第13章侵蚀燃烧
侵蚀燃烧是固体推进剂在火箭发动机中燃烧时所特有的一种燃烧现象。它表现为当高速燃气流过药柱燃烧表面时引起当地推进剂的燃速增高,一般情况下横向流速愈大,燃速亦愈大,从而影响发动机的性能。
19世纪末，人们已经观察到在固体火箭发动机的工作初期可能会产生压力峰，而这种初始压力峰的出现是与装药的几何形状相关联的。1927年摩拉奥( Muraour)在法国化学协会通报上发表文章，首次明确提出了推进剂燃烧中的侵蚀效应。侵蚀燃烧不但会产生初始压力峰，增加燃烧室的载荷，而且影响发动机的推力和工作时间，因此一直是固体火箭发动机设计者十分关心的问题(见图13-1)。随着对固体火箭发动机性能要求的不断提高，侵蚀燃烧问题变得愈来愈突出。为了了解侵蚀燃烧的机理及其影响因素，测量或预示侵蚀燃烧条件下的推进剂燃速，人们已经从实验上和理论上对这一问题进行了大量的研究。
图13-1侵蚀燃烧形成的初始压强峰
13.1侵蚀燃烧的一般现象和机理
固体推进剂的燃烧涉及许多化学和物理过程。推进剂的稳态燃烧过程是靠火焰向推进剂表面传热，引起推进剂的相变和在表面附近产生化学反应来维持的。在没有平行于燃烧表面的横向气流的情况下，推进剂的燃速取决于压力、初温、推进剂的类别和组分，对于复合推进剂还有氧化剂颗粒大小等多种参数。在侵蚀燃烧情况下，一般来说燃烧过程仍然可以被看作是稳态的，但是由于存在横向气流，问题将变得更复杂，燃速还要受到气流速度的影响。
在本章中，把没有横向气流影响的推进剂燃速称作基本燃速(\({{r}_{o}}\));把有横向气流情况下的实际燃速(r)与相同压力下的基本燃速之差称为侵蚀燃速(\({{r}_{e}}\))，也就是由侵蚀效应所引起的燃速增量。用公式表示即
\({{r}_{e}}=r-{{r}_{o}}\) (13-1)
为了表示侵蚀效应的相对影响，另一个常用的参数是侵蚀比。其定义为
\(~\varepsilon =r/{{r}_{o}}=1+{{r}_{e}}/{{r}_{o}}\) (13-2)
所以实际燃速也可以表示为
\(~r={{r}_{o}}\varepsilon \) (13-3)
为便于讨论侵蚀燃烧的机理和在以下各节中将要介绍的各种理论模型，需要介绍侵蚀燃烧实验中所观察到的各种现象。
研究侵蚀燃烧的实验方法很多。但归纳起来，若按测定燃速的条件分，则可分为试件燃速测定法和药柱燃速测定法两类(简称“试件法”和“药柱法”)。若按测定燃速的手段分，则有高速照相法、X射线照相法、压力传感器法、光电倍增器法、中止燃烧法以及各种探测头法等。试件法是将被研究的推进剂做成试件，放置在发动机所产生的热气流中进行实验。这类方法容易控制推进剂的燃烧环境，便于观察和比较各个参数的影响，如配上精度高的测量手段(如高速照相)，可以获得比较精确的实验数据，很适用于验证理论模型和比较不同推进剂的侵蚀燃烧特性。但是，由于试件所处的工作状况与真实发动机往往相差较大，所获得的燃速关系式用于预示发动机内弹道时就需要作一定的修正。药柱法是利用发动机试验直接测出药柱某些部位的实际燃速，或者通过压力时间曲线的分析来推算推进剂燃速。这种试验发动机通常是按照实验要求专门设计的。在真实发动机中侵蚀燃烧受到药柱几何形状和尺寸以及点火方法等因素的影响。所以药柱法的工作条件要比试件法复杂，但是真实。药柱法可以观察与研究侵蚀燃烧受通道几何形状和发动机尺寸的影响，所得结果比较适用于发动机设计与性能分析。
不过药柱法往往难以严格区分各种因素的影响，精确性比较差。试件法和药柱法各有其优缺点，可以互相补充和对照，不同研究者可根据研究工作的目的和条件加以选用。通过大量的侵蚀燃烧的实验研究，人们观察到了下列基本现象。
(1)流过推进剂燃烧表面的横向气流速度和压力是影响推进剂侵蚀燃速的基本因素。横向气流速度增大，侵蚀燃速增大。在相同的气流速度下，侵蚀燃速随压力增大而增大。但是横向气流的温度和成分几乎不影响推进剂的侵蚀燃速(见图13-2)
(2)推进剂组分对侵蚀燃烧的影响主要通过组分对基本燃速的影响表现出来。通常高燃速推进剂较低燃速推进剂对侵蚀燃烧更不敏感，这对于双基推进剂和复合推进剂都一样。图13-3表示了一种AP-HTPB推进剂通过改变AP粒度来调节燃速所得出的侵蚀比与基本燃速 的实验关系。此图表明，燃速高(AP粒度小)的推进剂侵蚀比小，燃速低(AP粒度大)的侵蚀比大。当然，氧化剂粒度大小的变动除了改变基本燃速之外还会改变推进剂燃烧表面的粗糙度。燃烧表面粗糙度对侵蚀燃速也会有一定的影响。
催化剂的影响也能通过改变基本燃速反映到侵蚀燃烧特性上来。加催化剂提高推进剂的基本燃速会相应地减小推进剂对侵蚀燃烧的敏感性。有些实验结果表明，当气流速度较小、压力较低时，加催化剂的推进剂显得对侵蚀燃烧很不敏感。
根据有限的实验观察，推进剂中加入铝粉，侵蚀燃速几乎不变或略有升高。
一般来说，双基推进剂此复合推进剂对侵蚀燃烧要敏感些。
(3)初温对固体推进剂的侵蚀燃烧的影响也通过对基本燃速的影响表现出来。对于同一种推进剂，降低初温使基本燃速减小而侵蚀燃速却增大。
(4)在固体火箭发动机中推进剂的侵蚀燃速还与发动机的大小有关。在装填密度、装药形状和工作压力相同的情况下，小发动机中的侵蚀燃烧一般比大发动机中要严重。装药内孔的几何形状对侵蚀燃速也有影响。在非圆孔通道中同一个横截面上燃速沿周向的分布也是不均匀的。
(5)在许多推进剂的侵蚀燃烧实验中观察到如图13-4所示的现象:当横向气流速度低于某一数值时燃速基本上不再受横向气流影响，即侵蚀比将近似等于1。这个速度称为推进剂侵蚀燃烧的界限速度。界限速度的数值通常随压力升高而减小。有些推进剂在气流速度较低 (小于界限速度)时，还出现侵蚀此小于1的现象，这种现象被称为负侵蚀效应。
