金属壳体发动机总体设计和优化
固体火箭发动机设计分为总体设计和各部件设计，一般在总体设计的基础上再进行各部件的设计
发动机总体设计是根据导弹总体提出的发动机研制任务书中的各项技术指标，进行发动机的总体方案设计，并将总体设计参数和各项技术指标合理分解、落实到发动机的各个部组件，协调各部组件的设计。发动机总体设计的主要工作任务是：
- 发动机总体方案设计
- 主要结构形式选择
- 结构材料选择
- 总体设计参数选择与计算
- 主要部件设计参数估算
- 提出发动机各部（组）件设计任务书
- 编制发动机方案论证报告
- 进行发动机总图及直属零件设计
- 编制发动机总体技术文件
- 进行发动机与导弹总体以及发动机各部件之间的技术协调
2.总体设计的依据
发动机总体设计的主要依据是导弹总体提出的发动机研制任务书，主要含以下几方面内容：
- 几何尺寸及结构协调要求
外径，总长，前、后裙长度，裙间距，喷管出口最大外径，后裙端面至喷管出口端面距离，外部零件及有关与弹体各舱段连接结构协调尺寸等。
- 性能指标
总冲I F （或比冲Is 和装药质量mp ），发动机总质量m0 ，质量比λ，平均推力\(\bar F\) ，最大推力Fmax ，推力加速性（达到某一预定推力值的时间），点火延迟时间tig ，工作时间ta ，推力比（适用于单室双推力），喷管摆角及摆动特性，可靠性指标等。
- 载荷条件
最大轴向及横向过载，轴拉、轴压、弯矩、剪切及振动冲击等载荷。
- 环境条件
工作温度，环境温度，贮存条件，贮存期。
3 发动机总体方案设计
发动机总体方案设计是发动机设计的第一步也是很重要的一步。总体方案设计往往需要与各部件的方案设计同步、交叉进行，相互配合，使发动机总体与各部件之间能协调设计。发动机总体方案应进行多方案设计和比较，以便择优选定最佳方案。总体方案设计可参照Q/Gf55-96（固体火箭发动机总体方案优化设计规范）进行，其主要步骤和简要方法分述如下。
3.1 发动机主要结构形式选择
- 壳体结构形式
- 封头型面——对金属壳体有椭球、球形等；对复合材料壳体有椭球、平面、等张力等型面。
- 直段——有圆柱形和圆锥形，通常采用圆柱形。
- 连接裙——有直筒型、内翻边、外翻边等。
- 前、后接头连接形式——有螺纹、法兰、卡环等。小尺寸连接且无象限定位要求时，常采用螺纹连接；大尺寸连接时通常采用法兰形式；小直径壳体且要求用装填式药柱时，通常采用卡环形式。
- 装药形式
通常采用的药型有：端面、圆管、圆管带锥、星孔、车轮、星球、翼柱及嵌金属丝等形式。总体参数选择时，可以不考虑装药的具体形式。
药型选择应根据发动机的用途、推力控制程序、发动机质心变化要求、工作时间长短、推进剂燃速的可能调节范围及推进剂力学性能等因素选取，在满足上述因素的条件下，尽量使药柱的体积装填分数ηv 最大。各种药型的金属壳体发动机总体设计和优化ηv 范围可参见下表。本文选择ηv作为设计重要参数。
表2-1各种药型的ηv 范围
| 药型 | 端面 | 车轮型 | 星孔 | 翼柱 | 球型 |
| ηv | ～1.0 | 0.65～0.70 | 0.75～0.85 | 0.85～0.95 | 0.9～0.95 |
- 喷管结构形式
喷管结构形式有：固定、摆动、延伸、潜入、长尾喷管、斜置喷管等，扩张段型面有锥形和特型等。喷管结构形式通常要根据导弹总体要求选取。本系统不考虑喷管具体结构形式。
- 点火装置结构形式
按点火部位分类有头部点火和尾部点火，按结构分类有药盒式、火箭发动机式和远距离发火装置等。通常对战术小发动机采用药盒式，大型发动机采用火箭发动机式点火装置。总体参数选择可以不考虑点火器具体形式。
- 安全机构形式
安全机构主要有TA系列、DZ系列（用于远距离发火装置）、低通滤波器等。总体设计不考虑安全机构具体形式。
- 推力终止结构形式
推力终止一般采用反向喷管形式，反喷管类型按开孔方式分为预开孔和直接切割两类，通常采用预开孔方式；按打开机构分类有滚珠式和线形爆炸器切割式。总体设计不考虑推力终止具体形式。
3.2 主要材料选择
- 壳体材料
