第八章 固冲组合发动机弹道特性

8.1  概述

(1)分析特性的目的

一体化固体火箭冲压发动机性能与外弹道息息相关，其飞行的高度、速度和姿态的不同会引起性能较大的差异。一台设计好的组合发动机在各种不同的工况下工作时，也就是当飞行马赫数M_H、飞行高度H、余气系数\(\alpha \)、攻角\({{\alpha }_{g}}\)等工作条件变化时，发动机的内部参数和性能指标C_F、I_S均将随之变化，这种非设计条件下的发动机性能指标变化规律称之为发动机的特性。

因为发动机必须根据一定的战术要求在规定的飞行范围内工作，所以要求发动机不仅在设计点能胜任工作，而且要求在整个飞行范围内均能胜任工作完成所要求的任务。研究分析发动机的特性就是要了解其变化的规律，了解其性能指标是否适合飞行器各种飞行条件下的要求。反过来也就能指导我们如何设计发动机才能取得良好的特性，也就是取得适合于飞行器要求的发动机特性。所以设计发动机不能简单地理解为进行发动机的气动热力计算，而是应包括全面分析发动机的特性。进行的过程是通过反复的计算和分析，最后才能确定发动机的总体方案，设计点和设计参数等。

(2)特性的类型和分析方法

一台发动机在飞行过程中，参数M_H、H、α、α_g等都在变化。同时研究分析这些因素是很复杂的，而且也不利于我们分清原因，掌握规律；所以采用了简化的处理方法，也就是孤立因素的方法，具体地说，如研究某一飞行参数变化时，其他的飞行参数则保持不变；这是科研中常用的处理方法。在弹道分析时，可将各因素的影响综合起来以分析总体性能的变化。

在组合发动机中，发动机的工作与燃气发生器的工况有着密切的关系，燃气发生器的工况一般是由装药确定的；可以采用变燃面和变燃速来控制燃气发生器工况的变化规律，如分段装药或变燃面装药时，燃气发生器流量的变化规律如图8-1a，8-1b所示。由于燃气发生器工作与外界飞行参数如M_H和H等无关，所得其变化规律仅是时间的函数。这里我们仅分析等燃面等燃速条件下的组合发动机特性，也就是燃气发生器参数\({{\dot{m}}_{r}}\) =常数，p_r*=常数，T_r*=常数。

图8-1a 分段装药时燃气发生器的流量变化     图8-1b 变燃面时（减面燃烧）

燃气发生器的流量变化

为了适应各种不同的工作条件，改善组合发动机的特性，可以采用几何尺寸可调的结构，如进气道调节和尾喷管调节。为了简化分析，我们在这里仅分析几何尺寸不可调的组合发动机特性。

组合发动机的特性，一般可分为速度特性，高度特性和攻角特性。攻角特性一般不能单纯地从计算中得出，因此，下面我们仅讨论分析组合发动机的速度特性和高度特性。

8.2 固冲组合发动机的特性

(1)速度特性

速度特性是研究发动机飞行高度不变的条件下发动机推力系数C_F、比冲I_sm与飞行马赫数MH的关系。根据上节所述，发动机燃气发生器的工况是不变的，即\({{\dot{m}}_{r}}\)=常数；发动机的几何尺寸是不可调节的。图8-2和图8-3上所示曲线即表示组合发动机的速度特性。

要了解发动机特性的变化规律，首先必须了解发动机内部参数的变化规律以及发动机各部件的工作状态变化情况。当发动机在设计工况时，飞行马赫数为设计马赫数M_H=M_d，这时进气道的流量系数为临界流量系数\({{\varphi }_{H}}={{\varphi }_{Hcr}}\)，进气道的总压恢复系数为临界总压恢复系数\({{\sigma }_{in}}={{\sigma }_{in,cr}}\)；该情况下的混燃室总温比为\(\tau ={{\tau }_{d}}\)，即为设计总温比，有时我们也称之为临界比。下面我们分析组合发动机在高度H一定，飞行马赫数变化时，其内部参数的变化情况。

图8-2 不同高度下的比冲速度特性         图8-3 不同高度下的推力系数速度特性

进入发动机的空气流量表示式为

\({{\dot{m}}_{H}}={{\rho }_{H}}\cdot {{V}_{H}}\cdot {{\varphi }_{H}}\cdot {{A}_{1}}\)                       （8-1）

当M_H下降时，也就是V_H下降；由进气道的速度特性可知临界流量系数也是减小的；根据上列流量方程可知，进入发动机的流量\({{\dot{m}}_{H}}\)，由于V_H和\({{\varphi }_{H}}\)的下降而减小。高度不变，所以\({{\rho }_{H}}\)是不变的，几何尺寸不可调，式中A₁也是固定不变。

组合发动机的引射系数N(又叫做空燃比)表示式为

\(N=\frac{{{{\dot{m}}}_{k}}}{{{{\dot{m}}}_{r}}}\)                            （8-2）

