第五章  固体火箭发动机喷管流动分析及计算

本章首先对固体火箭发动机燃烧产物在喷管内的流动过程作定性的分析，然后讨论理想化条件下典型流动过程的热力计算模型及典型计算方案，在此基础上讨论喷管实际流动过程中存在的二维流动损失、二相不平衡流动损失、化学不平衡流动损失、附面层损失等问题并给出固体火箭发动机实际性能参数（即比冲）的预估方法，最后讨论喷管的非设计工作状态及长尾喷管内的流动问题。

§5.1 喷管流动过程分析

燃烧产物在喷管中的流动过程非常复杂，其中最主要的过程是高温、高压的燃气在拉瓦尔喷管中的膨胀加速。燃气膨胀过程中温度和压强迅速下降，热能转化为动能，使燃烧产物加速并产生推力。但是必须指出，在燃气膨胀加速的同时还会发生各种各样的过程，这些过程都不同程度的影响着燃烧产物能量的转换及发动机的性能。下面在不考虑高温燃气流与喷管壁面间相互作用（摩擦、散热等作用）的前提下，对燃烧产物在喷管内的流动过程作定性的分析，以便选择适当的计算方法。

一、喷管流动过程中的化学平衡问题

燃烧产物在喷管中膨胀加速，温度和压强下降、燃气成分也随之改变。温度下降使燃烧产物的离解成分进行复合，而压强的下降又促使燃烧产物进行离解，但温度下降的影响是主要的，因此在喷管流动过程中，燃烧产物成分变化的总结果是离解产物进行复合反应。但是完成化学复合反应需要一定的时间，而燃烧产物在喷管中的停留时间却很短。一般情况下，停留时间均在0.001秒以下，在小型发动机中就更短了。这就产生了复合反应是否来得及进行、燃烧产物的成分是否能达到化学平衡状态的问题。为了使问题简化，可将燃烧产物在喷管流动过程中的化学平衡问题分成如下三种情况：

1、平衡流动

平衡流动认为，燃烧产物在喷管流动过程中，复合反应非常快，基本上能够适应燃烧产物热力学参数变化的速度（主要是温度、压强随时间改变的速度）。在这种情况下，燃烧产物的成分在喷管的任何截面、任何温度和压强下都能保持化学平衡状态，并且在复合反应中释放出一部分热量，参加喷管流动中的能量转换，进而增加了燃烧产物在喷管出口处的动能。这种流动过程称为极限平衡流动，也叫做化学平衡流动。

2、冻结流动

冻结流动认为，在喷管流动过程中，燃烧产物的化学成分没有改变，即喷管入口处燃烧产物的成分与喷管出口处燃烧产物的成分相同。这是因为复合反应的速度大大低于燃烧产物热力参数变化的速度，温度和压强改变了而成分来不及改变，流动过程中没有复合反应。所以在喷管出口处燃烧产物的成分在化学上是极端不平衡的。由于流动过程中没有进行复合反应，所以也没有补充释放热量。这种流动过程叫做极限不平衡流动，也叫化学冻结流动。

3、化学不平衡流动

因为复合反应速度是一个有限值，所以喷管中燃烧产物的实际流动过程，既不是平衡流动也不是冻结流动，而是介于平衡和冻结两种极限状态之间的化学不平衡流动。实际流动到底是接近平衡流动还是接近冻结流动的化学不平衡流动，是与发动机的推进剂种类、燃烧室压强、喷管长度、膨胀压强比等有关的。

对于中、低能的双基推进剂，燃烧温度较低而燃烧室压强较高（双基推进剂稳态燃烧的临界压强3~6MPa），因此在燃烧过程中燃烧产物很少离解。相应地，含量很少的离解产物在喷管流动过程中的复合反应也进行得很缓慢，因而燃烧产物的成分变化很小。这种情况，通常均按冻结流处理。实际上，对于中、低能的双基推进剂，按平衡流计算与按冻结流计算的结果差别很小。

对于能量较高的复合推进剂，燃烧温度较高而燃烧室压强往往较低（复合推进剂稳态燃烧的临界压强2MPa），因此燃烧过程中燃烧产物的离解比较严重。相应地，浓度较高的离解产物在喷管流动过程中的复合反应速度很快，喷管出口处燃烧产物的成分比较接近喷管出口的温度和压强下的化学平衡成分，因而常按平衡流计算。对于能量较高的复合推进剂，按平衡流计算与按冻结流计算的结果差别比较明显。例如，对以过氯酸铵为氧化剂并含有铝粉的复合推进剂，按冻结流与按平衡流计算的差别可达3~4%。