壳体材料主要根据对发动机质量比的要求和壳体长细比（或刚度要求）选取，尽量选用工艺成熟和廉价材料。壳体主要材料有：
- 金属壳体材料——高强度钢有25CrMnSiA和30CrMnSiA；超高强度钢有D406A、D406B、28Cr3SiNiMoWVA、37SiMnCrNiMoVA、45NiCr1VA等钢。
- 复合材料——玻璃钢、有机纤维（凯芙拉-49，F-12），碳纤维（T-700、800），PBO等。
- 接头和连接裙材料——铝合金、钛合金、全复合材料裙。
- 推进剂，推进剂应根据能量、燃速和力学性能等要求进行选择。
目前多采用端羟基聚丁二烯（HTPB），四组元 HTPB 以硝胺炸药 HMX 或 RDX 取代部分 AP（HTPB+HMX），硝酸酯增塑聚醚推进剂（NEPE）等，目前普遍采用丁羟和高能推进剂。
- 壳体绝热层材料
目前广泛采用的有：石棉酚醛树脂类（如5-III），丁腈橡胶（如TI-502、9621等），三元乙丙橡胶和碳毛板等。
- 喷管材料
喷管材料应根据发动机类型、工作压强、工作时间等进行选择，喷管主要材料有：
- 喷管结构材料——30CrMnSiA，D406A，也有不少采用铝合金和钛合金材料。
- 喉衬材料——钨渗铜，石墨（T-704、T-705），石墨渗铜，热解石墨，毡基C/C，多维编织C/C等。
- 烧蚀材料——碳毛板，丁晴高硅氧/酚醛模压或布带缠绕，碳带缠绕，C/C（铺层、针刺、编刺）等。
- 隔热材料——石棉酚醛树脂类（如5-Ⅱ），高硅氧/酚醛模压或布带缠绕等。
3.3 总体设计参数选择与计算
发动机总体设计参数是以满足导弹总体技术指标为依据而提出的一组参数，同时又是发动机各部件设计的依据，下面介绍总体设计主要参数及简要设计方法。
- 平均工作压强Pc 的选择
发动机平均工作压强是发动机设计的重要参数，它决定着推进剂能量（Is ）能否充分发挥和发动机结构质量的大小，它是发动机各部件设计的主要依据，Pc 的选择通常采用以下方法。
1) 优化方法（详见Q/Gf55-96）
根据著名的齐奥尔科夫斯基公式，导弹主动段终点速度可表示为：
\(v={I}_{s}\ln{\left( 1+\frac{{m}_{p}}{{m}_{s}+{m}_{p}+{m}_{e}}\right)} \)（1）
式中 Is ——发动机比冲
mp ——发动机药柱质量
ms ——发动机结构质量
me ——除发动机以外其它所有质量
而导弹主动段终点速度与导弹射程密切相关，速度越大，射程也越远，通常希望在 me 值一定的条件下，射程越远越好，也就是导弹主动段终点速度越大越好。从公式（1）可知，为获得最大速度，就要求提高比冲Is 和减轻发动机结构质量moc 。而对Is和ms 影响较大的设计参数就是平均工作压强Pc ，当Pc 增加时，Is 增加，可使v增加；
但Pc 增加时，ms 也增加，又使v减少。因此存在一个最佳Pc 值，可使导弹主动段终点速度达到最大。
优化计算时，将Pc 作为设计变量，在特定约束条件下，改变Pc ，可获得相应的导弹末速度v，与vmax 值相对应的Pc 即为最佳Pc 值。该优化方法可参见 Q/Gf55-96（固体火箭发动机总体方案优化设计规范）。
应该指出的是该优化方法虽可获得最佳Pc 值，但ms 的计算需要一系列结构质量模型，而初步设计时难以建立比较准确的结构质量模型，因此在工程设计中也可参考同类发动机的Pc 值选取，如高空工作发动机通常取Pc 为4～6MPa，低空工作发动机Pc 为6～10MPa。
- 壳体刚度要求反推法：
对小直径、大长细比发动机，为保证壳体刚度，要求有一个最小壁厚hmin ，然后再按hmin 所对应的壳体爆破压强Pb 反推Pc ，该Pc 值往往高于最佳Pc 值，但较高的Pc 值可以充分发挥壳体的强度余量，并且对低空工作的发动机还可以获得较高的比冲，因此根据壳体刚度要求来选择Pc 值的方法也经常采用。壳体设计需要从刚度要求限制一个最小的壳体壁厚
- 比冲要求反推法：
由于发动机比冲对压强较敏感（指低空工作发动机），采用高压强可获得较高比冲，因此为满足导弹总体对高比冲值的要求，可选择与该高比冲值相对应的高Pc 值。
