目 录

第1章 固体火箭发动机

1.1 应用领域

1.2 固体火箭推进剂

1.3 主要的结构部件

1.4 固体火箭发动机工作过程模型的建立

第2章 固体推进剂药柱的燃烧

2.1 固体推进剂的燃速

2.2 燃烧和流动过程的热力学计算

2.3 固体火箭发动机中压力随时间的变化

2.4 固体火箭发动机的调节

第3章 固体火箭发动机的气动过程

3.1 一维流动

3.1.1 准定常过程

3.1.2 气动函数

3.2 固体火箭发动机中的局部阻力

第4章 喷管的气体动力学特征

第5章 燃烧产物与固体火箭发动机通道材料的相互作用

 

第一章 固体火箭发动机

1.1  应用

固体推进剂的火箭发动机是由壳体、固体推进剂药柱、喷管和点火机构组成。矢量控制装置、推力终止装置同样是导弹发动机不可或缺的部件（见图1.1）。

图1.1 固体火箭发动机

1——点火装置；2——绝热层；3——“茧”式壳体；4——复合固体推进剂药柱；5——药柱肉厚燃面6——前连接裙7——后连接裙；8——喷管摆动控制作动装置；9——潜入式可摆动喷管；10——承力壳体；11——密封层；12——防迁移层；13——衬层；14——与气流接触层；15——防止人工脱粘层与绝热层粘接的分离层；16——人工脱粘层

很多类型的火箭发动机基本上都是固体推进剂类型的，仅在宇宙飞船运载火箭中，液体火箭发动机才得到优先使用。某些长时间飞行的导弹巡航级装备了空气喷气发动机。

下面简述一下固体火箭发动机应用范围和火箭的主要参数。

（1）无控火箭。齐射火箭弹系统（图1.2和表1.1列出了1941～1945年某些前苏联“喀秋莎”火箭的主要数据），反作用原理的深水炸弹、防空火箭弹、反坦克火箭弹，以及战术火箭和特制的火箭弹（例如水雷系列）都属于这一类。

图1.2 火箭弹

1——M-13火箭弹喷管；2——壳体；3——七药柱固体装药；4——点火装置；5——连接装置；6——发火管；7——发射装置；8——药柱挡板；9——M-14①涡轮火箭弹

（2）带气动控制的导弹（在主动段和被动段）∶反坦克导弹（表1.2），便携式火箭弹及对空可控火箭弹（表1.3），“地对空”、“空对空”、“空对地”导弹，反舰导弹和火箭型鱼雷。为了快速过渡到可控（巡航）飞行段，以免在倾斜发射的特定情况下火箭与地面或海面相撞，在发射时（为保证有高的推重比）常采用无控固体推进剂起飞助推器或双推力固体火箭发动机。

表1.1 无控火箭参数

表1.2 反坦克导弹参数

表1.3 对空导弹参数

（3）弹道导弹∶战术机动导弹和中程弹道导弹，洲际弹道导弹（表1.4）；潜射弹道导弹（表1.5）。

表1.4 弹道导弹参数

*译注∶指本书原文出版时的1989年在研型号，以下同。

表1.5 美国潜射固体弹道导弹参数

在美国，使用液体主发动机的战略火箭研制实际上早在20世纪60年代从大力神-2火箭退出现役（1963年装备部队）就已经终止了。

在美国，安瓿瓶式的小型液体火箭发动机主要用在固体战略导弹头部的动力装置中，用它对头部的控制力进行充分的调控。但对潜艇来说，导弹头部使用的固体发动机更多考虑的是其安全性而不是动力的大小，例如美国三叉戟-1导弹。

弹道导弹依据系统的工作要求，同样也采用了工作时间较短的不同类型固体推进剂火箭发动机∶制动发动机、整流罩脱开发动机、战斗部调姿发动机以及级间分离发动机。

（4）宇航技术。已有使用固体火箭发动机的运载火箭（美国侦察兵运载火箭，见表1.6）；也有与液体火箭发动机一起按不同方式组合在运载火箭中使用的固体火箭发动机，例如大力神C运载火箭第一级采用了两个七段式固体火箭发动机航天飞机升空时有两个四段式固体火箭助推器与液体火箭发动机一起使用用作上面级旋转稳定的有运载火箭“雷神-德尔它”和“雷神-德尔它”“改进型”，后者还采用了捆绑式固体火箭发动机。

表1.6 美国“侦察兵”运载火箭各级参数

固体火箭发动机还被用于航天器的轨道转移。各种制动发动机、降落发动机、火箭控制系统发动机、多种多样的分离系统发动机和辅助发动机（例如用于整流罩和弃用级的分离、应急救生、在液体火箭发动机起动之前为使液体推进剂下沉而产生一个不太大的正加速度等），都采用固体推进剂工作，通常这些固体火箭发动机工作时间都比较短。

由于运载火箭起飞质量要超过弹道导弹一个数量级，因此，对它们来说，必须有高的能量特性、推力可调，在发射前要直接在阵地上加注。因此在国外，液体火箭发动机在运载火箭上获得了广泛的应用。但在如上所述的许多情况下，使用固体火箭发动机显得更为合理，美国正在研制用于军事航天目的能长期处于临战状态的大型固体推进剂运载火箭。

（5）固体推进剂火箭发动机也用于其他科学和技术领域。

例如，在航空领域作为飞机的起飞助推器、伞兵空降和弹射系统；用于从船向岸上抛掷救生缆索作为气象和地球物理探测火箭动力装置以及防雹火箭。此外，它还被用在以固体推进剂为动力的涡轮钻机试验中。

从固体推进剂和液体推进剂火箭发动机比较中（表1.7）可以看出前者的优点。固体推进剂火箭组装的密度比液体推进剂火箭高1.5～2倍。航天飞机的固体推进剂火箭发动机和“土星5号”运载火箭的液体火箭发动机是质量和推力最大的发动机。

表1.7 固体和液体火箭发动机基本参数

注∶T——很难实现；+——表示适用；

*用于美国航天飞机液体火箭发动机推进剂为液氧和液氢。

固体推进剂火箭和火箭发动机的结构特点开创了分阶段对其进行改进的广阔可能性，这从齐射火箭弹系统和潜射弹道导弹的发展过程可以表现出来。

固体推进剂气体发生器的主要元部件与固体推进剂火箭发动机的主要元部件相似，它的组成有∶壳体、固体推进剂装药、点火器和带有气道的排气装置、蓄压器、（可能的话）还有流量调节器；在燃气发生器气路中常常安装冷凝装置和过滤器。

燃气发生器的燃气或者在超临界压降下（根据使用要求经过一个或几个喷嘴）或者在亚临界压降下喷出或者部分气体在超临界状态、部分气体在亚临界状态下喷出。较大的热量和气动损失，供气装置中气体的泄漏以及它们随时间的变化，较小的冲量和流量系数————所有这一切对燃气发生器的工作特性会有重要影响。固体推进剂燃气发生器的主要使用领域在以下几个方面∶

（a）随机（弹上）动力源或气源，其功率可达102kW;

（b）发射系统气体发生器（例如打开发射井盖、开启堑沟的顶盖和把火箭集装箱提升到垂直位置）。这类燃气发生器的功率可达10^4kW，为了保证火箭从发射竖井或发射装置上发射出去，在火箭下面的空间内需产生超高压力；

（c）台架式燃气发生器用于研究和试验新型推进剂、绝热材料和喷管组件。对于特定的燃气发生器，需要解决的技术问题取决于具体要求，例如，工作时间、流量（输出功率）、温度和燃气产物成分以及壳体承压范围。

1.2 固体火箭推进剂

在火箭发动机、燃气发生器、冲压和火箭冲压发动机及水力火箭发动机中都使用了固体火箭推进剂。固体推进剂可分为两大类∶双基类（均质的），即双基推进剂，例如H和HM-2（表1.8）；复合推进剂类（非均质的）。

表1.8 双基固体火箭推进剂的组分百分含量和弹道特性

复合固体推进剂中含有20%～30%橡胶状或树脂状粘合剂；60%～80%的氧化剂和最多可达20%的铝还有一类推进剂同时含有双基和复合推进剂组分。轻、重金属的氢化物也可以用作燃烧剂。通常利用高氯酸铵作为氧化剂，还可以使用富氧的氯酸盐和硝酸盐（表1.9）。

表1.9 固体氧化剂特性

橡胶（聚硫、聚氨酯橡胶等）、聚合物（聚酯、酚醛和环氧树脂、聚异丁烯等）、重油制品（柏油、沥青等，见表1.10）被用作可燃粘合剂。在复合固体推进剂中，有时添加奥克托金和黑索金。美国复合固体推进剂的某些成分（一定程度的假定）及其性能列于表1.11。

表1.10 固体燃烧剂特性在氧中燃烧时的化学计量比

普通的双基推进剂和复合推进剂不能满足燃气发生器对推进剂提出的要求。因此，需要研制能在低温下燃烧（见表1.11 最后一列数据）的专用燃气发生器组分推进剂，其燃烧上限应满足阀瓣材料、涡轮叶片和其他运动元部件的耐热性，而下限是保证推进剂能稳定燃烧。此外，燃气发生器有时候必须工作较长时间，因此，推进剂需要有较低的燃速。为了调节燃气发生器，建议推进剂的燃速随压力增加而降低（ν<0）。对燃气发生器的燃烧产物成分还要提出附加要求∶不垫在凝聚相，富氧系数通常不大于1。复合推进剂也应用在点火用的燃气发生器中（起动发动机）。

表1.11 复合固体火箭推进剂组分百分含量和内弹道特性

烟火剂可以归入复合固体推进剂一类。烟火组分用作点火装置和热能传感器的装药，也可以在燃气发生器中使用。

可供选择的烟火配方基本成分可以分为下列几类（表1.12）∶

表1.12 组分间按化学当量比计算烟火剂成分的发热量

（1）氧化剂∶高氯酸钾KClO4，硝酸钠NaNO3，硝酸钾KNO3，硝酸钡Ba（NO3）2，二氧化钡和铬酸钡BaO2，BaCrO4等。

（2）燃烧剂∶金属（铝、锰、锆、硼、钛）和合金（铝-镁合金，锆镍合金），非金属（磷、碳和硫），无机化合物（硫化物、磷化物、硅化物等）和有机化合物。

（3）粘合剂∶保证烟火剂力学强度的有机聚合物（艾杜醇、松脂、环氧树脂、橡胶、乙基纤维素）。

（4）其他添加剂，起加速或减缓燃烧、降低组分摩擦感度作用（钝化剂）的组分。

为了点燃高含量NH4ClO4的复合固体推进剂，使用烟火混合剂∶KClO4 26%～50%，Ba（NO3）2 15%～17%，锆-镍合金（50/50）32%～54%，乙基纤维素3%（美国专利）。

在点火装置中使用压制的片状烟火剂，其密度在很大程度上取决于压制的压力，其变化范围为1.3～2.8g/cm3。比热容为0.8～1.25kJ/（kg·K），热导率为62.8～104.7W/（m·K）。

在点火机构工作条件下，烟火药片剂受高温燃烧产物热流作用，其燃速为\({u}={map}^{n}\)，式中，m，a，n为经验系数。

含有大量金属燃烧剂（大于50%）和无机酸盐氧化剂的组分，同样称为烟火固体推进剂，它们可供火箭冲压发动机燃气发生器使用。

复合固体火箭推进剂装药可以制成块状、片状或粉状。铝、双十硼铝化物、硼和锆的二硼化物、聚乙烯等作为实验用粉状燃烧剂而高氯酸铵和硝酸铵等用作氧化剂。它们的颗粒度为2～2000 µm；流动性气体载体可采用惰性气体（氮）、氧化性气体（空气、氧）和可燃气体（氢和甲烷）。

可借助压缩空气、活塞、螺旋泵和喷射泵从贮箱向燃烧室提供准流体。为了研究多相流对材料的影响，在燃气发生器组合试验台上采用粉状燃烧剂，可以在大范围内调节压力、温度和燃烧产物成分。

枪用黑火药是粉状推进剂，其颗粒直径0.15～1.25 µm；粗粒发烟火药粒径5.1～10.2 µm；其成分百分比∶硝酸钾74；炭黑15.6；硫10.4；燃烧温度2600K；流量综合参数1200m/s。

枪用黑火药密度1.75g/cm³，堆积密度0.9～1.15g/cm³，稳定燃烧最低压力0.1MPa，温度敏感度∂lnu/∂T=0.005K‾¹。其燃速与压力的关系式为:

\({u}=1.37\left({\frac{p}{98100}}\right)^{0.4}\)

固体火箭推进剂可在下列因素作用下发生点火∶

1）热能量流（辐射、接触和对流加热）；

2）化学活性气体或液体与固体推进剂表面接触，引起不均匀放热反应;

3）机械冲击和摩擦。

现实的固体推进剂火箭发动机药柱实际点火过程是很复杂的。对它进行研究的几个主要难点是控制机理的确定、点火准则的选择，以及确定点燃前化学反应动力学特性，还有复合固体推进剂装药的非均质特性。在进行点火实验中，下列情况被认为是点火开始

1）在照相底片或光电器件上第一次自动记录了火焰现象；

2）热电偶示值有剧烈变化；

3）推进剂质量烧蚀出现。

固体推进剂使用性能由它的物理和力学特性（表1.13）、热物理性能（表1.14）、化学特性以及燃烧产物的物理化学性质来决定。

表1.13 固体火箭推进剂力学性能

除了能量、强度、热物理指标外，还应对固体火箭推进剂的下述指标进行表征∶防爆性、冲击感度和摩擦感度、毒性、燃烧产物的发烟、制造和装药的工艺性，在使用条件下整个药柱体积内的物理和化学性质的稳定性（特别是在燃烧界面上）。

1.3 主要的结构部件

n级火箭初始质量m0与其最大射程Lmax之间有下述近似关系式∶

\({{m}_{0}}=\frac{{{m}_{e}}}{{{\left[ \left( 1+\bar{\alpha } \right)\exp \left( -\frac{AL_{\max }^{a}}{n{{I}_{s0}}} \right)-\bar{\alpha } \right]}^{n}}}\)

式中\({{m}_{e}}\)需为有效载荷质量\(\bar{\alpha}= {ma}_{k}/{m}\)；\({{I}_{s0}}\)为平均真空比冲；A和a为系数，在初次近似时，

当300km≤Lmmx≤6000km时

A=407,a=3;

当6000km≤Lmax≤12000km时

A=825,a=1/4

同时，当射程范围Lmax≤500km时，通常n=1；射程范围500km≤Lmax≤5000km时，n=2；射程范围5000km≤Lmax≤12000km时，n=3。

每一级的推进剂最佳相对装药量\({{\mu}_{i}}={{m}_{i}}/{{m}_{i0}}\)（i=1，2，··，n）近似相等，且等于

\({{\mu }_{i}}={{\mu }^{0}}=1-\exp \left( -\frac{A{{L}_{{{\max }^{a}}}}}{n{{I}_{s0}}} \right)\)

考虑到克服重力和通过稠密大气层而产生的速度损失，在初次近似时得到以下关系式（n=2；3）∶

\({{\mu }_{i}}=0.9{{\mu }^{0}}\)

\( {{\mu }_{2}}=1-\frac{{{\left( 1-{{\mu }^{0}} \right)}^{n}}}{\left( 1-{{\mu }_{1}} \right)\left( 1-{{\mu }_{3}} \right)} \)

\( {{\mu }_{3}}=\left( 1.08\sim1.12 \right){{\mu }^{0}} \)

火箭各级工作时间\({{t}_{3}}\)与给定的初始推重比\({{n}_{0}}=\frac{P}{{{m}_{0}}g}\)的关系式为

\({{t}_{3}}=\frac{{{I}_{y}}{\mu}}{{{n}_{0}}}\)

（当\({\dot {m}}\)≈常数）

按已知μ，\({{n}_{0}}\)和\({{m}_{0}}\)来计算每一级基本设计参数，对于多级火箭，通常计算每一级的直径、推进剂质量、发动机压力、喷管扩张比、喷管超声速段长度、潜入部分长度、工作时间，见表1.15。

表1.15 多级火箭各级参数参 数

*D————发动机直径。

固体推进剂火箭总质量的80%～90%为发动机质量，固体推进剂火箭发动机结构特点在多数情况下决定了火箭结构方案和它的主要技术性能。固体推进剂火箭发动机结构特点主要取决于（表1.16）

表1.16 不同方案固体推进剂火箭发动机特征

壳体外形和结构总体布局图；

固体装药形式及其在壳体中的固定方法；

喷管的数目和布局;

控制力产生装置的类型和布局；

推力终止机构。

1.3.1 壳体和喷管

壳体是空心整体（见图1.1），是带有前后封头和一段（多段）组合薄壁圆柱壳。壳体也可以有其他形状，例如球形和椭球形。封头可以和圆筒段制成整体，也可以是分开的。壳体的内侧结构取决于固体推进剂药柱的结构形状。“茧式”承力壳体用复合材料在芯模上采用螺旋缠绕的方法制成，其封头与壳体圆柱形筒段一体成型。

封头与筒段连接处的壳体厚度由下列公式确定∶

\({{\delta }_{cr}}=\frac{{{p}_{k}}D}{{{\sigma }_{b}}\left[ 1-{{\left( {{{d}_{0}}}/{D} \right)}^{2}} \right]}\)

式中\( {{p}_{k}}\)为发动机最大内压，D为圆筒段内径，\({{d}_{0}}\)为极孔直径。\({{\sigma }_{b}}\)为玻璃纤维纱带极限拉伸强度。

在\(\frac{{\delta}_{k}}{{\delta}_{c}}=2\sim 3{{\left( {{{d}_{0}}}/{D} \right)}^{2}}\)时，可获得等强度圆筒壳。上式中，δk为环向层厚度δc为螺旋层厚度。

在指定位置封头的厚度

\({\delta}_{i}=\frac{D}{2}{\delta}_{c}\cos{{\phi}_{a}}\sqrt{{d}_{i}^{2}-{d}_{0}^{2}}\)

式中\({\phi}_{a}\)为缠绕角。

连接裙与壳体整体缠绕而成，在其内埋入了法兰。连接裙是火箭结构的一部分，它应当能承受组合载荷，包括沿轴向的压缩和弯曲、剪切和扭矩载荷。

承力壳体的圆筒段可以在芯轴上用纵向和横向缠绕制成。壳体壁厚δ由下列公式确定：

\(\delta={p}_{k}D/(2[{\sigma}])\)

式中\([\sigma]={\sigma}_{b}/n\)为玻璃纤维增强复合材料极限强度（1.0～1.1 GPa）；n为强度安全系数（1.35～1.5）。当一层纵向带缠绕在两层环向带上时，这个公式是正确的。

无封头的承力壳体制造时，两个端部需加厚以便下道工序进行机械加工和与金属封头连接。

金属壳体按形状可分为圆筒形、锥形和球形；按制造工艺可分为焊接结构（带有环形、螺旋形和纵向焊缝）和无缝结构（扩管和整体拉制成型）。

组合壳体是用玻璃纤维或其他高强度增强纤维在金属壳体外面制成增强的缠绕层。在壳体承压前，在缠绕层制造过程中就要给增强纤维施加一定的张力。如果缠绕层承载了作用在圆柱形壳体上的一半预应力，那么金属壳体的厚度 δ和缠绕层厚度 \({\delta}_{\alpha}\)的比值就是最佳的。在这种情况下，金属壳体的厚度由保证轴向强度的条件\(\delta={p}_{k}D/(4[{\sigma}])\)来确定。环向强度的不足由厚度为 \({\delta}_{\alpha}={p}_{k}D/(4[{\sigma}_{\alpha}])\)的缠绕层来计算。在这些公式中[σ]和\({\sigma}_{\alpha}\)分别是金属壳和增强缠绕层相应的许用拉伸应力。

结构元部件靠专用件来连接，对它们的基本要求是外形尺寸适合每一个具体情况，保证连接强度和密封性，且质量最小，还要考虑连接件的材料和载荷形式。

在同类型可拆连接接头处，可以大量使用有变形量的环形密封条。橡胶环是最基本的密封件。橡胶环和其下的沟槽尺寸在全苏和相应的专业规范中给出了推荐值（见 TOCT 9833-73）。

固体火箭发动机喷管组件可以包含不同数量的喷管：一个（与发动机同轴或相对于发动机轴旋转90°）、2个（可摆动）或4个，甚至是10~20个与安装喷管的顶盖倾斜的喷管。例如，涡轮火箭弹上的喷管（见图1.2）。

喷管可以是圆形的或环形的（后者暂时尚未在固体推进剂火箭发动机中应用）。

带有一个中心喷管的固体火箭发动机方案具有最佳能量质量特征。为了缩短发动机的长度，喷管可以潜入到壳体中（见图1.1）。固体火箭发动机位于火箭质心附近时，火箭发动机喷管人口处可做成加长的尾管。喷管在工作状态下通过改变几何形状使外形尺寸超出原有尺寸，称为可延伸喷管，见图1.3。

图1.3 摆动可延伸喷管

1——作动装置接头；2——作动装置；3——可伸缩部分

多喷管方案容许沿两个方向或横滚方式对火箭进行控制。但在这种情况下，燃气不能流畅地进入喷管，并且增加了喷管人口和出口锥段绝热层的烧蚀。

还研究过两种固体火箭发动机的结构方案：一种是带环形喷管，该喷管的中心体可动可调节推力；另一种是带碟形体的喷管（只能用无金属推进剂），它的扩张段外壁形成了发动机的后封头（这种具有最小阻塞截面的喷管外壁也可作为下面一级的前封头）。

固体火箭发动机推力终止装置喷管特性见于1.3.5节。固体火箭发动机热防护材料是人造的各向同性或各向异性的复合材料，它能保证承力结构绝热和表层按预定速度烧蚀。

从某种意义说，热防护材料可以分为喷管耐烧蚀内衬、耐烧蚀出口锥和隔热层，见图1.4。耐烧蚀内衬保证通道第一层热防护材料的稳定而免于受两相工质作用遭到破坏，并能保证材料按预

图1.4 热防护层结构及材料

隔热层具有低的热导率，但即使在工质对流不大的情况下也会发生明显的烧蚀。

喷管末端耐烧蚀出口锥同时起热防护和支承结构的作用。与气流的作用大小有关，相同的材料既能用作耐烧蚀内衬，也能用作绝热材料。例如，带有中央潜入式喷管的现代固体推进剂火箭发动机药柱几何形状可以免除在壳体元部件上产生高速绕流，这样，热防护材料就主要受到辐射加热作用。此时，壳体的热防护材料采用的是不含增强剂的橡胶基轻质、弹性、低热导率材料。对四喷管固体推进剂火箭发动机结构，由石棉或二氧化硅布增强，以酚醛树脂为基体的复合材料作为易受来自药柱通道高速多相流作用的安装喷管的顶盖防热材料，它具有足够高的耐烧蚀性和很高的密度（最大1800kg/m³）。

在多层结构中，为了使给定的元部件总质量最小，把绝热层置于耐烧蚀层和被防护元部件之间，见图1.5。根据应力应变状态和元件的温度、绝热层可以是橡胶基或低导热性的碳和玻璃纤维复合材料作的热防护材料。在结构加热时，发动机壳体的密封和防扩散层同时也是绝热层。

图1.5 喷管喉部多层结构

1——碳基耐烧蚀内衬；2——作为绝热材料的玻璃纤维塑料；3——由热防护材料制成的绝热层

非金属内衬材料由各向同性和各向异性复合材料制成，它由粘接剂（基体）和增强剂组成。碳和玻璃纤维复合材料含有有机粘接剂和由碳纤维或二氧化硅布制成增强材料。喷管通道热防护材料用压制和缠绕方法制成。用压制方法能够获得层状的（各向异性）和不定向的（各向同性）复合材料。

通道大尺寸部件（喷管出口锥）制造过程是先将经粘接剂浸渍过的增强纤维带缠绕在芯模上，然后加压固化，并经机械加工而成。

石墨是用煤沥青（粘接剂）和石油沥青（增强材料）的混合物压制后在大于2400K的高温下经石墨化处理而成。

热解石墨是甲烷在2273～2673K温度范围内裂解生成的碳沉积到石墨表面而形成的。热解石墨的性质很接近单晶体，它具有典型的各向异性和很高的热导率、强度以及其他特性。

碳-碳复合材料是用碳和石墨织物或纤维作为增强材料（包括立体织物），而以热解碳作为基体材料。多种预制件是用有机树脂浸渍过的碳石墨增强材料制成的；将预制件在惰性介质中在1273～1373K温度下炭化，然后在1273～1473K温度下用有机物薄层热解碳沉积物进行增密。

其他的制件用浸渍粘接剂的碳石墨带或纤维在芯模上缠绕或铺层，而后用热解碳增密制得。

喷管耐烧蚀出口锥–靠辐射冷却的喷管出口锥部分是用钼或铌基合金制成的，它们的熔点高，在均衡温度下，有足够的强度，它们同样也可用碳-碳复合材料来制造。

结构元部件完好无损被视为是工作正常的条件。在一系列彼此独立条件下，这个极其复杂的课题被分为两种简单的情况来处理，即：

确定承力元部件的温度场；

确定在受载情况下部件内的应力和应变，并将其值与已知温度场中许用值进行比较。

固体火箭发动机喉衬、推力矢量控制装置的元部件，由于要承受工质的作用，它们的烧蚀速度允许值是受到严格限制的。在某些情况下，把这个限制条件叠加到材料烧蚀层厚度允许偏差值上。

1.3.2 固体推进剂药柱

在火箭技术中，采用了不同形式的固体推进剂药柱（见图1.6 及表1.17）：主要沿内表面燃烧的形式（不允许在燃烧的表面使用限燃层或用把药柱固定在壳体上的防护加固层覆盖）；几乎沿所有侧表面燃烧的形式，例如，无包覆的管状药柱（见图1.7）；端面燃烧。

表1.17 不同形式药柱特性

图1.6 固体推进剂药柱形状

a——多药柱式；b——套管式；c——星形；d——带轮辐形孔道；e——端面形；f一圆柱形；g一开（翼）槽式

对包覆层的基本要求如下：

化学和物理性能与固体火箭推进剂相容，并在操作使用条件下稳定；对药柱表面有良好的附着力；耐烧蚀性能优良；低导热性；低发烟性（在使用双基推进剂时）。在多药柱装药时（见图1.6a），为保证最大装填密度，药柱的数目n=1＋3（i＋i²），式中i=1，2，3，…，横截面装填系数用药柱数和关系式

\(m={{\frac{\left( \frac{\pi L}{{{A}_{g}}} \right)}{\left( \frac{\pi L}{A} \right)}}_{\text{c}}}\)，求得（见表1.19）：

\(\varepsilon =n{{[\bar{D}_{o}^{2}-\left( \frac{1-n{{{\bar{D}}}^{2}}}{mn\bar{D}} \right)]}^{2}}\)

式中\(\bar{D}\)为药柱直径和壳体的最大比值。

表1.19 多药柱装药参数

弹道导弹末级的药柱结构应能保证在给定的射程范围内，在任意飞行时刻发动机终止工作的可能性。在达到与最小射程对应的速度时刻，推力终止系统开孔和固体推进剂火箭发动机空容积应能够接通。为此目的，在药柱内预先设定了专用通道。

根据对固体火箭发动机操作使用要求，固体推进剂药柱的固定方法是按药柱形状和力学性能选择的。

贴壁浇铸式药柱的优越性在于大部分内表面没有绝热层，这有助于提高装填密度。在固体推进剂火箭发动机工作初期，由于药柱内压作用，壳体壁部分地被保护。在发动机内部，没有专用的药柱固定件。

在将药柱自由装入壳体时，为了使其固定，在壳体内放置挡板（见图1.8）。该装置位于发动机壳体绝热层和药柱包覆层的间隙中（见图1.9），它起到支撑和环向密封的作用。在纵向和横向过载及振动作用于药柱时，固定系统应能保证药柱牢固可靠地定位。固定结构不应导致高的局部应力。这种局部应力可能破坏药柱的完整性，使其局部受损，压力曲线畸变，并使药柱燃烧不完全。

图1.8 挡药板

a——用于固定多药柱装药；b——用于固定单药柱装药

图1.9 自由装填药柱和壳体内的固定件

A——前固定件；B——后固定件

挡板供壳体内的推进剂药柱可靠定位，同时作为“炉篦”保证药粒在燃烧室内很好地烧尽而不从发动机内被抛出去。

固体推进剂药柱的径向支承可以用一组薄壁支撑件或薄板组成。它们在药柱和壳体壁面之间沿周向布置；弹性支承件安放在壳壁和药柱间，沿周长支撑药柱。径向支撑件同样能够做成弹性板条，插入带有预应力的缝隙中。

1.3.3 产生控制力的机构

在固体推进剂火箭和火箭发动机中广泛利用下列装置和方法产生控制力：

图1.10 偏流环绕流示意图

1——气流偏斜点；2——斜激波；3——激波；4——有势流边界

1. 摆动喷管系统，与该系统相关的有：一个或四个摆动喷管（在燃烧室和喷管之间有密封接头，见图1.1），微调（控制）发动机组件。
2. 喷管出口锥套管，即喷管伸出的偏流环、环形舵、导流板（见图1.10）、外伸式襟翼。
3. 改变推力方向的喷射机构，向喷管超临界段注入液体或喷入气体（见图1.11）。
4. 燃气舵（四个或三个）。
5. 固定舵喷管（例如用于滚动控制）。

图1.11 喷管主流体和注入射流气体的相互作用

（a）和压力扰动分布（b）示意图

1——分离区域前边界；2——扩散线；3——喷射孔；4——注人射流触及壁面时压力提高引起的气流分离线

这些机构的基本任务是沿火箭的三个轴产生校正俯仰、偏航和滚动的控制力矩。控制机构的负载沿着飞行轨迹是不相等的，例如在飞越大气层和级间分离时段，对控制机构提出了很高的要求。

产生侧向力\({P}_{y}\)伴有轴向推力的变化ΔP，还要为控制舵的传动机构而消耗能量。

侧向控制力、轴向推力和传动机构负载的变化都取决于喷管和套管的位置，以及二次喷射的物质流量。

按照火箭弹道分析结果可以对不同控制机构的效率进行比较，表1.20列出了用于大型运载火箭可以产生相同控制力的几种控制机构相应的数据。

燃气舵的特性（\({c}_{y}^{\alpha},{c}_{x}\)及铰链力矩）以及其他控制机构的特性要靠试验台模拟和点火试验来进一步完善，包括研究具体的布局及材料与推进剂燃烧产物的相互作用。

表1.20 产生控制力的机构

*燃气舵的升力系数（控制力）\({c}_{y}^{\alpha}=\frac{2.8}{\sqrt{{M}_{a}^{2}-1}}\)和阻力系数\({c}_{x}\)取决于攻角、型面（并考虑到前沿倒钝角）、翼展和燃气流参数；Af为燃气舵面积。

* *用辅助装置产生侧向控制力。

***有8个襟翼；为了进行倾斜控制，工作面倾斜1~2°角。

向喷管临界段喷入（注入）气体（液体）而产生的侧向力由射流的反作用力和作用在射流与喷管主流相互影响区喷管壁面压力的合力叠加而成。

喷入的气源可以来自自备的气体发生器或与固体推进剂火箭发动机喷管前部空间相通的燃气发生器（见图1.12）。在这种情况下，燃气发生器燃料的选择不应使注射系统阀门有过大的热负载，并且燃气产物中几乎没有凝聚相，凝聚相的存在会导致阀门开闭的铰链力矩增加。喷射供给系统的气源同样可以来自固体推进剂火箭发动机喷管前部空间。

图1.12 带有向喷管吹入气体系统的固体推进剂火箭发动机示意图

（a）和向喷管喷射流体的系统示意图（b）1——在喷管前空间和燃烧室之间隔板上的孔；2——低温推进剂装药；3—燃气流量调节器；4——火药蓄压器；5—压调器；6——氟里昂容器；7—用于喷射氟里昂的集液器

用作向喷管临界段喷射的液体有氟里昂-12（侏儒导弹第三级，见图1.12（b））和四氧化二氮，后者用于与一台液体主发动机同时工作的大力神3C火箭第一级两台固体助推器上。在每个象

限总共有6个喷嘴，它们在喷管（d1=0.96m，d2=2.7m）内布置在截面dt=1.8m处；在飞行中连续测定N₂O₄的剩余量。如果把剩余的N₂O₄同时从所有24个喷嘴喷出，则不产生侧向力，而增加一个不大的轴向推力；喷射的N₂O₄的比冲1100m/s，Ky=0.95。

摆动喷管（见图1.1）能保证气流偏转角达10°，它借助于液压或柔性密封装置和壳体连接。在这种情况下，必须保证有可允许的铰链力矩。在一般形式下，铰链力矩由下列公式确定：

\(M={{M}_{1}}\left( \delta  \right)+{{M}_{2}}\left( {\dot{\delta }} \right)+{{M}_{3}}\left( {\ddot{\delta }} \right)+{{M}_{4}}\)

式中 \({{M}_{1}}\left( \delta  \right)\)为与控制机构转角 δ成比例的位置铰链力矩；它与气动力压心和转轴的不重合度有关（用柔性连接的弹性阻力来确定，例如，喷管摆动部分相对于固定体的柔性密封）；\({{M}_{2}}\left( {\dot{\delta }} \right)\) 为一组力矩，与控制机构的运动角速度有关，其中包括外阻尼（摆动的外部介质阻尼）；\({{M}_{3}}\left( {\ddot{\delta }} \right)\)为由于控制机构运动角加速度而产生的惯性力矩；\({{M}_{4}}\)为在铰链和连接机构中产生的总摩擦力矩。

摆动喷管（以及摆动部件）要求有大功率的传动装置。这种控制机构的主要优点之一是有高的性能系数：

\(K=\frac{{{P}_{y}}}{\Delta {{P}_{x}}}=\frac{{{P}_{x}}\sin \alpha }{{{P}_{x}}\left( 1-\cos \alpha  \right)}=\tan \left( 90-\frac{\alpha }{2} \right)\)

式中 α为喷管摆角，对于α不大的变化范围（6～8°）控制力与喷管转角的关系式实际上是线性的。

在带有摆动段的喷管中，连接部件所处的压力和温度范围要比摆动喷管低。密封装置的连接靠弹性膜片来实现。

环形舵实际上不产生铰链力矩，这是因为作用力通过转轴转动。为了提高环形舵的稳定特性，它的末端被做成带宽为h≈（0.02～0.04D_a的筒状。

引入带状筒段使控制力和转角的公式近似地成线性关系。在中间位置，无推力损失。环形舵产生侧向力是由于置于气流中的环形舵和毗邻的喷管内表面压力提高的结果（见图1.10）。

对于环形舵而言，气动位置力矩M_mm（δ）和摩擦力矩M_TP是铰链力矩的主要分量。

气动位置力矩M_nca（δ）=c₃q_aD_a³式中，c₃为经验系数，取决于舵的转角和筒带宽度。

摩擦力矩M_fp=fP_pr。式中，f为轴承的摩擦系数；P_p为轴承的支反力；r为轴承半径。燃气舵的铰链力矩

\({M}_{m}={M}_{m}^{\delta} \frac {{\rho}_{a} {{\rho}_{a}^{2}}}{2}{F}_{rp}{b}_{A}{{\delta}_{rp}}\)

 式中 b_A为燃气舵平均气动翼弦；\({M}_{m}={c}_{y}^{\delta} {\frac {h}{{b}_{A}}}\)；h为压心到转轴的距离。

1.3.4 点火装置

点火系统（见图1.13）包括：发火器；燃气流形成和定向的机构；保证将固体推进剂药柱点燃的点火机构。

图1.13 固体火箭发动机点火装置

1——发火器；2——导向装置；3——烟火剂药片；4——点火装置密封层；5——点火装置的壳体；6——引火药

电爆管或烟火药盒作为点火系统的初级热能源已获得了最广泛的应用，它们都有发热的桥丝置于引爆药内。引爆药是烟火药或专用的烟火信号药（例如，粒状无烟火药50%，铅盐25%，高氯酸钾25%）。引爆药燃烧过程中，传爆管内的压力达5～15MPa，以桥丝电接通瞬间算起到其炽热，总工作时间为10¯²~1.5×10¯²s。

引爆药爆燃所产生的燃气沿导向装置到达点火器。导向装置基本上是不同结构的空心管子，内径5～10mm，长度50～200 mm。

点火装置由壳体、发火器、主点火药和固定件组成。大型的固体推进剂火箭发动机采用起动发动机作为点火装置。

点火装置的壳体结构应当满足下列基本要求：

（a）壳体应当足够牢固，不会因爆燃所产生的内压使其破坏。

在点火器工作结束前，它应维持其结构，而在固体推进剂药柱燃烧时间内也被烧掉。固体火箭发动机中需要多次使用的点火器则不烧掉。

（b）壳体应使其内装的烟火药在点火器贮存运输和使用过程中保持密封。

（c）壳体结构应能保证在使用点火装置时减缓作用在点火药上的碰撞载荷。

在点火药燃烧时，点火装置内的压力增到1～3MPa。在密封层被破坏后气流经过壳体上的许多孔眼进到固体推进剂火箭发动机燃烧室的自由空间。

气流（λ=1）流经的孔眼总面积取决于最大压力和壳体的许用强度。

在小型的固体推进剂火箭发动机中使用盒式点火器的密封点火机构。盒式点火器由不大的金属或塑料壳体以及装在壳体内的电爆管和引火药组成。粒状烟火药和烟火剂作为引火药。

为了点燃大型发动机的药柱，使用由速燃固体推进剂制成的点火药（图1.14）。喷管式喷头形成燃气流并导向进入固体推进剂火箭发动机药柱内。考虑到点火剂的燃烧时间短（0.1～0.3 s），发动机药柱被做成展开的燃面。

图1.14 多孔道固体装药点火装置

1——壳体；2——孔道；3——快燃速高能固体推进剂装药；4——小孔；5——发火管；6——法兰；7——橡胶带

带有烟火剂药片的点火机构质量（见图1.13），在初次近似计算中，它应与固体装药的平均燃面成正比（

S≈m/p_Te～W^2/3）：m_ig≈2.2W^2/3，式中，m_ig单位为kg，W单位为m³。

点火用燃气发生器的流量（见图1.14）正比于稳定工况的固体推进剂火箭发动机的秒流量：\({\dot m}_{ig}{\approx}0.084{\dot m}\)。

1.3.5 推力终止装置

为了保证固体弹道导弹给定的射程和飞行精度，在末级实施推力终止。

推力终止（关机、反推或零推力）可以用不同的方式实现：（1）打开在头部（图1.15）或侧面的附加喷管；（2）分离部分发动机；（3）用下列方式熄灭药柱：

a）将附加喷管打开；

b）向火箭燃烧室喷入冷却剂；

c）打开附加喷管后喷入冷却剂。

图1.15 推力终止装置

1——出口锥；2——爆炸索；3——推力终止装置顶盖；4——隔热层  5——发动机壳体；6——电爆管

（4）利用可动的机械反向装置；

（5）通过起动与主发动机相通的制动发动机来把工作着的主发动机装置分离，制动发动机用反向或侧向的瞬间巨大冲击力使主工作发动机脱开。

同样也可以采用上述列举方法中任何组合来终止推力。对于弹道式火箭推力终止系统的基本要求是要保证：

• 火箭末级有一定的制动冲量；
• 最小的末速度偏差；
• 射程在一定的范围内变化的可能性；
• 从推力终止喷管流出的燃气不应对被分离的弹头部分产生扰动。

上述的第一个要求靠选择推力终止喷管的横截面积及其与火箭轴线倾斜角度来实现。为了使弹头可靠地分离，推力终止喷管的反向推力总和要大于当时的主喷管推力约10%。

用推力终止机构来保证末速度的最小偏差，这种机构可预先设定用爆炸方法快速打开（爆炸螺栓或传爆药），也可用两级固体推进剂火箭发动机推力终止方法。该系统是基于按一定的时间间隔连续地打开反向喷管。

为了减小推力终止喷管喷出的燃气产物对被分离弹头部分的干扰影响，推力终止喷管布置在前封头上，并与箭轴成一定角度。在一范围内，射程变化的可能性由药柱结构来保证。也可以把推力终止装置安放在固体推进剂火箭发动机的侧面。

在图1.16给出的方案中，固体推进剂火箭发动机的推力终止是建立在喷管沿锥形螺栓位移的基础上，这些螺栓从喷管法兰向外面凸出，在尾端比较宽。在巡航工作状态，喷管部分紧密装在锥形螺栓上，部分地固定在爆炸螺栓上。在爆炸螺栓接到零推力指令引爆后，喷管沿锥形螺栓移动一定的距离。喷管通过法兰上的孔拔出后停下来，在壳体的喷管部分形成大的窗口，它的面积超过喷管临界截面的几倍。喷管移动的时间数量级在（1～2）×10~2 s，移动的距离约为20cm。通过这个大的窗口流出的部分气流在偏斜的喷管法兰处减速，然后本身产生一定的反向力。在发动机排空后药柱熄火。

图1.16 喷管实现推力终止的装置沿锥形螺栓移动

1——壳体喷管段；2——锥形螺栓；3——爆炸螺栓（图中只显示一个）；4——喷管法兰

这种把喷管拔出来的方法对末段给出的制动力是恒定的，并且几乎不会引起推力终止过程轴向过载的增加。

1.4 固体火箭发动机工作过程模型的建立

固体火箭发动机各主要元部件彼此直接接触并相互连接固定，它们经受高压下的固体推进剂燃烧产物高温气流的作用。固体火箭发动机工作过程的数学模型可以完成以下工作任务：

1）固体推进剂燃烧产物参数的热力学计算；

2）药柱燃面的计算；

3）固体推进剂燃速的确定；

4）在燃烧表面凝聚相粒子组成及其粒度的确定；

5）在发动机气流通道的不同段中理想气体及燃气与凝聚相粒子的混合物稳态流动，包括在固体推进剂药柱内孔、喷管前的空间、喷管的亚声速、跨声速及超声速段，还包括了控制力生成装置；对粒子沉降的参数进行评估；

6）固体火箭发动机在进入工作状态及推力终止过程中非定常流动的计算；

7）黏性流及发动机中热质传递的计算，元部件分离绕流状况及参数的确定；

8）由于工作介质燃气的作用以及凝聚相粒子流的碰撞引起的通道材料的烧蚀计算；

9）固体火箭发动机元部件应力-应变状态的计算。数学模型运算的实现可采用包含有固体火箭发动机自动化设计子系统的计算机系统来实现。

在固体火箭发动机设计的最初级阶段，需要完成大量的高精度的发动机工作过程的直接模拟计算；为此，专家们主要应做的是计算研究。

进行喷管单相及两相流的程序计算循环，计算比冲值和由于摩擦、扩散和化学非平衡造成的比冲损失。内容包括：为完成所需计算参数值的计算模型；特种物质性能数据库，以及一系列服务程序。

含有金属的推进剂燃烧产物的比冲、组成及传导性能的计算，可以用工作应用软件包实现【25】。这个工作应用软件包也包括计算与成套模型的选择及各种物质性能的数据库。

1）将空间按其特征进行分区，在25种特征容积中可以同时应用最多五种；空容积的轮廓用几何形状复制的专门语言来给出；

2）用某些方程组求解具有不同特征的空容积，例如用 n＋8 个方程组成方程组，其中n表示含有几种相同粒度粒子的理想气体的混合物；

3）采用相接的两个特征容积间隙分开的计算方法，两个特征体积都具有共同的边界。特征容积中每个容积参数的总合中，在每一步长的范围内，积分都被视为是独立的。

固体火箭发动机中燃气热力学及热质传递过程的模拟包含着复杂的计算，它要求计算机上具有通道几何形状、元部件厚度的演示装置，用专用程序自动地生成差分网格及有限元网格。

其他模块精度差一点，但可以快速运算，例如，不同的回归关系，它们可用于计算高级阶段设计工作过程参数以及形成对初级阶段子系统技术任务的要求。高级阶段的设计过程是设计师与专家通过计算机进行联系互动，设计过程的实现要求使用一系列计算机辅助装置能与计算机进行数字与图形对话。

数学模式快速计算，通常在固体火箭发动机（设计）综合阶段进行，这个阶段存在某些在结构上新方案的工作可行性方面、材料性能方面、多相流状况及其对壁材料作用方面的不确定因素。为了从物理特征矢量和约束矢量中确定大量设计参数最佳值，有必要对被设计火箭分级建立分层次模型。按图1.17选定的方案，固体火箭发动机设计参数矢量包括10多个分量，即

\(X={{\left( D,{{d}_{k}},{{d}_{*}},{{d}_{k1}},{{D}_{\pi }},{{l}_{3}},{{l}_{*}},{{l}_{i}},{{L}_{c}},{{L}_{\sigma }},{{{\bar{y}}}_{0}}\left( {\bar{x}} \right),{{\delta }_{ij}},{{M}_{ij}},m,n,… \right)}^{T}}\)