因为燃气发生器工况不变\({{\dot{m}}_{r}}\)=常数，\({{\dot{m}}_{k}}\)随飞行马赫数M_H的下降而减小，由上式知，N是随飞行马赫数M_H的下降而下降的。

混燃室余气系数\(\alpha =N/{{L}_{O}},{{L}_{O}}\)为燃烧1千克燃料的理论必须空气量，对于一定的燃气发生器装药成分L_O是一定的；所以余气系数α的变化是与N的变化相同。又因为余气系数直接影响到混燃室的总温比τ，α值下降，τ将上升；也就是当飞行马赫数下降时，补燃加热比将比设计加热比为高。

由冲量公式（5-31）可知

\(Z({{\lambda }_{2}})={{x}_{br}}\cdot \beta \cdot \sqrt{\tau }Z({{\lambda }_{4}})-{{x}_{r}}\beta \frac{1}{\sqrt{{{\theta }_{r}}}}\frac{Z({{\lambda }_{r}})}{(1+\alpha {{L}_{O}})}\)             （8-3）

\(Z({{\lambda }_{2}})\)随τ的增加而增加，因为λ₂为亚音速，所以Z(λ₂)增加也即表明λ₂是减小的。相应地q(λ₂)也是减小的。

图8-4 进气道特性

由图8-4进气道特性线可知，当M_H下降时，临界状态下的\(q{{({{\lambda }_{2}})}_{cr}}\)是增加的，也就是表明，当飞行马赫数下降时，为保持进气道的临界工况，λ₂值应是增加的；但在上述分析中可知，随M_H的下降，λ₂是下降的，q(λ₂)也是下降的，q(λ₂)＜q(λ₂)_d；由图可知，进气道工况进入亚临界状态，即∅_cr将小于∅_Hcr。对于飞行马赫数下降的条件下，进气道流量系数的临界值∅_Hcr是下降的；而由于发动机各部件共同工作的结果，使值将小于其∅_Hcr值，这表明进气道流量系数的下降是较大的。由发动机进口流量表示式（8-1）可知，流量系数∅_H下降，将使\({{\dot{m}}_{K}}\)进一步减小；由上面可知，α更小，加热比τ就进一步增大；相应地可得出Z(λ₂)增大，即λ₂和q(λ₂)均下降；一直至一个新的平衡工作点为止。

发动机内部参数的变化将反映到发动机性能指标上的变化。由（7-5）式

\({{C}_{Fm}}=\frac{{{\varphi }_{H}}{{A}_{1}}}{{{A}_{\max }}}\left[ \frac{{{k}_{K}}+1}{{{k}_{K}}}{{x}_{br}}\beta \sqrt{\tau }\frac{Z({{\lambda }_{5}})}{{{\lambda }_{H}}}-2 \right]-\frac{2}{{{k}_{K}}M_{H}^{2}}\)           （8-4）

可以分析各内部参数对推力系数的影响；因为我们仅分析几何尺寸不可调的情况，发动机尾喷管的喉道和扩张比是保持不变的；由气动力学基本公式可知，Z(λ₅)是恒定值（除了严重的过度膨胀情况外）。由（8-4）可见，当飞行速度下降，∅_H的下降将直接影响推力系数减小；从表示式末项看M_H的下降，使\(2/{{k}_{K}}M_{H}^{2}\)上升，对推力系数的影响也是使之减小的；但式中λ_H项的减小却使推力系数增加；更重要的是\(\beta \sqrt{\tau }\)的增加，将使C_Fm增加。从计算可知，上述四项参数的变化因素中，\(\beta \sqrt{\tau }\)的增加是主要的因素；也即表明随着M_H的下降，C_FM是上升的。这在图（8-3）中是明显可见的。

上面讨论的仅是名义推力系数的变化规律，对于有效推力系数C_Fef的变化规律，则要考虑附加阻力系数C_xad的变化。由上述分析中知，当飞行速度M_H下降时，∅_H＜∅_Hcr，即进气道处亚临界工况，附加阻力系数C_xad将随着飞行马赫数M_H的下降而增加。从名义推力系数中减去附加阻力系数即得出有效推力系数，如图8-5b所示。一般在高度H较低时，因为附加阻力系数C_xad起较大的影响作用，使C_Fef随M_H的下降而下降。当飞行高度H较大的情况下，飞行马赫数下降时，由于加热比τ上升快，C_Fm急剧上升，虽C_xad是增加的，但总起来，有效推力系数还是随M_H的下降而上升的。这时要注意发动机进气道如处于过大的亚临界工况下，则易于产生不稳定工作。

图8-5a 考虑附加阻力的速度特性       图8-5b 考虑附加阻力的速度特性

由（8-5）式比冲表示式分析发动机名义比冲I_sm的变化规律。

\({{I}_{sm}}=\frac{\alpha {{L}_{O}}}{2}\cdot \frac{{{A}_{\max }}}{{{\varphi }_{H}}{{A}_{1}}}{{V}_{H}}\cdot {{C}_{Fm}}\)                        （8-5）

