第三章 燃烧室设计
3.1 概述
固体火箭发动机的燃烧室是导弹或火箭结构的主要组成部分，是用于贮存固体推进剂药柱并提供其燃烧的装置。对于贴壁浇铸推进剂药柱的燃烧室，通常由壳体、内绝热层和衬层组成；对于自由装填药柱的燃烧室，一般由壳体、内绝热层和挡药板组成。壳体主要承受内压作用。由于壳体还是弹体外壳的一部分，所以还要承受外载荷的作用。内绝热层用来对壳体内壁进行热防护。衬层的作用是防止界面间的分子迁移使浇铸的药柱与内绝热层粘结更牢，并缓和药柱与内绝热层之间的应力传递。挡药板用于防止自由装填的药柱的运动。
壳体设计和制造技术已经到了对于任何固体火箭发动机可靠的发动机壳体总是可以生产出来的地步。然而问题也会常常出现，如不适当使用成熟的技术，或者来自于不恰当的设计分析、低估了技术要求、不适当的材料和过程控制，包括在制造过程中的关键点处的非破坏性试验。壳体设计通常由发动机和飞行器的要求共同来控制。
除了与喷管、推进剂装药等构成发动机主体以外，壳体通常也是构成导弹或发射装置的主要结构。因此，壳体设计的优化经常要在壳体设计参数和飞行器设计参数之间寻求一种折中。
所用材料类型取决于装药是在外表面燃烧或被包覆的（例如：内部燃烧）。对于暴露到热的燃气的情况下需要钢，而当壳体被保护时可以使用重量轻的铝。对于压力很高的情况下，需要高强度的合金钢。不锈钢被用来减少腐蚀问题，并且提供单位体积的强度。
对于内燃装药尽可能使用铝或铝合金。在研究玻璃增强塑料作为燃烧室的行为上已经做了大量的研究工作。低成本、高强度和低密度使这种材料前景广阔。
纤维缠绕壳体是由连续纤维按照一种精确的方式排列，用一种作为塑料基体的热固性环氧树脂粘接在一起而形成的。比铝轻比钢强的壳体一般都是由纤维塑料复合而成。它的高的强度重量比是其突出的特性。随着新型有机纤维的使用，例如杜邦公司的PRD-49，在使用玻璃纤维的地方可以进一步的改善。使用这种材料的发动机其重量可以节省20％。
金属的应力腐蚀开裂是一种特有的问题，它会导致瞬间破坏而没有任何将要发生灾难的直观现象。轻质薄壁金属壳体带来了应力腐蚀和裂纹扩展问题，常常来自于金属中的一个裂缝，失效时的应力水平低于金属的屈服强度。对于许多新型高强度钢有必要充分了解应力腐蚀和断裂问题。
在高性能火箭中，对于燃烧室的技术要求是很严格的。材料的强度必须有较小的偏差。壁厚的均匀性和同心度必须仔细控制。以上这点对贴壁浇铸来讲是非常关键的。轴向对准必须保持在一个小的误差范围内。必须研制专门的仪器来控制火箭燃烧室的生产。
燃烧室的工作条件十分恶劣，药柱燃烧生成的燃气温度高达2500~3900K，压强达4~20MPa。因此，必须对其设计提出如下要求：①壳体必须具有足够的强度和刚度，以承受内压和外载荷的作用；②结构质量应尽量轻，药柱装填分数要高，以提高发动机的质量比；③结构合理、连接可靠、气密性好，各部件装配后有良好的同轴性，确保发动机性能好、可靠性高；④材料来源丰富、工艺性好、生产周期短，制造成本低。
上述要求有些是相互矛盾的，如提高可靠性与减轻结构质量，结构合理与工艺性好等往往是矛盾的。首要的是解决主要矛盾的主要方面，如可靠性与结构质量的矛盾，应在确保发动机可靠性的前提下减轻其结构质量。
燃烧室的设计首要是燃烧室壳体设计。根据固体火箭发动机总体提出的要求和技术指标，确定壳体形状，选择结构材料，设计壳体结构。主要设计内容有：
（1）确定壳体的形状和结构，绘制草图 主要根据产品的用途和要求，确定壳体的形状和结构，包括封头形状、各部件间的连接形式、密封结构和内壁热防护技术等。燃烧室的结构与选用的材料及成形方法有关，壳体的形状必须与药柱构形间相互协调使之相匹配。
（2）合理选择材料 制造壳体的材料主要分为金属和非金属两类。金属材料主要是钢；非金属材料主要是纤维增强复合材料。也有采用金属与纤维增强塑料复合结构的。设计壳体时除考虑药形和装药工艺外，主要应考虑所选用的材料能否承受全部载荷，并使壳体质量限制在规定的范围内，且材料来源丰富，制造成本低廉。
（3）壳体应力分析和强度计算 分析壳体所承受的各种载荷，根据壳体形状和结构进行应力分析和强度计算，合理选择安全系数，以确定壳体心何尺寸，如壁厚、连接结构的形式和尺寸等。
（4）依据设计草图计算壳体质量。
（5）根据设计草图和计算结果，绘制燃烧室壳体部件图，并拆绘零件图。
（6）制订壳体制造、试验、检验的技术条件。
本章主要介绍燃烧室壳体的结构、金属壳体和纤维缠绕壳体的设计、壳体受热分析和内绝热层设计，以及壳体制造验收技术条件等。
燃烧室设计除了在热防护方面有其特殊性，其方法与高压容器的设计相同，其性能的好坏用设计效率PW/Vc来衡量，其中P为燃烧室承受的压强，W为壳体质量，Vc为燃烧室包容的容积。
3.2 燃烧室壳体结构
典型的燃烧室壳体由圆简体、前封头、后封头、前裙、后裙、前接头和后接头组成。封头形状可以是半球形、椭球形或碟形的，一些小型发动机甚至是一块平板。有的末级发动机的前封头上开有推力终止孔。图3-1所示为典型的钢制燃烧室壳体结构。
图3-1 典型的钢制燃烧室壳体
对于一些战术导弹的发动机，裙与圆筒体可能是一体的，前封头不一定有前接头，后封头也许不存在，而是喷管直接与圆筒体连接。
按燃烧室壳体所使用的材料和加工方法，将壳体结构分为两类：金属结构和纤维缠绕结构。
3.2.1 金属壳体结构
金属壳体结构与复合材料壳体相比有几个优点：所需要的工艺简单，延展性适中，在破裂前要经历屈服阶段，能够承受较高的温度，通常是700～1000C，这样可以需要较少的绝热层。如果用其制造较厚的法兰或接头，它可以承受较大的集中载荷，随时间和气候，性能较为稳定。由于金属密度较高、需要的绝热层少，在相同的外形尺寸，可以装更多的药。
（1）筒体结构
小型发动机的筒体通常采用热轧型材或热冲压毛坯经机械加工而成，筒体两端车有连接螺纹，它们多适用于批量生产。热轧型材系指通用规格的无缝钢管和专为生产发动机壳体的专用型材。热压毛坯可将筒体与前封头锻压制做成一体。
金属筒体也可旋压成形，筒体常与封头制成一体，但另一端必须开口。旋压成形是一种无屑加工技术，壳体壁厚可按需要加工成等厚度或变厚度的。旋压结构不仅大大地简化结构和制造工艺，充分利用材料和降低损耗，并且使机械强度和表面光洁度提高，结构质量得以减轻。图3-2为旋压成形的壳体。
对于直径较大或结构复杂的壳体，常采用焊接结构，如图3-1所示。焊接结构的筒体是由一块或几块钢板卷焊而成，当筒体较长时，可由几个卷焊好的圆筒同轴对接后再环向焊接在一起，但应避免相邻圆筒体的纵向焊缝位于同一母线上，通常于环向错开180°，以免筒体发生过大焊接变形和降低强度。焊好的筒体再与前、后封头焊成一体。
图3-3所示是螺旋卷焊的壳体，采用高强薄钢带按一定的螺旋升角螺旋卷焊而成。这种结构易于实现焊接工艺自动化，但对钢带几何尺寸（宽度和厚度）精度要求较高。
图3-3 螺旋卷焊的壳体
对于大型发动机，如太空穿梭机，就需要采用分段结构。壳体段在发射场采用机械方式连接和密封在一起。壳体段之间常采用O形密封圈密封。如果不采用分段，壳体制造和运输将非常困难。
推进剂总重：498t
发动机总重：565t
真空最大推力：1377t
燃烧工作时间：123..7s
装配发动机总长：37.8m
壳体直径：3.65m
发动机质量比：88.2%
图3-4 航天飞机助推器分段结构
（2）封头结构
圆柱形燃烧室壳体一般采用半球、椭球和碟形封头，平底封头只用于小直径燃烧室壳体。平底结构最简单，易加工，但受力情况也最差，必须做得很厚，增加结构质量。
半球形封头受力最好，因此壁薄、质量轻。但是这种封头深度大，成形时对材料的塑性要求高。在壳体长度一定时，同一直径的壳体采用半球形封头比采用椭球封头的容积小。
碟形封头也称做三心底封头（图3-5），其顶部是半径为的球壳的一部分，边缘由半径为的圆弧旋转而成。由于碟形封头几何形状的不连续性，在不同几何形状连接处必然会产生不连续应力，从而降低封头的承载能力。圆弧半径与顶部半径之比（）越小，则其连接处产生的弯曲应力越大。一般规定圆弧半径不得小于封头壁厚的3倍，并且在任何情况下不得小于封头内径的6%。碟形封头的模具制造比较容易。
椭球封头是由椭圆曲线绕其短轴旋转而成。由于椭球经线曲率是连续变化的，因此封头上的应力也随之连续变化。在椭球长短轴半径之比＞时会出现压缩的纬向应力。当时，封头上最大应力（顶点处）与筒体上最大应力相等。对于等壁厚壳体，若＞2，则封头强度将弱于筒体。通常取，此时封头深度仅为筒体半径的一半，易于加工。
（3）连接结构
壳体的筒体与封头或喷管、前封头与顶盖和点火装置、后封头与喷管、以及燃烧室与导弹其它舱段（如级间段、战斗部）之间都存在连接问题。对连接结构的主要要求是：连接可靠，密封性和同轴性好，便于药柱装填或浇铸，容易加工和装配，质量轻。
连接结构分为可拆和不可拆两类。可拆连接有螺纹连接、螺栓连接、下环连接和销钉连接等；不可拆连接有铆接、粘接、焊接、过盈配合等。焊接具有连接可靠性高、结构简单和质量轻等优点，是不可拆连接中应用最广泛的一种。为了装填或浇铸药柱，壳体两端至少有一端采用可连接结构。通常，前封头与顶盖、后封头与喷管都采用可拆连接结构。图3-6给出几种典型连接结构。图中1~3图表示段与段的连接，其连接件可以是销钉、铆钉、螺栓或闭锁金属丝，图中4~8图表示顶盖和喷管的连接，连接件可以是螺栓、螺钉、卡环或螺纹。
图3-6 几种典型的连接结构
销钉或铆钉连接的特点是结构简单、质量轻，但制造精度要求高。
闭锁金属丝连接的特点是结构简单、质量轻、工艺性好；但装卸稍困难，不宜多次装卸，由于要开一定深度的环形槽，使壳体局部厚度不得不加厚。卡环连接与之相似，胀圈式卡环连接装卸方便。
螺栓连接的特点是制造装配容易，连接可靠，同轴性和密封性好，能满足两连接零件间的相对位置要求；但结构质量较重。适用于大中型发动机的连接。
螺纹连接的特点是结构紧凑，连接可靠，制造方便；但大尺寸的螺纹制造精度不高、装配困难，且难以定位。一般用于中、小型发动机。
为了提高螺纹连接的同轴性，常设计一定长度的高精度的圆柱面作定位面。为了防止螺纹松动，可在螺纹径向拧入二个互成90°角的止动螺钉。
上述连接结构的设计并非唯一的，在设计时应根据连接部位和要求进行分析比较，作出最佳设计。
（4）密封结构
为了防止发动机工作过程中燃烧室内高温高压燃气外泄，以及确保发动机在贮存、运输过程中内部的防潮和防腐，必须要求各连接部位有良好的密封性能。因此，密封设计十分重要。固体火箭发动机上常采用的密封为O形圈和平垫圈密封，尤以前者应用最为普遍。
O形圈因其横截面呈O形而得名。O形圈密封毋需太大的预紧力，将其置于密封槽中，靠安装和受载后的压缩变形来实现密封。这种密封结构的特点是燃气压强越高，压紧力越大，密封效果越好。
O形圈密封结构的设计包括：选择O形圈材料，确定O形圈尺寸和压缩量，确定密封槽的形状和尺寸。O形圈的材料要求强度高、回弹性好、耐热、耐寒、永久变形量小。发动机上常用的O形圈材料有硅橡胶、氟橡胶、丁腈橡胶和聚四氟乙烯塑料等。通常用于固定部位的O形圈多用硅橡胶制做、用于运动部位的O形圈常用氟橡胶和聚四氟乙烯制作。
设O形圈的名义直径为d，内径为d1，横截面直径为d2（图3-7）。d1与d2的关系见表3-1。
表3-1 O形圈截面直径d2与内径d1的关系
|
d1（mm） |
＜50 |
50~150 |
150~300 |
300~700 |
700~1100 |
|
d2（mm） |
2~2.5 |
2.5~3 |
3~5 |
5~7 |
7~9 |
O形圈的压缩量由下式表示
\(\varepsilon =({{d}_{2}}-{d}’)/{{d}_{2}}\) （3-1）
式中d’表示O形圈截面直径受压后的尺寸（图3-8）。对于平面固定密封，取\(\varepsilon =15\tilde{\ }35%\)；对于运动密封和柱面密封，取\(\varepsilon =10\tilde{\ }28%\)。
密封槽尺寸的确定：槽的截面积（B×H）与O形圈的截面积（\(\frac{\pi }{4}d_{2}^{2}\)）之比应为1.2~1.3，槽宽B=1.3d2，由此可确定槽深\(H\approx 0.79{{d}_{2}}\)。为防止O形圈被挤入夹缝间隙，应尽量选用截面直径较大的O形圈（建立在表3-1基础上增加1~2mm）；连接螺栓与密封槽外圈距离（图3-8中e）应尽量小。
根据航天飞机挑战者号固体助推器密封失败的教训，密封圈的回弹性必须能跟上密封面间隙因受压引起的增大变形。为防止密封圈在低温下失去回弹力，可采用充填耐热腻子，增设加热器，或者选用新材料，并适当加粗O形圈的截面尺寸；为防止燃气烧蚀密封圈，应在接近燃气的内侧充填铬酸锌腻子，或者增设隔热栅（图3-9），隔热栅采用钨丝或陶瓷材料编制而成、其透气性好。
图3-8 O形圈的安放位置与压缩量
图3-9 采用隔热栅的“O”形圈密封
3.2.2 纤维缠绕壳体结构
纤维缠绕壳体通常将封头与筒体制成整体，用浸渍过树脂的纤维束在缠绕机的芯模上缠绕而成。基本的缠绕方法有三种：平面缠绕、环向缠绕和螺旋缠绕。平面缠绕和环向缠绕不能单独使用，螺旋缠绕也很少单独使用，目前较常使用的是平面加环向缠绕和螺旋加环向缠绕。图3-10为纤维缠绕的燃烧室壳体示意图，图3-11为常用的两种缠绕壳体的方法示意图。环向缠绕只能提供筒体段的环向强度，平面和螺旋缠绕可提供所需轴向强度和部分环向强度。螺旋缠绕的角度可按要求调整，平面缠绕的角度取决于壳体长度和两端开口尺寸。依据壳体环向与轴向强度比调整螺旋缠绕角或确定平面（螺旋）缠绕和环向缠绕厚度。
（a）平面加环向 （b）螺旋加环向
图3-11 缠绕方法示意图
缠绕过程中，应使纤维缠绕时的张力均匀，并随壁厚增加而逐渐减小，以免外层纤维压迫内层纤维，致使内层纤维松弛而不能承载。所以在缠绕过程中必须随时观测并自动调节缠绕纤维的张力大小。