式中 \({\delta}_{ij}，{M}_{ij}\)为通道的第i段第j层材料的厚度及牌号，m，n为段数与层数。

图1.17 固体发动机几何设计参数

上文提出的”分层次”意思是火箭的一些元部件隶属于（受制于）其他一些元部件，各系统按水平排次序，并且可以含金属的复合固体推进剂燃烧形成多相流的过程，以及形成在分析过程中分开进行平行计算，按不同的层次求解。火箭是一个高层次的系统，而发动机则是该系统的部件；对于发动机本身，相对于壳体、药柱、喷管等来说发动机又可以称为系统；壳体、药柱、喷管对于它们各自的结构件来说也算是系统。每个层次的系统中，其入口是技术任务，出口给出的是设计参数矢量的分量值；程序员是设计师、技术工艺师，以及在气体动力学、热工及强度方面的专家（与计算机一道工作）。设计工作通常按照逐次逼近的方法进行，在这种情况，很有必要认真研究固体火箭发动机结构元部件直接的相互依赖性，多相工作介质参数及在某部件流动状态，以及这部分气流对通道每个部位作用机理信息的不精确性；在特定具体条件下结构和热防护材料特性的不确定性。在使用新固体推进剂的情况下，由于其特性对固体火箭发动机的能量质量完善性产生多方面的影响，因而会出现一些特殊的问题（见图1.18）。

图1.18固体推进剂特征值对发动机元部件的影响

含金属的复合固体推进剂燃烧形成多相流的过程，以及形成后在药柱内孔、喷管前空间、停滞区、喷管段中的流动，几乎都不能作出物理模型。固体火箭发动机工作过程的复杂性与难于考虑的因素的存在迫使我们不得不进行整机的和试车台的点火试验。

第2章 固体推进剂药柱的燃烧

2.1 固体推进剂的燃速

固体推进剂的燃烧线速度即燃面向药柱深处移动的速度取决于药柱的成分和制造工艺、药柱的温度

T₀、燃烧室压力p、燃气沿燃面的流动速度v、药柱的拉伸形变ε_τ,指向燃面方向的加速度a=ng,以及其他因素：

r =a₀(T₃)f(p)f₁(v)f₂(ε_τ)f₃(a)

进入这个关系式的函数假定是互相独立的，并由实验方法来确定。

(1)选择下列公式之一表示燃速与温度之间的关系式

a)  \(\frac{{a}_{0}\left( {T}_{3}\right)}{{a}_{0}\left( {T}_{0}\right)}=1+D\left( {T}_{3}-{T}_{0}\right)\);

b) \(\frac{{a}_{0}\left( {T}_{3}\right)}{{a}_{0}\left( {T}_{0}\right)}=\frac{B}{B-1\left( {T}_{3}-{T}_{0}\right)}\);

c) \(\frac{{a}_{0}\left( {T}_{3}\right)}{{a}_{0}\left( {T}_{0}\right)}={e}^{{D}\left( {T}_{3}-{T}_{0}\right)}\)

常量D≈1/B=(1～5)×10^-3K^-1,并且，对双基推进剂，该值较大，而对复合固体推进剂则取较小的值，T₀=20℃。

(2)选用下列公式之一表示燃速与压力的关系式：

a) \(r={a}_{0}{p}^{n}\)

b)\(r=a+{b}{P}\)

c) \(r=\frac{p}{a+b{p}^{\frac{2}{3}}}\)或 \(r=\frac{p}{a+b{p}^{n}}\)

在固体推进剂发动机内弹道参数中，通常利用幂指数形式的关系式 \(r={a}_{0}{p}^{n}\),式中，n=0.2～0.8,并且对双基固体推进剂n值较大，而对复合固体推进剂则n值较小。某些推进剂在限定的压力范围内n=0,同样在某些范围内n<0。

(3)燃速取决于从临界流速(v_th)值开始的沿燃面燃气流速或其他决定性参数。它们有不同的关系式，即：

a)  \({f}_{1}\left( {v}\right)=1+{k}_{v}\left( v-{v}_{th} \right)\) 当\(v\ge {v}_{th}\),(对于JPN推进剂，有v_th=180~200m/s;k_th=0.0022s/m)或当λ≥λ_th时，f₁(λ)=1+k_λ(λ-λ_th);式中对某些双基推进剂有

\({\lambda}_{th}\approx {10r}/p=0.1\sim 0.3\);

\({k}_{\lambda}=\frac{0.8{p}^{0.8}}{r}=1.5 \sim 2.8\) (单位cm/us,p单位10⁵Pa)

b)  \({f}_{1}\left( {v} \right)=1+{k}_{v}\sqrt{v-{v}_{th}} \) 当 \(v\ge {v}_{th}\),

式中，对双基推进剂H有

\({k}_{v} \approx 0.02\); \({v}_{th} \approx 140 \sim 200\) m/s;

c) \({f}_{1} \left( \delta \right)=1+{k}_{\delta} \left( \delta – {\delta}_{th} \right) \) 当\(\delta = \frac{{\rho} {u}}{{\rho}^{*}{a}^{*}} \ge {\delta}_{th}\),例如\({\delta}_{th} \approx 0.4\)，\({k}_{\delta} \approx 0.8\)

d) f₁(S/F)=1+k[S/F-(S/F)_th]当S/F=ρv/ρ_Tu≥(S/F)_th。

式中，对双基推进剂有(S/F)_th≈100;k=0.003～0.004; S为坐标为X处截面的燃面面积；

式中，对双基推进剂H有k_J=0.04;J_*=1.6;J_th=5.6。

系数k_v,k_λ,k_δ,k和k_J不是推进剂的物理常数，而是在具体的内弹道计算时在有限范围内使用的常数。低燃速推进剂比高燃速推进剂更易于发生侵蚀燃烧。在v_th附近，当v<v_th时可以观察到燃速的减小(负侵蚀，见第2.3.2节)。

(4)燃速随拉伸形变变化的关系式为\({f}_{2}\left( {{\varepsilon }_{\tau }} \right)=1+{b}_{\varepsilon}{\varepsilon}_{\tau}\)为一阶。

(5)固体推进剂的燃速随垂直于燃面方向的加速度ng的增加而增加；对于火药H,在n=0.7×10³; 1×10³;4×10³;8×10³和18×10³时，f₃(n)=u(n)/u(1)分别等于1;1.2;1.4;1.5和1.6。

对于含金属的复合固体推进剂，其中铝粉的质量分数等于\({Z}_{\text{AL}}\),f₃(n)=u(n)/u(1)和n之间的关系有如下形式

\(f_{3}^{2}\left( f_{3}^{2}-1 \right)=\frac{0.04np{{\lambda }_{0}}}{a_{0}^{3}{{\left( 1-{{z}_{Al}} \right)}^{2}}\lambda }\)

式中 压力单位为10⁵Pa;燃速单位是mm/s。

在很大的加速度情况下(在饱和范围内),对不同的推进剂

f₃(∞)=1.5~2.5

在加速度作用下燃速(r)的增加与复合固体推进剂中所含的铝粒子的大小有关。当加速度矢量偏离燃面法线时，n对r影响的减小近似地等于角的余弦值。当角度在0°到70°时，加速度对燃速不产生影响。

由纯净组分构成的不含金属的配方燃速在过载最大为10³g时不发生变化。

(6)压力发生快速变化时的燃速不同于稳态燃速值。例如，这个变化可用下列公式近似地加以描述。

\(\frac{{{r}_{{\dot{p}}}}}{{{r}_{0}}}=1+\Psi \left( \frac{\alpha v}{{{u}^{2}}p} \right)\dot{p}\)

式中 Ψ=0.5~2;α为推进剂的温度传导系数。

在压力下降足够快时，推进剂的燃烧可能会中止：

\(\frac{\dot {p}}{p}<-{u}^{2}/a\)——对双基推进剂

\(\frac{\dot {p}}{p}<-{u}/d\)——对复合推进剂(d为氧化剂粒径)

固体推进剂火箭发动机的结构特征、制造工艺和使用(贮存)状态同样对固体推进剂药柱不同部分的燃速产生影响。

下列热源决定了固体推进剂的稳定燃烧：

1)进入到推进剂表面薄层的总放热反应；

2)进入到烟气混合物中的总的放热过程。

推进剂加热到稳定燃烧所必须的温度基本上由初级热能源来实现；在这种情况下，表层的大部分热量都散失了。

固体推进剂在燃烧层中以速度u进行准稳态燃烧时，温度分布近似表示为如下指数关系式(见图2.1):

T(x)～T₀+(Ts-T₀)exp(-xr/α)

式中 Ts,T₀分别是正在燃烧的推进剂温度和药柱的初始温度。对于双基推进剂存在有表面温度Ts与燃速r的单值关系式。对于推进剂H,在r=0.25,0.5,0.75和1 cm/s时，Ts相应等于600 K、650 K、690 K和720 K。

总之，在燃烧层积聚的总热量为

\(Q=\int\limits_{0}^{\infty }{{{c}_{p}}\rho \left( T-{{T}_{s}} \right)dx\approx \frac{\lambda }{r}}\left( {{T}_{s}}-{{T}_{0}} \right)\)

这些热量基本上存贮在厚度为δ=α/r的表层内，该层加温时间值的数量级为t₄=δ/u=α/u²(对于双基推进剂在压力为0.4 MPa和6.0 MPa时，热量弛豫的时间相应为60 ms和4ms)。在这个基础上能够近似的认为，为了使药柱点火和固体推进剂分解反应能稳定地进行，必须给表面层传递一定量的热量(约等于λ(Ts-T₀)/r),并在大约α/u²时间内把推进剂表面层加热到接近Ts值的温度。在这种情况下，在固体推进剂火箭发动机中的压力应当大于稳定燃烧所必须的压力数值。

燃速随压力和药柱的温度增高而增长是以药柱表层加速升温为前提条件的。在v>v_th，燃速的增长是以有效热导系数的增加和高度湍流扩散为前提条件的。在过载作用下，在燃烧中所形成的与加热层厚度相当的烧结物挤压表面，增加了向推进剂的传热并使燃面前沿推进。在推进剂受拉的情况下，出现燃烧可进入的微裂纹，这使得燃烧表面位移的线速度增加。

图2.1双基推进剂燃烧示意图

T,一药柱的初始温度；Ts—固体和气体分界面的温度；

1一推进剂的初始状态；2一组分加热和初始分解区；3一黏稠液体层；4一气化区；5—混合剂预燃区；6—燃烧区；7—燃烧产物

固体推进剂每一个(或每一批)药柱燃速与压力和温度之间关系的公式(例如(r=a₀(T₀)pⁿ)中的具体参数用实验测定，其样品为侧面有包覆层的圆柱形试样，实验在常压设备中进行(图2.2)。在这个装置中确定r=e/t的偏差由几个参数的测定偏差合成求得：

\(\frac{\Delta r}{r}=\pm \sqrt{{{\left( \frac{\Delta e}{e} \right)}^{2}}+{{\left( 2\frac{\Delta t}{t} \right)}^{2}}+{{\left( n\frac{\Delta p}{p} \right)}^{2}}+{{\left( {{\alpha }_{p}}\Delta {{T}_{0}} \right)}^{2}}}\)

气体在恒压中的辐射和流动不同于燃烧产物在发动机中的辐射和流动。所以在恒压装置中测定燃速值要用发动机燃烧条件(在v<v_th)下的经验系数k_r=1～1.1来修正。在v>v_th时，燃气流速影响燃速的特征系数k,可用专用装置测定(例如在类似于图5.42中给出的带燃气发生器的装置，不过在图5.42中试验的热防护层试件要用固体推进剂试件替代);也可在模拟固体推进剂火箭发动机中进行药柱燃烧来测定。

图2.2固体推进剂燃速测定的恒压装置

1—放气阀；2一进气阀；3一通往气瓶组管路上的减压器；4—固体推进剂试件点火用电热螺旋线；5一试件侧表面的包覆层；6—恒压罐；7—金属丝，当燃烧面通过时该金属丝被烧断

在恒压装置中同样可进行拉伸试件的燃烧来获得b_ε值。燃速与加速度的关系式用固体推进剂火箭发动机模型实验来测定，这个模型发动机固定在离心式试验台的平衡杆上，或者绕发动机轴旋转进行试验。

在垂直于燃面方向无大的加速度情况下，向固体推进剂中添加金属粉末对燃速无显著的影响。因为金属的点火和燃烧在燃气流中进行。含金属的复合固体推进剂的燃烧特点在于初始的金属(铝)粒子的燃烧是复杂连续变化过程，包括它们在推进剂的反应表面上凝聚(合并增大),在气相中点燃和被气相携带，在气相中燃烧和运动。氧化剂颗粒(高氯酸铵)的粒度比初始铝粉粒度高出一个数量级，铝粉被包含在氧化剂大颗粒之间的燃烧剂-粘合剂“口袋”中，而在“口袋”的边缘部分燃烧最剧烈。因此，当燃烧波通过时，金属粒子发生了合并，集聚在该“口袋”之中，这时的组合粒子比初始粒子粒度大一至二个数量级。在某些条件下，也会发生相邻的几个“口袋”中组合颗粒的再合并，或者形成在一个“口袋”中有几个组合颗粒。铝颗粒的运动、燃烧、Al/Al₂O₃的凝聚和液滴滴落，决定了比冲损失、燃气多相流对防热层的作用以及渣化发生。对燃烧产物中氧化铝粒子尺寸的实验数据分析得到下列公式：

\({{d}_{43}}=10.68d_{t}^{0.293}\left[ 1-\exp \left( -1.1277\times {10}^{5}ztp \right) \right]\)

式中dt计量单位为m,t为s;p为MPa;d43为μm;t=L/v;L为发动机长度。

2.2燃烧和流动过程的热力学计算

在喷管入口处和它的不同截面，固体推进剂燃烧产物的成分和特性的热力学计算在下列一般假设下进行：燃烧在满流且当周围介质无热交换的情况下进行；燃烧产物是化学和物理平衡的混合体；气态物质遵守理想气体方程；不存在不可逆过程。燃烧时在发动机中气流速度假定为0。混合气流沿喷管膨胀，其成分是均匀的，且是一维流动。在这些假设下计算的参数值称为理想值。

化学成分、热焓和外部条件——发动机内的压力p₀和喷管膨胀比是计算的原始数据。

按理想参数计算结果可以计算出：在给定截面燃烧产物速度\(v=\sqrt{2({H}_{T}-H)}\);流量综合参数\({C}_{*}=\frac{{p}_{0}{A}_{t}}{\dot {m}}={f}_{t}{p}_{0}\);比面积\(f={A}_{t}/{\dot {m}}\);喷管几何膨胀比\({A/A}_{t}=f/{f}_{t}\);真空比冲\({I}_{s.v}= {v}_{a}+{f}_{a}{p}_{a}\)，在\({p}_{a}={p}_{H}\)时的比冲(pH为周围介质压力)\({I}_{s}={I}_{s.v}-{p}_{a}{f}_{a}={v}_{a}\);真空推力系数\({{C}_{F,v}}=\frac{{{F}_{v}}}{{{A}_{t}}{{P}_{c}}}=\frac{\dot{m}{{I}_{s,v}}}{{{A}_{t}}{{P}_{c}}}=\frac{{{I}_{s,v}}}{{{C}^{*}}}\)。温度T。

与计算喷管内燃烧混合产物平衡膨胀过程一样，同样还可按某些模型计算等熵流动：

(1)化学上的冻结流(对化学不平衡性造成的比冲损失上限进行评估)。

(2)无相变流动，例如无氧化铝结晶的情况(对没有结晶情况产生的比冲损失进行评估)。

(3)在某个温度下将气流突然冻结(以便近似地描述复杂的化学动力学过程)。

不同参数理想值的气动计算在电子计算机上实现；某些固体推进剂的计算结果列于表2.1~表2.4中。

表2.1双基推进剂HES-4016(C_19.001H_25.666O_36.995N_10.988)

燃烧产物特性及平衡组分(摩尔分数)

2.3固体火箭发动机中压力随时间的变化

2.3.1固体火箭发动机的工作时段

在研究固体推进剂火箭发动机工作过程时把它分为三个特征时段(图2.3):

发动机进入工作状况t_ap时段：含点火延迟时间t_ig、药柱点火时间及发动机自由空间充满时间(从发火管脉冲电源接通时起算);

t_b为药柱燃烧时间，是发动机主要工作时段，发动机总的工作时间绝大部分(大于90%)都在这一段；

药柱主要部分燃完后或固体推进剂火箭发动机推力终止装置工作后发动机压力陡降时段t_s。

发动机总工作时间由这三个时段加合而成：t_a = t_ap+t_b+t_s

图2.3 固体火箭发动机中压力随时间的变化

在计算发动机进入工作状态过程中，要研究点火药和主药柱燃烧产物的非稳态流动方程(在初始阶段则是波动流),同时还要考虑空气中氧的补燃、推进剂的加温和爆燃、结构元件的初始升温等情况。为了计算基本时段，要利用在近似准稳态下气体流动和固体推进剂药柱燃烧方程。还要预先进行药柱燃烧几何形状的计算。

在对燃面面积A(e)以及按照与已烧掉的肉厚e之间的关系式\(A\left( e \right)={{A}_{0}}+\int\limits_{0}^{e}{\Pi de}\)对气流流经的通道横截面积进行几何计算时，假设在药柱的全部容积中推进剂的燃速都是均匀的，r=de/dt。这就是说，药柱的燃烧是相对于各层面平行并比较精确地按等距离进行的，见图2.4。

图2.4药柱燃面的移动

1一包覆层；2一固体推进剂；3一在肉厚烧掉的厚度为e时燃面位置

在平衡段中当气体流动速度低且压力变化dp/dt不显著情况下，可以足够精确地遵守形式为\({r}{\rho}_{p}{A}_{b}=p{A}_{t}/{C}^{*}\)(见第3.1.1节)的质量守恒方程。在这一时段，压力由下列方程组确定(0≤e≤e0):

\(p={\left[ \frac{{k}_{a}{a}{\rho}_{p}{A}_{b}{C}^{*}}{{A}_{t}}\right] }^{\frac{1}{1-n}}\)

在\({A}_{b}\approx {\bar {A}_{b}}={\frac{m}{{\rho}_{p}{e}_{0}}}\)情况下，有

\(p \approx {\bar {p}}={\left[ \frac{{k}_{a}{a}{\rho}_{p}{\bar {A}_{b}}{C}^{*}}{{A}_{t}}\right] }^{\frac{1}{1-n}}\)

\({t}_{a}={\frac {{e}_{0}}{{k}_{a}{a}{p}^{n}}}\)

\(\dot m={\frac{{\mu}{m}_{0}}{t}}\)

\({A}_{t}={\frac {{\mu}{m}_{0}{C}^{*}}{{t}_{a}{\bar p}}}\)

对初始推重比\({n}_{0}=\frac{F}{{m}_{0}{g}}\)的限定值用公式\({n}_{0} \le \frac{{I}_{s}{\mu}}{{e}_{0}}{u}_{max}= \frac{{I}_{s}{\mu}}{{t}_{3 min}}\)进行计算，式中F,Is和m0分别为各级的推力、比冲和质量。

固体火箭发动机的内弹道和推力特性会由于药柱和发动机参数偏离额定值而发生明显变化。压力或流量的相对误差：

\(\frac{\Delta \dot{m}}{{\dot{m}}}\approx \frac{\Delta p}{p}=\pm \frac{1}{1-n}\sqrt{{{\left( \frac{\Delta r}{r} \right)}^{2}}+{{\left( 1-n \right)}^{2}}{{\left( \frac{\Delta \bar{p}}{p} \right)}^{2}}+{{\left( {{a}_{p}}\Delta {{T}_{0}} \right)}^{2}}}\)

式中 △r/r为测量记录的燃速相对于其平均值相对偏差；△p/p为由于药柱和发动机参数随机偏差引起的压力对平均值的相对偏差(见3.4节);△T0为在很窄的恒温调节工况范围内，药柱温度的随机变化。

如果温度恒定，那么对△T0要在给定的变化条件下计算所有的温度间隔：△T0=(T0max-T0min)/2,和

\(\frac{\Delta \dot{m}}{{\dot{m}}}\approx \frac{\Delta p}{p}=\pm \frac{1}{1-n}\sqrt{{{\left( \frac{\Delta r}{r} \right)}^{2}}+{{\left( 1-n \right)}^{2}}{{\left( \frac{\Delta \bar{p}}{p} \right)}^{2}}+{{\left( {{a}_{p}}\Delta {{T}_{0}} \right)}^{2}}}\)

考虑偏差后，发动机内最大压力等于

\({p}_{max}^{max}={p}_{N}{\left({\frac{{A}_{b max}}{\bar {A}_{b}}} \right)}^{\frac{1}{1-n}} {\left( 1+\frac{{\Delta}{p}}{p} \right)}\)

接下来对由于压力和沿通道气流速度的变化以及由于推进剂局部的物理-力学性能偏差引起的燃速不均匀性(见1.2节)进行计算。当燃烧前沿到达与药(肉)厚燃尽相对应的燃面上任一点时，药柱燃完压力开始陡降。在此时段，推进剂药柱的残余物燃尽，推进剂的燃烧产物和防护层的分解产物流出。用来估算压力下降段的关系式Ab(e),必须考虑药柱整个体积内存在的燃速不均匀性和几何特性的随机偏差。在已知关系式Ab(e)中压力按上述方程组进行计算，并且考虑固体火箭发动机容积内燃气量的变化对方程组进行修正。

\(p={\left[ \frac{{k}_{a}{a}{\rho}_{p}{A}_{b}{C}^{*}}{{A}_{t}}\right] }^{\frac{1}{1-n}}{\left[ {1-{\frac{1}{{1-n}^{2}}}{\frac{{W}_{u}{C}^{*}}{RT{A}_{t}{A}_{b}}}{\frac{d{A}_{b}}{de}}} \right]}\)

\({\frac{de}{dt}}={{k}_{a}{a}{p}^{n}}\)

在函数p(t)中的面积与固体推进剂的燃速无关，(At=常数):

\(\int\limits_{0}^{{{t}_{a}}}{p\left( t \right)}dt=\frac{m{{C}^{*}}}{{{A}_{t}}}\)

在某些情况下必须得出固体推进剂火箭发动机推力总冲精确值；那么在下降段p(t)的计算要考虑发动机内热防护层分解产物分解热和热损失情况；在这种情况下可能需要深入研究气体的流动。

2.3.2固体火箭发动机的不稳定工况

不论是双基推进剂还是不含金属的复合推进剂，具有管状固体推进剂药柱的发动机都存在不稳定工作现象，这一现象有时在试车台点火试车时，可以观察到，但很难进行研究。固体推进剂火箭发动机点火试验药柱燃烧不稳定工况可划分为三大类型：

(1)当振动频率的数量级是a/L时，属高频不稳定燃烧，这里L是药柱或燃烧室长度。

(2)当振动频率小于a/L,其数量级是v/L时，属于低频不稳定燃烧。

(3)脉动式燃烧，在这种情况下，发动机内的推进剂时而点火，时而熄灭。

在燃烧的不稳定工况产生和扩展过程中，下列因素起作用：

(1)由于从喷管端面到喷管入口之间，药柱各部分之间以及其他气流发生剧烈变形的点之间的涡流的脉冲中断。

(2)固体发动机空容积的声学性质；在管式药柱的通道中在高频不稳定燃烧时所观察到气体切向或轴向振动的驻点(图2.5)。

图2.5在高频不稳定燃烧中固体推进剂

装药烧掉的肉厚(a)、速度驻波(b)和压力驻波(c)

1—声学负侵蚀区；2—声侵蚀沟槽，\(v>{v}_{u}\)

在两端封闭的柱形通道中气体声学振动的圆周频率等于[1]

\({\omega}={{a}{\sqrt{{\left( \frac{{a}_{mn}}{{r}_{c}}  \right)}^{2}+{\left( \frac{z {\pi}}{L}  \right)}^{2}}}}\)

式中\({a}_{00}=0;{a}_{01}=1.84;{a}_{02}=3.05;{a}_{10}=3.83\)。

由于随着振动频率的增加声能损失在增加，则在长的通道中(L≥2rc)纵向振动(m=n=0)是随机的，它们基本振型频率是(z=1)ω=aπ/L;在短通道中(L≈rc)切向振动(m=n=0)是随机的，它们的一阶振型的频率在n=1时ω=1.84a/rc。

(3)在管筒状药柱内外通道中气流气动参数(速度、压力)与振动发生耦合(速度、压力)。

(4)固体推进剂的燃烧过程与气流和声振动的相互作用，是不稳定燃烧的最重要的环节。已知有了某些揭示这种复杂机理的模型。“负侵蚀”模型是最简单的，与它相对应的与气流速度有关的固体推进剂燃速关系式以下列形式表示出来：

\({\frac{{r}_{v}}{{r}_{0}}}={1-{k}{v}^{2}}\)，当\({v} \le {{v}_{th}}\);
\({\frac{{r}_{v}}{{r}_{0}}}={1-{k}{v}^{2}+{k}_{v}{\left( {v}-{v}_{th}   \right)}}\)，当\({v} \le {{v}_{th}}\);

在这些关系式中，负烧蚀系数k与压力无关，临界速度随压力降低而增加，而系数kv随压力增加而减小(见2.1节)。
(5)在脉冲工况下的发动机，为了燃烧点火，应具有蓄热功能。在脉冲燃烧中，初期流速分布(v≤vth)应使得负侵蚀引起的燃速降低在大部分表面位置都能观察到。这会导致压力的减小，临界速度的增加和被烧蚀包围的面积进一步增加；由此会发生压力进一步下降和燃烧中断。

2.3.3转动对固体火箭发动机内弹道的影响

使用旋转来稳定固体推进剂火箭或它们的上面级在火箭技术中已普遍应用。在这种情况下某些因素对内弹道的影响是显而易见的。
(1)在固体火箭发动机旋转速度ω足够大的情况下，在与燃面成直角(或接近直角，70°～90°)的加速度作用下燃速会增大。
(2)在带有一个中心喷管的固体推进剂火箭发动机旋转时，通过该喷管的气体流量会减小。流量减少函数关系是

\(\varepsilon =\int\limits_{0}^{1}{\left( \int\limits_{\Psi }^{1}{{{\Gamma }^{2}}\left( \Psi  \right){{\Psi }^{-2}}d\Psi ;\mu =1-\frac{\varepsilon }{2}} \right)}\)

式中\({\Gamma}={{v}_{\tau}{r}/{a}_{cr}{r}_{c}}\)，\({v}_{\tau}\)为切向速度；Γ值在旋转位流中是常数；ψ为流动标准函数。对于带有“真空”中心的位流，在0≤ψ≤ψB<1时，Γ=0的情况下，有

\({\varepsilon}=-{{\Gamma}^{2}{\left(\ln{{\Psi}_{B}} +1 \right)}}\)

中心喷管流量有效系数近似地按比例减小

\({{\left[ 1-{{\left( \frac{{{v}_{\tau cr}}}{{{a}_{cr}}} \right)}^{2}} \right]}^{\frac{1}{2}}}={{\left[ 1-{{\left( \frac{{{r}_{c}}\omega }{{{r}_{cr}}{{a}_{cr}}} \right)}^{2}} \right]}^{\frac{1}{2}}}\)

式中ω为发动机的角速度。

在药柱通道的气流核心区，燃气像实心圆柱一样以实质上超过发动机转速的角速度旋转。并且，这导致前封头热防护层中心区烧蚀作用增加。

当固体火箭发动机的喷管安装在喷管顶盖外缘圆周上时，它们与轴线有一定距离，这时发动机的旋转对外缘喷管的气体流量不产生影响，带有外缘喷管的固体火箭发动机通道中，燃气的旋转几乎与发动机旋转的角速度一致。

对于受迫旋转的实验发动机，加速度作用和通过中心喷管的流量减小数据给出于图2.6(复合推进剂：85%高氯酸铵和15%粘合剂，药柱尺寸126/85—40,燃面为常数)。

图2.6旋转对固体推进剂火箭发动机压力的影响
1一无旋转情况；2一带有外缘喷管的旋转情况；
3一带有一个中心喷管旋转的情况，旋转频率约为11700 r/min

(3)在旋转的固体推进剂火箭发动机中，沿横截面有压力降，周边压力超过中心压力。在靠轴心的燃面端部，形成空穴。

(4)由于旋转的固体火箭发动机药柱和壳体形变引起燃面的增加：
\(\frac{{A}_{ba}}{{A}_{b0}}=1+{\varepsilon}_{\tau}\)

式中\({\varepsilon}_{\tau}\)为单通道药柱内表面切向变形。

在这种情况下通道的横截面积同样增大。在单通道药柱时这种增加的数量级是\({1+2\varepsilon}_{\tau}\)由此引起的固体推进剂火箭发动机中的压力减小可以忽略不计。

在旋转药柱发生拉伸形变的区域，燃速增大。在单通道药柱里无这种区域。

(5)固体推进剂火箭发动机的旋转影响绕流速度，因而影响燃面端部区域的侵蚀燃烧。在平行于旋转轴的面上，侵蚀燃烧速度的分量没有变化。

在制造可旋转的固体推进剂火箭发动机时，对壳体和药柱的强度，以及对热防护层，都提出了受下列条件制约的很高的要求。

a)带有中心喷管的单通道药柱的固体推进剂火箭发动机通道内气体旋转加大了封头中心区的烧蚀影响。

b)由于熔渣沉淀的影响，其中包括未燃烧的金属，这同样导致药柱燃尽后惰性质量的增加。

c)由于双基推进剂形成加速燃烧中心区(在一些部位凝聚相堆积加深),处在旋转工况固体推进剂火箭发动机也会产生非正常的工况，并且，这将导致药柱强度的降低。

2.3.4在试车台上发动机试验故障分析

异常的试验可能伴随着固体推进剂火箭发动机的破坏或者某些参数出现不能允许(超出给定要求的范围)的偏差，例如固体推进剂火箭发动机中的压力，见图2.7(b)。

对试车台试验的发动机的故障、失败和破坏进行分析不仅对于改进发动机是必要的，而且在必要时可以对试车方法和技术装备进行及时的校正。可能有下列原因引起发动机故障：

1)发动机结构缺陷；

2)部件制造时违反工艺规程；

3)生产的瑕疵；

4)传感设备的偏差；

5)试验阶段发动机工作条件规范不完整；

6)违反试车台设备的操作规程；

7)已查明的发动机系统工作中的故障。

在试验完善的初期阶段，发生的故障可能多半与未能满足与新的结构方案要求、某些工作过程和单个部件工作条件不完整的信息资料有关；而在试验的后期，则可能与偶然的制造缺陷、违反试车台安装实施条件等有关。

图2.7压力与时间曲线

(a)在发动机破坏时；

(b)某些时段含有非正常情况

1一偏离工作状况的破坏(药柱破损，形成附加燃面);2一由于包覆层缺陷和防护加固层脱层引起的破坏；3—由于壳体密封性损坏而引起的破坏；4—计算关系曲线；5一点火装置非正常起爆；6—由于喷管临界截面偶然增大而引起的压力下降；7—在发动机工作终了时压力增大，可能由于残留药柱的破损，或因局部的物理化学过程使固体推进剂周围层面的然速增大。

在分析异常试验现象时，要列出可能的事故原因一览表，包括给定的具体发动机的单个结构和工艺特点和它的试验条件。借助于数学和物理模式来评估结果，力求最准确地复现异常过程的现象。

2.3.5在冲压发动机燃烧室中起动药柱的燃烧

带有冲压式空气喷气发动机或火箭冲压发动机的火箭起动，可以靠安放在燃烧室的固体推进剂药柱来实现。在这类燃烧室中，点火药柱燃完后，冲压或空气喷气发动机(或火箭冲压发动机)的推进剂与空气混合并就在此燃烧(补燃)。助推药柱的燃烧条件有两种方案实现：

1)在装有点火药柱燃完后，可以抛掉的专用助推喷管(图2.8);

图2.8带固体火箭冲压发动机的火箭动力装置工作状态

(a)起动状态；(b)火箭冲压发动机工作状态1一燃气发生器；2一固体火箭推进剂起动药柱；3一起动喷管；

4一进入燃烧室的入口堵盖；5—燃气发生器喷管组件；6—富燃固体推进剂药柱

2)没有喷管(无喷管发动机)。在这种情况下，药柱通道的出口段做成锥形(见图2.9)。进入这部分的入口处的流速等于音速，在通道表面的大部分发生强烈的侵蚀燃烧；对于推进剂H,在λ=1时，f1(λ)=2~4,见3.3.1节。

当燃烧沿等长度圆柱形内孔周向表面进行，这种发动机工作结束时推进剂消耗量与开始时之相对值近似等于\({{d}_{max}/{d}_{0}}^{\frac{2n-1}{1-n}}\) ;沿药柱长度压力降p(x):

\({\frac{{p}_{x}}{{p}_{0}}}={\left[ {1+K\sqrt{1-\frac{{x}^{2}}{{L}^{2}}}}{\left(1+K  \right)} \right]}\)

在助推药柱燃烧之后，燃烧室压降末端从火箭到冲压工况的过渡过程开始。在空气速度头的作用下进气道入口处的堵盖打开，同时助推喷管被抛掉(第一方案)。

图2.9无喷管发动机出口段通道压力变化曲线

(a)轴对称无喷管固体推进剂火箭发动机中的压力变化；

(b)在扁平的无喷管固体推进剂火箭发动机中的气动计算参数(燃烧沿圆柱面内孔进行)1-药柱前端的压力；2—圆柱形内孔出口截面压力；3一等马赫数线；4一等压线

为了可靠地起动冲压发动机，应当保证适当的发动机推力储备和进气道工作稳定性，不应有多余的阻滞。因此起动冲压发动机点火装置的延时存在上下限。

从火箭到冲压工作状态的过渡过程受下列因素影响：

1)固体推进剂助推药残余物燃尽，由补燃室热防护层表面分解时释放的质量和热量；

2)与进气道堵盖动作过程密切相关的补燃室总压附加损失；

3)空气流量所对应的高度，是否达到起动冲压工况的要求(进气道安全系数将随高度增加而减小)。

2.4固体火箭发动机的调节

固体推进剂火箭发动机的调节可以用改变喷管临界截面面积、改变推进剂燃速和燃面面积来实现，同样也可以借助综合方式来实现,见图2.10。

用调节器调整。借助于不同的机械活动体和阀门是改变喷管临界截面面积的已知调节方法。

图2.10发动机中固体火箭推进剂燃烧控制

对于燃速与压力幂指数公式适用的条件用下列关系式表示：

\({\frac{p}{{p}_{0}}}\approx {\frac{{A}_{t}}{{A}_{t0}}}^{-\frac{1}{1-n}}  \)

式中：\({\frac{\dot {m}}{{\dot {m}}_{0}}}\approx {\frac{{A}_{t}p}{{{A}_{t0}p}_{0}}}\approx {\frac{{A}_{t}}{{A}_{t0}}}^{-\frac{1}{1-n}}  \)

可调发动机能够有几个气道，全部喷管或其中几个可以装有喷管临界截面面积调节的装置。

向喷管临界截面吹入气体。如果沿环路向喷管临界截面(或它们附近)吹入备用气体，那么这些流体向内挤压至流体，从而使临界截面面积减小\({\Delta}{\bar {A}}_{t}=\frac{{\Delta}{A}_{t}}{{A}_{t0}}\)。

对质量守恒方程进行变换，得到：

\(\frac{p(t)}{{p}_{0}}={\left( {\frac{1}{1-{\Delta}{\bar {A}}_{t}}}\right)}^{\frac{1}{1-n}}{\left( {\frac{{\mu}_{0}}{{\mu}(t)}}\right)}^{\frac{1}{1-n}}\)

\(\frac{\dot m(t)}{{\dot m}_{0}}={\left( {\frac{1}{1-{\Delta}{\bar {A}}_{t}}}\right)}^{\frac{1}{1-n}}{\left( {\frac{{\mu}_{0}}{{\mu}(t)}}\right)}^{\frac{1}{1-n}}\)

为了调节流量，喷入喷管临界截面区域的气体或者来自自备的气源，或者直接来自被调节的发动机本身。这种方法效果差一点。

涡流阀。发动机调节可借助于接通气道的涡流阀。

这种阀门有几个从气道引入气体的周向通道，通道的轴都平行于阀门轴；并有开切向孔供调节用气体进入的涡流室；还有中心排气喷管。

在无控制气流时，气体经过涡流室不发生旋转而通过排气喷管流出。在这种情况下固体推进剂火箭发动机内的压力为：

\({p} = \frac{\left( \frac{{k}_{a}{a}{\rho}_{p}{A}_{b}{C}^{*}}{{\eta}_{F}{A}_{t}}  \right)}{\frac{1}{1-n}} \)

式中\({\eta}_{F}\)为节流阀在额定状态下气动损失系数。

如果调节气体从切向进入涡流室，那么总的气流发生旋转，而形成的离心力在腔内产生径向压力梯度。在这种情况下从通道周向对出口的压力增大，来自气道的气流减小。

在常压下，活门周向通道(\({p}_{u}\)=常数)的入口处的实验流量特性与控制通道中气体相对压力的关系式为：\({\bar{p}}_{y} ={p}_{y}/{p}_{u}\),见表2.5。

表2.5涡流阀喷管特性

备注：\({\bar {\dot {m}}}_{y}=\frac {{\dot {m}}_{y}{C}^{*}}{{p}_{u}{A}_{t}}\)为在实施控制时的相对流量；

\({{\bar {\dot {m}}}}=\frac {{\dot {m}}_{y}{C}^{*}}{{p}_{u}{A}_{t}}\)为单组分的气体通过喷管的相对流量；

\(\bar {P}\)为在从带有超声速喷管的阀门流出时气流的相对冲量。

用于调节的气体可以只来自自备气源(包括自备的固体推进剂气体发生器)或者从这类气体发生器系统得到。接下去在把气体导入阀门周向通道的系统中时，有必要预先设定节流阀(局部阻力),以此保证控制气流的剩余压力高于调节压力，即py>pu:在已知\({\bar p}_{y}\)时，且ka=1有

\({a}{\rho}_{p}{A}_{b}{p}^{n}=\frac{{\bar{\dot{m}}}{\eta}_{x}{p}{A}_{t}}{{C}^{*}}\)或者

\({p}=\left( {\frac{{a}{{\rho}_{p}}{{A}_{b}}{p}{{C}^{*}}}{{\bar{\dot{m}}}{{\eta}_{x}}{{A}_{t}}}}\right)^{\frac{1}{1-n}}={p}_{c}{\left(\frac{{\eta}_{c}}{{\eta}_{x}{\bar{\dot{m}}}} \right)}^{\frac{1}{1-n}}\)

式中\({\eta}_{x}=\frac{{\eta}_{u}}{\bar{{p}_{y}}}\)为在节流阀上的气动损失；\({\eta}_{u}\)为在电动气动变换器上的气动损失。

在控制气体总压足够大的情况下(例如\({\bar{p}}_{y}=1.3\) )在涡流室周边的静压和调节气体的压力相等，此时气体停止流动；在这种情况下，只有控制气体通过阀门喷管(\({\bar{\dot{m}}}_{y}={\bar{\dot{m}}}=0.25\) )。

涡流阀的喷管能够用作喷气系统的出口调节装置。

例如，在弹头动力装置(见图2.11)推力矢量控制喷气系统中就包含四对这样的装置。在每一对中，喷管相互指向相反的方向，它们按照推力一反推方案工作。

图2.11 头部固体推进剂动力装置

1一涡流阀喷管；2一涡流室；3—电动气动转换器；4一节流圈；5—气路；6—端面燃烧的固体推进剂药柱；7—电动气阀；8—滚动控制喷管

多次起动的固体推进剂火箭发动机可能有几种不同的方式，其中之一就是使用由单独彼此隔离的层(段)叠合组成的多层药柱，每一段(层)都有各自的点火装置；每段的燃烧可以是端燃的(例如在空地SRAM导弹固体推进剂火箭发动机中),也可以是沿圆柱形面进行。可能还有某些脉冲固体推进剂火箭发动机(例如反卫星系统(ASAT)弹头飞行侧向修正装置)。

第3章 固体火箭发动机的气动过程

3.1 一维流动

3.1.1 准定常过程

气体在固体推进剂火箭发动机主要部件中的流动基本上是一维的(或者说归结为一维),即所有的气动参数仅取决于一个单独的几何坐标和时间。沿x轴向流动的气体，其沿离开孔道壁面方向上能够按零速度对待，并且象轴向流一样具有相同的滞止焓值，则通道中理想气体运动方程有下列形式：

\(\frac{\partial \rho A}{\partial t}+\frac{\partial }{\partial x}\left( \rho vA \right)={{\rho }_{p}}{{r}_{b}}\frac{\partial {{A}_{b}}}{\partial x}\)

\(\frac{\partial \rho  vA}{\partial t}+\frac{\partial }{\partial x}\left( \rho {v}^{2}A +pA\right)={p}\frac{\partial {A}}{\partial x}\)

\(\frac{\partial}{\partial t}\left[\rho A\left(\frac{{v}^{2}}{2}\right)\right]+\frac{\partial }{\partial x}\left[ \rho vA\left(\frac{{v}^{2}}{2}+H \right) \right]={{\rho }_{p}}{{r}_{b}}\frac{\partial {{A}_{b}}}{\partial x}{H}{p}\)

\(p=\rho RT;\frac{\partial A}{\partial t}={r}_{b}\left( p,v \right)\frac{\partial {{A}_{b}}}{\partial x}\)

式中:\( H=E+\frac {p}{\rho}={c}_{p}T=\frac{k}{k-1}RT\)焓值。

方程的个数(五个)等于未知数的个数，在适当的边界和初始条件下，其几何特性(A和Ab之间的联系)和气流的具体关系式就可单值地确定(在连续运动区域)。

在固体推进剂火箭发动机工作过程中，所有的气动特性，同样还有推进剂药柱的横截面积都在发生变化。求解一般形式的方程组仅能够用数值方法。在某些情况下，由于热交换、化学反应和多相流计算使得方程组很复杂。在固体推进剂药柱点火期间，固体推进剂火箭发动机非稳态气动过程最为复杂。

在大多数重要的实际应用情况下，气动方程都根据准稳态流假设，即假定由气体流动非稳态引起的压力不均匀很小可不计。

如果气体的体积弛豫时间t₂=L/v比其内的扰动传播时间t=L/a大很多，则在固体火箭发动机内气体的运动就是准稳态的；这个条件在v/a«1时可以实现。

准稳态假设是对现象研究的一种渐近方法。

准定常思想的逐步应用可以把快速过程看作是瞬变的。例如，在固体推进剂火箭发动机中扰动的传播过程能够和t₂(或者气体体积弛豫时间)比照用瞬时法计算，而后者和发动机工作时间ta比较则相当小，(这意味着在时间t₂内气体沿所有通道流动的A不变)。在准稳态近似中，推进剂类似的热层弛豫过程与燃气容积的弛豫过程相比，应该算作是瞬时的，根据H·B·杰其多维奇理论，上述热层决定了燃速随外界条件变化而改变。气体热弛豫时间比t₂小几个数量级，今后计算中将其忽略。

这样一来，在准稳态近似中，在任意时刻气体参数沿发动机的分布都由该时刻的几何特性和略去所有对时间偏导数的方程组来确定：

\(\frac{d }{d x}\left( \rho vA \right)={{\rho }_{p}}{{r}_{b}}\frac{d {{A}_{b}}}{d x}\)

\(\frac{d}{d x}\left( \rho {v}^{2}A +pA\right)={p}\frac{d {A}}{d x}\)

\(\frac{d}{d x}\left[ \rho vA\left(\frac{{v}^{2}}{2}+H \right) \right]={{\rho }_{p}}{{r}_{b}}\frac{d {{A}_{b}}}{d x}{H}{p}\)

\(p=\rho RT;\frac{dA}{dt}={r}_{b}{\Pi}\)

如果对初始方程组沿通道长度求积分(或燃烧室体积),那么我们得到了一组气体按体积平均参数随时间变化的常微分方程：

\(\frac{d }{d t}\left( \rho W \right)={\varphi}{{\rho }_{p}}{{r}_{b}}{A}_{b}-{\eta}{{P}_{c}}{{A}_{t}}/{{C}^{*}}\)

\(\frac{d}{d t}\left( \rho EW\right)={\varphi}{{\rho }_{p}}{{r}_{b}}{A}_{b}{H}_{p}-{\eta}{{P}_{c}}{{A}_{t}}{H}_{0}/{{C}^{*}}\)

\(p=\rho RT;\frac{dW}{dt}={r}_{b}{A}_{b}\)

