第五章  固体火箭冲压发动机助推补燃室

5.1  助推补燃室设计目标

助推补燃室实质上是一个双用途的燃烧室，它既是冲压补燃室，又是整体式助推发动机的燃烧室。由于助推用喷管的喉部直径比冲压燃烧阶段喷管的直径要小得多，所以经常是由两个喷管组成，但近年来无喷管助推器的应用也日益引起人们的重视

助推补燃室是固体火箭冲压发动机的一个重要部件，它把火箭发动机和冲压发动机组合成为一个整体的动力装置。

在助推补燃室中，由火箭发动机（燃气发生器）喷口排出的气流的动能和热能传递给从发动机进气道通道中流来的冲压空气，使空气的总压加大，同时富燃燃料与空气中的氧进行补燃放热，使气流的温度大大提高。气流总压力和总温在助推补燃室中增加的数值取决于引射掺混的完善性及补燃的效能。由于气流通过助推补燃室总压及总温的增大。从而使组合发动机喷口前气流具有足够高的能量以供产生适当大的喷射速度，而得到大的推力。因此引射渗混补燃室工作的好坏就直接地影响组合发动机的性能。

为了在设计助推补燃室时能尽量做到引燃掺混补燃室在设计及非设计工作状态下具有较好的性能，对它提出以下的要求。

（1） 应做到在各种工作状态下均能迅速完成均匀掺混，损失小和引射效率高。

（2） 应保证在发动机的主要工作状态下，燃料的燃烧完全度量大，并且通过补燃室壁的热量损失最小，以便充分地利用燃料的热值来产生喷射推进力。

（3） 应能迅速地完成燃料的燃烧，且在组合发动机喷管前达到温度场均匀。

（4） 二次燃烧产物应暂时不考虑两项流得影响。因固体粒子不能迅速地传热，且不能膨胀，同时还可能引起喷管发生烧蚀的危险。

（5） 燃烧过程应该是稳定的，以保证发动机能在各种工作状态下正常地工作。

（6） 助推补燃室的尺寸应尽量小，掺混补燃室的长度要短。也就是L_b/D₄要小。D₄为掺混补燃室的直径，L_b为掺混补燃室的长度。这样以减轻发动机的质量。

（7） 助推补燃室应该维护方便，检查容易，装拆简便等等。

（9） 补燃室应具有合适得热防护材料何足够的厚度，以抵抗助推和补燃两种不同烧蚀环境的冲刷。

一种成功的设计，应该基本上满足以上要求，当然对各种发动机的战术技术要求不同，设计时应经过仔细的分析，采用“恰当”的办法来完成。

目前在所建议的方案中，助推补燃室的结构型式有以下几种类型：

（a）燃气发生器为半球形多喷口，这种结构适用于中小型发动机四进气道方案（图5-1a）；

（b）燃气发生器为多喷口单喉道，喉道面积可调燃气发生器可选此结构（图5-1b）；

（c）燃气发生器为撞击式多喷管结构，喷口能产生有旋喷流，喷口径向排布，燃气对撞后排入掺混补燃室（图5-1c）；

（d）燃气发生器为喷管喉道位于中心，燃气用导管送到喷入位置，常用于碳氢式燃料贫氧推进剂（图5-1d）；

（e）燃气发生器为分散式多喷口结构，此时喷管布局与进气道布局对应（图5-1e）；

（f）燃气发生器为单喷口的等截面助推补燃室（图5-1f）。

在进行冲压发动机的设计过程中，首先，根据冲压飞行的马赫数和高度，确定冲压喷管、进气道、燃气发生器结构形式和主要尺寸，然后，根据助推的速度增量设计助推器，从而确定补燃室的长度。应该说，上述设计过程是互相交替迭代的。本章首先介绍助推补燃室的流动情况，然后再介绍助推器的设计。由于助推器的设计与一般的固体火箭发动机设计相同，本章只介绍无喷管装药的流动和计算。

5.2  引射掺混段中气体的流动过程

为了便于讨论整个助推补燃室中气体流动及燃烧的一些基本现象。我们把助推补燃室分为引射掺混段和补燃段来分别处理，即在讨论引射掺混过程时，它发生在引射掺混段中，并认为是冻结混合，不发生任何化学反应。燃料与空气中氧所发生的化学反应，即燃料的补燃，仅限于发生在补燃段中。