纤维缠绕壳体的连接通常采用金属接头、金属裙或带金属端框的复合裙。金属接头与缠绕壳体采用粘结连接，在缠绕前将接头置于芯模两端，涂上粘结剂后进行缠绕。裙在壳体缠绕完毕后通过弹性层粘结在壳体筒体段两头，再在外面环向缠绕一层纤维。通常，燃烧室的内绝热层事先包裹在芯模上，装上接头再行缠绕。接头、裙或裙端框常用轻质高强铝合金制造，可以车制螺纹、钻孔或加工螺孔。
3.3 金属壳体应力分析和强度计算
3.3.1 壳体承受的载荷
燃烧室壳体从浇铸推进剂或装填药柱开始，经贮存、运输，到点火工作和飞行，这整个过程中都会受到各种载荷的作用。这些载荷可以分为内载荷、外载荷和连接载荷。
（1）内载荷
内载前与发动机的工作有关，可分为静态和动态两种。静内载是指由燃气产生的内压、轴向推力和推力偏斜、惯性力以及温度梯度引起的热应力。对于金属壳体，内压是最基本的载荷，轴向推力引起的轴向应力和推力偏斜引起的弯曲、剪切应力比内压引起的应力小得多，由于壳体贴有内绝热层，可以忽略应力和材料强度的下降。
动内载主要为由点火冲击、内压瞬变、不稳定燃烧和推力终止引起的载荷，弹性动力学分析表明，动内压引起壳体的应力很小。可以忽略。
（2）外载荷
发动机在贮存、运输、勤务处理、发射和飞行过程中，壳体会受到各种外界静、动载荷，如重力、机械撞击、冲击、振动、加速度载荷、风载和气动加热等。
（3）连接载荷
发动机上的辅助装置以及与壳体相连接的零、部件等对壳体作用的载荷叫做连接载荷。例如推力向量控制装置、安全点火装置、各种作动装置、传递推力的裙、起吊支耳等都会对壳体产生连接载荷，从而在壳体的局部产生拉、压、弯曲、剪切和扭转应力和变形。
上述诸载荷对某一发动机不一定都会出现，也不一定同时出现，需视发动机使用环境和工作条件合理地进行处理。通常，对于贴有内绝热层的壳体只需考虑内压作用，隔热性能不好的壳体应考虑温度对材料机械性能的影响。
3.3.2 壳体壁厚估算
壳体应力分析是校核壳体强度的基础。应力分析通常在初步完成壳体设计后进行，根据应力分析来修改壳体设计。在进行壳体初步设计时需预先估算壳体壁厚。由于壳体壁厚与直径之比在5%左右，因此可将受内压作用的壳体视为薄壳进行处理。
（一）筒体壁厚
圆筒体最小壁厚可按最大应力强度理论估算
\({{\delta }_{\min }}=\frac{{{p}_{\max }}D}{2\xi [\sigma ]}\) （3-2）
或 \({{\delta }_{\min }}=\frac{{{p}_{\max }}{D}_{c}}{{2\xi [\sigma ]}+{p}_{\max}}\)
（3-3）
式中pmax为燃烧室最大工作压强，D和Dc为筒体中面直径和外径，[б]为材料在设计温度下的许用应力，x为焊缝系数。
（二）封头壁厚
封头壁厚按下式计算
\(\delta =\frac{{{p}_{\max }}{{R}_{2}}}{2[\sigma ]}(2-\frac{{{R}_{2}}}{{{R}_{1}}})\) （3-4）
式中R1和R2分别为封头中面经线和纬线方向的曲率半径（即第一和第二主曲率半径）。
对于半球封头，\({{R}_{1}}={{R}_{2}}=D/2\)。对于椭球封头。
\({{R}_{1}}=\frac{mD}{2{{[1+({{m}^{2}}-1){{\sin }^{2}}\phi ]}^{3/2}}}\)
\({{R}_{2}}=\frac{mD}{2{{[1+({{m}^{2}}-1){{\sin }^{2}}\phi ]}^{1/2}}}\)
式中m为椭球长半轴与短半轴之比，f为第二主曲率半径与旋转轴之夹角。因此椭球封头壁厚为
\(\delta =\frac{{{p}_{\max }}Dm}{4\varsigma [\sigma ]}\) （3-5）
或
\(\delta =\frac{{{p}_{\max }}{D}_{c}m}{{4\varsigma [\sigma ]}+{p}_{\max}m}\)
（3-6）
通常取。
碟形封头壁厚由下式估算
\(\delta =\frac{K\cdot {{p}_{\max }}{{D}_{c}}m}{4\xi \left[ \sigma \right]+{{p}_{\max }}m}\) （3-7）
式中K为碟形封头形状系数，是顶部半径R和边缘半径r的函数
\(K=\frac{1}{4}(3+\sqrt{\frac{R}{r}})\)
与m=2的椭球封头等强度、等深度的碟形封头尺寸是：\(r=D/8,R=0.75D,\)球半径R与边缘半径r交接的截面与旋转轴的夹角\(\phi ={{36.87}^{\circ }}\)
3.3.3 接头尺寸估算
一般燃烧室壳体封头的接头如图3-12所示，接头边缘厚度δ等于封头壁厚，接头加强环的尺寸由下式确定
\(\frac{BH}{r\delta }=1.20\tilde{\ }1.43\) （3-8）
通常，对于尺寸较小的前接头取上式中的上限值，尺寸较大的后接头取下限值。接头的锥颈长主按下式估算
\(l\ge 0.5\sqrt{{{R}_{i}}\delta }\) （3-9）
式中Ri为锥颈与封头连接处的主曲率半径R1和R2中的较大者；锥颈根部厚度由下式确定
\(2\delta <{{\delta }_{r}}<H\) （3-10）
3.3.4 应力分析
由图3-1可知，燃烧室壳体是由不同形状的旋转壳体和各种连接件构成的半封闭式压力容器。对这样的壳体进行应力分析时，可将其分解成单一形状的壳体和零件，逐个写出它们的变形方程；再依据整个壳体的连续性，写出变形协调方程和力的平衡方程，解出剪力和弯矩后进行应力计算。也可用有限元（如锥壳元）法进行应力计算。
（1）薄膜应力和变形
燃烧室壳体是薄壁壳体，若壳体母线无突然曲折，则壳体只承受拉应力作用。这种只承受拉应力而没有弯曲应力的薄壳叫做薄膜，其上产生的单位长度上的力叫做薄膜力，其应力叫做薄膜应力。表3-2给出不同形状薄壳的薄膜力和变形公式。
表3-2 旋转薄壳的薄膜力和变形公式
注：上角标*表示薄膜的，E为弹性模量，μ为泊松比。为壳体中面的纬圆半径，γ为半锥角，φ为主曲率半径R2与中心线的夹角。将椭球的第一、第二主曲率半径代入表3-2中式（f’）可得到椭球壳的边缘转角为
\({{\theta }^{*}}=\frac{p{{R}_{2}}}{2E\delta }({{m}^{2}}-1)\sin \phi \cos \phi [4+({{m}^{2}}-1){{\sin }^{2}}\phi ]\) （3-11）
（2）薄壳的弯曲理论
由于燃烧室壳体是由不同形状的壳体和连接件构成的，它们的变形是不一样的，而整个壳体结构是连续的，因而在不同形状壳体的连接部位便出现了不能由薄膜应力满足的区域，即所谓“不连续区”。在不连续区会产生弯曲应力，并因此会出现附加的内力（剪力Q0和弯矩M0）。因此，壳体的弯曲理论也叫做有矩理论。图3-13为典型金属壳体的应力分布。
图3-13 壳体外表面应力分布图
3.3.5 强度校核
计算出壳体的应力，即可对壳体的强度进行校核。采用第一强度（最大正应力）理论进行校核时，应满足
\(\max \left( {{\sigma }_{\varphi }},{{\sigma }_{\theta }} \right)\le \left[ \sigma \right]\) （3-12）
如果采用第四强度（最大能量）理论进行强度校核，则应满足
\(\sigma _{\varphi }^{2}\text{-}{{\sigma }_{\varphi }}{{\sigma }_{\theta }}\text{+}\sigma _{\theta }^{2}\le \left[ \sigma \right]\) （3-13）
式中[б]为材料许用应力，其值为
\([\sigma ]={{\sigma }_{b}}/f\)
f是安全系数。
关于强度校核问题需要补充说明。理论计算和水压试验都表明，壳体在连接接头或焊缝附近，由于有弯曲应力，致使这部分应力偏高。在最大工作压强时，有时甚至会超过材料的强度极限，此时用式（3-12）或（3-13）去校核则通不过，但实际却是安全的。这是什么原因呢？因为前面的应力分析是建立在线弹性基础上的，没有考虑塑性变形（下节将讨论）。连接部位的应力是由薄膜应力和弯曲应力组成的，而弯曲应力在壳体外表面达到最大值，而内表面由于弯矩产生的弯曲应力符号正好与外表面的相反。因此，当外表面应力达到最大值并进入屈服极限时，但整个横截面不一定都进入塑性状态，壳体仍有承载能力。一旦壳体表面进入塑性状态，就应采用塑性理论进行分析。对于材料塑性和韧性较好的壳体，在弯曲应力较大部位，允许由弹性分析解得的应力达到1.5бb。
3.4 金属壳体的爆破压强
经过应力分析和强度校核的金属壳体能承受多大的内压而不破坏？这需要预估壳体的爆破压强。将预估的爆破压强与燃烧室最大工作压强进行比较，可以预估壳体的强度储备；将预估的爆破压强与壳体水压爆破试验测得的实际值进行比较，可以评定壳体的材料、设计和加工工艺水平。
简单地估计壳体爆破压强可应用薄膜应力公式，但这只适用于弹性变形。事实上，金属壳体在破坏之前就开始产生塑性变形，因此预估壳体爆破压强时应考虑金属塑性变形的影响。
通常制造壳体的高强钢是一种幂函数硬化塑性材料。当壳体的内压增至一定值时，由于壳体壁厚变薄的效果，抵消了应变硬化效果。此后，壳体继续变形时，其所对应的内压反而降低，这相当于拉伸试验中出现“缩颈”以后的情形。此即所谓的塑性变形中受拉力作用的失稳现象（拉伸塑性失稳）。拉力失稳开始出现时的内压即为壳体所参承受的最大工作压强，亦即爆破压强。
计算壳体的爆破压强需应用材料的硬化特性，并由于失稳时的应变较大，所以计算中一般应用自然（真）应力和自然应变。
自然应力和自然应变与通常所指的应力和应变存在下列关系
\(\tilde{\sigma }=\frac{F}{A}=\frac{F}{{{A}_{0}}}\mathop{{}}_{{}}^{{}}=\frac{{{A}_{0}}}{A}=\frac{F}{{{A}_{0}}}\frac{l}{{{l}_{0}}}=\sigma (1+\varepsilon )\) （a）
\(\tilde{\varepsilon }=\int_{{{l}_{0}}}^{l}{\frac{dl}{l}=\ln \frac{l}{{{l}_{0}}}=\ln (1+\varepsilon )}\) （b）
式中 F——拉力；
A和A0——试件受力后的横截面和初始面积；
L和l0——试件受力后的长度和原始长度；
б和ε——应力和应变，顶记号~表示自然的，\(\varepsilon =\frac{l-{{l}_{0}}}{{{l}_{0}}}\)。
对于幂函数硬化塑性材料，通常用下式表示其应力-应变关系
\(\tilde{\sigma }=a{{\overline{\varepsilon }}^{n}}\) （3-14）
式中a为强度系数，n为应变硬化指数，对于高强钢：0＜n＜1。可以证明：\({{\overline{\varepsilon }}_{b}}=n\)（详见塑性力学教程）。a和n可由材料的屈服极限\({{\sigma }_{s}}\)和强度极限\({{\sigma }_{b}}\)，以及弹性模量E求得
\({{\tilde{\sigma }}_{s}}\approx {{\sigma }_{s}}\approx a{{(\frac{{{\sigma }_{s}}}{E}+0.002)}^{n}}\) （3-15）
\({{\tilde{\sigma }}_{b}}={{\sigma }_{b}}\exp n=a{{n}^{n}}\) （3-16）
将上二式联立求解，先消去a，得
\(\frac{{{\sigma }_{b}}}{{{\sigma }_{s}}}\exp n\approx \frac{{{n}^{n}}}{{{\left( \frac{{{\sigma }_{s}}}{E}+0.002 \right)}^{n}}}\) （3-17）
用迭代法求出n，再代入式（3-16）求得
\(a={{\sigma }_{b}}{{\left( \frac{e}{n} \right)}^{n}}\) （3-18）
由塑性力学，在忽略弹性应变的情况下，有
式中\({{\overline{r}}_{8}}\)和\({{\overline{\tau }}_{8}}\)分别为八面体的自然剪应变和剪应力。将方程（3-19）按列相加，得
\({{\tilde{\varepsilon }}_{1}}+{{\tilde{\varepsilon }}_{2}}+{{\tilde{\varepsilon }}_{3}}=0\) （3-20）
上式表示塑性变形体积不变，式（a）应用了这一原理。
为方便计，引入下述表示法
\({{\tilde{\sigma }}_{1}}={{\tilde{\sigma }}_{\theta }},{{\tilde{\varepsilon }}_{1}}={{\tilde{\varepsilon }}_{\theta }}\)
\({{\tilde{\sigma }}_{2}}={{\tilde{\sigma }}_{\theta }},{{\tilde{\varepsilon }}_{1}}={{\tilde{\varepsilon }}_{\phi }}\)
\({{\tilde{\sigma }}_{3}}={{\tilde{\sigma }}_{r}},{{\tilde{\varepsilon }}_{3}}={{\tilde{\varepsilon }}_{r}}\) （3-21）
和无因次量
\({{\beta }_{2}}={{\tilde{\sigma }}_{2}}/{{\tilde{\sigma }}_{1}},{{\beta }_{3}}={{\tilde{\sigma }}_{3}}/{{\tilde{\sigma }}_{1}}\) （3-22）
对于喷喉半径为Rt的壳体，其筒体上的自然应力为