图13-4赫伦有关界限速度和负侵蚀效应试验结果
侵蚀燃烧引起燃速增大的原因是什么，为什么会有上述种种现象?要回答这些问题首先需要知道侵蚀燃烧的机理。为了探索侵蚀燃烧的机理和预示侵蚀燃烧情况下的推进剂燃速， 人们建立和发展了各种研究侵蚀燃烧的理论模型。
以下各节中介绍一些有代表性的理论。这些理论中以湍流反应边界层理论较为完善。按照这种理论，侵蚀燃烧的基本机理可以描述如下:当横向高速气流流过燃烧着的推进剂表面时
在燃面上形成湍流边界层。湍流的掺混作用加快了气相反应速度，同时使强反应区向靠近燃面方向移动，并且湍流增大了边界层中的输运系数。这一切都导致增加向推进剂表面的热反馈，从而使燃速增大。气流的质量流率越高，流动能越大，上述作用越强，燃速就越高。
根据此机理，气流速度和压力增大，都会使边界层变薄;湍流强度增大，因而燃速升高。推进剂组分对侵蚀燃烧特性的影响主要通过对基本燃速的影响表现出来，说明这种影响主要是物理方面的，也可以从边界层理论得到解释。燃烧着的推进剂表面相当于一个有质量喷出的壁面，对于壁面有喷出的(或叫发汗的)湍流边界层，喷出率越大，边界层越厚。壁面喷出质量的作用还引起边界层内的速度分布和湍流强度分布的变化。这些变化的趋势都是导致减少向推进剂表面的热反馈。高燃速推进剂的表面上的边界层有高的壁面喷出率，因而对侵蚀燃烧的敏感性较小，加上它们的基本燃速大，即侵蚀比的基数大，所以侵蚀比就较小。低燃速推进剂的情况则相反，所以侵蚀比较大。
对于界限速度和负侵蚀现象有各种各样不成熟的解释，现在还没有一种比较一致的观点。下面列举几种说法:
(1)把从中止燃烧实验中所观察到的这种现象解释为表观的，认为可能是由于药柱前段的实际流动条件不能用一维流的近似来代表而形成的。
(2)向边界层加入质量会减小向表面传热，在气流速度不大时它可以抵消甚至超过对流传热。当前者影响超过后者时就出现负侵蚀，者的影响正好相抵消的情况所对应的气流速度即为界限速度。
(3)鉴于并不是所有推进剂在实验中都出现非零界限速度，有界限速度的也不一定都有负侵蚀，又在复合推进剂中界限速度和负侵蚀现象常见于聚硫和聚氨酯系统，罕见于不加催化剂的各种聚丁二烯系统，因此提出一种可能的解释:燃面上易熔的黏合剂在气流的剪切作用下会对氧化剂表面造成局部覆盖，这种局部覆盖会引起燃速降低。对于一种确定的推进剂，随着气流速度的增大，覆盖面积开始时可能增加，而后又会减少，于是在一定的速度范围内产生负侵蚀现象。
(4)侵蚀燃烧是湍流侵入火焰区的结果。气流速度在界限速度以下时，火焰区位于湍流边界层的层流底层之内，所以不产生侵蚀燃烧。随着气流速度增大，层流底层变薄，气流速度超过界限速度后湍流侵入火焰区，这时才出现侵蚀燃烧。由于壁面的质量喷出会增大层流底层的厚度，因而一般高燃速推进剂有较高的界限速度。
(5)加催化剂的推进剂通常会有较明显的界限速度现象。一种解释是横向气流会抑制催化剂的作用，从而在一定范围内抵消侵蚀效应。另外，加催化剂的推进剂燃速都比较高，这可能也是一个原因。
以上各种解释还都没有直接的实验证明。绝大多数的侵蚀燃烧理论也不包含预示界限速度和负侵蚀燃速。
13.2表象传热理论
表象传热理论提出得较早，勒努尔( Lenoir)罗比拉得( Robillard)在1957年提出的中心气流传热模型可以认为是这种理论的代表这种理论以对流传热分析为基础，从现象逻辑出发，认为侵蚀燃烧是由于发动机通道中心的高温燃气流动引起向推进剂表面对流传热所导致的。这种理论没有正确地反映侵蚀燃烧的本质(对此下面将进一步予以评说)但是他们所导出的燃速关系式，作为一种半经验公式，已被固体火箭发动机技术界广泛采用。
勒努尔-罗比拉得模型有两条基本假设，一是推进剂的侵蚀燃速与通道中心燃气流向推进剂表面的传热率成正比;二是总燃速是没有横向气流作用时的基本燃速与侵蚀燃速的叠加。
具体地说，假定燃速取决于传给推进剂表面的热量，这热量的来源可分成两部分:第一部分热量来自靠近燃面数微米处的初焰，它是基本的，只与压力有关，这是因为初焰的位置是由压力决定的，与中心气流的速度无关第二部分热量来自燃气的对流传热，所以与中心的气流速度有关，假定总燃速就是基本燃速与侵蚀燃速之和，即
\(r={{r}_{o}}+{{r}_{e}}\) (13-4)
基本燃速与压力的关系可以用下式表达:
\({{r}_{o}}=a{{p}^{n}}\) (13-5)
侵蚀燃速按第一条基本假设可以写成
\({{r}_{o}}=kh\) (13-6)
式中，h是对流换热系数;k是比例常数。
根据对流传热的理论，当壁面上有气体喷出时对流换热率将比没有气体喷出时要小。有喷出情况下的换热系数h和无喷出情况下的换热系数h之间有如下关系:
\(~~h={{h}_{oexp}}\text{ (}-\beta {{G}_{W/G}})\) (13-7)
式中，Gw是壁面喷出气体的质量流率;G代表中心气流的质量流率;是无因次常数。无喷出情况下气流对平板的湍流换热系数可以表示为
\({{h}_{o}}=0.0288G{{c}_{p}}R{{e}^{-2}}P{{r}^{-0.667~}}\) (13-8)
式中，\({{c}_{p}}\) 是气体的定压比热;\(Re\left( =\rho u\chi /\mu \right)\)是雷诺数，\(Pr\left( =cp\mu /\lambda \right)\) 是普朗特数
设想式(13-7)和式(13-8)适用于推进剂侵蚀燃烧的情况，\({{G}_{w}}(=cp\mu /\lambda )\) 是推进剂密度，把这两式与式(13-4)、式(13-6)合并，经过化简和整理可得