二、喷管流动过程中的燃气内能平衡问题

燃气内能是指燃气分子作无规则运动所具有的内部热能（简称内能，单位J/kg），主要由平动动能、旋转动能、振动动能、由于分子间的作用力所形成的位能等四部分组成，前三种能量都是气体温度的函数，而位能随分子间的距离的变化而变化，亦即决定于气体比容（单位质量的气体所占有的容积）的大小，也就是说，气体内能不仅与其温度有关，而且还与体积有关。因此有：

\({{c}_{v}}={{c}_{i}}+{{c}_{e}}\left( T \right)\left( 1\text{-}{{e}^{-\frac{t}{\tau }}} \right)\)                        （5-5）

其中，c_e(T)是对应于温度T的振动自由度的比热平衡值，τ为分子热松弛时间，是与气体性质有关的特征参数，可以用它表示比热变化滞后温度的程度。

在火箭发动机喷管中，燃烧产物的膨胀加速使温度连续地快速下降，如果温度变化速率很大，而分子热松弛时间τ又相对较长，气体比热就会跟不上温度的变化，它的值将始终小于各温度下的平衡值，即附录4-4中给出的值。这也意味着有一部分振动动能来不及转化为气体流动的动能，从而造成一项能量损失。

在火箭发动机喷管流动计算中，通常按气体的分子热松弛特性或气体内能量不平衡的程度，将气体的流动状态分为如下三类：

1、能量平衡流动

能量平衡流动认为，分子热松弛时间很短、温度变化率很小时，气体的比热能够完全适应温度的变化，在任何温度下，比热值均等于对应温度下的平衡值。在这种情况下，气体内能向气流动能的转化是最完善的，不会造成附加的能量损失。

2、能量冻结流动

如果温度下降的速率很大，燃气在喷管中的停留时间很短，而气体的分子热松弛时间又相对较长，那么振动自由度上的能量就有可能完全来不及变化，而处于冻结状态。在这种情况下，比热的振动自由度分量c_e趋于零，只剩下了平动和转动自由度的分量c_i，气体比热即成为不随气体温度变化的常数。因为分子内的振动动能完全没有来得及转化成气流的动能，这种冻结流动的排气速度必定小于平衡流动。

3、能量不平衡流动

能量平衡流动或能量冻结流动均属理想的极限流动情况，而实际流动是处于两者之间的中间状态。此时比热不是常数，但也不等于膨胀加速过程中各个温度下的平衡值，它所造成的能量损失也比冻结流动小一些。

三、喷管流动过程中的两相流问题

随着固体推进剂的不断发展，有些推进剂中添加了一些燃烧热值较高的金属粉，如Al、Li、Be、B等，以提高燃烧温度和比冲。这时燃烧产物中除气相产物外，还有固相产物或者液相产物，如Al₂O₃、Li₂O、BeO、B₂O₃等。由于这类凝相成分的存在，燃烧产物在喷管流动过程中就不能看作是单纯的完全气体，而是由气相和凝相产物所组成的两相流动。

两相流动中的气相部分仍然遵从完全气体的基本规律。在喷管流动过程中，随着气体压强的降低和膨胀加速，气体的部分热能转化为气流的动能；而凝相部分虽然是以微细的颗粒出现，但它的体积不变，不能像气体那样膨胀做功，因此，凝相部分的热能不能直接像气体膨胀那样转化为动能，因而影响了燃烧产物在喷管中的能量转换过程，所以在喷管流动计算中必须考虑到两相流动的特点以及凝相成分对比冲的影响。

凝相部分的微细颗粒虽然由于体积不变而不能膨胀做功，但它与膨胀加速的气相部分一起流动时仍然要参与整个能量转换过程。一方面由于凝相颗粒分散处于膨胀加速的气相流之中，气相的流动必然要推动凝相颗粒逐步加速，在离开喷管时仍能达到一定的速度，产生反作用推力。不过凝相部分的速度增加总是要落后于气相的速度增加，这在两相流动中叫做“速度滞后”。另一方面，由于气相部分的膨胀加速，气相温度逐步降低，此时必然会有从凝相颗粒到气相的传热，即凝相颗粒的热能传给气相，再通过气相的膨胀转变成燃烧产物的动能。但是凝相温度的降低要落后于气相温度的降低，形成所谓“温度滞后”。由此可见，在两相流动中，凝相颗粒的部分热能也能通过气相的膨胀转换为动能，同时因受气相的推动而加速也能产生反作用推力。只是这种间接的能量转换比起单纯气相膨胀加速的能量转换更加不完全，效率更低，从而使比冲有所减小。