式中筒体半径R和壁厚h与其初始值R0和h0有下列关系
\({{\overline{\varepsilon }}_{1}}=\ln \frac{R}{{{R}_{0}}},\mathop{{}}_{{}}^{{}}{{\overline{\varepsilon }}_{3}}=\ln \frac{h}{{{h}_{0}}}\)
即 \(R={{R}_{0}}\exp {{\tilde{\varepsilon }}_{1}},\mathop{{}}_{{}}^{{}}h={{h}_{0}}\exp {{\tilde{\varepsilon }}_{3}}\) （3-24）
引入符号
\({{a}_{2}}=\frac{{{{\tilde{\varepsilon }}}_{2}}}{{{\varepsilon }_{1}}}=\frac{2{{\beta }_{2}}-1-{{\beta }_{3}}}{2-{{\beta }_{2}}-{{\beta }_{3}}}\) （3-25）
由式（3-23）~（3-25）导得筒体中压强的表达式
\(p=\frac{{{h}_{0}}{{\sigma }_{1}}}{{{R}_{0}}}\exp [-(2+{{a}_{2}}){{\tilde{\varepsilon }}_{1}}]\) （3-26）
在材料失稳点，压强对环向应变的导数为零，\(dp/d{{\tilde{\varepsilon }}_{1}}=0\)，因此由式（3-26）导得
\(\frac{d\tilde{\sigma }_{1}^{*}}{d\tilde{\varepsilon }_{1}^{*}}=(2+{{a}_{2}})\sigma _{1}^{*}\) （3-27）
式中上角标*表示失稳点上的值。引入自然的应力强度\({{\tilde{\sigma }}_{i}}\)和应变强度\({{\tilde{\varepsilon }}_{i}}\)
\({{\tilde{\sigma }}_{i}}=\frac{1}{\sqrt{2}}{{[{{({{\tilde{\sigma }}_{1}}-{{\tilde{\sigma }}_{2}})}^{2}}+{{({{\tilde{\sigma }}_{2}}-{{\tilde{\sigma }}_{3}})}^{2}}+{{({{\tilde{\sigma }}_{3}}-{{\tilde{\sigma }}_{1}})}^{2}}]}^{\frac{1}{2}}}\)
\({{\tilde{\varepsilon }}_{i}}=\frac{1}{2}(2-{{\beta }_{2}}){{(1-{{\beta }_{2}}+\beta _{2}^{2})}^{-\frac{1}{2}}}{{\tilde{\varepsilon }}_{i}}\) （3-28）
将式（3-27）和（3-26）中的\({{\tilde{\sigma }}_{1}}{{\tilde{\varepsilon }}_{1}}\)换成\({{\tilde{\sigma }}_{i}}{{\tilde{\varepsilon }}_{i}}\)，则在失稳点上得到
\(\frac{d\tilde{\sigma }_{i}^{*}}{d\tilde{\varepsilon }_{i}^{*}}=\frac{3\tilde{\sigma }_{i}^{*}}{2\lambda }\) （3-29）
和
\({{p}^{*}}=\frac{{{h}_{0}}\tilde{\sigma }_{i}^{*}}{{{R}_{0}}\lambda }\exp (-\frac{3\tilde{\varepsilon }_{i}^{*}}{2\lambda })\) （3-30）
式中
\(\lambda ={{(1-{{\beta }_{2}}+\beta _{2}^{2})}^{\frac{1}{2}}}\)
称之为双轴应力参数，当Rt=0时，即壳体两端封闭，\(\lambda =\sqrt{0.75}=0.866\)。
对式（3-14）求导
\(\frac{d\tilde{\sigma }}{d\varepsilon }=na{{\tilde{\varepsilon }}^{n-1}}\)
将其代入式（3-29），得到失稳点处的应变为
\(\tilde{\varepsilon }_{i}^{*}=\frac{2}{3}n\lambda \) （3-31）
相应地有
\(\tilde{\sigma }_{i}^{*}=a{{(\tilde{\varepsilon }_{i}^{*})}^{n}}=a{{(\frac{3}{2}n\lambda )}^{n}}={{\sigma }_{b}}{{(\frac{3}{2}\lambda )}^{*}}\) （3-32）
因此，对于初始半径R0、初始壁厚h0的高强钢壳体，用双轴应力参数描述其筒体的爆破压强为
\({{p}_{b}}=\frac{{{h}_{0}}\tilde{\sigma }_{i}^{*}}{{{R}_{0}}\lambda }\exp (-n)=\frac{{{h}_{0}}{{\sigma }_{b}}}{{{R}_{0}}\lambda }{{(\frac{2}{3}\lambda )}^{*}}\) （3-33）
3.5 高强钢的低应力爆破
为了追求发动机的高质量比，减轻结构质量，往往对金属壳体材料提出更高的强度要求，因而出现了高强钢和超高强钢。用这些钢制造的壳体在水压检验过程中发现：有时壳体应力远低于材料屈服极限时也会发生爆破，即通常所谓的低应力爆破或脆性断裂。
根据40SiMnCuMoV钢壳的低应力爆破情况，其破坏断口并非呈45°倾斜的光面，而是有“人”字形或斜线的断面。顺着人字或斜线走向，可在断面上找到一个形若新月的暗点，此即材料固有缺陷——裂纹，壳体在低应力时发生脆性断裂就是从这里开始的。事实上，金属材料在冶炼、轧制、焊接、热处理及机加工过程中都可能出现缺陷（气孔、夹杂和裂纹）。在制成品的使用过程中也可能引发出宏观的裂纹源，如材料表面的微裂纹在介质腐蚀和疲劳载荷作用下会扩展成宏观裂纹。壳体承载达到某临界状态时，材料中固有裂纹会迅速扩展，从而导致壳体低应力爆破。
3.5.1 断裂韧性概念
为了研究带裂纹的结构强度，需要知道裂纹尖端处的应力场，因为这里正是裂纹可能扩展的地方。在断裂力学中，对于穿透性裂纹问题，按裂纹位置与应力方向之间的关系，可将裂纹附近的应力场分为三种类型：①张开型（Ⅰ型）——裂纹在垂直于裂纹表面的拉应力作用下的扩展：②滑移型（Ⅱ型）——裂纹在平行于裂纹面而与裂纹前缘垂直的剪应力作用下的扩展；③撕裂型（Ⅲ型）——裂纹在平行于裂纹面和裂纹前缘的剪应力作用下的扩展。
燃烧室壳体中常见的裂纹形式是Ⅰ型的。表征Ⅰ型裂纹应力场强弱程度的量是应力强度因子，以K1表示，其表达式为
\({{K}_{I}}=\underset{r\to 0}{\mathop \lim }\,\sqrt{2\pi r}{{\sigma }_{y}}z{{(r,\theta )}_{\theta =0}}\) （3-34）
式中为应力场距裂纹尖端的距离；θ为应力场与裂纹平面的夹角。I型裂纹前缘附近的应力为（图3-14）
（3-35）
应力强度因子KI与裂纹尖端区域内点的坐标位置（r，θ）无关，但与所作用载荷的大小、裂纹尺寸和带裂纹体的形状有关。所以，应力强度因子KI的物理意义可概括地理解为：在固体材料内由于引入裂纹而反映应力重新分布的力学参数。为了研究带裂纹的结构在应力作用下的裂纹扩展问题，应力强度因子必须考虑两个因素：应力和裂纹尺寸。
对于一般的机械零件，其常见的裂纹形状，应力强度因子KI与作用在带裂纹体裂纹尖端处的名义应为б0和裂纹尺寸a（图3-15）之间存在下列关系
图3-14 张开型裂纹
图3-15 KI中的б0和a
\({{K}_{I}}=Y{{\sigma }_{0}}\sqrt{a}\) （3-36）
式中Y为含裂纹物体的几何形状函数（无因次量）。对于中央有一长度为2a的穿透性裂纹的无限大平板，在X、Y方向都有一均匀应力б0的作用，则上式中\(Y=\sqrt{\pi }\)。
当KI达到某临界值KC（叫做断裂韧性）时，则裂纹就会产生急剧扩展。为使裂纹不急剧扩展而造成脆性断裂，则要求
\({{K}_{I}}\le {{K}_{c}}\) （3-37）
上式称为脆性断裂判据。理论分析和实验表明，I型裂纹最易产生脆性断裂；同时，在平面应变条件下，由于材料处于三向拉伸应力状态，与平面应力状态比较，裂纹也容易产生临界扩展。所以通常都用具有张开型裂纹的厚板进行试验，以确定平面应变状态下的断裂韧性KIC，此时脆性断裂的判据是
\({{K}_{I}}\le {{K}_{IC}}\) （3-38）
用KIC表征材料的韧性比用冲击韧性ak更有实用价值。进行壳体或其它机械构件设计时，无法定量计算冲击能量的大小，而应力强度因子则可以计算，利用式（3-38）即可判断所设计的壳体或构件会不会发生脆性断裂。
我们进一步对式（3-38）这一判据进行讨论，以了解断裂力学解决强度问题的方法及其能解决的各种问题。
（1）选材和确定结构尺寸 传统的设计方法是根据强度储备来选择材料和确定结构尺寸（如壳体直径和壁厚）的，其安全系数为材料的强度极限或屈服极限与结构的设计应力之比，即\({{f}_{s}}={{\sigma }_{b}}/{{\sigma }_{d}}\)，而断裂力学的设计方法是按韧性储备来选材和确定结构尺寸的，其安全系数\({{f}_{t}}={{K}_{IC}}/{{K}_{I}}\)。这两种方法对于高强钢是不一致的。
（2）确定含有缺陷（裂纹）结构的承载能力 当已知结构的裂纹尺寸时，由式（3-36）和（3-37）可以确定结构的承载能力
\({{\sigma }_{0}}\le {{K}_{IC}}/Y\sqrt{a}\) （3-39）
（3）确定结构的临界裂纹尺寸 已右结构的承载能力б0，由式（3-36）和（3-38）可以确定结构存在多大的裂纹是允许的，并据此可以预估其使用寿命，即
\({{a}_{c}}\le {{({{K}_{IC}}/Y{{\sigma }_{0}})}^{2}}\) （3-40）
式中ac为在一定应力作用下不发生脆性断裂所允许的最大裂纹尺寸，叫作临界裂纹尺寸。
必须注意，结构中的初始裂纹尺寸是比较小的，它在结构承载过程中会逐渐扩大（这种逐渐扩大的过程叫做亚临界扩展），当其扩展到临界尺寸ac时即发生脆性断裂。由初始裂纹尺寸扩大到临界裂纹尺寸的时间就是结构的使用寿命。断裂力学预估结构的使用寿命是通过计算裂纹扩展速率da/dN（N为交变载荷循环次数）来实现的，关于这一问题可参阅有关断裂力学专著。
3.5.2 金属壳体的脆性断裂
在金属壳体的板材和焊缝的热响应区内，最常见的是各种表面裂纹，具有代表性的是椭圆形表面裂纹。图3-16所示为壳体表面有一未穿透的椭圆裂纹，长2C，深a，当受到一个与裂纹面垂直的拉应力б作用时，短轴的应力强度因子最大，其值为
\({{K}_{I}}=1.1\sigma \sqrt{\pi a}/\sqrt{{{\varphi }^{2}}-0.212{{(\sigma /{{\sigma }_{s}})}^{2}}}\) （3-41）
式中f是与椭圆长半轴C和短半轴a有关的第二类椭圆积分
\(\varphi =\int_{0}^{\pi /2}{{{(1-\frac{{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{{{c}^{2}}}{{\sin }^{2}}\theta )}^{1/2}}d\theta }\) （3-42）
将式（3-41）改写成
\({{K}_{I}}=1.95\sigma \sqrt{a}/\sqrt{Q}\) （3-43）
式中，\(Q={{\varphi }^{2}}-0.212{{(\sigma /{{\sigma }_{s}})}^{2}}\)，叫做裂纹形状参数，它考虑了裂纹尖端近处存在塑性区域所产生的应力松弛效果，其值见表3-3。
表3-3 裂纹形状参数Q之值
|
a/c \(\sigma /{{\sigma }_{s}}\) |
0.05 |
0.2 |
0.4 |
0.5 |
0.6 |
0.8 |
1.0 |
|
1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 |
0.797 0.837 0.873 0.905 0.933 |
0.892 0.932 0.968 1.000 1.027 |
1.112 1.152 1.188 1.220 1.248 |
1.255 1.295 1.331 1.363 1.390 |
1.417 1.457 1.494 1.525 1.553 |
1.799 1.839 1.875 1.907 1.935 |
2.555 2.296 2.332 2.364 2.391 |
对于壳体板材的断裂韧性最好选用表面裂纹平面应变断裂韧性KIC，这比用厚板进行试验测定的平面应变断裂韧性更切实际。当壳体的应力强度因子KI达到KIC值时，壳体便会发生脆性断裂。此时壳体的应力为断裂应力бf.，可由式（3-41）求得：
\({{\sigma }_{f}}=\varphi {{K}_{IC}}/{{[3.8a+0.212({{K}_{IC}}/{{\sigma }_{s}}){}^{2}]}^{1/2}}\) （3-44）
此时壳体表面的裂纹深度达到临界值
\({{a}_{c}}=\frac{{{\varphi }^{2}}-0.212{{({{\sigma }_{f}}/{{\sigma }_{s}})}^{2}}}{3.8}\mathop{{}}_{{}}^{{}}\frac{K_{IC}^{2}}{\sigma _{f}^{2}}\)