对于按体积平均的气动参数来说，这些方程能够直接从火箭燃烧室气体和能量平衡方程中获得。

准稳流假设同样用于一维运动模型，由于后者假设：在气体流动的实验模型中(例如在确定固体推进剂火箭发动机喷管前部空间的流动结构时),任何作用(例如物质经过壁面导入)在通道流动的有限质量范围内是瞬时均匀分布的。

如果在小的气流速度(φ≈1;η≈1)下研究稳态部分(dp/dt≈0),那么从上述方程中可以得出最常用的用于估算发动机内压力取决于工作时间的方程组(见2.3节)。

固体推进剂火箭发动机一系列工作过程的数学模拟可在多维情况下实现。属于这种情况的有：

a)在通道、喷管前部空间和喷管中的二维稳态流动(例如在锥形喷管中的径向流动);

b)在固体推进剂发动机喷管和高空台起动、推力终止，以及在用发射装置进行火箭发射时的二维不稳定过程；

c)在不对称的和摆动喷管及装置中三维稳定(亚声速、跨声速和超声速)流动。

上述多维问题可用理想气体的欧拉方程描述，它们的数值积分实际上常常用C·K·郭杜诺夫方法和其稳态模拟来实现。流动的区域通常分为若干简单的子区域：通道、缝隙、人工脱粘层内空间、喷管的亚声速、跨声速和超声速段；还应划分出气流分离部分。对于由壁面提供加质量的通道里的流动，用准二维近似即可——取流速沿横截面余弦曲线分布。

3.1.2气动函数

在恒定温度延迟和恒定的临界速度的情况下，计算气体流动通常采用换算速度λ=v/a。,其中对固体火箭发动机中稳态燃气流，\({T}_{0}\)=常数。

借助于换算速度λ和气动函数，运动数值方程变换为下列形式：

\(\dot m v+pF=\frac {k+1}{k}{\dot m}{a}_{cr}{Z}\left( \lambda \right)={p}_{0}Af(\lambda )=\frac{pA}{r(\lambda)}\)

式中Z(λ)=\(\frac{1}{2}\left( \lambda+\frac{1}{\lambda}\right);{a}_{cr}=\sqrt{\frac{2k}{k+1}R{T}_{0}}\)

借助于函数f(λ)和π(λ),能够计算换算速度头：

\({j}_{0}( \lambda )=\frac{\rho{v}^{2}}{2{p}_{0}}=\frac{f(\lambda)-\pi (\lambda)}{2}=\frac{k}{k+1}{\lambda}^{2}{\varepsilon(\lambda)}\)

气动函数r(λ),π(λ),e(λ),q(λ),y(a),x(a),f(λ),r(λ),jo(λ)通常同时制成表格。同样下列值也列入表中

\(M=\frac{v}{a}=\lambda sqrt{\frac{2}{k+1}}{\left(1-\frac{k-1}{k+1}{\lambda}_{2} \right)}^{-\frac{1}{2}}\)

用来表示通过截面F的燃气流量关系式为

\(\dot m=\rho vA= {p}_{0}q(\lambda)A/{C}^{*}= {p}y(\lambda)A/{C}^{*}\)

在喷管临界截面λ=1和\(\dot m= {p}_{0}A/{C}^{*}\)。通过气动函数表示喷管出口截面处所有的气流参数(表3.1)。

气动函数间有下列关系式

π(λ)=ε(λ)τ(λ);π(λ)= f(λ)r(λ);

q(λ)= y(λ)π(λ);2j0(λ)= f(λ)-π(λ)

如果令\({f}_{*}={2[2/(k+1)]}^{\frac{1}{(k-1)}}\),则

y(λ)r(λ)z(λ)=\(\frac{1}{{f}_{*}}\); f(λ)=\({f}_{*}\)g(λ)z(λ)

表3.1固体火箭发动机和燃气发生器参数的热力学和气体动力学函数表达式

注：表中*表示临界参数

在对声速附近区域计算时，要合理利用函数y(λ)和r(λ)来代替q(λ),x(λ),f(λ);当λ≈1时，函数q(λ)可以在λ=1附近展开成台劳级数：

q(λ)≈1-(λ-1)²(k-1)/2

为了按函数z(λ)计算出λ,可以得出一个有用的关系式：

λ=z±\(\sqrt{{z}^{2}-1}\)

气动函数决定了气流特性与速度系数入、局部滞止参数和总冲密度之间的相互单值关系。

g和π之间的直接关系由圣-维南-范采尔公式来确定

\(q={\left( \frac{k+1}{2}\right)}^{\frac{1}{k-1}}\sqrt{\frac{k+1}{k-1}\left({\pi}^{\frac{2}{k}}-{\pi}^{\frac{k+1}{k}} \right)}\)

为了在近似分析中可以利用二次曲线近似式替代这些公式(椭圆弧线),就是说，当\({\pi}_{H}={p}_{H}/{p}_{0}\ge{\pi}\)时

\(\frac{{\left({\pi}_{H}-{\pi}_{cr} \right)}^{2}}{{\left(1-{\pi}_{cr} \right)}^{2}}+{q}^{2}=1 \)

如果近似的取πcr=0.5,那么对于πH>0.5得到

\(q={2}{\sqrt{\left( 1-{\pi}_{H}\right){\pi}_{H}}}\)

对于某些气动函数进行求导，得出的关系式有下列形式：

\(\frac{d\pi \left( \lambda  \right)}{d\lambda }=-k{{\left( \frac{2}{k+1} \right)}^{\frac{k}{k-1}}}q\left( \lambda  \right)\)

\(\frac{q dz}{q d\lambda }=r\)或者\(\frac{dz}{d(1/q) }=\frac{\pi}{{f}_{cr}}\)

\(\frac{\lambda dq}{q d\lambda }=\frac{1-{\lambda}^{2}}{\tau {(\lambda)}}\)

\(\frac{zdf}{fdz }=1-{r}^{-1}\)

在通道中总能量的耗散取决于具有不同流速的轴向气流的混合，一种是主气流v=λa_cr;另一种是支流，它来自壁面，速度

v_w≈0。

从连续性方程得到

\(x=\frac{{{p}_{c}^{1-n}}{Ak}}{{k}_{a}(k+1){a}{\rho}_{p}{\Pi}{a}_{cr}}\int\limits_{0}^{\lambda}{\frac{dz}{{z}^{2}(\lambda){[r(\lambda)]}^{n}{f}_{1}(\lambda)}}\)

\(=\frac{{{p}_{c}^{1-n}}{Ak}}{2{k}_{a}(k+1){a}{\rho}_{p}{\Pi}{a}_{cr}}\int\limits_{0}^{\lambda}{\left(\frac{1}{{\lambda}^{2}} -1\right)\frac{dz}{{z}^{2}(\lambda){[r(\lambda)]}^{n}{f}_{1}(\lambda)}}\)

借助于喷管端部药柱x=L,λ=λ_L处的边界条件可以消除p_k的不确定性

\(\frac{1}{{p}_{c}^{1-n}}=\frac{Ak}{2{k}_{a}(k+1){a}{\rho}_{p}{a}_{cr}{A}_{b}}\int\limits_{0}^{{\lambda}_{L}}{\left(\frac{1}{{\lambda}^{2}} -1\right)\frac{dz}{{z}^{2}(\lambda){[r(\lambda)]}^{n}{f}_{1}(\lambda)}}\)

式中 \({A}_{b}=\Pi L\)。

写出\({p}_{c}\)的一般关系式

\({p}_{c}={\left(\frac{{k}_{a}\varphi {\rho}_{p}{a}{A}_{b}{C}^{*}}{\eta {A}_{t}}  \right)}^{\frac{1}{1-n}}  \)

式中φ(λL)为沿通道平均燃速系数，其计算公式为

\(\varphi \left( {\lambda}_{L} \right)=2{\left[ z({\lambda}_{L})\int\limits_{0}^{{\lambda}_{L}}{\left(\frac{1}{{\lambda}^{2}} -1\right)\frac{dz}{{z}^{2}(\lambda){[r(\lambda)]}^{n}{f}_{1}(\lambda)}} \right]}^{-1}\)

\(\frac{\dot m ({\lambda}_{L})}{{k}_{a}{\rho}_{p}{a}{p}_{c}^{n}{A}_{b}}\)

η(λz)为发动机总压恢复系数(见表3.3),公式如下：

\(\eta ({\lambda}_{L})=\frac{{p}_{0*}}{{p}_{c}}=\frac{{p}_{0*}}{{p}_{0L}}\frac{{p}_{0L}}{{p}_{c}}=\frac{1-\xi {j}_{0}{(\lambda)}_{L}}{f({\lambda}_{L})}\)

在初次近似中，沿整个通道燃速相同：φ(λ)≈1;\({[r(\lambda)]}^{n}\)≈1。在这种情况下有

\(z(\lambda)\approx \frac{{p}_{c}^{1-n}kA}{x{(k+1)}{a}{\rho}_{p}{\Pi}{a}_{cr}{k}_{a}}=\frac{Lz({\lambda}_{L})}{x}\)

或者

\(\lambda=\frac{x}{L}{\left( {z}_{L}  +\sqrt{{z}_{L}^{2}-\frac{{x}^{2}}{{L}^{2}}}   \right) }^{-1}\)

当λ<1,近似地有

\(\frac{\lambda}{{\lambda}_{L}}=\frac{v}{{v}_{L}}\approx \frac{x}{L}\)

这些近似公式可以用于后面因静压\(p={p}_{c}r(\lambda)\)下降和侵蚀分量增加f₁(λ)=1+k₂(λ-λth)而引起的沿通道长度燃速变化的计算，见2.3.5节。

固体推进剂沿表面的平均燃速系数φ(λz)通常在λ>λth时大于单位1。它在给定公式f1(λ)下用数值积分计算，见表3.4关于推进剂JPN的数据。

表3.4双基推进剂JPN沿圆柱形通道表面侵蚀燃烧特性

3.3.2在非圆柱形通道内的燃气流动

固体推进剂火箭发动机燃气自由通过的截面形状可以是多种多样的，例如圆形、星形等。其面积也沿发动机的长度而变化。带有非圆柱形状、截面面积F突变的药柱燃烧室的气体流动可以合理地用几个圆柱段形式(每一段有恒定的横截面积)和各段接缝处(横截面积突变)的局部阻力来描述。在这种情况下，由于临界截面是决定性边界条件，固体推进剂火箭发动机的气动计算可从喷管到前封头方向连续地分段进行。

开缝(槽)式药柱：带有纵向缺口的厚管状药柱，缺口相对长度数量级约为0.3。它可以看作是两部分：横截面积为常值的部分(开缝部分和圆形通道部分)和突然压缩(如果开缝靠近前封头成

型)或突然膨胀部分(如果开缝靠近喷管顶盖成型)。在药柱开缝的情况下(截面1-1和2-2位于横截面发生突变的地方附近)有

\(z({\lambda)}_{2}=\frac{\dot {m}_{1}}{\dot {m}_{2}}{z({\lambda}_{L})}=\frac{ {A}_{b1}}{ {A}_{b2}}{z({\lambda}_{L})}\)

并且

\(q({\lambda}_{1})=q({\lambda}_{2})\frac{{p}_{02}}{{p}_{01}}\frac{{A}_{2}}{{A}_{1}} =q({\lambda}_{2})\frac{{A}_{2}}{{A}_{1}}\left(1-\xi {j}_{0}({\lambda}_{2}) \right)\)

式中 局部阻力系数

\(\xi=0.5(1-\frac{{A}_{2}}{{A}_{1}}\)    ,当开缝靠近前封头         

ξ =(A₂/A₁-1),     当开缝靠近喷管顶盖

Ab₁,Ab₂和AbL为从x=0到截面1-1,2-2和L-L相应分段的燃面面积。

在带有气流突然膨胀的通道中流速的分布用连续性方程和动量确定：

\({\dot m}_{L}v+{p}_{L}{A}_{L}=({\dot m}_{1}{v}_{1}+{p}_{1}({A}_{L}-{A}_{1})\)

\({\dot m}_{L}={\dot m}_{1}+{\dot m}_{1L}\)

式中 F₁和F_L为窄和宽通道分别相对应横截面积；m₁和m_L为通过该截面的气体质量，m_1L为从截面1-1和L-L之间管段燃面A_b上释放出来的气体质量。

借助于气动函数z(λ)和y(λ),总冲方程可以表示成

\(\frac{{\dot m}_{L}}{{\dot m}_{1}}{z({\lambda}_{L})}=z({\lambda}_{1})+\left(\frac{{A}_{L}}{{A}_{1}}-1  \right)\frac{1}{{f}_{*}y({\lambda)}_{1}}\)

式中

\(\frac{{\dot m}_{L}}{{\dot m}_{1}}=\frac{{A}_{b}}{{A}_{b1}}\)

在\(\frac{{\dot m}_{L}}{{\dot m}_{1}}=2,\frac{{A}_{L}}{{A}_{1}}=2\)和k=2.5时，随λ1变化的λL值的计算结果列于表3.5。在λ_L已知时，通道窄的部分出口处的换算速度λ₁像超越方程的根一样用图表确定。在通道宽的部分的总压恢复系数按连续方程确定

\(\frac{{p}_{0L}}{{p}_{01}}=\frac{{{\dot m}_{L}}{q({\lambda}_{1})}{{A}_{1}}}{{{\dot m}_{1}}{q({\lambda}_{L})}{{A}_{L}}}\)

沿整个通道总压恢复系数值由下列关系式确定(见表3.5)。

\(\frac{{p}_{0L}}{{p}_{k}}=\frac{{p}_{0L}}{{p}_{01}}\frac{{p}_{01}}{{p}_{k}}=\frac{{{\dot m}_{L}}{q({\lambda}_{1})}{{A}_{1}}}{{{\dot m}_{1}}{q({\lambda}_{L})}{{A}_{L}}{f({\lambda}_{1})}}\)

表3.5带有突然膨胀的药柱通道气流参数

从表3.5给出的数据可以看出，由于前部通道横截面积的减小而引起的装填密度的提高而导致总压损失的增加。例如，当λ=0.45时，在通道的阶梯部分AL/A₁=2时，总压恢复系数等于0.84;而在通道圆柱段(A=AL=常数),则有η=0.91。用沿通道长度减小横截面积的方法使装药密度的增加达到

\({F}’={{F}_{L}}\left[ 1-\frac{{{l}_{1}}}{L}\left( 1-\frac{{{A}_{1}}}{{{A}_{L}}} \right) \right]=\)常数

式中\(\frac{L}{{{l}_{1}}}=1+\left( \frac{{{A}_{b}}}{{{A}_{b1}}}-1 \right)\frac{{{\Pi }_{1}}}{\Pi };{{l}_{1}},{{A}_{b1}},{{\Pi }_{1}}\)分别为长度、燃面面积和阶梯形通道窄部截面周长。这将导致通道出口处速度显著增加，因而，侵蚀燃烧和总压损失增加。例如对于阶梯形通道\({{\lambda}_{L}}’=0.48\)而不是λ₁=0.32。

带有锥形通道药柱有从封头到喷管方向逐渐增大的横截面积。在这种情况下气流特性分布一般由方程组数值积分方法确定：

\(\frac{d}{dx} \left(\ {\rho }{vA} \right)={{\rho}_{p}}{{r}_{b}}\frac{dS}{dx}\)

\(\frac{d}{dx} \left[ \left(p+{\rho}{v}^{2} \right) {F} \right]=p \frac{dF}{dx}\)

\({T}_{0}=\)常数；\(p={\rho}RT\)

假设从λ到λ_L的某个气流段r(λ)=r_th,得到

\(\frac{{\dot m} z (\lambda )}{{\dot m}_{L} z ({\lambda}_{L})}={\left( \frac{{A}_{L}}{A} \right) }^{{r}_{th}}\)

在通道横截面积A(x)和气体流量之间关系式已知的情况下，沿通道的换算速度λ(x)的变化可用下式近似确定

\( \frac{p}{{p}_{L}}=\frac{r( \lambda )}{r ( {\lambda}_{L})}{\left( \frac{A}{{A}_{L}} \right)}^{1-{r}_{th}}\)

并且 \( \frac{{p}_{0}}{{p}_{L}}=\frac{f( {\lambda}_{L} )}{f ( {\lambda} )}{\left( \frac{A}{{A}_{L}} \right)}^{1-{r}_{th}}\)

自由横截面的可变面积对药柱尾部这一个极限的情况可以从恒定流速条件来计算：

\(\frac{A(x)}{S(x)}=\frac{{\rho}_{p}{r}_{b}}{{\rho} v}\)

式中 S(x)为当前的燃面面积。这种情况下在尾部压降不显著，侵蚀燃烧恒定：\(p/{p}_{L} \approx {({A}_{L}/A)}^{1-{r}_{th}}\)。

分段式固体推进剂药柱为几个厚壁短圆柱状其外表面与发动机壳体贴壁固定的药柱组成。每段沿内孔和一个或两个端面燃烧。

带有分段药柱的固体推进剂火箭发动机的气流特征在于沿药柱通道的压降不均匀：位于两段之间间隙处，压力剧烈减小，由于自边缘来的横向气流不连续(沿气流向下),形成停滞区A,气流被压缩(图3.2)。

图3.2分段式药柱通道的气流特征

(a)沿分段式药柱的压力变化；(b)来自两段之间间隙气流示意图1—药柱型面；2一滞止压力降；3—静压降

流体相对面积压缩量为

\(\frac{{A}_{CM}}{{A}_{4}}={\left[ 1+\sqrt{\frac{k+1}{k{\lambda}_{4}^{2}}{\left(1-\frac{f({\lambda}_{1})}{f({\lambda}_{4})} \right)}}\right]}^{-1} \approx {\left[ 1+\sqrt{1-\frac{{\lambda}_{1}^{2}}{{\lambda}_{4}^{2}}} \right]}^{-1}\)

在气体自位于前封头附近的端面流入通道的情况下，λ1=0,并且气流的相对压缩为：

\(\frac{{A}_{CM}}{{A}_{4}}={\left[ 1+\sqrt{\frac{k+1}{k{\lambda}_{4}^{2}}{\left(1-\frac{f({\lambda}_{1})}{f({\lambda}_{4})} \right)}}\right]}^{-1} \approx \frac{1}{2}\)

在已知FCM/F₁时，确定压缩流区域的压力降[p₀₃A_CMq(λ₃)=p₀₄A₄q(λ₄);A_CMλ₃≈A₄λ₄]

\(\frac{{p}_{3}}{{p}_{1}}=\frac{{p}_{03} \pi ({\lambda}_{3})}{{p}_{01} \pi ({\lambda}_{1})} \approx 1-\frac{k}{k+1}{\lambda}_{1}^{2} \left( \frac{{\lambda}_{3}^{2}}{{\lambda}_{1}^{2}}-1 \right)\)

\(\approx 1-\frac{2k}{k+1}{\lambda}_{4}^{2} \left(1-\frac{{\lambda}_{1}^{2}}{{\lambda}_{4}^{2}}+\sqrt{ 1-\frac{{\lambda}_{1}^{2}}{{\lambda}_{4}^{2}}} \right)\)

由此可见，在压缩区的压力降比整个1~4段压降大：

\(\frac{{p}_{4}}{{p}_{1}}=\frac{r({\lambda}_{4})}{r({\lambda}_{1})} \approx 1-\frac{2k}{k+1}{\lambda}_{4}^{2} \left(1-\frac{{\lambda}_{1}^{2}}{{\lambda}_{4}^{2}} \right)\)

(\({\lambda}_{1}^{2}=0.8{\lambda}_{4}^{2};{A}_{CM}/{A}_{4}=0.69,\frac{2k}{k+1}{\lambda}_{4}^{2}=0.1 \))。

在缝隙和阻滞区之间的压降可能导致药柱形变、通道收缩(在截面3-3附近)和后续的气动参数的不均匀性增加。为了避免固体推进剂火箭发动机工作出现可能的异常情况，适当磨圆药柱棱边(靠近3-3)并使缝隙沿气流倾斜。在这种情况下，气流压缩以及随之产生的压降p₁/p₃都会减小：

\(\frac{{A}_{CM}}{A}={\left[ 1+\sqrt{\frac{k+1}{k{\lambda}_{4}^{2}} \left( 1-\frac{{p}_{04}}{{p}_{01}} \right)}\right]}^{-1}\)

\(\approx {\left[ 1+\sqrt{1-\frac{{\lambda}_{1}^{2}}{{\lambda}_{4}^{2}}-\frac{2 {\lambda}_{2} {\dot m}_{2} \cos \alpha}{{\dot m}_{4}{\lambda}_{4}}}\right]}^{-1}\)

在带有分段式装药的固体推进剂火箭发动机中静压阶梯式变化特点数据在图3.2(b)中给出。

在缝隙区域的滞止压力降

\(\frac{\Delta {p}_{0}}{{p}_{0}}=-\frac{\Delta f(\lambda)}{f(\lambda)}=-\frac{2k}{k+1}{\lambda}{\Delta}{\lambda}\)

式中Δλ为在限定的横向缝隙的截面处的换算速度差。

如果装药有一段是沿两个端面和内通道燃烧(这是一种简化的形式),那么在通道入口处的换算速度λin值可以用冲量方程确定：

\(z( {\lambda}_{in})=z( {\lambda}_{L}) \frac{{S}_{L}}{{S}_{T}}\)

式中S_T为横端面的燃烧面积；S_L为沿气流自截面L-L以上的燃烧面积。

从通道入口截面(横端面)和临界截面的质量守恒方程(在稳态流动中)的比较，也可以导出一个在入口截面处换算速度λin关系式：

\(q({\lambda}_{in})=\frac{\eta {C}_{*} {S}_{T}}{\varphi AS} \approx \frac{{C}_{*}{S}_{T}}{FS}\)

这个关系式适用于内通道燃烧的所有药柱，在固体推进剂火箭发动机燃烧室稳定气流的问题中，该关系式成为具有前端面燃面的通道入口截面处的边界条件。

用喷管格栅固定的管筒状药柱多面燃烧的情况，部分气流沿内通道流动，另一部分气流则沿药柱和壳体之间的间隙流动。这类药柱的计算示意图见图3.1(c)。在通道1到封头端距离αL

(0≤α≤1)存在一分割气流的平面，在这个平面上气流速度等于零，压力等于最大值pk。燃烧产物从这个面向相反方向流动，它们的一部分从通道1经前封头附近流到通道2。换算速度λ_1d和λ_2d及药柱封头端附近的压力p_1d和p_2d有下列公式(公式中Π=dS/dx-—气相周长):

\({p}_{2d}={p}_{1d}\frac{\pi ({\lambda}_{2d})}{\pi ({\lambda}_{1d})} \left[ 1-{\xi}_{1}{j}_{0}({\lambda}_{1d})  \right]\)

\(q({\lambda}_{2d})=q({\lambda}_{1d})\frac{{A}_{2}}{{A}_{1}} \left[1+{\xi}_{1}{j}_{0}({\lambda}_{1d})  \right] \left( 1+\frac{{S}_{TOP}}{\alpha L {\Pi}_{1}} \right)\)

近似地有\({p}_{2d} \approx {p}_{1d}\);λ_2d/λ_1d≈(A₁/A₂)[1+S_TOP/(αLΠ₁)]。在从截面D-D到截面L-L(靠近喷管端部),两个通道可通过的截面A₁和A₂仍然是常数，而随后(沿气流从截面L-L向下)则剧烈减小到A_1CM和A_2CM。通道的最小截面积位于药柱顶端边缘和喷管支撑栅突出部分之间。在这个截面速度最大：

q(λ_1CM)A_1CM=q(λ_1L)A₁;q(λ_2CM)A_2CM=q(λ_2L)A₂,(近似地有λ_2CM/λ_2L≈A₂/A_2CM;λ_1CM/λ_1L≈A₁/A_1CM);而压力相同，都等于喷管前部空间压力，在这里气流膨胀并被搅拌混合，在这种情况下：

\({p}_{1CM}=\frac{{p}_{01}L}{\pi ({\lambda}_{1CM})}={p}_{2CM}=\frac{{p}_{02}L}{\pi ({\lambda}_{2CM})}={p}_{CM}\)

从质量守恒定律有

\( \frac{y({\lambda}_{2CM}){A}_{2CM}}{y({\lambda}_{1CM}){A}_{1CM}}=\frac{{\Pi}_{1} \alpha L+L {\Pi}_{2} + {S}_{TOP}}{(1-\alpha)L {\Pi}_{1}}\)

或者

\(\frac{{\lambda}_{2CM}{A}_{2CM}}{{\lambda}_{1CM}{F}_{1CM}}\)

\(\approx \frac{{\lambda}_{2L}{A}_{2}}{{\lambda}_{1L}{A}_{1}} \)

\(\approx \frac{\alpha}{1-\alpha} + \frac{{\Pi}_{2}}{(1-\alpha){L}{\Pi}_{1}} + \frac{{S}_{TOP}}{(1-\alpha){L}{\Pi}_{1}}\)

从圆柱形通道1和通道2气流总冲守恒，由此可以导出表征气流分离点αL的α值，与发动机燃烧室、药柱和喷管格栅几何参数相关的关系式：

\(\alpha = -\frac{X}{\Delta}+\sqrt{\frac{{X}^{2}}{{\Delta}^{2}}+\frac{Y}{\Delta}} \approx \frac{Y}{2X} \left( 1-\frac{Y \Delta}{4{X}^{2}} \right)\)

式中\(X=1+{\Delta}_{1}+\frac{{A}_{1}^{2}{\Pi}_{2}}{{A}_{2}^{2}{\Pi}_{1}} \left( 1+{\Delta}_{2}\right)\)

\(B=1+{\Delta}_{1}-{\frac{{A}_{1}{\Pi}_{2}}{{A}_{2}{\Pi}_{1}}}^{2}(1+{\Delta}_{2})-\frac{{2S}_{TOP}}{{L \Pi}_{1}} \frac{{\Pi}_{2}}{{\Pi}_{1}} {\frac{{A}_{1}}{{A}_{2}}}^{2}\)

\(\Delta=\frac{{A}_{1}^{2}}{{A}_{2}^{2}}{\Delta}_{2}-{\Delta}_{1}\)

量值\({\Delta}_{1}=(1/2)({A}_{1}^{2}/{A}_{1CM}^{2}-1)\)和\({\Delta}_{2}=(1/2)({A}_{2}^{2}/{A}_{2CM}^{2}-1)\)用来表征由喷管格栅突出部分所形成的通道遮挡部分。如果没有遮挡，则

\(\alpha=\frac{1-{\left( \frac{{A}_{1}{\Pi}_{2}}{{A}_{2}{\Pi}_{1}} \right)}^{2}}{2 \left(1+\frac{{A}_{1}^{2}{\Pi}_{2}}{{A}_{2}^{2}{\Pi}_{1}}  \right)}\)

为了避免在前端的燃气交换，必须保证α=0;例如对于管状药柱，应当有

\(\frac{{R}_{3}{R}_{KAH}}{{R}_{DB}^{2}-{R}_{3}^{2}}=1\)

式中\({R}_{3}\)为药柱外表面半径。

虽然期望这个条件在发动机工作初期即实现，但也不一定，特别是在A₁和A₂对A*的比值很大的情况下。

在从压缩截面到临界截面区域中由质量守恒定律确定换算速度\({\lambda}_{1CM}\)的方程如下：

\(y({\lambda}_{1CM}) \left[ 1+\frac{y({\lambda}_{2CM}){A}_{2CM}}{y({\lambda}_{1CM}){A}_{1CM}}\right]=\frac{{A}_{*}}{{A}_{1CM}}\left(1-\frac{{S}_{TOP}}{S} \right)\)

或者

\(y({\lambda}_{1CM}) \left[ 1+\frac{\alpha {L}{\Pi}_{1}+{L \Pi}_{2}+{S}_{TOP}}{(1-\alpha)L{\Pi}_{1}}\right]=\frac{{A}_{*}}{{A}_{1CM}}\left(1-\frac{{S}_{TOP}}{S} \right)\)

式中S=L(Π₁+Π₂)+2\({S}_{TOP}\)——燃面总面积。

纵向\({p}_{1D}-{p}_{CM}\)和径向\({p}_{K}-{p}_{2\alpha }\)压降都作用在多面燃烧的管状药柱上(角标2α表示在通道2倍于距前端αL截面上的气流参数):

\({p}_{1D}-{p}_{CM}={p}_{K} \left[ r({\lambda}_{1D})-\frac{{\pi}({\lambda}_{1CM})}{f({\lambda}_{1L})} \right]\)

\({p}_{K}-{p}_{2\alpha}={p}_{K} \left\{ 1-\frac{[1-{\xi}_{1}{j}_{0}({\lambda}_{1D})]f({\lambda}_{2D})r({\lambda}_{2\alpha})}{f({\lambda}_{1D}} \right\}\)

在多药柱装药多面燃烧的固体推进剂火箭发动机中，不同通道中的气流是不一样的。在近似情况下，问题归结为气流运动沿被研究的两类通道进行，所有内通道的气流(气相周长\({\Pi}_{BH}=n\pi {d}_{Hap}\),其中n为药柱数)流经面积\({A}_{BH}=n \pi {d}_{BH}^{2}/4\),而药柱外表面(\({\Pi}_{Hap}=n \pi {d}_{Hap}\))气流流经的面积

\({A}_{Hap}={A}_{DB}-{A}_{BH}-n{S}_{TOP}\)

在飞行中固体推进剂火箭发动机工作期间，纵向惯性力和沿长度的压力降\(\delta p/p=1-r({\lambda}_{L}) \approx {M}_{L}^{2}\)作用在药柱上。由此可能增加药柱的横向尺寸而减小通道流经截面的面积。药柱横向间隙中的压力比通道中高，因而在此处可能引起靠近缝隙后缘的药柱变形，导致药柱压缩。在这两种情况下流速、压降、总压损失和发动机内的压力都会增大。

这样一来，固体推进剂火箭发动机中气体流动参数就由药柱的几何特性、挡板(喷管格栅)和喷管来决定。在圆柱形段求解冲量守恒方程是其基本计算，而对于局部阻力，则是求解考虑流体损失的连续性方程。

在确定发动机流量特性中，总压沿长度变化的计算，静压的确定是决定作用在固体推进剂火箭发动机中药柱和它的连接件上的气动载荷的基础。在这些载荷的相互作用中，药柱可能有显著的形变，由此固体推进剂的燃烧面积、横截面、燃速和燃烧室的压力分布都会变化。

为了计算固体推进剂药柱的(沿表面)平均燃速，必须预先确定气动参数p和λ沿燃面所有单元dS=Π(x)dx的分布。在初次近似中关系式p(x)和λ(x)按发动机和药柱的几何特性计算，不考虑固体推进剂燃速的不均匀性。

3.4 固体火箭发动机的参数偏差

由于工艺和操作偏差而引起的燃速、流量综合参数和发动机、药柱和固体推进剂燃烧产物的其他参数的误差会导致固体推进剂火箭发动机的压力、燃速、流量、真空推力和药柱燃烧时间的变化(这里不研究推力终止)。这些偏差的线性近似计算按下述关系式进行:

\(\frac{\delta p}{p}=\frac{1}{1-\nu} \left(\frac{\delta a}{a}+{a}_{p}\delta {T}_{a}+\frac{\delta {\rho}_{p}}{{\rho}_{p}}+\frac{\delta {A}_{b}}{{A}_{b}}+\frac{\delta {C}^{*}}{{C}^{*}}-\frac{\delta \mu}{\mu}-\frac{\delta {A}_{t}}{{A}_{t}}-\frac{\delta \eta}{\eta}\right)\)

\(\frac{\delta {v}_{a}}{{v}_{a}}=\frac{\delta \phi}{\phi}+\frac{\delta {\lambda}_{a}}{{\lambda}_{a}}+\frac{\delta {a}_{*}}{{a}_{*}}   \approx \frac{\delta \phi}{\phi}+\frac{\delta {C}^{*}}{{C}^{*}}+\frac{\tau ({\lambda}_{a})}{1-{\lambda}_{a}^{2}}\frac{\delta q({\lambda}_{a})}{q({\lambda}_{a})}  \) 

\(\frac{\delta {\dot m}}{\dot m}=\frac{1}{1-\nu} \left(\frac{\delta a}{a}+{a}_{m}\delta {T}_{a}+\frac{\delta {\rho}_{p}}{{\rho}_{p}}+\frac{\delta {A}_{b}}{{A}_{b}}+\nu\frac{\delta {C}^{*}}{{C}^{*}}-\nu\frac{\delta \mu}{\mu}-\nu\frac{\delta {A}_{t}}{{A}_{t}}-\nu\frac{\delta \eta}{\eta}\right)\)

\(\frac{\delta {p}_{\Pi}}{{p}_{\Pi}}=\frac{\delta {\phi}_{c}}{{\phi}_{c}}+\frac{\delta \mu}{\mu}+\frac{\delta \eta}{\eta}+\frac{\delta {A}_{t}}{{A}_{t}}+\frac{\delta p}{p}-r({\lambda}_{a})\frac{\delta q({\lambda}_{a})}{q({\lambda}_{a})}\)

\(\frac{\delta {t}_{3}}{{t}_{3}}=\frac{\delta e}{e}-\nu\frac{\delta p({e}_{1})}{p({e}_{1})}+\left( \alpha – \frac{1}{a}\frac{\partial a}{\partial {T}_{a}} \right)\delta {T}_{a}-\frac{\delta a}{a}\)

式中：

\({a}_{p}=\frac{1}{a}\frac{\partial a}{\partial {T}_{a}}+\frac{1}{2}  \left[ \frac{\partial \chi }{\chi \partial {T}_{a}+\frac{\partial RT}{RT \partial {T}_{a}}}  \right]-a\)

\({a}_{m}=\frac{1}{a}\frac{\partial a}{\partial {T}_{a}}+\frac{\nu}{2}  \left[ \frac{\partial \chi }{\chi \partial {T}_{a}+\frac{\partial RT}{RT \partial {T}_{a}}}  \right]-a\)

\(\frac{\delta q({\lambda}_{a})}{q({\lambda}_{a})}=\frac{\delta {A}_{t}}{{A}_{t}}-\frac{\delta {A}_{a}}{{A}_{a}}\)

上式中，α为固体推进剂线胀系数；0≤e₁≤e。这些偏差中有一部分是已知的，例如，药柱燃速偏差\(\delta {a}^{0}\)和温度偏差δT⁰可由测量结果给出。

此时(在线性近似中)与这些已知的误差\(\delta {a}^{0}\)和δT⁰相对应的压力、流量、真空推力误差等于：

\(\frac{\delta p}{p}=\frac{1}{1-n}\left( \frac{\delta {a}^{0}}{a}+{a}_{p} \delta {T}_{a}^{0}\right)\)

\(\frac{\delta {\dot m}}{dot m}=\frac{1}{1-n} \left( \frac{\delta {a}^{0}}{a}+{a}_{m} \delta {T}_{a}^{0}\right)\)

\(\frac{\delta {F}_{v}}{{F}_{v}}=\frac{\delta P}{P}=\frac{1}{1-n}\left( \frac{\delta {a}^{0}}{a}+{a}_{p} \delta {T}_{a}^{0}\right)\)

由于燃速(以及温度)随误差(系统误差\({bar x}\)和随机误差\({\sigma}_{x}\))而变化，实际的燃速偏差\(\delta {a}^{0}\)与变化量\(\delta {a}_{exp}^{0}\)不一致：

\(\delta {a}^{0}=\frac{{\sigma}_{r}^{2}}{{\sigma}_{r}^{2}+{\sigma}_{x}^{2}}\left( \delta {a}_{exp}^{0} \right)\)

把独立确定的参数偏差和看作非偶然的(已知的)和带有零数学期望值及已知散布σ²的随机值相叠加，能够获得在所有使用条件下的固体推进剂火箭发动机的偏差估算和输出特性的极限值。对于压力和流量的极限偏差有

\(\frac{\Delta p}{p}=\frac{1}{1-n}\left( \frac{\Delta {a}^{0}}{a}+{a}_{p} \Delta {T}_{a}^{0}\pm 2.7\frac{{\sigma}_{p}}{p}\right)\)

\(\frac{\Delta {\dot m}}{\dot m}=\frac{1}{1-n} \left( \frac{\Delta {a}^{0}}{a}+{a}_{m} \Delta {T}_{a}^{0}\pm 2.7\frac{{\sigma}_{m}}{m}\right)\)

式中：

\({\left( \frac{{\sigma }_{p}}{p}\right)}^{2}={\left( \frac{{\sigma}_{r}}{r}\right)}^{2}   +{\left( \frac{{\sigma}_{{\rho}p}}{{\rho}_{p}}\right)}^{2}+{\left( \frac{{\sigma}_{s}}{S}\right)}^{2}+{\left( \frac{{\sigma}_{C*}}{C*}\right)}^{2}+{\left( \frac{{\sigma}_{\mu}}{\mu}\right)}^{2}+{\left( \frac{{\sigma}_{At}}{{A}_{t}}\right)}^{2}+{\left( \frac{{\sigma}_{\eta}}{\eta}\right)}^{2}\)

\({\left( \frac{{\sigma }_{m}}{m}\right)}^{2}={\left( \frac{{\sigma}_{r}}{r}\right)}^{2}   +{\left( \frac{{\sigma}_{{\rho}p}}{{\rho}_{p}}\right)}^{2}+{\left( \frac{{\sigma}_{s}}{S}\right)}^{2}+{\left( n\frac{{\sigma}_{C*}}{C*}\right)}^{2}+{\left( n\frac{{\sigma}_{\mu}}{\mu}\right)}^{2}+{\left(n \frac{{\sigma}_{At}}{{A}_{t}}\right)}^{2}+{\left(n \frac{{\sigma}_{\eta}}{\eta}\right)}^{2}\)

\({\Delta {T}_{a}^{0}}=({T}_{a max}-{T}_{a min})/2\)

对固体推进剂火箭发动机流量和压力偏差产生重要影响的因素，主要是由于工艺制造特征和药柱温度偏差引起的燃速偏差（\(\frac{\delta {a}}{r};\frac{1}{a}\frac{\partial a}{\partial {T}_{a}}\delta {T}_{a}\)）,燃速及随压力变化的公式中的幂指数n值。

一系列\({p}_{c}\)(t)实验关系式和它们的特征点(点火延迟时间和进入工作状态时间，最大和平均压力等)是用数学统计方法和随机函数理论导出的。

在准稳态工作条件下，通道炽热后，在沿药柱长度上燃速随机特征变化下，通道表面弯曲变形，而在初期，气体运动显示了其对压力水平及其离散差的影响，包括对侵蚀燃烧和气动阻力产生影响。

因此，压力离散差作为时间的函数能够有最小值。由于形成随机的通道波形面，燃面前缘将在不同的区域和不同的时间到达不同药柱的外表面。此后，逐渐减速燃烧到烧完剩余物。用统计实验方法能够计算在准稳定段、下降段和退出工作状态期的随机过程时间特性p(t)和\(\dot m\)(t)。

关于这类过程统计特性的直观表达式给出了按非随机函数\({\varphi}_{i} \)(t)对一系列实验结果的典型展开式。

例如，在工作的准稳流阶段压力能够表示为

\(p(t)={p}_{eq}(t)+\sum\limits_{i=1}{{\xi}_{i}{\varphi}_{i}(t)}\)

式中 为与其他随机量无关的带有递减的方差 的独立量，在卡鲁宁-罗也夫展开式的情况下， 迅速递减(图3.3)。

图3.3发动机中压力随机变化过程的统计特性

a—平均值的变化；b—分量典型展开式的最大值；1,2,3—分量值

如果n个发动机同时工作，则这一组工作时间与药柱中一个最小燃烧时间相一致(\({t}_{min}={t}_{1}\)),并且产生的不工作燃烧残余量为：

\(\Delta m=\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{\dot m}{{t}_{i}}({t}_{i}-{t}_{1})}={\dot m}\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{\delta }{t}_{i}-n\delta {t}_{1}\right)\)

式中 \(\delta {t}_{i}<0;{\dot m}\)为燃料额定流量。

在这一组中的推进剂残余物的数学期望值\(M\Delta m={\dot m}mn\delta {t}_{1}\)残余方差包括一系列统计量协方差系数\({\sigma}_{1,i}\):

\({\sigma}_{\Delta m}^{2}={\sigma}_{t}^{2}{\dot m}^{2}\left[ n(1+{\sigma}_{1}^{2}) -2\sum\limits_{i=2}^{n}{{\sigma}_{1,i}}\right]\)

例如，对于n=2可以具有一定幅值的统计特征值，而当n=4,\({\sigma}_{1}^{2}\)=0.492和2\(\sum {\sigma}_{1,i}\)=1.016。

某些同时工作的发动机可以用气体导管连通。由于沿连通导管的气体串流，压力和推力特性得到调节。

在计算连通管路横截面积Ac时，可以利用串流气体稳定方程，该方程可以比较方便地计算气体导管横截面积：

\(\frac{{A}_{c}}{{A}_{t}}=\frac{{m}_{*}(1-n)}{2\sqrt{2}} \frac{\mu}{{\mu}_{c}}\frac{({p}_{01}-{p}_{02})/{p}_{eq}-({p}_{01}^{‘}-{p}_{02}^{‘})/{p}_{eq}}{\sqrt{({p}_{01}^{‘}-{p}_{02}^{‘})/{p}_{eq}}}\)

连通管路相对横截面积Ac/At与非连通发动机中相对压差\(({p}_{01}^{‘}-{p}_{02}^{‘})/{p}_{eq}\)线性相关。在m*=0.66(k=1.25);n=0.68和\({\mu}_{c}/{\mu}=0.5\)的情况下，调整压降从\(({p}_{01}^{‘}-{p}_{02}^{‘})/{p}_{eq}=0.11\)到\(({p}_{01}^{‘}-{p}_{02}^{‘})/{p}_{eq}=0.01\)的气体管路面积等于Ac/At≈0.15。

沿气体连接管路的燃气流动速度由压力比值π=p₂/p₁来确定并借助于气动函数表来计算(由π(λ)求取λ)。

燃气发生器功率相对最小值的极限偏差

\(\frac{\Delta N}{N}=\frac{1}{1-n} \left({a}_{N}\frac{\Delta {T}_{a}^{0}}{{T}_{a}}+\frac{\Delta {a}^{0}}{a} \pm 2.7\frac{\sigma N}{N} \right)\)

\({a}_{N}=\frac{1}{a}\frac{\partial a}{\partial {T}_{a}}+\frac{2-n}{2} \left( \frac{\partial \chi}{\chi \partial {T}_{a}}+\frac{\partial RT}{RT \partial {T}_{a}}  \right)-\alpha\)

\({\left( \frac{{\sigma}_{N}}{N}\right)}^{2}={\left( \frac{{\sigma}_{a}}{a}\right)}^{2}+{\left( \frac{{\sigma}_{\rho p}}{{\rho}_{p}}\right)}^{2}+{\left( \frac{{\sigma}_{S}}{S}\right)}^{2}\)

\(+{\left[ \left(-n+\frac{2 \tau ({\lambda}_{a})(1-n)}{1-{\lambda}_{a}^{2}} \right)\frac{{\sigma}_{At}}{{A}_{t}}\right]}^{2}+{\left[ \left( 2-n\right)\frac{{\sigma}_{C*} }{{C}_{*}} \right]}^{2}\)

\(+{\left( n\frac{{\sigma}_{\eta}}{\eta}\right)}^{2}+{\left( n\frac{{\sigma}_{\mu}}{\mu}\right)}^{2}+{\left( \frac{2\tau {\lambda}_{a}}{1-{\lambda}_{a}}\frac{{\sigma}_{A}}{{A}_{a}}\right)}^{2}\)

3.5固体火箭发动机稳态工作的建立

在固体推进剂火箭发动机点火装置设计和发动机进入稳态工作状态分析时会遇到下列典型问题：

(1)减少固体推进剂火箭发动机点火药柱的延迟时间；

(2)减小固体推进剂火箭发动机进入工作状态的特性偏差(其中涉及到几个工作发动机的同步性);

(3)减少在这期间作用在药柱上的压力和载荷峰值；

(4)考虑受药柱贮存条件和期限影响的因素(例如最小压力条件):

(5)考虑点火装置和固体推进剂药柱结构的变化对起动过渡过程的影响(例如推进剂成分调整、面积比Aexp/At的改变、推进剂表面加工)。

3.5.1 固体推进剂药柱的点火

在对这个过程进行计算时，通常要利用到下列基本假设：

(1)在燃烧区所有的化学反应均被视为在平面的推进剂表面进行，燃烧产物汇入主流，忽略其小的轴向速度分量。固相中的放热反应忽略不计。

(2)推进剂表面的化学过程和燃速变化被看作是准稳态的。

(3)固体推进剂和点火剂的燃烧产物是理想气体，有相同的Cp和R值。

(4)通道中的流动是一维的；对未燃烧层的给热系数α和摩擦系数cf关系式中要考虑附面层横向性能的变化。在点火之后忽略对燃面的给热和摩擦。

热量以下列方式进入固体推进剂未点燃的表面：a)强制性对流(来自点火剂和已点燃表面部分的燃气流);b)气体辐射；c)炽热粒子的沉降。

热流的对流分量相关关系\(q=\alpha ({T}_{g}-{T}_{w})=\frac{\alpha}{{c}_{p}}({H}_{g}-{H}_{w})\)最接近于附面层模型。