现在我们来讨论引射掺混段中，气体的流动情况。见图5-2。

图5-2  引射掺混段流动模型

从燃气发生器（火箭）喷管喷射出来的作紊流流动的超音射流，一出喷口后便立即与从进气道流来的作紊流流动的低速空气相接触，因为这两股作紊流流动的气流有垂直于发动机轴线方向的阵变分速存在（这是紊流流动的特点），使两股气流在接触面上便相互交混，彼此拉扯，而迅速进行动量及能量传递，结果使混合区顺气流方向不断加宽，到某一轴向位置处混合区充满整个管道。这样我们根据两股气流的掺混情况，可把整个混合过程分为三个区域：即核心区——主射流核心消失时的轴向长度、转变区——低速自由流消失的轴向长度、发展区——掺混气流开始充满整个管道以后的区域。（见图5-2）。

在混合开始区里，由于两股气流之间的剪切作用，从燃气发生器喷管喷射出来的高速燃气不断地把从进气道中流来的空气“抓住”并带入混合地带，这样就使混合段进口处保持低压。

在混合区里，两股气流的微团作不规则运动，相互交措掺混，进行着能量交换，结果使得在发展区距燃气发生器喷管足够远处两股气流的速度场，温度场，及化学成分逐渐趋于均匀。根据实验结果，在火箭——冲压组合发动机中，对采用单一燃气发生器喷管结构时，大约在距燃气发生器喷口8倍管道直径（L＞8D₄）以后，流场才变得较为均匀。对燃气发生器采用多喷口结构时。大约在距燃气发生器喷口直径15倍（L＞15~20Dr）以后，流场才变得较为均匀。

当然，在火箭——冲压组合发动机的实际工作情况中，混合区里化学反应也会在很狭的范围内发生，见图5-3，这个范围的大小完全由混合过程来控制。

图5-3  混合区内的实际流动情况

5.3  引射掺混段气流的损失

从燃气发生器喷口喷射出来的高速燃气与从进气道中流来的低速空气一道在掺混段中流动时，除了气流与掺混段管道壁面间的摩擦损失外，还有一种与两股气流掺混过程本质有关的掺混损失。直到目前人们对高温高速的射流与一股低速冷流相互掺混时的情况还了解得不多，因而我们在这里只是粗略地讨论一下有关掺混损失的情况。

图5-4  引射掺混段气流参数的标注

参看图5-4，在讨论两股气流掺混时的动能变化时，系假定两股气流是在相同压强之下进行混合的，这样掺混混合气流的动量应等于原来两股气流的动量之和。即：

\({{\dot{m}}_{mx}}{{V}_{mx}}={{\dot{m}}_{K}}{{V}_{K}}+{{\dot{m}}_{r}}{{V}_{r}}\)                                   （5-1）

故得：                       \({{V}_{mx}}=\frac{{{{\dot{m}}}_{K}}{{V}_{K}}+{{{\dot{m}}}_{r}}{{V}_{r}}}{{{{\dot{m}}}_{mx}}}\)

因为                         \({{\dot{m}}_{mx}}={{\dot{m}}_{K}}+{{\dot{m}}_{r}}\)                                         （5-2）

所以                         \({{V}_{mx}}=\frac{{{{\dot{m}}}_{K}}{{V}_{K}}+{{{\dot{m}}}_{r}}{{V}_{r}}}{{{{\dot{m}}}_{K}}+{{{\dot{m}}}_{r}}}\)

混合后气流的动能：

\({{E}_{mx}}=\frac{{{{\dot{m}}}_{mx}}}{2}{{V}_{mx}}^{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{{{({{{\dot{m}}}_{K}}{{V}_{K}}+{{{\dot{m}}}_{r}}{{V}_{r}})}^{2}}}{{{{\dot{m}}}_{K}}+{{{\dot{m}}}_{r}}}\)                     （5-3）

式中：\({{\dot{m}}_{mx}}\)——混合后气流的质量流率；

\({{\dot{m}}_{K}}\)——掺混前空气的质量流率；

\({{\dot{m}}_{r}}\)——掺混前燃气的质量流率；

V_mx——混合后气流的速度;

V_K——掺混前空气的速度;

V_r——掺混前燃气的速度;

E_mx——混合气流的动能。

掺混前原来两股气流的动能和为：

\({{E}_{K}}+{{E}_{r}}=\frac{1}{2}({{\dot{m}}_{K}}{{V}^{2}}_{K}+{{\dot{m}}_{r}}{{V}^{2}}_{r})\)                     （5-4）

式中E_k、E_r，分别为空气和燃气的动能。

于是我们可得掺混前两股气流的动能和掺混后混合气的动能之差，即掺混时所遭受的动能损失为：

\(\Delta E=({{E}_{K}}+{{E}_{r}})-{{E}_{mx}}\)

以5-3式和5-4式代入，并经过化简最后得：

\(\Delta E=\frac{{{{\dot{m}}}_{K}}{{{\dot{m}}}_{r}}}{{{{\dot{m}}}_{K}}+{{{\dot{m}}}_{r}}}\cdot \frac{{{({{V}_{r}}-{{V}_{K}})}^{2}}}{2}\)                              （5-5）