检验壳体表面的裂纹最小临界长度应是 时的值，即，则由式（3-44）求得裂纹最小临界长度为
\(2{{C}_{c}}\approx 1.2\frac{K_{IC}^{2}}{\sigma _{s}^{2}}\) （3-45）
如果燃烧室筒体母线上有一长2c深a的半椭圆形表面裂纹，当筒体的环向应力\({{\sigma }_{\theta }}\ge {{\sigma }_{f}}\)时，即发生脆性断裂。已知\({{\sigma }_{\theta }}=pR/\delta \)，由式（3-41）可求得筒体的脆性爆破压强为
\({{p}_{0}}=\frac{\varphi {{K}_{Ic}}\delta }{{{[3.8a+0.212{{({{K}_{Ic}}/{{\sigma }_{s}})}^{2}}]}^{1/2}}R}\) （3-46）
3.6.2 内绝热层厚度的确定
暴露在燃气中的内绝热层在燃气作用下形成三层：炭化层、热解层和没有变化的原始层。如果炭化层在燃气流作用下无侵蚀现象，则整个绝热层厚度保持不变（图3-17）。
图3-17 总厚度不变的一维碳化模型
可以一维导热方程来描述炭化区和原始区在某一瞬间的温度分布。其微分方程及其边界条件是
\(({{\lambda }_{1}}\frac{{{T}_{0}}-{{T}_{L}}}{{{X}_{L}}})dt={{\rho }_{2}}Ld{{X}_{L}}+{{\rho }_{2}}{{\overline{c}}_{2}}({{T}_{L}}-{{T}_{i}})d{{X}_{L}}\) （3-57）
式中T1为炭化区内温度；T2为原始区内温度；T0为内绝热层表面温度；TL为内绝热层热解温度；Ti为初始温度；t为内绝热层表面暴露在燃气中的时间；x为原点取在内绝热层表面上的厚度坐标；XL为分解区的坐标值（分解区厚度dXL无穷小）；a1和a2分别为炭化区和原始区的热扩散系数；λ1和λ2分别为炭化区各原始区的导热系数；L为内绝热层材料的热解潜热；ρ2为原始区的材料密度，C2为原始区材料比热，\({{\overline{C}}_{2}}\)表示其中Ti和TL之间的平均值。
式（3-52）~（3-55）的物理意义很明显；式（3-56）表示内绝热层在温度为TL时热解，无论从哪一边接近分解区，其温度都趋近于TL；式（3-57）表示热解区（实际上是炭化区与原始区间的界面）的能量平衡方程。
积分式（3-57），并注意到t=0时XL=0，得
\({{\lambda }_{1}}({{T}_{0}}-{{T}_{L}})t=\frac{{{\rho }_{2}}}{2}[L+{{\overline{C}}_{2}}({{T}_{L}}-{{T}_{i}})]X_{L}^{2}\)
因此，
\({{X}_{L}}={{\left\{ \frac{2{{\lambda }_{1}}({{T}_{0}}-{{T}_{L}})}{{{\rho }_{2}}[L+{{\overline{C}}_{2}}({{T}_{L}}-{{T}_{i}})]} \right\}}^{\frac{1}{2}}}{{t}^{\frac{1}{2}}}\) （3-58）
上式表示内绝热层的炭化深度，可简写成
\({{X}_{L}}=C{{t}^{\frac{1}{2}}}\) （3-59）
式中，C为炭化率常数
\(C={{\left\{ \frac{2{{\lambda }_{1}}({{T}_{0}}-{{T}_{L}})}{{{\rho }_{2}}[L+{{C}_{2}}({{T}_{L}}-{{T}_{i}})]} \right\}}^{\frac{1}{2}}}\) （3-60）
上式表征内绝热层的性质，显然C值越大越好，为此，要求内绝热层的热解温度和潜热越大越好。但是不希望密度\({{\rho }_{2}}\)太大，因为那样将会增加发动机的消极质量。
内绝热层的炭化率
\({{r}_{c}}=\frac{{{X}_{L}}}{t}=\frac{C}{\sqrt{t}}\) （3-61）
是随时间变化的。
如果考虑侵蚀作用，由第二个模型，假设侵蚀率\({{r}_{e}}=const\)，此时式（3-57）变成
\(({{\lambda }_{1}}\frac{{{T}_{0}}-{{T}_{L}}}{{{X}_{L}}-{{r}_{e}}t})dt={{\rho }_{2}}Ld{{X}_{L}}+{{\rho }_{2}}{{\overline{C}}_{2}}({{T}_{L}}-{{T}_{i}})d{{X}_{L}}\) （3-62）
引入符号
\(K=\frac{{{\lambda }_{1}}({{T}_{0}}-{{T}_{L}})}{{{\rho }_{2}}[L+{{\overline{C}}_{2}}({{T}_{L}}-{{T}_{i}})]}\)
则式（3-62）变为
\(Kdt=({{X}_{L}}-{{r}_{e}}t)d{{X}_{L}}\) （3-63）
为了解上式，令\(y={{X}_{L}}-{{r}_{e}}t\),则\({{X}_{L}}=y+{{r}_{e}}t\)，因此，
\(\frac{d{{X}_{L}}}{dt}=\frac{dy}{dt}+{{r}_{e}}\)
\(\frac{dy}{dt}=\frac{d{{X}_{L}}}{dt}-{{r}_{e}}\)
由式（3-63）
\(\frac{d{{X}_{L}}}{dt}=\frac{K}{{{X}_{L}}-{{r}_{e}}t}=\frac{K}{y}\)
因此，
\(\frac{dy}{dt}=\frac{K-{{r}_{e}}y}{y}\)
\(dt=\frac{y}{K-{{r}_{e}}y}dy\)
积分上式，且t=0时y=0，然后将\(y={{X}_{L}}-{{r}_{e}}t\)代入，则得
\(t=\frac{K}{r_{e}^{2}}[\exp (-\frac{{{r}_{e}}{{X}_{L}}}{K})-1]+\frac{{{X}_{L}}}{{{r}_{e}}}\) （3-64）
即
\(t=\frac{{{\lambda }_{1}}({{T}_{0}}-{{T}_{L}})}{r_{e}^{2}{{\rho }_{2}}[L+{{\overline{c}}_{2}}({{T}_{c}}-{{T}_{i}})]}\{\exp [-\frac{{{r}_{e}}{{X}_{L}}{{\rho }_{2}}[L+{{\overline{c}}_{2}}({{T}_{L}}-{{T}_{i}})]}{{{\lambda }_{1}}({{T}_{0}}-{{T}_{L}})}]-1\}+\frac{{{X}_{L}}}{{{r}_{e}}}\) （3-65）
由此式可求得考虑侵蚀作用的对应暴露时间t的内绝热层炭化深度XL。
如果将分解区视作炭化区与原始的分界面，则在分界面的能量方程可写成
\({{\lambda }_{2}}\frac{\partial {{T}_{2}}}{\partial x}-{{\lambda }_{1}}\frac{\partial {{T}_{1}}}{\partial x}=L{{\rho }_{2}}\frac{d{{X}_{L}}}{dt}\) （3-66）
假设炭化深度足够大，因此可以将炭化区和原始区视作为半无限大物体，其温度分布形式为
\({{T}_{1}}={{A}_{1}}+{{B}_{1}}erf(\frac{x}{2\sqrt{{{a}_{1}}t}})\) （3-67）
\({{T}_{2}}={{A}_{2}}+{{B}_{2}}erf(\frac{x}{2\sqrt{{{a}_{2}}t}})\) （3-68）
根据边界条件（3-52）和（3-54），求得待定常数
\({{A}_{1}}={{T}_{0}},\mathop{{}}_{{}}^{{}}{{A}_{2}}={{T}_{i}}-{{B}_{2}}\)
又由式（3-56）
\({{T}_{0}}+{{B}_{1}}erf(\frac{{{X}_{L}}}{2\sqrt{{{a}_{1}}t}})={{T}_{i}}-{{B}_{2}}[1-erf(\frac{{{X}_{L}}}{2\sqrt{{{a}_{2}}t}})]={{T}_{L}}\)
求得待定常数
\({{B}_{1}}=-\frac{{{T}_{0}}-{{T}_{L}}}{erf(\frac{{{X}_{L}}}{2\sqrt{{{a}_{1}}t}})},\mathop{{}}_{{}}^{{}}{{B}_{2}}=\frac{{{T}_{i}}-{{T}_{L}}}{erfc(\frac{{{X}_{L}}}{\sqrt{{{a}_{2}}t}})}\)
将A1、B1、A2、B2代入式（3-67）和（3-68）得到
\(\frac{{{T}_{0}}-{{T}_{1}}}{{{T}_{0}}-{{T}_{L}}}=\frac{erf(\frac{x}{2\sqrt{{{a}_{1}}t}})}{erf(\frac{{{X}_{L}}}{2\sqrt{{{a}_{1}}t}})}\) （3-69）
\(\frac{{{T}_{2}}-{{T}_{i}}}{{{T}_{L}}-{{T}_{i}}}=\frac{erfc(\frac{x}{2\sqrt{{{a}_{2}}t}})}{erfc(\frac{{{X}_{L}}}{2\sqrt{{{a}_{2}}t}})}\) （3-70）
由式（3-66）~（3-68），并假定\({{X}_{L}}={{C}_{0}}{{t}^{1/2}}\)时，可求解出
\({{C}_{0}}={{\left\{ \frac{2{{\lambda }_{1}}({{T}_{0}}-{{T}_{L}})}{{{\rho }_{1}}L} \right\}}^{1/2}}\) （3-71）
于是由式（3-69）和（3-70）可求得不同处的T1(0＜x＜XL）和T2（XL＜x＜∞)。对于式（3-70）可写成
\(\frac{{{T}_{2}}-{{T}_{i}}}{{{T}_{L}}-{{T}_{i}}}=\frac{erfc(x/2\sqrt{{{a}_{2}}t})}{erfc({{C}_{0}}/2\sqrt{{{a}_{2}}})}\) （3-72）
根据内绝热层的作用，不仅要保证燃烧室壳体不被烧坏，还要保证壳体不过热，以保持其具有一定的强度。通常要求发动机工作完毕时的壳体壁温不超过允许壁温T*（一般取T*=100℃），这样，可由式（3-70）或（3-72）得到
\(\frac{{{T}^{*}}-{{T}_{i}}}{{{T}_{L}}-{{T}_{i}}}=\frac{erfc(\frac{{{X}_{{{T}^{*}}}}}{2\sqrt{{{a}_{2}}t}})}{erfc(\frac{{{X}_{L}}}{2\sqrt{{{a}_{2}}t}})}\) （3-73）
或
\(\frac{{{T}^{*}}-{{T}_{i}}}{{{T}_{L}}-{{T}_{I}}}=\frac{erfc(\frac{{{X}_{{{T}^{*}}}}}{2\sqrt{{{a}_{2}}t}})}{arfc(\frac{{{C}_{0}}}{2\sqrt{{{a}_{2}}}})}\) （3-74）
由此求得T*所对应的内绝热层厚度XT*。
式（3-67）~（3-74）中erf（z）为误差函数，其定义为
\(erf(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\int_{0}^{x}{{}}\exp (-{{\beta }^{2}})d\beta \)
而erfc（z）为补余误差函数，其定义为
erfc（z）=1-erf（z）
例 某发动机的内绝热层性能参数如下
密度 ρ2=1.205g/cm2
比热 C2=1.55J/(g.K)
导热系数 λ1=5.5×10-3W/(cm.K)
λ2=2.35×10-3W/(cm. K)
潜热 L=1164J/g
热解温度 TL=616K
表面温度 T0=3400K
初温 Ti=293K
发动机工作时间 t=70s
后封头内壁暴露在燃气中的时间为AB区10s，BC区30s，CD区45s，DE区60s，EF区70s（图3-18）；考虑侵蚀速率\({{r}_{e}}=0.003cm/s\)；发动机工作完毕后壳体壁温不大于100℃。试计算后封头处的内绝热层炭化深度，并设计之。
解 由式（3-64）和（3-65）求得不考虑和考虑侵蚀效应的内绝热层炭化深度随暴露在燃气中时间的关系如图3-19中曲线1和2所示（计算时取\({{\overline{C}}_{2}}\)=C2）。
图3-18 后封头暴露时间分区图
图3-19 内绝热层的炭化深度与暴露时间的关系曲线
1-re=0的XL–t曲线 2-re=0.003cm/s的XL–t曲线
3-r*=100℃的XT*-t曲线
按后封头内壁在燃气中的暴露时间，由式（3-74）求得对应于图3-17的XT*如下[式中\({{a}_{2}}=\frac{{{\lambda }_{2}}}{{{\rho }_{2}}{{c}_{2}}}=\) 1.258×10-3cm2/s，C0按式（3-66）的C计算]
AB区：0.46cm
BC区：0.80cm
CD区：0.99cm
DE区：1.14cm
EF区：1.23cm
其值均大于炭化深度\({{X}_{L}}\)。\({{X}_{{{T}^{*}}}}\)与内绝热层暴露在燃气中的关系如图3-19中曲线3所示。因此，按发动机工作完毕时的壁温T*=100℃设计后封头内绝热层时，取安全系为1.1，数值圆整后，后封头各区的内绝热层厚度为
