第九章药柱结构完整性分析

发表于： 2019年9月18日 2019年10月11日
分类：固发设计教材

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9.1 药柱结构完整性分析原始数据

药柱结构完整性分析主要包含原始数据分析，结束应力分析和结构破坏分析三方面工作；以及在此基础上估计结构的安全裕度和使用寿命。主要工作程序如图9-1框图所示。

图9-1 药柱结构完整性分析工作程序框图

（1）载荷

固体推进剂药柱从充填在燃烧室内开始，直至发动机点火升压为止，整个服役期间，发动机受到外载荷的情况十分复杂。首先是热载荷，只要外界温度和药柱本身无应力状态时的温度不同，就会在药柱内部形成应力、应变。因为推进剂的热膨胀系数一般比壳体（金属）大一个数量级，所以在低温时便会使药柱/衬层/绝热层粘结面上产生很大的拉应力。发动机的无应力温度约在药柱浇铸温度附近稍高一点（由于浇铸过程中药柱收缩）。如果是加压烧铸有所不同。另外就是瞬变温度载荷，如机载或空中发射导弹，或者是贮存环境温度的迅速变化（迅速是相对的，大型发动机药柱内部温度达到平衡要好几天）；空中俯射的导弹在挂机飞行当中，由于气动加热，壳体温度迅速上升而膨胀，此时药柱仍保持在原来的温度上；凡此种种，都会造成粘结面上以及药柱内孔表面上很大的拉应力。

其次是加速度载荷，如贮存过程中由于药柱自身的重力造成的塌陷；塌陷产生的应力比起热应力是次要的，但是由于塌陷造成药柱的变形，对内弹道特性的影响往往是严重的。还有导弹运输过程受到的冲击、振动以及挂机飞行中由于机动飞行产生的惯性力；多级火箭和空间推进发动机要受到前面级的加速度力，同时每台发动机都有自身发射时的惯性力。

点火升压是发动机结构完整性的最终考验。壳体的变形引起药柱的应变，从而使内孔表面产生拉应力，在各粘结面上产生剪切应力。而升压载荷一般是加在已经处于温度载荷（甚至有可能包括气动和加热载荷）和轴向加速度载荷同时作用情况下的。

（2）药柱几何参数

推进剂药柱在上述全部载荷作用下的结构响应，完全取决于药柱的构形和几何尺寸。药柱的肉厚分数和长径比是影响应力的两项重要参数。如图9-2构型的药柱，这两项参数增大都会导致粘结面处和内孔表面的应力增加。

图9-2 典型固体火箭发动机装药结构

实际发动机中，最大应力通常发生在不连续点处，如药柱粘结面的终（端）点；药柱最大应变则发生在内孔表面，或者是长圆柱孔的中间部位，或者是在几何不连续点处，如图9-2药柱翼的尖端。

设计者的任务就是要确保这些临界点处的应力和应变不超出允许范围。这就要靠调节构形或几何尺寸，使之既能满足弹道要求，又能满足强度要求。人工脱粘是消除不连续点处应力集中的较实用的措施。如图9-2中药柱顶端粘结面处便采用了人工脱粘片，释放了该点的应力，同时也缓解了内孔表面的应力和应变。人工脱粘处绝热层要加厚，以保证壳体和药柱的安全；而消极质量有所增加。

尾部翼槽的作用是调节燃面；但由于开槽，导致尖点处的应力集中，增加槽宽则应力明显降低，但要损失装药量，同时也会影响内弹道特性。翼根部采取椭圆代替半圆弧，亦有利于减小局部应力，但工艺上带来麻烦。这些都要靠设计者巧妙协调。

发动机很长时间，有时还采用应力释放层，即侧面大面积上的人工脱粘；允许药柱和壳体间在热载荷作用下可以自由伸缩；发动机工作时，燃气也可以进入绝热层的缝隙中。

从发展看，延长发动机的服役寿命，有以下三个措施：①结构上设法增大药柱的允许变形；②复合材料壳体；③加压浇注。

（3）材料性能

装药涉及的材料包括推进剂、衬层和绝热层；这些都是粘弹性材料。下面简要介绍一下粘弹性特性。

1）粘弹性和线性粘弹性：粘弹性材料的机械性能很大程度上取决于检验温度和作用时间；就是说，材料的应力和应变在不同的环境温度以及不同的加载速度情况下，呈现出不同的关系，明显的特点是蠕变、应力松弛，有些情况下还可能产生高弹性变形。

通过对圆棒的轴向拉伸或压缩，可以形象地看到蠕变和松弛现象。图9-3（a）表示在应力的作用下（应力是突然施加的，在期间保持常数，然后移去），纵向应变的响应。线段OA表示应变的瞬时弹性响应，曲线AB表示因粘弹性流动导致的应变随时间而变的关系ε（t）。当应力在t=t₀时突然移去，应变立即减少了（等于瞬时弹性响应），剩余的应变则按曲线逐渐恢复。图9-3（b）表示在时间为零时由于突然施加纵向应变ε₀的应力松弛状态。这种情况下瞬时弹性应力响应是用\(O{A}’\)表示的。当在期间内保持常值时，应力沿曲线\({A}'{B}’\)减小，即\(\sigma (t)\)在t=t₀时，将应变突然移去，其应力关系如所预料，立即产生一个瞬时应力下降\({B}'{C}’\)，然后剩余应力逐渐沿曲线\({C}'{D}’\)松弛。

图9-3 推进剂的力学性质

（a）常应力下的蠕变（b）常应变下的松弛

线性粘弹性是指当应力值低于某一极限值（此极限值的大小与推进剂性质有关）时，粘弹性态是近似线性的，即在给定的时间内，由阶跃应力所导致的应变与应力值成正比。图9-4表示布拉茨（Blatz）在固体推进剂的蠕变实验中测得的载荷对推进剂蠕变的影响。

理论上采用这一假说，大大地简化了应力分析步骤。线性粘弹性理论分析和弹性理论相似，只有应力——应变关系不同。弹性力学中的应力——应变关系是恒定的，即指物体在任一瞬时的应变完全取决于该瞬时的应力，而与前一时刻的受力状况无关。粘弹性物质的应力——应变关系恰恰是与时间有关的，故研究粘弹性问题实质上也就是如何确定出应力ε(t)和б(t)应变之间的关系。

目前较通用的方法是用微分算子或积分算子来建立线性粘弹性材料的应力——应变关系，并且一些线性组合模型具体描述粘弹性物质的物性。图9-5表示两种最基本的模型单元。

图9-4 载荷对推进剂蠕变的影响图9-5 两种最基本的模型单元

2）波尔兹曼叠加积分：对于线性粘弹性材料，其应力-应变间可以用如下积分关系表示

\(\sigma (t)=\int{_{0}^{\xi }[{{E}_{r}}(\xi -{\xi }’)]\dot{\varepsilon }d{\xi }’}\) （9-1）

它给出了时间\(\xi \)的总应变响应。即反映了时间\(t=\xi \)以前所有加载历程对于时间为\(\xi \)时的响应的总迭加。亦即反映了加载过程的遗传因素。因此，粘弹性力学里又称这个积分为遗传积分（hereditary integral）。