在喷管流动过程中，究竟有多少凝相颗粒的热能转化为两相燃烧产物流动的动能？在气相流动的作用下，凝相颗粒又能获得多大速度？这些都是比较复杂的问题。前者决定于两相间的温度滞后及相应的传热过程，后者则决定于两相间的速度滞后及凝相颗粒的受力情况。而这些又与凝相颗粒的含量、凝相颗粒的大小以及燃烧产物在喷管中的停留时间等有关。因此，要想充分考虑两相流动中的全部因素来计算喷管流动过程以及发动机的比冲，必然要涉及到比较多的问题。一般是就几个极端的情况进行分析。

1、两相平衡流动（即热力平衡、动力平衡）

当凝相颗粒直径很小，例如小于0.1~10微米时，就可以认为气相与凝相之间能达到速度平衡与热平衡，即两相间没有速度滞后和温度滞后，如设T_p、T_g、u_p、u_g分别为凝相颗粒（下标p）和气相（下标g）的温度和速度，那么对于两相平衡流动，则有：T_p=T_g、u_p=u_g此时可以把凝相当作一种气相成分处理，但是它不能膨胀做功。

如令ε代表单位质量燃烧产物中包含的凝相产物的质量分数（注：ε是一个小于1的正数），则（1-ε）就代表气相产物的质量分数，那么单位质量燃烧产物（是气相和凝相的混合物）的比热是气相比热与凝相颗粒比热之和，即：\({{\bar{c}}_{p}}=\left( 1-\varepsilon \right){{c}_{p}}+\varepsilon \ c，{{\bar{c}}_{v}}=\left( 1-\varepsilon \right){{c}_{v}}+\varepsilon \ c\)，其中c_p、c_v为气相产物的定压、定容比热，c为凝相产物比热。此时，两相燃烧产物的喷气速度可表示为：

\({{\bar{u}}_{e}}=\sqrt{\frac{2\bar{k}}{\bar{k}-1}\bar{R}{{T}_{f}}\left[ 1-{{\left( \frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}} \right)}^{\frac{\bar{k}-1}{{\bar{k}}}}} \right]}\text{=}\sqrt{1\text{-}\varepsilon }\sqrt{\frac{2\bar{k}}{\bar{k}-1}R{{T}_{f}}\left[ 1-{{\left( \frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}} \right)}^{\frac{\bar{k}-1}{{\bar{k}}}}} \right]}\) （5-6）

\({{u}_{e}}=\sqrt{\frac{2k}{k-1}R{{T}_{f}}\left[ 1-{{\left( \frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}} \right)}^{\frac{k-1}{k}}} \right]}\)                       （5-7）

式中$\bar{R}$、R分别为两相混合燃烧产物的等价气体常数和气相气体常数，且有\(\bar{R}=\left( 1-\varepsilon \right)R;\bar{k}\)；为两相混合燃烧产物的比热比（\(\bar{k}={{\bar{c}}_{p}}/{{\bar{c}}_{v}}\)）。而纯气相燃烧产物的喷气速度为（参见式2-10）。

式中为气相燃烧产物的比热比（\(k={{c}_{p}}/{{c}_{v}}\)）。

对比式（5-6）和式（5-7）可见，两相混合燃烧产物的计算公式与气相产物的公式在形式上完全相同，只是用混合物的\(\bar{R},\bar{R}\)代替了气相的k和R而已。

为了分析凝相颗粒对发动机比冲的影响，定义影响系数б为：

\(\sigma =\frac{\bar{I}_{s}^{0}}{I_{s}^{0}}\)                                 （5-8）