AB区：5mm
BC区：9mm
CD区：11mm
DEF区：14mm
为了简化贴内绝热层的工艺，可以设计成
AB区：5mm
BCD区：11mm
DEF区：14mm
3.7 复合材料壳体设计
纤维增强复合材料壳体是各向异性的，它与各向同性的金属壳体相比具有以下特点：
（1）比强度和比模量高，从而可以减轻结构质量。
（2）减振性能好，结构的自然频率除与其形状有关外，还与材料的比模量有关（\(f\propto \frac{E}{\rho }\)），结构自然频率高，可以避免工作状态下的共振引起的早期破坏。而且纤维与基体界面具有吸振能力，故振动阻尼较高。
（3）结构可靠性高，由于纤维增强复合材料的多相性，其对裂纹缺陷不敏感。从力学角度分析复合材料，它属于静不定体系，当少数纤维受力断裂时，其载荷会迅速传递到未破坏的纤维上，使整个结构仍有承载能力而不至于破坏。
（4）成型工艺好，工艺简单，适合整体成型，生产周期短。
3.7.1 复合壳体设计任务
对于纤维缠绕壳体现在尚无精确的力学分析方法，目前比较切合实用的仍采用粗糙的网格理论来分析壳体受力情况。这里需作两点假设：
（1）壳体在内压作用下，全部载荷均由纤维承担，基体仅起支撑、保护纤维和在纤维间传递载荷的作用。
（2）所有纤维均按理想排布，因而它们都受到相同的轴向拉力作用。
由于壳体直径和工作压强是预先给定的，因此，缠绕壳体的设计主要根据压强来确定壳体壁厚和封头形状。
总体设计阶段确定了壳体的最大预示工作压强、燃烧室容积、圆筒段半径、壳体总质量等参数。但是，详细的壳体设计仍需要由壳体设计来完成，其中有：固体火箭发动机复合材料壳体燃烧室结构设计、接头设计、裙部设计、绝热层设计等构成。
通过设计，在满足战术技术性能要求的情况下，给出封头和壳体的结构形式、接头和裙部的结构尺寸参数、缠绕壳体各点的复合厚度、缠绕角、绝热层和衬层各点的厚度、整个壳体的质量特性、连接螺栓的个数及螺纹的尺寸等。
针对缠绕发动机的特点，采用网格理论从力学分析的角度出发推导三种封头形式的复合材料壳体的数学模型，并给出了数学求解方法，最后分析了接头的受力特征和结构特征，给出了接头结构参数的计算方法。主要分为如下三大模块：（1）力学分析；（2）封头结构特征；（3）壳体接头设计。主要有如下设计任务：
（A）方案选择：主要是环向纤维和螺旋向纤维材料的选择，胶粘剂材料的选择，缠绕方式的选择，应力平衡常数的选择等。
（B）子午线设计：设计出指定缠绕方式的壳体内型面。（i）平衡型等应力封头的设计计算（这种形式的壳体从受力的角度来讲是最理想的，但是它要求壳体的前开口和后开口尺寸相同，对于现有的发动机来说都不满足这项要求，实际上很少采用）。（ii）平面缠绕封头设计计算（这种形式的封头可以实现平衡型缠绕，而且前后开口可以不同，是一种较有潜力的缠绕结构形式）。（iii）给定封头型面的设计计算（这种形式的封头也可以实现平衡型缠绕，但对缠绕封头的深度较大，一般是椭球型封头）。
（C）前后接头设计：利用弹塑性理论和有限元技术设计前后接头，并分析其应力应变状况。
（D）前后连接裙的设计：按照承受的最大轴压设计裙的厚度，连接尺寸由总体提供。
（E）绝热层设计：根据不同部位暴露在燃气中时间的长短、所选择的材料设计绝热层厚度，尽管这部分可能由装药设计完成，但是壳体的内型面为绝热层外型面，绝热层内型面为装药的外型面。因此，可以由该部分提供装药的外型面。
（F）纤维厚度的计算： 按内压要求确定壁厚hp、按轴压稳定性要求确定壁厚hT、按外压稳定性要求确定壁厚hq，总之：既满足内压强度要求，又满足外载荷的稳定性要求，复合材料圆筒最终壁厚h应取为hp、hT和hq中的较大者。
（G）设计结果数值分析：将设计结果自动生成有限元软件可接受的数据文件进行相关的分析。如：应力、应变、屈曲分析等。
在图3-20中给出了壳体设计流程：
（1）战术技术性能要求
战术技术性能要求是对复合材料壳体设计系统的总体要求，作为后续各个模块设计的依据，作为一种全局的数据，详细见表3-4。
（2）总体方案选择
在总体设计时已经选择了壳体结构参数，但是在壳体设计时如果发现不能满足性能要求，仍可进行重新选择。
（3）子午线设计
平面缠绕子午线设计通过输入参数计算壳体不同位置的缠绕角和法向角。
（4）接头设计
接头设计用户主要是设计接头的横截面积。横截面积取得过大，势必增加结构质量，影响发动机的整体性能。但横截面取得过小，将会降低接头的强度和刚度，使接头的性能大打折扣，导致纤维的强度潜力无法发挥出来。接头设计可以通过计算接头肩部外缘半径，计算接头曲率半径，计算接头根部厚度来设计。
（5）纤维壳体厚度设计
纤维厚度计算可以得到壳体上各点螺旋缠绕纤维的缠绕角，法向角，螺旋纤维厚度，理论厚度，有效厚度以及环向纤维的筒段厚度。螺旋缠绕纤维的缠绕角、法向角、有效厚度可以由设计人员根据经验修正。
（6）裙部设计
裙部设计可以通过给出材料参数，结构参数，载荷和连接螺栓数量得到最大轴压，连接裙厚度，每个螺栓承受的拉力。
（7）绝热层设计
绝热层设计可以得到绝热层各点厚度方向及厚度。绝热层各点的轴向坐标和各点所对应的半径以及厚度方向和厚度大小可以由设计人员根据经验修正。
（8）综合性能计算
通过设计结果验证设计的合理性。
3.7.2 复合壳体设计数学模型
复合材料壳体简化结构模型如图3-21所示，图中各参数的含义见表3-4.
图3-21 壳体结构主要参数
表3-4 结构参数表
|
参量 |
单位 |
符号 |
参量 |
单位 |
符号 |
|
最大预示工作压强 |
MPa |
Poem |
前后接头间距离 |
mm |
L |
|
燃烧室容积 |
m3 |
Vc |
前接头肩部外圆半径 (前开口半径) |
mm |
rb1(r01) |
|
圆筒段外半径 |
m |
Rc |
后接头肩部外圆半径 （后开口半径） |
mm |
rb2(r02) |
|
壳体总质量 |
kg |
Mc |
前接头加强环横截面积 |
mm3 |
B1 |
|
前后裙间距 |
mm |
Ls |
后接头加强环横截面积 |
mm3 |
B2 |
|
前裙外半径 |
mm |
Rs1 |
壳体挂线长度 |
mm |
Lbf |
|
后裙外半径 |
mm |
Rs2 |
前封头高度 |
mm |
Lca |
|
筒段长度 |
mm |
Lsc |
后封头高度 |
mm |
Lcb |
纤维缠绕基本线型有“螺旋缠绕”，“环向缠绕”，“平面缠绕”，“纵向缠绕”四类，所组成的网格常用的又分为“单一螺旋缠绕”，“螺旋加环向缠绕”，“螺旋加纵向缠
图3-22 缠绕壳体网格划分
在图3-23所示的三种网格单元中，如沿Ζ、θ方向任意加载，一般来说有如下几种网格受力变形情况：
(pθ>pz)( pθ=pz)( pθ<pz)
图3-23 网格受力特征
（１）当pθ>pz 时，α>π/４；
（２）当pθ=pz 时，α=π/４；
（３）当pθ<pz 时，α<π/４；
因而，当pθ，pz给定后，欲使网格处于平衡状态，缠绕角α不能人为随意给出。要使网格在给定载荷pθ，pz作用下处于平衡状态、且保持原形状，α角必是由所加载荷pθ，pz决定。为减小树脂所受的剪切、保持结构变形的均匀以及提高结构效率，多数纤维壳体皆采用平衡型缠绕。
如取圆筒的轴向坐标为Z，环向坐标为θ，则在内压的作用下，圆筒段的薄膜内力分别为：
\({{N}_{z}}=R\cdot p/2\)
\({{N}_{\theta }}=R\cdot p\) （3-75）
式中：Ｒ－圆筒半径；
p－内压强。
（1）筒体的网格分析
按薄膜理论，壳体在内压作用下筒体的薄膜内力为
\({{N}_{\phi }}=\frac{1}{2}pR\)
\({{N}_{\theta }}=pR\) （3-76）
1）单一螺旋缠绕筒体
参照图3-24，从筒体取出一网状纤维单元体来进行分析。设筒体按螺旋缠绕的缠绕角为a，在BD和AB截面上，纤维所受张力如图3-24（b）和（c）所示。记纤维所受应力为бf，纤维总厚度为hf，由力的平衡条件可求得纤维所受张力等于薄膜内力
图3-24 纤维缠绕壳体受力分析
\({{T}_{z}}={{\sigma }_{f}}{{h}_{f}}{{\cos }^{2}}\alpha \)
\({{T}_{\theta }}={{\sigma }_{f}}{{h}_{f}}{{\sin }^{2}}\alpha \) (3-77)
其中α为缠绕角，σf 为纤维所受应力，hf为纤维总厚度，Tz及Tθ分别是Z方向及θ方向所受的总张力。根据网格平衡理论纤维张力与薄膜内力满足关系式：
\({{N}_{z}}={{T}_{z}}={{\sigma }_{f}}{{h}_{f}}{{\cos }^{2}}{{\alpha}_{0}} \)
\({{N}_{\theta}}={{T}_{\theta }}={{\sigma }_{f}}{{h}_{f}}{{\sin }^{2}}{{\alpha}_{0}} \) (3-78)
其中的缠绕角α0为平衡缠绕角，根据平衡网格理论，在平衡型缠绕情况下，变形过程只存在纤维伸长，而无偏转发生。将式（3-78）的两式相除，记η=Nθ/Nz则得出：
\(\eta \text{=}t{{g}^{2}}{{\alpha }_{0}}\) （3-79）
将式Nz=R.p/2和Nθ=R.p代入式（3-79）得出
\(\eta \text{=}t{{g}^{2}}{{\alpha }_{0}}=2\) （3-80）
从而对于均匀内压作用下的圆筒，其平衡缠绕螺旋角应该为54.7°。由式（3-78）的第二式得：
\({{\sigma }_{f}}=\frac{{{N}_{\theta }}}{{{h}_{f}}{{\sin }^{2}}{{\alpha }_{0}}}\) （3-81）
由式Nz=R.p/2和Nθ=R.p及（3-80）得
\({{\sigma }_{f}}=\frac{3R.p}{2{{h}_{f}}}\) （3-82）
纤维应变εf=σf/Ef，Ef为纤维的弹性模量，平衡型应变
\(\varepsilon =\frac{{{N}_{\theta }}}{{{E}_{f}}{{h}_{f}}{{\sin }^{2}}{{\alpha }_{0}}}\) （3-83）
或由式（3-82)得
\[\varepsilon =\frac{3R.p}{2{{E}_{f}}{{h}_{f}}}\] （3-84）
记圆筒径向位移为μ，因ε=μ/R，则由式（3-84）得
\(\mu =\frac{3{{R}^{2}}.p}{2{{E}_{f}}{{h}_{f}}}\) （3-85）
设纤维的断裂应力为σf ，pb为设计爆破压强，则由式（3-82）可求出圆筒的纤维厚度为
\({{ h }_{f}}=\frac{3R.{{p}_{b}}}{2{{ \sigma }_{f}}}\) （3-86）
2．螺旋加环向缠绕筒体
螺旋加环向缠绕圆筒
螺旋加环向缠绕的分析与前述单一螺旋缠绕情况相类似，设螺旋缠绕角为±α，环向缠绕角为π/2。从而可得出纵向纤维所受的张力仍为
\({{T}_{z}}={{\sigma }_{f\alpha }}{{h}_{f \alpha }}{{\cos }^{2}}\alpha \)（3-87）
环向纤维所受张力为：
\({{T}_{\theta }}={{\sigma }_{f \alpha }}{{h}_{f \alpha }}{{\sin }^{2}}\alpha \)+σfθhfθ （3-88）
其中:
σfα为螺旋缠绕纤维应力；
σfθ为环向缠绕纤维应力；
hfα为螺旋缠绕纤维厚度；
hfθ为环向缠绕纤维厚度；
在纤维网格处于等应力平衡状态时，Nz=Tz，Nθ=Tθ，即有
\({{N}_{z}}={{\sigma }_{f\alpha }}{{h}_{f \alpha }}{{\cos }^{2}}\alpha\)
\({{N}_{\theta }}={{\sigma }_{f \alpha }}{{h}_{f \alpha }}{{\sin }^{2}}\alpha\)+σfθhfθ
（3-89）
在平衡型应变状态下
εfα=εfθ=ε
由σfα=Efεfα，σfθ=Efεfθ，从而
σfα=σfθ=σf
式（3-89）变为：
\({{N}_{z}}={{\sigma }_{f}}{{h}_{f\alpha }}{{\cos }^{2}}\alpha \)
\({{N}_{\theta }}={{\sigma }_{f}}\left( {{h}_{f\alpha }}{{\sin }^{2}}\alpha +{{h}_{f\theta }} \right)\) （3-90）
将式（3-90）中的两式相除，得螺旋加环向缠绕网格的平衡条件
\(\eta \text{=}\frac{{{N}_{\theta }}}{{{N}_{z}}}=\frac{{{\sin }^{2}}\alpha +{{\lambda }_{\theta \alpha }}}{{{\cos }^{2}}\alpha }\) （3-91）
其中λθα为环向纤维与螺旋纤维厚度之比，即
λθα=hfθ/hfα
当内力比η及螺旋缠绕角α给定后
\({{\lambda }_{\theta \alpha }}=\left( \eta +1 \right){{\cos }^{2}}\alpha -1=\eta -\left( \eta +1 \right){{\sin }^{2}}\alpha \) （3-92）
对于均匀内压p作用下的圆筒，η=2，则式（3-92）简化为
\({{\lambda }_{\theta \alpha }}=3{{\cos }^{2}}\alpha -1\) （3-93）
λθα为厚度值，不能为负数，因而
\(\cos \alpha \ge \frac{1}{\sqrt{3}}\)