表示式中当飞行速度变化时，α、∅_H、V_H和C_Fm相应地变化，由上面分析可知，M_H下降时，α下降，α下降大小是正比于∅_H·V_H值的变化。式中分母项中有∅_H值，与分子项α值中的∅_H值相抵消；因之，I_sm将正比于\({{V}^{2}}_{H}\cdot {{C}_{Fm}}\)值而变化。随飞行马赫数的下降、V_H下降，I_sm将以\({{V}^{2}}_{H}\)的关系下降；这时，由上知C_Fm是上升的，但主要的还是由于速度的下降，结果I_sm是随飞行速度的下降而下降（见图8-2）；考虑到流量系数下降，将引起附加阻力的上升，有效推力系数C_Fef比名义推力系数为小，相应的I_sef也将比I_sm为小，图8-5a中I_sef的变化曲线即表示考虑附加阻力系数的情况。

因为我们分析讨论发动机特性，是在燃气发生器流量\({{\dot{m}}_{r}}\)=常数的条件下进行的，所以比冲I_sm或I_sef的下降，也即表明发动机的推力值是下降的。由上面分析知，推力系数C_Fm随马赫数下降而上升，这就是表明推力系数和推力值的不同，推力系数是相对于\(\frac{1}{2}{{\rho }_{H}}V_{H}^{2}\)而确定的，因之其变化规律和比冲变化规律是有差别的。

下面我们分析当高度H一定时，飞行马赫数M_H上升，即M_H＞M_d，其内部参数的变化过程将与上述情况相反。

\({{M}_{H}}\uparrow \to {{V}_{H}}\uparrow \to {{\dot{m}}_{K}}\uparrow (\alpha {{V}_{H}})N\uparrow \to \alpha \uparrow \to \tau \downarrow \to Z({{\lambda }_{2}})\downarrow \to {{\lambda }_{2}}\uparrow \)

λ₂上升，q(λ₂)即上升，由图8-4进气道特性线可见，当飞行马赫数增加时q(λ₂)_cr应减小，现q(λ₂)值是增加的，也即反映进气道工况进入超临界状态。

由名义推力系数表示式可知，当M_H增加时，λ_H值是随之增加的，τ是下降的，\(2/{{k}_{K}}M_{H}^{2}\)是减小的，这二项对推力系数的影响是相反的；主要的由于τ的下降，综合起来名义推力系数是随着飞行马赫数的增加而下降。

飞行马赫数M_H=M_d时，\({{\varphi }_{Hd}}=1.0\)；当M_H上升时，发动机进入超临界，\({{\varphi }_{H}}={{\varphi }_{Hcr}}=1.0\)，这情况下附加阻力系数\({{C}_{xad}}=0\)因为\({{C}_{xad}}=0\)，如图8-5b所示。

从名义比冲表示式可见，当飞行马赫数M_H增加时，V_H是增加的，α也是增加的。这二项因素均使比冲增加；从物理意义上讲，反映飞行速度增加时，增压比增高，α值增加，提高了推进效率；这均将使推力有所增加。但另一方面，当飞行马赫数增加时，由上面分析知，推力系数是下降的，这项因素将使比冲值减小，反映超临界损失增大的因素。综合起来，由计算结果得出，在低高度下名义比冲值是随飞行马赫数的增加而下降的，而在较高的飞行高度下则随着飞行M_H数的增加，比冲值先上升后下降，中间有最佳点；如图8-2所示。

(2)高度特性

高度特性是研究发动机飞行马赫数不变的条件下发动机推力系数C_F、比冲I_s与飞行高度以H的关系。研究高度特性的条件与速度特性相同，即燃气发生器工况不变，\({{\dot{m}}_{r}}\) =常数；发动机的几何尺寸是不可调节的。图8-6和图8-7上所示曲线即为组合发动机的高度特性。

图8-6 不同速度下的比冲高度特性图8-7 不同速度下的推力系数高度特性

取一定的飞行马赫数下，飞行高度H=H_cr时，发动机处于临界工况，这时\({{\varphi }_{H}}={{\varphi }_{Hcr}},{{\sigma }_{in}}={{\sigma }_{incr}}\)，该情况下的总温比τ为临界总温比。当飞行高度变化时，发动机内部参数也将随之变化。与速度特性的分析相同，先从进入发动机的流量表示式出发考虑；当飞行高度下降时，空气密度增加，因为进气量\({{\dot{m}}_{K}}\infty {{\rho }_{H}}\)，因之空气流量是增加的；另外，在11公里高度以下时，随高度下降，大气温度是增加的，而\({{M}_{H}}={{V}_{H}}/\sqrt{\left( {{k}_{K}}{{R}_{K}}{{T}_{H}} \right)}\)，虽然M_H保持飞行高度下降，飞行速度V_H是增加的，因为\({{\dot{m}}_{K}}\infty {{\rho }_{H}}\)，所以地空气流量的影响是使之增加；引射系数N也将正比于\({{\dot{m}}_{K}}\)的增加而增加，相应地余气系数α增加，而总温比τ下降；由冲量公式可得出Z(λ₂)随之下降，进气道出口速度系数λ₂增加，也即表示q(λ₂)值增加。q(λ₂)值的变化即相当于进气道工作点的变化；如图8-8所示，在进气道特性线上发动机工作点。当飞行高度下降时，q(λ₂)值增加，进气道进入超临界状态，其参数\({{\varphi }_{H}}={{\varphi }_{Hcr}},{{\sigma }_{in}}={{\sigma }_{incr}}\)。

