_{r}}-1}{{{k}_{4}}+1}{{\lambda }^{2}}_{r})}^{\frac{1}{{{k}_{r}}-1}}}\)

然后由q（λ_r）求

\(f{{r}_{2}}=\frac{{{A}_{r}}}{{{A}_{2}}}=fr=\frac{{{m}_{2}}}{{{m}_{r}}}\frac{{{p}_{2}}*}{p_{r}^{*}{{\sigma }_{r}}}\frac{q({{\lambda }_{2}})}{q({{\lambda }_{r}})}\frac{1}{a{{L}_{o}}\sqrt{{{\theta }_{r}}}}\)                    （7－18）

其中\({{m}_{r}}=\sqrt{{{k}_{r}}(\frac{2}{{{k}_{r}}+1})\frac{{{k}_{r}}+1}{{{k}_{r}}-1}\frac{1}{{{R}_{r}}}},{{\theta }_{r}}=\frac{{{T}_{2}}*}{{{T}_{r}}*}=\frac{T_{K}^{*}}{T_{r}^{*}}=\frac{T_{H}^{*}}{T_{r}^{*}}\)

又因\(T_{r}^{*}\)为已知，故

\({{T}_{r}}=T_{r}^{*}\tau ({{\lambda }_{r}})\)

（4）2-(3)-4截面

由：\(\frac{{{{\dot{m}}}_{2}}}{{{{\dot{m}}}_{r}}}=N=a{{L}_{o}}\)

\( \frac{{{{\dot{m}}}_{4}}}{{{{\dot{m}}}_{2}}}=\frac{{{{\dot{m}}}_{2}}+{{{\dot{m}}}_{r}}}{{{{\dot{m}}}_{2}}}=1+\frac{1}{a{{L}_{o}}}=\beta \)

\(\tau =\frac{{{T}_{4}}*}{{{T}_{2}}*}=\frac{{{c}_{P2}}}{{{c}_{P4}}}[\frac{a{{L}_{o}}}{1+a{{L}_{o}}}+\frac{1}{1+a{{L}_{o}}}\frac{{{c}_{Pr}}}{{{c}_{p2}}}\frac{T_{r}^{*}}{T_{2}^{*}}+\frac{{{H}_{u}}}{1+a{{L}_{o}}}\frac{{{\eta }_{br}}}{{{c}_{P2}}{{T}_{2}}}] \)

（7-19）

得：T₄^*=T₂^*τ

公式（7-19）中之T₄^*受一定的限制，一般不允许超过3000℃。若T₄^*＞3000℃，发动机的材料强度将承受不了，燃气成份也将呈复合离解状态，造成推力降低，而且上述计算方法也不能采用了。若根据（7-19）式算出T₄*＞3000℃，则需修改参数重新计算。

因A_r+A₂=A₃=A₄，由（5-31）式和冲量方程

\({{X}_{4}}\beta \sqrt{{{\tau }_{4}}}Z({{\lambda }_{4}})={{x}_{r}}\beta \frac{1}{\sqrt{{{\theta }_{r}}}}\frac{Z({{\lambda }_{r}})}{(1+\alpha {{L}_{o}})}+Z({{\lambda }_{2}})\)

式中X₄即X_br、τ₄即τ_br、λ₄即λ_br

由此得

\(Z({{\lambda }_{4}})=\frac{{{x}_{r}}Z({{\lambda }_{r}})}{{{X}_{4}}(1+\alpha Lo)\sqrt{{{\tau }_{4}}{{\theta }_{r}}}}+\frac{Z({{\lambda }_{2}})}{{{X}_{4}}\beta \sqrt{{{\tau }_{4}}}}\)                              （7-20）

式中：

\( {{X}_{4}}=\sqrt{\frac{{{k}_{2}}}{{{k}_{2}}+1}\frac{{{k}_{4}}+1}{{{k}_{4}}}\frac{{{R}_{4}}}{{{R}_{2}}}}\)

\( {{X}_{r}}=\sqrt{\frac{{{k}_{r}}+1}{{{k}_{r}}}\frac{{{k}_{2}}}{k{}_{2}+1}\frac{{{R}_{r}}}{{{R}_{2}}}}\)

\( Z({{\lambda }_{r}})={{\lambda }_{r}}+\frac{1}{{{\lambda }_{r}}}\)

\( Z({{\lambda }_{2}})={{\lambda }_{2}}+\frac{1}{{{\lambda }_{2}}}\)

然后由Z（λ₄）=λ₄+\(\frac{1}{{{\lambda }_{4}}}\)查得λ₄值

如计算所得Z（λ₄）＜2.0，这是不合理的，须得返回重选参数，再行计算。可将λ₂选小一点或将α选大一些，以降低T₄*。也可以取Z（λ₄）=2.0，即λ₄=1.0，返回头求，重新计算A₂/A₁等值。

（5）4-（t）-5截面

因为

\(q({{\lambda }_{4}})={{(\frac{{{k}_{4}}+1}{2})}^{\frac{1}{{{k}_{4}}-1}}}{{\lambda }_{4}}{{(1-\frac{{{k}_{4}}-1}{{{k}_{4}}+1}\lambda _{4}^{2})}^{\frac{1}{{{k}_{4}}-1}}}\)

故可由λ₄求出q（λ₄），则

\(\frac{{{A}_{t}}}{{{A}_{4}}}=\frac{q({{\lambda }_{4}})}{{{\sigma }_{{{P}_{1}}}}}\)                                               （7-21）

同时

\(\frac{{{p}_{4}}*}{p_{2}^{*}}=\frac{a{{L}_{o}}+1}{a{{L}_{o}}}\frac{{{m}_{2}}}{{{m}_{4}}}\sqrt{{{\tau }_{4}}}\frac{q({{\lambda }_{2}})}{q({{\lambda }_{4}})}\frac{1}{1+f{{r}_{2}}}\)

则：\({{p}_{4}}*={{p}_{2}}*(\frac{{{p}_{4}}*}{{{p}_{2}}*})\)

\({{p}_{4}}={{p}_{4}}*\pi ({{\lambda }_{4}}) \)

\({{T}_{4}}={{T}_{4}}*\tau ({{\lambda }_{4}})\)

\( p_{t}^{*}=p_{4}^{*}{{\sigma }_{{{P}_{1}}}}\)

\({{p}_{t}}=p_{t}^{*}\cdot \pi {{({{\lambda }_{t}})}_{{{\lambda }_{t}}=1}} \)

\({{T}_{t}}=T_{t}^{*}\cdot \tau ({{\lambda }_{t}})\)

然后检查一下引射补燃段是否出现第二种临界状态。由第二种临界条件公式知：

\(q({{{\lambda }’}_{r}})=\frac{f{{r}_{2}}q({{\lambda }_{r}})}{(1+f{{r}_{2}})-q({{\lambda }_{2}}_{cr})}\)，