用专门模型的实验结果可以在一些具体情况下精确地确定系数。例如，

\({Nu}_{x}=\frac{\alpha x}{\lambda}=0.036{Re}_{x}^{0.8}{Pr}^{0.4}{\left(\frac{{T}_{g}}{{T}_{w}} \right)}^{0.18}\)

\(St=\frac{q}{\rho {u}_{e}\Delta H}=(0.055~0.08){Re}_{x}^{-0.2}\)

式中 x为距已点火段界面的距离。

如果通道足够的长(x>7d),那么，在末段热交换数据的相关关系用以下关系式表示：

\({Nu}_{D} =0.023{Re}_{D}^{0.8}{Pr}^{0.4}\)

在初期，特别是靠近点火装置的通道段，热交换强度在增加。在模拟试验结果中同样能看到A/At对热交换强度的影响。

点火装置不仅能够放在前封头附近，而且也放在喷管中，其中包括直接放在喷管的喇叭口内。在这种情况下，点火装置的气流潜入通道内不是很深，大约在(3～4)d,气流类似于进了死胡同。点火气流以\({v}_{c,B}={\lambda}_{B}{a}_{*}\)的速度通过面积\({A}_{B}={A}_{tB}/q({\lambda}_{B})\)进入发动机，回流以音速通过环形面积\({A}_{t}-{A}_{B} \approx 0.5{A}_{t}\)流出。根据计算结果和风洞试验，有\(p{A}_{t}/({p}_{B}{A}_{tB})\)=1.9～2.1;在长度为\({(3~4)d}_{KaH}\)段附近，热传导的公式为\(Nu=C{Re}^{0.5}{Pr}^{0.4}\),其中\(Re=\frac{4{\dot m}_{B}}{\pi {d}_{KaH}\mu}\),C为系数，在工作初始段C=3～4,然后递减到1.5～2。在这一段之后，热传导可以忽略。

在固体推进剂点火药的数学模式中，利用已导出的对流换热公式来描述总的热流，并在这种情况下引入修正量。

(5)点火条件是推进剂表面温度达到规定值。上述点火的延迟时间(\({t}_{delay}\))能够用下列两方法之一从求解固相热传导方程中来计算。

(a)对于半无限平板在恒定给热系数α和均匀地初始分布温度T。下，待求的点火延迟时间为

\({t}_{delay}=\frac{\pi}{4}\frac{{\lambda}_{p}{C}_{p}{\rho}_{p}}{{\alpha}^{2}}{\left( \frac{{T}_{d}-{T}_{a}}{{T}_{g}-{T}_{a}}\right)}^{2}\)

(b)在α为变量的情况下，温度增长按热传导方程用温度分布图逼近法来计算(积分法)

\(\frac{d{(T-{T}_{a})}^{2}}{dt}=\frac{2{\alpha}^{2}}{{c}_{p}{\rho}_{p}{\lambda}_{p}}{{T}_{\infty}-T}^{2}\)

为了在推进剂药柱加热层积累必要的热量，点火器的燃烧时间应当大约不低于4a/u²。

在确定的时间内达到表面温度给定值\({T}_{B} \approx {T}_{S}\),这意味着，在表面层的热量贮备足以展开总的放热反应。

在已作出的假设情况下，固体推进剂药柱通道内气相的非稳态一维质量流量、冲量和能量方程有下列形式：

\(\frac{\partial (\rho A)}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}(\rho v A)={\rho}_{p}r{\Pi}_{p}\)

\(\frac{\rho vA}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}(\rho {v}^{2}A+pA)=p\frac{\partial A}{\partial x}-{\Pi}{\tau}_{w}\)

\(\frac{\partial}{\partial t} \left[ \rho A\left(\frac{{v}^{2}}{2}+E\right)\right]+\frac{\partial}{\partial x} \left[\rho v A\left(\frac{{v}^{2}}{2}+H\right) \right]={\rho}_{p}u{\Pi}_{p}{H}_{p}-q{\Pi}\)

\(p=\rho RT;\frac{\partial F}{\partial t}=u(p,v)\frac{\partial S}{\partial x}\)

式中\({\Pi}_{p}\)为燃烧区的周长；Ⅱ为通道的周长，且Ⅱ>Ⅱp

在用于计算通道内一维流动的边界条件公式中，采用随入口处(x=0,此处通常是安装点火器的位置)和喷管前部空间(x=L)的平均参数变化的燃气和能量平衡方程。在通道的连接处(即x=0和x=L处),存在组分滞止焓连续性和局部滞止压力损失。从点火器流出的燃烧产物的流量组成和滞止焓是时间的给定函数。从喷管前部空间出口处，通常先有喷管堵片(不透气挡板，不渗透),在它除去之后，此处为产生超声速流的边界。如果喷管前部空间忽略小量，那么\({v}_{L}={\lambda}_{L} a*\),并且q(λL)=At/AL。

气体静止被用作计算的初始条件。

点火组分的燃烧产物在药柱通道开始流动后，在通道产生并传播压力波，使燃气向喷管移动(图3.4,用特征曲线法完成了方程的积分)。

在几个波传播之后，点火器中的固体推进剂燃完达到点火条件，火焰开始充满药柱通道表面。当此时段，通道内的压力分布逐渐接近准稳态，在增面段\({S}_{B}(t)=\Pi l(t)\)上压力增加到能够实现按公式\(a{p}^{n}{f}_{1}(v)\)要求使推进剂点燃的水平(l(t)为火焰沿通道表面传播前缘的坐标，Ⅱ为周长)。

从Fx空间的气体平衡方程导出截面x处的气流速度近似公式：

\(v=\frac{x}{l}\left[{v}_{L}+{(L-l)}\frac{dp}{dt}\right]\)  当\(0 \le x \le l(t)\)

\(v={v}_{L}+{(L-x)}\frac{dp}{dt}\)  当\( l(t) \le x \le L\)

图3.4点火器开始自主工作后不同时刻药柱通道内气流参数分布

(a)i=ta₀/L=0.14;(b)i=ta₀/L=0.26;(c)i=a₀/L=0.38;(d)i=ta₀/L=0.77;(e)i=ta₀/L=1.54

1-凝聚相粒子浓度z: 2一燃气浓度ρ; 3—除以a₀的气流速度v;

4-除以a₀的声速a; 5—除以xp₀的压力p

这样，在逐步点火过程中，在截面x=L处的气流速度v1大于通道出口处的速度：v₁>v_L。

气流速度的这种分布和初始方程组数值积分的结果相一致。图3.5为用于研究固体推进剂火箭发动机进入工作状态的实验装置，其特征时间t=L/a₀～2ms,点火器点火延迟时间36 ms。在这种情况下测量的火焰传播速度从通道的初始段8m/s到中段的100m/s,再到末端的130m/s。应该指出，燃气流速v和火焰传播速度i相互关联，因为火焰传播速度取决于未点火表面和该表面绕流气体的热交换(即，特别取决于气流速度)。在火焰的前缘到达药柱的喷管端部后(l=L),速度分布达到稳定特征：v=v_L(针对图3.5(a)列出的条件，稳定应从t=61ms开始)。

图3.5当A/At=1.2(vL=520 m/s)时，试验用固体推进剂火箭发动机气流参数变化

(a) 1—在通道起始段，压力随时间变化的实验曲线；2-在通道末端压力随时间变化的实验曲线；

(b) 在57ms时沿通道的计算值：1一压力分布；2一气流速度分布；3一温度分布

计算的压力随时间的变化值(见图3.5(a))与实验值相符。而不考虑固体推进剂侵蚀燃烧算出的压力，在给定情况下只是实验值的60%。

在已知描述喷管临界面积份额增加的函数\({\bar A}_{t}(t)\)(由于喷管膜片的存在和它的作用)和点火面积份额增加的函数\({\bar A}_{B}(t)={A}_{b}(t)/{A}_{b0}=l(t)/L\)以及已知关系式\({\bar T}(t)=T(t)/{T}_{0}\)(通常在这期间气体温度的变化能够忽略)的情况下，用于按压力体积平均的燃气平衡方程可归结为伯努利方程类型：

\(\frac{{\beta}{W}{dp}}{k{A}_{t}R{T}_{0}dt}+{Q}_{1}(t)p={Q}_{2}(t){p}^{n}\)\)

式中：\({Q}_{1}(t)=\sqrt{{\bar T}(t)}{{\bar A}_{t}};{Q}_{2}(t)=\frac{{{\rho}_{p}}a{C}^{*}{A}_{b}}{{A}_{t}}{{\bar A}_{b}}(t)\)

在求解这个方程时积分常数C计算按下式，其初始条件为：

\(t=0,p={p}_{0}\)(式中\({p}_{\infty}\)为p的渐近值):

\({\left( \frac{p}{{p}_{\infty}} \right) }^{1-n}=\exp{[-(1-n)]}\int{{Q}_{1}(t)dt} \left\{{(1-n) }  \int{{Q}_{2}(t) \exp{\left[ (1-n) \int{{Q}_{1}(t)dt} \right]}dt} +C\right\}\)

其中，当At、T和l为常数时，在t<L/l 时有 

\({\left( \frac{p}{{p}_{\infty}} \right) }^{1-n}=\frac{lt}{L}-\frac{1}{(1-n){z}_{1}}+\left[{\frac{{p}_{0}}{{p}_{\infty}}}^{1-n}+\frac{1}{(1-n)} \right]{e}^{-(1-n)z}\)

而当t>L/时，有

\({\left( \frac{p}{{p}_{\infty}} \right) }^{1-n}=1-{\left[\frac{{e}^{(1-n){z}_{1}}-1}{(1-n){z}_{1}}-{\left( \frac{{p}_{0}}{{p}_{\infty}}\right)}^{1-n} \right]}{e}^{-(1-n)z}\)

式中：

\(z=\frac{R{T}_{0}{A}_{t}t}{\beta W},{z}_{1}=\frac{R{T}_{0}{A}_{t}L}{\beta W l}\)

在得到了火焰沿表面的传播速度的计算值后，可以使气体平衡方程中的Q₂(t)具体化，并得到固体推进剂火箭发动机在点火延迟时间之后进入准稳态工况的模拟过程方法。

研究点火过程的困难在于流向推进剂的即时热流随时在剧烈变化、存在小范围的最活跃区、点火过程的不稳定特性等。这样，在点火器流量确定时的10%误差，可能导致固体推进剂火箭发动机在药柱点火起始的延迟时间有20%的误差。

总而言之，发动机内固体推进剂药柱点火取决于结构的、工艺的和气体热力学等多种因素的综合作用，在很大程度上是一个需要用实验来完善的过程。

实验数据表明，在点火装置自主工作期间点火延迟时间和压力增长平均速度之间存在相关性，见图3.6。

图3.6发动机中点火延迟时间与压力增长平均速度的关系

在点火试验装置(或自主式工作)实验中，发动机内空容积和点火装置在其内的位置都应模拟实际情况；在这种情况下，模拟药柱的通道壁应采用热物理性能类似于推进剂热物理性能的材料制成。

3.5.2滞止区的充填

壳体和装填式内燃药柱(见图1.8)之间的环形间隙形成了滞止区，该区域在发动机工作初期由火药燃气经靠近药柱前端的环形缝隙充填。

气体在滞止区中的运动伴随有相当大的流体损失及与壳体和包覆层间的热交换。在这种情况下，初始的连续性方程组、动量和状态归结为导热方程，由此可导出沿整个滞止区长度的压降：

\(\frac{p(l,t)-p(0,t)}{{p}_{m}-{p}_{0}}=\left(\frac{1}{\cos {\sqrt{Pd}}}-1\right)\exp{(-Pd{A}_{0})}+\frac{4Pd}{\pi(Pd-0.25{\pi}^{2})}\exp{\left( -\frac{{\pi}^{2}{A}_{0}}{4}\right)}\)

式中：\({A}_{0}=\frac{{b}^{*}t}{{l}^{2}}>0.15\)和\(Pd=\frac{{l}^{2}}{{l}^{2}\tau}\)为相似准数；\({b}^{*}=\frac{3{a}^{2} \delta}{\zeta {v}_{1}}\)=为系l²b*t501数，类似于热传导系数；\(\delta={D}_{DB}-{D}_{0}\)为考虑了当压力增长时壳体变形两倍间隙宽度：压力近似地按指数关系增长\(p/{p}_{m}=1-{e}^{-\frac{t}{\tau}}\)为滞止区长度；ζ为环形间隙区流体损失系数；\({v}_{1}\)为间隙内速度最大值；a²=dp/dρ

。在表3.6中列出了与最大压降值\({\left(\frac{p(l)-p(0)}{{p}_{m}-{p}_{0}}\right)}_{max}\)相对应的Pd和\({A}_{0}\)值。

考虑间隙厚度随时间的变化，滞止区的充填可以作为求解初始方程组数值积分的结果。

表3.6 滞止区充填过程的无因次参数

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Pd                 0.10    0.16    0.49   1.0

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A0                1.37    1.20    0.83   0.63

---

\({\left(\frac{p(l)-p(0)}{{p}_{m}-{p}_{0}}\right)}_{max}\)        0.044    0.066    0.165  0.271

---

---

Pd              2.0        3.0       5.0         7.0        9.0

---

A0             0.45      0.37     0.30       0.25      0.22

---

\({\left(\frac{p(l)-p(0)}{{p}_{m}-{p}_{0}}\right)}_{max}\)       0.407    0.513    0.619    0.692   0.741

---

按照表3.6,可以由已知的Pd数(\(Pd=\frac{{l}^{2}}{{l}^{2}\tau}\))直接确定滞止区压力的最大不均匀度，其中Pd用来表征发动机的结构参数l,δ,发动机前封头部位在点火时压力增长时间τ以及损失ζ之间的关系。

3.5.3气体在级间分离舱段中的流动

连接舱壳体被切断之后，在来自上面级固体推进剂火箭发动机燃气流的作用下，火箭级间发生分离，见图3.7。

图3.7级间分离(a)和喷管段分离(b)

在被分离的级间空间内压力p(t)变化转换过程按准稳态近似进行计算，并作出下列假设：

• 来自上面级喷管和来自宽度为变量x的环形间隙的气流处于超临界状态；
• 在发动机进入工作状态期间来自上面级的气体(流)量从理论或实验资料上都是已知的；
• 来自环形间隙的气体沿径向流出，间隙宽度与舱段直径相比较为一小量(x<d/4);
• 分离两级的气动阻力是一个可以忽略不计的小量；
• 从发动机排出的气体滞止温度T₂和舱温度T是常量；
• 由于热量向形成两级间空间的壁面传递，T<T₂(例如T≈0.33T₂)。

利用换算质量M=M₁M₂/(M₁+M₂)和级间的相对位移x=x₂-x₁,得到

\(M\frac{{d}^{2}{x}}{{dt}^{2}}={K}_{T}{p}_{2}(t){A}_{t2}+p(A-{A}_{2})-\frac{{I}_{1}M}{{M}_{1}}\)

\({\beta}_{2}\frac{d}{dt}(pW)={f}^{*}{A}_{t2}\left[ {p}_{2}(t)-\mu p \sqrt{\frac{{T}_{2}}{T}}\Pi x \right]\)

式中Π=πd,A=πd²/4分别为级间分离舱的周长和横截面积；p为级间空间压力；A₂为上面级出口端面(如果出口锥处气流没有切断)处，或者气流被切断处(在这种情况下A₂取决于p/p₂相对值)喷管横截面积；在截面A₂处的速度系数λ₂按气动函数q(λ₂)=At/A₂确定；f*=RT为级间舱内的气体“火药力”;μ为通过环形间隙的气体流量系数；I₁为下面级的后效冲量。

用数值方法求解这些方程组的结果被用来确定分离级间与时间有关的距离x(t)和压力p(t)。

用传递给舱段壁面的热量及有关的数值计算的结果\({p}_{max}\)列于表3.7中，它反映了带有下列参数的两级固体导弹分离的情况：

表3.7在不同热损失水平时，级间舱段的最大压力

上面级最小截面积At=230 cm²,进入状态的时间约为0.03 s;

稳定工作状态的压力约为2.25 MPa;

分离处的横截面直径d=1.1m;

上面级和下面级质量分别等于907和2722 kg。

从表3.7的数据看出，\({p}_{max}\)实质上与级间舱预期的热损失水平Q有关。p(t)实验关系式基本上与Q=75%时的计算值相符，在这种情况下f*=0.33fo,计算结果表明，在\({p}_{max}\)估算值情况下，当t≤tmax时，在分离初期级间体积的变化很小，可以忽略不计。

3.6固体火箭发动机推力终止的过渡过程

3.6.1用打开反向喷管方法实现终止推力

反向喷管可能安装在发动机不同部位并与它的轴线倾斜α角。它们按控制系统指令打开。反向喷管开启后发动机内压力下降。下表OTC表示反向喷管。

推力的合力\({F}_{\sum}\)取决于推力终止喷管的倾斜角度和它们的超声速段的外形：

\(\frac{{F}_{\sum}}{{F}_{0}}=\frac{p}{{p}_{0}}\left[ 1-\frac{n({K}_{T,OTC}{\mu}_{OTC}{A}_{OTC}\cos \alpha – {A}_{y}{p}_{a}^{‘}\sin \alpha)}{{K}_{T}{A}_{t}}\right]\)

\(=\frac{p}{{p}_{0}}\left[ 1-\frac{n({K}_{T,OTC}{\mu}_{OTC}{A}_{OTC}\cos (\alpha – \Delta \alpha)}{{K}_{T}{A}_{t}}\right]\)

式中n为推力终止喷管数目；p_o和F_o分别为固体推进剂火箭发动机中的压力和推力终止喷管打开前的推力；\({A}_{y}{p}_{a}^{‘}\sin \alpha\)为推力终止喷管上存在有斜切口时侧向力分量在发动机轴线上的投影；

K_T和K_T,OTC分别为主喷管和推力终止喷管的推力系数；Δα为因具有斜切口的偏斜短管使反向喷管推力矢量偏斜几何轴线的角度。n个可打开的推力终止喷管沿圆周每隔φ=360/n角度均匀排列，这些喷管的面积和倾角偏差会导致随机侧向力的出现。这些力在固定的径向轴上的投影的数学期望值应该等于0,并有下列误差表达式：

\({\sigma}_{y}^{2}={({K}_{T,OTC}{A}_{OTC}p\sin \alpha)}^{2}\frac{n}{2}\left(\frac{{\sigma}_{A}^{2}}{{A}_{OTC}^{2}}+{\cos}^{2}{\alpha}{\sigma}_{\alpha}^{2}+{\sigma}_{\varphi}^{2}\right)\)

式中\({\sigma}_{A},{\sigma}_{\alpha},{\sigma}_{\varphi}\)分别是喷管面积、偏斜角和位置的随机方差。

在临界面积从At阶跃式增加到\({A}_{\sum}={A}_{t}+\sum {A}_{OTC}\mu\)之后，在fo=常数，β=常数，n=常数条件下，可在近似求解初始方程组的基础上确定发动机内压变化。

\(\frac{p}{{p}_{0}} \approx {\left[\frac{{A}_{t}}{{A}_{\sum}}+\left(1-\frac{{A}_{t}}{{A}_{\sum}}\right){e}^{\frac{(1-n){f}_{0}{A}_{\sum}(t-{t}_{0})}{w \beta}}\right]}^{\frac{1}{1-n}}\)

由于附加喷管开启的时间不同步性，从引爆装置起动瞬间到最后一个喷管打开的时段内，会产生侧向扰动，这个扰动值与开启窗口的顺序有关。在独立开启每个窗口的方案下，侧向冲量值

\(I=2.7{\sigma}_{t}\sqrt{\frac{n}{2}}{\mu}_{OTC}{A}_{OTC}{\varphi}_{OTC}{z({\lambda}_{a})}_{OTC}\sin (\alpha+\Delta \alpha)\)

式中\({\sigma}_{t}\)为开启装置的起动时间均方根偏差。

最后一个喷管打开后，推力终止段参数的差异就导致了侧向力。在发动机附加窗口开启时刻，产生稀疏波传播到对面封头端，从对面封头反射回来的回流又作用到推力终止装置处。这一过程还会再重复。在这种情况下，在发动机内产生压力降和附加的轴向力。起减压作用的正向和反射回的稀疏波压力差用线性近似公式表示(见3.6.4节):

\(\Delta p \approx -k{M}_{L}=-k{\left( \frac{2}{k+1} \right)}^{\frac{k+1}{2(k-1)}}\frac{n{A}_{OTC}}{A}p\)

式中A为波传播通道的横截面积；p为初始压力，在该压力下产生稀疏波；\({M}_{L}\)<1为波中的马赫数。

上述计算中假定，固体推进剂火箭发动机推力终止装置横截面开启过程“瞬时”间完成。

如果关系式\({F}_{OTC}(t)\)[以及S(t),T(t)]已知，那么气体平衡方程归结为伯努利方程形式(见3.5.1节)。

3.6.2发动机部件分离

固体推进剂火箭发动机设计中，可设置将壳体沿横截面周长Π断裂来实现推力减小或终止，见图3.7(b)。

在时刻t’，对应有\({\Pi}_{x}(t’)={A}_{OTC},{(A}_{OTC}\)为壳体断裂面积)在内压力的作用下质量为M₁和M₂的两部分相互运动，用气体平衡方程和被分离部分相对位移方程来确定它们的运动状态：

\(M\frac{{d}^{2}x}{{dt}^{2}}=p{A}_{OTC}\)

上式中引入换算质量M:

\(\frac{1}{M}=\frac{f(\lambda)-{K}_{T}({A}_{t}/A)}{{M}_{1}}+\frac{f(\lambda)}{{M}_{2}}\)

在时间间隔t'(即当x<A/Π)内，发动机内压力变化很小，近似地有p≈p0=常数，而对于t’时刻得到

\(t’=\sqrt{\frac{2M}{\Pi {p}_{0}}}\)

但是，在喷管分离之后要产生峰值推力，它的值取决于固体推进剂火箭发动机药柱和壳体的弹性性能。火箭发动机的推力可以作为两个力的差值来研究：作用在前封头上压力的合力\(p{A}_{DB}\)和作用于发动机壁面的纵向拉力T。其中在喷管部分分离之前\({F}_{0}={K}_{T}{p}_{0}{A}_{t}={p}_{0}{A}_{DB}-{T}_{0}\),在分离之后\({F}={K}_{p}{p}_{0}{A}_{t}={p}_{0}{A}_{DB}-{T}_{0}\)(式中K为留下来的带有新喷管出口的燃烧室的推力系数)。

如果在固体推进剂火箭发动机壳体壁内的弹性波被强烈阻尼，那么壁内拉力将单调地从T₀衰减到T,推力单调地从F₀增加到F。在那种情况下，纵向振动的衰减很小，这种衰减具有振动特性。

可能的推力峰值等于

\(F+\Delta T=F+{p}_{0}(K{A}_{OTC}-{K}_{T}{A}_{t})=(2K{A}_{OTC}-{K}_{T}{A}_{t}){p}_{0}\)

如果喷管部分的压力下降非常快，在此短时间内前封头附近留下的压力相对较高，轴向拉力下降到零，此时推力的峰值还是比较大的。

3.6.3固体推进剂药柱的熄火

如果在(推力终止)孔打开时非稳态流动的时间和热层弛豫时间(a/u²)是同一个量级，那么有可能发生熄火(a为推进剂的导温系数)。

对于高氯酸铵和丁二烯共聚物基复合固体推进剂，在压力p=2.5~8.5 MPa时，当压力变化符合下式情况时，燃烧会发生中断：

\(dp/dt <{(dp/dt)}_{cr}=150-180p\)

临界值\({(dp/dt)}_{cr}\)受推进剂组分的粒度和成分的影响。表3.8给出的是基于聚丁二烯基推进剂的相关数据。

表3.8固体火箭推进剂成分对燃烧终止条件的影响

对于聚氨酯推进剂，高氯酸铵的粒度减小药柱会易于熄火；而对于聚丁二烯推进剂，高氯酸铵的粒度减小会难于熄火。固体推进剂燃速的稳定性和发动机内压力水平的增加、以及燃速指数的减小都会导致\({(dp/dt)}_{cr}\)绝对值的增加。

实验还证明，从喷管端燃烧的药柱易于熄灭(压力下降的速度约比内孔燃烧药柱低50%)。

固体推进剂近似的熄灭条件有下列形式

\(\sum {A}_{OTC}>\frac{W{u}^{2}\beta}{{f}_{0}a}\)

或 \(\sum {A}_{OTC}>\frac{W\beta}{{f}_{0}}\left( 180-\frac{150}{{p}_{0}}\right)\)

药柱熄灭之后，剩余的气体从火箭燃烧室流出，在这种情况下压力下降，而温度的变化情况可能很不相同。

(1)等温流动(T=常数),此时

\(\frac{p}{{p}_{c}}={e}^{-\frac{{f}_{0}{A}_{\sum}}{\beta {W}}}\)

在这种情况下

\(\int_{0}^{t}{p(t)dt}={p}_{c}\frac{\beta W}{{f}_{0}{A}_{\sum}}{(1-e)}^{-\frac{{f}_{0}{A}_{\sum}}{\beta {W}}}\)

(2)在绝热流动的情况下

\(\frac{p}{{p}_{c}}={\left(1+\frac{{f}_{0}{A}_{\sum}}{{\beta}W}\frac{k-1}{2}{t}\right)}^{-\frac{2k}{k-1}}\)

在这种情况下

\(\int_{0}^{t}{p(t)dt}={p}_{c}\frac{\beta W}{{f}_{0}{A}_{\sum}}\frac{2}{k-1}\left[ 1-{\left( 1+\frac{{f}_{0}{A}_{\sum}}{{\beta}W}\frac{k-1}{2}{t}\right)}^{-\frac{k+1}{k-1}}\right]\)

(3)在传热情况下气流从容器流出时，由于是自由对流，其p(t)关系式有如下形式

\(\frac{p}{{p}_{c}}=\frac{C}{C+R} {\left\{ {\left[ \sqrt{\frac{R}{C}}sh\left( Nt+arth \sqrt{\frac{C}{R+C}}\right)\right]}^{\frac{2R}{(R+C)(k-1)}}\times {th}^{2}\left( Nt+arth \sqrt{\frac{C}{R+C}}\right) \right\}}^{-1}\)

式中\(N=\frac{(k-1)\sqrt{C(C+R)}}{2}\frac{{f}_{0}{A}_{\sum}}{\beta W}\)

当\(C \gg R\),其解趋于等温情况；而当\(C \ll R\)时，其解趋于绝热情况。

在这些公式中时间从固体推进剂火箭发动机开始排空时算起，此时压力为\({p}_{c}\)和温度为\({T}_{0},{f}_{0}=R{T}_{0}\)对应于初始温度。按照p(t)关系式和T(p)状态方程能够计算燃烧室排空过程中温度、密度和流量的变化。

在固体推进剂火箭发动机推力归零实验方案中，利用了喷管沿锥形螺栓移动，在壳体上开大孔的药柱熄火方法，锥形螺栓从喷管法兰上伸出，在螺栓末端张开较大(见图1.16)。推力归零指令发出后，喷管开始推移，喷管通过法兰上的孔洞使锥形螺栓受拉，此后喷管终止移动。在这种情况下，螺栓拉力减少了由于喷管分离而产生的冲击载荷\(p{A}_{OTC}\)。部分气体在挡板与孔洞一起形成的类似于碟形喷管上受到阻滞。

固体推进剂火箭发动机排空时，作用于喷管段移位的推力为

\({F}_{\sum}={K}_{T}p{A}_{t}+{\dot m}_{e}{v}_{e}\cos {\gamma}_{e}-{p}_{e}\pi ({r}_{e}^{2}-{r}_{o}^{2})+2\pi \int\limits_{{r}_{o}}^{{r}_{M}}{prdr}+2\pi \int\limits_{{r}_{a}}^{{r}_{e}}{prdr}\)

式中r_o,r_e和r_M分别为孔、挡板和发动机最大截面的半径；p_e和γ_e分别为平均压力和在连接孔缘与挡板的锥面上速度v_a和v_e方向间的夹角。

推进剂和形成孔的尺寸的选择应保证药柱在非稳态燃烧过程中会熄灭。

在喷射冷却剂时会发生a)气相冷却；b)冷却剂直接作用在燃面；c)由于冷却和混合蒸汽流动的联合作用，压力下降。灭火之后应防止自燃。

为了完全熄灭，确定水质量(kg)的经验公式

\({m}_{B}=2m+3.52{A}_{b}\)

式中m为固体推进剂火箭发动机内的燃气质量，kg;Ab为接近熄灭时燃烧面积，m²。

所要求的液滴尺寸d应使得蒸发时间t_vapor≈1.2d²(测量单位ms;d,mm)远小于自由空间的弛豫时间。

同样，固体物也可以作为冷却剂，这些物质从喷射器向固体推进剂火箭发动机喷射，其微粒应以45°～90°方向冲向药柱燃面。

3.6.4燃气波动

在圆柱形容器一个封头上打开一个面积为At的孔之后，稀流波的前缘以声速在未扰动气体中传播，而后缘以音速存在于朝着孔口的运动气流中。在波缘到达对面封头时，在该区域压力开始下降。而后反射波返回，又重新反射，传播过程和相互作用过程反复进行。

在扰动压力p’=Δp/p₀和速度v’=Δv/a₀足够小的情况下，线性方程组的解仍然是正向和回程波的线性叠加。

该问题的解有以下形式：

a)在截面x=L(有孔的封头附近);

\(v=m{a}_{0};p={p}_{0}[1-km(1+2n)]\)

式中 \(m={M}_{L}={\left)\frac{2}{k+1}\right)}^{\frac{k+1}{2(k-1)}},{A}_{t}/A \\ll 1\)

b)在截面x=0(前封头附近)

\(v=0;p={p}_{0}(1-kmn)\)

式中n=ta₀/(2L)为通过的往返波的数目。

在两个截面之间，发生0到ma₀之间周期性速度变化，其周期为t’=ta₀/L=2。在t’=2n时刻，气体在所有空间静止，而在t’=2n+1时刻，气体以v=v′a=ma速度在总长为L的范围内运动。

按准稳态理论公式计算的结果接近精确值，并当m«1时与线性相吻合。在对精确和准稳态关系式进行比较时必须计算

\(\frac{{A}_{t}RT}{\beta W}t=\frac{{a}_{0}mt}{L}=mt’\)

发动机推力(同样还有压力降)在不稳定流动时不同于准稳态值，其差值为

\(\Delta F=A\int\limits_{0}^{L}{\frac{\partial \rho v}{\partial t}dx}=\int\limits_{W}^{}{\frac{\partial \rho v}{\partial t}dW}\)

为了在一次近似中估算修正量ΔF,研究了在圆柱形容器中气体的一维流动，从容器中流出的非稳态气流仅仅通过后封头附近精密的径向孔洞(容器轴线和通过射流轴线平面的夹角等于90°)。这个容器轴向反作用力在稳定流动时等于零。按照波动理论，在0≤t≤L/a0时间间隔内，推力的轴向不稳定分量等于

\(\frac{\Delta F}{{p}_{0}A}=\frac{p(0)}{{p}_{0}}-\frac{p(L)}{{p}_{0}}(1-k{m}^{2})\)

\(=1-{\left(1+\frac{k-1}{2}m\right)}^{-\frac{2k}{k-1}}(1-k{m}^{2}) \approx km\)

在t=L/a0时刻，不稳定分量变换符号，而在波的反向运动时(L/a0≤t<2L/a0):

\(\frac{\Delta F}{{p}_{0}A}=\frac{p(0)}{{p}_{0}}-\frac{p(L)}{{p}_{0}}(1-k{m}^{2})\)

\(={\left[ \frac{1-\frac{k-1}{2}m}{1+\frac{k-1}{2}m}\right]}^{\frac{2k}{k-1}}-{\left(1+\frac{k-1}{2}m\right)}^{-\frac{2k}{k-1}}(1-k{m}^{2}) \approx -km\)

无论是气体的动量，还是容器的动量，在这种情况下都将周期性地变化。

来自圆柱体的不稳定空气流在遭遇孔突然打开(\({A}_{t}/A=0.49\))时，一维情况用图解分析法计算，二维情况用C·K·郭杜诺夫方法计算；在后者情况下，对两种长径比(小的L/d=1.5和大的L/d=10.5)分别进行了计算。获得的结果表示在图3.8中，该图表明了问题给定的情况和方法对推力和压力下降的影响。

在图3.8中，p0为初始压力；\({\bar F}=F/{p}_{0}{A}_{t};L/d\)为圆柱的长径比；dt/d=0.7)。

图3.8气体波动

(a)对应于前封头和后封头(后封头开孔)处的相对压力；1,2—长径比L/d=10.5;    3,4—L/d=1.5;5,6—一维模型

(b)相对的反作用力；1-L/d=10.5;    2-L/d=1.5;3—一维模型

3.7 在药柱通道中的气体二维流动

从图3.9中可以看出，在可渗透壁圆柱形通道内的稳定轴对称气流可以分成三段：

图3.9可渗透壁圆柱形通道内气流分布

(a)带有潜入喷管的固体推进剂火箭发动机轴对称气流示意图；

(b)喷管人口部分旋转流线示意图

在初始截面(x=0),气流速度等于零，随着通过侧壁气体的进入，流速不断增加。在毗邻通道初始段区域，可以忽略气体的可压缩性。这里通过壁面输送的质量流量\(j={\rho}_{0}{v}_{w}={\rho}_{p}{r}_{b}\)与轴向流比较要大得多，流线被挤压，使得后部截面进入的气体仅处在壁面附近。从对这股流体的研究中，在初始段\({L}_{\Pi}≈20{d}_{o}\)得到(j(x)=常数):

轴向速度分量沿横截面的分布是余弦曲线形式

\(v(x,r)=\frac{\pi {v}_{w} x}{{r}_{o}}\cos \frac{\pi {r}^{2}}{2 {r}_{o}^{2}}=\frac{\pi}{2}{v}_{cp} \cos \frac{\pi {r}^{2}}{2 {r}_{o}^{2}}\)

压力随距离x变化的关系式是抛物线型：

\(p(x)=p(0)-\frac{\pi}{8}{\rho}{v}_{cp}^{2}\)

径向速度分量的分布：

\({v}_{r}=-{v}_{w}\frac{{r}_{o}}{r}\sin \frac{\pi {r}^{2}}{2{r}_{o}^{2}}\)

此后，轴向流动强度增大。一旦由湍流波动携带的动量t≈0.025(ρv²/2)变得与从壁面流出的气体所携带的轴向动量分量大体相等时，基本气流中的气体微粒开始向壁面层渗透并在它附近停滞。在这种情况下产生附面层(截面Ⅱ-Ⅱ)。附面层迅速加厚并充满通道横截面，在第二、第三段气体与壁面的粘滞作用沿整个截面传播开来。

在第三段只有小的吹气参数\(b=2j \times {({\rho}_{\infty}{v}_{\infty}{c}_{f0})}^{-1} \ll 1\)的情况下，得到

\(\frac{v}{{v}_{\infty}} \approx \frac{{v}_{0}}{v}\left[ 1-\frac{b}{4}\left(1-\frac{{v}_{0}}{{v}_{\infty}}\right)\right]\)

\(\approx {\left(1-\frac{r}{{r}_{o}}\right)}^{n}\left[ 1-\frac{b}{4}\left(1-{\left( 1-\frac{r}{{r}_{o}}\right)}^{n}\right)\right]\)

式中\({v}_{\infty}\)为通道轴线上的流速，\({v}_{0},{c}_{f0}\)分别为无供气通过壁面时的流速和摩擦系数。

表3.9中列出了在n=1/7时与b有关的关系式\({v}_{\infty}/{v}_{cp}\)的计算值和经验值的比较。由表可见，在第3段中速度的不均衡性要比第1段(b=4处)小。

表3.9透气参数对沿横截面速度分布不均衡性的影响

示意图3.9标出了轴向和径向上流动区域界线。与这个示意图相适应，对流换热区沿通道长度也在变化，并且有：

• 在初始段\(L={L}_{\Pi}\)处，由于燃烧产物的注入，气流处于与对流供热相隔绝的情况；
• 在长度为\({L}_{\delta}\)的第2段，附面层增长，向壁面的热流开始增加；
• 在第3段，对流换热法则与管道主要段中相应的湍流理论关系式相吻合；注入的影响还应当考虑。
• 由于沿通道长度上热流的变化，固体推进剂燃速也在变化，产生燃速“侵蚀”增加现象。

在大直径(\({r}_{o}\))可渗透壁的环形圆柱通道中，在初始截面附近(见图3.9(a))有：

\(v(x,r)=\frac{\pi {v}_{w}{r}_{o}}{{r}_{o}^{2}-{r}_{B}^{2}}\cos \frac{\pi ({r}^{2}-{r}_{B}^{2})}{2({r}_{o}^{2}-{r}_{B}^{2})}\)

\({v}_{r}(r)=-{v}_{w} \sin \frac{\pi}{2} \frac{\pi ({r}^{2}-{r}_{B}^{2})}{2({r}_{o}^{2}-{r}_{B}^{2})}\)

式中\({r}_{B}\)为内通道半径。

在发动机工作初始时段，并且小的\(\frac{{r}_{o}-{r}_{B}}{{r}_{B}} \ll 1\)条件下，这种环流能够存在于喷管潜入部分之上。

在可渗透壁面的平面通道，在同样的理想的非压缩流体稳定流假设下有：

\(v(x,y)={v}_{max} \sin \frac{\pi y}{2h}\)

\({v}_{y}(x,y)={v}_{w} \cos \frac{\pi y}{2h}\)

式中h为通道的半宽度；y为从可渗透壁算起的距离。

稳定的二维(平面的或轴对称的)可压缩理想气体流动可以用解析方法计算(对于从可渗透壁流出的气流方程可变换成阿贝尔积分方程)或者欧拉数值积分方法来完成。

随着推进剂燃烧通道和潜入喷管上部环向间隙的直径在增大，在通道内的气流速度头开始超过来自环形间隙的逆向速度头，喷管潜入部分之上的流动情况也在变化。采用已建立的一阶精度显式差分格式方法，对流入通道和部分潜入式摆动喷管的二维气流进行计算。计算表明，对称性的破坏伴随有非对称气流从通道流入环形部分，并在喷管端头表面存在绕流，见图3.9(b)。

多孔壁板通道的实验装置可用来对药柱通道和不同形状喷管前部燃气流进行物理模拟(例如用烧结尺寸为50m的铜球制造的小孔),这类通道通常都是分段制成，以便保证进气密度沿通道长度达到要求(通过细孔),也是为了几何模拟的需要，参见5.2.4节。

冷气(通常是空气)通过高压蓄压器的减压阀供给到部件上。例如，为了模拟无喷管固体推进剂火箭发动机的气体流动(这种发动机的通道截面积等于临界截面积，在通道出口处，发生气流阻塞),用两个多孔平板作成18段装置，形成尺寸为48cm×4 cm×2cm的平面通道。速度轴向和横向分量的分布借助于安装在通道透明侧壁上的激光多普勒测速仪来测量。除此之外，还向供料管路喷洒尺寸为微米级的油性微粒，均匀的比质量流量为13kg/(m²·s)。

从风洞试验结果看出：

在通道0≤x≤0.7L段，在密度为常数假设下计算出轴向速度分量与长度的关系式近似为线性(图3.10)。

图3.10 (a)轴向速度分量的分布；(b)沿通道的静压分布

沿通道长度的静压变化近似等同于按一维可压缩气流关系式的计算值。

轴向速度分量沿通道横截面积的分布在低速度(λ<0.5)时是正弦曲线型，\(v(x,y)/{v}_{max} =\sin \frac{\pi y}{2h}\)而在较高速度(λ>0.7)时，截2 h面逐渐有较大凸起，与考虑可压缩时的计算值更近似。见图3.11,图中y轴从通道壁面算起；压力沿通道横截面为常值，直到x/L=0.99之前。

图3.11在截面x/h=19(·),x/h=47(o)处轴向速度分量沿通道横截面的分布

此外，在距壁面1mm处及在0≤x≤0.4L区间，靠近多孔壁而测定的湍流强度减小；而后，在0.4L≤x≤0.6L区间增长；最后，在0.6L≤x≤L区间，又开始下降；这就证实，在带有多孔壁而的通道内，可能存在着某种不同流动状态的三个区域。

第4章 喷管的气体动力学特征

4.1固体火箭发动机喷管型面

超声速喷气喷管由三个主要部分组成，见图1.1:喷管收敛段(亚声速段)、临界截面段(喉部)、喷管扩散段(超声速段)即出口锥。

在设计火箭喷管型面，即构成其子午截面轮廓线时，要考虑到以下要求：流量与推力；固体推进剂燃烧产物热力学性质，包括燃烧产物中凝聚相的质量分数；发动机中燃气的压力和温度；\(k=\partial \ln p/\partial \ln p\);周围环境介质的特征；并且有必要考虑保证喷管最小的尺寸和质量限度以及比冲损失。在喷管设计中通常进行若干次基本的迭代(平均为三次),这取决于：1)对喷管、发动机和火箭总体要求协调的必要性；2)与气体动力学、传热传质和强度理论等一些技术学科设计与计算的相容程度。

4.1.1 喷管的亚声速段

喷管的亚声速段是以通道收敛的形式实现的；它可以潜入到发动机壳体和固体推进剂药柱内孔中。见图4.1及图1.1。

在图4.1(e)中，给出了维脱申斯基型喷管亚声速段型面1,它可按下式计算：

图4.1 喷管亚声速段型面

(a)突缩；(b)锥形入口；(c)弧形；(d)伯尔德喷口；(e)维脱申斯基型型面1和双圆弧型面2

\({\bar r}=\frac{{r}_{t}} {\sqrt{1-\left[ 1-{\left(\frac{{r}_{t}}{{r}_{in}}\right)}^{2}\right]\frac{{(1-{x}^{2}/{L}_{conv}^{2})}^{2}}{{(1+{x}^{2}/3{L}_{conv}^{2})}^{3}}}}\)

式中 Lconv为亚声速段长度。型面2为双圆弧亚声速喷管，它由三部分组成；a)半径为r₁的收敛部分；b)角度为θin的锥形段；c)半径为r₂的临界截面。对于这种型面，应有：

r₁<r_in;   30≤θ_in≤60°;   0.5r_t≤r₂<2r_t

在锥形段(见图4.1(b)),从工艺和生产角度考虑，其喉部应以短圆柱形来实现。

作为潜入式喷管亚声速段型面，采用了椭圆段、圆弧回转体段和双曲线段。潜入的深度对多相燃烧产物比冲的附加损失产生影响。在潜入深度约为2rt时，则后封头热防护可以简化。由于固体粒子的冲蚀与化学作用，会发现在喷管潜入部分进口(迎气流面)边缘的材料被大量烧蚀。在推进剂药柱为非圆形内孔时，在燃面与喷管潜入部分外表面之间可能出现凝聚相物质不均匀分布的气流，它更会引起材料的局部烧蚀流失。

4.1.2喷管流量系数

喷管的流量系数取决于燃气的可压缩性和亚声速段几何特征，它可用下式确定(见图4.1):

\(\mu=\frac{1}{1+0.637{\xi}_{\rho}{\xi}_{\chi}}\)

式中 \({\xi}_{\rho}=(f({\lambda}_{2})-1)/(1-{\pi}_{2})\)依赖于燃气可压缩性(0≤λ₂≤1);

\({\xi}_{\chi}=\sqrt{1-{A}_{t}/{A}_{in}}\)为对突然收缩的喷管(0≤\({r}_{t}/{r}_{in}\)≤1);

\({\xi}_{\chi}={({\theta}_{in}/90)}^{0.924} \approx {{\theta}_{in}}/90\)为针对锥形入口(0≤\({\theta}_{in}\)≤90;

\({r}_{in}\gg {r}_{t})\)情况；

\({\xi}_{\chi}={e}^{-4{r}_{2}/{r}_{t}}\)为针对弧形人口(0≤r₂/r_t≤∞,r_in>>rt)情况。

对高压的发动机\((\pi={p}_{2}/{p}_{0}\approx 0),{\xi}_{\rho}=0.268\),公式可简化为：

\(\mu=\frac{1}{1+0.171{\xi}_{\chi}}\)

如果喷管亚声速段型面有大的圆弧半径(\({r}_{2} \gg {r}_{t}\))或者满足维脱申斯基公式，则气流在临界截面处的压缩很小，而且它的流量系数与1的差别仅取决于附面层的存在，对此情况有：