(2)平均扩张比εn的选择
由于喷管的作用是将燃烧室生成的热能转换为动能，其转换效率称为喷管效率，而喷管扩张比是影响喷管效率的主要因素之一，要获得高效率喷管，必须合理选择喷管扩张比。
喷管扩张比可用下式表达：
\({\varepsilon}_{n}=\frac{{{A}_{e}}}{{{A}_{t}}}=\frac{\Gamma }{{{\left( \frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}} \right)}^{\frac{1}{k}}}\sqrt{\frac{2k}{k-1}\left[ 1-{{\left( \frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}} \right)}^{\frac{k-1}{k}}} \right]}}\ =\frac{{{\left( \frac{2}{k+1} \right)}^{\frac{1}{k-1}}}\sqrt{\frac{k-1}{k+1}}}{\sqrt{{{\left( \frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}} \right)}^{\frac{2}{k}}}-{{\left( \frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}} \right)}^{\frac{k+1}{k}}}}}\) （2）
式中 ：Γ——燃气比热的函数
k ——推进剂燃气比热比
Pe ——喷管出口面压强
由（2）式可知，εn主要取决于Pe /Pc 比值，当Pc 确定后，只要选定Pe ，就可确
定εn，因此与Pe 最佳值对应的εn值也就是最佳εn值。为获得Pe 的最佳值，应使喷管中的燃气处于完全膨胀状态，即喷管出口面压强Pe 等于当地外界大气压强Pamb 。在飞行过程中，由于飞行高度H 是随工作时间ta 改变的，因此Pamb 也是随ta 而变化的一个变量，而Pe 值只能选取一个定值（假定Dt 不变），因此不可能做到使Pe 与Pamb 在全部工作时间内都相等。为获得最佳Pe 值，可取
\({{P}_{e}}={{\bar{P}}_{a}}=\int\limits_{0}^{ta}{{{P}_{a}}dt/{{t}_{a}}}\) (3)
在实际设计中，由于导弹总体对喷管长度和出口外径De 有严格限制，因此只能根据这些限制条件来选择εn值，此时的εn值往往不是最佳值。本系统由用户确定一个设计高度即可。
(3) Is 、C* 、CF 计算
根据选定的推进剂，按QJ1393A进行发动机热力学计算，可获得与给定的Pc 、n值相对应的Isth 和Cth* 理论值，再按下式计算实际比冲Is 、特征速度C* 和推力系数CF ：
Is =ηIs .Isth (4)
（4）式中 ηIs 为比冲效率，可参照QJ1395进行计算，通常ηIs =0.87～0.93。
C* =ηc .Cth* (5)
（5）式中 ηc 为燃烧效率，可参照QJ1395进行计算，通常ηc =0.97～0.995。
CF = Is /C* 或 CF =ηCF.CFth （6）
\({{C}_{F}}=\Gamma \sqrt{\frac{2k}{k-1}\left[ 1-{{\left( \frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}} \right)}^{\frac{k-1}{k}}} \right]}+\frac{{{A}_{e}}}{{{A}_{t}}}\left( \frac{{{p}_{e}}}{{{p}_{c}}}-\frac{{{p}_{a}}}{{{p}_{c}}} \right)\) （7）
\(\Gamma =\sqrt{k}{{\left( \frac{2}{k+1} \right)}^{\frac{k+1}{2(k-1)}}}\) （8）