\(~r={{r}_{o}}+\alpha {{G}^{0.8}}{{\chi }^{-0.2}}\exp \left( -\beta r\rho p/G \right)~\) (13-9)
其中
\(a=\left( 0.0288{{c}_{p}}{{\mu }^{0.2}}P{{r}^{-0.667}} \right)k\) (13-10)
式(13-9)就是勒努尔罗比拉得燃速公式(简称L-R公式)，在应用这个公式时，假设对于同一种推进剂a(有因次)和 B都是常数，它们的数值由实验来确定。此公式曾经与不少实验数据作过比较，结果是比较满意的。L-R公式的负指数项中含有燃速r，这表示低燃速推进剂会有较高的侵蚀燃速。这个结论与已知固体推进剂的侵蚀燃烧特性是一致的。但是，勒努尔罗比拉得在推导公式中假设形成侵蚀燃烧的热量是从中心气流传来的，完全忽略了推进剂的火焰结构和边界层中的化学反应，这在理论上不符合现在人们对侵蚀燃烧机理的了解。还需要指出这个理论与实验观察有以下矛盾:勒努尔-罗比拉得为了估计a的数值，从理论上分析了式(13-6)中的比例因子k。设中心气流传给燃烧表面的热量是用来把侵蚀燃速部分燃去的推进剂由初温T升高到燃烧表面温度T，如果气流温度是T，则按单位表面上的能量平衡条件可以写出
\(~~h\left( {{T}_{e}}-T \right)={{r}_{e}}\beta {{\rho }_{p}}{{c}_{s}}({{T}_{s}}-{{T}_{o}})\) (13-11)
其中，\({{c}_{s}}\) 是推进剂的比热。这个式子中包含了推进剂温度从\({{T}_{o}}\)上升到\({{T}_{s}}\)的过程中没有由化学反应和相变所放出或吸收的热量。解式(13-6)与式(13-11)可得
\(k=\frac{1}{{{\rho }_{p}}{{c}_{s}}}\left( \frac{{{T}_{e}}-{{T}_{s}}}{{{T}_{s}}-{{T}_{o}}} \right)\) (13-12)
或 \({{r}_{e}}=\frac{h}{\rho p{{c}_{s}}}\left( \frac{{{T}_{e}}-{{T}_{s}}}{{{T}_{s}}-{{T}_{o}}} \right)\) (13-13)
式(13-13)表明\({{T}_{e}}\)对\({{r}_{e}}\)有明显影响。但是许多实验结果并非如此。一些研究者用不同火焰温度的推进剂作为前置发动机的装药，在其他条件基本不变的情况下，用同一种推进剂试件做对比试验。尽管燃气温度相差几百度甚至上千度，侵蚀燃速几乎都没有什么变化。
对L-R公式曾有不少人提出过修正意见，现列举其中两个重要的。
劳兰斯( Lawrence)和台弗莱尔(Deverall)于1967年用湍流管流的对流换热关系式代替湍流平板的关系式将燃速公式(13-9)修改为
\(~r={{r}_{o}}+\alpha {{G}^{0.8}}{{D}^{-0.2}}exp\text{ }\left( -\beta r{{\rho }_{p}}/G \right)\) (13-14)
式中，把装药通道的水力学直径D(4×面积/润周长)作为特征长度代替了从装药头部量起的轴向距离x。
不少人都对勒努尔-罗比拉得模型中燃速可叠加的假设提出过疑问，认为缺乏根据。King为了避开这个假设，从热平衡方程中导热热流和对流热流可以叠加的假设出发，导出了与式(13-9)稍有不同的结果。若r与r的表达式仍与LR公式中的相同，修改后的燃速公式是
\(~r=r_{0}^{2}/r+{{r}_{e}}\) (13-15)
King指出，燃速可加假设没有考虑下列事实即侵蚀燃速的增大在同样压力条件下会使推进剂火焰进一步离开燃烧表面;使初焰对燃面的热反馈降低。式(13-15)右边的第一项相当于\({{r}_{0}}\)乘以\({{r}_{0}}/r,{{r}_{0}}/r\)，总是小于1的，这个修正就反映了上述因素。
但是，King所采用的热流可加假设和勒努尔-罗比拉得的燃速可加假设一样，也是任意的。同时，King在导出式(13-15)的过程中还引用了气相扩散时间与横向气流速度无关的假定，这也是有疑问的。从与实验数据的吻合程度看，式(13-9)与式(13-15)是差不多的。
总的来说，勒努尔罗比拉得的表象传热理论若作为一种理论来评价，从物理上来说是很不完善的，但由于L-R公式形式简单，又能较好地体现侵蚀燃烧问题中基本参数之间的数学关系，而且有两个由实验确定的系数a和，容易与实验结果吻合，所以仍不失为一个较实用的半经验公式。
13.3火焰区输运特性改变的理论
这种理论考虑到侵蚀燃烧时推进剂的火焰区处在湍流边界层内，故以分析边界层内的气流输运特性为基础，来建立侵蚀燃烧模型。在模型中通常用湍流边界层的积分解法去求气相反应区的输运特性，在稳态(无横向气流速度)燃烧模型中再考虑湍流引起的输运特性增强的影响把某种稳态燃烧模型发展为侵蚀燃烧模型。
早在1947年，柯纳尔( Corncr)就提出这种观点。许多研究者基于这种观点做过对侵蚀燃烧的理论研究。在这种理论中，朗捷尔( Len gelle)在20世纪70年代中期所做的工作可以认为是有代表性的。他把粒状扩散火焰(GDF)模型与有质量喷出的平板湍流边界层内的柯埃梯
(Couette)流动模型结合起来，发展了一个复合推进剂的侵蚀燃烧模型。下面是其推导过程的要点:
按照GDF理论，推进剂表面生成的燃料气团进入气相后，其特征尺寸为d，若消耗这样的燃料气团的特征时间为\(\tau \)，则\(\tau \tilde{\ }{{d}^{2}}/D\)，D是扩散系数。如果气体离开表面的速度为v，则可认为火焰高度为
\(L\approx v\tau \approx \dot{m}{{d}^{2}}/\rho D\) (13-16)