\(\mu=\frac{1}{1+(4{\delta}_{*}/{d}_{t})}\)

式中 δ*为附面层位移厚度。

对于亚声速段层流附面层以及200≤Re≤6.8×10⁵情况，下述公式适用：

\(\mu=\frac{1}{1+6.5/\sqrt{Re}}\)

对于湍流情况，适用公式为：

\(\mu=\frac{1}{1+0.18/{Re}_{x}^{0.2}}\)

带有尖锐边缘的孔\(({A}_{t}/{A}_{in}\to 0,{\xi}_{\chi}=1)\),其流量系数最大值(当k=1.4时)μ_**=0.854(π2→0),接近按弗朗克尔公式计算的精确值μ_**=μ_OTB=0.85,该值于π₂=π_**=π_OTB=0.037的情况下得到；而且当有大的压差值，即π₂≤π_**时，燃气流量将不依赖于孔出口的压力p₂。

流量系数的最大值μ_**及对应于该值的压力比π_**依赖于角度θ_in和收敛比A_in/A_t。在第一次近似过程中，在尖锐角外绕流情况，气流转角为θ_in/2时，π_**值等于压差π_Π-M(θ_in/2)(普朗特—马约尔流动，见表4.1最后一栏)。

如果已知π_**在坐标值μ_OTB,π_OTB至坐标值μ_**=1,\({\pi}_{**}={\left( \frac{2}{k+1}\right)}^{\frac{k}{k-1}}\)区间内，能够近似地得出线性关系：

\({\mu}_{**} \approx {\mu}_{OTB}+\frac{{\pi}_{**}-{\pi}_{OTB}}{{\pi}_{*}-{\pi}_{OTB}}(1-{\mu}_{OTB})\)

而在μ** 和π**已知的情况下，收敛喷管流量系数将随着压差π₂变化，可以采用以下的近似关系式：

\(\mu=\frac{{\mu}_{**}}{q({\lambda}_{2})}\sqrt{1-\frac{{({\pi}_{2}-{\pi}_{**})}^{2}}{{(1-{\pi}_{**})}^{2}}}\)

而且，当π₂≤π**时，有μ=μ**。

穿过伯尔德喷口的流量系数(见图4.1(d)和表4.2)等于

\(\mu=\frac{1-{\pi}_{H}}{f({\lambda}_{2})-{\pi}_{H}}\)

表4.1收敛喷管的最大流量系数

表4.2带有尖锐边缘的孔流量系数μ₀(k=1.4)以及伯尔德喷口流量系数μ_b随压强比π_H=p_H/p₀的变化

在喷管对比试验的差动装置上成功地进行了流量系数、推力偏心、推力损失、控制力的实验研究，装置图见图4.2。在图中，把两个喷管分隔开并保证通过标准喷管和被试喷管中的空气流量相同。为了排除这两个流量之间微小的差别，两个喷管还要互换位置；在测量横向力时，还需将被试喷管绕纵轴旋转。所有这些都是为了保证测量的流量系数、推力损失和横向力达到高的精度，推力测量误差小于0.1%。

图4.2 比较试验喷管的差动试验装置

1一排气道；2一基准喷管；3—两个分隔开的喷管；4—蓄压器；5—被试喷管；6—固体推进剂试样药柱；7一应变测定简；8—集气器

4.1.3固体推进剂燃烧生成单相产物时喷管超声速段型面

在临界截面拐点为K而出口气流均匀的喷管中，存在喷管超声速段最小长度L,见图4.3。

图4.3 喷管超声速段

1一气流中值线

从图4.3中可见，由于气流通过K点，使其从平面的声速表面OK发展到同轴的稀疏波OKB,气流速度迅速达到M=1。均衡线段KC表示由用特征曲线KB表示的自由扩张的流动变成用BC表示的均匀和平行流动的转变过程。燃气流通过临界截面OK和特征面BC,其流量是一致的。

离开声速表面区域的气体动力学参数用解析的方法进行计算。不论是OKB区域还是BKC区域的进一步计算都需要采用特征曲线方法。扇形的稀疏波区域OKB,对所有给定了燃气性质的型面来说都一样，只有特征曲线KB的位置会因马赫数的变化而改变。

但是，带有拐角点的理想喷管得出的结果往往太长太重。例如，L=(5~6)r_a(对k=1.25及M=3～5)。与此同时，在曲线末段aC,推力的增长已经不大，以致它只能抵消局部的表面摩擦力。因此，减短理想喷管，不仅减少了喷管的长度和表面积，当然也减少了质量，而且增加了推力。

因此，最佳喷管能够在理想喷管基础上研制，并按理想情况截短至出口截面a处。用这种方法构成超声速段型面很简单，适用于求取各种极限值的课题任务，例如最小长度，表面积或出口直径，所给出的结果与用变分方法计算出的最佳喷管结果近似。在一般情况下，按理想情况截短得到的喷管与最小长度喷管相吻合。

用截短理想喷管方法得到的近似超声速段型面对多数实际结构已足够精确，其计算是针对某一常数\(k=\ln \frac{{p}_{a}}{{p}_{0}}/\ln \frac{{\rho}_{a}}{{\rho}_{0}}\)来作的。

从工艺和使用角度考虑，有时要把角顶修整成圆角。在这种情况下，型面可能被沿着中间流线1选择，见图4.3正中间的曲线。

在火药火箭弹中，考虑到布局、工艺和其他一些因素，使用锥形超声速喷管其锥形角度2θa=20°~40°。大扩张比的锥形喷管出口锥(da/dt>2),在同一的损失水平的情况下，会比特型曲线喷管更长一点和更重一点。

喷管横截面形状偏离圆形的偏差会导致喷管推力特征的变化。例如，具有正方形横截面喷管的推力损失大于圆形横截面喷管的推力损失，这是由于扩散的损失增加\({\xi}_{KB}=1-{(\sin {\theta}_{a}/{\theta}_{a})}^{2}\)和在两面角上出现非均匀流的附加损失\({\xi}_{add}\approx\)5%。

以通用的理想气体内流场等价性的法则，可得到下列结论，在立体的喷管中扩散造成的损失应等于具有相同的沿轴向通道截面面积分布的轴对称喷管扩散损失。

4.1.4含粒子的燃气流

含金属推进剂被广泛应用于各种用途的固体火箭发动机。因此，有必要对含有一定量细微的液体或固体颗粒的燃气运动课题进行研究和求解：

a)确定在固体推进剂药柱内孔及喷管通道气流中的粒子成分及粒度的分布；

b)得出在燃气通道中粒子和多相流摩擦和热交换的规律，包括研究这种气流与壁材料作用的特点；

c)对药柱内孔、喷管前部空间和喷管通道之中多相燃烧产物的运动过程进行计算。

在复合固体火箭推进剂中引入铝，金属铝在从固体推进剂表面逸出的燃气中就已点燃和燃烧(见表4.3)。

表4.3某些金属及其氧化物的性质

粒子的运动，首先是物理化学过程，而后是通过物理变化成为凝聚相粒子。凝聚相粒子和气相与喷管壁的作用对喷管的推力特征、流量综合参数、推力系数、比冲损失和结构效率产生很大影响。对喷管的工作性能也有大的影响。为了评估这些影响，有必要研究铝粒子燃烧的最终时间、氧化铝粒子形成、冷却和固化过程，以及其速度和温度的滞后情况。在这些研究中采用了多种固体火箭发动机多相流稳态过程的模型，按照模型复杂性可以分为以下几种形式：一维单分布的；一维多分布的；二维多分布的；三维单或多分布的(模型)。

多相混合物一维流动模型被广泛应用于评估总的特性：由于凝聚相速度和温度滞后引起流量综合参数变化和比冲损失；这种情况下，凝聚物可以认为是单分布的。

多相混合物流动二维模型计算的目的有以下三点：

1)评估凝聚相粒子析出的位置和数量；粒子析出会引起喷管的强烈烧蚀，直至其工作性能被破坏掉，也会因为粒子与壁接触持续产生附加比冲损失或者因为粗糙度进一步加大而出现附加比冲损失(在工作性能尚能维持的情况下);

2) 对喷管亚声速、跨声速和超声速段两相流中凝聚相的很快减速造成的比冲损失和由于二维的多相流扩散引起的损失进行精确评估；

3)得出对火箭喷管型面设计的建议。

在喷管中非平衡二维多相流的基本特点是在喷管横截面上存在相当大的参数非均匀性。在一个设计不当的喷管中，粒子飞行撞击喷管壁，在这种情况下，由于高速撞击，材料发生严重烧蚀，并产生附加的比冲损失。

对于多相多分布流动情况的喷管型面构成，可以容许最细小的粒子沉降存在，因为它们相对比较少。从多分布流动计算及实验数据的分析中，来选择粒子的粒度，但在开始时可以不考虑它们对型面的撞击。此外，要考虑的最基本条件就是在质量和外型受限的条件下，获得最高的比冲。

在喷管亚声速段的沉积是经常发生的，但是通常粒子的分数非常少。这里未考虑带有潜入式喷管发动机中由于轴向加速作用引起可能的熔渣沉积问题。

在喷管近壁多相流中，从跨声速段开始，产生纯净燃气区(如果不考虑非常小的凝聚相粒子)。该区域在气流方向上由所选粒子有撞击壁面造成冲蚀危险的极限轨迹来限定。由于粒子与壁交角非常小，因此，粒子轨迹与壁面交汇点的精确计算非常困难。

粒子的沉积受到喷管亚声速段、跨声速段、特别是超声速段的影响。与带有锥形出口段的喷管相比，在潜入式喷管的情况，粒子极限轨迹开始要早些，而且离开喷管壁更远；因此，带有锥形出口段喷管情况粒子的沉积更为明显。在临界截面区域拐角点倒圆弧也有助于避免在喷管壁上产生粒子沉积。

对粒子沉积产生最重要影响是喷管超声速段的几何形状。当喷管为锥形且很短(da/dt<2.5)时，在超声速段不会产生粒子沉积。

平衡流造型的喷管在其端部区域产生粒子沉积(见图4.4)。为了避免这种情况发生，喷管出口锥端部区域可以取平直，以使得这一区域内壁平行于粒子极限轨迹，例如，与喷管轴线呈22.5°。

图4.4喷管超声速段多相混合物轴对称流

实线：不同粒径粒子极限轨迹，其中1—1.7pm;2—3pm;3—4.7 μm;5—11 pm;

虚线：马赫数等值线，其中6—1.7m;7—2.0 μm;8—2.3 μm;9—3.0 μm;

点划线：近壁无因次粒子流 p,Vm/p,a,

对非平衡的多相流，喷管的最佳型面产生所依据的条件应使得喷管的母线位于给定的离开极限轨迹最小容许距离h处。最佳型面偏角的变化具有非单调性特点，见表4.4。

表4.4两种喷管型面粒子极限轨迹距离

这种型面具有内部的折角点。与按照平衡流制成的并且端部有弯角的喷管相比，最佳喷管型面的比冲增益为15m/s(见图4.5)。

图4.5最佳型面1与端部呈22°30’夹角的型面2的比较某些情况下粒子的湍流迁移会使粒子极限轨迹接近喷管壁。

4.2 喷管比冲损失

4.2.1 比冲损失分量

喷管比冲损失可表示为多分量的叠加形式:

\(\zeta =\frac{{I}_{s,th}-{I}_{s,exp}}{{I}_{s,th}}={\zeta}_{div}+{\zeta}_{f}+{\zeta}_{kin}+{\zeta}_{tp}+{\zeta}_{add}\)

式中 ζ_div为由于气流扩散引起的损失(在喷管出口段燃气流的不平行以及参数的不平衡性引起的);ζ_f为摩擦损失(由于导致喷管壁附面层形成的黏性、热导率、扩散所致); ζ_kin为化学不平衡性引起的损失；ζ_tp为多相流引起的损失，其中包括粒子加速过程不均匀，各相间热交换和相变，以及凝聚相粒子与喷管壁的碰撞；ζ_add为其他损失，包括由于喷管潜入引起的损失ζ_sub;由于喷管临界截面烧蚀引起的损失\(\Delta \zeta=2r({\lambda}_{a})\Delta {d}_{t}/{d}_{t}\)。;由于工艺、结构和使用(烧蚀)产生的喷管计算型面的偏差以及喷管壁粗糙度增加引起的损失。

此外，还特别需要对与保证控制力相联系的比冲损失进行单独研究。

在计算真空状态理想比冲时，认为在喷管中多相燃烧产物流中不存在结晶情况。

用独立分量叠加形式表示比冲损失是有条件的。在多相流中 ζ_div和ζ_tp是相互依赖的，但它们适于用两相流模型一块计算。

在带有拐角点截短喷管和在计算型面出口处平衡流情况下的扩散损失，近似地用以下公式确定：

\({\zeta}_{div}={A}_{p}{({e}^{{n}_{1}}-1)}^{-1}\exp {[n(1-{\bar r}_{a}/{\bar r}^{0})]}^{-1}\)

式中 \({A}_{p}=1.52[\exp (-30(k-1))+0.1]\)

\({n}_{1}=1.45{({\bar r}^{o})}^{0.25}-0.005{\bar r}^{o}\)

\({\bar r}^{o}=1+{({\bar r}_{a}-1)}{m}^{-1}\)

\(m=\frac{{\bar r}_{a}-1}{{\bar r}^{o}-1}=0.4 \sim 1\)——喷管缩短程度。

在临界截面上声速线的弯曲导致附加的损失：\(\Delta {\zeta}_{div}=0.002{\bar r}_{2}\),其中\({\bar r}_{2}=\frac{{r}_{2}}{{r}_{t}}<1,{\bar r}_{2}\)是拐角点弧的半径。型面变形影响的计算也单独进行，通常这个值不大，\(\Delta {\zeta}_{div}\)≤0.5%。对于锥形喷管来说，近似地有\(\Delta {\zeta}_{div}={\sin}^{2}\frac{{\theta}_{a}}{2}\)(当\(\Delta {\zeta}_{div}<3\)%)。

摩擦引起的损失评估依靠计算冲量损失厚度来完成：

\({\bar \delta}_{a}^{**}=\frac{{\delta}^{**}}{{r}_{a}};{\zeta}_{f}=2{\delta}_{a}^{**}{\left( 1+\frac{1}{k{M}_{a}^{2}}\right)}^{-1}\)

在湍流附面层的情况

\({\delta}_{a}^{**}={\left(\frac{2}{k-1}\right)}^{0.1}{Re}_{w0}^{-0.2}{\left(\frac{0.015}{{\bar T}^{0.5}}\right)}^{0.8}{\left( 1+\frac{k-1}{2}{M}_{W}^{2}\right)}^{\frac{k+1}{k-1}}\frac{{\bar l}^{0.2}}{{\bar y}_{a}^{2}{M}_{W}^{q+1}} \times \)

\({\left[ \int\limits_{0}^{\bar l}{{\bar y}^{-1.125}}{M}^{1+0.8q}{\left(1+\frac{k-1}{2}{M}^{2}\right)}^{\frac{1.36k-0.36}{k-1}}d{\bar l}\right]}^{0.8}\)

式中\(q=\frac{18}{7}{\bar T}-\frac{2}{7};\bar l=L/{r}_{t},{Re}_{w0}={\rho}_{0}{V}_{m}L/{\mu}_{w},{V}_{m}\)为真空中的流速。

近似地计算式为：

\({\zeta}_{f}=8 \times {10}^{-3}(2.62{k}^{-2}{\bar T}_{w}^{1/3}-1){({\bar y}_{a}-1)}^{1/2}{m}^{0.1}(0.3+0.035{e}^{{zm}^{3}})\)

对于层流附面层(\({Re}_{w0}<1 \times {10}^{8}\)),冲量损失厚度计算式为：

\({\bar \delta}_{a}^{**}={[\pi ({M}_{w})]}^{-\frac{k+1}{2k}}{\sqrt{\bar l}}{\left( \frac{2}{k-1}\right)}^{\frac{1}{4}}{\bar \delta}_{T}^{**}z(f,{\bar T}){\left( {\bar y}_{a}{Re}_{w0}^{1/2}{\bar T}\right)}^{-1}\)

式中 \(z(f,{\bar T})\)为表征附面层速度和温度分布的函数。

粗糙度对摩擦损失\({\zeta}_{f}\)的影响用经验修正方法计入。

化学不平衡性引起的损失，对于\({d}_{t}=35 \sim 250 \)mm的发动机而言，用经验公式确定：

\({\zeta}_{kin}=1-\frac{1}{3}\left( 1-\frac{{I}_{s,F}}{{I}_{s}}\right)\frac{2}{p}\)

式中p≥1.5 MPa,\({I}_{s,F}\)为“冻结流”组分的比冲。

固体推进剂燃烧产物m与热防护层分解产物\({m}_{ins}\)混合物比冲小于推进剂的比冲，大体上为\(\Delta \zeta \approx 0.5 \frac{{m}_{ins}}{m}\)。

以下给出的是针对固体火箭发动机冷吹试验(表4.5)和实物试验(表4.6,\({\zeta}_{add}\)≈0.3%)的喷管(图4.6)比冲损失不同形式的预定计算值。

表4.5喷管冷吹试验比冲损失的各分量

表4.6固体火箭发动机比冲损失各分量

图4.6 所研究的喷管型面特征

计算得出冷试验(dt=25.4mm,r₂/rt=0.6,θ₁=29°,空气压力2.1 MPa)中喷管的特征，给出了由于扩射和摩擦造成的单相流比冲损失(分别记为ζdiv和ζf),见表4.5。

4.2.2喷管中无结晶态

小粒度粒子在喷管通道中存留时间以及其结晶晶核形成的概率决定了低于熔点温度的金属氧化物粒子以过冷状态下液态存在。

在这种情况下，有流速的减小和比冲的损失。

在恒压下流速的降低：

\(\frac{\Delta v}{{v}_{a}}=-\frac{z {\Delta i}_{m}(1-{T}_{a}/{T}_{m})}{{v}_{a}^{2}}\)

式中Δi和Tm分别为熔化热和熔化温度。

在不存在结晶的条件下，两种高氯酸铵基的推进剂流速降低情况给出如表4.7。

表4.7无结晶条件下流速的降低

在不存在结晶条件下，以含铝15%的推进剂为例，真空比冲减小随喷管扩张比(da/dt)²的变化如下：

---

(d_a/d_t)²                4        9      16     25     36

---

ΔI_s/I_s/(%)           0.3     1.0      1.3    1.5   1.6

---

4.2.3 一维流动

对所含粒子的状态及粒度恒定不变的燃气一维流动的近似求解采用扰动法。在燃气和凝聚相的零次近似过程中，凝聚相具有相同的组分和温度，不存在相变。这种两相混合物称为“非扰动”流，它等效于具有有效气体常数和等熵指数的燃气运动(见表4.8,d_a/d_t=3,c=c_p)。

表4.8不同的凝聚相含量情况下两相流平衡参数

\({({c}_{p})}_{tp}=(1-z){c}_{p}+zc;{c}_{v}=(1-z){c}_{v}+zc\)

\(\beta/{\beta}_{tp}={(m*)}_{tp}/(m*)\sqrt{1-z}\)

\({R}_{tp}={({c}_{p})}_{tp}-{({c}_{v})}_{tp}=(1-z)({c}_{p}-{c}_{v})=(1-z)R\)

\({k}_{tp}=\frac{{({c}_{p})}_{tp}}{{({c}_{v})}_{tp}}=k\frac{1-z(1-c/{c}_{p})}{1-z(1-kc/{c}_{p})} \approx k\left[1-\frac{zc}{{c}_{p}}(k-1)\right]\)

\(\frac{{({I}_{s})}_{tp}}{{I}_{s}}=\frac{{f*}_{tp}{z({\lambda}_{a})}_{tp} m* \sqrt{1-z}}{f*z({\lambda}_{a}){m*}_{tp}}\)

\(\frac{{({K}_{T})}_{tp}}{{K}_{T}}=\frac{{f*}_{tp}{z({\lambda}_{a})}_{tp}}{f*z({\lambda}_{a})}\)

式中z为混合物中粒子的质量分数；c为粒子热容。

近似的关系式为

\({({I}_{s})}_{tp}/{I}_{s}\approx 1-0.4z\);

\({({K}_{T})}_{tp}/{K}_{T} \approx 1+0.09z\);

由于不同粒度粒子相对运动会引起它们彼此间发生碰撞。同时，液滴会旋转，或被气流吹走与变形。最初液滴在这些条件下碰撞可以发生凝聚、合并、粉碎、粒度减小。在此过程中喷管中粒子的粒度是不断变化的。

但是，为了评估比冲损失的可能水平和流量综合参数的相对减少，如果将等效粒子直径取喷管喉部质量平均直径d₄₃的话，则实际多分散的凝聚物可用单分散情况来代替。

在粒子速度和温度滞后方面引起的比冲损失正比于凝聚相质量分数z,并且能用下式表示:

\({\zeta}_{s}={\zeta}_{s}^{0}z{k}_{p}{k}_{r}{k}_{\theta}{k}_{a}\)

式中\({\zeta}_{s}^{0}=f({d}_{s}^{1.5}/{d}_{t})\),z为凝聚相分数；ki为系数，它接近单位1,它取决于发动机压力p,喷喉圆弧半径\(\bar r=r/{r}_{t}\),扩张半角\(\theta=0.75{\theta}_{1}+0.25{\theta}_{a}\)和喷管扩张比\({\bar r}_{a}={r}_{a}/{r}_{t}\),还取决于δ=\({d}_{s}^{1.5}/{d}_{t};{k}_{r}\)也取决于压力p(随压力上升而略减小)。

当主方案选择锥形喷管，其\(\bar r\)=2.0;θ=15°;\({\bar r}_{a}\)=2.5;而发动机参数取p=4 MPa,z=0.1,则有\({\zeta}_{s}=0.1{\zeta}_{s}^{o}(\delta)\),其中，δ=\({d}_{s}^{1.5}/{d}_{t}\),并且ds计量单位为μm,而dt用mm。则\({\zeta}_{s}^{o}\)函数随着δ的改变如下：

δ     0    0.25   0.5    1    1.5    2       2.5

\({\zeta}_{s}^{o}\)   0    1.0    1.5   2.2    2.5     2.6      2.7

系数ki用于不同的主方案条件下，等于

k_p=1.12-0.03p;     2MPa≤p≤10 MPa;

k_r=1.1-0.05\(\bar r\);         1≤r≤4;

k_θ=0.7+0.02θ;      10≤θ≤25°;

k_a=1.1-0.04\({\bar r}_{a}\);      2≤r_a≤7。

关于流量综合参数相对值减小量(Δβ/β)的确定，可以采用下述评估的关系式

Δβ/β≈1.2z\({\zeta}_{s}^{o}{k}_{p}{k}_{r}\)

4.2.4多相流物理非平衡损失的精确计算

喷管中凝聚相粒子的速度在数值上及方向上都与燃气的速度有差别。在锥形喷管中粒子的轨迹方向与其轴向的角度比流线的角度要小；在异型喷管的情况则通常相反。为了做相应的修正，采用非平衡的二维多相流模式计算得到，对这种类型的喷管要有不同的标记，见表4.9。

表4.9 扩散比冲损失

对于非平衡多相流(即凝聚相粒子沉降不受限制)的特殊喷管型面可以使得因扩散引起的损失减小一些。

因此，凝聚相速度(数值)和温度滞后引起相应的比冲损失，以及多相流散射引起的比冲损失计算没有把它们分开，用符号5表示，等于两维多相流和平衡的准一维多相流的比冲损失，见4.2.5节。

粒子与喷管壁碰撞引起的比冲损失正比于单位时间内沉降在壁上粒子质量以及其速度轴向分量：

\({\zeta}_{cr} \approx 0.3\frac{\int {\rho}_{s}{v}_{sn}{v}_{sx}dA}{{\dot m}{I}_{s,eq}}\)

4.2.5喷管潜入引起的多相流比冲损失

现代固体火箭发动机，通常将喷管部分地深入(潜入)到固体推进剂药柱的内孔中，在药柱内表面与喷管潜入部分之间形成了环形空间。在这种情况下，粒子速度的径向分量有所增大，同时径向分布的不均匀性以及粒子的间距也增加了。

这种情况下燃烧多相产物引起的这种附加比冲损失数值不大。例如，喷管潜入深度与药柱总长度之比在25%～75%的情况下，当推进剂中分别含有15%～16%和21%的铝，这种损失也就是0.5%和1.2%。

采用如下半经验的关系式进行计算：

\({\zeta}_{sub}=7{\left(\frac{zp{A}_{t}}{{A}_{in}} \right)}^{0.8}{\bar l}_{sub}^{0.4}{d}_{t}^{2}\)

式中z为在燃烧产物中凝聚相的质量分数；p为发动机压强，MPa;\({\bar l}_{sub}={l}_{sub}/{l}_{g}\)为喷管潜入部分深度与药柱长度之比；dt为喷管临界截面直径，mm。

一系列高空固体火箭发动机潜入式喷管引起的比冲损失\({\zeta}_{sub}\)和摩擦造成的损失处于同一量级，并比两相性和散射引起的损失\({\zeta}_{tp}\)小一个数量级，其计算采用两维两相流模型，并且没有将二者

区分开。见表4.10,表中所用的推进剂铝含量为15%～16%。

表4.10潜入式喷管的高空固体火箭发动机比冲损失各分量

对试验所得的数据进行处理，得到喷管比冲损失的回归关系式，其中包括比长度iy=l,/L₃等参数：

\({\zeta}_{c}=-6.65-1.22\ln{d}_{t}+4.65\ln{\theta}+23{z}_{Al}+0.96\ln {d}_{a}/{d}_{t}\)

\(-1.53\ln (1-{\bar l}_{sub})+0.842\ln {A}_{in}/{A}_{t}\)\(+0.55\ln p-0.33\ln {{r}_{1}/{r}_{t}}\)。

在这个回归方程式中，其变量按显著性等级排列，而dt和da/dt是取自试验时间段内的平均值，均方差为0.34%。临界截面直径以mm计，压强用MPa,且

\(\theta=\frac{1}{3}\left( \arctan \frac{{d}_{a}-{d}_{t}}{2L}+2{\theta}_{a} \right)\)

4.3 推力的偏心

由于喷管横截面上燃气流均匀性的非对称破环，导致推力的方向与火箭发动机工作开始时的喷管几何轴线不重合，发动机及燃气流对称性破坏的主要因素有：

a)发动机主要元部件的制造公差；

b)在运输、存放和发射过程中发动机及其喷管通道非均匀变形；

c)在固体火箭发动机工作过程中，喷管壁的材料烧蚀不均匀；

d)推力作用线与喷管轴之间的偏斜可能是由一些发动机结构上的特点引起的，例如，喷管斜切端面的存在，喷管前空间内气流的扩散等。

反作用力偏心是火箭飞行主动段主要干扰因素之一。

推力方向与喷管轴向之间的夹角θa(推力偏心角)用燃气的非对称扰动的三个阶段来确定：a)进入喷管前；b)在喷管之中；c)从喷管中排放出。

由喷管前空间和喷管进口处产生的气体动力学扰动在各种喷管都普遍存在。这一类的侧向力值沿喷管长度上周期性改变。在喷管的扩张段相对侧向力的改变为\({\bar F}_{y}={F}_{y}/{F}_{y,t}\)。其中\({F}_{y,t}\)为临界截面(x=0)处的侧向力，它以一维超声速流扰动理论为基础进行近似计算：

\({\bar F}_{y}={f}_{3}\cos (1.841x)-{f}_{4}{\bar C}\frac{dr}{dx}\)

\(dC+d({F}_{y}x)=x d {F}_{y}+r\frac{dr}{dx}d{F}_{y}\)

式中\({\bar F}_{y}={F}_{y}/{F}_{y,t}\)和\({\bar C}=\frac{C}{{({F}_{y})}_{t}{r}_{t}}\)为相对侧向力和喷管出口截面相对力矩；\(x=\int\limits_{0}^{x}{\frac{dx}{r\sqrt{{M}^{2}-1}}};{f}_{3},{f}_{4}\)是喷管超声速段r(x)型面和气体性质\(k={c}_{p}/{c}_{v}\)的已知函数；在此情况下，q(M)=\({r}_{t}^{2}/{r}^{2}\)。

对应于周期函数\({\bar F}_{y}(x)\)关系式零值长度的喷管，即使在入口气流的对称性受到破坏的情况也没有侧向力。

另一方面，包含有相似于几何非对称畸变亚声速段，而超声速段具备不同型面的喷管，可能有不同的相对侧向力Fy值。

在总结具有非对称型面的喷管模型理论计算和实验研究结论时，为了评估侧向力与表征非对称性角度β(β≤5°)之间的相依关系，可以采用下式：

\({\bar F}_{y}=A\beta\)

式中 A≈0.1(对亚声速段偏转角为β),见表4.11;

A≈1(对超声速段偏转角为β);

\(A=l/({r}_{a}{M}_{a})\)(对末端段长度l,偏转角β)。

表4.11喷管系数A值

(喷管超声速段不同的长度\(L/{r}_{t}\),亚声速段摆动截面

与最小截面之间不同的距离\({\Delta}_{1}/{r}_{t},({d}_{a}/{d}_{t})=2.04\))

对亚声速段侧向力随侧向位移\({\bar \Delta}=\Delta / {r}_{t}\)值的变化也存在线性关系，\({\bar F}_{y}/({\bar \Delta})=0.25{\bar \Delta}\)。

无论是对称的还是不对称的情况，所研究的喷管段离喷管亚声速段最小截面越远，则它们显示出的在跨声速和超声速段参数的影响就会越小。因此，从非对称扰动点到临界截面之间距离从0增加到0.45rt,推力偏心减小4倍。摆动喷管接合平面与临界截面之间的距离应能达到不产生附加的偏心扰动，在临界截面区域不产生非预计的材料烧蚀。

由于入口对称性的破坏产生的冲力偏心可以通过在喷管喉部引入相对长度为\({\bar l}_{r}={L}_{r}/{r}_{t}\)的圆柱状的喉衬环来减小。

\(\frac{{F}_{y}({l}_{r})}{{F}_{y}(0)}=1-2.26{\bar l}_{r}\)

在喷管超声速段过膨胀流中非对称的扰动存在会导致气流相对于喷管壁的不对称分离和侧向力的较大改变。

由于喷管出口端面引起对称性破坏的推力偏心，根据喷管非平衡段压力的合力进行计算。对于斜切出口截面的情况，其出口平面对于横平面偏斜一个小的角度α,当\({p}_{H}=0\)时，它近似计算式为：

\({\theta}_{\eta} \approx \frac{{F}_{y}}{{F}_{\infty}} \approx \frac{\alpha}{1+k{M}_{a}^{2}}\)

通用的方法是求解喷管中工质的空间流动过程以及对喷管壁上的压力分布沿型面进行积分计算。

对于喷管中燃气超声速非分离空间流动的研究，采用不同的计算方法，例如小扰动方法，分层特征曲线法，贯穿计算方法，二阶精度的差分法；以及实验方法(例如采用差动实验装置)。对于锥形喷管摆轴摆动的情况(在相对于y≥1.1的端面),所有的方法都给出了一致的结果，见图4.7中α=6°的情况。

图4.7 (a)侧向力分布；(b)带摆动轴的锥形喷管

对于沿平行于喷管出口端面上的横向力(\({\bar x}_{a}\)=12),其在喷管摆动接头初始截面(\(\bar x\)=0.63)处的相对侧向力等于\({\bar F}_{y}=\sin \alpha=0.104\),而在出口端面同时又是轴对称出口锥起始截面0.65≤x<12区间，有

\({\bar F}_{y}=\frac{{F}_{y}}{F}=\alpha \frac{1-0.05\alpha {({M}^{2}-1)}_{-0.5}}{1+{(k{M}^{2})}^{-1}} = 0.08\)

在喷管出口截面\({\bar x}_{a}\)=12处，\({\bar F}_{y}\)=-0.007。同样的气流偏转也出现在喷管摆动部分工作的情况下。喷管摆动段的受力系数Ky=Fy/(Fα)=0.8~1.2;而对于临界截面与接合截面距离比较小的情况(1.1≤y<2;\({\bar y}_{a}\)=4.5;θa=10°),Ky值比较大。在这种情况下，铰链力矩随\(\bar y\)值的增加而增长：\({M}_{T}={M}_{T}/({p}_{o}{r}_{t}^{3})\)=1.2;2.3;3(对应于y=1.1;1.2;1.4)。如果接合截面的位置有凹坑，则有必要考虑分离区存在的可能性。

在非对称的喷管出口端面，如果离开出口边缘的马赫线落入气流自由边界内，则侧壁上的压力分布不改变。甚至当马赫角不大于斜切端面角的情况下，轴对称模式仍然是足够精确的。

如果在斜切端面喷管采用一维流模式(见图4.8),则在真空条件相对侧向力按下式计算：

\(\frac{{F}_{y}}{{F}_{\Pi}}=\frac{\tan \alpha}{(1+k{M}_{a}^{2}){(1-{\tan}^{2}{\theta}_{a}{\tan}^{2}\alpha)}^{3/2}}\)

在p_H>0时，侧向力取决压强差p-p_H,则需要更为精确的关于喷管不平衡压力分布的计算方法。

图4.8不同形式斜切喷管壁上压力分布

1—锥形斜切喷管；2一带圆柱状延伸段的锥形斜切喷管；3—锥-柱斜切喷管

对于喷管轴对称段，可以对接一个斜切的喷口，它的型面角度偏斜小于轴对称段倾斜角(见图4.8中的位置2)。当衔接部位产生斜激波，压强有显著增高，则导致Fy增加。在阶梯状喷管(见图4.8中的位置3)情况，当底部压力为p_D。这种情况下，如果狭窄段流出的边界气流层汇合发生在斜切喷口的非平衡段区域，则侧向力取最大值。汇合区域的最大压强高于底部压强1.9倍或更多，并且它依赖于气流边界层的马赫数：

\(\frac{{p}_{\max}}{{p}_{D}} \approx 1.8({M}_{rp}-1)    ,(k=1.4;{M}_{rp}>2)\)

4.4控制力生成装置的特征

4.4.1 外伸式襟翼和导流板绕流

在喷管出口区域超声速流体中，外伸出襟翼的情况下，部分气流相对于喷管壁偏转并绕襟翼流动，见图4.9。

图4.9在壁上遇障碍时超声速流的绕流

(a)外伸襟翼；(b)压强分布；(c)射流障碍

在分离线前部的附面层通常是湍流层，阶梯的高度(襟翼伸出的深度)大于附面层的厚度δ。在斜激波中，流线偏离开最初的方向，在偏转流与壁之间形成湍流区(见4.5节)。

湍流分离总图形不取决于建立湍流的方式，例如用不同形式的阶梯、反压法、入射冲击波、横向燃气吹入或液体喷射。

在阶梯前的平面超声速流湍流分离引起的侧向力可以记作在分离前区域压强增长的积分加合形式(例如2.5δ)以及在分离区域的积分加合形式(约4.5 h)。

近似式有：

\(\frac{{F}_{y}}{F} \approx \frac{4.5({p}_{2}-{p}_{1})hr({M}_{1})}{{h}_{a}{p}_{1}} \approx 2.3r({M}_{1}){M}_{1}\frac{h}{{h}_{a}}={K}_{y}{\bar A}_{W}\)

式中\(F=\frac{{p}_{1}{h}_{a}}{r({M}_{1})}={p}_{1}{h}_{a}(1+k{M}_{1}^{2})\)为采用外伸襟翼情况下发动机的真空推力；ha为宽度等于1的平面喷管横截面高度；

K_y=2.3M₁r(M₁)为相对侧向力系数；A_w=h/h_a为襟翼伸出的相对面积。

由于襟翼在气流中受载而引起的推力损失(或称襟翼的相对阻力),在不考虑其背面压力的情况下：

\(\frac{\Delta F}{F}\approx \frac{1.6{p}_{2}hr({M}_{1})}{{p}_{1}{h}_{a}}={K}_{\Delta}{\bar A}_{W}\)

式中\({K}_{\Delta} \approx 1.6(1+0.5{M}_{1}){(1+k{M}_{1}^{2})}^{-1}\)为相对损失系数，参见表4.12。

表4.12外伸襟翼与燃气舵特征比较

为了比较，在表4.12的最后一栏中，列出了位于喷管出口端面的燃气舵相对侧向力\(\frac{{F}_{y}}{F} \approx \frac{{c}_{y}^{\alpha}\alpha {A}_{\gamma . p}}{2{A}_{a}}\) 公式中的系数值\({c}_{y}^{\alpha}/2 \approx 1.4/ \sqrt{{M}^{2}-1}\)。

固体火箭发动机外伸式襟翼不仅有上缘，也有侧缘。

在气流分离区产生襟翼与喷管交叉的平行流线。如果襟翼高度超过振幅的5倍或更多，则三维效应变得特别突出。

襟翼处于出口截面气流中的实验特征值给出于表4.13。

表4.13 外伸襟翼的实验特征值

偏流片绕流与上述带有外伸襟翼的喷管流线图相似。但是偏流片的表面与垂直于喷管轴的Y轴方向不成零度角。因此，在导流片上的压力合力不仅是反作用力，而且在Y轴方向也有分力。偏流环承受总侧向力的大约2/3,而只有近1/3的侧向力作用于喷管壁气流分离区域。

随喷管端面与导流片之间缝隙漏过气流增加，使喷管壁上由于偏流片转动而形成的分离区范围在缩小，并且横向力减小，ΔF增加。

4.4.2向喷管中喷射气体和液体

如果通过喷管壁上的孔进行液体和燃气的二次喷射，则部分气流相对于壁发生偏转，来自孔的气流向上形成一个压强升高区域。这时产生了一个侧向力，它由二次射流的反作用力和在气流分离区压力的合力组成。

在喷管中射流障碍处的绕流，不仅伴随着侧向力的产生，而且推力也增加了，因为二次射流的反作用力并不传递给喷管，而是在分离区升高的压力合力包含有一个轴向分力，固体火箭发动机喷管侧壁与其轴向总是成一定角度。

液体或燃气二次喷射是基础燃气流中质量、动量和能量的一个来源。因此，在超声速喷管平面(高度为h_a的出口平面),一个无穷小二次射流强度\(d{\dot m}\)值的作用使得燃气流中压强的提高计算式为：

\(\frac{dp}{p}=\frac{k{M}^{2}}{{M}^{2}-1}\)

\(\left\{ \frac{dH}{{c}_{p}T}+2\left( 1+\frac{k-1}{2}{M}^{2}\right)\frac{d{\dot m}}{\dot m}-\left[1+(k-1){M}^{2}\right]\frac{{v}_{BT} \cos \beta d{\dot m}}{{v}_{\dot m}}-\frac{dN}{N}  \right\}\)

式中H,p为气流的焓值和压强；v=M_a气流速度；v_BT为二次射流速度；v_BTcosβ为二次射流速度的轴向分力；N为摩尔质量。

沿长度为\(l={h}_{a}\sqrt{{M}^{2}-1}\)的扰动区域的压强合力等于\(d{F}_{yp}=ldp\),相应的比冲计算用下式：

\({I}_{yp}=\frac{d{F}_{yp}}{d{\dot m}}=\frac{kp{h}_{a}{M}^{2}}{{\dot m}\sqrt{{M}^{2}-1}}\)

\(\left\{ \frac{{\dot m}dH}{{c}_{p}Td{\dot m}}+2\left( 1+\frac{k-1}{2}{M}^{2}\right)-\left[1+(k-1){M}^{2} \right] \frac{{v}_{BT}}{v} \cos \beta-\frac{{\dot m}dN}{Nd{\dot m}}\right\}\)

在燃气吹气(液体喷射)情况下侧向力的比冲于喷管超临界区(见表4.14,k=1.24,T=300K,M=2.5)计算如下：

\({I}_{y}={I}_{yp}+{I}_{BT}={I}_{yp}+{v}_{BT}\sin \beta +({p}_{BT}-p)\frac{d{A}_{BT}}{d{\dot m}_{BT}}\)

式中 \({I}_{BT}\)为吹气(液体喷射)射流的比冲值。

表4.14流入喷管超临界段射流在与气流

*:ρ*为工质的密度。气体的贮存压强10.3 MPa,以音速按与喷管轴成β=90°角喷射。

在喷管超临界段吹入惰性气体作用力系数。在喷管超临界段吹气产生的近壁扰动区，可以分为两部分，即位于与喷管出口面距离为l处的吹气孔喷出气流向上和向下两部分。第一个区域的作用力系数等于1.5～1.8,它表征在三维射流障碍前边的气流分离；而第二个区域的作用力系数则与\({(l/{d}_{\eta})}^{0.5}\)成正比增长。由实验数据分析的结果得出

\({K}_{y}=\frac{{F}_{y}}{{F}_{BT}}=1.65\left[0.096{\left(\frac{1}{{d}_{\eta}} \right)}^{0.5}+0.904\right](\sin \beta-0.84\cos \beta)\)

式中 β为喷气道轴向与火箭发动机喷管轴向的夹角；\({d}_{\eta}={d}_{t,BT}\frac{{\dot m}_{BT}{\beta}_{BT}}{{\dot m}\beta}\)为孔的等效直径，其中\({\beta}_{BT}\)和β分别为当\({p}_{OBT}\)时二次射流和基础气流气体的流量综合参数(译注：请注意在这里的β与上式sinβ的β不同)。

引入的关于K_y公式正确性的适用范围为在喷管出口截面扰动区所包含的中心角2γ_a小于160°以内。在喷管吹气的相反方向，即2γ_a>160°时，在扰动扩展的情况下，作用力系数减小，并且这种减小与γ_a成正比(当80°≤γ_a≤160°)。

\(\Delta {K}_{y} \approx 1.25({\gamma}_{a}-80) \times {10}^{-2}\)

因此，当扰动区域的夹角达到2γ=160°之后，喷入气体的流量增加只能通过另外的孔，它分布在位于流线中射流障碍的下边排气的区域。这样，在这个区域中压强就提高了，扰动区域的范围并没有扩大(在\({\dot m}_{BT}\)增加的一定范围内);在这种情况下，受力系数仍接近原来的水平，但侧向操纵力增长了。

在液体喷射情况下侧向控制力的比冲。四氧化二氮(大力神-3助推固体火箭发动机，见表4.15)和氟里昂-12(侏儒火箭第三级)的喷射系统特征如下：

喷射N₂O₄: \(\frac{{F}_{y}}{F} \approx 0.4{\left(\frac{{\dot m}_{BT}}{\dot m}\right)}^{0.72}\)

喷射氟里昂-12: \({F}_{y}/{F} \approx 0.35\frac{{\dot m}_{BT}}{m};{K}_{y}=0.6\)

表4.15喷管中喷射四氧化二氮的侧向力及比冲

氟里昂注入系统采用压强为(4.5±0.2)MPa,流体通过能力0~0.45kg/s的稳压器，见图1.12。为防止俯仰和偏航偶然的偏心干扰，通道中气体或液体流量正比于操纵力在互相垂直的稳定平面每个面上投影的绝对值之和x=|x|+|yl=u+v>0,并且，

\({f}_{1}(u)=\frac{2}{\sqrt{2 \pi}{\sigma}_{x}}\exp{\left(-\frac{{u}^{2}}{2{\sigma}_{x}^{2}}\right)}\)，当u>0

而\({f}_{2}(v)\)认为是相似的。两种模式正交随机值和的概率分布密度z=|x|+|y|(当\({\sigma}_{x}={\sigma}_{y}=\sigma\))

\(g(z)=\frac{4}{\sigma \sqrt{\pi}} \exp {\left( -\frac{{z}^{2}}{4{\sigma}^{2}}\right)}\Phi \left(\frac{z}{\sigma \sqrt{2}}\right)\)

式中 \(\Phi (x)=\frac{1}{2\sqrt{\pi}}\int\limits_{0}^{x}{\exp \left(-\frac{{t}^{2}}{2}\right)}dt\)

由下式\(\int {g(z)dz}=4\Phi \left(\frac{z}{\sigma \sqrt{2}}\right)\)得到概率，当概率等于0.997时，对应的偏差约等于4.2σ.