也即\(\alpha \le 54.7{}^\circ \)。由（3-89）式中的第一式可求出纤维所受应力为
\({{\sigma }_{f}}={{\sigma }_{f\alpha }}={{\sigma }_{f\theta }}=\frac{{{N}_{z}}}{{{h}_{f\alpha }}{{\cos }^{2}}\alpha }\) （3-94）
将式Nz=R.p/2和Nθ=R.p代入上式，得出螺旋加环向缠绕圆筒在内压强p作用下的纤维应力为
\({{\sigma }_{f}}=\frac{R.p}{2{{h}_{f\alpha }}{{\cos }^{2}}\alpha }\) （3-95）
设纤维的断裂应力为σfb，设计爆破压强为pb。由上式可得出螺旋缠绕纤维的厚度为
\({{h}_{f\alpha }}=\frac{R.{{p}_{b}}}{2{{\sigma }_{fb}}{{\cos }^{2}}\alpha }\) （3-96）
由式（3-93）得出环向缠绕纤维厚度为
\({{h}_{f\theta }}={{\lambda }_{\theta \alpha }}{{h}_{f\alpha }}=\frac{R.{{p}_{b}}}{2{{\sigma }_{fb}}}\left( 2\text{-}t{{g}^{2}}\alpha \right)\)
图2-25 螺旋加环向缠绕的网格单元体
（2）封头的网格分析
常用火箭发动机的封头曲面，多为旋转壳体。设其子午线的曲率半径为Rφ，平行圆曲率半径为Rθ，则由空间解析几何可得出下列方程：
图3-26 回转体封头结构
（3-97）
其中，Z为旋转轴向坐标；
r为平行圆半径。
旋转对称壳体在均匀内压强p作用下的薄膜内力分别为
\({{N}_{\varphi }}=\frac{1}{2}{{R}_{\theta }}.p\)
\({{N}_{\theta }}=\frac{1}{2}{{R}_{\theta }}.p\left( 2-\frac{{{R}_{\theta }}}{R\phi } \right)\) （3-98）
在封头上，只能实现螺旋缠绕或平面缠绕，其纤维分布特征：
（1）纤维排列关于子午线对称；
（2）纤维与子午线的夹角α是关于平行圆半径r的函数，即α=α(r)。赤道圆上的缠绕角等于圆筒上的螺旋缠绕角α0；在极孔上，α=π/2；
（3）根据物质守恒定律，通过平行圆法截面上的纤维总量等于通过赤道圆法截面上的纤维总量，且等于通过圆筒横截面上的纤维总量。因平行圆半径是变化的，因而封头厚度也是r的函数，hf=hf(r)。由网格理论，根据式（3-98）得出封头的平衡型条件：
\({{N}_{\varphi }}={{\sigma }_{f}}{{h}_{f}}{{\cos }^{2}}\alpha \)
\({{N}_{\theta }}={{\sigma }_{f}}{{h}_{f}}{{\sin }^{2}}\alpha \) （3-99）
上式中的各下量一般是关于的函数，由该式可得出封头的平衡型条件为
\(\eta \text{=}\frac{{{\eta }_{\theta }}}{{{\eta }_{\varphi }}}\text{=}t{{g}^{2}}\alpha \) （3-100）
将式（3-97）及式（3-98）代入上式可得出
\(t{{g}^{2}}\alpha =2+\frac{r\frac{{{d}^{2}}r}{d{{Z}^{2}}}}{1+{{\left( \frac{dr}{dZ} \right)}^{2}}}\) （3-101）
由式（3-97）的第二式及式（3-98）、（3-99）的第一式，得封头纤维应力方程为：
\({{\sigma }_{f}}=\frac{p}{2{{h}_{f}}{{\cos }^{2}}\alpha }r{{\left[ 1+{{\left( \frac{dr}{dZ} \right)}^{2}} \right]}^{\frac{1}{2}}}\) （3-102）
因通过每一法截面纤维总量相等，也即每一法截面的面积相等，从而
\(2\pi R{{h}_{f\alpha }}\cos {{\alpha }_{0}}=2\pi r{{h}_{f}}\cos \alpha \)
由上式可推导出封头纤维厚度
\({{h}_{f}}=\frac{R\cos {{\alpha }_{0}}}{r\cos \alpha }{{h}_{f\alpha }}\) （3-103）
式中：R－赤道圆半径；
hfα－赤道圆处纤维厚度。
为减化计算，便于讨论，可引入下列无量纲方程。
（3-104）
式中：Z0－极孔处封头的高度或称深度。
根据上式将式（3-101）、（3-102）、（3-103）变为
（3-105）
各边界条件：在赤道圆上，圆筒母线与封头子午线相切；在极孔处，纤维与极孔边缘相切。可表示成
（3-106）
式中 \({{\rho }_{0}}={{{r}_{0}}}/{R}\;\)；
r0为极孔半径。
以ξ为自变量，设定解条件为\(\bar{\sigma }={{\bar{\sigma }}_{0}}=const\)，则由式（3-105）所给出的四个未知函数，ρ=(ξ),α=(ξ)，\(\bar{\sigma }=\bar{\sigma }\left( \xi \right),\bar{h}=\bar{h}\left( \xi \right)\)。
可唯一确定一组解。
1）平衡型等应力封头
此种封头假定各处纤维应力都相等，即
\(\bar{\sigma }={{\bar{\sigma }}_{0}}\) （3-107）
将式
的第三式代入第二式，可得出
\(\frac{{{\rho }^{4}}\left( 1+{{{\dot{\rho }}}^{2}} \right)}{{{\cos }^{2}}\alpha }=\bar{\sigma }_{0}^{2}\) （Ⅰ）
由\(\frac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }=1+t{{g}^{2}}\alpha \)，并结合式（3-105）的第一式得
\(3{{\rho }^{4}}+3{{\rho }^{4}}{{\bar{\rho }}^{2}}+\rho 5\ddot{\rho }=\bar{\sigma }_{0}^{2}\) （Ⅱ）
在式（Ⅱ）的两边同时乘以\(2\rho \dot{\rho }\)，得出
\(6{{\rho }^{5}}\dot{\rho }+6{{\rho }^{5}}{{\ddot{\rho }}^{2}}+2{{\rho }^{6}}\dot{\rho }\ddot{\rho }=2\sigma _{0}^{2}\bar{\rho }\dot{\rho }\) （Ⅲ）
上式写成导数形式：
\(\frac{d}{d\xi }\left( {{\rho }^{6}} \right)+\frac{d}{d\xi }\left( {{\rho }^{6}}{{{\dot{\rho }}}^{2}} \right)=\sigma _{0}^{2}\frac{{\bar{d}}}{d\xi }\left( {{\rho }^{2}} \right)\) （Ⅳ）
对式（Ⅳ）关于ξ作一次积分得
\({{\rho }^{6}}\text{+}{{\rho }^{6}}{{\dot{\rho }}^{2}}\text{-}\sigma _{0}^{2}{{\rho }^{2}}\text{=}C\) （Ⅴ）
C为积分常数， \(C=1-\bar{\sigma }_{0}^{2}\)将（Ⅴ）式化为
\({{\rho }^{6}}\left( 1\text{+}{{{\dot{\rho }}}^{2}} \right)\text{=}1\text{-}\sigma _{0}^{2}\left( 1\text{-}{{{\bar{\rho }}}^{2}} \right)\) （Ⅵ）
由式（Ⅰ）及式（Ⅵ）消去\(1\text{+}{{\dot{\rho }}^{2}}\)，得
\({{\rho }^{2}}{{\sin }^{2}}\alpha =\frac{\bar{\sigma }_{0}^{2}-1}{\bar{\sigma }_{0}^{2}}\) （Ⅶ）
利用式（3-107）的第三式，将式（Ⅶ）变为
\({{\rho }^{2}}_{0}=\frac{\bar{\sigma }_{0}^{2}-1}{\bar{\sigma }_{0}^{2}}\) （Ⅷ）
由式（Ⅶ），（Ⅷ）得
\(\sin \alpha ={{\rho }_{0}}/\rho \) （Ⅸ）
上式为封头缠绕角方程，也是旋转曲面测地线方程。从而知，要使缠绕封头既满足平衡型条件，又满足等应力条件，必须在封头上按测地线缠绕。在赤道圆上，由于r=R，由连续性知，通过赤道圆处的缠绕角必等于圆筒段及封头在该处的缠绕角，即需满足：
\(\sin {{\alpha }_{0}}={{\rho }_{0}}={{r}_{0}}/R\) （3-108）
如封头是等应力封头，则圆筒段缠绕角必等于α0。
由式
（Ⅷ）， 、（3-107）及式（3-108）解出封头纤维应力与缠绕角的关系为：
\({{\sigma }_{f}}=\frac{Rp}{2{{h}_{f\alpha }}{{\cos }^{2}}{{\alpha }_{0}}}\) （3-109）
由式（Ⅷ）及（3-108）得
\(\sigma _{0}^{2}\text{=}\frac{1}{1\text{-}\rho _{0}^{2}}\text{=}\frac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }\) （3-110）
为求子午线方程，将上式代入式（Ⅵ）得
\({{\rho }^{2}}\text{=}\frac{1}{{{\rho }^{6}}}\left( \frac{{{{\bar{\rho }}}^{2}}\text{-}\rho _{0}^{2}}{1\text{-}\rho _{0}^{2}}-{{\rho }^{6}} \right)\) （3-111）
将上式两边开平方，得出
\(\frac{d\rho }{d\xi }\text{=-}\frac{1}{{{\rho }^{3}}}{{\left( \frac{{{{\bar{\rho }}}^{2}}\text{-}\rho _{0}^{2}}{1\text{-}\rho _{0}^{2}}-{{\rho }^{6}} \right)}^{\frac{1}{2}}}\) （3-112）
上式右边取负号是由于子午线必须外凸。将上式化简变形为
\(d\xi \text{=-}\frac{{{\rho }^{3}}d\rho }{\sqrt{\frac{{{{\bar{\rho }}}^{2}}\text{-}\rho _{0}^{2}}{1\text{-}\rho _{0}^{2}}-{{\rho }^{6}}}}\) （3-113）
如令Ω=ρ2，则式（3-113）可写成
\(d\xi \text{=-}\frac{\Omega d\Omega }{2\sqrt{\left( 1\text{-}\Omega \right)\left( \Omega \text{-}{{\Omega }_{1}} \right)\left( \Omega \text{-}{{\Omega }_{2}} \right)}}\) （3-114）
式中：
\({{\Omega }_{1}}\text{=}\frac{1}{2}\left( \sqrt{1\text{+}\frac{4\rho _{0}^{2}}{1\text{-}\rho _{0}^{2}}}\text{-}1 \right)\) （3-115）
\({{\Omega }_{2}}\text{=-}\frac{1}{2}\left( \sqrt{1\text{+}\frac{4\rho _{0}^{2}}{1\text{-}\rho _{0}^{2}}}\text{+}1 \right)\) （3-116）
且满足Ω2<Ω1<1。
将式（3-114）积分，并结合ξ=0时，Ω=ρ2=1可求得
\(\xi \text{=}\frac{1}{2}\int_{\Omega }^{1}{\frac{\Omega d\Omega }{\sqrt{\left( 1\text{-}\Omega \right)\left( \Omega \text{-}{{\Omega }_{1}} \right)\left( \Omega \text{-}{{\Omega }_{2}} \right)}}}\) （3-117）
上式右边为椭圆积分，不能用有限形式表达，可将其转化为标准椭圆积分的组合:
\(\xi \text{=}\frac{1}{\sqrt{\left( 1\text{-}{{\Omega }_{2}} \right)}}\left[ {{\Omega }_{2}}F\left( \Psi ,k \right)+\left( 1-{{\Omega }_{2}} \right)E\left( \Psi ,k \right) \right]\) （3-118）
式中\(F\left( \Psi ,k \right)\)及\(E\left( \Psi ,k \right)\)分别为第一和第二类椭圆积分
\(F\left( \Psi ,k \right)=\int_{0}^{\Psi }{\frac{d\Psi }{\sqrt{1-{{k}^{2}}{{\sin }^{2}}\Psi }}}\)
\(E\left( \Psi ,k \right)=\int_{0}^{\Psi }{\sqrt{1-{{k}^{2}}{{\sin }^{2}}\Psi }d\Psi }\) （3-119）