其中\(\dot{m}\)是质量燃速。从热量平衡出发，还可以建立另一个\(\dot{m}\)与L的关系式，即
\(\dot{m}Q\approx {{\lambda }_{eff}}({{T}_{f}}-{{T}_{s}})/L\) (13-17)
式中\({{T}_{f}}\)和\({{T}_{s}}\)分别代表推进剂的火焰温度和表面温度;\(\lambda \) 是导热系数，下角标“eff”代表有效值(包括分子效应和湍流效应);Q是单位质量推进剂从初温加热到表面温度再转变成气体所需要的热量。由式(13-16)和式(13-17)消去 可得
\(~~~L\approx d({{({{c}_{p}}({{T}_{f}}-{{T}_{s}}){{L}_{ef}}f/Q)}^{\frac{1}{2}}}\) (13-18)
其中\(Le\left( =\frac{\lambda }{\rho {{c}_{p}}D} \right)\)表示路易斯数。根据GDF模型，\(d\propto {{(M/\rho )}^{\frac{1}{3}}}\)言，这里M是燃料气团的特征质量，M只取决于推进剂AP的粒度与含量，所以d与燃面上是否存在湍流无关。式(13-18)中的有效路易斯数可认为是常数，可见火焰高度除了受d的影响之外将只与\({{T}_{f}},{{T}_{s}}\)和Q有关，而这些参数的值基本上只取决于压力的大小，所以火焰高度与是否存在湍流无关。
将式(13-17)写作\(\dot{m}\approx {{\lambda }_{eff}}\left( {{T}_{f}}-{{T}_{s}} \right)/LQ\)，可以看出此式右端项所包含的参数中唯有\({{\lambda }_{eff}}\)将受湍流的影响。若假定\(P{{r}_{eff}}=1\)，可有\({{\lambda }_{eff}}={{c}_{p}}\left( \mu +\rho {{\upsilon }_{t}} \right)\)，这里 代表湍流扩散率(又称旋涡扩散率或湍动黏度)，于是在侵蚀燃烧情况下
式(13-19)右端脱去后一对括号后，第一项对于一定的推进剂只是压力的函数，相当于基本燃速，第二项代表湍流引起的燃速增量。从而可以推出两个结论:一是
\(r={{r}_{0}}+{{r}_{e}}\) (13-20)
即燃速可加假设是成立的;另一是
\({{r}_{e}}/{{r}_{\text{o}}}=\rho \cdot {{v}_{t}}/\mu \) (13-21)
这表示了侵蚀燃速与湍流扩散率之间的定量关系。
下面叙述如何应用湍流边界层理论来确定\(\rho {{\upsilon }_{t/\mu }}\)。
时间平衡量的不可压缩湍流边界连续方程和动量方程式是
\(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0\) (13-22)
\(\rho u\frac{\partial u}{\partial x}+\rho v\frac{\partial u}{\partial y}-\frac{\partial \tau }{\partial y}+\frac{dp}{dx}=0\) 13-23)
其中
\(\tau =(\mu +\rho {{\upsilon }_{t}})\partial u/\partial y\) (13-24)
因为火焰位置通常是在边界层的近壁面处所以引用柯埃梯流动假设，即\(\partial u/\partial x=0\) 和\(u\partial u/\partial x=0\)，简化上述方程式，并且忽略压力梯度，积分简化后的方程得
\(\rho v={{(\rho v)}_{w}}\) (13-25)
\(\tau ={{\tau }_{w}}+{{(\rho v)}_{w}}u\) (13-26)
其中下标“w”表示壁面。定义一些无因次量:\(\varphi =u/{{u}_{e}},\eta =y/\delta ,B=(\rho \upsilon )\omega /\frac{1}{2}{{C}_{f}}{{\rho }_{e}}{{u}_{e}}(\delta \)是边界层厚度，\({{C}_{f}}\)是摩擦系数，下标“e”表示边界层边缘，B称为喷出强度参数)，同时注意到\(\tau =(\mu +\rho {{v}_{t}})du/dy,{{\tau }_{w}}={{C}_{f}}{{\rho }_{e}}u_{e}^{2}/2\)，式(13-26)可以改写成
这里 是基于边界层厚度\(\delta \)的雷诺数。为了得出速度分布，设想公式右端的一部分是\(\eta \)和\(\beta \)某个函数，即
\(\frac{d\varphi }{d\eta }=f(\eta ,B)(1+B\varphi )\) (13-28)
显然 
对于壁面无喷出湍流边界层的速度分布，有经验关系式\(\varphi ={{\eta }^{n}}\(，速度分布指数n是雷诺数的函数，可以近似表达为
\(~n=0.52Re_{x}^{\text{ -}0.1}\) (13-29)
利用这一经验关系式，并设想\(f(\eta B)\)中变量是可分离的，式(13-27)可以变为
\(\frac{d\varphi }{d\eta }=n{{\eta }^{n-1}}A(B)(1+B\varphi )\) (13-30)
其中A(B)应满足条件A(0)=1
可以找到方程式(13-30)的下列解:
\(~\ln \left( 1+B\varphi \right)\text{ }={{\eta }^{n}}\ln \left( 1+B \right)~\) (13-31)
并包含A(B)=n(1+B)/B。式(13-31)代表了有喷出情况的速度分布关系，但它是个隐式，不便应用，因此用下列显式来近似代替它:
于是，壁面有质量喷出的湍流边界层速度分布被表达成了简单的定律，\(\alpha \)代表有喷出情况速度分布指数。当B=0时，\(\alpha =n\)。
有了速度分布律，就不难求出湍流扩散率。按照普朗特混合长度假说
把式(13-32)代入式(13-33)可得
有了式(13-34)，就可以按照式(13-21)写出侵蚀燃速的表达式。但在把\(\rho {{\upsilon }_{t}}/\mu \)的表达式用于式(13-21)之前，应注意它是\(\eta \)的函数所以应该取在火焰区内的平均值。最简单的平均办法可以是
将式(13-35)代替式(13-21)的右端，并应用n和\(\alpha \(的表达式，即式(13-29)和式(13-32)，可得如下公式:
其中
函数表示由于壁面有质量向边界层喷出所产生的阻塞作用，式中δ和\({{\delta }_{0}}\)分别代表有质量喷出和无喷出情况的边界层厚度。求\({{\delta }_{0}}\) 可用近似公式\({{\delta }_{0}}=0.38x/Re_{x}^{0.2}\)在整理式(13-36) 时已将与壁面喷出有关的所有参数都归并入小并注意到使得B=0时\(\psi =1\)。
考虑到n的数值很小，外流参数变化时，\({{\left( L/\delta 0 \right)}^{n}}\left( 1/\left( n+2 \right) \right)\)项的值变化相当小，故从式 (13-35)可以认为侵蚀燃速与外流质量流率的0.9次幂成比例，即
\({{r}_{e}}\propto {{({{\rho }_{e}}{{u}_{e}})}^{0.9}}\) (13-37)
这个结论与某些实验结果比较吻合。
图13-5表示了侵蚀燃速与质量流率的关系，图上的数据点是一些实验结果，实验推进剂是过氯酸铵-聚酯类型的。数据点的不同形状代表不同的气流速度，数据点旁的数字代表实验压力(单位是105Pa)，所有的数据点在全对数坐标上接近分布在一条斜率为0.92的直线上。但是，也有另一些实验结果并不能满意地整理成式(13-37)那样的关系。
图13-5侵蚀燃速与质量流率的关系
式(13-36)还表明侵蚀燃速除了与质量流率有关外，还受阻塞作用的影响。阻塞作用的大小主要取决于喷出强度参数B的数值。如果B值很小，值接近于1，阻塞作用可以小到忽略不计;如果B值很大，\(\psi \)值趋近于0，阻塞作用将大到使侵蚀燃速几乎显示不出来。B与燃速r有关，因为\({{\left( \rho u \right)}_{w}}=r{{\rho }_{p}}\)，在相同气流条件下，r大则B也大，所以式(13-36)可以定性地解释为何高燃速推进剂对侵蚀燃烧较不敏感，且容易出现高的界限速度;而低燃速推进剂对侵蚀燃烧较敏感，通常界限速度也低。
虽然朗捷尔模型能较好地体现侵蚀燃烧机理，但是其燃速预示功能基本上是定性的。首先它以GDF稳态燃烧模型作为基础，而GDF模型在预示稳态燃速上就是不精确的。另一个重要问题是若要计算在确定喷出强度参数B和边界层厚度8时需要知道壁面摩擦系数Cf,但目前还缺乏大B值情况下获得Cf值的实验数据和工程计算方法。朗捷尔做过一些这方面的计算，但他所用的Cf计算公式在强阻塞作用下是不可靠的。
13.4火焰位置发生变化的理论
在朗捷尔模型中，侵蚀燃烧被认为是横向气流引起火焰区内输运特性的变化所形成的，但是火焰离开燃面的高度是被假定为不变的。本节介绍另一类理论。这类理论强调气流会改变火焰结构和位置。
凡登克霍夫(Vandenkerckhove)1958年提出过一种双基推进剂的侵蚀燃烧理论。他假定横向气流增大到一定数值时，湍流达到嘶嘶区，使得嘶嘶区的厚度减小(等于层流底层的厚度)，从而增加对推进剂表面的热反馈，使表面温度升高，于是根据阿累尼乌斯表面热分解速度定律，使燃速增大。萨德霍姆(Saderhom)等在1972年用火焰高度受气流影响的概念在GDF模型的基础上研究过贫氧复合推进剂在低速气流下的侵蚀燃烧。1978年，King提出另一种火焰位置变化的理论。与上述几种假设火焰高度被“吹短”的理论不同，King假设火焰被气流“吹弯”，由于弯折而变得更贴近推进剂燃面。这种侵蚀燃烧模型被称作火焰弯曲模型，是针对复合推进剂的。King对这种模型作过多次修改，发表过不少文章，有一定的影响。
一般认为复合推进剂燃烧时，氧化剂和燃料(黏合剂)的升华和分解产物首先是分别从氧化剂晶粒和燃料各自的表面上以平行的柱状气流上升的。这种分解和气化过程靠火焰区向燃烧表面的热量反馈来维持。通常，反馈到燃面的热量来自两部分，一部分来自氧化剂气化产物的反应;另一部分来自氧化剂气体与燃料气体混合后的反应。决定后一项反馈热流的一个重要因素是氧化剂和燃料两股气流的混合速度。King认为在没有横向气流时这些气流方向是垂直于燃面向上的。有了横向气流它们就要顺气流方向以某个角度倾斜，这个角度可以按混合区边上的横向气流速度与离开燃面气体的喷出速度的矢量合成来确定。