从推力系数表示式看〔如（8-4）式〕，在飞行马赫数一定的条件下，飞行高度下降时，式中仅总温比τ下降，其他参数均保持不变，反映在式中，推力系数随之下降。

从比冲表示式中看；余气系数α是增加的，使比冲增加，这反映推进效率的提高。在11公里以下时，随着高度下降，V_H是增加的，这使比冲有增加；推力系数C_Fm是随着速度的下降而下降的，这反映发动机超临界损失的增大，对比冲来说即使之减小。这几种因素综合起来，由计算可知，在低飞行马赫数下，随着H的下降，比冲是增加的，在高M_H下，随着H的下降，比冲的变化是先增加后减少。图8-6即表示出该变化规律的情况。

在飞行马赫数M_H一定，飞行高度升高时，其变化过程与上述分析是相反的。

λ₂的下降，即反映q(λ₂)值减小，由进气道特性线图8-8可见，进气道工况将进入亚临界；这时∅_H＜∅_Hcr，流量系数减小，即使发动机流量进一步减少，重复上列变化过程，在一个新的平衡状态下工作。由推力系数表示式可见，由于∅_H值的减小，将使名义推力系数C_Fm减小，但的上升却使C_Fm增加，后者对推力系数的影响是主要的，结果使C_Fm随飞行高度的增加而增加。如考虑有效推力系数的变化，则由于亚临界工况，带有附加阻力，随着H的增加，亚临界程度增大，使C_Fef值的增加减缓。

图8-8 进气道特性线

由比冲表示式分析着α值随飞行高度增加而下降，反映加热量增多，推进效率将有所下降，而使I_sm减少；C_Fm是随高度增加而增加的，但仅反映出\(\frac{1}{2}{{\rho }_{H}}V_{H}^{2}\)的下降较推力值的下降为缓慢，所以结果是使比冲I_sm随飞行高度的增加而下降，如考虑亚临界工况下的附加阻力，则I_sef随飞行高度的增加而下降的趋势更为迅速。

(3) 综合特性

上面速度特性和高度特性的分析都是在一定飞行马赫数和一定飞行高度下进行分析的，实际上在具体使用时，发动机沿导弹弹道飞行，飞行高度和飞行马赫数均同时在变化；因之常在速度特性上作出各种不同高度下的速度特性线，在高度特性上作出各种不同飞行马赫数下的高度特性；以便于弹道计算时使用。图8-2、8-3、8-6、8-7上均是将二个因素同时标出的。

在列出发动机综合特性线时，应注意有几条特征线；如对一台组合发动机来说，对应于每一高度下，发动机有一点为临界工作点；其他工作点不是亚临界工况，即是超临界工况。临界工作点对应的马赫数，在不同飞行高度下是不同的。如图8-9上虚线即为临界工作线，临界工作点在较高的飞行高度下，对应于较大的飞行马赫数。

另一条特征线需要在综合特性线上标出，该特征线为最大T₄^*限制线；在组合发动机设计时，为取得较高的推力，常取较高的T₄^*；而当发动机飞行于其它的马赫数和高度条件下时，发动机补燃温度可能进一步增高；T₄^*过高受发动机补燃室和喷管材料的热强度限制。一般选取T₄^*小于3000K，为使飞行过程中，补燃温度T₄^*不超过规定的限制值，需在综合特性线上标出最大限制线；如图8-10上的点划线即为最大T₄^*限制线，在限制线以下的飞行范围中，发动机的补燃温度T₄^*将小于规定的限制值，在限制线以上的飞行范围中。T₄^*将高于规定的限制值，由于T₄^*的限制而不允许飞行。

图8-9 速度特性上的临界工作线    

图8-10 速度特性上的最大T₃^*限制线

 

由图8-10T₄^*限制线可见，该组合发动机仅允许在一定的低空弹道范围内工作。为了扩大发动机的工作范围，可以采用下列措施：

1、为了适应高空飞行条件，组合发动机燃气发生器应采取分段装药或减燃面装药，使后段弹道飞行时燃气发生器流量相应减少，相应的余气系数增大，补燃温度T₄^*降低，以抵消因飞行高度增加而产生的T₄^*的增量。