\({{E}_{r}}(t)\)称为松弛模量，\(\dot{\varepsilon }=d\varepsilon /dt\)表示应变率，\(\xi \)是松弛时间。松弛模量\({{E}_{r}}(t)\)对于各种不同材料靠试验测定。

3）时-温等效原理：试验观察，各种温度条件下所获得的松弛模量（或其他力学性能数据），可以通过时间标度的适当移动而叠加；这也就是说，材料性能随温度的变化关系可以用改变时间标度相应地（等效）表示出来。反过来，材料性能依赖于时间的变化，也可以靠改变温度条件相应地表示出来。这种关系就叫做时-温等效原理（或称热流变简单性）。

有了这个关系，就可以将松弛模量组成适应于任意参考温度下的时-温叠加曲线——称为主曲线。横坐标表示折合时间变量\(\xi \)，纵坐标则为该参考温度下对应各时间（\(\xi \)）的松弛模量。

折合时间 \(\xi =t/{{a}_{T}}\) （9-2）

\({{a}_{T}}\)称为时-温叠加因子（或移位因子）

如果是非等温加载，则

\(\xi =\int{_{0}^{t}(1/{{a}_{T}})dt}\) （9-3）

实际固体推进剂呈现复杂的非线性粘弹性关系，至今尚无普遍确切的表征方法；一般按实验室测定的数据，依照线性规律处理。最重要的性能数据，包括材料响应特性（松弛模量、体积‘压缩’模量、波松比和热膨胀系数等）和破坏性能（许用应力和应变）两个方面。前者在结构分析中应用；后者则在分析破坏模式的安全裕度中应用。各粘结层之间的粘结强度，也应该通过试验测定；以提供必要的性能数据。还应该注意，各项性能都受化学老化的影响，所以在估算安全裕度和使用寿命中也必须要考虑。

（4）应力分析

根据所掌握的材料性能数据的情况以及设计要求，可以采用不同的分析手段。工程上常用弹性力学方法，而后用等效模量\({{E}_{eff}}(t)\)来考虑粘弹性性质。

\({{E}_{eff}}(t)=\sigma (t)/\varepsilon (t)\) （9-4）

仍来自于线性粘弹性的遗传积分。

（5）破坏模式

即决定破坏的方式，目前认为有以下三种可能导致破坏的状态。

1）破裂（包括脱粘）。前面已经分析过，包括各种导致危险应力的负荷和应力状态。这种破坏模式对于各种类型的发动机都是最主要的。

2）过大变形。主要是长期储存造成的重力塌陷以及发射过载造成的轴向塌陷。对于大型、高装填密度的发动机应该重点分析。

3）自然。指药柱内部由于自身能量积聚，温度升高导致的自动发火现象。固体推进剂的粘弹性，使材料内部在各种振动条件下产生内摩擦；机械能耗散导致温度升高，随着时间的延长可能发生点燃。目前尚难以估算。

（6）破坏准则

针对各种破坏模式，都要定出判定破坏的依据，即破坏准则。建立破坏准则牵涉到对于破坏机理的分析、检验；对于应力、应变破坏的模式，则涉及采用何种破坏机理，是断裂力学还是经典弹性理论；经典弹性理论分析还有不同的强度理论。更多情况根本不可能采用解析办法，只能依靠概率分析。

确定了破坏准则，则可以求得破坏应力，和结构应力比较即得安全裕度。应该强调，作为结构可靠程度的鉴定离不开一系列实验检验。分析计算结果是否可信，亦完全要靠实验鉴定。所以现代各种高性能无损探伤的仪器和设备发展很快。如埋设在药柱绝热层内的微型应力测量传感器；粘贴在药柱自由表面的应变传感器以及各种高能射线探伤的设备等等。

完成了性能测试和结构完整性分析以后，发动机设计任务并没有全部完成；最后一项重要任务就是给出确定性能的使用期——贮存寿命。固体火箭发动机的典型贮存寿命一般为5~20年；此外，使用单位还要求2~5年的预报期，即要提前2~5年确定某一批发动机需要报废。

使用寿命分析是一项非常复杂的专门问题；涉及发动机全部构件的可靠性分析及鉴定。目前确认，限制发动机寿命的最薄弱环节药柱的裂纹和脱粘；这不仅取决于贮存条件和环境因素，还与材料老化密切相关；所以还必须掌握各项材料的老化性能数据。按照图9-1框图，安全裕度达到1时即认为是达到了寿命期限。由于随机因素太多，所以寿命预估只能以概率统计为基础，进行概率估算。

9.2 固体推进剂药柱结构完整性初步分析方法

9.2.1 固体推进剂药柱基本载荷

药柱承受的载荷一般分为两类:规定载荷和工作载荷。规定载荷是指火箭总体所要求的。如工作环境温度、飞行加速度、运输和飞行中的振动、冲击以及其他环境(如老化条件、湿度、各种化学气氛等)。工作载荷是指发动机制造和工作中产生的载荷。如固化降温收缩和内压等。这两种载荷都是发动机药柱必须承受的，可按受力状态分类进行分析。以下对温度和内压载荷进行介绍。

（1）温度载荷

在浇注后的固化期间，药柱体积会发生收缩。由于药柱与壳体粘结，它的收缩受到壳体的约束，于是在药柱内引起应力和应变。通常用一个等效温度降来考虑这种固化时体积收缩的影响。

该等效温度可以用实验测定。将己固化并取出芯模的药柱，慢慢加温到固化温度以上，并观测药柱内部尺寸的变化。

当其内部尺寸等于芯模尺寸时的温度定义为零应力一应变温度，以T₀表示。通常，对于复合推进剂药柱，T₀要比固化温度约高8 ℃，对于浇注的双基推进剂药柱，T₀要比固化温度约高12.2℃。

在药柱固化后，从固化温度冷却至室温期间，由于壳体和推进剂的热膨胀系数不同(通常，推进剂的热膨胀系数比壳体材料的热膨胀系数要高一个数量级)，药柱冷却受到壳体的约束，在药柱内部造成很大的热应力和热应变，从而有可能使药柱表面产生裂纹，使药柱和壳体粘结面上产生拉伸力会引起脱落。

固化完成后，环境的改变也会引起推进剂药柱的温度变化，产生热应力和热应变，这两个过程由于时间比较长，往往按均匀温度场随时间变化分析。

另外由于瞬变阶段产生的热梯度也会引起热应力。

以上是对于贴壁浇注式药柱而言，对于自由装填式药柱在热载荷条件下不应有任何应力应变，所以一般不考虑它的温度应力问题。但有时在瞬变过程中，热应力、应变也会很大。瞬态过程的应力、应变只在热循环过程中出现。在最初和最终稳定温度下不存在。