这个模型要考虑两个火焰:靠近表面的AP爆燃火焰和离开表面稍远的AP爆燃产物与燃料热解产物的扩散火焰。图13-6(a)所示代表没有横向气流时的燃烧模型，图上标明了与两个火焰相关的三个重要的距离参数，即从表面到AP爆燃火焰平均位置的距离\({{L}_{1}}\);从表面开始，氧化剂与燃料扩散混合的平均距离\({{L}_{D}}\)和混合后氧化剂与燃料化学反应的平均距离\({{L}_{1}}\)和\({{L}_{K}}\)都是由动力学控制的，它们取决于各自的特征反应时间和推进剂燃气速度的乘积，假设反应时间不受横向气流的影响，那么这两个距离对于给定组分的推进剂只与燃速和压力有关，而与横向气流速度没有直接关系L是扩散控制的，直接受横向气流影响。King假设横向气流速度只影响\({{L}_{D}}\)的方向而不影响它的大小，在横向气流作用下火焰被“吹弯”后(见图13-6(b))这个距离减小到\({{L}_{D}}\sin \theta \)，这里\(\theta \)表示燃面与混合区平均位置上喷出速度与横向速度的合速度方向之间的夹角。扩散火焰的总高度将是\({{L}_{D}}\sin \theta +{{L}_{K}}\)。气柱“吹弯”后，横截面的形状将由圆形变成椭圆形，这会影响特征扩散时间，但经过分析，\(\theta \)>20°的情况下，这种影响可以忽略不计。按上述假设，在有横向气流作用时推进剂燃面上的热平衡条件可以表达如下:
式中，\({{\lambda }_{A}},{{\lambda }_{B}}\)分别为扩散火焰和AP爆燃火焰的导热系数;T1是最终扩散火焰温度TAP是AP爆燃火焰温度;Ts是燃面温度;T0是推进剂初始温度;Qv和QR分别为燃面上单位质量推进剂分解气化所需要吸收的热量和放热反应所产生的热量。
图13-6火焰弯曲模型
考虑到特征反应时间与压力成反比，可以认为\({{L}_{1}}={{K}_{1}}\dot{m}/{{p}^{2}}{{L}_{K}}={{K}_{2}}\dot{m}/{{p}^{2}}\)。根据GDF模型则有\({{L}_{D}}={{K}_{3}}\dot{m}{{d}^{2}}\)，其中K1，K2，K3为常数，所以不难把式(13-38)改写成
式中，a1，a2，a3对于一定的推进剂是常数，可以通过推进剂在无横向气流时(\(\theta =90{}^\circ sin\theta =1\))的燃速-压力数据的回归分析来求得。 的数值与横向气流速度有关，要通过计算L1，Lk，LD和结合边界层的速度分布分析得出。
King(1979)年发展第二代模型的目标是要直接由推进剂的组分和氧化剂的粒度分布来预示压力和横向气流速度对燃速的影响。他的做法是对BDP模型作某些修改并用火焰弯曲假设把它推广到侵蚀燃烧情况。但是，ing发现他的模型总是把侵蚀效应估计得过低。为此，他对模型作了一个重要修改，认为除了火焰弯曲之外还有“第二”机理，即燃面与火焰位置之间的区域内湍流输运特性的加强。于是在计算火焰的反馈热流时改用湍流有效传热率。以后，King(1980年)又应用微焰集合模型(PEM)的基本概念把燃烧模型推广到氧化剂粒度多模分布和含金属成分的复合推进剂。
火焰弯曲模型的最大问题是它的物理模型是否能代表真实情况。King一开始提出这种模型时认为复合推进剂的火焰高度不会超过湍流边界层层流底层的厚度，湍流不可能进入火焰区，所以不能用湍流输运特性的增强来解释侵蚀燃烧现象，而提出用火焰“弯曲”的假设来作为发展侵蚀燃烧模型的基础。但是，他在理论与实验结果不能取得一致的情况下又回过头来采用了原先想要否定的湍流引起火焰输运特性增强的概念，把它作为“第二”机理来修正他的模型。应当指出，承认这个第二”机理就意味着他的“第一”(火焰弯曲)机理更不真实，因为在湍流与扩散火焰的相互作用下产生这种有规则的火焰倾斜是难以想象的。尽管如此，按修改后的火焰弯曲模型计算推进剂有侵蚀燃烧情况下的燃速与实验结果还是比较符合的，这在很大程度上可能要归因于某些化学动力学参数和湍流速度都是以模型对燃速预示的好坏为标准来选定的。
13.5气动热化学理论
气动热化学理论强调流动与火焰结构的相互作用全面考虑化学反应边界层内的传热、传质、传动量问题。为了较真实地描述边界层内的物理过程和化学过程，这种理论首先要在流体力学和化学动力学的基础上建立起包括推进剂燃烧模型在内的反应边界层的控制方程组，然后对这组控制方程用数值方法求解。气动热化学分析法避免了前面几种理论中所采用的那些把流场特性和火焰结构孤立考虑或机械结合的假设，这是一个很大的进步。
根据固体推进剂的侵蚀燃烧是边界层燃烧现象的认识，一些研究者早就试图以边界层控制方程组的微分解法为基础对侵蚀燃烧进行综合的气动热化学分析。这种尝试开始是以层流边界层理论为基础的。但是层流的假定对于典型固体火箭发动机的工作情况是不真实的。典型发动机中药柱表面上的边界层主要是湍流的，这一点似乎已被公认。并且根据计算，在固体火箭发动机的典型工作条件下，复合推进剂的扩散火焰高度要比湍流边界层黏性底层的厚度要高。郭冠云等(1978年、1980年)发展了用湍流反应边界层模型研究复合推进剂侵蚀燃烧的理论，这种理论后来(1982年)又被推广到研究双基推进剂的侵蚀燃烧。下面介绍复合推进剂侵蚀燃烧的湍流反应边界层模型。
这个模型首先要求对燃气沿推进剂燃面流动的过程建立湍流边界层的守恒方程组。目前，湍流流动问题仍处在探索其结构、机理以及描述方法的阶段。如果直接用数值方法求解瞬态的基本方程，由于计算需用的网格数非常大，目前尚无法做到。好在工程上需要的并不是精细的湍流参数的瞬时值，而是湍流参数的时均值，所以分析湍流问题的方法可以从瞬时量的基本方程出发，导出时均量的守恒方程组。但在这类守恒方程中会出现一些新的未知湍流输运项，使得未知数的数目超过方程的数目，从而使方程组不能封闭。为了建立封闭的时均量方程组就必须把湍流输运项用已知量或原来已有的未知量近似地表示出来。这样描述湍流输运项的近似方程式称为湍流输运模型，简称湍流模型。对于有化学反应的湍流问题，目前工程应用上最广泛的湍流模型是K两方程模型。它选用湍流动能K和湍流耗散率作为湍流的特征