2、设计时采用较大的余气系数α值，使T₄^*的设计值较低，而到空气高速范围允许有一定的增温量。这时，设计点的推力系数值一般将有所降低，但有利于高空高速条件下工作的T₄^*不致超过规定的限制值。

3、采用与M_d不同的进气道锥波封口马赫数M_HF，即使设计点的临界流量系数小于1.0，这情况下，M_HF＞M_d临界流量系数与飞行马赫数的变化规律，如图8-11所示；当飞行马赫数增大时由图可见，临界流量系数随之增加，也就是表示有一个附加的流量补充，使进气量增加，这时发动机的T₄^*可以有所下降，同时又减小了发动机的超临界程度，改善了发动机的性能；T₄^*的下降扩大了允许使用的飞行范围；如图8-12所示，图中表明：采用较大的α设计值和较高的进气道封口马赫数，可以使发动机的允许使用范围得到扩大。

图8－11 M_HF>M_d下的速度特性

图8-12α设计值和进气道封口马赫数对最大T₄^*限制线范围的影响

8.3 固冲组合发动机特性的计算

对一台已经确定几何尺寸的发动机，飞行于各种不同的状况下时，发动机参数和性能指标的变化规律，需经由特性计算得出。下面介绍组合发动机的特性计算步骤。

(1)假设条件

为简化计算，在特性计算中我们取用了下列假设条件：

1、流入发动机的气流为一元定常流。各截面气流参数均为该截面的平均值；

2、发动机内流与外部气流无热交换；

3、补燃室为圆筒形；

4、不考虑燃气的解离和复合；

5、燃气发生器流量\({{\dot{m}}_{r}}\)=常数；

6、发动机几何尺寸不可调。

(2) 特性计算的已知条件和原始参数

1、飞行条件和飞行参数，如M_H、H；依此可查出大气压力p_H、大气温度T_H、空气性质参数c_PK、m_K、k_K以及相应的气动力函数π(λ_H)、q(λ_H)、τ(λ_H)。

2、燃气发生器参数：如燃气总压\(p_{r}^{*}\)、总温\(T_{r}^{*}\)，喷管出口速度系数λ_r，燃气性质和装药性质参数X_r、m_r、C_pr、L_O、Q_br相应的气动力函数Z(λ_r)、q(λ_r)，喷管损失系数б_r。

3、进气道特性参数σ_incr、б_Hcr。

4、发动机几何参数：A₁/A₂、A_r/A₂、A₂/A₃、A_t/A₃、A_t/A₄、A₄/A₅。

5、发动机尾喷管中气流参数：\({{\lambda }_{4}}{{\lambda }_{5}}q({{\lambda }_{4}})Z({{\lambda }_{4}})Z({{\lambda }_{5}}){{\sigma }_{{{P}_{1}}}}{{\sigma }_{{{P}_{2}}}}\)。

（3）特性计算步骤

1、\(p_{H}^{*}={{p}_{H}}/\pi ({{\lambda }_{H}})\)

2、\(T_{H}^{*}={{T}_{H}}/\tau ({{\lambda }_{H}})\)

3、\(\frac{1}{{{\theta }_{r}}}=T_{r}^{*}/T_{H}^{*}=\frac{T_{r}^{*}}{T_{H}^{{}}}\times \tau ({{\lambda }_{H}})\)

4、\(N=\alpha {{L}_{O}}=\frac{{{m}_{K}}}{{{m}_{r}}}\frac{P_{H}^{*}}{P_{r}^{*}}\frac{q({{\lambda }_{H}})}{q({{\lambda }_{r}})}\frac{1}{\sqrt{{{\theta }_{r}}}}\cdot {{\varphi }_{H}}\cdot {{f}_{r}}(1+\frac{1}{{{f}_{r}}})\)

当N≥L_O时，按顺序计算

当N＜L_O，算至第8步和第九步时，对式中Hu应乘以\(\frac{N}{{{L}_{O}}}\)然后进行运算。

5、\(\alpha =N/{{L}_{0}}\)

6、\(\beta =1+\frac{1}{N}\)

7、\((\frac{{{c}_{Pr}}}{{{c}_{Pbr}}}\frac{1}{{{\theta }_{r}}}+N\frac{{{c}_{PK}}}{{{c}_{Pbr}}})/(1+\alpha {{L}_{O}})\)

8、

\({{\phi }_{br}}\text{=}{{Q}_{br}}/\left[ {{c}_{Pb}}T_{H}^{*}(1+\alpha {{L}_{O}}) \right]\)

 

9、\(\tau =(\frac{{{c}_{Pr}}}{{{c}_{Pbr}}}\frac{1}{{{\theta }_{r}}}+N\frac{{{c}_{PK}}}{{{c}_{Pbr}}})/(1+\alpha {{L}_{O}})+{{\phi }_{br}}{{Q}_{br}}/\left[ {{c}_{Pbr}}T_{H}^{*}(1+\alpha {{L}_{O}}) \right]\)