此时\({{{\lambda }’}_{2}}=1\)（5-35）,（5-35）式中之\({{{\lambda }’}_{r}}\)和\({{\lambda }_{2}}_{cr}\)是未知数。又根据第二临界工况之冲量方程：

\(Z({{\lambda }_{2cr}})+\frac{{{x}_{r}}}{a{{L}_{o}}\sqrt{{{\theta }_{r}}}}[Z({{\lambda }_{r}})-Z(\lambda _{r}^{‘})]=2\)                           （7-22）

将（5-35）与（7-22）联立求定

若求出之\({{\lambda }_{2}}_{cr}\)＞λ₂则不出现第二种临界工况，若\({{\lambda }_{2}}_{cr}\)≤λ₂，则必然出现第二种临界工况。此时必须重选λ₂进行计算将p_r取小一点，重新计算。

（6）4-5两截面

由\(\frac{{{A}_{t}}}{{{A}_{5}}}={{\sigma }_{{{P}_{2}}}}q({{\lambda }_{5}})\)

得\(\frac{{{A}_{5}}}{{{A}_{4}}}=\frac{{{A}_{t}}}{{{A}_{4}}}\cdot \frac{{{A}_{5}}}{{{A}_{t}}}=\frac{q({{\lambda }_{4}})}{{{\sigma }_{{{P}_{1}}}}}\frac{1}{{{\sigma }_{{{P}_{2}}}}q({{\lambda }_{5}})}\)                             （7-23）

计算时可用两种方法：

①给定面积比，选\(\frac{{{A}_{5}}}{{{A}_{4}}}=1.0\)或＞1.0。\(\frac{{{A}_{5}}}{{{A}_{4}}}\)取大一点，喷管膨胀比大一点，喷管质量和阻力都增加，冲量也增加，适用于巡航发动机。\(\frac{{{A}_{5}}}{{{A}_{4}}}\)选小一点，即喷管质量阻力都减小，但冲量损失增加，据估算SAM-6发动机取\(\frac{{{A}_{5}}}{{{A}_{4}}}\)=1.0。

②给定膨胀度，选\(\frac{{{p}_{5}}}{{{p}_{H}}}\)＞1.0，如1.5、2.0。

如用①的方法给定\(\frac{{{A}_{5}}}{{{A}_{4}}}\)，则由（7-23）式可得：

\(\frac{1}{q\left( {{\lambda }_{5}} \right)}=\frac{{{A}_{5}}}{{{A}_{4}}}\frac{{{\sigma }_{P1}}{{\sigma }_{P2}}}{q\left( {{\lambda }_{4}} \right)}\)

从而求出\({{\lambda }_{5}}\)

如用②的方法，给定\(\frac{{{p}_{5}}}{{{p}_{H}}}\)不完全膨胀度，即

\({{p}_{5}}={{p}_{H}}\frac{{{p}_{5}}}{{{p}_{H}}}\)

而\(p_{5}^{*}=p_{4}^{*}{{\sigma }_{{{P}_{1}}}}{{\sigma }_{{{P}_{2}}}}\)

故         \(\frac{{{p}_{5}}}{p_{5}^{*}}=\frac{{{p}_{5}}}{p_{4}^{*}{{\sigma }_{P}}_{1}{{\sigma }_{P}}_{2}}=\pi ({{\lambda }_{5}})\)

由π（λ₅）即可求定λ₅。于是

\({{T}_{5}}=T_{5}^{*}\tau ({{\lambda }_{5}}) \)

\(\frac{{{A}_{t}}}{{{A}_{5}}}={{\sigma }_{{{P}_{2}}}}q({{\lambda }_{5}}) \)

皆可求出，从而也可求出\(\frac{{{A}_{5}}}{{{A}_{4}}}\)的值

（7）求推力系数C_F值

由公式（7-4）

\({{C}_{F}}=\frac{{{\varphi }_{H}}{{A}_{1}}}{{{A}_{5}}}[\frac{{{k}_{H}}}{{{k}_{H}}+1}{{x}_{4}}\beta \sqrt{{{\tau }_{4}}}\frac{Z({{\lambda }_{5}})}{{{\lambda }_{H}}}-2]-\frac{2}{kM_{H}^{2}}\)

即可求出C_F一般A_max=A₅

（8）求比冲I_s

由公式（7-6）

Is=\(\frac{a{{L}_{o}}}{2}\frac{{{A}_{5}}}{{{\varphi }_{H}}{{A}_{1}}}\cdot {{V}_{H}}\cdot {{C}_{F}}\)

即可求出I_s式中V_H=M_{H\(\sqrt{kR{{T}_{H}}}\)}=M_H·a_H。

上面的计算表明，发动机内弹道计算只求出面积比，没求出面积的绝对值。面积绝对值必须根据发动机所需推力绝对值，或由导弹总体允许的最大值径值来确定。故确定绝对尺寸有两种方法：

①由所需推力绝对值求定绝对尺寸

因为

C_F=\(\frac{F}{\frac{1}{2}{{\rho }_{H}}V_{H}^{2}\cdot {{A}_{\max }}}\)

若A₅=A_max，则

\({{A}_{5}}=\frac{F}{\frac{1}{2}{{\rho }_{H}}V_{H}^{2}\cdot {{C}_{F}}}\)                                         （7-24）

②根据导弹总体要求，先选定值直径大小，然后求推力。此法求出推力，如不能满足要求，可另选尺寸，考虑多方面因素确定。

7.3.1.3内弹道计算程序

已知数据

H_d、M_d

可选定数据（可变数据）

λ₂、Hu、L_O、p_r、б_in、α、p_r*、T_r*、∅_H计算程序

（1）\({{x}_{r}}=\sqrt{\frac{{{k}_{r}}+1}{{{k}_{r}}}\frac{{{k}_{H}}}{{{k}_{H}}+1}\frac{{{R}_{r}}}{{{R}_{H}}}}\)

（2）\(\beta =\frac{\alpha L{}_{O}+1}{\alpha {{L}_{O}}}\)（α可选取L_O由燃料给定）

（3）\({{\theta }_{r}}=\frac{T_{H}^{*}}{T_{r}^{*}}\)T_r*由燃料给定或选取

（4）\(1/\sqrt{{{\theta }_{r}}}\)

（5）\({{x}_{r}}\beta /\sqrt{{{\theta }_{r}}}\)

（6）\((\frac{{{c}_{Pr}}}{{{c}_{P4}}}\cdot \frac{1}{{{\theta }_{r}}}+\alpha {{L}_{O}}\frac{{{c}_{PH}}}{{{c}_{P4}}})/(1+\alpha {{L}_{O}})\)

（7）\({{\eta }_{br}}{{Q}_{br}}/\left[ {{c}_{P4}}T_{H}^{*}(1+\alpha {{L}_{O}}) \right]\)