（2）点火工作时的载荷

对于贴壁浇注式药柱，发动机点火时，药柱受燃气内压的作用。它使药柱内表面发生较大的应力和应变，也会使内表面出现裂纹。压力载荷引起的应力和应变，与药柱的肉厚和内孔形状有关。肉厚越大，应力和应变也越大；内孔形状越复杂，药柱强度越严重。一般情况下，药柱在燃烧初期也最易出现强度问题，因为燃烧初期药柱的肉厚系数最大，内孔过渡圆弧也最小，应力集中现象最严重。

对于自由装填式药柱，在稳态加压过程，没有应力/应变。但有很多影响因素会造成不稳定的加压过程，使燃烧室内压强以及推进剂药柱和壳体间隙内的压强以不同速率增加，使药柱承受了引起推进剂应力/应变的压强梯度。

药柱能承受工作内压作用是发动机设计的基本点，否则会导致发生发动机窜火乃至发生爆炸等严重事故。对上述几种载荷的分析也必须建立在发动机能承受工作内压的基础上。另外固体火箭发动机药柱在承受工作内压时所产生的应力、应变是在固化降温所引起的应力的基础上产生的，因而必须考虑两者的联合作用问题。

所以，贴壁浇注式发动机要求推进剂有较好的力学性能，若使用力学性能较低的推进剂，则要求发动机设计者从结构设计上降低设计要求，如减少肉厚系数，这样自然使装填系数减小，达不到高的装填系数和高的质量比，这也等于降低发动机的性能，减小了发动机的质量比。在不能降低设计要求时，则要求有力学性能更好的推进剂。

9.2.2 药柱应力/应变的解析解

60年代以前，广泛使用实验方法，当采用直接方法测量推进剂药柱中的应力/应变时，通常是指应变测量。由于应力传感器会影响试件力学环境，应力测量比较困难。测量应力使用间接方法，广泛采用的有光弹性法。采用光弹性法不足之处是难以在真正边界下获得适当的几何形状和施加的应力条件，而且应力场分析使用的是不可压线弹性材料。

随后使用的是基于实验数据图表的含修正系数的近似公式进行分析。这种近似公式法广泛应用于初步分析中，因为推进剂性能参数和破坏参数的近似以及最终设计结构没有确定，采用计算机分析等较精确分析没有必要。现在数值算法和计算机已发展到相当的高度，数值分析成为首选。但是由于要从实验验证理论分析，实验方法仍在使用。下一章将运用数值计算的方法对固体推进剂药柱受温度和内压载荷进行力学分析。

为了计算在温度载荷下药柱内引起的应力和应变，特作如下假设:

1）推进剂是各向同性、均质的线性粘弹性材料；

2）壳体为薄壁圆筒，药柱为一无限长的厚壁圆筒，内孔形状的影响和有限长度的影响各以修正系数来考虑；

3）冷却速度缓慢，任一瞬间沿整个药柱截面温度是相同的；

4）推进剂是不可压缩材料（泊松比\({{\nu }_{p}}\)=0.5）；

5）药柱和壳体都处于平面应变状态。

内压载荷下的分析除使用上面的假设外，增加了一条假设：内孔边界不变，即不考虑内孔的烧蚀。

（1）温度载荷引起的应力和应变

当温度变化时，由于药柱和壳体的热膨胀系数不同，它们的变形也不同。然而，两者是粘结在一起的，药柱的变形受到壳体的约束。于是，在药柱和壳体接触面上造成接触压力，并在药柱和壳体内引起热应力和热应变。药柱和壳体的接触面上的接触压力的弹性解为

\({p}’=\frac{{{E}_{p}}\frac{2{{a}_{p}}(1+{{v}_{p}})}{{{b}^{2}}+{{a}^{2}}}\int{_{a}^{b}\theta (r)rdr-{{a}_{c}}\theta (b)(1+{{v}_{c}}){{E}_{p}}}}{\frac{(1+{{v}_{p}})\left[ \left( 1-2{{v}_{p}} \right){{b}^{2}}+{{a}^{2}} \right]}{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}+(1-v_{c}^{2})\frac{b{{E}_{p}}}{\delta {{E}_{c}}}}\) （9-5）

式中，

\({{E}_{p}}\)、\({{\nu }_{p}}\)—-推进剂的杨氏模量和泊松比；

\({{E}_{c}}\)、\({{\nu }_{c}}\)—-壳体材料的杨氏模量和泊松比；

\({{a}_{p}}\)、\({{a}_{c}}\)—推进剂和课题材料的热膨胀系数；

b、a—-药柱外半径和内半径；

δ—-壳体厚度；

\(\theta (r)\)—-温升。

令\(\lambda =b/a\)，

\({{a}_{R}}={{a}_{p}}-\frac{1+{{v}_{c}}}{1+{{v}_{p}}}{{a}_{c}}\) （9-6）

根据假设，并应用弹性一粘弹性对应原理可得：

\({{\varepsilon }_{\max }}\approx {{\varepsilon }_{\theta }}(a)=\frac{3}{2}{{a}_{R}}{{\lambda }^{2}}\Delta T\) （9-7）

\(p'(\infty )=-{{a}_{R}}({{\lambda }^{2}}-1){{E}_{e}}\Delta T\) （9-8）

\({{\sigma }_{r\max }}(\infty )={{\sigma }_{r}}(b,\infty )=-p'(\infty )={{a}_{R}}({{\lambda }^{2}}-1){{E}_{e}}\Delta T\) （9-9）

\({{\sigma }_{\theta \max }}(\infty )={{\sigma }_{\theta }}(a,\infty )=2{{a}_{R}}{{\lambda }^{2}}{{E}_{e}}\Delta T\) （9-10）

式中，\({{E}_{e}}\)—-推进剂的平衡模量（或橡胶模量）。

以上分析，假设药柱为一无限长厚壁圆筒，药柱处于平面应变状态。这些假设只在长径比（L/D）较大时正确。为考虑长度的影响常根据实验测得的端部修正因子\(\bar{P}\)加以修正。于是，

\({{\varepsilon }_{\theta }}(a)=\frac{3}{2}{{a}_{R}}{{\lambda }^{2}}\Delta T\bar{P}\) （9-11）

\({{\sigma }_{r}}(b,\infty )={{a}_{R}}({{\lambda }^{2}}-1){{E}_{e}}\Delta T\bar{P}\) （9-12）

\({{\sigma }_{\theta }}(a,\infty )=2{{a}_{R}}{{\lambda }^{2}}{{E}_{e}}\Delta T\bar{P}\) （9-13）

对于内孔形状比较复杂的星孔药柱，还要用一个应力集中系数K来考虑内孔形状的影响。于是，

\(\varepsilon _{\theta }^{*}(a)={{K}_{i}}{{\varepsilon }_{\theta }}(a)\) （9-14）

\(\sigma _{r}^{*}(b,\infty )={{K}_{e}}{{\sigma }_{r}}(b,\infty )\) （9-15）

\(\sigma _{\theta }^{*}(a,\infty )={{K}_{i}}{{\sigma }_{\theta }}(a,\infty )\) （9-16）