参数湍流黏度用公式
来计算，式中 是常数，用增加K和 这两个参数的两个微分方程来获得方程组的封闭。这两个方程都可以从纳维叶斯托克斯(Navier-)方程出发通过模化的方法来建立。
在建立时均量的湍流反应边界层的守恒方程组时还采用以下一些假设①平均流动是定常的;②化学反应不产生湍流;③没有彻体力④不计辐射传热;⑤路易斯数等于1⑥费克 (fick)扩散定律有效。于是可以依次写出质量、动量、组分(质量分数)、总焓、湍流动能、湍流耗散的守恒方程式和气体状态方程式如下:
以上诸式中对于二维平面流动取m=0，并用y代替r;对于轴对称流动取m=1式中
是施米特数，M是混合气体平均分子量，上标“-”代表按常规时间平均(雷诺平均)的时均量，“，代表波动量，下角标t代表湍流。
上述方程组中包括9个方程式，含\(\bar{u},\bar{v},\bar{\rho },{{\bar{Y}}_{o}},{{\bar{Y}}_{F}},{{\bar{Y}}_{P}},\bar{H},K\)和\(\varepsilon \)9个未知量，方程组是闭合的。压力p可由位流方程式解得或给定。总焓H与温度T由下列关系式相关联;
其中\(\text{h}_{i}^{0}\)是i组分的生成焓。
从固相与气相界面上的质量和能量平衡条件可以写出下列边界条件:
式中，下标g和s分别代表气相和固相;Ts代表燃烧表面温度；\({{Q}_{s,ref}}\)是单位质量推进剂在参考表面温度为\({{T}_{s,ref}}\)的燃面上释放的净热量(放热反应为负)。在这里用 代表燃速，以区别于径向坐标r。
传入固体推进剂的热流密度从积分固相热传导方程式得到，写作
推进剂速燃用表面热分解速度的阿累尼乌斯定律表示为表面温度的函数，即
其他边界条件还有:在燃面上\(\bar{u}=0,\bar{T}={{T}_{s}},v={{\rho }_{s}}{{r}_{b}}/\bar{\rho }\) 在边界层外缘\(\bar{u}={{\bar{u}}_{e}},\bar{T}={{T}_{e}},{{\bar{Y}}_{F}}={{Y}_{O}}=0,\partial K/\partial r=\partial \varepsilon /\partial r=0\)。
守恒方程组中的K和 方程不适用于紧靠壁面的低雷诺数区域，所以选择无因次距离\({{y}^{+}}=15({{y}^{+}}=\bar{\rho }y{{u}_{\tau }}/\mu ,{{u}_{\tau }}=\sqrt{\tau \omega /\rho })\(代表摩擦速度的位置作为边界。在这边界上，K方程式中可以合理地假定生成项和耗散项是起支配作用的，所以可以令这两项相等得出
壁面附近的湍流黏性用修正的范德莱斯特(Vn-Driest)公式计算，即
式中，D是阻尼系数，在考虑表面粗糙度的情况下
其中
Rh是粗糙高度(通过理论计算与实验数据的比较，发现取Rh等于AP粒度的0.1较为合适)。从式(13-40)、式(13-53)中消去μt可得
式(13-58)和式(13-59)被用来计算y+=15处的K和值。壁面上K=\(\varepsilon \)=0。在0<y<15区域内的K和E的数值则由y+=0和y+=15两点上的数值通过线性插值来确定。至此，已把所有边界条件列出。湍流模型中的各种常数都是经验性的，各种文献资料上给出的数据略有不同，表13-1列出了本模型中采用的数值。
表13-1湍流模型中的常数
如果方程式(13-43)中组分i的生成率能够知道，那么上述守恒方程组连同边界条件就可以用数值方法求解。为此，需要建立气相化学反应的模型。复合推进剂燃烧时，燃料和氧化剂在表面转变成气态后可能要经过若干步反应才变成最后的燃烧产物。由于实际反应过程中有许多复杂而又尚未完全认识的因素，所以采取一步总包反应的假设来描述，即
其中O和F分别代表氧化剂和燃料气体;P代表产物气体;n代表摩尔数。由于在通常的火箭发动机工作压力下AP爆燃火焰离燃面的距离是很小的( 量级)，因而假定AP爆燃火焰压缩在推进剂表面上，把它们(NH3和HCO4)的反应产物作为氧化剂气体处理。
描述湍流边界层中的化学反应有各种可能采用的概念，如把各种波动参数引入阿累尼乌斯定律，引用概率密度函数等。从推进剂侵蚀燃烧问题的特点考虑，比较简单适用的方法是采用旋涡消散(Eddy- Break-p，EBU)模型。
湍流燃烧的EBU模型突出了湍流掺混对燃烧速度的控制作用，设想在高雷诺数的湍流火焰中尚未燃烧的气体和已经完全燃烧的气体(对于预混火焰)或燃料气体与氧化剂气体(对于扩散火焰)应当看作是一些旋涡气团。假设化学动力学过程非常快，反应是扩散过程控制的，在这两种气团的交界面上发生，认为反应速度取决于在湍流作用下达些旋涡气团由大块分散成小块并越分越小的消散速率。这个消散速率与流能量耗散率成正比。把这个概念用在复合推进剂的侵蚀燃烧问题上，并参考GDF模型的概念，可以设想从燃烧表面产生的燃料和氧化剂气团在强湍流剪切流动中分别被卷入旋涡，那么燃料的消耗率将与含燃料旋涡的耗散率成正比。
具体地说，可以认为燃料消耗率与表征波动能量的燃料浓度波动量的均方根值\((\sqrt{{{g}_{F}}}=\sqrt{{{{{Y}’}}_{{{F}^{2}}}}})\)及表征旋涡时间尺度的量(\(K/\varepsilon \))的倒数成比例，即
与K和\(\varepsilon \)一样，可以对波动量gF导出守恒方程如下:
式中，\({{c}_{g1}},{{c}_{g2}},{{c}_{g3}}\)都是常数
考虑到推进剂燃烧时的气相化学反应区离壁面很近，在近壁面处g方程中占支配地位的是生成项和耗散项(式中右端的最后两项)，式(13-62)可简化为