10、\(T_{4}^{*}=\tau \cdot T_{H}^{*}\)

11、\({{x}_{r}}\beta /\sqrt{{{\theta }_{r}}}\)

12、\({{x}_{br}}\beta \sqrt{\tau }\)

13、\(\frac{Z({{\lambda }_{r}})}{(1+N)}\frac{{{x}_{r}}\beta }{\sqrt{{{\theta }_{r}}}}\)

14、\(Z({{\lambda }_{4}})\cdot {{x}_{br}}\cdot \beta \sqrt{\tau }\)

15、\(Z({{\lambda }_{2}})=Z({{\lambda }_{4}})\cdot {{x}_{br}}\cdot \beta \sqrt{\tau }-\frac{Z({{\lambda }_{r}})}{(1+N)}\frac{{{x}_{r}}\beta }{\sqrt{{{\theta }_{r}}}}\)

16、\({{\lambda }_{2}}=\frac{Z({{\lambda }_{2}})-\sqrt{Z{{({{\lambda }_{2}})}^{2}}-4}}{2}\)（取λ₂＜1实根）

17、\(q({{\lambda }_{2}})={{(\frac{{{k}_{K}}+1}{2})}^{\frac{1}{{{k}_{K}}-1}}}{{\lambda }_{2}}{{(1-\frac{{{k}_{K}}-1}{{{k}_{K}}+1}{{\lambda }_{2}}^{2})}^{\frac{1}{{{k}_{K}}-1}}}\)

根据q（λ₂）值判别是否出现引射渗混段的第二种临界状态。为了判别，首先必须得出λ₂的临界值λ_2cr。解联立方程：

\(q({{{\lambda }’}_{r}})=\frac{{{f}_{{{r}_{2}}}}q({{\lambda }_{r}})}{(1+{{f}_{r2}})-q({{\lambda }_{2cr}})}\)                                           （5-35）

\(2.0=Z({{\lambda }_{2cr}})-\frac{{{x}_{r}}}{N\sqrt{{{\theta }_{r}}}}\left[ Z({{\lambda }_{r}})-Z({{{{\lambda }’}}_{r}}) \right]\)                            (7-22)

得出λ₂值，如λ_2cr≤λ₂则表示已达临界状态，这时需将λ_2cr替代λ₂值，然后按步骤下算。如λ_2cr＞λ₂，则仍按上列计算所得的λ₂，沿步骤下算。

18、\({{\sigma }_{in}}=\frac{{{\varphi }_{Hcr}}q({{\lambda }_{H}})}{q({{\lambda }_{2}})}{{f}_{1}}(1+{{f}_{{{r}_{2}}}})\)

计算得出的σ_in值，如σ_in≤σ_incr时，则按步骤向下计算，这时表明发动机为临界或超临界工况工作。当σ_in>σ_incr时，则取σ_in=σ_incr值。由第19步骤求出∅_H值代入第4步骤方程中，再按程序向下计算，得出新的σ_in值，与σ_incr相比较；重复上述作法；一直计算至绝对值|σ_in-σ_incr|＜0.001为止。这样就确定了亚临界工况条件下的流量系数值。

19、\({{\varphi }_{H}}=\frac{{{\sigma }_{in}}q({{\lambda }_{2}})}{q({{\lambda }_{H}}){{f}_{1}}(1+{{f}_{{{r}_{2}}}})}\)

20、\(\frac{p_{4}^{*}}{p_{2}^{*}}=\frac{N+1}{N}\frac{{{m}_{k}}}{{{m}_{br}}}\sqrt{\tau }\frac{q({{\lambda }_{2}})}{q({{\lambda }_{4}})}\frac{1}{1+{{f}_{{{r}_{2}}}}}\)

21、\({{C}_{Fm}}={{\varphi }_{H}}\frac{{{A}_{1}}}{{{A}_{5}}}\left[ \frac{{{k}_{K}}+1}{{{k}_{K}}}{{x}_{br}}\beta \sqrt{\tau }\frac{Z({{\lambda }_{5}})}{{{\lambda }_{H}}}-2 \right]-\frac{2}{{{k}_{K}}{{M}_{H}}^{2}}\)

\({{I}_{Sm}}=\frac{{{C}_{Fm}}\cdot \alpha {{L}_{O}}\cdot {{a}_{H}}\cdot {{M}_{H}}}{2{{\varphi }_{H}}{{f}_{1}}}\)

各截面的气流参数可按相应的公式计算得出。

8.4 一体化内外弹道联合计算

固体火箭冲压发动机的设计是在导弹飞行弹道上选取设计点，即给出设计状态的飞行高度、飞行马赫数，通过发动机气动热力计算，确定发动机内通道各主要截面的相对尺寸，求出发动机在设计状态下的推力系数C_F及比冲I_S等性能参数。由于固冲发动机性能与导弹的飞行高度、速度和姿态密切相关，为了考查发动机设计的好坏必须以整个飞行弹道过程中性能参数的变化，看其是否能在规定的弹道上满足导弹对发动机的要求。