4.4.3迎超声速气流的欠膨胀射流流动

被指定用于下面级级间分离的制动发动机及推力终止喷管工作时，燃烧产物形成向前流动并在迎面而来的空气超声速流中转向和掺混。分界面的形状(接触不连续面)近似为悬链线回转面：

\(\frac{x}{{r}_{a}}=96.6\frac{{\dot m}{q}^{‘}}{{F}_{a}{q}_{\infty}^{‘}}\left[\text{ch} \frac{r/{r}_{a}}{96.6\frac{{\dot m}{q}^{‘}}{{F}_{a}{q}_{\infty}}}-1 \right]\)

坐标(x,r)的起点位于喷管轴线与分离面的交点上，其正方向指向喷管出口截面的x轴方向，或者指向喷管组件的x轴方向，燃气质量流量为\(\dot m\),喷管出口截面面积\({A}_{a}=\pi {d}_{a}^{2}/4\),见图4.10。

图4.10在迎面气流中制动发动机射流流动

1—制动发动机；2一被分离下面级；3一接触不连续线

喷气射流膨胀达到环境介质压强。在喷气流中的正激波使得射流中总压降低达到带有正激波的迎面气流(沿轴线)的全总压值。在射流轴上中心激波之前的马赫数用下式确定：

\(\sigma (M)=\sigma({M}_{\infty})\pi({M}_{a})/[n\pi({M}_{\infty})]\)

式中\(n={p}_{a}/{p}_{\infty},\sigma(M),\sigma ({M}_{\infty})\)为射流中和迎面流中正激波的恢复系数。

\(\sigma(M)=\sigma(\lambda)\frac{q(\lambda)}{q(1/\lambda)}\)

在正激波后射流中的速度压头q’不同于正激波后迎面流中的速度压头q’∞。分离面的轴向位置的计算采用逐次近似方法，并假定这个面是半球形的喷气射流障碍。按已知的马赫数沿欠膨胀射流轴的分布，确定从喷管端面到射流中正激波与轴线的交点位置之间的距离l,近似有

\(\frac{1}{{r}_{a}}=\text{cot}({\alpha}_{a}-{\theta}_{a})+\sqrt{\varphi}\left( \frac{q({M}_{a})}{q(M)}-1 \right)\)

式中\(\varphi=\frac{K}{2(1-K)}\)

为假定源的强度：

\(K=\frac{{\lambda}_{a}}{{\lambda}_{\max}}\left(1+\frac{1}{k{M}_{a}^{2}}\right)\)

为确定远离喷管流的参数；

α=arcsin(1/Ma)为喷管端面上的马赫角。

在喷气射流中正激波与接触平面之间沿轴线的层厚度为：

\(\frac{\Delta l}{{r}_{a}}=(1.44M’-0.28)\sqrt{\frac{ny({M}_{a})}{y(M)}}\)

因此，悬链线顶点的坐标起点，位于轴线上从喷管端面算起l+Δl距离上，从这里开始，射流迎着超声速气流流动。

4.5喷管壁气流分离

在湍流分离线上产生的斜激波中，流线偏离与壁平行的最初方向而深入到基础气流中，最终成θ角，见图4.11。

图4.11超声速流从喷管壁湍流分离示意图

1—近分离流；2—离开分离点的斜激波；3——偏转流；4——位流边界；5——湍流区；6——作用于壁上的真实压强分布；7——压强分布逼近线

偏转气流和壁上气流之间切向分离不稳定，并且消散于湍流区中，该湍流区在平面情况下为尖劈形。尖劈的角度0*在非压缩液体情况下为(15±2)°,而对于可压缩物质情况(表4.16),角度计算按下式：

\(\theta=\frac{(1+{\rho}_{0}/\rho){\theta}^{*}}{2}=\frac{1+\frac{(k-1){M}^{2}}{4}}{1+\frac{(k-1){M}^{2}}{2}}{\theta}^{*}\)

压降p₂/p₁随马赫数M的变化在分离点之前近似呈线性：

p₂/p₁≈1+0.5M。

表4.16尖劈角

在前面叙述的基础上，可以依次计算下列参数：M₁——分离点之前的马赫数；\({d}_{T}/{d}_{t}\)——在超声速喷管中的分离点；\({F}_{T}\)—在气流分离情况下喷管的推力。在靠近到喷管壁处的自由湍流区是亚声速流，压强梯度相对比较小，而压强近似等于出口端面的环境压强\({p}_{H}\)。这样，可以假定说，从分离点前压强p恢复到\({p}_{H}\),是完全发生在斜激波中的，见图4.11。则有：

\(\frac{{p}_{H}}{{p}_{T}}=\frac{{p}_{H}}{{p}_{0}\pi ({M}_{T})}=\frac{{p}_{2}}{{p}_{1}}\approx 1+0.5{M}_{T}\)

\(\frac{{A}_{T}}{{A}_{t}}={\left(\frac{{d}_{T}}{{d}_{t}}\right)}^{2}=\frac{1}{q({M}_{T})}\)

\({p}_{T}={f}_{t}\varphi \mu {A}_{t}z({\lambda}_{T}){p}_{0}-{p}_{H}{A}_{T}\)

近似地有：

\(\frac{{d}_{T}}{{d}_{t}} \approx 1+{0.33}^{k}{\left(\frac{{p}_{0}}{{p}_{H}}-\frac{1}{{\pi}_{t}}\right)}^{0.6}\)

在整个喷管长度上无分离流的条件下，对给定\(\frac{{p}_{0}}{{p}_{H}}\)值时，有\({d}_{a}/{d}_{t} \le {d}_{T}/{d}_{t}\)喷管起动的条件对应为等式\({d}_{a}={d}_{T}\)。

到喷管起动的瞬间之前，以分离流线为下界线，以压强等于外压pH的区域为上限，压缩的压差发生作用。而在喷管起动瞬间，气流分离流线与出口端面重合，而终端区位于压缩的压差作用之下。

\({p}_{H}-{p}_{a}={p}_{a}\left(\frac{{p}_{H}}{{p}_{a}}-1\right)=0.5\pi({\lambda}_{a}){M}_{a}{p}_{0\Pi}\)

式中\({p}_{0\Pi}\)为喷管起动时发动机的压强。

实际上，压强从pT到pH,不是以跃迁的形式，而是渐进式地增长，这个区域长度差不多为10δ;与此同时，在到分离点之前，大约为2.5δ距离上压强就已经开始增加；当其到达分离点时，压强值将达到0.6(p₂-p₁)+p₁的水平。

如果喷管端面周围的压强高于端面处的压强，即u>pa,而且也未产生气流的分离，则靠近喷管出口端面存在着一个高压区，压力分布用经验公式计算：

\(p/{p}_{a}-1={[1-{l/{l}_{T}}^{3/2}]}^{3}({p}_{H}/{p}_{a}-1)\)

扰动区域相对长度\({l}_{T}\)/δ取决于喷管端面设计不合理性和马赫数；\(\frac{{l}_{T}}{\delta} \approx K{({p}_{H}/{p}_{a}-1)}^{2}\),式中的K随马赫数增加而减小，当Ma=2;2.5;3和3.5时，相应的K值为K=6.3;2.5;2。

实验表明，当分离发生在喷管出口边缘附近时，压强的增长小于激波位于喷管足够深处的情况。这种情况在具有抛物线型面、喷管壁在接近其出口处相对于轴向有小角度的喷管表现得更为明显，例如θa=6.5°。这种情况的压强提高采用经验公式计算：

\(\frac{{p}_{H}}{{p}_{T}}=1+0.43{({l}_{T}/{R}_{t})}^{0.2}k{M}_{a}\)

式中\({l}_{T}\)从喷管端面到分离点的距离。

很显然，在(\({l}_{T}/{R}_{t}\))→0的极限情况，大扩张比抛物线型喷管，在喷管壁上的压力没有达到反压的情况下，将不会全部被气流环绕。

在冷试验过程中，抛物线型喷管模型在燃烧室压强增加或减少时，观察到了喷管相对高空特征的滞后现象(推力与理想真空推力比较)。这是由于，除了气流的分离具有开放的和与外界介质相联系的分离区域外(见图4.11),在出口端面壁与轴线呈小角度的抛物线喷管中可能存在闭环的分离区，它不与外界介质相联系；在气流分离之后会重新汇合到壁上。

此外，观察到了非稳态的侧向力，它是由分布在喷管深处的分离流线对称性破坏引起的，大约达到闭环分离区情况下标准推力的4%。

带有扩张段的喷管临界截面中的声速流，出现在外界介质压强 \({p}_{H}^{*}\)大于临界压强\({p}_{*}={\pi}_{*}{p}_{0}\)时；并且在\({\pi}_{H}={p}_{H}/{p}_{0} \le {\pi}^{*}={p}_{H}^{*}/{p}_{0}\)情况下通过喷管的流量不依赖于pH。在\({\pi}_{H}^{*} \le {p}_{H}/{p}_{0} \le 1\)情况下，气体流量近似用下式计算：

\({q}^{2}+\frac{{({\pi}_{H}-{\pi}_{H}^{*})}^{2}}{{(1-{\pi}_{H}^{*})}^{2}} \approx 1\)

4.6 固体火箭发动机高空试验

4.6.1 高空试验台结构

固体火箭发动机在可以最大限度接近高空工作条件的高空模拟试验台上的试验是发动机地面研制试验工作的最后完成阶段。

固体火箭发动机高空模拟条件试验台点火试验的主要目的和任务是用来测定：

1. 发动机结构的状态和工作能力，尤其是带有大扩张比的薄壁喷管发动机;
2. 烧蚀热防护层和耐烧蚀材料的厚度；确定凝聚相粒子沉降的部位；
3. 动力(发动机)装置的推力和能量特征；
4. 作为高空喷管件组成部分的控制装置功能方面的特征；
5. 推力终止机构工作时发动机的特征。

火箭发动机高空试验的目标还可以对发动机排出的欠膨胀燃烧产物射流及其作用进行研究。

带有固定式可延伸喷管或可展开式喷管发动机的出现，其中，包括薄壁的末端用辐射冷却(见图1.3),的大扩张比喷管，对高空试验台提出了更高的要求。

这些要求的实现，要采用大通道截面的引射器(扩压器),它能保证在喷管延伸或展开时间内及在此之前，在其展开和摆动过程中，以及在出口锥段可能出现某些破坏的情况下，燃烧产物的射流能顺利地流入。也就要求，排气道的出口处要设定较低的反压力。

固体火箭发动机高空条件点火试验台主要有四种基本类型:

(1)最普通的试验台是预先对真空舱抽真空，火箭发动机喷管的燃气流入真空舱，在其中压力随之提高，在这种试验台上，消耗的推进剂质量受到限制。

\(m<\frac{{p}_{v}{V}_{v}}{R{T}_{v}}\)

其中 \({p}_{v}\)为真空舱中容许压强；\({V}_{v}\)为真空舱体积；燃气温度\({T}_{v}\)。这样，靠装置在真空舱中弹道摆的帮助，就可以测定不很大的固体火箭发动机的比冲。

(2)靠被试发动机喷出射流的引射作用，在真空舱中形成真空，发动机的喷管与排气道同轴。该发动机配置在真空舱中的部分可以仅是喷管部分，也可以是整个发动机，见图4.12。排气道连接着容纳发动机的真空舱，其出口处紧密地安装有隔板或者是留有带隔板的空间，在起动过程中该隔板脱落下来。

图4.12固体火箭发动机高空模拟试验带有圆柱形扩压器的真空舱

1-(真空)舱；2一气动泄漏阀装置；3—手动阀；4一氮气供给调节阀；5—来自供应装置氮气的进口；6一空气调节装置；7一用于(真空)舱吹洗的氮气供应阀门；8一放气气动阀；9—圆柱形扩压器(或引射器)排气道；10一试验发动机；11—托架；12一气体分配箱；13—测力装置

(3)在排气道出口安装有喷射器和其他排气系统抽吸装置的高空试验台，能够在实验进程中冷却或排除燃烧产物，靠这样做保证发动机工作的全过程中保持真空状态。

(4)带有预抽真空罐的高空试验台，要预先冷却，预先清理和抽空所有的由固体推进剂药柱燃烧的产物(见图4.13)。试验台有双层壁的实验舱和真空贮罐，保证能经受在发动机破坏的情况下周围介质燃烧和爆炸。

图4.13高空试验台

1—支座；2一轴向推力传感器；3一钢壳；4一装甲防护罩；5—被试发动机；6—排气道；7一蒸汽喷射器；8—喷射器混合室；9—冷却器-冷凝器；10—冷却器一真空室；11一气体通道；12一断流阀门；13—凝聚物抽出；14—凝聚物；15一排风管；16—贮水池；17一释压阀

按照被试火箭发动机在空间的放置形式，以及真空舱和试车架的定向，高空试验台可分为卧式的、立式的和倾斜放置的。卧式台操作起来比较方便，而竖直式的(喷管朝下)可以保证更接近于火箭发动机使用情况的条件，不仅可以进行高精度的轴向比冲的测量，而且可以测量所有平面上的侧向力。

4.6.2圆柱状扩压器的起动压强

对足够长度(L/d=6~10)的圆柱状排气道从燃气流总冲量守恒方程式出发，得出：

\(\frac{{p}_{s}}{{p}_{B}}=\frac{1}{f({\lambda}_{X})r({\lambda}_{B})}=\frac{1+k{M}_{B}^{2}}{f({\lambda}_{X})}=y({\lambda}_{B})\frac{{A}_{X}}{{A}_{t}}\)

扩压器(引射器)出口截面压强\({p}_{B}\)等于来自扩压器的气体流经的介质中的大气压强(\({\lambda}_{B}<1\));它近似等于大气压强。\({p}_{s}\)启动压强。

为评估扩压器进口截面换算速度λx(λx>1),采用下述两方程之一：

\(q({\lambda}_{X})={A}_{t}/{A}_{X}\)

\(z({\lambda}_{B})=\frac{k{I}_{y,D}}{(k+1){a}_{cr}}+\left( \frac{{A}_{X}}{{A}_{a}}-1\right)\frac{{p}_{v}}{{f}_{*}{p}_{a}y({\lambda}_{a})}\)

式中λa和pa分别为被试发动机喷管出口截面的换算速度和压强。

为评估排气道出口截面换算速度λB,采用下述两方程之一：

\(z({\lambda}_{B})=\frac{{k}_{B}(k+1){\dot m}a}{{k}({k}_{B}+1){{\dot m}}_{B}{a}_{*.B}}z({\lambda}_{X})\)

\(y({\lambda}_{B})=\frac{{\dot m}_{B}{\beta}_{B}}{{p}_{B}{A}_{X}}\)

在燃气组成恒定并且阻尼温度不变，\({\dot m}_{B}=\dot m\)情况下，有\({\lambda}_{B}={\lambda}_{X}^{-1}\),并且用下式表示起动压强：

\(\frac{{p}_{s}}{{p}_{B}}=\frac{1}{f({\lambda}_{X})r(1/{\lambda}_{X})}={y(1/{\lambda}_{X})}\frac{{A}_{X}}{{A}_{t}}\)

这样，当k=1.15,且\(\frac{{A}_{X}}{{A}_{t}}>30\)时，则有

\(\frac{{p}_{s}}{{p}_{B}}\approx 0.6\frac{{A}_{X}}{{A}_{t}}\)

当扩压器近壁层喷水情况下，燃气流量、滞止温度和其组成随该过程会发生变化，喷水目的是内部冷却。这时进行扩压器出口截面混合参数热力学计算(图4.14及表4.17)。其综合效应是导致出口截面换算速度增加，起动压强上升。当如下函数值\(\frac{{\dot m}{a}_{cr}{k}_{B}(k+1)}{{\dot m}_{B}{a}_{cr.B}k({k}_{B}+1)}<1\),函数z(λB)逐渐趋近1时，表示扩压器关闭。这种过程的状态是不被容许的，并由此得出对于内冷却系统中喷水流量的限制条件。

其他的参数，如，在喷管出口断面型面的偏斜角度θa,在该出口截面与扩压器进口之间(Ax-Aa)的间隙，喷管的喷口数(即喷出气流的形式),喷管轴相对于扩压器轴的偏斜角度(当Ax=常数时),扩压器的弯曲，都对长度L/d≈6～10的圆柱状扩压器起动压强有轻微的影响。

图4.14固体推进剂燃烧产物和水混合物平衡参数

表4.17固体推进剂燃烧产物和水混合物参数

如果从多喷管组流出的各个喷管的燃气流都通过同一扩压器的话，则容许：a)用减小扩压器绝对长度的办法减小试验台长度L=(6~10)dx=(8~12)da;b)降低了起动压强，因为在这种情况下Ax/Aa减小。这样，当有必要并且有可能的情况下，取代圆形的扩压器，可用其他横截面形状的扩压器，或者用格栅式扩压器来实现。

如果被试验发动机的喷管只在一个平面上摆动，则可以仅在这个平面适当地增大扩压器进口截面。

如果在高空试车过程中不打算进行摆动装置的摆动，则这种情况下，可以把排气道连接到按照偏斜角度θ位置固定的摆动装置上。这种安装方式在组合的和模拟的试验中得到普遍应用。

亚声速扩压器以外型带有5°～10°的半张角及与直径的比约为2的形式对接，可以局部地恢复压力。

如果发动机中的压强明显大于\(y({\lambda}_{B}){A}_{X}/{A}_{t}\),则可以采用减短的排气道。它与L/d=8～10的最优长度排气道相比，虽然效果差一点但更为简易，见图4.15。

图4.15圆柱状扩压器起动压强随其长度的变化

在绝大多数情况下(\({\dot m}_{B}=\dot m\)),在圆柱状扩压器起动和工作压力之间不存在滞后现象，就是说，扩压器工作中断只发生在发动机的压强和起动压强一致的情况。虽然如此，我们还是总会观察到减短的或者连接在喷管出口断面dx=da对接处的圆柱状扩压器的滞后特征。

在被试发动机喷管出口断面(截面a—a)与扩压器进口(截面BX—BX,此处为从喷管流出气流的边界，该截面连接到排气道壁上，面积为Ax)之间，可能依试验的条件不同存在着自由射流段，其长度与其直径之比为\(\bar I=l/d\)。由于质量恒定的核心边界处的湍流混合，产生总压的损失。

下面研究计算真空舱中的流动情况。在进口截面的换算速度有

\({\lambda}_{X}={\lambda}_{a}(1-4{c}_{f}l/2{d}_{a})={\lambda}_{a}(1-{\xi}_{CTP}l/2{d}_{a})\)

式中，\(\xi=4{c}_{f}\),见表4.18。

表4.18自由射流初始段全压损失系数

由已知的换算速度λx,可以得出：

a)滞止压强恢复系数

\({\sigma}_{CTP}={p}_{OBX}/{p}_{oa}={p}_{X}\pi({\lambda}_{a})/{p}_{a}\pi({\lambda}_{X})=\pi({\lambda}_{a})/\pi({\lambda}_{X})\)

b)入口面积

\({A}_{X}/{A}_{a} =y({\lambda}_{a})/y({\lambda}_{X})\)

c)在自由射流段滞止压强恢复的可逆系数导数值

\(\frac{d}{d{\bar l}}\left(\frac{1}{{\sigma}_{CTP}}\right)=\frac{{\epsilon}_{CTP}{\lambda}_{a}k}{2}{(\frac{2}{k+1})}^{\frac{k}{k-1}}y({\lambda}_{a})\)

被研究的自由射流段和正激波段流动系统阻尼压强恢复的总系数为

\(\sigma={\sigma}_{CTP}\sigma({\lambda}_{X})=\frac{\pi ({\lambda}_{a})q({\lambda}_{X})}{\pi({\lambda}_{X})q \left(\frac{1}{{\lambda}_{X}}\right)}\)

压强恢复系数对增量\(\bar l\)的导数相对值为负且正比于摩擦系数\({\xi}_{CTP}\):

\(\frac{1}{\sigma}\frac{d\sigma}{d{\bar l}}=-\left[\frac{1+\frac{k-1}{k+1}{\lambda}^{2}}{\tau (\lambda)}+1\right]\frac{{\xi}_{CTP}}{2}\)

在这种情况下，启动压强增大：

\(\frac{{p}_{s}}{{p}_{H}}=\frac{1}{\sigma}=\frac{y({\lambda}_{a})q(1/{\lambda}_{X})}{y({\lambda}_{X})q({\lambda}_{a})}\)

4.6.3在发动机、真空舱及扩压器中的压力变化

固体火箭发动机压力改变的过程中，喷管—扩压器系统可能经历几个状态：a)无论是喷管还是扩压器都不起动；b)喷管早于扩压器起动；c)喷管和扩压器都起动；d)扩压器早于喷管中断工作。

在固体推进剂点燃过程中，喷管堵盖被冲破之后流入扩压器的燃烧产物，部分地与空气混合、压缩并从通道孔中排出。

扩压器气体流入的急剧增长(好像产生了向前推进的“气体”活塞)伴随有压缩波现象并以速度\({a}_{H}\)传播于扩压器中。当这种压缩波从扩压器出口产生反射回波时，就产生了同一振幅的的稀疏波，它沿相反的方向运动。在t’=(2L+d)/\({a}_{H}\)时刻(时间间隔d/\({a}_{H}\)对应于来自排气道开放末端的回波过程),稀疏波进入了扩压器入口，并使整个长度上以及真空舱(小容积)内的剩余内压减小到零。

在接触表面区域，压力增量p₁/\({p}_{H}\)与来自于固体火箭发动机燃气流量之间的关系式有以下形式：

\(\frac{{\dot m}RT}{{p}_{H}{a}_{H}A}=\frac{{p}_{1}}{k{p}_{H}}\left(\frac{{p}_{1}}{{p}_{H}}-1\right)\sqrt{\frac{\frac{2k}{k-1}}{\frac{2k}{k-1}+\frac{{p}_{1}}{{p}_{H}}-1}}\)

在排气道起动以后，通常情况下在真空舱中的相对压力\({p}_{v}/{p}_{o}\)依赖于下述因素：

a)排气道进口截面积与临界截面积的比值\({A}_{x}/{A}_{t}\)

b)排气道进口段壁与其轴的夹角θx;

c)从喷管流出的燃气组成及其热力学特征k和R;

d)喷管近出口断面型面偏角θa;

e)喷管出口马赫数Ma;

f)喷管出口附面层厚度；

g)经由真空舱来自于其他流入流出物质的质量和能量，火箭发动机射流的开始段除外。

这里所研究的扩压器长度范围仅对于真空舱中压力与其无关的情况，即L/d>(L/d)aBT。

真空舱压力(上限)的近似评估可以在低压理论基础上进行。

Ax/At比值是一个重要的待定参数，它不仅用来确定扩压器起动压力，也用来确定真空压力DB/po。

\({p}_{v}/{p}_{0}\)值近似地用下述限制式表示：

\(\pi({\lambda}_{X}) \le {p}_{v}/{p}_{0} \le \frac{\pi ({\lambda}_{X})}{{\pi}_{*}}\)

式中 π(λx)根据g(λx)=At/Ax来确定。当k=1.4;1.5≤Ma≤3.5;dx/da≥1.6;θa=15°,θx=0时，该比值范围符合下式：

\(\frac{{p}_{v}}{{p}_{a}}\frac{{A}_{x}}{{A}_{a}} \approx 0.64-\frac{0.056{M}_{a}^{2}}{\sqrt{{M}_{a}^{2}-1}}\)

当dx/da≈1.2时，压力pv增长25%。

气流流出相对于扩压器壁边界线角度值\({\theta}_{\sum}\)由喷管壁偏角θa、射流边界摆动角θ和扩压器入口部分壁的角度θx构成。摆动角θ取决于离开喷管附面层波中的压力比值：

\(\frac{{p}_{v}}{{p}_{a}} \approx 1-\frac{k{M}_{a}^{2}\theta}{\sqrt{{M}_{a}^{2}-1}}\)

当压缩时θ<0。

由于\({\theta}_{\sum}\)是有限度的，所以在真空舱中压强随\({\theta}_{a}+{\theta}_{X}\)增长而增高。

降低压强pv的方法可以采用：

a)增大排气道进口截面直径，这时起动压强同时增大；

b)减小射流边界与壁的夹角；

c)在真空区域燃气冷却；

d)减少外来的燃气来流，减少来自抽真空区的排气(这种排气等于从发动机来的燃气流0.3%～1%,当Ma≥2时它导致真空压力下降约3倍)。

改变真空区来流(或流出)燃气可以调整试验过程的模拟高空条件。

当火箭发动机压强减小到低于排气道中的工作压强(中断压强)时，喷气射流脱离排气道壁，并在脱离区产生两种波：向发动机内传播的压缩波和向排气道出口运动的稀疏波。压缩波可以是非对称的，并且当其传播进喷管时最终喷管将承受冲击性轴向及横向载荷。在排气道出口附近，在扩压器出口处脱离的稀疏波压强会转化为向着发动机和真空舱方向传播的压缩波。当压缩波从壁上反射情况下，压强会增长为更大，因此，pv 可能短时间地超过pmax。由于pv的增大，会发生气流从喷管壁上脱离，当脱开的情况下，气流中的压降方向是从喷管外向内，并且开始时为

\({p}_{a}-{p}_{v}=-0.5{M}_{a}{p}_{s}\pi({M}_{a})\)

脱离可能是不对称的，在此情况下产生喷管的侧向载荷。

当压缩波传播到喷管断面，它开始分成两股：其一进入喷管，而另一股则分进到真空舱中环绕喷管的空间。

在分股的波传播过程中，内压超过外压，而差值可能大大超过在无脱离过程和发动机标准压力的工作值水平；在喷管上轴向载荷增长并且推力特征将发生畸变。

为了防止返流和对脱离后(起动之前)排气道的工作状况产生有害的后果，应该采用：

1)在靠近扩压器出口处增加蒸汽喷射器或者在靠近扩压器进口处增加注射器。关闭或打开这些喷射装置可以自动进行，将取决于被试发动机的压力水平；

2)在发动机工作终止之前，开始在真空舱中喷入惰性气体氮气或氦气，同时在起动前瞬间及在发动机工作过程中从封闭的空间里排除氧化剂组分；

3)用快速起动阀门使扩压器出口通道切断；

4)对真空舱喷水使气流冷却。

被试发动机喷管段要用热防护板、附加的外绝热层，以及用喷水帘防护来自底部的辐射热流或者来自底部燃气的循环。

在固体火箭发动机起动和停止工作情况下在喷管壁、真空舱和排气道上的非稳态载荷可以用气体动力学方程数值积分系统进行评估。

为了评估在高空模拟试车台上可能引起试验失败事故的冲击波载荷，采用了：

1)在球形的、轴对称的或立体空间的气动力学非定常方程数值积分；

2)用预先安排的充气容器爆破建立载荷模型；

3)用三硝基甲苯(TNT)当量数爆破载荷，在给定距离下给定的能量(三硝基甲苯当量Ψ_E)、给定冲量(Ψ_I)或者最大过压(Ψ_p)建立模式；对此，在表4.19中给出了球径Φ0.35m爆炸模型的三硝基甲苯当量，球体中充满固体推进剂燃烧产物，压强30 MPa,ρ=29 kg/m³;表中还给出了在此球爆炸中产生的冲击波过压Δp。

表4.19充满固体推进剂燃烧产物的球体爆炸TNT当量

4.6.4高空试验的结果处理

在固体火箭发动机高空试验准备和进行过程中，要测定药柱质量m,热防护和烧蚀材料被烧蚀部件的质量Δm,发动机的几何特征，包括喷管临界面积At和出口面积Aa在真空舱内只包含了发动机喷管段的情况下，要测量在真空舱壁与发动机之间间隙位置发动机的横截面积上，发动机即时推力F(t)及推力积分值

\(\int\limits_{0}^{t}{F(t)dt}\),喷管周围的压力Pv,发动机在其前封头的压力\({p}_{k}(t)\)以及绕着发动机的压力pH,见图4.16。(译注：该图中给出的时间坐标为与发动机工作时间ta相比的相对时间)。

图4.16发动机试验值曲线

1—发动机相对压力的测量值；2-用立式试验台测定的相对推力；3一真空舱内的真空压强

测量的结果在固体火箭发动机工作时间t₁～t₂时间段进行积分确定，在此时间段，保证在不存在喷管中气流分离现象下的气体膨胀。有没有分离流的存在，用pv/pa的比值或者按真空推力系数\({C}_{f,v}=F/p(t)\)(在喷管有分离流工作段Cfv值高于没有分离流过程的Kr值)来检查，而对0～t₁,段和t2～ta段不进行详细研究。

立式台试验不同于卧式台试验，作用于推力传感器上有一个改变着的发动机质量，这样在真空推力的测定上附加了一个偏差：

\({F}_{H}={F}(t)+{p}_{H}(t)A-{p}_{v}(t)(A-{A}_{a})+\left({m}_{m}-\int\limits_{0}^{t}{{\dot m}(t)dt}\right)g\)

式中\(\int\limits_{0}^{t}{{\dot m}(t)dt}\)为到某一时刻t被烧掉的推进剂质量；g为自由落体加速度；\({m}_{m}\)为发动机最初的质量。

真空推力的总冲量用含有试验中被测参数的表达式的积分进行计算：

\({I}_{t}=\int\limits_{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{{F}_{t}(t)dt}=\int\limits_{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{F(t)dt}+A\int\limits_{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{{p}_{H}(t)dt}-\)

\((A-{A}_{a})\int\limits_{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{{p}_{v}(t)dt}+\left[ {m}_{m}({t}_{2}-{t}_{1})-\int\limits_{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt}\int\limits_{0}^{t}{{\dot m}(t)dt}\right]g\)

包含在这个双重积分表达式中误差的评估，考虑了发动机排出的气体流量随机函数的统计特征；

\({\dot m}(t)=\eta (t){p}_{k}(t){A}_{t} \beta\)

真空压力和A-Aa的差值包含于It相乘数公式之中。因此，如果流经扩压器断面环形间隙之内的面积等于喷管流出的面积，则pv测量误差将不会在确定It时表现出来。

然后，计算发动机真空比冲：

\({I}_{s,v}=\frac{{I}_{t}}{(m+\Delta m)(1-{\Delta \psi}_{1}-{\Delta \psi}_{2})}\)

式中It为发动机工作段(t₁～t₂区间)真空推力总冲；Δψ₁、Δψ₂分别为发动机工作段0～t₁ 和t ₂～ta药柱燃烧的相对质量。

在 t₁～t₂区间试验值pk(t)和Ft(t)可以用总压恢复系数来评估(当At=常数):

\(\eta = \frac{{F}_{t}(t)}{{K}_{T}{A}_{t}{p}_{k}(t)}= \frac{{F}_{t}(t){p}_{k}(t’)}{{F}_{t}{t’}{p}_{k}(t)}\)

或者，当t>t’时，临界面积增加：

\(\frac{{A}_{t}(t)}{{A}_{t}(0)}=\frac{{F}_{t}(t)}{{K}_{T}{A}_{t}(0){p}_{k}(t)}= \frac{{F}_{t}(t){p}_{k}(t’)}{{F}_{t}{t’}{p}_{k}(t)}\)

当 t>t’>t₂时刻，对应于足够小的燃气流速；当t≥t’.η=1。

对于η值进行的评估，也可以从在真空舱中真空压力测量的结果pv获得：

\( \eta=\frac{{p}_{v}(t){p}_{k}(t’)}{{p}_{v}{t’}{p}_{k}(t)}\)

喷管临界面积增加的近似评估\(\Delta {A}_{t}={A}_{t}(t)-{A}_{t}(0)\)可以从比较实验的p(t)与计算值的关系来进行(当t>t’):

\(\frac{\Delta {A}_{t}(t)}{{A}_{t}(0)}=-(1-v)\frac{\Delta {p}_{k}(t)}{{p}_{k}(t)}\)

发动机高空模拟试验过程中在稳态和过渡工作状态中大约要测定有10²个代表不同物理性质的参数。为此采用了自动信息测量组件，它的任务包括：

a)考虑试验程序选择合理的实物装置的工作方式；

b)保证试验组件按工作方式起动、输出并且可以调节；

c)按照发动机数字模型对试验所得的信息进行判读、采集、传输、变换、显示、记录加工和比较，按照试验的进度及时进行结果分析；

d)对发动机组件进行控制；

e)保证操作人员与设备间联系与互动。

在发动机台上工作终止之后，通常情况应该实现：

1)让被试发动机在台上保持一段时间，以便冷却其被烧的元部件，特别是喷管末段的辐射冷却；

2)通过喷管对发动机喷水进行冷却，特别喷淋它的壳体内表而，以在对药柱燃烧结束后热防护和烧蚀材料尚存的厚度进行测量中提高精度。这种情况下有必要接下去使发动机干燥；

3)真空舱中压力恢复。

第5章 燃烧产物与固体火箭发动机通道材料的相互作用

5.1 与通道作用的各分量

固体推进剂燃烧产物多相流对发动机燃气通道发生作用的各分量是(见图5.1):

a.内压力载荷；

b.来自流动介质的对流热流对材料粗糙可渗透表面的作用；

c.辐射热流：

d.沉积的凝聚相物质对壁的热传递；

e.凝聚相粒子与壁的高速碰撞。

图5.1固体火箭发动机工质和周围介质与喷管通道和壳体元部件作用分量

由上述分量而产生的现象有：

1)通道材料被加热：

2)粘接剂热解：

3)燃气流中化学活性组分作用引起材料破坏；

4)在粗糙表面部件燃气流的摩擦及冲击作用引起的材料破坏；

5)在材料加热过程中，热应力和收缩应力引起的材料破坏，以及在焦化层厚度方向上的燃气压差引起的破坏。

在火箭飞行过程中外来介质对发动机结构也发生作用，其分量如下：

a.在弹道主动段的气动加热；

b.来自头部冲击波的辐射加热；

c.从结构外壁向周围空间的再辐射；

d.来自于排出的多相流辐射热流；

e.弹道气动载荷；

f.太阳辐射热。

火箭上面级固体发动机的试验台试验在风洞中进行，在其试验过程中，喷管部件上承受的作用有：

1)底部对流热流：

2)底部燃气流辐射热流：

3)在风洞起动和中断过程中底部燃气脉动压力及温度。

固体火箭发动机结构相对比较简单，但由于下述理由它的能量交换是不可逆的且非常复杂：

1)在整个通道各部分燃气流动的速度差别很大，马赫数从0.5到5;

2)在固体火箭发动机的通道中存在着极大的压力梯度；

3)激波与附面层相互作用：

4)在粗糙可渗透表面上附面层非等温性；

5)在气流中心区，高度的湍流表现出了对附面层热质传递和过渡过程的影响：

6)分离流区域存在；

7)工质流动的空间分布特征；

8)易受热解的复合材料中的相转变；

9)附面层热传递存在不同的状态，并且存在层流向湍流转变的过程，或者相反，由湍流转变为层流；

10)在附面层中存在凝聚相粒子；

11)工质的组分对碳石墨复合材料不同状态的不均匀氧化作用；

12)材料的热物理性质随温度、复合材料的热分解水平和结构不同而不同。

5.2对流热交换模式

通常的研究对象是在可渗透的(或不可渗透的)、催化的(或非催化的)、平滑的(或粗糙的)表面上冻结的或平衡的附面层。反应气体在附面层中的流动特性和传热传质过程决定了在层中气体粒子存在的时间tn与化学反应进行时间tp的比值，命名为达姆克列尔数,以Da表示：

\(Da=\frac{{t}_{n}}{{t}_{p}}=\frac{L{U}_{e}^{-1}}{{({\rho}_{e}^{2}{K}_{r}{M}_{a}^{-2})}^{-1}}\)

式中Kr为反应速度常数；Ma为原子质量；L为特征尺寸。

固体火箭发动机工作时燃温为3400～3600 K,对发动机通道中存在的三分子再化合反应Da数的评估值给出于表5.1。

表5.1在燃气通道不同段内反应气体在附面层中流动及传热传质特征

表5.1研究了两种反应，它们的反应速度相差大约两个数量级；Kr值引自研究的数据。在一般情况下，在固体火箭发动机通道附面层会存在三个状态：

1)Da→∞在这种情况下，在附面层每个点上，都来得及建立起局部的热化学平衡，因而附面层被认为是处于平衡状态。每种组分浓度分布等值线都不依赖于传递过程，而只取决于该局部的温度和压力，见表5.1中的Da=47.5情况。

2)Da→1:见表5.1中的Da=1.98情况：化学反应和传质速度具有同一个数量级，而附面层认为是非平衡的。

3)Da→0:见表5.1中的Da≤0.5×10^-2情况：化学反应对附面层过程没有影响，附面层认为是冻结的。

表5.1数据表明，在喷管的最小截面，附面层中反应肯定是冻结的，而在发动机壳体和喷管跨音速段在确定反应及其常数值的选择上则存在某种随意性。在设计中，固体火箭发动机通道亚音速段认为是平衡的，而在超声速段认为是冻结的。

设计实践中对通道壁热流的确定有三个途径可供选择：

1)以相似准则式和附面层理论积分关系式为基础；

2)以库塔杰拉泽-列昂奇也夫积分理论为基础；

3)根据在不同假设条件下，闭合湍流偏导数微分方程完整形式附面层理论。

在固体火箭发动机通道中采用对流热交换模式的区域见表5.2。

表5.2固体火箭发动机对流热交换模式应用的区域

5.2.1 附面层理论积分关系式

最初，在计算固体火箭发动机对流热交换时采用过简单的相似准则式，它由实验数据处理得出:

Nu =0.0225Re^0.8Pr^0.4

式中 雷诺数根据当量直径\({d}_{Re}=4A/\Pi\)(A为流经的面积，Ⅱ为截面周长)来确定；燃气的热物理参数随气流中心温度选取。

固体火箭发动机对流热交换的计算方法在传统的湍流附面层理论基础上产生。

5.2.1.1  阿伏杜耶夫斯基模式

用薄板上的摩擦和热交换经验规律积分闭合关系式，求算在梯度流流经光滑非渗透壁情况下，斯坦顿数计算关系式如下：

\(St=0.0296{Re}_{ws,\phi}^{-0.2}{Pr}_{w}^{-0.6}{\left(b\frac{{H}_{w}}{{H}_{e}}\right)}^0.39{\left(1+\frac{k-1}{2}r{M}^{2}\right)}^{0.11}\)

\(St=\frac{\alpha}{{\rho}_{e}{c}_{pw}{U}_{e}}\)

\({Re}_{\phi}=\frac{{\rho}_{w}{U}_{e}{s}_{\phi}}{{\mu}_{w}}\)                       (5.1)

式中，\({s}_{\phi}\)为附面层的有效长度。

\({s}_{\phi}=\frac{{s}_{1}{({\rho}_{w}{U}_{e}{R})}_{1}^{1.25}+\int\limits_{{s}_{1}}^{s}{{\rho}_{w}{U}_{e}{R}^{1.25}ds}}{{\rho}_{w}{U}_{e}{R}^{1.25}}\)

式中符号下角标“1”表示附面层中湍流状态开始出现的截面。

公式(5.1)对于带有负压力梯度的流动是正确的，为此引入有效长度来表达相应于有梯度和无梯度的流动能量损失厚度等式。对壁的热流用下式确定：

\({q}_{w}(s)=\text{St}{\rho}_{w}{U}_{e}({H}_{e}-{H}_{w})\)

在固体火箭发动机通道的附面层对流热交换可以受到以下扰动因素的影响.