（8）\({{\tau }_{4}}=\)（6）+（7）

（9）\(T_{4}^{*}={{\tau }_{4}}T_{H}^{*}\)（T₄*≥3000℃时，重选参数计算）

（10）\(\sqrt{{{\tau }_{4}}}\)

（11）\({{x}_{4}}=\sqrt{\frac{{{k}_{4}}+1}{{{k}_{4}}}\frac{{{k}_{H}}}{{{k}_{H}}+1}\frac{{{R}_{4}}}{{{R}_{H}}}}\)

（12）\({{x}_{4}}\beta \sqrt{{{\tau }_{4}}}\)

（13）\(Z({{\lambda }_{2}})={{\lambda }_{2}}+\frac{1}{{{\lambda }_{2}}}\)(λ₂选定)

（14）\(Z({{\lambda }_{2}})/\left( {{x}_{4}}\beta \sqrt{{{\tau }_{4}}} \right)\)

（15）\(\pi ({{\lambda }_{2}})={{(1-\frac{{{k}_{H}}-1}{{{k}_{H}}+1}\lambda _{2}^{2})}^{\frac{{{k}_{H}}}{{{k}_{H}}+1}}}\)

（16）\(\pi ({{\lambda }_{r}})=\frac{p_{H}^{*}{{\sigma }_{in}}}{p_{r}^{*}}\pi ({{\lambda }_{2}})\frac{{{p}_{r}}}{{{p}_{2}}}\)（\(\bar{P}r\)选定）

（17）\({{\lambda }_{r}}\)（求定：由（16）式取对数计算\(\ln \pi ({{\lambda }_{r}})=\frac{{{k}_{r}}}{{{k}_{r}}-1}\ln (1-\frac{{{k}_{r}}-1}{{{k}_{r}}+1}\lambda _{r}^{2})\)）

（18）\(Z({{\lambda }_{r}})={{\lambda }_{r}}+\frac{1}{{{\lambda }_{r}}}\)

（19）\({{m}_{H}}=\sqrt{{{k}_{H}}{{(\frac{2}{{{k}_{H}}+1})}^{\frac{{{k}_{H}}+1}{{{k}_{H}}-1}}}\frac{1}{{{R}_{H}}}}\)

（20）\({{m}_{r}}=\sqrt{{{k}_{r}}{{(\frac{2}{{{k}_{r}}+1})}^{\frac{{{k}_{r}}+1}{{{k}_{r}}-1}}}\frac{1}{{{R}_{r}}}}\)

（21）\(q({{\lambda }_{2}})={{(\frac{{{k}_{H}}+1}{2})}^{\frac{1}{{{k}_{H}}-1}}}{{\lambda }_{2}}{{(1-\frac{{{k}_{H}}-1}{{{k}_{H}}+1}\lambda _{2}^{2})}^{\frac{1}{{{k}_{H}}-1}}}\)

（22）\(q({{\lambda }_{r}})={{(\frac{{{k}_{r}}+1}{2})}^{\frac{1}{kr-1}}}{{\lambda }_{r}}{{(1-\frac{{{k}_{r}}-1}{{{k}_{r}}+1}\lambda _{r}^{2})}^{\frac{1}{{{k}_{r}}-1}}}\)

（23）\({{f}_{{{r}_{2}}}}=\frac{{{m}_{H}}}{{{m}_{r}}}\frac{p_{H}^{*}}{p_{r}^{*}}\frac{{{\sigma }_{in}}}{{{\sigma }_{r}}}\frac{q({{\lambda }_{2}})}{q({{\lambda }_{r}})}\frac{1}{\alpha {{L}_{O}}\sqrt{{{\theta }_{r}}}}\)

（24）\(q({{\lambda }_{2}}_{cr})=(1+{{f}_{{{r}_{2}}}})-{{f}_{{{r}_{2}}}}\frac{q({{\lambda }_{r}})}{q({{{{\lambda }’}}_{r}})}\)

（25）\(Z({{\lambda }_{opt}})=2.0+\frac{{{x}_{r}}\sqrt{{{\tau }_{r}}}}{\alpha {{L}_{O}}}\left[ Z({{{{\lambda }’}}_{r}})-Z({{\lambda }_{r}}) \right]\)

（26）求\({{\lambda }_{opt}}\)（解（24）和（25）联立方程或作图法来解

\({{\lambda }_{opt}}<{{\lambda }_{2}}\)即可向下计算，\({{\lambda }_{opt}}≥{{\lambda }_{2}}\)时则须重选\({{\lambda }_{2}}＜{{\lambda }_{2cr}}\)再计算）

（27）\(\frac{Z({{\lambda }_{r}})}{1+\alpha {{L}_{O}}}\cdot \frac{{{x}_{r}}\beta }{{{\theta }_{r}}}\cdot \frac{1}{{{x}_{4}}\beta {{\tau }_{4}}}\)

（28）\(Z({{\lambda }_{4}})=(14)+(27)\)（\(Z({{\lambda }_{4}})\)＜2.0时，取\(Z({{\lambda }_{4}})\)=2.0，求出λ₂，或重选λ₂进行计算。当\(Z({{\lambda }_{4}})\)＞2.0时可继续向下计算）

（29）\({{\lambda }_{4}}=\frac{Z({{\lambda }_{4}})-\sqrt{{{Z}^{2}}({{\lambda }_{4}})-4}}{2}\)（取λ₄＜1的实根）

（30）\(q({{\lambda }_{4}})={{(\frac{{{k}_{4}}+1}{2})}^{\frac{1}{{{k}_{4}}+1}}}{{\lambda }_{4}}{{(1-\frac{{{k}_{4}}-1}{{{k}_{4}}+1}\lambda _{4}^{2})}^{\frac{1}{{{k}_{4}}-1}}}\)

（31）\({{m}_{4}}=\sqrt{{{k}_{4}}{{(\frac{2}{{{k}_{4}}+1})}^{\frac{{{k}_{4}}+1}{{{k}_{4}}-1}}}\frac{1}{{{R}_{4}}}}\)

（32）\(\frac{p_{4}^{*}}{p_{2}^{*}}=\frac{\alpha {{L}_{O}}+1}{\alpha {{L}_{O}}}\frac{{{m}_{H}}}{{{m}_{4}}}\sqrt{{{\tau }_{4}}}=\frac{q({{\lambda }_{2}})}{q({{\lambda }_{4}})}\frac{1}{1+{{f}_{{{r}_{2}}}}}\)

（33）\(q({{\lambda }_{5}})=q({{\lambda }_{4}})/{{\sigma }_{P}}\)（当\(q({{\lambda }_{5}})\)＞1.0，取\(q({{\lambda }_{5}})\)=1.0（A₄=A₅）向下计算）