式中 ηCF为喷管效率，通常ηCF =0.90～0.94。
(4) mp 计算
药柱质量按下式计算
\({m}_{p}=\frac{{I}_{F}}{{I}_{s}}\) （9）
\({I}_{F}=\frac{\bar{F}}{{t}_{a}}\) （10）
式中 总冲IF 或平均推力\(\bar {F}\) 与工作时间ta 是导弹总体给定的指标要求。
(5) 平均推力F 计算
\({\bar F}_{a}=\frac{{I}_{Fa}}{{t}_{a}}\) 或 \({\bar F}_{b}=\frac{{I}_{Fb}}{{t}_{b}}\) （11）
式中 下标a、b 分别表示工作时间和燃烧时间的相关参数。
IFb =ηI .IFa （12）
式中 ηI =0.94～0.98，当ta 较长时，ηI 应取高值。
(6) At 、Dt 、De 确定
\({A}_{t}={\eta}_{I}{m}_{p}{C}^{*}/{P}_{c}{t}_{b}\) （13）
或者\({A}_{t}=\bar{F}/({C}_{F}{P}_{c})\) （14）
\({R}_{t}=\sqrt{{A}_{t}/\pi}\) （15）
\({R}_{e}={R}_{t}\sqrt{{\varepsilon}_{n}}\) （16）
(7) Pcmax 估算
最大工作压强应考虑最高使用温度、推进剂燃速上限和药柱燃面增面比等因素的影响，它与常温下平均工作压强的关系可用下式表示：
\({P}_{cmax}={{\eta}_{r}{\eta}_{pb}{\exp{{{\sigma}_{p}}({{T}_{max}-{T}_{d}})}}}^{frac{1}{1-n}}{P}_{c}\) （17）
式中 ηr ——推进剂燃速偏差上限与名义值之比，通常 ηr =1.03
ηpb ——药柱燃面增面比，即最大燃面与平均燃面之比，通常ηpb =1.05～1.2
σp ——推进剂燃速对温度的敏感系数，通常σp =0.0015～0.002（1/℃） n——推进剂燃速压强指数
Tmax 、Td ——药柱的最高设计温度和使用温度
3.4 主要部件设计参数估算
在总体方案设计中，除了对总体设计参数进行选择和估算外，还必须对发动机各主要部件的设计参数进行估算，并作为各主要部件方案设计的初始依据。
（1）燃烧室壳体参数计算
1) 壳体壁厚
hmin = fc Pcmax Rc /(φc σb)= kc Pcmax Rc /(σb) （18）
h = hmin + Δ （19）
式中 hmin ——壳体最小壁厚 h——壳体实际壁厚 fc ——壳体安全系数
Rc ——壳体半径
σb ——壳体材料强度极限
φc ——焊缝强度系数
Δ——板厚公差和脱碳层厚度
本系统将安全系数和焊缝系数折合成一个系数kc。
2）壳体封头开口直径
壳体前开口半径 R1 =ηc1 Rc ，ηc1 =0. 1~ 0.3
壳体后开口直径 R2 =ηc2 Rc ，ηc2 = 2.5 ~ 3.5
3）壳体有效容积估算
Vc =mp /(ηV ρp ) （20）
式中 ηV ——药柱体积装填分数，即药柱体积/壳体有效容积，可参照表2-1选取
ρp ——推进剂密度
4）其它壳体参数估算
壳体前后接头、连接螺栓、前后连接裙、壳体质量mc 和内绝热层质量mj 的估算可参照Q/Gf55-96进行。
（2）喷管参数计算
1）喷管长度估算
扩张段长度 lnk ≈ 2Re
喷管总长 ln = （2.1~2.6Re ）
2）喷管质量mn 估算
a) 简化模型法
按不同喷管类型，作出简化模型，并建立相应的质量方程，固定锥型喷管和柔性喷管的简化质量模型分别参见Q/Gf55-96和Q/Gf60-98。
b）喷管冲质比经验估算法
mn = mp Is /λn （21）
式中λn 为喷管冲质比（即发动机推力总冲与喷管质量之比），可参照类似喷管确定。
c) 经验公式法
根据对现有部分喷管结构质量的统计分析，给出了下列喷管质量与喷喉直径之间关系的经验公式。
对地面固定喷管有：