式中，是喷管处于设计状态下、两相混合燃烧产物的发动机比冲；是喷管处于设计状态下、纯气相燃烧产物的发动机比冲。

对于两相平衡流动，凝相颗粒对发动机比冲的影响系数设为б₁，因此有：

\({{\sigma }_{1}}=\frac{\bar{I}_{s}^{0}}{I_{s}^{0}}=\frac{\dot{m}{{{\bar{u}}}_{e}}}{\dot{m}{{u}_{e}}}=\frac{\sqrt{1-\varepsilon }\sqrt{\frac{2\bar{k}}{\bar{k}-1}R{{T}_{f}}\left[ 1-{{\left( \frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}} \right)}^{\frac{\bar{k}-1}{{\bar{k}}}}} \right]}}{\sqrt{\frac{2k}{k-1}R{{T}_{f}}\left[ 1-{{\left( \frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}} \right)}^{\frac{k-1}{k}}} \right]}}=\frac{\Gamma C_{F}^{0}\left( {\bar{k}} \right)}{\bar{\Gamma }C_{F}^{0}\left( k \right)}\cdot \sqrt{1-\varepsilon }=\sqrt{1-\varepsilon }\cdot x\) （5-9）

式中x为系数。因为两相混合燃烧产物的比热比\(\bar{k}\)略小于气相燃烧产物的比热比k，所以系数x值略大于1，当ε→0时，系数的值趋于1；而当ε≠0时，的值小于1，因此有б₁<1。由此可见，正是由于凝相颗粒不能膨胀做功，因此，与纯气相燃烧产物相比，两相平衡流动的发动机比冲降低了。

2、动力平衡、热力冻结流动

在这种流动状态中，认为凝相颗粒的速度与气相的速度相同（u_p=u_g），但与气相无热交换，凝相颗粒温度保持喷管入口处的数值（即T_p=常数）。此时混合物在喷管中流动时，使气相及凝相颗粒加速的能源是气相的焓降。那么，两相混合燃烧产物的喷气速度为：

\({{\bar{u}}_{e}}=\sqrt{\frac{2\bar{k}}{\bar{k}-1}\bar{R}{{T}_{f}}\left[ 1-{{\left( \frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}} \right)}^{\frac{\bar{k}-1}{{\bar{k}}}}} \right]}\text{=}\sqrt{1\text{-}\varepsilon }\sqrt{\frac{2\bar{k}}{\bar{k}-1}R{{T}_{f}}\left[ 1-{{\left( \frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}} \right)}^{\frac{\bar{k}-1}{{\bar{k}}}}} \right]}\text{=}\sqrt{1\text{-}\varepsilon }\cdot {{u}_{e}}\)

\({{\sigma }_{2}}=\frac{\bar{I}_{s}^{0}}{I_{s}^{0}}=\frac{\dot{m}{{{\bar{u}}}_{e}}}{\dot{m}{{u}_{e}}}=\sqrt{\left( 1-\varepsilon \right)}\frac{\sqrt{\frac{2k}{k-1}R{{T}_{f}}\left[ 1-{{\left( \frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}} \right)}^{\frac{k-1}{k}}} \right]}}{\sqrt{\frac{2k}{k-1}R{{T}_{f}}\left[ 1-{{\left( \frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}} \right)}^{\frac{k-1}{k}}} \right]}}=\sqrt{\left( 1-\varepsilon \right)}\)     （5-10）

对于动力平衡、热力冻结流动，凝相颗粒对发动机比冲的影响系数设为б₂，因此有（5-10）。

比较式（5-10）与式（5-9）即可看出：б₂<б₁，说明两相间速度平衡而温度不平衡也会造成发动机比冲损失，但是温度不平衡的影响不大（因为式（5-9）中的系数x值是略大于1的）。

3、热力平衡、动力冻结流动

在这种流动状态中，认为凝相颗粒的温度与气相的温度相同（即T_p=T_g），而凝相颗粒的速度保持喷管入口处的数值不变（即u_p≈0）。动力冻结表明凝相颗粒或者停留在燃烧室内，或者以极小的速度从喷管排出，此时燃烧产物在喷管中流动时，使气相加速的能源是气相和凝相产物的焓降之和。那么，两相混合燃烧产物的喷气速度为：

\({{\bar{u}}_{e}}={{u}_{e}}=\sqrt{\frac{2\bar{k}}{\bar{k}-1}R{{T}_{f}}\left[ 1-{{\left( \frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}} \right)}^{\frac{\bar{k}-1}{{\bar{k}}}}} \right]}\)