（2）内压载荷引起的应力和应变

在药柱两端粘结的情况下，接触力为

\({p}’=\frac{2(1-{{v}_{p}}){{p}_{i}}}{\left[ 1+\left( 1-2{{v}_{p}} \right){{\lambda }^{2}} \right]+({{\lambda }^{2}}-1)\left( \frac{1-v_{c}^{2}}{1+{{v}_{p}}} \right)\frac{b}{\delta }\frac{{{E}_{p}}}{{{E}_{c}}}}\) （9-17）

药柱两端自由时，为

\({p}’=\frac{\left[ 2+({{\lambda }^{2}}-1){{v}_{p}} \right]{{p}_{i}}}{\left[ 1+{{v}_{p}}+\left( 1-{{v}_{p}} \right){{\lambda }^{2}} \right]+({{\lambda }^{2}}-1)(1-v_{c}^{2})\frac{b}{\delta }\frac{{{E}_{p}}}{{{E}_{c}}}}\) （9-18）

式中，

\({{E}_{p}}\)、\({{E}_{c}}\)—-推进剂和燃烧室课题材料的杨氏模量；

\({{v}_{p}}\)、\({{v}_{c}}\)—-推进剂和课题材料的泊松比；

λ—-药柱的外半径b和内半径a之比；

δ—-燃烧室壳体壁厚。

分母的最后一项皆表征壳体变形的影响。若壳体为刚性，亦即\({{E}_{c}}\to \infty \)，该项等于零，通常，\({{E}_{p}}/{{E}_{c}}<<1\)，该项是微量。发动机点火启动后，燃烧室内压强在极短时间内即达到额定值。因此，可以认为内压强是阶跃载荷。由粘弹性的对应原理可知，对于承受一阶跃内压强载荷的粘弹药柱，欲求其接触压力、应力、应变和位移的粘弹性解，只需将它们的弹性解中的弹性模量\({{E}_{p}}\)用应力松弛模量\(E(t)\)替代，\(1/{{E}_{p}}\)用蠕变D(t)替代即得。利用泰勒级数将接触压力展开为多项式，忽略高阶微量，并替换参数，两种情况的接触压力，可以写成通式:

\({p}'(t)=\alpha {{p}_{i}}-\beta \frac{b}{\delta }\frac{E(t)}{{{E}_{c}}}{{p}_{i}}\) （9-19）

两端粘结时

\({{\alpha }_{1}}=\frac{2(1-{{v}_{p}})}{1+(1-2{{v}_{p}}){{\lambda }^{2}}}\)

\({{\beta }_{1}}=\frac{2({{\lambda }^{2}}-1)(1-v_{c}^{2})\left( 1-{{v}_{p}} \right)}{{{\left[ 1+(1-2{{v}_{p}}){{\lambda }^{2}} \right]}^{2}}\left( 1+{{v}_{p}} \right)}\) （9-20）

两端自由时

\({{\alpha }_{2}}=\frac{2+({{\lambda }^{2}}-1){{v}_{p}}}{1+{{v}_{p}}+(1-{{v}_{p}}){{\lambda }^{2}}}\)

\({{\beta }_{2}}=\frac{\left[ 2+({{\lambda }^{2}}-1){{v}_{p}} \right]({{\lambda }^{2}}-1)(1-v_{c}^{2})}{{{\left[ 1+{{v}_{p}}+(1-{{v}_{p}}){{\lambda }^{2}} \right]}^{2}}}\) （9-21）

受到阶跃内压力作用时的应变粘弹性解：

药柱两端粘结情况下

\(\frac{{{\varepsilon }_{\max }}(t)}{{{P}_{i}}}=\frac{{{\varepsilon }_{\theta }}(a,t)}{{{P}_{i}}}=\frac{2{{\lambda }^{2}}}{{{\lambda }^{2}}-1}(1-v_{p}^{2})\beta \frac{b}{\delta }\frac{1}{{{E}_{c}}}+\frac{(1-2{{v}_{p}})(1+{{v}_{p}})}{1+(1-2{{v}_{p}}){{\lambda }^{2}}}D(t)\) （9-22）

药柱两端自由情况下

\(\frac{{{\varepsilon }_{\max }}(t)}{{{P}_{i}}}=\frac{{{\varepsilon }_{\theta }}(a,t)}{{{P}_{i}}}=\frac{2{{\lambda }^{2}}}{{{\lambda }^{2}}-1}\beta \frac{b}{\delta }\frac{1}{{{E}_{c}}}+\left\{ \frac{1}{{{\lambda }^{2}}-1}\left[ (1-{{v}_{p}})(1-{{\alpha }_{2}}{{\lambda }^{2}})+(1+{{v}_{p}})(1-{{\alpha }_{2}}){{\lambda }^{2}} \right]+{{v}_{p}} \right\}D(t)\)

（9-23）

对于星孔装药，不仅其内孔表面应力和应变最大，而且在星槽拐角处有应力集中效应。内孔压力集中系数被定义为

\({{K}_{i}}=\frac{\sigma _{r}^{*}(a)-\sigma _{\theta }^{*}(a)}{{{\sigma }_{r}}(a)-{{\sigma }_{\theta }}(a)}\) （9-24）

式中

\(\sigma _{r}^{*}(a)\)、\(\sigma _{\theta }^{*}(a)\)—-星形药柱星角拐角处的径向应力和环向应力；

\(\sigma _{r}^{{}}(a)\)、\(\sigma _{\theta }^{{}}(a)\)—-内燃管形药柱内表面的径向应力和环向应力。

于是，在药柱两端与壳体粘结的情况下

\(\frac{\varepsilon _{\max }^{*}(t)}{{{P}_{i}}}=\frac{\varepsilon _{\theta }^{*}(a,t)}{{{P}_{i}}}=\frac{2{{\lambda }^{2}}}{{{\lambda }^{2}}-1}(1-v_{p}^{2}){{K}^{i}}{{\beta }_{1}}\frac{b}{\delta }\frac{1}{{{E}_{c}}}+(1-v_{p}^{2})\left[ \frac{2{{\lambda }^{2}}}{{{\lambda }^{2}}-1}{{K}_{i}}(1-{{\alpha }_{1}})-\frac{(1-2{{v}_{p}})}{1-{{v}_{p}}} \right]D(t)\)

（9-25）

在药柱两端自由情况下，

\(\frac{\varepsilon _{\max }^{*}(t)}{{{P}_{i}}}=\frac{\varepsilon _{\max }^{*}(t)}{{{P}_{i}}}=\frac{2{{\lambda }^{2}}}{{{\lambda }^{2}}-1}{{K}_{i}}{{\beta }_{2}}\frac{b}{\delta }\frac{1}{{{E}_{c}}}+\left[ \frac{2{{\lambda }^{2}}}{{{\lambda }^{2}}-1}{{K}_{i}}(1-{{\alpha }_{2}})-(1-2{{v}_{p}}) \right]D(t)\) （9-26）

9.2.3 药柱破坏的判据

推进剂的破坏机理和破坏的判据是一个正在研究的课题，它涉及多向应力应变状态、加载历史、应变速率、温度与湿度老化等多种因素，目前尚没有完全可靠的破坏判据可供遵循。做药柱破坏的初步分析时，仍然可以采用金属材料的强度理论，如最大应变理论、最大应力理论、最大切应力理论、最大切应变理论和最大应变能理论等，作为药柱破坏的判据。