mn =1.41292 e0.036018Rt (相关性r = 0.993) （22）
使用条件：Rt =32～102.5mm，εn=5～9，ta =3～15s
对高空喷管有：
mn =5.2687 e0.033976Rt（固定） (相关性r= 0.996)
mn =1.5×5.2687 e0.033976Rt（柔性） (相关性r= 0.996) （23）
使用条件：Rt =32.5～113.5mm，εn=12～50，ta =14～65s
我们可以将上述四种情况用一个公式代表：
\({M}_{n}={C}_{1}{e}^{{C}{2}{R}_{t}}\) （24）
①按喷管冲值比计算：由于总冲是一定的，所以喷管质量是定的此时，用户指定喷管质量。\({M}_{n}={C}_{1},{C}_{2}=0\)。按21式计算。按不同规模发动机，\({\lambda}_{n}\)是不同的。
②对地面固定喷管有：\({C}_{1}=1.41292,{C}_{2}=0.036018\)。
③对高空固定喷管有：\({C}_{1}=5.2687,{C}_{2}=0.033976\)。
④对高空固定喷管有：\({C}_{1}=1.5×5.2687,{C}_{2}=0.033976\)。
对于其它形式的喷管，可以通过统计得出响应的C1和C2。
(3)点火装置质量mig 估算
点火装置质量可根据发动机直径大小参照表2-2选取。
表2 点火装置质量与发动机半径大小的关系
| Rc /mm | ≤250 | ≤500 | ≤700 | ≤1000 |
| mig /kg | 2～3 | 5 | 7～8 | 10 |
3.5 发动机结构参数计算
在上述发动机总体和各部件设计参数计算的前提下，可对发动机整机的结构及质量参数进行计算。
(1)发动机结构质量ms 及总质量mm
ms = mc + mn + mig+ min
mm = mp +ms （25）
(2)质量比λ
λ= mp /mm （26）
(3)发动机总长Lm
Lm =Lc +Ln （对潜入喷管，Ln 可用喷管扩张段长度Lnk 近似代替）（27）
3.6 发动机总体方案设计方法
从发动机的需求开始分析，这些需求列在表 3 中。假如需要设计的发动机同已成功的发动机相类似，这些成功发动机的参数和经验有助于减少设计工作，并增加设计的可靠性。例如：推进剂的比冲、燃速及药柱强度之间的匹配，采用现有成功推进剂可以节省许多分析和试验工作。
发动机的初步设计的方法见图1。许多其它步骤没有在图中表示，例如点火器的设计和衬层/绝热层的选择、可靠性分析等等。其它型号发动机出现的设计质量问题往往也需要在设计中予以考虑，失败的发动机的参数可能就是一种极限设计。如果对发动机性能要求更高些，需要对偏差进行分析及分解，这些偏差反映到工艺制定中。对于方案阶段的设计工作关于成本的概念就是寻找低成本材料、简单的制造工艺。如果设计与工艺之间有良好的沟通和合作，就能更好地完成设计工作。
表3 发动机的典型要求和限制
| 要 求 | 项 目 |
| 用途 | 任务定义，动力装置的要求，使用环境 |
| 功能 | 总冲，工作时间，质量比，总质量，推力加速性及偏差 |
| 界面 | 与导弹的连接结构，与导弹对接的工作，运输及包装 |
| 操作 | 贮存，发射，飞行环境，温度极限，振动、冲击，寿命，可靠性，安全机构的操作 |
| 结构 | 飞行载荷 |
| 钝感的要求 | 子弹的冲击，感应起爆，推进剂危险等级 |
| 限制 | 容积、长度或直径的限制，可接受的最低性能 |
4 发动机总体优化设计
利用计算机进行发动机总体优化设计，以寻求价格低廉、结构可靠、性能最优的发动机。通过建立发动机优化数学模型，对发动机总体结构及性能进行优化设计。
4.1 优化准则和目标函数
固体火箭发动机常用的优化准则归纳如下：
（1）在给定有效载荷及射程的条件下，导弹的总成本尽量最低；（2）在满足发动机战术技术性能要求的条件下，发动机的可靠性最高；
- 对于给定的有效载荷及定容（直径和长度）发动机，使导弹射程或主动段终点速度最大。