（34）求λ₅（由解方程式计算或作q(λ₅)——λ图线查λ₅）

\(q({{\lambda }_{5}})={{(\frac{{{k}_{5}}+1}{2})}^{\frac{1}{{{k}_{5}}-1}}}{{\lambda }_{5}}{{(1-\frac{{{k}_{5}}-1}{{{k}_{5}}+1}\lambda _{5}^{2})}^{\frac{1}{{{k}_{5}}-1}}}\)

（35）\(Z({{\lambda }_{5}})={{\lambda }_{5}}+\frac{1}{{{\lambda }_{5}}}\)

（36）\(q({{\lambda }_{H}})={{(\frac{{{k}_{H}}+1}{2})}^{\frac{1}{{{k}_{H}}-1}}}{{\lambda }_{H}}{{(1-\frac{{{k}_{H}}-1}{{{k}_{H}}+1}{{\lambda }^{2}}_{H})}^{\frac{1}{{{k}_{H}}-1}}}\)

（37）\({{f}_{1}}=\frac{{{A}_{1}}}{{{A}_{4}}}=\frac{{{\sigma }_{in}}q({{\lambda }_{2}})}{{{\varphi }_{H}}q({{\lambda }_{H}})}\frac{1}{(1+{{f}_{{{r}_{2}}}})}\)

（38）\({{C}_{F}}={{\varphi }_{H}}{{f}_{1}}\left[ \frac{{{k}_{H}}+1}{{{k}_{H}}}{{x}_{4}}\beta \sqrt{{{\tau }_{4}}}\frac{Z({{\lambda }_{5}})}{{{\lambda }_{H}}}-2 \right]-\frac{2}{{{k}_{H}}M_{H}^{2}}\)

（39）\({{I}_{S}}=\frac{{{C}_{F}}\alpha {{L}_{O}}{{a}_{H}}{{M}_{H}}}{2{{f}_{1}}{{\varphi }_{H}}}\)

（40）\({{f}_{t}}=\frac{{{A}_{t}}}{{{A}_{4}}}=q({{\lambda }_{4}})/{{\sigma }_{{{P}_{1}}}}\)

（41）\({{f}_{2}}=\frac{{{A}_{2}}}{{{A}_{4}}}=\frac{1}{1+{{f}_{{{r}_{2}}}}}\)

（42）\({{f}_{5}}=\frac{{{A}_{5}}}{{{A}_{4}}}=\frac{q({{\lambda }_{4}})}{q({{\lambda }_{5}}){{\sigma }_{P}}}\)

7.3.2侧旁进气内弹道计算

7.3.2.1计算方法

(1)补燃室方案特点

空气以一定叉流角d从侧面或头部引入，面积有突扩变化，而且头部面积A_b比发生器喷管出口面积A_r大得多(图7－2)。

(2)方程推导

取控制体如图7－2虚线所示，由A₂、A_r、A₄流体边界A_b、A_2-3、A_3-4固体壁边界条件围成，仅研究x轴向动量的变化和分布，暂不计壁面摩擦力。

r截面气流冲量：

\({{E}_{r,x}}={{\phi }_{r}}{{B}_{r}}{{\dot{m}}_{r}}\sqrt{T_{r}^{*}}Z\left( {{\lambda }_{r}} \right)\)                                 (7-25)

式中：\({{\phi }_{r}}=\frac{1}{2}\left( 1+\cos \omega \right)\)，w¾发生器喷管扩张角，

\({{B}_{r}}=\sqrt{\frac{{{k}_{r}}+1}{2{{k}_{r}}}{{R}_{r}}}\)                                   (7-26)

2截面气流冲量的x分量为：

\({{E}_{2,x}}={{E}_{2}}\cos \delta ={{B}_{k}}{{\dot{m}}_{k}}\sqrt{T_{K}^{*}}Z\left( {{\lambda }_{2}} \right)\cos \delta \)                    (7-27)

4截面气流冲量的x分量为：

\({{E}_{4x}}={{E}_{4}}={{B}_{4}}{{\dot{m}}_{4}}\sqrt{T_{4}^{*}}Z\left( \lambda _{4}^{ } \right)\)                             (7-28)

式中，l₄为未计及壁面摩擦阻力影响的4截面气流速度系数。

水利力学实验表明，流动在突扩管道出口形成旋涡区，端壁压力等于窄管终端压力，此结论对可压流也是适应的，而燃气发生器喷管出口超音速气流经过冲击波或膨胀波使其压力等于周围气流边界压力，所以可以认为，补燃室出口压力p₄近似等于进气道出口压力p₂，同时考虑到结构因素和理想情况的差异，选用软化修正系数a_b

\({{p}_{4}}={{a}_{b}}{{p}_{2}}\)                                              (7-29)

a_b等于或略大于1。

进气道空气进入补燃室有两种方式，即由侧壁或头部引入。对于一般情况，几何面积关系可由下式确定：

\({{A}_{ax}}={{A}_{4}}-{{A}_{r}}-{{a}_{J}}{{A}_{2}}\cos \delta \)                                 (7-30)

式中进气道方案系数，头部进气a_J=1，侧壁进气a_J=0。

\({{A}_{2-3,x}}=\left( 1-{{a}_{J}} \right){{A}_{2}}\cos \delta \)                                     (7-31)

设固体壁的反力分别为F_b、F_2-3x,则：

\({{F}_{bx}}-{{F}_{2-3x}}={{a}_{b}}p{{A}_{bx}}-{{p}_{2}}{{A}_{2-3x}}\approx {{a}_{b}}{{p}_{2}}\left( {{A}_{4}}-{{A}_{r}}-{{A}_{2}}\cos \delta \right)\)           (7-32)

令\(s=\left( {{A}_{4}}-{{A}_{r}}-{{A}_{2}}\cos \delta \right)/{{A}_{2}}\)，

并注意到\({{E}_{2}}={{p}_{2}}{{A}_{2}}/r\left( {{\lambda }_{2}} \right)\),

则\({{F}_{bx}}-{{F}_{2-3x}}={{a}_{b}}{{E}_{2}}r\left( {{\lambda }_{2}} \right)s\)

补燃室轴向动量方程可以表示为

\({{E}_{4x}}={{E}_{rx}}+{{E}_{2x}}+{{F}_{bx}}-{{F}_{2-3x}}\)                                (7-33)

亦即：

\({{B}_{4}}{{\dot{m}}_{4}}\sqrt{T_{4}^{*}}Z\left( {{{{\lambda }’}}_{4}} \right)={{\phi }_{r}}{{B}_{r}}{{\dot{m}}_{r}}\sqrt{T_{r}^{*}}Z\left( {{\lambda }_{r}} \right)+{{B}_{k}}{{\dot{m}}_{k}}\sqrt{T_{K}^{*}}Z\left( {{\lambda }_{2}} \right)\left[ \cos \delta +{{a}_{b}}r\left( {{\lambda }_{2}} \right)s \right]\)     (7-34)

用y_k表示叉流突扩进气修正系数，即

\({{\psi }_{k}}=\cos \delta +{{a}_{b}}r\left( {{\lambda }_{2}} \right)s\)