式中 \(\sin \Psi =\sqrt{\frac{1-\Omega }{1-{{\Omega }_{2}}}}\)，\(k2=\frac{1-{{\Omega }_{1}}}{1-{{\Omega }_{2}}}\)
函数F、E的值可由椭圆积分表求得，而在本文所涉及的计算机程序中，则采用数值积分求解这两项积分，具体实现步骤如下：
由式（3-115）可由已知条件ρ0求出Ω1，又由Ω1=ρ2可由给定的ρ值确定出Ω。由Ω1, Ω代入\(\sin \Psi =\sqrt{\frac{1-\Omega }{1-{{\Omega }_{2}}}}\)，求反正弦可得Ψ的值，将区间［0,Ψ］划分成足够小的若干等份，每一等份的值为dΨ。从而函数\(F\left( \Psi ,k \right)\)等于\(1/\sqrt{1-{{k}^{2}}{{\sin }^{2}}\Psi }\)与dΨ在区间［0, Ψ］的分段乘积之和。同理，函数\(E\left( \Psi ,k \right)\)等于\(\sqrt{1-{{k}^{2}}{{\sin }^{2}}\Psi }\)与dΨ在上述区间上的所有分段乘积之和。由式（3-116）可求得Ω2，代入式（3-118）可求出ξ值。将式（Ⅸ）代入式
的第三式可求得\(\bar{h}=\frac{1}{\sqrt{{{\rho }^{2}}-\rho _{0}^{2}}}\)。
再结合式（3-114）得出纤维厚度为：
\({{h}_{f}}=\sqrt{\frac{{{R}^{2}}-r_{0}^{2}}{{{r}^{2}}-r_{0}^{2}}}{{h}_{f\alpha }}\) （3-120）
则平衡型等应力封头四个未知函数，应力由式（3-107）给出，缠绕角由式（Ⅸ）给出，子午线方程由式（3-118）给出，缠绕纤维厚度由式（3-120）给出。
在工程实用中，由于受缠绕工艺及结构上的种种约束，不可能实现完全的等应力缠绕，从而必须进行必要的修正，即有必要对等应力封头的曲面曲率半径进行分析。
由式 将式的曲率半径无量纲化，得:
\({{R}_{\theta }}=R\rho {{\left( 1+{{{\bar{\rho }}}^{2}} \right)}^{\frac{1}{2}}}\)
将式（3-111）代入上式得：
\({{R}_{\theta }}=\frac{R}{{{\rho }^{2}}}\sqrt{\frac{{{\rho }^{2}}-\rho _{0}^{2}}{1-\rho _{0}^{2}}}=\frac{{{R}^{3}}}{{{r}^{2}}}\sqrt{\frac{{{r}^{2}}-r_{0}^{2}}{{{R}^{2}}-r_{0}^{2}}}\) （3-121）
由式 
及\(\eta \text{=}{{{N}_{\theta }}}/{{{N}_{\varphi }}=t{{g}^{2}}\alpha }\;\) 得：
\(t{{g}^{2}}\alpha =2-{{{R}_{\theta }}}/{{{R}_{\Psi }}}\;\) （3-122）
将式（Ⅸ）及（3-121）代入上式得出：
\({{R}_{\Psi }}=\frac{{{R}^{3}}\left( {{r}^{2}}-r_{0}^{2} \right)}{{{r}^{2}}\left( 2{{r}^{2}}-3r_{0}^{2} \right)}\sqrt{\frac{{{r}^{2}}-r_{0}^{2}}{{{R}^{2}}-r_{0}^{2}}}\) （3-123）
由式（3-123）可得，当\(r\to \sqrt{\frac{3}{2}{{r}_{0}}}\)时，\({{R}_{\Psi }}\to \infty \)。且由+∞变化到－∞。即子午线在该处存在拐点，封头曲面由外凸变为内凹。此处的缠绕角\(\alpha \text{=}{{\sin }^{-1}}\sqrt{\frac{2}{3}}=54.7{}^\circ \)。\({{R}_{\Psi }}={{R}_{\theta }}\)的点称为等曲率点，令式（3-121）及（3-123）两边相等，可得等曲率点位于\(r=\sqrt{2}{{r}_{0}}\)处。由式（3-122）还可知等曲率点处的缠绕角α=π/4。根据等式（3-121）可令，解出使Rθ取最大值的点也是\(r=\sqrt{2}{{r}_{0}}\)，且其最大值为
\({{\left( {{R}_{\theta }} \right)}_{\max }}=\frac{{{R}^{3}}}{2{{r}_{0}}\sqrt{{{R}^{2}}-r_{0}^{2}}}=\frac{R}{\sin 2{{\alpha }_{0}}}\)
图3-27 等应力封头子午线
通常在该点处将子午线中断，等曲率点到极孔边缘的封头曲面通常用半径为(Rθ)max的金属球面代替。
2）平衡型平面缠绕封头
平面缠绕封头适用于短而粗，且前、后封头极孔直径不等的壳体。平面缠绕丝头在一个缠绕循环中，缠绕在芯模上的纤维在同一平面内。从该平面的侧面看，纤维成一直线，如下图3-28所示：
图3-28 平面缠绕壳体示图
由前示图可知，圆筒部位缠绕角是由结构的几何尺寸确定的
\(tg{{\alpha }_{0}}=\frac{{{r}_{01}}+{{r}_{02}}}{l+{{l}_{e1}}+{{l}_{e2}}}\) （3-124）
即在平面缠绕情况下，欲使封头为平衡型，封头的形状、封头的缠绕角及壳体几何尺寸间的关系由式（3-124）确定。
图3-29 平面缠绕封头示图
图中:因OB=OC+CB，从而有
\(\rho \sin \theta ={{\rho }_{e}}+\xi tg{{\alpha }_{0}}\) （3-125）
考虑到θ+dθ时的子午线EMQG，与纱带的交点为M，用过M点的子午面EMGO、过P点的平行圆平面PQO’、过M点和P点的平行于OE轴的平面MNP及封头曲面MPQ所围成的微元体MNPQ，得出下列关系式：
对式（3-125）关于ξ求导，得
上式即为平衡型平面封头缠绕角方。封头缠绕角既要满足上式，又要满足式
的第一式，因此这两式的右端应相等，于是便有下式：
上式即为平衡型平面封头子午线的非线性变系数微分方程。边界条件为：
\(\rho \left( 0 \right)\text{=}1\)
\(\dot{\rho }\left( 0 \right)\text{=}0\)
利用“龙格－－库塔“法的标准程序，即可解出平面封头曲面各点的、ρ及\(\dot{\rho }\)值，之后便可进行缠绕角及纤维张力、纤维股纱密度等的计算。
因要用“龙格－－库塔“标准程序求解（3-129）式，必须设法将该式转化成一阶非线性方程组，其具体步骤如下：
对P阶常微分方程一般形式为：
针对式（3-129），不妨令\({{\phi }_{1}}\text{=}\rho ,{{\phi }_{2}}={\rho }’\)从而
\({{{\phi }’}_{1}}\text{=}{{\phi }_{2}}\) （3-130）
\({{{\phi }’}_{2}}\text{=}\left\{ \frac{{{\left[ {{\phi }_{1}}tg{{\alpha }_{0}}-{{\phi }_{2}}\left( {{\rho }_{e}}+\xi tg{{\alpha }_{0}} \right) \right]}^{2}}}{\left( 1+\phi _{2}^{2} \right)\left[ \phi _{1}^{2}-{{\left( {{\rho }_{e}}+\xi tg{{\alpha }_{0}} \right)}^{2}} \right]}-2 \right\}\frac{1+\phi _{2}^{2}}{{{\phi }_{1}}}\) （3-131）
将式（3-130）及（3-131）联立组成方程组
该方程组即为（3-129）式的“龙格——库塔“法标准式。
由上述程序即可得出子午线方程。将式$\bar{h}=\frac{1}{\rho \cos \alpha }$代入\(\bar{\sigma }\text{=}\frac{\rho \sqrt{1\text{+}{{{\dot{\rho }}}^{2}}}}{\bar{h}{{\cos }^{2}}\alpha }\)，并利用式（3-128）消去α，得出计算纤维应力的方程：
\(\bar{\sigma }\text{=}{{\rho }^{2}}{{\left\{ 1+{{\rho }^{2}}+\frac{{{\left[ \rho tg{{\alpha }_{0}}-\bar{\rho }\left( {{\rho }_{e}}+\xi tg{{\alpha }_{0}} \right) \right]}^{2}}}{\left[ {{\rho }^{2}}-{{\left( \rho +\xi tg{{\alpha }_{0}} \right)}^{2}} \right]} \right\}}^{\frac{1}{2}}}\) （3-133）
利用式（3-128）将式 第三式中的α消去，得出计算纤维厚度的方程：
\(\bar{h}\text{=}\frac{1}{\rho }{{\left\{ 1+\frac{{{\left[ \rho tg{{\alpha }_{0}}-\dot{\rho }\left( {{\rho }_{e}}+\xi tg{{\alpha }_{0}} \right) \right]}^{2}}}{\left( 1+{{\rho }^{2}} \right)\left[ {{\rho }^{2}}-{{\left( {{{\dot{\rho }}}_{e}}+\xi tg{{\alpha }_{0}} \right)}^{2}} \right]} \right\}}^{\frac{1}{2}}}\) （3-134）
将式（3-129）的解分别代入式（3-128）、（3-133）,（3-134）即可求出封头缠绕角、封头纤维应力、封头纤维厚度。
3）给定封头形状的平衡型缠绕
封头形状给定，相当于已给出封头子午线方程ρ=ρ（ξ），从而由式
（3-135）
可唯一确定出封头缠绕角α、纤维应力以及纤维的厚度。但由于方程的解仅是数学意义上的解，不一定符合工程实际应用，例如，这些解中，有些可能为负数，有些可能超出某一边界条件限制。因此，仍有必要分析给定封头形状的平衡型缠绕问题，使之满足结构上和缠绕工艺上的要求等。
现以工程上最常用的旋转椭球曲面分析此类问题。设旋转椭球曲面的子午线方程为
\(\frac{{{r}^{2}}}{{{R}^{2}}}+\frac{{{z}^{2}}}{{{B}^{2}}}=1\) (3-136)
式中：
R－椭球曲面长半轴长;
B－椭球曲面短半轴长。
图3-30 旋转椭球曲面
若令椭球比m=R/B，将上式化为无量纲形式，得：
ρ2+m2+ξ2=1 （3-137）
从而有：
将上式代入式\(t{{g}^{2}}\alpha =2+\frac{\rho \ddot{\rho }}{1+{{{\dot{\rho }}}^{2}}}\)，得
\(t{{g}^{2}}\alpha =2\text{-}\frac{{{m}^{2}}}{1+\left( {{m}^{4}}-{{m}^{2}} \right){{\xi }^{2}}}\) （3-139）
为使缠绕角有意义，式（3-139）的右端必须大于等于零，即需
\(f\left( m,\xi \right)=\frac{{{m}^{2}}}{1+\left( {{m}^{4}}-{{m}^{2}} \right){{\xi }^{2}}}\le 2\) （3-140）
解这一不等式，先求f(m,ξ)的最大值。因发动机总长度一定的情况下，为提高发动机装填
系数，多装推进剂，m值一般要大于等于1。在此情况下，当ξ=0时，f(m,ξ)取最大值
m2。故可得出式（3-140）的解为\(m\le \sqrt{2}\)。因此，为使缠绕角有意义，则椭球比m必须满足
\(1\le m\le \sqrt{2}\) （3-141）
另外，缠绕角还必须满足缠绕规律，即在极孔处，也即\(\rho \text{=}{{\rho }_{0}}\)处，\(\alpha \text{=}\pi /2\)。由式（3-139）知，此时必满足
\(\left( {{m}^{4}}-{{m}^{2}} \right)\xi _{0}^{2}+1\to {{0}^{-}}\) （3-142）
由式（3-137）可得
\(\xi _{0}^{2}\text{=}\left( 1\text{-}\rho _{0}^{2} \right)/{{m}^{2}}\) （3-143）
将式（3-143）代入式（3-142）得
\({{m}^{2}}\left( 1-\rho _{0}^{2} \right)=-\rho _{0}^{2}\) （3-144）
由于\({{\rho }_{0}}<1\)，所以不存在实数m满足上式，即对旋转椭球封头，在平衡型缠绕的情况下，不可能满足极孔处缠绕角条件。这说明，对于旋转椭球封头，不可能实现平衡型缠绕。但为了设计和工艺上的方便，目前一些纤维缠绕发动机壳体或压力容器采用旋转椭球封头，因这种封头不是平衡型的，所以在内压作用下，纤维发生偏转，使基体所受的剪切应力增大，造成壳体大幅度变形。这种情况在工程上应尽可能避免。然而，如果壳体在低于或接近于极限压强的情况下，基体变形开裂，封头在网格条件下承载，使封头变形趋于平衡型，降低了局部应力，相应，爆破压强无明显降低。当然，为了不使封头偏离平衡型太远，在采用椭球封头的情况下，椭球比m应满足式（3-141）。