1)热解产物的吹入及复合材料的异相氧化；

2)材料表面的粗糙度；

3)燃气流中心湍流。

在被研究的热交换模式中，实际设计中这些影响因素是用彼此独立的修正因子Ki按(5.1)式计算，将热交换系数乘以相应的Ki值。

对于湍流状态的传递，采用考虑吹入的经验公式:

\({K}_{w}=\frac{q}{{q}_{{B}_{T}=0}}=1-\gamma {B}_{T}\)

\(\gamma=0.19{\left(\frac{{M}_{e}}{{M}_{w}}\right)}^{n}\)

\({B}_{T}=\frac{{\rho}_{w}{U}_{w}}{{\rho}_{e}{U}_{e}{St}_{0}}=\frac{{\rho}_{w}{v}_{w}}{{\left( \frac{\alpha}{{c}_{p}}\right)}_{{B}_{T}=0}}\)

式中Me为附面层外边界燃气分子摩尔质量；Mw为被吹除的燃气分子摩尔质量。

幂指数n随着Me/Mw比值变化范围如下：

\(0.2 \le \frac{{M}_{e}}{{M}_{w}} \le 1:n =0.35;\)

\(1< \frac{{M}_{e}}{{M}_{w}} <8:n=0.7;\)

\(\frac{{M}_{e}}{{M}_{w}} =14.5:n =1\)

在固体火箭发动机喷管中，燃气吹入对对流热交换的影响不很明显，吹入参数值\({B}_{T}\)很小。这样，在用碳复合材料制造的部件表面，在喷管最小截面附近，热流的减少不多于3%。发动机壳体的热防护材料具有较高的热解析出气体的能力，并且对流热交换的水平又比喷管低得多。在这种情况下，由于燃气吹入引起的热流减少大约为8%～11%。

在附面层吹入的存在也会导致恢复系数减小。吹入系数的确定按

\(B=\frac{2{\rho}_{w}{v}_{w}}{{\rho}_{e}{U}_{e}{c}_{fM}}\)

式中\({c}_{fM}\)为非渗透壁的摩擦系数，而且考虑了可压缩性。试验数值用下列关系式近似求取：

\(=1-2\frac{1+B}{B}\frac{1(1+{B}^{2})}{{B}^{2}(2-{\text{Pr}}_{T})}\left(1+\frac{(1+B){\text{Pr}}_{T}^{-2}}{{(2+{\text{Pr}}_{T})}^{2}}\right)\)

但是，当\({\text{Pr}}_{T}\)=1.0;B=0.1,1.0,10.0情况下，计算得出的恢复系数为负值，因此，实验数据被处理成为恢复系数相对值随吹入参数B变化的形式：

\(\bar r=\frac{r}{{r}_{B=0}}=0.915-0.05B\)

为了求算由于粗糙度引起的修正因子，可以利用研究得到的经验数据和在超声速锥形流情况下获得的数据，请参阅：粗糙表面高速附面层湍流模型。实验结果表明(见图5.2)摩擦和热交换的增强，并不与雷诺数存在相似关系；在粗糙部件高度达到一定值时，热交换达到稳定，而摩擦力继续增加。对于热交换的实际评估，从Ks=0.33 mm开始采用稳定的St/Sto值；而在Ks=0～0.33 mm范围内，可以按下式计算修正因子值：

\({K}_{m}=1+0.151{K}_{s}^{0.29}\)

式中Ks用μm计。

图5.2 粗糙表面上的摩擦与热交换强度

实线表示锥形45°;O表示锥形5°;M=2.4,Cf/Cfo;Δ表示锥形5°;M=4.7,St/Sto;点划线表示符合\({K}_{m}=1+0.151{K}_{s}^{0.29}\)相关关系

气流中心的湍流对附面层的传递过程产生影响。

已查明，外湍流对热交换的影响大于对摩擦力的影响，并且随着普朗特数的增长，这种影响会降低。其增强系数值用以下经验式确定：

\({K}_{TU}=\frac{\text{St}}{{\text{St}}_{0}}=1+{b}\text{th}(0.2T{u}_{\infty})\);

\(b=1.87-2.4{C}^{0.14}+1.08{C}^{0.21}\);

\(C=12.5{\text{Pr}}^{0.66}+4.5\lg \text{Pr}-7.4\);

\(T{U}_{\infty}=frac{\sqrt{{\bar u}^{‘2}}}{{U}_{e}}\)=0.1%～15%;。

\({\text{Re}}_{x}\)=1×10⁴～5×10⁶;

Pr =0.7～100

5.2.1.2  巴尔特兹模式

对亚声速段和超声速段角度不大的喷管，在平板表面附面层关系式基础上，提出了计算光滑非渗透喷管壁对流热交换的关系式，同时考虑了压缩气体沿附面层厚度方向上的可变性：

\(Nu=A\frac{\frac{{T}_{ref}}{T}{\text{Pr}}^{\frac{7}{15}}{\text{Re}}_{R}^{0.8}}{{\left(\frac{{l}_{0}}{{R}_{0}}\right)}^{0.2}{\left(\frac{{R}_{0}}{R}\right)}^{0.05}}\)

式中A为与实验数据相吻合的系数，对亚声速段A=0.026,对超声速段A=0.023;\({R}_{0}\)为喷管入口截面半径；\({l}_{0}\)为喷管前空间的长度；\({\text{Re}}_{R}=2\rho {U}_{e}{R}/\mu\);R为喷管计算截面的半径；下角标“ref”表示标准温度值。

壁上的热流用以下表达式确定：

\({q}_{w}(s)=\frac{\alpha}{{c}_{pw}}({H}_{e}-{H}_{w}) {\left(\frac{{\rho}_{ref}}{\rho}\right)}^{0.75}{\left(\frac{{\mu}_{ref}}{\mu}\right)}^{0.25}\)                (5.2)

按照B·C·阿伏杜耶夫斯基和Ⅱ·P·巴尔特兹对流传热模式，对于传统的拉瓦尔喷管平滑非渗透壁附面层理论积分关系式给出了一系列的彼此接近的热交换系数值，见图5.3。图中温度因子取0.8,喷管长度为不变值。

图5.3拉瓦尔喷管通道热交换系数值分布

当p0=5 MPa时，1—按式(5.1)计算值；2一按式(5.2)计算值

5.2.2 附面层积分理论

传统的摩擦、热质传递的定律，由非渗透的、平滑的、非催化的平板上无梯度非压缩流标准条件，可以推广到更为复杂的情况，例如有压力梯度、壁的可渗透性、非均质、粗糙和催化等情况，需要对传递定律进行一定的修正[15]。

沿附面层厚度方向的积分，可以得到在没有化学反应条件下

—177—

5.2.4 喷管潜入部分的对流热交换

研究喷管潜入部分的热交换的试验采用了多孔壁模型，见图5.6,它的工质是冷却清洁的干燥空气。对流热交换系数值的确定采用热流转换的方法，在Δ值很小的情况下，速度等值线为余弦曲线(见3.3节)。固体火箭发动机气体动力学模型喷管潜入部分外表面压力的实验分布，与按伯努利方程的计算相吻合。

在喷管潜入部分外表面热交换系数值的分布不取决于其纵向坐标s,仅在喷管l值不大的情况(s=S>0.6),其热交换水平才有所增长。类似的热交换特征也出现在临界点的绕流中，此处气流有一定梯度，并且其热交换系数恒定，尽管其气流在加速。

图5.6固体火箭发动机喷管潜入部分示意图

1—药柱网状模型

为了评估喷管潜入部分外表面热交换特征，对所研究模型的全部l值和Δ值的实验数据，都可以描述成从药柱芯孔向喷管中推进的气流参数的函数：

\(\frac{St}{{Pr}_{w}^{0.6}{(\bar T)}^{0.4}}=f({Re}_{wR0})\)

式中 \(St=\frac{\alpha}{{\rho}_{w}{c}_{pw}{\bar U}};{Re}_{wR0}=\frac{{\rho}_{w}{\bar U}{R}_{0}}{{\mu}_{w}};\bar{U}\)为在喷管顶部之前药柱芯孔中的平均流速。

对整个喷管中不同的测点来说，斯坦顿数按照对应的\(\Delta/{R}_{0}\)比值的曲线位置进行分组，即药柱内孔位置。在喷管潜入部分的外表面恒定的斯坦顿数与雷诺数之间的函数关系有以下形式：

\(\frac{\Delta}{{R}_{0}}=0.45;\frac{St}{{Pr}_{w}^{0.6}{(\bar T)}^{0.4}}=1.24\bullet{Re}_{wR0}\)

\(\frac{\Delta}{{R}_{0}}=0.57;\frac{St}{{Pr}_{w}^{0.6}{(\bar T)}^{0.4}}=0.162\bullet{Re}_{wR0}\)

\(\frac{\Delta}{{R}_{0}}=04;\frac{St}{{Pr}_{w}^{0.6}{(\bar T)}^{0.4}}=0.282\bullet{Re}_{wR0}\)

当Δ/R₀=0.45时，对流热交换具有接近于层流的特点，

St～\({Re}^{-0.45}\);随着Δ值的增加，气流流动状态发生变化，并且当

Δ/R>0.57时，热交换具备湍流特征，St～\({Re}^{-0.25}\),并且在关系式\(St=A{Re}^{-m}\)中的幂指数与分离流中热交换大量试验得到的m值相对应，例如对于直角空洞区域的绕流。

对喷管潜入部分，当Δ/R₀=0.57,l=0.1和0.2m,并且模拟药柱表面没有吹气情况下完成的实验显示，与吹气的情况下实验结果相比较热交换水平不变。在接近于喷管顶部\(\bar s\)=0.885截面的情况是个例外，这里热交换水平高于70%。很可能，在喷管潜入部分让药柱表面不存在吹气(l/Rt=11.4)的情况下，\(\bar s\)=0.885截面落入了喷管合并气流之中。

根据喷管潜入部分外表面热交换的实验数据可以做出以下一些定性的结论。在发动机开始工作的瞬间(Δ/R₀=0.091～0.146),受到气流中心湍流的影响，热交换具有层流的特点，实际上此时沿外表面长度上热交换是恒定的值，其水平超过按附面层层流理论计算的值。

当\({Re}_{T}^{**}\)>3×10³(Rew>6.7×\({10}^{5}\))时，在喷管顶部附面层中出现湍流状态，并且按照积分理论对平板上梯度流计算的斯坦顿数，较好地得到了实验数据的支持。在药柱燃烧过程中，喷管潜入部分绕流状态发生转变，气流及热交换可能开始类似于分离流及在空洞区域的热交换。在Δ/R₀≥0.57时，经验关系式中\(St=A{Re}^{-m}\)的幂指数值，与在空洞区域壁上分离流热交换获得m=0.25相吻合。虽然在喷管潜入部分绕流处于非稳态，但它的热交换水平并不随药柱内孔直径的增长而显著变化(在25%的范围内变化)。

对固体火箭发动机喷管潜入部分顶部及其沿气流向下的位置，附面层显示了湍流特征。在固体火箭发动机气体动力学模型潜入式喷管入口部分热交换与压力分布实验结果给出于图5.7。喷管的顶部(点A)坐标\(\bar x\)=1.7,最小截面\(\bar x\)=0。得到的对流热交换系数实验值与按照(5.1)式计算的速度\({U}_{e}\)值相符，计算是用

二维燃气流模式进行的。在喷管顶部周围及其沿气流向下的位置(\(\bar x\)=1.0),计算与实验值吻合的相当好。

 

图5.7固体火箭发动机潜入式喷管进口部分的热交换

1—按照理想气体流一维模式计算；2—按二维流模式计算；

3—按式(5.1)计算；〇—表示实验值

5.2.5 圆柱状喷管喉部最小截面的对流热交换

固体火箭发动机喷管可以采用圆柱状喷喉；此处，如采用其他类型的型面，其最小截面，周围热防护层材料经过质量烧蚀也会导致一个(近似于圆柱状的)转折面出现，见图5.8。这种型面绕流的特点及对流热交换用喷管模型进行了研究。其工质采用冷的清洁空气，其热交换系数用热流转换方法确定。

图5.8拉瓦尔喷管模型最小截面流动与热交换参数

1—按燃气一维流模式；2—按二维流模式计算；3—按照燃气一维流及式(5.1)计算

给出的结果显示的是在转入圆柱状喉部后初始未发生畸变的流动与热交换的特征，即，代表了发动机工作的最初瞬间值。但当\(\bar x\)>0.6,对所有的喷管，包括最小截面处有突起物的情况，非扰动流条件下的压力和温度恢复值及热交换系数计算值与实验值之间的吻合程度都是可以接受的。

随着发动机工作的进展，由于热交换的增强，不管是在初始的型面还是热防护层烧蚀后型面绕流情况下，都可能发生因绕流形成的凹坑及初始型面畸变，见图5.9。

图5.9喷管最小截面突起物的绕流(a)及热防护层型面被烧蚀发生畸变的绕流(b)

1—含金属钨内衬；2一初始型面；3—石墨衬底；

4—扩张段碳基复合材料内衬；5—凹坑型面；6—畸变型面

在凹坑状形成之后，气流发生分离并汇入下游气流中形成激波。与非扰动的附面层相比较，热交换的强度与激波中压力提高之间的函数关系有以下公式:

\(\frac{\alpha}{{\alpha}_{0}}={\left(\frac{p}{{p}_{0}}\right)}^{n}\)              (5.8)

当马赫数为1～10时，上式中n值为0.725～0.85。按照式(5.8)形式处理喷管实验数据，得出n=0.77~0.82,由此可以看出，热交换的强度和平板上实验现象相一致。

为计算在湍流附面层与激波相互作用区域热交换强度的最大值，引入在激波之中对热交换规律的修正方法，修正形式为ψc=St/Sto(当Re,相同时),并且在分析实验数据后得到：

\({\psi}_{c}  =0.5+12.5(\frac{{p}_{01}}{{p}_{02}}-1)\);对0.04<(\(\frac{{p}_{01}}{{p}_{02}}\)-1)<0.21;

\({\psi}_{c}  =3.12\) 对(\(\frac{{p}_{01}}{{p}_{02}}\)-1)>0.21

式中\({{p}_{01}},{{p}_{02}}\)分别为激波形成之前之后的滞止压力(湍流附面层入射激波作用点可渗平板上的热交换)。

从热防护碳石墨材料表面层发生异相氧化产物及粘接剂的热解产物被吹人附面层，并且激波与可渗壁发生相互作用。在固体火箭发动机实际结构中，吹气参数B的数值不大(B<0.1),且

y→1.0,即，吹气对于热交换强度的影响并不显著。

最简单的计算方法是采用B·C·阿伏杜耶夫斯基积分关系式，对喷管喉部圆柱段最小截面初始型面或有畸变的型面，按理想气体流动模式得到流动参数值，并进行热交换计算。这样计算方法可以用来评估排气道(扩压器)中热交换，见图5.10。实验得到的压力值与按理想气体轴对称流动模型计算结果吻合得非常好。实验得到的热交换系数值也与按B·C·阿伏杜耶夫斯基模式计算值良好吻合。

图5.10超声速排气道(扩压器)压力与热交换1—喷管；2一排气道壁；3—激波；4一分离流；

O:实验数据；虚线：按理想定律模式计算值；×按式(5.1)计算结果

附面层激波对壁的作用导致热质交换的三维影响。

由于流线的弯曲，在分流线处形成了轴向旋流，此处热交换最强。对于杰罗尔-盖尔特列尔轴向旋流非压缩流，与平板上的热交换比较得出(见图5.11),沿坐标轴x向热交换改变应符合下式(当Pr=1)情况下的热交换

Nu/Nu0=1+0.6cos(βz)

图5.11平板上存在轴向旋流情况下的热交换

图5.12凹坑处汇合流区域的热交换(M=2.25,Tw/T。=0.3)

1—按式(5.9)计算值

上式中，β=2πλ为波数。这时局部热交换提高或降低不超60%,对全部数目的波来说，不会发生热交换总的变化。同时，实验指出，热交换强度高达3倍。

对于超声速流，实验数据显示热交换水平改变在±15%之内,尽管已经知晓有热交换水平改变2倍的情况。英格尔在线性化三维扰动NS方程基础上研究了汇合的超声速流，研究可得出沿x轴热流相对扰动计算，当T→1时，有下列形式：

\(\frac{\Delta{q}_{w}}{{q}_{w0}} \sim \cos{{\bar \beta}z\sqrt{\frac{\frac{d{U}_{e}}{ds}}{{\nu}_{0}}}}\)    (5.9)

式中\(\bar {\beta}=\beta\sqrt{\frac{\nu}{\frac{d{U}_{e}}{ds}}}\)

式(5.9)已得到实验验证，见图5.12。A·B·梅津采夫对逐渐扩张的管壁与激波相互作用的截面上(见图5.13)实验得到的数据表明，在周向热交换水平发生了显著改变，St0值是针对非扰动流情况计算的。

图5.13激波与逐渐扩张的管道壁作用截面的热交换

5.2.6喷管超临界部分燃气非对称吹入干扰区对流热交换

对流热交换系数的最大值出现吹气孔附近马蹄形流线处，而最小值则出现在分离区汇流线处，如

图1.11所示，由于流线特征复杂，热交换系数值的计算只能用经验的关系式。

当气体以音速垂直吹入基础气流时，热交换系数的最大值按下式确定：

\(\frac{{\alpha}_{max}}{{\alpha}_{0}}=1+2.3{M}_{\infty}^{0.35}{({\bar {\dot m}}-0.5)}^{0.45}\)

\({\bar {\dot m}}>0.5\);\({M}_{\infty}=2 \sim 4;{Re}_{s}>1 \times {10}^{5}\)

式中\({\alpha}_{0}\)为在该截面没有吹气情况下的热交换系数；\({\bar {\dot m}}\)为被吹入气流的相对流量，%;M∞为基础气流在吹气孔之前截面上的马赫数。

从最大值截面沿气流向下游方向，热交换系数分布用下式计算：

\(\frac{\alpha(s)}{{\alpha}_{max}}=\left[0.98-0.224{\left(s{(\frac{{\rho}_{w}{A}_{w}}{{\rho}_{01}})}^{1/2}\right)}^{0.46}\right]{M}_{\infty}^{-0.1}\)

式中\({\rho}_{w}\)和\({A}_{w}\)分别为被吹入气体密度及吹气孔面积；\({\rho}_{01}\)为基础气流中气体滞止密度。

5.2.7固体火箭发动机中非定常热交换

在通常情况下，存在气体热附面层与被绕流物体温度场之间的相互作用，因此确定热交换和摩擦的课题任务应用耦合方式求解。内外热交换课题的耦合性判据应该引入一个与热燃气附面层和固体物体热阻抗成正比的数值，该值被称为布留恩准数。厚度为δ的平板绕流情况的布留恩准数表达式如下：

\(Br=\frac{{\lambda}_{r}}{{\lambda}_{TB}}\frac{\delta}{r}Pr\frac{1}{3}{Re}_{s}^{m}\)

式中 在层流状态m=0.5;在湍流状态m=0.2。

在Br>0.02时，要使计算精确到1%,则该问题必须按耦合方式求解，这种情况下，热交换系数的概念就不存在了。

附面层及壁上存在化学反应流，这使得耦合计算变得更为复杂了。固体火箭发动机通道采用碳和玻璃复合材料作为热防护层，当\({Re}_{s}<1\times {10}^{7}\)时，采用布留恩数可以不用求解耦合问题，并且在很多情况下，传统的热交换概念完全可以被采用。由于热导率比较低，这些材料在按照设定范围气体快速流出后的一段时间内，壁温的改变不大。

而如果采用热解石墨或碳/碳复合材料作为通道热防护材料，由于它们热导率很高，将导致布留恩判据值很小。而且，这还会引起壁温随时间延长而显著变化。在同一截面上，不同的材料，计算得到的表面温度随时间的变化见图5.14。

图5.14热防护层壁温随时间的变化

1一热防护层；2一结构件；3一碳复合材料计算结果；4一碳/碳复合材料计算结果

Tw的非稳态值，特别是在初始时刻，可以导致热交换比相同绕流条件下Tw=常数时大大增强。在不考虑壁温非稳态影响的条件下，当əTw/ər≤2800 K/s,斯坦顿数确定的相对误差可能为15%。对于工程计算来说，这样的误差是可以允许的，因而不再需要进行耦合问题求解。

以采用热交换系数为基础的计算方法需要采用修正因子对稳态条件下的α计算值进行修正。在湍流状态下，对流热交换随壁温对时间的一阶导数值变化，而不依赖于Tw(t)的变化。在固体火箭发动机中，通常在əTw/ət>0时，其修正因子可以用下式进行计算：

\({K}_{t}=1+C[\exp {(1.06\times {10}^{4{K}_{Tg}})-1}]\)

\(C=(0.185{\bar T}+0.38)\exp{[(2.875-2.9{\bar T})Re.{10}^{-5}}]\)

\({K}_{Tg}=\frac{\partial {T}_{w}}{\partial t}\frac{d}{{T}_{w}-{T}_{e}}\sqrt{\frac{\lambda}{{c}_{p}{g}{\dot m}}}\)

式中d为通道直径；\(\dot m\)为燃气流量，\({({T}_{w}-{T}_{e})}_{0}\)为在给定条件下的温度降。

关系式(5.10)适用范围为\({K}_{Tg}=(0 \sim 1.6)\times {10}^{-4},Re=8\times {10}^{4} \sim 4.5\times {10}^{5}\)。

在对Tw(t)进行的严格的分析中，考虑由于在压力下降阶段热应力和收缩应力而导致焦化层破成碎片可能引起壁温随时间振荡变化，则在个别时刻K,值将减小到零。在这种情况下，有：

\({K}_{t}=1-(1.41{\bar T}-0.97)[1-\exp{(A{K}_{Tg})}]\);

\(A=793| {K}_{Tg}{|}^{-0.177};-0.4 \bullet {10}^{-4}<{K}_{Tg}<0\)

\(A=1.47| {K}_{Tg}{|}^{-0.8};-0.2.2 \bullet {10}^{-4}<{K}_{Tg}<0.4\bullet {10}^{-4}\)

固体火箭发动机的特点之一是随气流下游方向壁温逐渐降低，可能在个别的截面出现热交换系数的负值，而斯坦顿数在变和不变的边界条件下可能非常不一致。

在很多情况下，在沿长度方向上，壁温的变化会使得确定斯坦顿数的误差很大。依据A·Ⅲ·多尔夫曼的研究，斯坦顿数的相对误差在不考虑壁上条件的作用时大约为：

\(\frac{\Delta St}{St} \le 0.1\frac{{Re}_{T}^{**}}{St{Re}_{L}({T}_{e}-{T}_{\infty})}\frac{d({T}_{w}-{T}_{\infty})}{d(\frac{x}{L})}\)

式中L为绕流作用的物体特征尺寸；Tw-T0为壁温与气流中心温度之差，称为温度位差，对于可压缩气体T∞值等于滞止温度。

St值的误差随温度位差导数与温度位差值之比的增长而增长。

热交换的守恒性在某种程度上可通过将温度恢复值T∞取代绝热壁温Te的方式而得以恢复。

在固体火箭发动机控制力生成装置元部件上的绕流，还需要考虑外部的非定常性，即工质的流量和温度随时间的变化。在研究管道之中燃气流量变化的情况下非定常热交换时，B·K·科施津给出了对热交换系统进行修正的修正因子经验关系式。

在壁温和流量增加的情况下：

\(K=1+0.1155{({K}_{T})}^{0.353}(0.0213+0.000415{K}_{T}){K}_{G}^{0.75}\)

\({K}_{T}=0\to 25,{K}_{g}=0 \to 15\)

在壁温和流量减少的情况下：

\(K=\exp{(f{K}_{T})}-C{(-{K}_{g})}^{n}\)

\(f=\frac{0.044}{{(-{K}_{T})}^{-0.5}};-6.2<{K}_{T}<-3.2\)

\(f=\frac{0.0829}{{(-{K}_{T})}^{0.915}};-32<{K}_{T}<-6.2\)

当\(-14.1<{K}_{T}<-3\)

\(C=0.132{(-{K}_{T})}^{-0.8}\)

\(n=0.424{(-{K}_{T})}^{0.14}\)

当\(-32<{K}_{T}<-14.1\)

\(C=239{(-{K}_{T})}^{-3.66}\)

\(n=0.0669{(-{K}_{T})}^{0.84}\)

\({K}_{T}=\frac{\partial {T}_{w}}{\partial t}\frac{{d}^{2}}{a({T}_{w}-{T}_{e})}\)

\({K}_{G}=\frac{\partial {\dot m}}{\partial t}\frac{{d}^{2}}{\nu{\dot m}}\)

经验数值\({K}_{T}\)和T的大小将不是独立的，温度因子对热交换的影响是不确定的。雷诺数也不存在明显的影响。

获得的数据表明，当流量发生变化时的热交换，明显有别于作出了准定常假设条件的流动与热交换值。在测定\(\frac{\partial {\dot m}}{\partial t}\)的绝对值时，对于\(\frac{\partial {\dot m}}{\partial t}\)>0的情况，热流是增加的；而对于\(\frac{\partial {\dot m}}{\partial t}\)<0情况，热流是降低的。如果|\(\frac{\partial {\dot m}}{\partial t}\)|值很大，且\(\frac{\partial {\dot m}}{\partial t}\)>0,可能更接近是层流；而当\(\frac{\partial {\dot m}}{\partial t}\)<0,可能导致热交换值的增大。

A·B·法符林研究了燃气温度变化情况下的非定常热交换。如果\(\frac{\partial {T}_{\infty}}{\partial t}\)<0,则产生热交换值的增加。实验数据与下述关系式相近：

\(\frac{St}{{St}_{0}}=1+{\frac{\partial {T}_{\infty}}{\partial t}}^{0.13}\)

其适用范围为\({Re}^{**}=100~2000;\frac{\partial {\dot m}}{\partial t}\)=0~400。

造成与准定常计算得到的热交换值差别的最大影响因素是外部非稳态因子的影响\((\frac{\partial {\dot m}}{\partial t}),\frac{\partial {\dot m}}{\partial t}\)而内部非定常的影响\(\frac{\partial {{T}_{w}}}{\partial t}\)很小。

固体火箭发动机喷管多层结构热状态的修正计算要求求解耦合问题，耦合计算可以计算沿型面壁温的变化(不仅由于热交换值的改变，而且还由于通道各段材料的变化),计算在初始时段\(\frac{\partial {{T}_{w}}}{\partial t}\)大的数据以及发动机工作状态的变化。

可以把问题大大简化的方法是采用附面层定常方程和一维非定常热传导方程，并对选定的时间段内进行迭代计算，求出非稳态热导率一维方程的近似解。对于包含多层壁结构的复杂通道型面而言，气流为压缩气体，其表面温度值给出于图5.15。图中数据由B·B·别特里格维奇给出。

图5.15沿内孔长度方向壁温分布

1—钨；2—碳复合材料；3一最小截面

在初始时段，由于材料结合点两边热导率不同，会存在Tw(s)值的明显不连续点，并导致附面层变形。

5.2.8 燃气流量调节器上的热交换

在流量调节元部件上的对流热交换的确定，需要进行试验研究，这是由于绕流的三维特征、分离流区域的存在、气流中心湍流性质的影响和其他一些因素。

把调节器旋转轴上热交换的数据与在\({Re}_{d}\)=4.26×10⁵情况下圆柱体上非限制流热交换数据进行比较后表明，在圆柱体和调节器表面努塞尔特数的分布存在某些定性的吻合关系。在调节器上热交换系数的最大值高于在圆柱体上该值40%,见图5.16。

在调节器上临界点的热交换强度是由气流中心湍流性质引起的：在附面层的层流中，存在着外流的波动分量，产生额外的冲量及热能向壁上的传递。气流中心湍流强度特征为：

图5.16自由流中圆柱体的热交换

\({Tu}_{\infty}=\frac{\sqrt{\frac{1}{3}({\bar {u’}}^{2}+{\bar {v’}}^{2}+{\bar {w}}^{2})}}{{U}_{e}}\)

并且，其纵向积分尺度\({L}_{T}=\int R d \eta\)Rdη,其中，R为校正函数。

Ⅱ·布别施得到，研究迎面而来流过圆柱体气流的湍流强度与大小对临界点热交换影响的表达式如下：

\({K}_{Tu}=1+43.4{Re’}^{2}\exp{(-9.7{Re’}^{0.1})}\)

\(Re’=\frac{\sqrt{{\bar{u’}}^{2}}{L}_{T}}{\nu}\)

C·C·钦措夫综合研究了平面和轴对称流动，在临界点附近计算的热交换修正因子准数关系式，把热交换强度的准数式确定为

\({\beta}_{T}=\sqrt{{\bar{u’}}^{2}}{\beta {\delta}_{0}}\)

式中 β=dUe/dx;。为临界点附面层的厚度(当Tu。=0时)。

当临界值设定为β,=0.5～0.8,并且有β<β,则不存在热交换增强的情况(Kr,=1)。由此给出了实际计算的下述关系式：

\({K}_{Tu}=1\);当\(\beta<0.64\)

\({K}_{Tu}=1+0.254({\beta}_{T}-0.64)\);当\(\beta<0.64 \to 3.0\)

\({K}_{Tu}=0.8\sqrt{1+{\beta}_{T}}\);当\(\beta>3.0\)

5.2.9多相流中的热交换

物体表面上多相流流过时，既有气相的热流，也有沉积的凝聚相粒子的热流，则

\({q}_{wp}(s)={K}_{ak}^{‘}({m}_{p}^{T}+{m}_{p}^{N}){c}_{s}({T}_{p}-{T}_{w})+{K}_{aK}^{“}{m}_{p}^{N}\frac{{v}_{p}^{2}}{2}\)

式中\({m}_{p}^{T}=\left[ {\left(\frac{{\mu}_{t}}{{\sigma}_{t}}\right)}_{w}+{D}_{B}\right]\frac{\partial {\rho}_{p}}{\partial \eta}\)为湍流沉积粒子的质量速率；\({m}_{p}^{N}\)用多相流模式计算确定的惯性粒子沉积质量速率；K,为沉积的疑聚相粒子热交换适配系数；K”为惯性沉积粒子的动能适配系数。

对单相介质热交换系数值用两相性因子进行修正的典型形式由B·C·诺索夫导出，如下：

\({K}_{2}=1+A{Re}^{m}{Z}_{1}^{n}\)

式中 A=0.0246;m=-0.3;n=2.45

上式见湍流对临界点周围热交换的影响。

实验用直径为0.0103 mm的石墨粒子进行，雷诺数范围R

\(Re=(8~\sim23) \times {10}^{3}\);\({Z}_{1}={\dot m}_{p}/({\dot m}_{\sum}-{\dot m}_{p})\)；\(Z={Z}_{1}/(1+{Z}_{1})\)；\({Z}_{1}=Z{(1+Z)}^{-1}\)

实验中浓度值为Z₁=25～60(Z=0.96～0.985)。

在管道中气体悬浮物流的热交换强度经验关系式由A·C·苏科迈尔得出，如下：

\({K}_{z}=0.53{(\frac{{c}_{s}}{{c}_{n}})}^{0.1}{Z}_{1}^{n}\left[1+A\exp{\left(-\frac{mx}{d}\right)}\right]\)

实验是用直径为0.065～0.29 mm石墨粒子和0.07 mm直径氧化铝粒子进行的；实验条件Re=(8～35)×10³;Z₁=3～40

(Z=0.75～0.975)。对d。=0.130～0.290 mm,得出A=0.35;

m=0.4;n=0.26;而对d,=0.065mm有A=0.7;m=0.045;n=0.33。

5.2.10固体火箭发动机中的自由对流

在固体火箭发动机某些个别区域存在着燃气的自由对流，见图5.17。

图5.17自由对流区域

A一壳体前封头段停滞区；B—喷管与排气道(扩压器)壁之间区域

与壳体上强制对流热交换值(α=3000～1000 w/(m²·K))相比，自由对流热交换值不大(α=20～50 W/(m²·K))。在实际工程中，通常采用平均努尔塞特数与格拉肖夫数和普朗特数之间的准数关系判别式:

\(Nu=C{GrPr}^{n}\)

式中\(Gr=\frac{g\beta\Delta T {l}_{0}^{3}}{{\nu}^{2}};\Delta T={T}_{\infty}-{T}_{w};\beta=\frac{1}{{T}_{\infty}};{l}_{0}\)为该区域特征长度。

上式中的C值和n值用附面层中的热交换系数来确定。当附面层中Ra=GrPr=10³～\({10}^{9}\),则C=0.8,n=0.25;而当Ra>1×\({10}^{9}\),附面层湍流，C=0.15,n=0.33。燃气的热物理特征计算在确定的温度下进行\({T}_{*}=0.5({T}_{w}+{T}_{\infty})\)。

在壳体壁与限燃层之间狭小区间热交换依照有限容积内的自由对流计算：当Ra>1×10³时，取\(Nu=0.18{(Ra)|}^{0·25}\)。

5.3 固体火箭发动机辐射热交换

固体火箭发动机推进剂燃烧产物高温两相流在以电磁波形式能量传递过程中是辐射、吸收和散射的介质。

这种特有的辐射介质常用局部热动力学平衡的概念进行研究：介质任意点的状态可以用一个参数，即局部温度\((T(\bar r))\)来表征。当通道中流动部分容积元素发出热辐射时，用普朗克公式记作

\({j }_{\nu}^{e}(\bar r)={k}_{v}(\bar r){\dot I}_{\nu b}(T{(\bar r)})\)

式中\({\dot I}_{\nu b}(T)\frac{2h{\nu}^{3}{n}^{2}}{{c}_{0}^{2}[\exp(h{\nu}/(kT)-1)]}\)为绝对黑体在电介质中辐射强度；\(n=c/{c}_{0}\)为折射指数；\({c}_{0}\)为真空中光速；\({k}_{\nu}\)为光谱吸收系数，它是在辐射扩散过程中在单位长度上入射辐射量被吸收掉的分数。

固体火箭发动机推进剂燃烧产物中的氧化铝粒子、炭黑粒子和气相产物中的三原子分子都会吸收辐射。

固体火箭发动机推进剂燃烧产物中小的液体氧化铝颗粒的存在会引起辐射波束向各个方向上散射。通常可以观察到相干散射，即被散射的辐射频率与入射频率一致。按照实验得到的液态氧化铝粒子或氧化镁粒子折射的综合指数在Mu理论基础上计算含金属推进剂燃烧产物的光学特征。辐射的散射与吸收取决于直径d=2~6μm的粒子；d<1μm的粒子的作用只表现在入射波长λ<2μm的情况。辐射的散射与吸收系数是粒子的平滑函数，并且散射系数比吸收系数的值高一个数量级。与粒子的作用相比较，燃烧产物气相的辐射及吸收不明显。

固体推进剂燃烧产物中氧化铝粒子折射的综合指数值由

B·牙·克拉布科夫测定得出，他采用固体火箭发动机模型进行实验，其工作温度与辐射光谱用光谱高温计及分光光度计测定，而粒子的尺寸从发动机燃烧室中取样测定。对四种不同牌号的推进剂进行了实验。其滞止温度Ta=2680～3100K;其凝聚相组分分

数z=0.18～0.36。粒子材料折射的综合指数m=n-ik(n为综合指数，k为吸收指数)用在散射介质中辐射传递的反算方法求算。获得的n和k值给出于图5.18,吸收系数值随波长的增加呈单值增长。

图5.18 粒子散射和吸收指数

1-k,(λ=3μm);2-k,(λ=1.5μm);3—n,(λ=0.5μm);4—n,(λ=1.5μm);5—n,(λ=3μm);6—k,(λ=0.5μm)

在辐射热流的工程计算中，采用如下关系式

\({q}_{r}={\varepsilon}_{ed}{\sigma}_{0}({T}_{\infty}^{4}-{T}_{w}^{4})\)

上式表达了两个灰暗物体之间热交换的某些特征。本文中所指的两个灰暗物体是多相介质与发动机壁，在这种近似中，有效黑度的表达式是

\({\varepsilon}_{ed}={\left(\frac{1}{{\varepsilon}_{w}}+\frac{1}{{\varepsilon}_{p}}-1\right)}^{-1}\)

ad式中\({\varepsilon}_{w}\)是壁的黑度，\({\varepsilon}_{p}=\frac{\int\limits_{0}^{\infty}{{q}_{\nu}d\nu}}{{\sigma}_{0}{T}_{\infty}^{4}}\)是多相介质的积分黑度，它是入射的积分流对绝对黑体积分流的比值。

材料黑度值用实验测定；而燃烧产物的黑度值也用实验测定，亦或用经验关系式进行计算。\({\varepsilon}_{p}\)值的计算是在做出重要的简化后对辐射传递方程进行近似求解，这些简化包括假设为一维求解，且浓度均匀的单分散粒子分布于等温介质中。

在实际工程计算中采用经验公式计算燃烧产物的黑度值；

\({\varepsilon}_{p} =1-\exp(-c{\rho}l)\)

式中 c为实验系数，l为特征尺寸。

尽管不同的作者得到c值不同，但是固体火箭发动机含金属推进剂燃烧产物的黑度值只在一个足够窄的范围内变化，\({\varepsilon}_{p}=0.6\sim 0.85\),因此，上述经验式的近似是完全正确的。

固体火箭发动机用于热防护的碳复合材料受热时，在不同的\({\varepsilon}_{p}\)值下，粘合剂开始分解的573 K等温线位移计算值，示于图5.19。

图5.19在辐射加热条件下碳复合材料573 K等温线位移

1—碳复合材料；2一结构件；3-\({\varepsilon}_{p}\)=0.9;\({\varepsilon}_{w}\)=0.8;4-\({\varepsilon}_{p}\)=0.6;\({\varepsilon}_{w}\)=0.8

如图5.19中，当\({\varepsilon}_{w}\)固定(\({\varepsilon}_{w}\)=0.8),而\({\varepsilon}_{p}\)从0.6增加到0.9,其对被防护材料加热的影响并未显现出来。\({\delta}_{T}\)的增长不超过10%。但壁温改变可能引起焦化层被燃烧产物流氧化扩散状况更快发展。

为了对含有不同浓度的单分散的凝聚相燃烧产物等温流的黑度值进行快速的工程评估，可以采用由已知的多种重要文献数据总结得到的回归关系式：

\({\varepsilon}_{p}=0.229+0.0616{d}_{32}+0.00011{T}_{\infty}-0.3684z+0.00502p-0.00338l\)

上式的多重相关系数R=0.87。该关系式中的各因子是：凝聚相粒子平均光学直径\({d}_{32}=\frac{\int\limits_{0}^{\infty}{{d}^{3}f(d)\text{d}d}}{\int\limits_{0}^{\infty}{{d}^{2}f(d)\text{d}d }}\)。它以μm计，由粒径分布函数f(d)来确定；气流中心温度T∞,K;凝聚相粒子沿截面均匀分布的质量分数z,截面的气流压力p,MPa;截面特征尺寸L,m。

热解产物被吹蚀以及复合材料非均质氧化的存在，附面层中凝聚相粒子浓度的变化对于壁接受辐射热流有屏蔽作用，总的来说，入射的辐射热流与多相的附面层发生作用，因而有必要在对附面层上热转移及辐射热转移进行联合求解基础上求解复杂的热交换问题。

当采用辐射能半透射的热防护材料，如玻璃钢，也要求求解热导率能量转移及固体物质上辐射方程。

在现代的固体火箭发动机壳体上，辐射热交换是具有决定性作用的，它在总热流中的份额约为80%～95%;在喷管最小截面附近，这个份额不超过30%;在喷管潜入部分，在燃料中燃烧产物温度高达T∞>3600K情况下，这个份额为50%。在喷管超声速段，由于燃气与粒子的混合物温度较低，因此通常认为辐射热交换不很重要，带有用金属合金和碳/碳复合材料制成的薄壁出口锥大扩张比喷管结构的设计与建造时，需要了解其被辐射加热和冷却的精确数据。JI·A·多姆布罗夫斯基和Ⅱ·T·巴尔科娃研究解决了在温度场和光学性质已知条件下，各向异性的散射介质轴对称定向热辐射的问题。

用来替代辐射光谱强度的热传递积分微分方程，需要求解模式化的亥姆霍兹方程，得到辐射能量谱密度\({\varphi}_{0}\)。

\(\nabla (D{\nabla}_{{\varphi}_{0}})+\sum\limits_{a}^{}{{\varphi}_{0}}=4\pi {S}_{B}(T)\)

式中\({S}_{B}\)为源函数，而“辐射扩散”系数D有以下公式：

\(D={[(4-{N}_{appr}){\sum}_{tr}]}^{-1}{\sum}_{tr}={\sum}_{a}+{\sum}_{s}(1-{\bar \mu})\)

上式中，∑_a为散射系数；\(\bar \mu\)为散射轴对称参数；∑_tr 为传递的衰减系数；N_appr=1,为传递方程P₁时的近似值；N_appr=0,为传递方程DP₀时的近似值。

在气相流中存在粒子的大扩张比喷管超声速段热交换计算的结果示于图5.20,其中的壁温的确定未考虑辐射。图中的数据表明，凝聚相粒子的二维效应对辐射热交换有重要影响。

图5.20在喷管壁上辐射积分热流与对流热流密度

1一对流热流；2一不考虑各向异性散射计算的辐射热流；3—按一维热传递模式计算的辐射热流；4—精确计算的辐射热流；5—未考虑散射的辐射热流

在不存在金属氧化物以及任何一种其他粒子情况下，推进剂燃烧产物的辐射和吸收决定于多原子气体组分混合物：H₂O水蒸气和CO₂二氧化碳。这些介质的黑度用下式计算。

\({\varepsilon}_{p}={\varepsilon }_{{C{O}_{2}}}+{\varepsilon }_{{{{H}_{2}O}}}-{\varepsilon }_{{{H}_{2}O}}\bullet {\varepsilon }_{{C{O}_{2}}}\)

用该式计算结果与H₂O、CO₂的辐射频带一致。

水蒸气与二氧化碳的黑度随H₂O和CO₂分压与辐射线路径长度的乘积及气体混合物温度的变化而变化。

\({\varepsilon}_{{{H}_{2}O}}=f(({p}_{{H}_{2}O}\bullet  l),T), {\varepsilon }_{{C{O}_{2}}}= f(({p}_{{C{O}_{2}}} \bullet l),T)\)的值依据曲线图来确定，但它们并不总适用于自动设计的计算。

两种物质黑度值可以按下式得出：

\({\varepsilon }_{{C{O}_{2}}}=1.5306{{p}_{{C{O}_{2}}}}^{0.33}{\left( \frac{{T}_{\infty}}{100}\right)}^{-0.5}\)

\({\varepsilon }_{{{H}_{2}O}}=4.4425{{p}_{{{H}_{2}O}}}^{0.8}{l}^{0.6}{\left( \frac{{T}_{\infty}}{100}\right) }^{-1}\)

式中 分压值采用单位为MPa,l用m。

5.4燃气流对复合材料的作用

对石墨和热解石墨，已研究了相应的碳结构氧化模式；而对碳/碳复合材料和碳复合材料，仅有为数不多的几种的模式被推广开来。

可能存在三种彼此不同石墨氧化方式，即动力学的，扩散的和升华方式,它们取决于壁温度值及周围气体介质的参数，见图5.21。在固体火箭发动机的条件下，只能实现两种方式，即，动力学和扩散的方式，而如果在升华方式下，石墨蒸汽转入附面层并在其中与燃气流中组分发生均质的反应，反应很微弱。依据图5.22中碳状态图,在固体火箭发动机用碳石墨材料制成的燃气通道各截面壁温和燃气压力不足以使碳达到升华状态。

图5.21碳的氧化方式

1一动力的；2一扩散的；3一蒸发

图5.22碳状态图

对现代的固体火箭推进剂，其燃烧产物温度达3600～3900 K,在发动机壳体及喷管入口处，高压妨碍了出现升华状态；而喷管的末段压力较低(p≈5 kPa),壁温也不太高，Tw<2800 K。

在发动机工作的最初时刻，Tw<1600 K,氧化速度是由碳与燃烧产物中含氧组分之间化学反应动力学决定的。物质的化学反应发生在由化学吸附力维持的单分子薄层之中。在壁的催化作用下，化学反应经历以下几个阶段：

a.参与反应组分向表面迁移；

b.表面层参与反应的物质化学吸附；

c.被吸附在表面的化学物质间化学反应；

d.反应产物从表面解吸；

e.反应产物脱离表面层。

碳石墨材料表面层碳与固体火箭推进剂C—H—O燃烧产物典型的反应类型如下：

反应中起到决定作用的是碳物质外表面与二氧化碳和水蒸气的反应；因为燃烧产物中氧的浓度很低，而碳与氢发生反应可能需要在很高的温度之下(Tw>4000 K),通常采用的反应级数为n=1,在反应的第i步骤碳氧化的质量速率用阿累尼乌斯公式型的幂指数关系式：

\({m}_{i}={K}_{oi}\frac{p}{R{T}_{w}}\exp{(-\frac{E}{R{T}_{w}}){C}_{i}}\)

总的氧化速率\(m=\sum\limits_{i=1}^{k}{{m}_{i}}\);参数E为活化能，通常该值是一个实i=1验值。

碳石墨材料表面层碳结构的特点，例如颗粒大小、多孔性、制备的工艺参数等，都会导致上式中指前因子K。实验测定值的范围很宽。这些值可差三个数量级，其最小值(缓慢的动力学过程值)通常发生在热解石墨中；而最大值(快速的动力学过程值)则发生在石墨中。在动力学方式下，随着壁温的增长其烧蚀速度表现出急剧增长的特征。

随着壁温的增加，表面氧化过程速度开始取决于通过附面层含氧组分的扩散，而当氧化达到扩散方式时，其速度已经不再决定于壁温，化学反应速度非常高，而决定于在附面层中的迁移过程。

在多组分燃气中，碳扩散燃烧机制非常复杂，氧化反应的质量速率的计算需要采用湍流附面层模式及扩散系数值、各组分形成速度以及其他值。因此，在热防护的工程计算中，即使对冻结的附面层来说，按照菲克扩散定律来确定壁催化氧化的质量速率也不是总能实现的。

碳按照扩散方式氧化的质量速率计算可以按下式进行一阶近似：

\(m=\frac{\alpha}{{c}_{p}}{B}_{m}{({Le}_{i})}^{0.7}\)

式中“质量原动力”采用参数\({B}_{m}={M}_{c}\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{{c}_{i}}{{M}_{i}}},{B}_{m}\)为燃烧产物氧化势\({M}_{i},{C}_{i}\)分别为含氧组分的分子量和浓度；\({Le}_{i}=\frac{\rho {D}_{ij}{c}_{p}}{\lambda}\)为路易斯数。

但是，对于多组分的燃气混合物来说，路易斯数的确定是一个独立的复杂问题，在工程上则假设Le;=1。通常情况下，这种关系也被扩展到在固体发动机工作的某固定时刻通过m值计算非稳定热交换情况。在冻结湍流附面层中，在动量、能量及质量迁移之间初始相似情况下，研究了工作介质碳和CO₂与H₂O组分之间一级反应。按氧化反应速率的共同规律，碳烧蚀的质量速率用以下各式确定。

\(m={(1-\eta)}^{-1}\frac{\alpha}{{c}_{p}}{B}_{c}\)                  (5.11)

\({B}_{c}=\left( \sqrt{{(\frac{{M}_{c}}{{M}_{e}}\Omega+1)}^{2}+4{B}_{m}\frac{{M}_{c}}{{M}_{e}}\Omega}-(\frac{{M}_{c}}{{M}_{e}}\Omega+1) \right) {(2\frac{{M}_{c}}{{M}_{e}}\Omega)}^{-1}\)      (5.12)

\(\Omega=\frac{\alpha}{{c}_{p}}\frac{{T}_{w}}{1.465{K}_{0}{p}_{w}}\exp{(\frac{E}{R{T}_{w}})}\)            (5.13)

式(5.11)～(5.13)分别表达碳氧化过程动力的、过渡的和扩散的方式。在壁温值Tw较高情况下，参数Be逐渐趋向于燃气混合物氧化势值Bm。为实现按该模式的计算，需要求解热导率边界值(确定Tw随时间的变化);需要求算出材料氧化动力学常数，包括指前因子K0和活化能模拟量E,以及需要了解气流与壁之间的热交换条件。

在固体火箭发动机工作过程中，推进剂中温度达3600～3900K,碳复合材料及石墨会很快发生动力学方式的氧化；并且在发动机工作的主要时间段，这些材料的烧蚀取决于扩散，对于热解石墨，则主要是动力学方式和向氧化的扩散方式过渡。

在固体火箭发动机喷管最小截面碳复合材料、石墨和热解石墨按照式(5.11)～(5.13)计算的壁温及被烧蚀层随时间变化值示于图5.23;计算采用固体物质一维非线性热导率模式，处于动力的、过渡的和扩散方式的壁烧蚀边界条件被认为是对流的和辐射流，并考虑了吹气热效应及碳的氧化。在发动机工作的第一秒之前，高密度及低热导率使得碳复合材料氧化反应按扩散方式进行。

图5.23热防护层材料壁温及烧蚀层深度值

1—碳复合材料壁温；2一石墨壁温；3一热解石墨壁温；4一通道计算截面示意图；5一碳复合材料烧蚀层深度；6一石墨烧蚀层深度；7一热解石墨烧蚀层深度

由于石墨的热导率更高，以及由于其氧化动力学常数的不同，会导致烧蚀的扩散方式在大约5s时才出现。而热解石墨的结构特点，以及其高的热导率，决定了它是以“缓慢的”氧化动力学方式出现。在发动机工作直到第60 s尚很难达到氧化的扩散方式。

催化壁上的气态燃烧产物处在接近平衡的状态，它的能量交换平衡如图5.24所示的形式。与在高热焓值流中石墨的氧化过程情况不同的是，此时燃烧产物的吹气热效应可能阻断燃烧放热作用。对于固体火箭发动机喷管的条件，按以下关系式评估这些效应：

\(\frac{{q}^{+}}{{q}_{rop}}=\frac{\gamma ({H}_{e}-{H}_{w})}{Q}\)

上式表明，吹气的效应不高于燃烧效应的10%。

图5.24催化壁上的能量平衡

均相反应的热效应计算如下式：

\(Q=\frac{1}{{M}_{c}}[\frac{({k}_{H2O}+{2k}_{CO2}+{2k}_{O2}+{k}_{OH}+{k}_{O})\Delta {f}_{CO}}{{k}_{H2O}+{k}_{CO2}{2k}_{O2}+{k}_{OH}+{k}_{O}}-\)

\(\frac{{k}_{H2O}{\Delta H}_{{f}_{H2O}}+{k}_{CO}{\Delta H}_{{f}_{CO}}+{k}_{OH}{\Delta H}_{{f}_{OH}}+{k}_{O}{\Delta H}_{{f}_{O}}}{{k}_{H2O}+{k}_{OH}+{2k}_{O2}+{k}_{O}}]\)