则     \(Z\left( {{{{\lambda }’}}_{4}} \right)=[{{\phi }_{r}}{{B}_{r}}Z\left( {{\lambda }_{r}} \right)+{{B}_{k}}N\sqrt{\theta }Z\left( {{\lambda }_{2}} \right){{\psi }_{k}}]/{{B}_{4}}\left( 1+N \right)\sqrt{\tau \theta }\)              (7-35)

上式为考虑叉流进气，有面积突扩的圆筒补燃室的流动方程。对于非拥塞式喷管l_r可由燃气发生器流率和喷管喉部面积按亚音速求出。在2®3截面近似地认为此时空气与燃气未掺混，且空气占有(A₄-A_r)的环面积，运用动量方程，则：

\(Z\left( {{\lambda }_{3}} \right)={{\psi }_{k}}Z\left( {{\lambda }_{2}} \right)\)                                    (7-36)

(3) 流阻计算

进气道流动损失(包括弯管部分)已在进气道总压恢复系数中反映。补燃室中射流的混合损失、突扩损失、加热损失等均在补燃室流动方程中考虑，用补燃室总压恢复系数s_br表征。补燃室壁面摩擦阻力用s_m表征，而喷管损失系数用s_w表征。

1.补燃室壁面的摩擦阻力

由管壁粗糙度D，相对不平度D/D，可利用水力学图表确定单位管长摩擦系数x。

设混合补燃室计算长度为L_b，内径为D₄，则摩擦阻力引起的阻流系数z为：

\(\zeta =\xi \frac{{{L}_{b}}}{{{D}_{4}}}\)                                            (7-37)

摩擦阻力引起的总压恢复系数s_m为：

\({{\sigma }_{m}}=1-\zeta \frac{{{k}_{k}}}{1+{{k}_{k}}}{{\left( \frac{{{\lambda }_{3}}+{{{{\lambda }’}}_{4}}}{2} \right)}^{2}}\varepsilon \left( \frac{{{\lambda }_{3}}+{{{{\lambda }’}}_{4}}}{2} \right)\)                 (7-38)

式中，l₃、l^‘₄分别为3截面和4截面气流速度系数，在燃烧条件下，两者差别较大。

2.补燃室总压恢复系数s_br

\(q\left( {{\lambda }_{4}} \right)=q\left( {{{{\lambda }’}}_{4}} \right)/{{\sigma }_{m}}\)                                    (7-39)

\({{\sigma }_{br}}=\frac{p_{4}^{*}}{p_{2}^{*}}={{\Gamma }_{k}}\beta \sqrt{\tau }q\left( {{\lambda }_{2}} \right){{A}_{2}}/{{\Gamma }_{4}}q\left( {{\lambda }_{4}} \right){{A}_{4}}\)                (7-40)

(4)喷管损失系数

喷管总压恢复系数s_w，简单地可由经验或实验选取，但s_w随喷管面积比或降压比增大而减小。当已知某一条件下的数据，而需推广用于另一条件时，可以认为喷管速度损失系数h_w不变，而求出s_w。

h_w定义为实际排气速度与理论排气速度系数之比，即：

\({{\eta }_{w}}={{\lambda }_{5}}/{{\lambda }_{5th}}\)                                         (7-41)

当给出p₄为定值时，可导出：

\({{\sigma }_{w}}=\pi \left( {{\lambda }_{5th}} \right)/\pi \left( {{\lambda }_{5}} \right)\)                                     (7-42)

当给出面积关系时，可导出：

\({{\sigma }_{w}}=q\left( {{\lambda }_{5th}} \right)/q\left( {{\lambda }_{5}} \right)\)                                    (7-43)

(5)能量方程和补燃室温升效率

1.混合补燃室的能量守恒方程

\({{H}_{p}}={{h}_{p}}+N{{h}_{k}}=(1+N){{h}_{b}}\)                            (7-44)

式中，H_p¾空气/推进剂系统的总焓，h_p¾1千克推进剂的总焓，h_k¾对应T_0k温度时的1千克空气总焓，h_b¾1千克燃气在\(T_{4th}^{*}\)下的总焓。

上式为补燃室能量守恒方程，利用此方程在补燃室热力计算中即可确定燃烧产物的总焓，进而求补燃室其它热力参数。

2补燃室温升效率h_rT

\({{\eta }_{rT}}={}^{\left( T_{4}^{*}-T_{K}^{*} \right)}/{}_{\left( T_{4th}^{*}-T_{K}^{*} \right)}\)                              (7-45)

h_rT反映了补燃室出口实际温度与热力计算求出的理论温度之间的差异。当给出某一余气系数a时，可由试验测出补燃室出口实际温度T₄*，应用上式即可确定h_rT。若要求出其它a下燃气出口的实际温度时，可以认为h_rT不变，有：

\(T_{4}^{*}={{\eta }_{rT}}\left( T_{4th}^{*}-T_{K}^{*} \right)+T_{K}^{*}+\Delta {{T}_{ad}}\)                          (7-46)

式中，DT_ad为包覆层及绝热材料中可燃成分燃烧时附加温升

7.3.2.2性能计算公式汇总

性能计算分设计计算和特性计算两类，两者虽有不同，但许多公式可以通用。在此以特性计算为主，列出计算公式。下面结合前面的推导，再补充一些必要的公式，组成了性能计算模型：

1. \({{\lambda }_{H}}=\sqrt{\frac{(k+1)\cdot M_{a}^{2}}{2+(k-1)\cdot M_{a}^{2}}}\)
2. \(p_{H}^{*}=\frac{{{p}_{H}}}{\pi ({{\lambda }_{H}})}\)
3. \(T_{H}^{*}=\frac{{{T}_{H}}}{\tau ({{\lambda }_{H}})}\)
4. \({{\dot{m}}_{K}}={{\rho }_{H}}\cdot {{a}_{H}}\cdot Ma\cdot {{\phi }_{in}}\cdot {{A}_{1}}\)

其中：ρ_H为来流密度，a_H为来流音速，∅_in为进入发动机的空气流量

5. \(T_{2}^{*}=T_{K}^{*}=T_{H}^{*}\)
6. \(S=\frac{{{A}_{4}}-{{A}_{r}}-{{A}_{2}}\cdot \cos \delta }{{{A}_{2}}}\)
7. \({{\phi }_{r}}=\frac{1}{2}\cdot (1+\cos \omega )\)

其中：j_r称为燃气发生器喷管气流轴向动量修正系数，w为燃气发生器喷管的扩张角

8. \(\alpha =\frac{{{{\dot{m}}}_{k}}}{{{{\dot{m}}}_{r}}{{L}_{0}}}\)
9. \({{\dot{m}}_{r}}=\frac{{{{\dot{m}}}_{k}}}{\alpha \cdot {{L}_{0}}}\)
10. \(N=\frac{{{{\dot{m}}}_{k}}}{{{{\dot{m}}}_{r}}}\)
11. \(\beta =1+{}^{1}/{}_{N}\)
12. \(T_{4}^{*}={{\eta }_{rt}}\cdot (T_{4th}^{*}-T_{K}^{*})+T_{K}^{*}+\Delta {{T}_{ad}}\)