- 在给定的有效载荷及射程条件下，导弹起飞质量尽量最小；
- 对于定容发动机，发动机的质量与总冲量之比尽可能小。
上述最后两条是应用十分广泛的优化准则。其优点是在发动机参数寻优过程中，可
避免复杂的导弹弹道性能计算。目前大部分战术导弹的发动机初步设计仍用此准则寻优。缺点在于把发动机分系统与导弹整个系统人为地分割开来分析，即使发动机最优，但不能保证导弹整个系统目标最优。
图2发动机设计与方法的关系图
在满足给定的发动机推力和时间条件下，为了简化问题，直径为指定参数，不用优化，目标函数选择起飞质量最轻，即Mm最小，由于总冲一定，又等价于质量比冲最大。这里选择Mm最小。因此表达式为：
f(X)=mm = mp +mc + mn + mig+ min （28）
min f(X), X = (x1,x2……xn ）T , X ∈Rn
s.t. Dc=const,X i = const
式中：mp ——发动机装药量；
mm ——发动机总质量；
4.2 设计变量
在通常的总体优化设计中，考虑的设计变量过多，往往使目标函数的表达式过于繁琐，同时涉及部件的一些变量不应该在总体优化中体现。下面通过建立发动机质量方程和比冲方程，确定发动机总体的设计变量。
在建立质量方程时，为简化计算，有如下假设：椭球封头的椭球比按2：1；不考虑封头内的装药量；药柱长度与壳体长度按同一值处理。
（1）质量方程发动机总质量moc 见公式（24），（25）。经过分析各部件的质量方程如下：
1.壳体质量mc 、 mc1 、 mc2
式中mc1 为圆筒段质量，mc2 为封头质量
\({m}_{c1}=2{\pi}{R}_{c}{L}_{md}{\delta}_{c}{\rho}_{c}\) （29）
\({m}_{c2}=({A}_{c2}-{A}_{p1}-{A}_{p2}){\delta}_{c}{\rho}_{c}\) （30）
式中：\({A}_{p1},{A}_{p2}\)为前后开孔面积
上式中只要确定壳体圆筒段长度\({L}_{md}\)即可算出壳体重量和燃烧室容积Vc。这里引进一个体积装填分数\({V}_{l}\)
\({V}_{l}={V}_{p}/{V}_{c}\) （31）
体积装填分数体现了燃烧室容积的利用率，根据所选的药形，有比较典型的体积装填分数。其取值范围在0.6~1.0。表1列出了集中典型药形的体积装填分数。
\({V}_{p}={m}_{p}/{\rho}_{p}={I}_{t}/{I}_{s}/{\rho}_{p}\) （32）
比冲的计算成为问题的关键，\({I}_{s}={I}_{sth}{\eta}_{F}\)，\({\eta}_{F}\)的计算可以用统计的来的经验公式，可以用复杂的SPP方法，本文选择指定的比冲效率，是为了简化问题。
\({\delta}_{c}={k}_{b}{P}_{cmax}{R}_{c}\) （33）
2.喷管质量方程参照（22），（23），其中设计变量为喉径Rt 。
3.药柱质量按照（32）式计算
4.绝热层质量m j 及点火装置质量与压强等设计变量关系不大，在优化过程中按常
量计算。
（2）比冲方程
在求目标函数中，用到比冲量I s 。因此，需对比冲量进行分析，并建立起比冲量方
程式。
1.理论比冲近似计算
理论比冲可表示成如下形式：
Isth = Cth*CFth (34)
CFth 参照（7）式；Cth* 为理论特征速度，由热力计算提供。由于它随压强变化不
大，因此当推进剂配方确定后，可视为常量。
2.比冲效率预示
当理论比冲确定后，就可预示实际比冲了。根据现有发动机的具体设计参数和实际比冲之间的关系，采用多元回归分析方法进行最佳拟合，得到实际比冲的计算模型。采取Dt 、β、 Al 、εn四个参数作为设计变量，则对应的回归方程为：
\({\eta}_{F}=1.0502-0.0111{\ln{D}_{t}}-0.0328{\ln{\beta}}-0.254{AL}-0.00617{\ln{\varepsilon}_{n}}\) (35)