例如，在作药柱内表面的破坏分析时，经常采用最大应变理论。因为药柱内表面裂纹多发生在固化冷却至低温的情况下，由温度载荷分析可知，在低温下药柱内表面的应力和应变皆最大；由推进剂的极限特性得知，在低温下推进剂承受应力的能力\({{\sigma }_{m}}\)最大，而承受应变能力\({{\varepsilon }_{m}}\)却最小。因此，可以认为，在低温下药柱内表面出现裂纹是由于最大应变\({{\varepsilon }_{\theta }}(a)\)超过了极限应变\({{\varepsilon }_{m}}\)所致。于是，一般认为，药柱内表面不出现裂纹的条件是：

\(D={{\varepsilon }_{\theta }}(\alpha )/{{\varepsilon }_{m}}<1\) （9-27）

对于三向应力状态，采用最大应变能理论更合理些。此时，应力和应变用广义应力和广义应变表示为

\(\sigma =\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{{{({{\sigma }_{\theta }}-{{\sigma }_{r}})}^{2}}+{{({{\sigma }_{r}}-{{\sigma }_{z}})}^{2}}+{{({{\sigma }_{z}}-{{\sigma }_{\theta }})}^{2}}}\)

\(\varepsilon =\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{1+{{v}_{p}}}\sqrt{{{({{\varepsilon }_{\theta }}-{{\varepsilon }_{r}})}^{2}}+{{({{\varepsilon }_{r}}-{{\varepsilon }_{z}})}^{2}}+{{({{\varepsilon }_{z}}-{{\varepsilon }_{\theta }})}^{2}}}\) （9-28）

在药柱的应力和应变分析中，通常都假设药柱处于平面应变状态，即\({{\varepsilon }_{Z}}=0\)。同时还假设推进剂是不可压缩的，因而\({{\varepsilon }_{\theta }}+{{\varepsilon }_{r}}+{{\varepsilon }_{z}}=0\)和\({{\nu }_{p}}=0.5\)。代入上式得

\(\varepsilon =\frac{2}{\sqrt{3}}{{\varepsilon }_{\theta }}=1.15{{\varepsilon }_{\theta }}\) （9-29）

于是，根据最大应变能理论，药柱内表面不出现裂纹的条件是

\(D=1.15(\alpha )/{{\varepsilon }_{m}}<1\) （9-30）

在做药柱粘结面的破坏分析时，可以采用最大应力理论；有时则根据恒定应力下的承载时间来判定粘结面是否会脱粘。例如，推进剂试件在某恒定应力作用下破坏时的承载时间为\({{t}_{f}}\)，粘结面承受该应力值的时间为t，则粘结面不脱粘的条件是为

\(D={{t}_{f}}/t<1\) （9-31）

无缺陷发动机在温度和内压载荷作用下，破坏准则一般采用八面体剪应变准则较为合理，即:

\({{\gamma }_{8}}\le \frac{{{\gamma }_{8m}}}{n}\) （9-32）

其中\({{\gamma }_{8m}}\)为临界值，n为安全系数，八面体剪应变的表达式为:

\({{\gamma }_{8}}=\frac{2}{3}\sqrt{{{({{\varepsilon }_{x}}-{{\varepsilon }_{y}})}^{2}}+{{({{\varepsilon }_{x}}-{{\varepsilon }_{z}})}^{2}}+{{({{\varepsilon }_{z}}-{{\varepsilon }_{y}})}^{2}}+6(\varepsilon _{xy}^{2}+\varepsilon _{xz}^{2}+\varepsilon _{yz}^{2})}\) （9-33）

简单拉伸条件下，\({{\varepsilon }_{y}}={{\varepsilon }_{z}}=-\nu {{\varepsilon }_{x}},{{\varepsilon }_{xy}}={{\varepsilon }_{yz}}={{\varepsilon }_{xz}}=0\)，此时它的临界值与最大拉伸延伸率的关系是：

\({{\gamma }_{8m}}=\frac{\sqrt{8}}{3}(1+\nu ){{\varepsilon }_{m}}\) （9-34）

定义等效应变为

\({{\gamma }_{v}}=\frac{\sqrt{2}}{3}\sqrt{{{({{\varepsilon }_{x}}-{{\varepsilon }_{y}})}^{2}}+{{({{\varepsilon }_{x}}-{{\varepsilon }_{z}})}^{2}}+{{({{\varepsilon }_{z}}-{{\varepsilon }_{y}})}^{2}}+6(\varepsilon _{xy}^{2}+\varepsilon _{xz}^{2}+\varepsilon _{yz}^{2})}\) （9-35）

\({{\gamma }_{8}}=\sqrt{2}{{\varepsilon }_{\nu }}\) （9-36）

可知，等效应变准则和八面体剪应变准则是等效的。它们的应力表达式和上面的相似。Von Mises应力和其它应力、应变也可作为重要参考数据。

以上是药柱破坏的经验判据。应该指出，在药柱制造过程中不可避免地会出现各种裂纹，根据断裂力学理论来判断药柱内表面是否出现裂纹和粘结面是否脱粘，是更合理的方法。关于粘弹性断裂力学理论目前尚处于研究阶段。

9.2.4 药柱内表面的破坏分析

引起药柱内表面破坏的载荷，主要是固化冷却时的温度载荷和点火启动时的内压力载荷。

（1）固化冷却时引起的损坏

药柱固化后冷却到室温，特别是一直均匀地冷却到最低温度时，在药柱内表面会造成很大的应变，而且，在低温下推进剂的应变能力又最小，药柱内表面可能会发生裂纹。

1）药柱内表面的应变\({{\varepsilon }_{\theta }}(a)\)

对于内燃管型药柱，可利用式（9-11）计算内孔的应变\({{\varepsilon }_{\theta }}(a)\)；对于星型药柱，首先根据星孔的几何参量确定其应力集中系数\({{K}_{i}}\)，再利用式（9-14）计算内孔的应变\(\varepsilon _{\theta }^{*}(a)\)。

2）推进剂的应变能力\({{\varepsilon }_{m}}\)

前已指出，推进剂的应变能力\({{\varepsilon }_{m}}\)与应变速率\(\dot{\varepsilon }\)有关。因此，为进行固化冷却的破坏分析，必须知道固化冷却时的应变速率。

假设药柱是均匀冷却的，内外表面温度近似相等（例如，内表面温度约等于90%外表面温度）时所需时间，可以利用下面的经验公式估算:

\(t=\frac{{{(b-a)}^{2}}}{X}\) () （9-37）

式中

X—-经验常数，对于PBAA推进剂药柱，X的典型值为7.5cm2/h；

b—-药柱外半径（cm）；

a—-药柱内半径（cm）。

于是，药柱的平均应变速率为

\(\dot{\varepsilon }\approx {{\varepsilon }_{\theta }}(a)/t\) （9-38）

根据求得的应变速率\(\dot{\varepsilon }\)和温度-时间平移因子\({{\alpha }_{T}}\)，由推进剂极限特性\({{\varepsilon }_{m}}\)主曲线，便可以得到极限应变\({{\varepsilon }_{m}}\)。