其中：\({{\eta }_{rt}}\)为补燃室燃烧温升效率，\(\Delta {{T}_{V}}\)为包覆及绝热材料中可燃成分燃烧      的附加温升，\(T_{4th}^{*}\)为补燃室理论燃烧温度

13. \({{\Gamma }_{i}}=\sqrt{{{k}_{i}}{{\left( \frac{2}{{{k}_{i}}+1} \right)}^{\frac{{{k}_{i}}+1}{{{k}_{i}}-1}}}}\)
14. \({{B}_{i}}=\sqrt{\frac{2({{k}_{i}}+1){{R}_{i}}}{{{k}_{i}}}}\)
15. \(\theta =\frac{T_{2}^{*}}{T_{r}^{*}}\)
16. \(\tau =\frac{T_{4}^{*}}{T_{K}^{*}}\)
17. \(\chi =\sqrt{\frac{({{k}_{4}}+1)({{k}_{K}}+1){{R}_{4}}}{{{k}_{4}}{{k}_{K}}{{R}_{K}}}}\)
18. \({{A}_{R}}=\chi \beta \sqrt{\tau }\)
19. \(q({{\lambda }_{5th}})=\frac{{{A}_{t}}}{{{A}_{5}}}\)

其中：λ_5th为冲压喷管理论排气速度系数

20. \({{\lambda }_{5}}={{\eta }_{w}}{{\lambda }_{5th}}\)

其中：λ₅为冲压喷管实际排气速度系数

21. \({{F}_{m}}=2{{q}_{H}}{{\varphi }_{in}}{{A}_{1}}\left[ \frac{{{A}_{R}}Z({{\lambda }_{5}})}{{{\lambda }_{H}}}-1.0 \right]-{{p}_{H}}{{A}_{5}}\)

其中：q_H为气流动压头

22. \({{F}_{e}}={{F}_{m}}-{{C}_{xad}}{{q}_{H}}{{A}_{1}}\)

其中：\({{q}_{H}}=\frac{1}{2}{{\rho }_{H}}V_{H}^{2}=0.7{{P}_{H}}Ma_{{}}^{2}\)

F_e为有效推力

23. \({{C}_{F}}=\frac{{{F}_{e}}}{{{q}_{H}}{{A}_{\max }}}\)(可以取\({{A}_{\max }}={{A}_{5}}\)或\({{A}_{\max }}={{A}_{4}}\))
24. \({{I}_{s}}=\frac{{{F}_{e}}}{{{{\dot{m}}}_{r}}}\)
25. \(p_{rc}^{*}=\frac{{{{\dot{m}}}_{r}}{{C}^{*}}}{{{C}_{r}}{{A}_{rt}}}\)
26. \(p_{r}^{*}={{\sigma }_{r}}p_{rc}^{*}\)

其中：\({{\sigma }_{r}}\)为燃气发生器喷管总压恢复系数

27. \(q({{\lambda }_{r}})=\frac{{{{\dot{m}}}_{r}}{{C}^{*}}}{{{A}_{r}}p_{r}^{*}}\)
28. \(P_{4}^{*}=\frac{{{{\dot{m}}}_{k}}\cdot \beta \sqrt{T_{4}^{*}}}{{{m}_{4}}{{A}_{t}}\cdot {{\sigma }_{4-t}}}\)
29. \(q({{\lambda }_{4}})=\frac{{{\sigma }_{4-t}}{{A}_{t}}}{{{A}_{4}}}\)
30. \({{\psi }_{k}}=\cos \delta +{{a}_{b}}\cdot S\cdot r({{\lambda }_{2}})\)

其中：Ψ_k称为叉流突扩进气修正系数，a_b为空气进口软化系数

31     \(Z\left( {{{{\lambda }’}}_{4}} \right){{B}_{4}}\left( 1+N \right)\sqrt{\tau \theta }={{\phi }_{r}}{{B}_{r}}Z\left( {{\lambda }_{r}} \right)+{{B}_{k}}N\sqrt{\theta }Z\left( {{\lambda }_{2}} \right){{\psi }_{k}}\)

32. \({{\sigma }_{in}}=\frac{{{\phi }_{in}}{{A}_{1}}q({{\lambda }_{H}})}{{{A}_{2}}q({{\lambda }_{2}})}\)
33. \(\Delta \sigma =1-\frac{{{\sigma }_{in}}}{{{\sigma }_{in,cr}}}\)
34. \(Z(\lambda {{ }_{3}})={{\psi }_{k}}Z({{\lambda }_{2}})\)
35. \(\zeta =\xi {{L}_{D}}/{{D}_{4}}\)
36. \({{\sigma }_{m}}=1-\frac{{{k}_{k}}}{{{k}_{k}}+1}\cdot \xi \cdot {{\left( \frac{{{\lambda }_{3}}+{{\lambda }^{{{ }’}}}_{4}}{2} \right)}^{2}}\varepsilon \left( \frac{{{\lambda }_{3}}+{{\lambda }^{ }}{{^{\prime }}_{4}}}{2} \right)\)

其中：\(\xi \)为摩擦引起的流阻系数

37. \(q(\lambda {{{ }’}_{4}})={{\sigma }_{m}}q({{\lambda }_{4}})\)

其中：λ₄’为未计及侧壁摩擦影响的补燃室出口气流速度系数

38. \({{\sigma }_{4-5}}=\frac{q({{\lambda }_{5th}})}{q({{\lambda }_{5}})}\)
39. \(p_{5}^{*}={{\sigma }_{4-5}}p_{4}^{*}\)
40. \(p_{5}^{{}}=p_{5}^{*}\pi \left( {{\lambda }_{5}} \right)/{{p}_{H}}\)

上述数学模型中所用气动函数为：

\(\tau (\lambda )=\frac{T}{{{T}^{*}}}=1-\frac{k-1}{k+1}{{\lambda }^{2}}\)

\(\pi (\lambda )=\frac{p}{{{p}^{*}}}={{(1-\frac{k-1}{k+1}{{\lambda }^{2}})}^{\frac{k}{k-1}}}\)

\(\varepsilon (\lambda )=\frac{\rho }{{{\rho }^{*}}}={{(1-\frac{k-1}{k+1}{{\lambda }^{2}})}^{\frac{1}{k-1}}}\)

\(q(\lambda )={{(\frac{k+1}{2})}^{\frac{1}{k-1}}}\lambda {{(1-\frac{k-1}{k+1}{{\lambda }^{2}})}^{\frac{1}{k-1}}}\)