3.7.3 接头设计
纤维缠绕壳体的极孔接头常采用高强铝合金制造；前、后裙有用高强铝合金制造的，也有用纤维增强复合材料制造的。
通过输入材料参数和接头结构参数确定接头的形状。接头设计用户主要是设计接头的横截面积。横截面积取得过大，势必增加结构质量，影响发动机的整体性能。但横截面取得过小，将会降低接头的强度和刚度，使接头的性能大打折扣，导致纤维的强度潜力无法发挥出来。接头设计可以通过计算接头肩部外缘半径，计算接头曲率半径，计算接头根部厚度来设计。
（1）接头横截面积的确定
纤维缠绕壳体的接头设计主要是设计接头的横截面积。横截面积取得过大，势必增加结构质量，影响发动机的整体性能。但横截面取得过小，将会降低接头的强度和刚度，使接头的性能大打折扣，导致纤维的强度潜力无法发挥出来。
图3-31 金属接头的示意图
接头参数的定义见表3-6。
表3-6 接头参数
|
参量 |
单位 |
符号 |
参量 |
单位 |
符号 |
|
金属抗拉强度极限 |
MPa |
相邻螺栓孔中心矩 |
mm |
S |
|
|
材料的密度 |
kg/cm3 |
接头设计系数 |
|
K |
|
|
接头材料弹性模量 |
MPa |
E |
肩根部过滤圆弧半径 |
mm |
rc1 |
|
金属材料泊松比 |
|
过渡圆弧半径 |
mm |
rc3 |
|
|
接头安全系数 |
|
k |
|
|
|
|
接头参数 |
|
|
连接螺栓弹性模量 |
MPa |
E3 |
|
接头加强环高度 |
mm |
H |
连接螺栓半径 |
mm |
r0 |
|
加强环的宽度 |
mm |
B |
前堵盖法兰厚度 |
mm |
H1 |
|
加强环外圆半径 |
mm |
rb |
接头根部厚度 |
mm |
|
|
接头肩部外圆半径 |
mm |
ra |
肩根部径向弯曲应力 |
MPa |
|
|
椭球面曲率 |
|
R2 |
接头底部宽度 |
mm |
L1 |
|
肩底部过滤圆弧半径 |
mm |
rc2 |
前接头与旋转轴夹角 |
|
为此，首先分析纤维缠绕壳体金属接头的横截面积计算，金属接头如图3-31。
\(A=\frac{{{r}_{c}}{{p}_{bucd}}}{2{{\sigma }_{b}}}ctg\theta \) （3-145）
式中：A－包括加强环和肩部两部分的面积；
θ－加强环与锥颈连接处的与旋转轴的夹角。
（2）肩根部厚度的确定
采用迭代法计算肩根部厚度δ值的公式如下：
\(\delta \text{=}\sqrt{\frac{{{C}_{6}}\left( {{C}_{2}}+{{C}_{5}} \right)}{{{C}_{1}}\left( {{C}_{2}}+{{C}_{5}} \right)+{{C}_{2}}\left( {{C}_{3}}+{{C}_{4}} \right)}}\) （3-146）
其中：
\(C1=\frac{12k{{\delta }_{b}}{{r}_{\delta }}\left[ \left( 1-\mu \right){{\xi }^{2}}+\mu +1 \right]}{\left( 1-{{\xi }^{2}} \right)\delta }\)
\({{C}_{2}}=\frac{4{{E}_{2}}S{{H}_{1}}}{\pi {{E}_{3}}r_{0}^{4}}\)
\({{C}_{3}}=\frac{12R_{2}^{2}k{{\sigma }_{b}}{{\delta }^{2}}}{B{{H}^{3}}}\)
\({{C}_{4}}=\frac{3{{r}_{b}}R_{2}^{2}{{P}_{bucd}}}{{{H}^{3}}}\)
\({{C}_{5}}=\frac{12R_{2}^{2}}{B{{H}^{3}}}\)
\({{C}_{6}}=\frac{3r_{b}^{3}{{p}_{bucd}}}{2\left( 1-{{\xi }^{2}} \right)}\left[ \left( 1-\mu \right){{\xi }^{2}}+3\mu +1+\frac{4\left( 1+\mu \right)}{1-{{\xi }^{2}}}\ln \xi \right]\)
如果接头和连接螺栓的刚度都较大，则接头肩部的厚度可按下述公式计算：
\(\delta ={{r}_{b}}\sqrt{-\frac{\left[ \left( 1-\mu \right){{\xi }^{2}}+3\mu +1+\frac{4\left( 1+\mu \right)}{1-{{\xi }^{2}}}\ln \xi \right]}{8k{{\sigma }_{b}}\left[ \left( 1-\mu \right){{\xi }^{2}}+\mu +1 \right]}{{p}_{bucd}}}\) （3-147）
式中：H1－堵盖法兰厚度，单位：mm;
S－相邻螺栓孔中心的距离，单位：mm；
K－设计系数，弹性设计时K=1/6，塑性设计时，K=1/4。
r0－连接螺栓半径，
R2取计算点处的值，
ξ为肩宽比的倒数。
本文所涉及的程序先采用上式计算初值，再将结果代入式（3-146）中进行迭代。
（3）肩宽比
肩宽比取经验公式如下：
当开孔半径\(r>0.15{{r}_{c}}\)时，取肩宽比为：
ra:rb=1.2～1.3 （3-148）
当开孔半径\(r<0.15{{r}_{c}}\)时，取肩宽比为：
\(ra:rb\ge 1.4\) （3-149）
实际设计中多取1.4
金属接头肩宽W按
\(W={{r}_{a}}-{{r}_{b}}\) （3-150）
与钢制壳体的接头一样，纤维缠绕壳体的接头同时起着加强开了孔的封头和连接喷管或点火器的作用。采用上述式子计算接头横截面积及根肩部厚度是较保守的，因为在接头附近，纤维的大量堆积，其厚度比其他各部分大许多，这部分增厚了的纤维层同样起到了增强作用。
其次在确定接头的肩宽比时，根据式（3-148）或（3-149）所定出的肩宽比能够满足要求，同时，根据封头型面及受力要求，肩部向外可逐渐减薄，理论上，外边缘的厚度可以为零。从接头受力角度考虑，肩宽比ra/rb应越小越好，但太小会导致接头在发动机工作时被整个脱掉。目前，对后接头的设计，以式（3-148）较常用，由此确定的肩宽\(w=\left( 0.2\tilde{\ }0.3 \right){{r}_{b}}\)，可见，开孔大时，其肩宽就越大。
显然，开孔越大，封头在开孔处的横向位移就越大。因此，对较大的开孔应当取较大的肩宽，而肩宽比没有必要增大。实践表明，对开孔较大的接头，取\(ra:rb\approx 1.2\)就足够了。而对较小的开孔，肩宽比还应取\({{{r}_{a}}}/{{{r}_{b}}}\;\ge \text{1}\text{.4}\)为宜。
3.7.4 裙部设计
通过给出材料参数，结构参数，载荷和连接螺栓数量得到最大轴压，连接裙厚度，每个螺栓承受的拉力。
连接裙结构和参数如图3-32所示，其中Lf为外圈纤维在裙上的缠绕长度，Ls为裙与壳体搭接长度，L为铝裙有效长度。金属裙设计的主要任务是确定裙的厚度：
\(\delta \text{=}\max \left\{ {{\delta }_{1}},{{\delta }_{2}} \right\}\) （3-151）
\({{\delta }_{1}}\text{=}\sqrt[3]{\frac{{{L}^{2}}{{T}_{m}}}{2\pi ER}}\) \(L\le 2.5\sqrt{R{{\delta }_{1}}}\) （3-152）
式中：
Tm—最大轴压；
R—铝裙半径；
E—铝合金材料弹性模量。
\({{\delta }_{2}}\text{=}\frac{{{T}_{m}}}{2\pi R{{\sigma }_{m}}}\) （3-153）
式中：σm—铝合金材料抗压强度极限。
图3-32 金属裙结构示意图
3.7.5 壳体稳定性分析
（1）壳体外压稳定性经验估算
外压临界载荷估算公式：
若壳体长度L满足\(L/\sqrt{Rh}\ge 25\)，则属于中长壳体。中长壳体的外压临界载荷公为：\({{P}_{cr}}=k\sqrt[4]{Ez{{\left( \frac{{{E}_{\theta }}}{1-{{\nu }_{z\theta }}{{\nu }_{\theta z}}} \right)}^{3}}}{{\left( \frac{h}{R} \right)}^{2.5}}\frac{R}{L}\) (k=0.855) （3-154）
其中k是试验修正系数；h、R、L分别是壳体的厚度、中径、和长度。
外压作用下应变公式：
\({{\varepsilon }_{\theta }}=\frac{RP}{2{{E}_{\theta }}h}\left( 2-{{\nu }_{\theta z}} \right)\)
\({{\varepsilon }_{z}}=\frac{RP}{2{{E}_{z}}h}\left( 1-2{{\nu }_{z\theta }} \right)\) （3-155）
应力公式：
\({{\sigma }_{\theta }}\text{=}\frac{{{E}_{\theta }}}{1-{{\nu }_{\theta z}}{{\nu }_{z\theta }}}\left( {{\varepsilon }_{\theta }}+{{\nu }_{z\theta }}{{\varepsilon }_{z}} \right)\) （3-156）
位移公式：
\({{\Delta }_{r}}={{\varepsilon }_{\theta }}R\)
\(\Delta z={{\varepsilon }_{z}}L\) （3-157）
（2）壳体轴压稳定性经验估算
轴压临界载荷估算公式
轴压临界载荷公式为：
\({{T}_{cr}}=2\pi {{h}^{2}}k\sqrt{\frac{{{E}_{z}}{{E}_{\theta }}}{3\left( 1-{{\nu }_{z\theta }}{{\nu }_{\theta z}} \right)}}\) （k=0.3～0.5） （3-158）
其中k是试验修正系数；
轴压作用下壳体应变公式
\({{\varepsilon }_{\theta }}\text{=}\frac{1}{{{E}_{\theta }}}\left( {{\sigma }_{\theta }}-{{\nu }_{\theta z}}{{\sigma }_{z}} \right)\)
\({{\varepsilon }_{z}}\text{=}\frac{1}{{{E}_{z}}}\left( {{\sigma }_{z}}-{{\nu }_{z\theta }}{{\sigma }_{\theta }} \right)\) （3-159）
应力公式：
\({{\sigma }_{z}}=-\frac{T}{2\pi RH},{{\sigma }_{\theta }}=0\) （3-160）
位移公式：
\({{\Delta }_{r}}={{\varepsilon }_{\theta }}R\)
\(\Delta z={{\varepsilon }_{z}}L\) （3-161）
3.8 燃烧室壳体制造和验收技术条件
3.8.1 一般要求
（1）所有使用的原材料必须符合设计图纸规定的牌号和技术条件。
（2）所有钢和铝合金煅件均应按有关标准进行热处理，并进行超声波A级探伤。
（3）连接用的螺栓应进行磁力探伤，不许有表面划伤、裂纹、夹渣等。
（4）加工完毕的壳体应进行几何尺寸测量，满足设计图纸要求，且各配合面、密封面、螺纹等均应妥加保护，不得划伤、碰损、锈蚀。
3.8.2 金属壳体的焊接和热处理要求
（1）所有焊缝均应符合设计图纸规定采用的标准，并进行X光检验。
（2）非焊接部位不得有焊接飞溅物。
（3）壳体按热处理规范进行热处理。
（4）配备一定数量的壳体材料和焊接试片（基体金属拉伸试片、焊接接头拉伸和弯曲试片），并分别挂于壳体上、中、下三区与壳体一起进行热处理，随后进行机械性能测试，包括抗拉强度、延伸率、弯曲角、I型断裂韧性。
3.8.3 纤维缠绕室壳体加工要求
（1）控制纱带宽度和含胶量在允放的公差范围内。
（2）按图纸要求进行缠绕，不得重叠和架空，并保持纱带受力均匀。
（3）按规范连同内绝热层进行固化。
3.8.4 验收要求
（1）交付的壳体应按任务书要求进行水压检验和爆破试验。
（2）验收压强，钢壳体一般取最大工作压强的1.1~1.2倍，纤维缠绕壳体一般取最大工作压强的1.05倍，稳压时间为工作时间。
（3）纤维缠绕壳体应进行气密性检验，充气压强300kPa，保持24h，压降小于20kPa。
思 考 题
1．试述固体火箭发动机燃烧室的主要组成部分和功用。
2．写出公式（3-11）的推导过程。
3．一节半球封头的筒体，封头与筒体的材料相同，壁厚相等，均为h；半球封头和筒体的中面半径均为r，试求封头与筒体连接处的剪力Q0和弯矩M0
4．试推导公式（3-28）的系数矩阵[A]。
5．直径为φ1 400mm，壁厚2.8mm的D406A壳体，在正常情况下的爆破压强是多少？壳体表面允许存在的裂纹的临界尺寸多大？
6．某发动机所用内绝热层的性能数据如下：
密度ρ2=1.2g/cm3 潜热L=1 163.9J/kg
比热cp=1.549J/（g·K） 热解温度TL=616K
导热系数λ1=4.98×10-3W/（cm·K） 内表面温度T0=2 400K
λ2=2.3 ×10-3W/（cm·K） 发动机工作时间t=67s
假设内绝热层在燃气作用下的平均侵蚀率re=0.003cm/s，要求发动机工作完毕后壳体壁温不超过100℃，环境温度Ti=20℃，试确定发动机内绝热层的最大厚度。