3）药柱的破坏分析

根据式（9-30）计算D，考虑到其他载荷亦引起破坏，固化冷却引起的损坏D应小于1，筒长取安全系数\(FS=1/D>1.5\)。若将\({{\varepsilon }_{\theta }}(a)\sim T\)与\({{\varepsilon }_{m}}(\dot{\varepsilon })\sim T\)曲线画在一起（如下图1）便可以找到允许的最低使用温度（或贮存温度）。

图9-6 药柱内表面应变\({{\varepsilon }_{\theta }}(a)\)和推进剂应变能力\({{\varepsilon }_{m}}\)随温度的变化

（2）点火承压时引起的损坏

在发动机点火启动瞬间，内压力载荷在药柱内表面上引起的应变\({{\varepsilon }_{\theta p}}(a)\)与上述固化降温时引起的应变\({{\varepsilon }_{\theta }}(a)\)累积，会使药柱内表面发生破坏，这是一种累积性损坏。

1）药柱内表面的应变\({{\varepsilon }_{\theta p}}(a)\)

对于两端与壳体粘结的内燃管型药柱可利用式（17）计算内孔应变\({{\varepsilon }_{\theta p}}(a)\)；星型药柱则利用式(20)计算内孔应变\(\varepsilon _{\theta }^{*}(a)\)。

对于两端自由不与壳体粘结的内燃管型药柱，可利用式（18）计算内孔应变\({{\varepsilon }_{\theta p}}(a)\)，星型药柱则可利用式（21）计算内孔应变\(\varepsilon _{\theta }^{*}(a)\)。

2）推进剂的应变能力\({{\varepsilon }_{m}}\)

由于推进剂的应变能力\({{\varepsilon }_{m}}\)与应变速率有关，所以，需要首先求出压力载荷作用下的应变速率。

假设发动机达到额定工作压力的时间为\({{t}_{ig}}\)，则应变速率为

\({{\dot{\varepsilon }}_{p}}\approx {{\varepsilon }_{\theta p}}(a){{/}_{{{t}_{ig}}}}\) （9-39）

根据求得的应变速率\({{\varepsilon }_{p}}\)和时一温转换因子\({{\alpha }_{T}}\)，由推进剂极限特性\({{\varepsilon }_{m}}\)主曲线，便可以得到极限应变\({{\varepsilon }_{m}}\)。

3）药柱的累积性破坏

假设药柱主要承受固化冷却和点火内压力载荷，则累积性损坏为

\(\sum{{{D}_{i}}}=\frac{{{\varepsilon }_{\theta }}(a)}{{{\varepsilon }_{\theta }}(\dot{\varepsilon })}+\frac{{{\varepsilon }_{\theta p}}(a)}{{{\varepsilon }_{m}}({{{\dot{\varepsilon }}}_{p}})}\) （9-40）

式中，第一项为固化冷却时引起的损坏；第二项为内压力载荷引起的损坏。

9.3 结构完整性仿真计算方法

由于固体火箭发动机点火过程工作条件恶劣，而药柱属于高分子聚合物，含有大量空穴和孔隙，受到压强作用时空穴和孔隙会由于压缩而减小，从而改变药柱力学性能。如果仅仅依靠试验进行结构研究，将需要花费巨额资金和人力。随着计算机技术的迅速发展和广泛应用，有限元法在分析大型结构中越来越显示其优势，当前，关于固体火箭发动机结构完整性分析的仿真计算，可以采用许多商业软件进行。比如进行复杂精确计算的软件ANSYS，ABAQUS，ADINA，PATRAN，NASTRAN软件，以及嵌入在设计软件之内的简单快捷的计算如Solidworks、ProE等，使得有限元法在结构分析中的应用日益广泛。

9.3.1 仿真软件介绍

（1）ANSYS 软件

ANSYS是融合结构、热、流体、电磁、声学于一体的大型通用有限元分析软件，可广泛用于核工业、铁道、石油化工、航空航天、机械制造、能源、汽车交通、国防军工、电子、土木工程、造船、生物医学、轻工、地矿、水利、日用家电等一般工业及科学研究。该软件可在大多数计算机及操作系统中运行，从 PC 到工作站再到巨型计算机，ANSYS 文件在其所有的产品系列和工作平台上均兼容。ANSYS 多物理场耦合的功能，允许在同一模型上进行各式各样的耦合计算成本，如热结构耦合、磁结构耦合，以及电—磁—流体—热耦合，在 PC 上生成的模型同样可运行于巨型机上，这样就确保了 ANSYS 对多领域多变工程问题的求解。

ANSYS 结构分析包括以下类型：

1）静力分析——用于静态载荷。可以考虑结构的线性及非线性行为。例如，大变形、大应变、应力刚化、接触、塑性、超弹性及蠕变。

2）模态分析——计算线性结构的自振频率及振形，谱分析是模态分析的扩展，用于计算由随机振动引起的结构应力和应变。

3）谐响应分析——确定线性结构对随时间按正弦曲线变化的载荷的响应。

4）瞬态动力学分析——确定结构对随时间任意变化的载荷的响应。可以考虑与静力分析相同结构非线性行为。

5）特征屈曲分析——用于计算线性屈曲载荷，并确定屈曲模态形状。

6）专项分析——断裂分析、复合材料分析、疲劳分析。

在 ANSYS 中有两种粘弹性材料模型及多种可用于粘弹性分析的单元可供选择。粘弹性材料模型中有广义 Maxwell 模型和广义 Prony 模型，可用于粘弹性分析的单元有 VISC088 和 VISC089，这两种单元用于模拟小变形粘弹性，LINK180，SHELL 181，PLANE 182，PLANE 183，SOLID 185，SOLID186，SOLID187，BEAM188 和 BEAM189 等这些单元既可用于分析粘弹性小变形，也可用于分析粘弹性大变形。

（2）ABAQUS软件

ABAQUS 是一套功能强大的工程模拟的有限元软件，其解决问题的范围从相对简单的线性分析到许多复杂的非线性问题。 ABAQUS 包括一个丰富的、可模拟任意几何形状的单元库。并拥有各种类型的材料模型库，可以模拟典型工程材料的性能，其中包括金属、橡胶、高分子材料、复合材料、钢筋混凝土、可压缩超弹性泡沫材料以及土壤和岩石等地质材料。作为通用的模拟工具，ABAQUS 除了能解决大量结构（应力 / 位移）问题，还可以模拟其他工程领域的许多问题，例如热传导、质量扩散、热电耦合分析、声学分析、岩土力学分析（流体渗透 / 应力耦合分析）及压电介质分析。