\(y(\lambda )={{(\frac{k+1}{2})}^{\frac{1}{k-1}}}\frac{\lambda }{1-\frac{k-1}{k+1}{{\lambda }^{2}}}\)

\(r(\lambda )=\frac{1-\frac{k-1}{k+1}{{\lambda }^{2}}}{1+{{\lambda }^{2}}}\)

\(Z(\lambda )=(\lambda +\frac{1}{\lambda })\)

\(\lambda =\sqrt{\frac{k+1}{2}\cdot \frac{M{{a}^{2}}}{1+\frac{k-1}{2}M{{a}^{2}}}}\)

7.4参数的选择

7.4.1进气道总压恢复系数σ_in的影响

进气道总压恢复系数σ_in对C_F、I_s的影响如图7-4所示。当σ_in上升时，发动机的性能（推力系数C_F和比冲I_s）是成正比的提高，所以为了获得发动机的优良性能，希望能有一个良好的进气道与之配合。两种不同σ_in值下设计的发动机，从尺寸上看是不同的，因为：

\(\frac{{{A}_{2}}}{{{A}_{1}}}=\frac{{{\varphi }_{H}}q({{\lambda }_{H}})}{q({{\lambda }_{2}})}\frac{1}{{{\sigma }_{in}}}\)

在一定的λ₂之下，б_in越大，A₂越小，一般б_in上升10%则面积比缩小10%面积比与б_in成一次方关系。

另外从

\({{C}_{F}}={{\varphi }_{H}}\frac{{{A}_{1}}}{{{A}_{5}}}\left[ \frac{{{k}_{H}}+1}{{{k}_{H}}}{{X}_{4}}\beta \sqrt{{{\tau }_{4}}}\frac{Z({{\lambda }_{5}})}{{{\lambda }_{H}}}-2 \right]-\frac{2}{{{k}_{H}}M_{H}^{2}}\)

的公式中也看到C_F与\(\frac{{{A}_{1}}}{{{A}_{5}}}\)成正比的关系

7.4.2进气道流量系数∅_H的影响

我们讨论∅_H的影响是在（N值）一定的条件，也就是气量一定\({{\varphi }_{H}}{{A}_{1}}=\)常数。所以∅_H下降时，A₁必上升。为了改善发动机高速情况下的工作性能，有时候设计点的∅_H不一定等于1.0。根据公式（7-8）

\(\frac{{{A}_{2}}}{{{A}_{1}}}=\frac{{{\varphi }_{H}}q({{\lambda }_{H}})}{q({{\lambda }_{2}}){{\sigma }_{in}}}\)

可知∅_H下降A₁上升，\(\frac{{{A}_{2}}}{{{A}_{1}}}\)下降。由于\({{C}_{Fm}}\propto \frac{{{\varphi }_{H}}{{A}_{1}}}{{{A}_{5}}}\)，故∅_H变化C_Fm不变，如图7-5（1）所示。但是流量系数∅_H减小A₁上升，带来的问题是溢流引起附加阻力C_xad上升，如图7-5所示。所以∅_H变化时有效推力系数C_Fef是变化的，因为\({{C}_{Fe}}f={{C}_{Fm}}-{{C}_{xad}}\)。

图7-4                             图7-5

7.4.3速度系数λ₂的影响

速度系数λ₂对发动机性能影响见图7-6所示。λ₂=0.16～0.22范围内。

• 由图7-6知，λ₂上升C_F是上升的，I_s却下降，这是因为\({{C}_{F}}=\frac{F}{\frac{1}{2}{{\rho }_{H}}V_{H}^{2}{{A}_{5}}}\)，A₅是变化的，λ₂上升\(\frac{{{A}_{5}}}{{{A}_{2}}}\)下降，故C_F上升

图7-6推力系数、比冲与的关系

又因，λ₂上升时，\(q({{\lambda }_{2}})\)也上升，所以\(\frac{{{A}_{2}}}{{{A}_{1}}}\)下降。由此可见λ₂上升，发动机喉道面积不变，但发动机外壳尺寸却缩小了，如图7-7所示。图中虚线所示外壳尺寸对应比较大的λ₂。

λ₂上升，比冲I_S下降，这是因为λ₂上升，造成加速热损失增加，使压力比\(\frac{p_{4}^{*}}{p_{2}^{*}}\)下降；同时由于λ₂增加使\(\frac{{{A}_{5}}}{{{A}_{1}}}\)减小，也就是降低了喷管膨胀度，使\(\frac{{{p}_{5}}}{{{p}_{H}}}\)值上升喷管呈膨胀不足状态，因而也使比冲I_S下降。压力比及不完全膨胀与λ₂的关系见图7-8所示。

图7-7

图7-8增压以及不完全膨胀度与的关系

(2)由图7-9和7-10可见比冲I_S和速度系数λ₂之间的关系有一个最佳点。图7-9表示在不同余气系数条件下，α越大则最佳速度系数λ_2opt也越大；图7-10表示在不同M_d条件下，M_d越大λ_2opt越小。

图7-9不同α值下比冲与λ₂的关系

图7-10不同设计M_d下比冲与λ₂的关系

(3)由图7-9和7-10还可见到，余气系数α越大、M_d越大，比冲I_S的变化也越大。

这里还需说明，当λ₂小到一定程度后，\(\frac{{{p}_{5}}}{{{p}_{H}}}\)就会进入过渡膨胀状态，这在小M数大α时更为严重，这是因为小M数时膨胀比就很小，更容易进入过度膨胀。又因为\(\dot{m}\propto \frac{p*}{\sqrt{T*}}\cdot A\)，当α增大时，\(T_{4}^{*}\)就要下降，\(T_{4}^{*}\)下降后只有使A_t下降才能保持流量\(\dot{m}\)不变，A_t的减小使过度膨胀更显著，在发动机设计时就要考虑这种情况。现举三个实例：

例一、当M_H=1.5，λ₂=0.2时

α=1.5，\(\frac{{{p}_{5}}}{{{p}_{H}}}=1.16\)

α=2.7，\(\frac{{{p}_{5}}}{{{p}_{H}}}=0.758\)

故当小M_d和大α的情况下，应适当提高λ₂

例二、当M_H=1.5，α=1.5时

λ₂=0.16，\(\frac{{{p}_{5}}}{{{p}_{H}}}=0.728\)

λ₂=0.2，\(\frac{{{p}_{5}}}{{{p}_{H}}}=1.16\)

例三、当λ₂=0.16～0.22时

M_d=2.1，\(\Delta {{I}_{S}}=8%\)；M_d=1.5，\(\Delta {{I}_{S}}=1%\)

α=2.7，\(\Delta {{I}_{S}}=8%\)；α =1.5，\(\Delta {{I}_{S}}=1%\)