应用式(13-63)和式(13-40)于式(13-6)，于是燃料的生成率可写成:
式中，比例常数 的数值见表1，右端的负号表示燃料在反应中是消耗的。
氧化剂的生成率由式(13-60)可知
式中，Mo和MF是氧化剂燃料气体的平均分子量。
注意式(13-43)，它代表着对 写出的三个方程式。这三个方程式还可以进一步简化。定义一个新变量:
把 方程式乘以 减去 方程式，可以得到如下的 方程式:
显然，式(13-67)中消去了式(13-43)右端的源项，所以数值计算中可用\({{\bar{Y}}_{OF}}\)方程式代替\({{\bar{Y}}_{O}}\)方程式。至于\({{\bar{Y}}_{P}}\)的守恒方程式实际上也是用不着的。因为按照组分质量分数的定义应有\(\sum \bar{Y}i=1\)，所以
\({{\bar{Y}}_{P}}=1-{{\bar{Y}}_{O}}-{{\bar{Y}}_{F}}\) (13-68)
需要指出的是，由式(13-52)给出的燃速是推进剂表面温度的指数函数，因此对表面温度的变化是很敏感的。表面温度是由气相传给固相的热流决定的，所以它是联系燃速和气体动力学参数的桥梁，在数值计算的迭代过程中宜采用要求较高的收敛准则，如取0.05%侵蚀燃烧的气动热化学分析方法同样可以适用于双基推进剂，所不同的主要是具体的燃烧模型。在建立湍流反应边界层方程时若考虑变密度影响而采用质量加权时均法，所导出的诸平均量的守恒方程在形式上与采用常规时均法是一样的。
湍流反应边界层侵蚀燃烧模型最突出的优点是能通过湍流传热、传质、传动量和化学反应的综合气动热化学分析考虑燃烧与流动的相互作用，还能包括压力梯度和表面粗糙度等影响参数。它的计算结果不但可以得出燃速，而且还可以提供燃烧区内的气流速度、温度、湍流动能和反应率等各种参数的分布曲线，可以更好地揭示侵蚀燃烧的机理。不过这种模型的发展还很不成熟，它所依附的湍流边界层和湍流燃烧理论都是发展中的学科，许多方面均有待实验的检验和完善。此外，这种模型不能用分析方法解得燃速的代数表达式，求解的数值方法又比较复杂，计算工作量很大，会使它在工程计算上的直接应用受到一定限制。
13.6侵蚀燃烧的试验方法
近年来，对侵蚀燃烧的理论分析工作依然在不断开展，特别是在数值模拟方面做了很多的尝试，希望能够预示出侵蚀燃烧特性。但到目前为止，由于固体推进剂燃烧的复杂性，理论预示还不能给出满意的结果，固体推进剂侵蚀燃烧特性的确定还只能靠试验方法。曾经用过的方法很多，大体上可分为两大类。
第一类是试件法。将小尺寸的推进剂试件置于侵蚀气流作用下燃烧。测量其燃速与侵蚀气流的关系，便可以得到侵蚀函数随不同条件的变化。在这类方法中，侵蚀气流是在燃气发生器中由装药燃烧产生的。而测定燃速的试件则置于试验段中。试件的形状有片形、圆柱形、圆环形等等。测燃速的方法也可以各式各样。图13-7所示为装置采用中止燃烧法。
图13-7试件法中止燃烧法测侵蚀效应
燃气发生器和试件同时点燃，在燃烧一定时间以后用爆炸螺栓打开燃气发生器头部堵头，燃烧室内压强突然迅速下降，造成燃烧中止。这样，试件的燃速可以从燃烧前后试件尺寸的变化和燃烧时间来确定。侵蚀气流的参数(压强、流速)则由调整燃气发生器装药、喷管喉径和试验段通道的尺寸来改变。这个装置比较简便。由中止燃烧所得的参数值通常都是时均值。而且一次点火试验只能得到一组参数，需要很多次试验才能完成侵蚀燃烧特性的测定(见图13-8)。
试件法的优点是容易调节侵蚀气流的参数，易于取得任一特定条件下的数据，不仅用于确定侵蚀函数，还可用于专门研究。但试件法的侵蚀气流条件与实际发动机中的工作条件不同，所得的结果需要作些修正才能用于实际发动机。
第二类是发动机法。在小尺寸试验发动机中或全尺寸发动机中直接测定侵蚀条件下的燃速。这里，发动机的主装药既产生燃气，形成侵蚀气流，又作为试件，在其上测定在燃气流动作用下的燃速。图13-9所示是一种中止燃烧试验发动机。
如图13-10所示，利用圆柱形内孔燃烧装药中止燃烧后的尺寸变化来确定各个截面上的燃速。而各截面上燃气的质量流率则由该截面上游各点装药尺寸的变化来确定(即推进剂的消耗量)由质量流率可以进而确定该截面的密流等参数，从而得到燃速与气流参数的关系。
由于是采用中止燃烧法，所得参数都是时均值。但气流参数沿通道在变化，一次试验可以取得多组数据。除了中止燃烧法以外，同样可以采用连续测量燃速的方法，如X射线实时荧屏实验方法，或者超声波实验方法，就能取得更确切的瞬时参数值(AIAA20075782)。对尺寸较大的装药，可以在不同深度埋置各种细小的探测头，这些探测头通过燃烧表面进入燃烧时可以发出一定的信号，由此来确定燃烧的时间，从而确定不同时间上的燃速。发动机法比较复杂一些，特别是全尺寸发动机的试验费用较大。但可以设法在一次试验中取得较多的数据，而且工作条件同实际发动机比较切合，数据可以直接应用。
图13-10侵蚀效应测量实验装置
除这两类方法以外，还可以根据发动机的实际压强-时间曲线，去推算推进剂装药的侵蚀燃烧特性。为此，事先假设侵蚀函数的关系式，其中有若干待定的常数。调节这些常数值，计算发动机的压强-时间曲线，使之与实际曲线相吻合，就可以确定这些常数的值。这种方法把所有对实际曲线的影响完全归之于侵蚀函数可靠性不够高。但不需要专门的试验，比较方便，可以用于估算。
习 题
13.1固体火箭发动机在什么情况下发生侵蚀燃烧?侵蚀燃烧对发动机有什么影响?
13.2简述侵蚀燃烧机理。
13.3何谓侵蚀燃烧的界限效应?试分析其产生的原因。
13.4分析表象传热理论基本观点。
13.5分析气动热化学理论基本观点。
13.6列举侵蚀燃烧的试验方法。