ABAQUS主要功能包括：

静态应力/位移分析：包括线性，材料和几何非线性，以及结构断裂分析等

动态分析粘弹性/粘塑性响应分析：粘塑性材料结构的响应分析

热传导分析：传导，辐射和对流的瞬态或稳态分析

质量扩散分析：静水压力造成的质量扩散和渗流分析等

耦合分析：热/力耦合，热/电耦合，压/电耦合，流/力耦合，声/力耦合等

非线性动态应力/位移分析：可以模拟各种随时间变化的大位移、接触分析等

瞬态温度/位移耦合分析：解决力学和热响应及其耦合问题

准静态分析：应用显式积分方法求解静态和冲压等准静态问题

退火成型过程分析：可以对材料退火热处理过程进行模拟

海洋工程结构分析：

对海洋工程的特殊载荷如流载荷、浮力、惯性力等进行模拟

对海洋工程的特殊结构如锚链、管道、电缆等进行模拟

对海洋工程的特殊的连接，如土壤/管柱连接、锚链/海床摩擦、管道/管道相对滑动等进行模拟

水下冲击分析：

对冲击载荷作用下的水下结构进行分析

柔体多体动力学分析：对机构的运动情况进行分析，并和有限元功能结合进行结构和机械的耦合分析，并可以考虑机构运动中的接触和摩擦

疲劳分析：根据结构和材料的受载情况统计进行生存力分析和疲劳寿命预估

设计灵敏度分析：对结构参数进行灵敏度分析并据此进行结构的优化设计

软件除具有上述常规和特殊的分析功能外，在材料模型，单元，载荷、约束及连接等方面也功能强大并各具特点：

材料模型：定义了多种材料本构关系及失效准则模型，包括：

弹性：线弹性，可以定义材料的模量、泊松比等弹性特性

正交各向异性，具有多种典型失效理论，用于复合材料结构分析

多孔结构弹性，用于模拟土壤和可挤压泡沫的弹性行为

亚弹性，可以考虑应变对模量的影响

超弹性，可以模拟橡胶类材料的大应变影响

粘弹性，时域和频域的粘弹性材料模型

（3）ADINA软件

ADINA 系统是一个单机系统的程序，用于进行固体、结构、流体以及结构相互作用的流体流动的复杂有限元分析。借助 ADINA 系统，用户无需使用一套有限元程序进行线性动态与静态的结构分析，而用另外的程序进行非线性结构分析，再用其他基于流量的有限元程序进行流体流动分析。此外， ADINA 系统还是最主要的、用于结构相互作用的流体流动的完全耦合分析程序（多物理场）。

ADINA 程序为固体、桁架、梁、管道、金属板、壳体和缝隙提供了多样化和通用的有限元，材料模型有金属、土壤与岩石、塑料、橡胶、织物、木材、陶瓷和混凝土可选。 ADINA 程序具有以下分析功能：

有效的线性分析；
小型和大型的变形、大型应变；
弹塑性、徐变（ Creep ）分析，包括热效果；
屈曲和后屈曲（ Post-buckling ）分析；
静力学和动力学中的接触问题；
大型系统的迭代算法；
用于所有分析的高效却稀少的算法；
静力学和动力学的子结构分析；
分析过程中可增减单元；
频率和模式的叠加；
感应波谱、随机震动分析；
线性化的屈曲分析；
波的传播、冲击波分析；
结构震动、谐波分析；
声学的流体 – 结构间相互作用；
带裂纹传播的断裂力学；
用户提供的单元、模型和载荷；

（4）PATRAN软件

MSC/PATRAN是工业领域最著名的有限元前、后处理器，是一个开放式、多功能的三维MCAE软件包，具有集工程设计、工程分析、和结果评估功能于一体的、交互图形界面的CAE集成环境。

线性结构分析P/FEA
非线性结构分析P/AFEA
专业热分析包MSC/THERMAL
专业疲劳分析包MSC/FATIGUE
高级分析管理器P/Analysis Manager
高级层板复合材料建模器PATRAN/LAMINATE MODELER

（5）NASTRAN软件

NASTRAN是在1966年美国国家航空航天局(NASA)为了满足当时航空航天工业对结构分析的迫切需求主持开发大型应用有限元程序。

正如我们所知，很多结构响应与所受的外载荷并不成比例。由于材料的非线性，这时结构可能会产生大的位移。大转动或两个甚至更多的零件在载荷作用下时而接触时而分离。要想更精确地仿真实际问题，就必须考虑材料和几何、边界和单元等非线性因素。MSC.NASTRAN强大的非线性分析功能为设计人员有效地设计产品、减少额外投资提供了一个十分有用的工具。该软件在几何非线性分析、材料非线性分析、非线性边界（接触问题）、非线性瞬态分析、非线性单元等非线性分析方面有较强优势。

MSC.NASTRAN的主要动力学分析功能如：特征模态分析、直接复特征值分析、直接瞬态响应分析、模态瞬态响应分析、响应谱分析、模态复特征值分析、直接频率响应分析、模态频率响应分析、非线性瞬态分析、模态综合、动力灵敏度分析等。

（6）Solidworks软件

从SolidWorks2009开始，其著名的FEA软件COSMOSWorks改名为SolidWorks Simulation。其为了体现设计仿真一体化的解决方案，在无缝集成界面做了创造性的改变，将仿真界面，仿真流程无缝融入到SolidWorks的设计过程中。

主要分析功能：

1）系统及部件级分析

以FEA为例，为了实现有价值的分析，设计的几何部件会需要不同的单元类型，实体、壳、梁、杆进行离散。而且需要充分考虑装配体间的连接关系和接触关系。

其中连接关系的处理尤其重要，涉及到螺栓连接、销钉连接、弹簧、点焊、轴承等非常复杂的连接关系。

2）多领域的全面分析

任何一个产品决计不能仅考虑静强度，必须考虑多领域的问题，比如静强度、动强度、模态、疲劳、参数优化等。

3）面向设计者的多场耦合

热-结构、流体-结构、多体动力学-结构等多场分析是目前分析中的一个重要发展方向，他可以解决非常复杂的工程问题。

4）特殊行业及领域的需求

面对很多行业有很多特殊需求，因此需要特殊的CAE模块。例如面对压力容器，需要符合ASME标准的压力容器校核工具；面对电子和消费品领域，需要解决跌落分析的能力。

5）高级分析需求

面对日益复杂的使用环境，必须考虑复合材料、材料非线性、高级机械振动、非线性动力学等高级分析的需求。

（7）Pro/E软件

Pro/ENGINEER Mechanica是一款实用的设计软件，设计工程师可以利用它更好地了解产品性能，并相应地调整数字化设计而无需具有专家的 FEA 背景，工程部门通过这款软件可以及早看清产品特性、改善检验和认证过程，减低成本、提高产品质量，从而实现对工程进度和预算的控制。

可以实现包括线性静态、模态、弯曲、接触和稳态热学性能的快速分析过程。

9.3.2 结构完整性仿真计算过程一般步骤

图9-7 结构完整性一般分析流程

结构完整性基本分析流程如图9-7所示。

（1）前处理

根据实际问题的相关背景确定物理模型，创建有限元模型，包括创建或输入几何模型；定义材料属性，最基本的包括杨氏模量、泊松比、材料密度等；选择合适的单元类型，实常数，划分单元。