其中：\(\bar{\theta}=arctg({D}_{t}{\sqrt{{\varepsilon}_{n}}-1})/2{L}_{n})\)
\(\beta=({\bar{\theta}}＋{\alpha}_{e})/3\)
在上述质量方程及比冲量分析中，显然存在两种量。例如，发动机的某些结构尺寸、经验系数、材料性能等，这些是已知的量或给定的量，称为设计恒量。另外一种量是允许选择的量，例如，燃烧室压强Pc ，喷管扩张比εn，喷管喉径Dt ，壳体长度Lc 等，称为设计变量。显然，不同的优化准则及目标函数，就会有不同的设计变量。
设计变量必须是独立变量。例如比冲是推进剂配方、燃烧室压强和喷管扩张比的函数，如果已把推进剂配方、燃烧室压强和喷管扩张比作为设计变量，就不能再将比冲作为设计变量，因为它不再是独立的。这是因为数学规划是定义在 n 维欧氏空间的，要求设计变量相互独立（即正交）。如果不独立，存在交互作用，就会使目标函数出现“山脊” 或“沟谷”，给寻优带来困难。
设计变量应选择对目标函数影响较大的那些变量，而且它们对目标函数有着矛盾的影响，这样目标函数将有明显的极值存在。
按上述两条原则，针对目标函数式（28），选择出如下设计变量。
表4 设计变量及符号意义
| 序号 | 设计变量 | 符号意义 |
| 1 | Pc | 燃烧室压强 |
| 2 | εn | 喷管扩张比 |
| 3 | Dt | 喷管喉径 |
| 4 | Lc | 壳体长度 |
| 5 | ln | 喷管外露长度 |
| 6 | rk | 壳体后开口半径 |
| 7 | αe | 喷管出口半角 |
| 8 | mr | 药柱外半径和内半径之比（模数） |
如果以向量形式表示，对定容发动机设计变量为
X ∈（Pc,εn,Dt,Lc,Ln,rk ,αe,mr ）T
4.3 约束条件
目标函数取决于设计变量，但在很多实际问题中，设计变量的取值范围是有限制的或必须满足一定的条件。在优化设计中，这种对设计变量取值的限制条件，称为约束条件或设计约束。可分为界限约束和不等式约束两类。
（1）界限约束条件
设计变量通常有一定的允许变化范围。
- 工作压强Pc 的界限
工作压强Pc 受到推进剂临界压强Pcr 的限制，低于Pcr 将出现不正常燃烧。同时相应的推进剂存在最大使用压强Pmax 的限制。
Pcr ≤ Pc ≤Pmax (36)
- 扩张比εn的界限
对于高空工作的发动机，扩张比εn受到喷管出口直径不得大于导弹直径Dd 的限制；对于低空工作的发动机，扩张比还受到Pmin /Pa ≥0.3～0.4的限制，以免由于过膨胀，喷管内出现激波。因此
1≤εn ≤(Dc /Dt )2 (36)
（2）不等式约束条件
在发动机设计的技术要求中，除已作为目标函数的设计要求外，其余的设计要求都可以作为不等式约束提出。
例如，可以把发动机工作时间作为不等式的约束条件，则
tmin ≤ta ≤tmax (37)
4.4 优化方法
固体火箭发动机总体优化设计是带约束的非线性规划问题，这里不作介绍。
4.5 参数敏感性分析
在实际发动机设计中，必须考虑导弹总体对发动机某些结构尺寸及某些项目的限制，发动机研制及工艺现状等因素。因此，当发动机按某一种优化准则及数学模型寻优后，得到的结果可能要将某些参数加以调整。即在最优设计点附近逐个改变设计变量、计算目标函数值以及其感兴趣的参量值。也就是要知道某一设计变量偏离最优点时，对目标函数的影响程度。通常称这种分析为参数敏感性分析。它可以揭示发动机其他一些重要参数随设计变量的变化规律，因此，这对发动机初步设计很重要。
5 发动机的研制阶段及研制工作程序
5.1 发动机研制阶段
- 方案阶段（代号M）——进行方案论证、设计、研制和地面试验，主要考核发动机结构完整性。
- 初样阶段（代号C）——进行初样设计和研制，完成发动机各项性能试验和部分环境试验，主要考核发动机各项性能。
- 试样阶段（代号S）——进行试样设计和研制，完成发动机性能精度试验和全部环境试验，主要考核发动机性能精度并交付飞行试验的发动机。
- 定型阶段（代号D）——进行定型设计和研制，完成鉴定性飞行试验，并转入小批量生产。