发动机－导弹飞行弹道性能计算是发动机设计的重要组成部分，其实质是把导弹简化弹道计算方法和两级组合发动机计算方法有机组合，构成系统数学模型，为“一体化”设计服务。计算目的是：确定合理的燃气发生器流量规律，检验发动机部件工作的协调性，使两级组合式发动机设计参数和性能初步满足导弹射程、速度和机动性要求。

计算需用原始数据由以下几部分组成：

1)助推发动机性能参数；

2)固体火箭冲压发动机几何尺寸、进气道性能参数、热力计算数据、效率和损失系数等；

3)燃气发生器流量规律；

4)导弹气动力数据；

5)导弹和发动机质量、质心变化数据。

应该指出本文的弹道计算模型并不能精确反映导弹的实际飞行状态，在导弹的弹道和制导系统的设计计算中所采用的模型会更复杂些。在此，只是用以检验发动机在不同的飞行高度和攻角下发动机的性能，系统所用的导弹气动数据来源于弹道的流场数值计算和实验数据。

本文以空空弹打击空中目标为例，建立弹道计算模型，实际上也可用于地空弹和空对舰导弹的弹道计算。为了简化计算、方便分析，作以下几点假定：

1)将导弹看作可控质点，质量集中于质心，进行质点弹道的计算和分析；

2)仅考虑导弹在纵向铅垂平面内的运动；

3)目标沿水面作等速直线运动；

4)导弹攻击目标采用比例导引方法。

垂直平面内导弹与目标的相对位置关系如图8－13所示。

图8－13 导弹与目标的相对位置及有关参数

在描述弹道计算模型时用到的一些符号的意义如下：

v             导弹飞行速度；

α_g            导弹攻角；

m_m          导弹质量；

v_t             目标飞行速度；

q             瞄准线的水平夹角；

dq/dt               瞄准线转动角速度；

q             弹道倾斜(发射角)；

R             导弹与目标直线距离；

X_m  导弹水平座标；

Y_m          导弹垂直座标。

h             导弹的速度方向与瞄准线的夹角；

h_t            目标飞行速度方向与瞄准线的夹角。

由于目标是水平等速飞行，所以 h_t=q。

导弹与目标相对运动的微分方程组为：

(8－5)

为了求解该式，下列参数必须设法求出，并与方程组耦合求解：

• q_H为飞行高度H下的飞行动压头q_H=ρ_Hv²/2.。
• 式中导弹的质量m_m随时间的变化可由发动机设计部门和导弹总体部门确定，在弹道计算时只要知道导弹在某瞬时的质量即可。
• A_max为导弹的参考面积（导弹气动设计中的S_R）综合考虑弹体、弹翼和进气道的迎风面积，用于计算导弹的升阻力所用的参考面积。
• C_x为导弹的阻力系数，它与导弹的气动外形和飞行姿态有关。可由一系列已知的气动参数计算得来。
• n_y为导弹的法向过载，当采用比例导引时，法向过载

     \({{n}_{y}}={{k}_{0}}\left| \frac{dR}{dt} \right|\frac{dq}{dt}\)                                                                                       (8－6)

式中k₀为比例导引系数。本文取\({{n}_{y}}=\min \left( {{n}_{yx}},{{n}_{yk}} \right)\)，其中n_yx和n_yk可按下二式计算

\({{n}_{yk}}={\left( F\sin {{\alpha }_{k}}+{{C}_{yk}}{{q}_{H}}{{A}_{\max }} \right)}/{{{m}_{m}}}\; \)

\( {{n}_{yx}}=0.4\left| {dR}/{dt}\; \right|{dq}/{dt}\;-0.2{dv}/{dt\sin \eta +0.2g\cos q}\; \)             (8－7)

C_yk为导弹的升力系数，它与导弹的气动外形和飞行姿态有关。可由一系列已知的气动参数计算得来。

• 导弹的攻角a_g，是导弹的轴线方向与导弹的速度方向的夹角。在比例导引中，a_g由多种因素决定，由下列迭代过程确定：

1)α_x赋初值；

2)\({{C}_{y1}}={{C}_{N1}}\cdot \cos {{\alpha }_{x}}-({{C}_{a}}+\Delta {{C}_{a}})\cdot \sin {{\alpha }_{x}}\)，

式中：C_N1为导弹的法向力系数，由导弹的攻角和飞行马赫数决定，由气动计算和实验获得，计算时以数据表的形式提供，通过插值C_N(a_x,Ma)获得；

Ca为导弹的轴向力系数，通过插值Ca(a_x，Ma)数据表获得。

DCa为舵偏增量，它是由舵偏角d和飞行马赫数Ma决定，通过插值DCa(d，Ma)。

3)\({{C}_{y2}}=\frac{{{n}_{y}}\cdot mg-\sin {{\alpha }_{x}}\cdot F}{{{q}_{H}}\cdot {{A}_{m}}}\)；