对于热力平衡、动力冻结流动，凝相颗粒对发动机比冲的影响系数设为б₃，且考虑到在这种流动情况下，凝相颗粒或者停留在燃烧室内或者以极小的速度从喷管排出，因此有：

\({{\sigma }_{3}}=\frac{\bar{I}_{s}^{0}}{I_{s}^{0}}=\frac{\dot{m}\left( 1-\varepsilon \right){{{\bar{u}}}_{e}}}{\dot{m}{{u}_{e}}}=\left( 1-\varepsilon \right)\frac{\sqrt{\frac{2\bar{k}}{\bar{k}-1}R{{T}_{f}}\left[ 1-{{\left( \frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}} \right)}^{\frac{\bar{k}-1}{{\bar{k}}}}} \right]}}{\sqrt{\frac{2k}{k-1}R{{T}_{f}}\left[ 1-{{\left( \frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}} \right)}^{\frac{k-1}{k}}} \right]}}\)

\(=\left( 1-\varepsilon \right)\cdot \frac{\Gamma C_{F}^{0}\left( {\bar{k}} \right)}{\bar{\Gamma }C_{F}^{0}\left( k \right)}=\left( 1-\varepsilon \right)\cdot x\)（5-11）

式中x为系数（参见（5-9）式）。

比较式（5-11）与式（5-9）、式（5-10）即可看出：б₃<б₁及б₃<б₂，说明两相间温度平衡而速度不平衡也会造成发动机比冲损失，且速度不平衡导致比冲损失的程度要比温度不平衡导致比冲损失的程度大得多（б₃<б₂）。

4、两相冻结流动（即热力冻结、动力冻结）

在这种流动状态中，认为燃烧产物的凝相颗粒的温度和速度保持不变，均等于喷管入口处的数值（即T_p=常数、u_p≈0）。在流动过程中凝相颗粒的热焓与动能均未发生变化，那么，两相混合燃烧产物的喷气速度为：

\({{\bar{u}}_{e}}=\sqrt{\frac{2k}{k-1}R{{T}_{f}}\left[ 1-{{\left( \frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}} \right)}^{\frac{k-1}{k}}} \right]}\)

对于两相冻结（即热力动结、动力冻结）流动，凝相颗粒对发动机比冲的影响系数设为б₄，且考虑到在这种流动情况下，凝相颗粒的热焓与动能均未发生变化，因此有：

\({{\sigma }_{4}}=\frac{\bar{I}_{s}^{0}}{I_{s}^{0}}=\frac{\dot{m}\left( 1-\varepsilon \right){{{\bar{u}}}_{e}}}{\dot{m}{{u}_{e}}}=\left( 1-\varepsilon \right)\frac{\sqrt{\frac{2k}{\bar{k}-1}R{{T}_{f}}\left[ 1-{{\left( \frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}} \right)}^{\frac{k-1}{k}}} \right]}}{\sqrt{\frac{2k}{k-1}R{{T}_{f}}\left[ 1-{{\left( \frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}} \right)}^{\frac{k-1}{k}}} \right]}}=\left( 1-\varepsilon \right)\)   （5-12）

比较式（5-12）与式（5-9）、式（5-10）、式（5-11）即可看出：б₄的值必定小于б₁、б₂和б₃。这就是说在两相冻结流动中，由于凝相颗粒的焓及动能均保持不变，所以发动机的比冲损失将是最大的。

图5-1给出了喷管流动过程中对两相流问题采用不同处理方案时发动机比冲的比较。

图5-1 两相气流具有不同膨胀方案是发动机比冲之比较

由图5-1可见，与纯气相流动情况下的比冲值相比，两相流动的比冲值下降很多，即使按两相平衡流动计算（图中的点1），比冲降低也约10%左右；图中还可看出，两相间温度平衡与否对比冲的影响力要比两相间动力平衡与否对比冲的影响力要小得多，即与保持完全的温度平衡相比，完全不存在温度平衡只使比冲降低约1.5%左右，而与动力平衡（点1和点2）相比，完全不存在动力平衡（点3和点4）却可导致比冲损失超过10%左右。

通过对喷管流动过程中两相流问题的讨论可见，按两相平衡流动计算所得的比冲最大，按两相冻结流动计算所得的比冲最小，介于这两种极限情况之间的是凝相颗粒的松弛流动，相应的发动机喷气速度值和比冲值也介于两种极限情况之间。那么在喷管实际的流动计算中，是否考虑两相流的存在？如考虑，两相流按何种膨胀方案处理呢？这些问题应视发动机所用的推进剂的类型、发动机的工作条件等具体情况具体分析。