（2）求解

施加约束条件，包括边界条件、初始条件，如固定支撑，初始速度、加速度、施加载荷，设置求解控制选项，设置完毕便可求解。

（3）后处理

查看分析结果，检查分析结果是否正确。可以通过颜色云图，等值线图显示结果，也可以通过曲线来描述数值的变化，或通过数据文件直接查看结果。

9.4 药柱结构完整性分析实例

以某型发动机装药为例，分析其装药结构完整性。该发动机是典型的单室双推发动机，如下图9-8所示。起飞级为星孔药型，续航级为管状药型，中间有星到管的过渡段。对其结构完整性分析包括固化降温、不同温度贮存试验、不同温度下点火试验。

图9-8 某型发动机模型

9.4.1 完整性任务描述

1．温度载荷作用下的结构完整性评估

（1）固化降温

固化温度+65℃，取零应力温度为+73℃，温度从+73℃以1℃/1h线性降至+20℃。分析发动机在固化降温过程的结构完整性。

（2）温度试验

将固化后的发动机进行保温，以10℃/1h速率升（降）至+50℃、+20℃、-40℃，然后恒温150h，分析发动机的结构完整性。

2．各环境温度下发动机点火增压时的结构完整性评估

（1）+50℃环境下点火增压至12.0MPa的结构完整性评估

（2）+20℃环境下点火增压至12.0MPa的结构完整性评估

（3）-40℃环境下点火增压至12.0MPa的结构完整性评估

备注：增压速率参考提供的该发动机点火增压曲线，如图9-9所示。

9.4.2 发动机有限元模型

对该发动机进行各种状态下的结构完整性分析时，采用同一个有限元模型进行。热分析时材料属性赋予热性能参数，并加载热载荷和热边界条件；结构分析时，材料属性赋力学性能参数，并加载结构分析载荷和约束边界。

1．有限元模型

该发动机的有限元模型如图9-10所示。建模时，首先按照多个部件对于前后装药、壳体分别绘制二维草图，旋转得到初步部件实体，再对星孔及管状药型进行布尔运算。最后，局部修正旋转得到的体单元模型，并建立倒角、过渡圆弧等各种几何特征，以逼近发动机的真实几何构型。所建立的有限元模型的最终单元规模为：六面体单元总数14289个，四面体单元总数为154880个，总节点数252041个。四面体单元选用二次修改的四面体单元，六面体单元选用线性缩减单元。

图9-10 该发动机有限元模型示意图

由于图9-10所示发动机是轴对称的，根据对称性准则，只需要建立其1/16有限元模型，并在模型的两侧面加载轴对称边界条件。根据设计的模型所示，发动机最外围是合金壳体，弹性模量较大；绝热层位于壳体和推进剂之间起绝热作用，内部被推进剂所填充，推进剂药柱通过包覆层和绝热层相连，两端有人工脱粘。

2．材料特征

由上面介绍，所采用的发动机模型包括壳体、绝热层、包覆层、药柱四部分。壳体为合金材料，绝热层为近似不可压的耐高温复合材料，推进剂药柱为近似不可压粘弹性材料，包覆层的性质和绝热层相似。在计算中，定义壳体和绝热层为各向同性材料，推进剂药柱为服从广义Maxwell模型的粘弹性材料。对固化降温过程进行分析时，取：

（1）壳体材料为合金钢（30CrMnSiA），弹性模量为200000，泊松比为0.3，密度为7.8×10^-9t/mm³，线膨胀系数为1.1×10^-5/℃；

（2）绝热层及包覆层的密度为1.2E-9 t/mm³，线膨胀系数2.95×10^-4/℃，松弛模量按照Prony级数表达式为：

\(E(T,t)={{E}_{e}}+\sum\limits_{i=1}^{n}{{{E}_{n}}\exp [-(t)/{{\tau }_{i}}]}\) （9-41）

其中平衡模量\({{E}_{e}}=\text{0}\text{.980423MPa}\)，泊松比为0.498，其余松弛模量参数如下：

数据	1	2	3	4	5
\({{E}_{i}}\)	49.221712	16.510701	4.690062	1.971238	1.092854
\({{\tau }_{i}}\)	0.0066761	0.178019	4.74694145	126.57893	3375.27341

WLF时温等效方程为：

20℃，C1=20.0121 C2=573.0371

即：\(\lg {{\alpha }_{T}}=\frac{-20.0121(T-293)}{573.0371+(T-293)}\)

（3）装药参数：密度为1.77E-9 t/mm³，线膨胀系数9.5×10^-5/℃，松弛模量Prony级数表达式中，其中平衡模量\({{E}_{e}}=\text{5}\text{.25MPa}\)，泊松比为0.498，其余松弛模量参数如下：

数据	1	2	3
\({{E}_{i}}\)	12.24	8.58	3.90
\({{\tau }_{i}}\)	5.54	55.42	554.17

时温等效方程按照绝热层公式给出。

3．边界及加载条件

（1）边界条件

前封头壳体筒段端面固支，后封头壳体筒段端面周向、径向固定；对称轴线上加载周向、径向固定；起飞级装药人工脱粘处、续航级装药人工脱粘处均为面面接触；绝热层水平中间段与药柱绑定。

（2）加载条件

按照任务的内容进行加载，分别考虑固化降温、高温点火、低温点火等多种情况。

（3）特征线沿路径结果

按照装药特征线沿路径结果，可以详细看出应力、应变及位移沿特征线位移方向计算结果，确定最大值准确位置。特征线如下图9-11所示，按照装药的前后关系表示位移。

图9-11 特征线位置

9.4.3 固化降温结构完整性分析

1．载荷条件

固化温度+60℃，取零应力温度为+68℃，温度从+68℃以1℃/1h线性降至+20℃。分析发动机在固化降温过程的结构完整性。

2．应力分析

图9-12 降温到20℃时装药的应力场

图9-13 降温到20℃时装药过渡段应力场

图9-14 降温到20℃时沿特征线应力场

上图9-12~14表示的是固化降温到20℃时的发动机及装药Von Mises应力图。虽然药柱主要是用Von Mises应变评估其结构完整性，然而应力场的分布规律可以反映出药柱承受应力水平的高低，由此可比较发动机药型的优劣。结果显示，对于装药而言，Von Mises应力主要发生在装药的过渡斜槽界面，且应力值为最大，为0.4310Mpa。

3．应变分析

图9-15 降温到20℃时整个发动机装药的应变值

图9-16 降温到20℃时装药过渡段的应变值

图9-17 降温到20℃时沿特征线的应变值

上图9-15~17表示的是固化降温到20℃时的发动机及装药Von Mises应变图。可以看出，每一个时间段结束时，Von Mises应变主要发生在应力较大的部位，而且发动机前直段内径相对较小，两端药柱限制了其变形；药柱的最大Von Mises应变均发生在药柱过渡界面，为8.030%。药柱的允许应变要求为40%，安全系数为5.0。因此，固化降温至室温时药柱的结构完整性满足要求。