故在大α和大M_d的情况下，应恰当选择λ₂

7.4.4 余气系数α的影响（对加热比的影响）

由图7-11可见，α下降，C_F上升，I_S下降。这是由于α下降，使总温比上升，从而使C_F上升。

图7-11推力系数和比冲与α的关系

图7-12

由（7-7）式知

\({{I}_{S}}=\frac{{{H}_{u}}}{A}\frac{{{\eta }_{O}}}{{{V}_{H}}}\)

而\({{\eta }_{O}}={{\eta }_{T}}{{\eta }_{ef}}\)

\({{\eta }_{O}}\)称为总效率

\({{\eta }_{T}}=\frac{F{{V}_{H}}}{\frac{1}{2}({{{\dot{m}}}_{5}}V_{5}^{2}-{{{\dot{m}}}_{K}}V_{H}^{2})}\)称为推进效率

\({{\eta }_{ef}}=\frac{A({{{\dot{m}}}_{5}}V_{5}^{2}-{{{\dot{m}}}_{K}}V_{H}^{2})}{2{{{\dot{m}}}_{r}}{{H}_{u}}}\)称为有效效率

\({{\eta }_{T}}\)与\({{V}_{H}}/V{}_{5}\)有关

\(V{}_{5}={{\lambda }_{5}}{{a}_{cr}}={{\lambda }_{5}}\sqrt{\frac{2k}{k+1}RT_{4}^{*}}\)

\({{\tau }_{4}}=\frac{T_{4}^{*}}{T_{2}^{*}}\)

所以V₅与加热温度T₄*有关，当α上升时τ₄下降T₄*下降，故V₅下降推进效率η_T上升，从而使I_S上升。但α大到一定程度，由于加热比τ₄减小太大，使有效效率降低较多，致使比冲I_S开始下降，因而α与比冲I_S有一个最佳关系，α对比冲I_S有一个最佳点α_opt，如图7-12所示。α>α_opt点时，有效效率成为主要矛盾了，I_S就开始下降。

7.4.5 燃气发生器压强比\({{\bar{P}}_{r}}\)的影响

\({{\bar{p}}_{r}}={{{p}_{r}}}/{{{p}_{2}}}\;\)对发动机性能的影响，如图7-13所示，从图中看出：

①\({{\bar{p}}_{r}}\)对C_F的影响很小，当\({{\bar{p}}_{r}}\)=1.2～2.1时C_F变化小于1%,λ₂越大\({{\bar{p}}_{r}}\)的影响越小。

②\({{\bar{p}}_{r}}\)选较小的值对比冲I_S有利，因为这时增压比\({{{{{p}_{4}}^{*}}/{{{p}_{2}}}\;}^{*}}\)较高，\(\frac{{{p}_{5}}}{{{p}_{H}}}\)处于不完全膨胀状态。在设计中\({{\bar{p}}_{r}}\)还将影响引射器第二临界状态，\({{\bar{p}}_{r}}\)越大（即不完全膨胀度越大）临界状态越容易产生。

图7-13推力系数，比冲等参数与\({{\bar{P}}_{r}}\)的关系

7.4.6发动机的临界检验

固体火箭冲压发动机各部件之间，由于几何尺寸的不可调，在某些特定工作状态下，可能存在着不同类型的非正常工作情况，由于这种不协调工作情况和某些截面的气流临界堵塞有关，因而把检验各类非正常工作情况总称为临界检验，在固体火箭冲压发动机特性计算中，临界检验和条件转向处理十分重要。本节对补燃室的几种临界状态作以说明。

(1)补燃室的临界状态

补燃室作为热引射器有可能出现三种临界状态：

第一种临界状态l₂＝1.0（图5－21）；

第二种临界状态l₃＝1.0（或\({{{\lambda }’}_{2}}=1.0\)）(未掺混空气流部分)（图5－22）；

第三种临界状态l₄＝1.0（或\({{\lambda }_{mx}}=1.0)\)（图5－23）

引射器的第一种临界状态，相当于在引射器进口被引射空气的速度为音速的情况。此时超音速喷管为设计状态流动或在过度膨胀状态下工作(这是必要条件)，在一般情况下，存在第一临界状态的充分条件是在混合室出口无热临界。

所谓第二临界状态，是由于p_r^*_­很高，N又很小，主动气流膨胀，使空气流通截面缩小造成的。实际发动机工作条件下，一般不会出现这种临界状况。而当两股气流掺混的结果在引射器出口达到音速时的状态则称为第三临界状态。引射器的第三临界状态有时也称作“热临界”或“热堵塞”状态。

不管补燃室出现何种临界状态，最终结果都限制了进气道下游的流通能力，其反压的作用将使进气道出现亚临界溢流，处于不稳定的亚临界工作状态。对于固体火箭冲压发动机而言，为减轻结构质量，提高比冲和补燃效率，一般发生器工作压力p_r^*_­选用较低值   (p _r^*=1～4Mpa)，N>5～7，此时一般不会出现第一、二临界工况。设计计算时，若出现l₄³1，则说明进气道尺寸过大。此时，降低\({{\dot{m}}_{K}}\)或减小A₁即可避免出现第三临界工况。

(2) 临界检验

从以上分析可知，归根结蒂，只要检验

\(\Delta \sigma =1-\frac{{{\sigma }_{in}}}{{{\sigma }_{in,cr}}}\)                                                                                  (7-47)

式中：σ_in为进气道计算总压恢复系数，σ_in,cr为进气道临界总压恢复系数。为保证进气道不出现热临界工况，就必须保证一定的超临界裕度。进气道亚临界工况实用判据，一般用σ_in>σ_in,cr，若无精确的亚临界总压恢复系数时。可设

σ_in=σ_in,cr

用下式计算亚临界溢流后的流量系数j^‘_in

\(\varphi {{n}_{in}}={{\sigma }_{in,cr}}\cdot q({{\lambda }_{2}})\cdot \frac{{{A}_{2}}}{q({{\lambda }_{H}})\cdot {{A}_{1}}}\)                                   (7-48)

根据j^‘_in返回计算\({{\dot{m}}_{K}}\)及发动机性能。

冲压喷管出现非正常冲波系或喉道非临界现象，往往发生在发动机工作尾段，冲波系贴口条件可作为冲波系是否正常的弱判据，对冲压喷管有：

\(\frac{{{p}_{5\min }}}{{{p}_{H}}}=\frac{1-\frac{{{k}_{4}}-1}{{{k}_{4}}+1}\cdot \lambda _{5}^{2}}{\lambda _{5}^{2}-\frac{{{k}_{4}}-1}{{{k}_{4}}+1}}\)                                                                    (7-49)

当p₅>p_5min时，冲波系正常。实际上，由于附面层和冲波系干扰，应对p_5min放大一些，方可保证冲波系正常，一般可修正为：

p₅>1.3p_5min

当喷管喉道处于非临界状态时，可用出口气流压力和外界环境压力相等的条件(p₅＝p_H)来计算流量和推力等。