根据发动机技术状态的难易程度及所用材料和工艺的成熟程度，对上述各研制阶段可进行合并或压缩，但需经过设计师系统的严格审批。
5.2发动机研制程序
发动机研制程序是指在某一研制阶段中，从研制任务书开始至设计（含工艺和试验）资料归档为止的全过程的工作程序。不同研制阶段的研制程序除试验内容有所差异外，其余均相同，一般发动机研制程序见图3。
图3发动机研制程序
5.3 发动机研制应遵循的工作原则
根据发动机的研制经验，固体火箭发动机研制工作中应遵循的基本原则是：
- 先算后做——先进行分析计算，后进行设计、试制；
- 先重后轻（或先厚后薄）——发动机结构或烧蚀绝热材料应先重（或先厚），然后再减轻（或减薄）；
- 先小后大——先在小型或缩比模拟件上试验，后在全尺寸发动机上试验；
- 先冷后热——先做冷态模拟试验，后进行地面热试车考核；
- 先静后动——先做地面静态试验，后做摆动、旋转、高模及反喷管打开等动态试验；
- 先单项后综合——先做各部件单项试验，后做发动机综合性能考核试验。在进行具体的发动机研制时，可根据其技术成熟度，适当地简化研制过程。
性能要求数据
发动机推力F(kN)：
发动机工作时间t(s)：
燃烧室半径Rc(mm)：
设计高度H(mm)：
设计温度Td(mm)：
最高工作温度Tmax(℃)：
最低工作温度Tmin(℃)：
选择推进剂及装药性能
燃速系数a(m/[(MPa)^n*s])：
压力指数n：
燃速波动系数ηrb(参见公式17)：
配方中铝粉含量Al：
密度ρ(kg/m^3)：
特征速度：
燃烧温度Tg(K)：
比热比k：
温度敏感系数σp：
装药参数
装药模数M:
装药最大燃面与平均燃面之比ηAb(参见公式17):
壳体材料
强度σb(MPa)：
密度ρc(kg/m^3)：
弹性模量E(MPa)：
泊松比：
壳体参数
封头椭球比m：
壳体安全系数kb：
壳体最小允许壁厚δcmin(mm)：
壳体附件质量Ma(kg):
壳体前后开口系数ηc1，ηc2：
绝热层
绝热层质量分数inFrac(kg/m^3)：
绝热层质量inMin(kg)：
绝热层筒段壁厚inDeltaC(mm)：
绝热层前封头段壁厚inDeltaF(mm)：
绝热层后封头壁厚inDeltaA(mm)：
喷管数据
喷管质量系数C1、C2,可参见公式（24）的说明：
喷管出口直径限制Recr：
喷管出口压强与环境压强之比，设计状态为1，最小值不得低于0.3：
喷管型面数据
收敛半角θ(°)：
初始扩张半角αm(°)：
出口扩张半角αe(°)：
喷管面积收缩比εi：
喉段长度Lt(mm)：
喉段上游曲率半径与喉部半径之比εRtu：
喉段下游曲率半径与喉部半径之比εRtd：
潜入比εsub：
点火器数据
点火器质量IMi(kg)(参见表3)：
附属件质量
附属件质量Ma(kg)：
其它参数
发动机燃烧室体积装填分数Vl(见表1)：
计算结果
环境压强Pa(MPa)：
燃烧室压强Pc(MPa)：
峰值压强PK：
喷管出口压强Pe(MPa)：
装药质量Mp(kg):
推进剂设计压强下平均燃速rb(mm/s):
装药外半径Rp(mm):
装药平均燃面Ab(m^2):
装药平均肉厚Web:
壳体壁厚δc(mm)：
壳体筒段长度Lcyld(mm)：
壳体长度Lc（mm)：
壳体前开口半径R1(mm)：
壳体后开口半径R2(mm)：
壳体质量Mc：
喷管喉部半径Rt(mm)：
喷管出口半径Re(mm)：
喷管面积膨胀比EpsA：
喷管入口半径Ri(mm)：
喷管扩张段长度Le(mm)：
喷管长度Ln(mm)：
发动机总长度Lm(mm)：
喷管质量Mn(kg)：
喷管比冲效率ηF：
发动机总冲It(kN.s)：
发动机比冲Is(m/s)：
发动机总质量Mm(kg)：
发动机质量比λ：
发动机质量比冲 λmi：
高温推力及工作时间：
低温推力及工作时间：
如果喷管按过膨胀设计，Pe/Pa≥0.3，否则喷管内会出现激波，一般设计状态取Pe=Pa，喷管出口超出最大出口半径，置此最小值为出口半径Re=Recr，重新计算Pe
性能优化
优化压强范围：