式中ΔHf_i为第i个组分的生成热；k_i为摩尔系数。

对碳复合材料焦化层的氧化按类比于石墨的假定进行研究，认为其表面为非均匀的结构，其中碳纤维增强层与粘接剂(基体)的焦化层是交替出现的。考虑了材料的焦化值a_k以及在碳(石墨)纤维织物中碳的分数φ_c。(译注：这里φ_c碳的系数应仅指基体)。在粘接剂热解燃气组分中存在的轻质烃类可以改变燃烧产物流的氧化势,这一点有必要被考虑进去。碳复合材料烧蚀质量速率表达式如下

\(m=\frac{{\varphi}_{c}}{{a}_{k}}\frac{\alpha}{{c}_{p}}{({Le}_{i})}^{0.7}{B}_{m}^{‘}\)

式中\({B}_{m}^{‘}\)为考虑热解燃气吹气氧化势。

当φ_c<1,不显示碳复合材料总的烧蚀量减少，这其中减少的仅是碳基体材料的氧化；而碳布中组分(1-φ_c)将受到化学的和力学的破坏。

工作介质与热防护材料相互作用的某些特点可能在固体发动机压力提高时显现出来。热力学计算得出，当压力增加时，燃烧产物阻滞热焓和热传递性质的增加，同时燃气混合物密度增加，导致了气流与通道元部件材料的作用机会增加，因此，不可避免地要增加发动机热防护层的质量。

在喷管最小截面附近石墨、热解石墨及碳/碳复合材料在不同的滞止压力值下的化学烧蚀参数计算值给出于图5.25及图5.26。对碳复合材料的烧蚀及加热的计算采用了式(5.11)～(5.13)的模式，考虑了滞止温度的改变、燃气流的组成及热传递性质。石墨在压力p₀=4 MPa情况下，发动机工作5s后进入扩散烧蚀方式，这表明，在压力增加时，采用这类材料是没有前途的。

图5.25 在不同的滞止压力下材料的壁温

O:碳/碳复合材料；口：石墨；Δ:热解石墨；

1-p₀=4MPa;2-p₀=8 MPa;3-p₀=12 MPa

对热解石墨和碳/碳复合材料，即使滞止压力达到p₀=12 MPa,直到发动机工作到60 s时，也不会出现烧蚀的扩散方式，而是处在动力学的和过渡的方式。通过结构的有序化，这些材料的烧蚀可以减低。

在最小截面附近材料烧蚀特征随时间的变化，可用来评估工质滞止压力对烧蚀层最终厚度的影响。被研究的材料烧蚀层在最终时刻的厚度值见图5.27。图中几乎整个曲线都显示了烧蚀层厚度与压力之间的线性相关关系。并且它与有湍流附面层绕流的表面按照氧化扩展方式关系式(δ_y～α/c_p～p^0.8)(在p₀>9 MPa时),计算的烧蚀增加值存在明显差异。随着燃烧产物温度增长和热传递的变化，还会发现更为强烈的加热和烧蚀，甚至高于按此关系式计算的热交换增加值。

图5.26不同滞止压力下材料的质量烧蚀速率

O:碳/碳复合材料；□:石墨；△:热解石墨；

1-p₀=4MPa;2-p₀=8 MPa;3—p₀=12 MPa

图5.27滞止压力对通道最小截面前材料烧蚀层厚度的影响

O:碳/碳复合材料；●:石墨；△:热解石墨；

1—按照δ_y～p^0.8模式得到的计算值

某些实验数据表明，随着压力的增加，由于材料表面层温度梯度增加，气流与壁的摩擦力增大，以及由于压力作用附面层减薄而气流对粗糙表面的元部件动力压力增大，会导致机械冲蚀的出现，这会使得按照化学烧蚀计算模式得出的烧蚀厚度δy值进一步增大。

原则上说，由于高温燃气流绕流存在引起的热防护层表面层机械破坏无处不在，它决定于小片及微小粒子的破碎程度。在化学氧化的同时，材料的表面在下列因素作用下可能发生破坏：

(1)来自外部的，包括燃气流对表面的摩擦应力，气流对粗糙表面的动力压力；燃烧理论问题：在化学活性燃气流中人造石墨的化学烧蚀;

(2)来自内部的，包括表面层沿厚度方向上温度梯度引起的热应力；焦化层中及在成焦复合材料热解区域的收缩应力；热解燃气在其通过焦化层时渗透作用产生的压降引起的应力。

粗糙的元部件化学-力学剥落是石墨固有的性质，它是由于粘接剂(基体)与增强材料的氧化速度不同引起的。力学剥落在总的烧蚀速度中所占的份额用下式确定：

\(\eta=1.85\frac{{\varphi}_{H}}{\bar \rho}{(\frac{1-{\bar \rho}}{1-{\varphi}_{H}})}^{3}F(\omega)\)

peV式中 \({\varphi}_{H}\)为增强材料质量分数；F(ω)是关于受力因子\(\omega=\frac{{\rho}_{e}{V}_{e}^{2}}{{\sigma}_{B}}\)的函数；\({\bar \rho}\)为与焦化的增强材料密度比较得到的石墨平均密度相对值。

由化学和力学的烧蚀分量计算石墨总的烧蚀速度公式：

\(m=\frac{m}{1-\eta}\)

式中 m为化学烧蚀的质量分数。

用类似的方法可以导出针对碳复合材料的烧蚀速度计算方法。

在实际的工程计算中，在内部因素作用下产生的机械力破坏的份额值η是作为确定加热速率和热解起始等值线的材料常数，它用经验方法来选择。石墨和热解石墨η<0.1,增强纤维平行于喷管轴向的碳复合材料η～0.5;热防护层耐烧蚀材料可以理解为是具有最小的η值的材料。

固体火箭发动机壳体热防护复合材料中，在内部因子作用下的机械冲蚀应该是决定性的。低水平的对流热交换使得化学氧化及外部因素的作用并不显著。在橡胶基复合材料成焦叠层中起到特殊作用的是在热分解过程中收缩现象引起的应力。在工程计算中，选取必要的防护厚度是在不进行材料力学破坏分析的情况下用经验公式获得。

5.5 固体火箭发动机通道燃气流对金属元部件的作用

固体火箭发动机的几个元部件，包括喷管最小的截面喉衬，大扩张比喷管末端出口，执行和调节控制力生成装置燃气流量的部件，都采用难熔金属合金制成。W和Mo在约900 K产生明显的氧化形成不同的氧化物，其中最稳定的氧化物有WO₂,WO₃,

MoO₂,MoO。它们都具有不太高的熔点，当温度继续提高时不能有效地防止表面被氧化。

将Mo和W置于空气、CO₂和水蒸气气流中，对其产物进行分析。当Mo达到2370K,W达到熔点温度，氧化产物为三氧化物MoO₃和WO₃,反应式如下：

Mo+1.5O₂→MoO₃;

W+3CO₂→WO₃+3CO;

Mo+3CO₂→MoO₃+3CO;

W+3H₂O→WO₂+3H₂;    

Mo+3H₂O→MoO₃+3H₂                  (5.14)

按化学动力学方式给出的氧化速率为：

\({m}_{i}={\xi}_{i}\frac{{M}_{M}}{{M}_{i}}{M}_{\sum}{C}_{i}\frac{p}{0.082{T}_{w}}{K}_{0}\exp{(-\frac{E}{R{T}_{w}})}\)                      (5.15)

式中mi单位为kg/(m²·s);ξi为化学作用因数；

按扩散方式(Tw>2700 K)氧化速率：

\({m}_{i}=\frac{\alpha}{{c}_{p}}{\xi}_{i}\frac{{M}_{M}}{{M}_{i}}{C}_{i} \)        (5.16)

在燃气绕流作用下，质量烧蚀的总速率\(m=\sum\limits_{i=1}^{n}{{m}_{i}}\)。

在燃气对金属氧化过程中，反应式(5.14)中反应生成物的存在，将有利于在一定温度下热力学平衡向左边移动，因而烧蚀速率既决定于氧化的动力学也取决于最终反应产物的扩散，因此，其实际的氧化速度采用按式(5.15)和式(5.16)计算值的最小值。

金属的氧化反应是放热的，它加速了燃气流经元部件时的加热过程。

计算评估给出了固体火箭发动机中钨基合金氧化速率的最大值，其中推进剂燃烧产物Bm<0.05;在最小截面附近烧蚀速率为u<0.001mm/s。由于在试验台试验时间相对较短(T=60～70s),要测量出金属元部件的烧蚀是不可能的。此外，元部件在冷却时存在收缩的现象，发动机工作结束瞬间真实尺寸已发生了畸变。

当达到表面熔化的温度时，熔融层状稳态烧蚀的质量速率可以用壁上能量的平衡来评估：

\(m=\frac{{q}_{w}+{q}_{r}-\lambda\frac{\partial T}{\partial \eta}{|}_{w}}{{Q}_{m}}\)

5.6 多相流对复合材料的作用

在气流发生强烈的转向的喷管前空间和某些型面喷管的末端处，氧化铝粒子会发生强烈的惯性沉降。

通常在处理两相流与材料复杂作用的问题时，采用气相和凝聚相分别作用相加的方法。由于在喷管前空间、潜入式喷管前端及喷管末端粒子的沉降特别强，粒子与复合材料的作用有条件地划分为两个类型：

(1)低速型：氧化铝粒子与材料发生化学反应；

(2)高速型：由于粒子的冲击在材料表面层发生机械冲蚀。

附面层的粒子湍流沉降可能在发动机整个通道上都存在，但是它的质量速率不高，不一定都能导致材料烧蚀。

低速型作用发生在粒子沉降于喷管壳体及潜入段前端部件上时，同时，药柱的几何形状发生变化，这种情况下可能避免在壳体上发生凝结，但是要避免氧化铝粒子在喷管潜入段前端发生作用是不可能的。

氧化铝与碳高温化学反应是一个复杂的多级过程，伴随产生铝的碳化物和碳氧化物。这个过程的理想模式(T>2800 K)如下:

C+Al₂O₃→AL₄O₄C→Al₂OC→Al₄C→Al

在反应的过程中，发生不同反应的可能性取决于温度，例如T=1973~2073 K情况下形成稳定的碳化物AL₄C,并且这些燃烧产物的组分进入到附面层中。

在喷管潜入段的前端，石墨材料与沉积的氧化铝粒子发生反应，当沉积物尚未在材料表面形成连片的液膜情况，其烧蚀速率的计算方法还远未完善，不论这种沉积是发生在与液体浸润的材料(碳复合材料),还是不发生浸润的材料(石墨、碳/碳复合材料)。

在工程计算中可以采用经验关系式：

m =f(m_p)

在这些经验表达式中，经验系数是用预先测定了沉积的凝聚相质量速率m_p发动机模型的实验获得。

在进行烧蚀质量速率的计算评估中，还必须考虑到包含有未氧化的铝凝聚相物质，它在发动机开始工作的瞬间存在于喷管潜人段前端与药柱之间很短的距离之内。依据文献的研究成果，液相的铝在T=1473K开始浸润石墨，这也正是石墨开始烧蚀的温度，而当T=1973~2073 K时石墨开始适度的消融。在更高的温度下，碳在液体铝的作用下严重烧蚀。

在反复多次冲撞情况下复合材料的冲蚀速率，受以下因素影响:

碰撞的条件，包括粒子速度、粒子形状、碰撞角度、粒子浓度及其粒度分布；

粒子材料的特征，包括密度、压缩波速、黏度及表面张力；结构材料的特征，包括密度、压缩波波速、剪力波波速、弹性模量、泊松系数、疲劳极限、拉伸、压缩与剪切力动力强度极限，表面粗糙度，表面积及材料层厚度。

喷管末段的特征就不是单独的粒子碰撞了，而是相邻的粒子流的多次碰撞，因为在现代的固体推进剂然烧产物中，凝聚相粒子流质量分数比较大，z=0.3～0.4。在这种情况可能会产生由于较早碰撞壁面的粒子碎片和被破坏材料碎片反射对粒子沉降屏蔽作用，或因沉积粒子液体薄膜式的流动而产生的屏蔽作用。

粒子以vp≈700 mm/s的速度与碳纤维增强和玻璃纤维增强的复合材料作用产生的破坏可以分为三层。

(1)表面层破坏，这种情况损坏集中在非均匀的复合材料上，例如表面上有孔隙或沿纤维方向上起伏不平的裂缝；

(2)压缩断裂，它是由于复合材料基体和增强纤维形变的差异造成的应力集中引起的；

(3)表现为不同机制的分层或层间脱开，它是由于局部的弯曲应力或应力波穿透纤维分布，以及沿材料厚度方向上压缩力分布差异以及非均匀性引起的拉伸应力。

对未经预热的弹性材料作为“靶子”受到“雨滴”作用取得试验结果后，在对试验获得的已知烧蚀数据分析基础上得以建立质量烧蚀计算经验方法。

液滴与材料的反复多次作用用两个参数来评估：

(1)“强度”参数

\(S=\frac{4{\sigma}_{b}(b-1)}{1-2\nu} \)

式中σb为弯曲强度极限；b为实验常数；ν为泊松系数；

(2)表面张力参数

\(P=\frac{{\rho}_{L}{a}_{L}{U}_{p}\cos \theta}{1+{\rho}_{L}{a}_{L}{({\rho}_{s}{a}_{s})}^{-1}}\)

式中 a为声速；θ为碰撞角；下标L表示液体粒子；下标s表示固体粒子。

质量烧蚀速率及潜隐期时间是P/S值经验函数。P/S比值由大量试验数据得到。这种近似也推广到增强纤维垂直于表面分布材料的计算，但需要对S参数的表达式进行修正。

这种研究方法并不能适用于喷管末段复合材料，这是因为非弹性的焦化层形式烧蚀的情况，在粗糙表面小的θa角和粒子以小角度冲击的严重烧蚀情况，都会引起切向应力。当粒子穿过反应产物碎片组成的“屏障”层，可能与粗糙部件以任意的随机角发生碰撞，这是由于粒子直径dp≈5μm,而粗糙部件表面突起高度可能为k=40～150μm。

在单一直径d的液滴作用下烧蚀质量速率按下式确定：

\(m=0.04{\rho}_{s}\frac{{U}_{p}\cos \theta}{6}\pi q{d}^{3}{(\frac{P}{S})}^{4}\)

式中m单位为kg/(m²·s);q为在单位体积的“雨”中的“雨(液)滴”数，滴/m³。

由公式应该有\(m \sim {u}_{p}^{5}\),这表明发生作用的速度值还不很高。

在以高速度碰撞的情况下，可以达到烧蚀速率与碰撞速度的二次方呈线性关系，即与粒子的动能呈线性相关。粒子对障碍材料多次碰撞引起烧蚀破坏的形成过程。

因此，在低速碰撞情况下不存在质量烧蚀，而后达到非线性相关段，只有当碰撞速度继续增高才能达到线性相关关系。参见图5.28的曲线。

图5.28玻璃钢烧蚀质量速率随粒子碰撞速度的变化

1一粒子直径5000μm; 2一粒子直径500μm; 3—1/\(\sqrt{{2H}_{p}}\)

相对烧蚀速率关系式有以下形式：

\(\bar m=\frac{{U}_{p}^{2}}{{2H}_{p}}\left[ 1- \exp{(\frac{{U}_{p*}-{U}_{p}}{K{U}_{p*}})}\right]\)

式中 Up*为碰撞的临界速度，超过此临界值才出现质量烧蚀；K为材料类型及其性能的经验系数；Hp为材料的经验常数，类似于由实验确定与清洁气流作用的有效焓。

当受到高速粒子碰撞时喷管末端材料发生破坏的计算，上述近似方法是正确的，但是通过对烧蚀实验数据进行分析来确定实验常数K和Hp还存在相当的难度。引入的主要参数\({H}_{p}^{2}\)以及粒子沉积的质量速率\({m}_{p}\)可以近似地用求解多相介质气体动力学方程组的方法计算求得。在实验台试验中用计算方法得到真实Up和\({m}_{p}\)值不是总能实现的，这主要是在喷管出口段存在着厚的附而层，以及一系列关于凝聚相分散的假设和数值积分的误差。

因此，在工程计算中，还得采用反映在高速作用下材料的烧蚀速度与喷管型面几何和能量特征之间关系的经验公式。对带有拐角点的喷管来说，其出口段材料可能经受凝聚相的冲击，作为一个重要几何特征，凝聚物开始被带走的壁上坐标点的确定采用\(\Delta {\theta}_{j}={\theta}_{0}-{\theta}_{j}\),即在拐角点外型面初始角度值与喷管末段j截面角度θj之间的差值。

与粒子一次性碰撞相比，粒子与喷管壁的多次碰撞以及由此产生的屏蔽效应降低了烧蚀的速率以及动能调节系数。

从图5.29可见，沉积质量速率的增加，显著地降低了相对烧蚀速率。

图5.29多次碰撞的屏蔽效应

1—铝；2,3—玻璃钢；ρv单位体积粒子质量

除了要确定发生在喷管末段材料上粒子高速碰撞所引起的烧蚀速率外，还有必要计算结构件上的非稳态温度场。在局部热导率问题的边界条件中，出现一个考虑粒子动能转变为热的项：

\(-\lambda \frac{\partial T}{\partial R}{|}_{R={R}_{w}}=\frac{\alpha}{{c}_{p}}({H}_{e}-{H}_{w})-{q}_{r}+{K}_{ak}^{‘}{c}_{p}({T}_{p}-{T}_{w})+{K}_{ak}^{‘’}{m}_{p}\frac{{U}_{p}^{2}}{2}\)

动能调节系数值的确定是极复杂问题之一，因为它取决于粒子流密度、\({m}_{y}/{m}_{p}\)值、冲击角度和其他一系列参数，从物理意义上考虑，很明显，随着粒子流密度和烧蚀速率的增长，\({K}_{ak}^{”}\)值应该减小。在粒径100～200 μm粒子作用下，其沿法线方向飞向钛合金的障碍物，速度为900～2500 m/s,则，\({K}_{ak}^{”}\)=0.7,在固体火箭发动机中的条件下，\({K}_{ak}^{”}\)=0.3。\({K}_{ak}^{”}\)=0.7对应的情况是烧蚀的质量速率很低，它可以用作为my=0情况下的初始值。随着my的增加，(动能)调节系数值应该减小。

建立在高速反复多次的粒子碰撞及气相燃气加热条件下复合材料烧蚀破坏过程模式的问题尚未得到很好的解决，因此在很多情况下也只有在发动机试车台研制试验中才能进行测定。

5.7 固体火箭发动机元部件热状态

通常在解决热导率这类问题时，总是力求在合理的精确度损失限度内，而尽量减少其维数，使问题简单化。壳体及喷管超声速段热防护元部件是轴对称的薄壁多层组分的壳状，其厚度与长度相比很小，这些元部件温度场计算程序的简化，是依靠建立热导率一维方程：

\(c\rho \frac{\partial T}{\partial t}=\frac{1}{R}\frac{\partial}{\partial R}(R\lambda \frac{\partial T}{\partial R})+Q\)             (5.17)

其初始条件为沿多层壁厚度方向上温度均匀，T(O,R)=Tw边界条件是在位移的壁上能量平衡。

\(-\lambda \frac{\partial T}{\partial R}{|}_{R={R}_{1}}=\frac{\alpha}{{c}_{p}}({H}_{e}-{H}_{w})+{Q}_{y}m\)

\({R}_{w}={R}_{0}+\int\limits_{0}^{T}{\frac{{m}_{\sum}}{{\rho}_{0}{a}_{k}}dt}\)

在层的结合面，其结合的条件是：

\({T}_{j+0}={T}_{j-0};-{\lambda}_{j}{\left. \frac{\partial T}{\partial R}\right|}_{j-0}=-{\lambda}_{j+1}{\left. \frac{\partial T}{\partial R}\right|}_{j+0}\)

在紧贴被防护结构层的外表面，边界条件要么采用绝热的条件，即：

\(-\lambda {\left. \frac{\partial T}{\partial R}\right|}_{R={R}_{N}}=0\)

要么，采用在表面层不破坏条件下与环境介质热交换的条件：

\(-\lambda {\left. \frac{\partial T}{\partial R}\right|}_{R={R}_{N}}=\alpha({T}_{e}-{T}_{w})+{\varepsilon}_{\phi}{\sigma}_{0}({T}_{\infty}^{4}-{T}_{w}^{4})\)

这种条件正好符合于在发动机台上试验的情况；在火箭飞行中，有必要考虑对流气动加热、壁在周围空间中的再辐射，以及发动机壳体及喷管部件外防护层可能发生破坏。热导率问题应用于固体火箭发动机过程模拟的几个方面见表5.4。

表5.4热导率边值问题应用的几个方面

大扩张比喷管薄壁末段喷管口用难熔金属(Mo,Nb)制成，它的特点是实际被加热透了，即在厚度方向上没有温度的差别。不计把这一段加热到某一未知温度Tw所需的能量，并假定这个温度值可以通过能量平衡进行计算，即，流入的对流与辐射热流等于排向周围空间的辐射热：

\(\frac{\alpha}{{c}_{p}}({H}_{e}-{H}_{w})+{q}_{r}={\varepsilon}_{\phi}{\sigma}_{0}{T}_{w}^{4}\)

裂解气体从孔隙中透过热量损失的计算是在假定气相与固相焦炭温度处于平衡条件下，靠对流项\({C}_{g}{m}_{g}\partial T/\partial R\)来实现的，该项中的Cg和mg分别是热解产物的热容和热解质量速率。这种近似方法不需用求解在多孔物体中复杂的全面的热质交换问题，其中包含了气相的能量和运动的方程，还有在成焦层中固体构架材料的热导率方程。

在热解前缘概念中粘接剂分解热效应(热解发生在达到某一特征的等温线T*时一个很窄的温度区间)取决于质量损失速度，用下式表示：

\(\Delta Q=\Delta J\frac{d\rho}{dT}\approx(\Delta J\frac{d\rho}{dT})\frac{dT}{dt       }\)

式中ΔJ为相变热效应。

热解产物质量速率可用下式评估：

\({m}_{g}\approx{\rho}_{0}\Gamma(\frac{\partial {R}^{*}}{\partial t}+\frac{\partial {R}_{w}}{\partial t})\)

式中Γ为转化为气相状态的粘接剂分数；R*为特征等温线的位置。

此时方程式(5.17)记作：

\(c\rho\frac{\partial T}{\partial t}=\frac{1}{R}\frac{\partial}{\partial R}(R\lambda\frac{\partial T}{\partial R})+{c}_{g}{m}_{g}\frac{\partial T}{\partial R}+\Delta J \frac{d\Gamma}{dt}{\rho}_{0}{\varphi}_{c}\)      (5.18)

式中\({\varphi}_{c}\)为材料中粘接剂的分数；\({\rho}_{0}\)为热解前材料的初始密度。成焦层材料热解质量损失公式的阿累尼乌斯模式：

\(\frac{d\rho}{dT}={K}_{0}\exp{(-\frac{E}{RT})}{\rho}_{0}{(\frac{\rho-{\rho}_{k}}{{\rho}^{0}})}^{n}\)

式中\({\rho}_{c}\)为焦炭密度；n为反应级数。

碳和玻璃复合材料用于固体火箭发动机喷管热防护材料时粘接剂含量不高(\({\varphi}_{c} \le 0.4\)),当其在高的热载荷作用下，由于热解热效应不会导致热解起始等温线位置的明显位移，并且相应的被防护结构温度也不会明显改变。

在碳/酚醛复合材料中，573 K等温线位移的计算值以及按照式(5.18)进行数值求解得到的被防护金属壁材料温度，见图5.30,该图中分为考虑或不考虑粘接剂热解的两种情况。获得的数据表明，在沿碳复合材料厚度方向上，热解热效应的作用不显著。

图5.30在高热载荷条件下，碳复合材料中等温线(573 K)的位移

1—碳复合材料；2一结构件；3一不考虑粘接剂热解的等温线位移；4—考虑热解的等温线位移；5一不考虑粘接剂热解结构件温度；6—考虑热解的结构件温度

但是，在热载荷不太高及发动机长时间工作的情况下，热解的作用开始增高见图5.31,并且，特征等温线位置的差别可能高达20%,尽管粘接剂的含量并不高。

图5.31在热载荷不高及发动机长时间工作情况碳复合材料中573 K等温线的位移

1—碳复合材料；2一结构件；3—不考虑热解时的等温线位移；4一考虑热解时等温线的位移

壳体的热防护材料中粘接剂含量分数高，在热解中气体释放的分数也高，因此其热解数学模型也相当复杂。

在喷管超声速段的元部件——薄壁的轴对称壳体，采用一维的边值热导率计算(式(5.18)),可以保证达到可以接受的精确度。固体火箭发动机模型喷管碳复合材料壁外表面温度的计算及实验值见图5.32.

图5.32碳复合材料外表面温度的计算与实际值

1—传感器绝缘层；2—电阻温度计；3一粘接剂层；4一碳复合材料；实线：计算值；◊、O:实验值

计算评估表明，在T>2000 K时，热导率对573 K等温线位移影响较小。

对喷管喉部复杂的元件有必要研究热的空间扩散和材料的各向异性性质。通常采用R-z坐标系的二维非稳态热导率模式。而喷管跨声速段的典型结构，用碳/碳复合材料、石墨和碳复合材料制成，经受轴对称的热载荷，其值给出于图5.33。

图5.33 固体火箭发动机喷管潜入段复合材料热传导的各向异性

1—不定向排列的碳复合材料；2一定向增强的碳复合材料；3—热解石墨；4一石墨；5,6一定向增强的碳复合材料；7一支承金属结构件；8—在材料中增强定向(压缩轴与沉积轴)

对于正交各向异性的物体，它沿坐标轴R和x方向具有热导率 和λ,其方程采用最为简单的形式：

\(c\rho\frac{\partial T}{\partial t}=\frac{1}{R}\frac{\partial}{\partial R}(R{\lambda}_{RR}\frac{\partial T}{\partial R})+\frac{\partial }{\partial z}({\lambda}_{zz}\frac{\partial T}{\partial z})\)

在不采用固体物正交各向异性假设的情况下，需将热传导系数看作是第二级张量，并且，在物体中的热流将是温度梯度的线性函数：

\({q}_{R}={\lambda}_{RR}\frac{\partial T}{\partial R}+{\lambda}_{Rz}\frac{\partial T}{\partial z}\)

\({q}_{z}={\lambda}_{zz}\frac{\partial T}{\partial z}+{\lambda}_{zR}\frac{\partial T}{\partial R}\)

对于复杂形式的物体组成(见图5.33)热导率方程如下：

\(c\rho\frac{\partial T}{\partial t}=\frac{1}{R}\frac{\partial}{\partial R}({\lambda}_{RR}\frac{\partial T}{\partial R})+\frac{\partial}{\partial z}({\lambda}_{zz}\frac{\partial T}{\partial z})+\)

\(\frac{1}{R}\frac{\partial}{\partial R}({\lambda}_{Rz}\frac{\partial T}{\partial R})+\frac{\partial}{\partial z}({\lambda}_{zR}\frac{\partial T}{\partial z})+Q\)

其边界条件要考虑到工作面的位移、烧蚀的热效应及对流的辐射供热。

\(-{\lambda}_{w}{\left. \frac{\partial T}{\partial n}\right|}_{n={R}_{w}\cos \phi}=\frac{\alpha}{{c}_{p}}(z)[{H}_{e}(z)-{H}_{w}(z)]+\)

\({\varepsilon}_{\phi}{\sigma}_{0}[{T}_{\infty}^{4}(z)-{T}_{w}^{4}(z)]+{Q}_{y}m\)

\({R}_{w}(z)={R}_{0}(z)+\int\limits_{0}^{t}{\frac{{m}_{\sum}}{{\rho}_{0}{a}_{k}}dt}\)

固体火箭发动机喷管温度场的计算采用二维的各向异性热导率模式(图5.34)进行，其边界条件是：

\(-{\lambda} {\left. \frac{\partial T}{\partial n} \right|}_{n={R}_{0}\cos \phi}=\frac{\alpha}{{c}_{p}}(z)[{H}_{e}(z)-{H}_{w}(z)],m=0\)

图5.34喷管喉部热防护材料温度场

1一碳复合材料；2—金属结构件，3一碳/碳复合材料；4—3000 K等温线；5-2400 K等温线；6—1100 K等温线；7—500 K等温线；8一碳/碳复合材料

该计算方法见参考文献Lemoine L.Solid rocket nozale thermostructure behavior //AIAA Paper,N75-1399.9p

很明显，对最小截面周围轴向热流的计算与按照一维流方法计算的结果存在差别。

5.8材料的热物理及其他特性

固体物热传递流取决于其热导率。对于金属材料，已建立了热导理论，按照这个理论，能量的传递是靠电子导热(自由电子)及声子导热(晶格振动)来实现的。

石墨及热解石墨都具有结晶结构，其能量的传递几乎都是靠晶格振动来实现的，即声子导热。这种机制也会在碳/碳复合材料及碳化成焦层中实现，这些材料中增强碳材料及粘接剂热解后残留物近似为晶态。

复合材料可以形成不同类型的结构，其热导率值的确定也应该按照不同的模式。复合材料最普及的类型如图5.35所示。归入分散型的结构可以是带有增强材料的橡胶基热防护材料，以及用短切纤维为增强剂的碳和玻璃复合材料。层状结构喷管超声速段用的碳和玻璃制件，它们是用增强纤维带按一定方向缠绕而成。归人这种结构的还有石墨和热解石墨，它是按照轴向进行压缩或沉积而成的各向异性材料。碳/碳复合材料是用碳复合材料制作而后沉积热解碳而成，因此它也具有层状结构，只是它们基体也是碳而不是有机粘接剂。

图5.35复合材料结构模型

(a)分散结构；(b)层状结构；(c)三维结构

层状碳复合材料的热导率值直接测量得到，见图5.36。在其热解开始温度(T<573 K)之前，其θ=0°及θ=90°方向上热导率的增长不大。在增强材料铺层方向与热流方向夹角θ=0°时，随温度增高样品快速分解阶段，成为焦炭的样品热导率急剧增加，这是由于热解碳沉积在具有最大热导率的晶体方向上。

图5.36碳复合材料热导率

◊：原始组分，θ=0； ●：焦化样品，θ=0； △：原始组分，θ=90； ▲：焦化样品，θ=90°

热导率存在明显的各向异性，且其热导率值随温度上升而减小。这也证实了热导率的声子理论的论点。

在高于热解开始温度时，由于蒸汽生成，定向角θ=90°的复合材料热导率降低。在温度的高值T>2100K,由于辐射热的传递，成焦层的热导率开始增加。

G-2400石墨和GR-1热解石墨在其压缩成型(或沉积)平面内与气流夹角为0°和90°两个方向上，热导率随温度的变化给出于图5.37。从图中可见，热解石墨

图5.37石墨和热解石墨的热导率

▲:GR-1热解石墨，θ=0°； △:GR-1热解石墨，θ=90°；●:G-2400石墨，θ=0°；O:G-2400石墨，θ=90°

在石棉/酚醛层压复合材料热物理性能试验测定中，样品周围介质的压力表现出对热导系数有影响，该研制工作在0.2,1.2和4 MPa压力及470～730 K温度区间采用直接测量法完成。随着压力的增加热导率增加，这是由于在高温区，分解产物沸点温度随压力增加而提高，使得热分解速率减慢。在T>730 K,在大气压力下也有比较高的热导率值。

在杰罗尔的研究中，用脉冲的方法对碳/碳复合材料三维结构的热导率进行了研究，见图5.35。实物使用的材料密度1883 kg/m³;开孔率2%;x,y轴向纤维体积分数各为13%,z轴方向22%。材料样品在三个轴向上热导率随温度的变化值给出于图5.38。从图中可以观察到随温度增长热导率降低了。

图5.38 碳/碳复合材料三维结构的热导率

O:x轴；●:z轴

橡胶基热防护材料具有最低的热导率系数值。例如，T=300～400 K,λ值不高于0.12~0.25 w/(m·K),而当采用空心球作填充物时，其λ值不高于0.15 W/(m·K)。

复合材料热容的测定采用分散介质的概念:

\({\rho c}_{\sum}=(1-{\Pi}_{m}){(\rho c)}_{s}+{\Pi}_{m}{(\rho c)}_{g}\)

热解反应级数对热容值的影响可以用下式评估:

c_∑(T)=c_H(T)φ_H+c_K(T)(1-φ_H)ξ+c_o(T)(1-ξ)φ_M

用直接测量法测定的复合材料(比)热容结果见图5.39。对石墨、热解石墨和碳复合材料都有热容随温度增高而增加的特点。

图5.39热防护层材料比热容

O;原始组成的碳复合材料；●:成焦样品碳复合材料；△:GR-2400石墨；△:G-1热解石墨

用来确定成焦材料热解反应指数的的参数有在材料温度场模型中的两个必要参数——失重和热效率，另一个参数是由于摩擦(分解产物吹入附面层时)而造成的冲量损失。热解反应指数对热防护材料的制造有着重要的意义，因为我们不仅需要粘接剂热解时固体残留物的产率最高，而且要求成焦层的强度要好。

在实验中，酚醛聚合物以12 K/min的速率加热到1273 K。按温度划分，其热解反应可分为四个阶段：453 K以下，453～633 K,633～1013 K和1013 K以上。在加热到633K之前，由于聚合物局部脱水而存在解潮，生成一氧化碳、二氧化碳和水。最复杂的热解过程发生在633~1013K之间。

在这个温度区间内，聚合物主链的键断裂，致使大量的低分子产物和气相物质生成，如酚、甲苯酚、甲酚油、二甲苯酚、一氧化碳和二氧化碳、氢、饱和的和非饱和的脂肪烃。

聚合物热解的速度决定于分解的动力学过程，它是热载荷和材料结构的函数。如果把热解过程作为一级反应来研究，则失重速率将用传统的动力学方程来确定:

\(-\frac{d \rho}{dt}=K{\rho}^{n}, K={K}_{0}\exp(-\frac{E}{RT})\)                (5-19)

式中Ko和E分别为用实验测定的动力学系数；n为反应级数。但是，热解的过程是一个多级的反应过程，它还取决于加热的速率,见图5.40,特别是在630～740 K区间。

图5.40环氧粘接剂热解的质量损失

1-b=5K/min;2-b=20 K/min;3-b=80K/min;4-b=160 K/min

在工程计算中，Ko和E采用规定的常数值，它们适用于所有现在用的近似一级反应实验数据，而反应级数取n=0。对热解多级反应的计算要划分不同的温度区间，每区间代表一个特定阶段；

对每一温度段，计算各自的K。和E值。由式(5.19)变形的公式来计算，加热速率对失重速率的影响如下式：

\(-\frac{d \rho}{dt}=\frac{K}{b}{\rho}^{n}\)            (5.20)

但是，有文献的研究提出，在加热速率高的情况下，式(5.19)或(5.20)的一级反应过程动力学方程并不能反映热解质量损失的真实过程。

在碳复合材料中，粘接剂分数大约为40%,在快速分解阶段复合材料的成焦值为70%～73%,而其中酚醛树脂的成焦值大约为52%。

成焦材料的热效应用热导率方程各项进行计算:

\(Q=\Delta J\frac{d \rho}{dt}\)

ΔJ为聚合物热解一级反应的吸热热效应。

以酚醛树脂为基体的碳复合材料差热分析的数据给出于图5.41,图中显示了有吸热及放热反应的存在。

图5.41含酚醛树脂粘接剂的碳复合材料差示热解重量分析法结果

1-质量损失；2一差热分析曲线(DTA);3一热解吸热效应峰值；4一热解放热曲线凹部；5—DTA的初始读数线；b=19.5 K/min

米科维提出了聚合物热解机制，并用以下的方式解释放热效应的存在。在大分子裂化时聚合物吸收的能量被储存在短寿命或长寿命的原子基团之中。短寿命的基团通过再化合形成气相挥发物回收了一部分能量。与此同时，长寿命的基团则在生成焦碳残留物时放出热量。因此整个过程的Q值应为放热和吸热反应的加合值，这两种反应都有各自的动力学常数值。

橡胶基材料热解开始时特征等温线位移的计算关系中的系数，是按照在提供工作介质的固体推进剂燃气发生器装置上，从试验结果中选取的材料温度场诊断的测量装置。见图5.42。如果没有因惯性力使凝聚相吹到壁上，则材料的特征等温线位移是对流和辐射热流以及燃气组成及温度的函数。

图5.42测定壳体热防护材料573K等温线位移特征的模拟装置示意图

1-固体推进剂药柱；2一过渡段；3一带有被研究材料的测量段；4—测量材料温度的热电偶；5一装置的喷管；6一带有热电偶用被研究材料制成的塞子；7一为热电极隔热的细木条；8—热电极对接点焊接成的热电偶热端

在管道中的稳态流动区域的辐射和对流热交换参数可以进行准确的计算，并且能建立起回归方程，用来评估此类情况573K等温线位移特征：

\({\delta}_{T}=\xi\sqrt{t};\xi={a}_{0}+{a}_{1}\frac{\alpha}{{c}_{p}}+{a}_{2}{\varepsilon}_{\phi}{T}_{0}+…\)

在这些实验装置中，从燃烧室到测量段之间的过渡段结构应能保证凝聚相粒子不会靠惯性沉积到壁上而形成凝聚物带。

石墨、热解石墨、碳/碳复合材料、金属等作为热防护材料，如果其烧蚀产生在它们与工作介质作用的化学动力学状态，则有必要在建立阿累尼乌斯方程模式过程中，求算出动力学参数K。和E值。在现代固体火箭发动机中，在热载荷作用下，碳复合材料，从发动机工作的第一秒钟开始就以扩散状态被氧化，因而研究其烧蚀的动力学过程不很必要(除了辅助发动机和燃气发生器，它们的燃料燃烧产物温度不高)。

材料烧蚀过程的研究在实验装置上进行，装置中样品与碳酸气或水蒸气射流发生作用。样品用电流加热到给定温度，温度用高温计测量。装置预先用量热器计量过，而热流值在实验中为准确已知。

用模型和实物实验结果来确定Ko和E应从发动机工作结束时与被烧蚀层实验数据相符合的烧蚀计算值中给出。

粗糙度至少用两个参数来表征，即，起伏度(突起峰高度)k和相邻峰状突起的中心之间的距离s。k,s值的分布函数见图5.43和图5.44。

图5.43粗糙表面突起高度分布函数

(图中的测量点表示不同的质量烧蚀速率)

图5.44粗糙度突起峰之间距离分布函数

(图中的测量点表示不同的质量烧蚀速率)

k,s值取决于材料质量烧蚀速率。粗糙度突起峰高度和突起峰间距离的数学期望值随烧蚀质量速率变化而变化给出于图5.45和图5.46。\({\bar k},{\bar s}\)最小值对应于m→0的情况；而当m>0.1kg/(m²·s)情况下，粗糙度参数与质量烧蚀速率之间仅存在弱的依赖关系。在喷管的不同段，由于烧蚀速率绝对值及烧蚀机制存在差异，将导致粗糙度参数值不同，而k的最大值不超过增强纤维层厚度(但材料中不应存在有大块的碎片形式的非正规的材料破坏)。

图5.45粗糙度突起高度数学期望值随烧蚀质量速率的变化

图5.46粗糙度突起峰间距离数学期望值随烧蚀质量速率的变化

在一般情况下，粗糙度在粘接剂热解和成焦层烧蚀作用开始时就初步形成；而在一段时间后，不断增长的粗糙度开始使壁上的热交换及摩擦过程增强。

材料表面总的黑度水平值用实验来确定。热解石墨制备工艺能保证表面粗糙度在Tw～300K时入射辐射表现为镜面反射，也有散射作用，而且其辐射的特征取决于沉积的温度。但是，在燃烧产物流作用下，表面由于质量烧蚀而变粗糙，辐射只表现为散射。

石墨与热解石墨的黑度实验值随温度的变化给出于图5.47。经过机械加工材料表面光滑了，与未加工表面相比，在T≈2200 K时，加工后表面的黑度值增加了。

图5.47 材料的黑度积分值

O:抛光石墨；●:机械加工石墨；△:抛光热解石墨；▲:机械加工热解石墨

碳复合材料焦化层所具有的粗糙度参数中粗糙面突起峰高大大地超过入射的波长(k/λ>>1),并且可以看到存在入射辐射在空穴中的多次反射。通常对碳石墨材料焦化表面，在温度Tw>2000 K区域，采用值εw=0.8。

固体火箭发动机结构中热防护材料特征在计算机硬盘数据库中是以如表5.5给出的结构工程特征表格的方式给出。

表5.5结构工程特征数据表

预先编制的对应于T¹,T²,…,T¹¹的自变量表格，从结构的初温到主要的燃料燃烧产物滞止温度，都应该包括在实用的程序当中。

为计算固体火箭发动机能量参数以及燃烧产物流与通道元部件作用的参数，有必要了解固体火箭发动机工质的热力学性质及对流性质，包括：分子量、气体常数、滞止温度、氧化势、绝热及等熵指数、凝聚相质量分数、凝聚相粒子尺寸分布函数，黏度、热容、普朗特数，见2.2节。

固体发动机壳体及喷管元部件防护层的某些典型方案见图5.48。

图5.48固体火箭发动机通道热防护层元部件结构方案

(a)喷管入口段；(b)喷管超声速段多层结构；其中：3一内衬层，2-绝热层，1一结构件；(c)喷管最小截面喉衬：其中1一多维碳/碳复合材料，2-碳复合材料绝热层

5.9 固体火箭发动机热防护层试验结果

固体火箭发动机试验台点火试验过程中，用电阻温度计或者热电偶测量了温度及热防护材料的温度场。通道元部件沿厚度方向上的温度分布用热电偶测量，热电偶安装在孔塞之中，在整个温度范围内，低热导率的复合材料中温度测量显得很困难。

大扩张比喷管出口锥由金属或碳/碳复合材料制成的衬套的温度测量采用光学方法进行。在点火试验之后，再进行烧蚀和焦化层厚度的测量，以此研究所建立结构的特点及可靠性要求。

在发动机台上试验压力下降后直到用水将其熄灭之前，发生了残余燃料燃尽及热防护材料热解燃烧。由于在发动机工作过程中材料积累的热量使这种燃烧得以继续。在压力下降后发动机腔中的自由对流不会导致材料烧蚀的增加，此时壁温较低。如果在熄灭时不发生橡胶类材料低强度焦化层损坏的话，这时测得的烧蚀层数值可认为是真实的。

解剖试验后发动机测得焦化层的值高于发动机工作结束时刻的真实值，原因为压力下降后有一个附加的焦化过程。

对固体火箭发动机，在发动机燃烧室内边界条件对喷管超声速段碳复合材料的附加焦化过程的影响见图5.49。

在发动机中压力下降后，考虑粘接剂热解的热导率一维方程的求解，针对了三种边界条件情况：

• 壁绝热；
• 在燃气温度值等于燃烧产物绝热膨胀到大气压力后的温度值情况下的自由对流；
• 热流通过喷管出口截面向发动机周围介质中辐射。

数值模型的结果显示，573 K等温线的位移在压力下降后15 s内不依赖于边界条件的形式，完全决定于发动机工作过程中的能量积累。在15 s之后，边界条件显示出了不太大的影响，并且这个影响越大，则烧蚀层值越大，这是由于在发动机工作过程中焦化试验)、温度、牌号及药柱质量。

第二组包括：发动机索引，发动机或主要元部件工厂编号、图号，建立控制力的功能装置程序，发动机几何尺寸。

第三组包括：通道元部件测量断面的坐标，在该断面材料的层数，增强材料与热流方向之间的夹角(层压轴与沉积轴),元部件索引，多层材料的牌号。

第四组中包括：通道复合材料元部件制备的工艺规程。

数据库中包含的数值应能回答在通道子午截面热防护材料的烧蚀及焦化值。所登录的δ和 是第i层的第j个测点的烧蚀及焦化值。也包含了能回答被防护结构在发动机工作结束时刻的实验温度值Ti,并且还能对热防护层试验非正常结果给出定性评估，例如局部烧穿、裂缝、脱层等。

对数据的初步统计加工采用应用程序完成，并应反转输入数据库。计算的结果以通道截面烧蚀方差、厚度、焦化层、结构温度的数学期望值和方差的方式记入数据库，以便以后应用于研制固体火箭发动机时作分析资料，并且得出代数关系式对热防护层未知参数进行相应的快速评估。

（完）

本书引自西什科夫等著关正西译的从固体推进剂火箭发动机的燃烧、气动过程、喷管的气体动力学特征和燃烧产物与发动机通道材料的相互作用等方面，系统地论述了使用固体推进剂的火箭发动机工作过程的物理和数学模型，特别是给出了许多经验和半经验公式，为固体火箭发动机的研究、设计、生产、试验和使用提供了重要得参考。本站针对专业习惯做了相应的修改。