4)若\(\left| {{C}_{y1}}-{{C}_{y2}} \right|\le \varepsilon \)，则得出α_x计算值；

5)a_g=min{a_k，a_x}，

• a_k为可用攻角，由下列迭代过程确定：

1)a_p赋初值；

2)\({{C}_{N1}}=\frac{{{C}_{N}}^{\delta }\cdot ({{{\bar{X}}}_{CPT}}-{{{\bar{X}}}_{T}})}{{{{\bar{X}}}_{CP}}-{{{\bar{X}}}_{T}}}{{\delta }_{\max }}\)，

式中：d_max=±30°为最大舵偏角，由用户选定；

         C_N^δ.为舵面效率，与飞行马赫数有关，通过插值获得；

         \({{\bar{X}}_{CPTB}}\) 为舵效压心，通过插值\({{\bar{X}}_{CPTB}}\left( {{M}_{a}} \right)\)数据表获得；

         \({{\bar{X}}_{CP}}\) 为导弹压心系数，通过插值\({{\bar{X}}_{CP}}\left( {{M}_{a}} \right)\)数据表获得；

3)求插值量C_N^δ＝C_N^d(a_p，Ma)；

4)若\(\left| {{C}_{y1}}-{{C}_{y2}} \right|\le \varepsilon \)，则得出导弹平衡攻角a_p计算值；

5)a_p=min{a_p，a_max}，

a_max为最大可用攻角，实用中由用户设定。

至此我们可以求出导弹的攻角a_g。

• 发动机有效推力变化规律：

在初步设计阶段，可以认为助推是等推力的，如果助推段的装药设计和内弹道计算已经完成，可直接调用内弹道计算结果数据，此时推力可认为是变化的。F₁,t₁为助推段的推力和工作时间；F₂，t₂为冲压阶段的推力和工作时间。这里提供的推力是名义推力，进气道的附加阻力和其它形式的阻力在外弹道计算考虑。

• 导弹质量的变化规律：

导弹整个工作过程中质量是逐渐减少的，在本模型中助推段按等质量流率计算。若采用无喷管装药，工作初期，燃面积小、燃烧室压强大、燃速高，工作后期，燃面大、燃烧室压强低、燃速低。因此，按等质量流率不会引起太大的误差。

(8－9)

   式中：m₁为助推装药质量；

m_a为助推器工作结束后，抛出的消极质量，如进气道堵盖、燃气发生器堵盖及助推喷管等；

m₂为续航段燃气发生器的装药质量；

m₀ 导弹的起飞质量。

目标坐标的变化规律：

\({{X}_{t}}={{X}_{t0}}-{{v}_{t0}}\cdot t \)

   \({{Y}_{t}}={{H}_{t0}}\)

                           (8－10)

式中，X_t0为目标初始坐标，由于本系统是以导弹满足射程要求来衡量的，因此采用修正目标的初始水平位置X_t0来进行迭代的。如果总体要求的射程太远，则结果不能收敛；如果很近，可在主动段内实施攻击。Xt,Yt为目标的瞬时位置。Ht0目标的飞行高度，本模型中认为目标的飞行高度不变。

• 舵偏角

\(\delta =-\frac{{{C}_{N}}\cdot ({{{\bar{X}}}_{CP}}-{{{\bar{X}}}_{T}})}{{{C}_{N}}^{\delta }({{{\bar{X}}}_{CPT}}-{{{\bar{X}}}_{T}})}\)                         (8－11)

• 导弹阻力系数

\({{C}_{x}}=({{C}_{a}}+\Delta {{C}_{a}})\cdot \cos \alpha +{{C}_{N}}\cdot \sin \alpha \)                                     (8－12)

• 升力系数

\({{C}_{y}}={{C}_{N}}\cdot \cos \alpha -({{C}_{a}}+\Delta {{C}_{a}})\cdot \sin \alpha \)                                         (8－13)

• 上述数学模型中，各符号的意义汇总如下：

v、v_t导弹飞行速度、目标飞行速度；

F发动机有效推力；

m₀、m₁、m₂导弹起飞重量、助推药重、主级药重；

t₁、t₂助推级工作时间、主级工作时间；

X_t、Y_t目标坐标位置；

C_x、C_y导弹阻力系数、升力系数；

d舵偏角；

a_g、a_k、a_p导弹攻角、可用攻角、平衡攻角；

• 在弹道计算之前需要提供的插值量数据如下：

\({{\bar{X}}_{T}}\)                                导弹质心系数

C_N(a，Ma)              导弹法向力系数

C_a(H，Ma)              导弹轴向力系数

\({{\bar{X}}_{CP}}\)(a，Ma)           导弹压心系数

\({{\bar{X}}_{CPT}}\)(Ma)            舵效压力

DC_a(d，Ma)       舵偏增量

C_N^d(Ma)                   舵面效率