从上式中可以看出：掺混时气流所遭受的动能损失主要取决于掺混前两股气流的速度差。掺混前两股气流的速度相差越大，那么掺混时所遭受的动能损失便越大。这是不难理解的：掺混损失可理解为气流在掺混时分子之间彼此碰撞所带来的能量损失。当然两股气流的速度差越大，则高速气流的分子便撞击低速气流的分子更严重，自然撞击时遭到的能量损失就越大。

5.4  引射掺混段出口气流参数的确定

现在我们来讨论一下引射掺混段为圆筒形的火箭——冲压组合发动机的引射掺混段的主要方程式。利用这些方程式便于我们分析问题，并可阐明所研究的发动机及其过程的许多热力学观点。

为了推导所需的关系式，先假定在掺混段进口截面上两股气流的流场是均匀的。即假定在进口截面上主引燃气流的速度场、温度场等和被引射的空气的速度场、温度场等是均匀的，掺混后在掺混段出口截面上流场也已调到均匀。并且不考虑气流与掺混段管壁的摩擦及与外界热交换的情况。这样我们不需去考虑沿掺混段长度气流掺混过程的本身，只要写出掺混段进出口截面上气流的质量、能量，及总冲量守恒方程就够了。

由质量守恒方程得：

\({{\dot{m}}_{mx}}={{\dot{m}}_{K}}+{{\dot{m}}_{r}}\)

由除上式的两边，得：

\(\frac{{{{\dot{m}}}_{mx}}}{{{{\dot{m}}}_{r}}}=1+N\)                          （5-6）

式中  N=\(\frac{{{{\dot{m}}}_{K}}}{{{{\dot{m}}}_{r}}}\)——引射系数，即为空气流量与燃气发生器的燃气流量之比。

由能量守恒方程得：

\({{\dot{m}}_{mx}}{{c}_{Pmx}}T_{mx}^{*}={{\dot{m}}_{K}}{{c}_{PK}}T_{K}^{*}+{{\dot{m}}_{r}}{{c}_{Pr}}T_{r}^{*}\)（无混合气与管道摩擦）    （5-7）

式中\({{c}_{Pmx}}、[{{c}_{PK}}、{{c}_{Pr}}\)分别代表混合气、空气、及燃气的等压比热容。

\(T_{mx}^{*}、T_{K}^{*}、T_{r}^{*}\)分别代表混合气，空气和燃气的总温。用\({{\dot{m}}_{r}}{{c}_{\Pr }}T_{r}^{*}\)作上式两边，得：

\(\frac{{{{\dot{m}}}_{mx}}}{{{{\dot{m}}}_{r}}}\frac{{{c}_{Pmx}}}{{{c}_{pr}}}\frac{T_{mx}^{*}}{T_{r}^{*}}=1+\frac{{{{\dot{m}}}_{K}}}{{{{\dot{m}}}_{r}}}\frac{{{c}_{PK}}}{{{C}_{pr}}}\frac{T_{K}^{*}}{T_{r}^{*}}\)

利用式及以\({{\theta }_{r}}=\frac{T_{K}^{*}}{T_{r}^{*}}\)——空气与燃气的总温比代入上式，就得：

\(\frac{{{c}_{Pmx}}}{{{c}_{Pr}}}\cdot \frac{T_{mx}^{*}}{T_{r}^{*}}=\frac{1+N{{\theta }_{r}}\frac{{{c}_{PK}}}{{{c}_{Pr}}}}{1+N}\)                       （5-8）

为了从上式中直接求出混合气流的总温，必须知道\({{c}_{Pmx}}\)。如果认为混合时气体的成分不变，则利用热力学中混合气的关系可得：

\({{c}_{pmx}}=\frac{N{{c}_{PK}}+{{c}_{Pr}}}{N+1}\)（只混合而不发生反应）          （5-9）

混合气体的气体常数也可由气体总成分的守恒公式求得：

\({{R}_{mx}}=\frac{{{R}_{r}}+N{{R}_{K}}}{N+1}\)（只混合而不发生化学反应）       （5-10）

在圆筒形通道中气流的总冲守恒方程为：

（\({{\dot{m}}_{K}}{{V}_{K}}+{{P}_{K}}{{A}_{3}}\)）+（\({{\dot{m}}_{r}}{{V}_{r}}+{{P}_{r}}{{A}_{r}}\)）=\({{\dot{m}}_{mx}}{{V}_{mx}}+{{p}_{mx}}{{A}_{3}}\)

式中：A₃是完全混合时的气流截面（见图5-4）。

利用冲量函数

\(I=\dot{m}V+pA=\frac{k+1}{2k}\cdot \dot{m}{{a}_{cr}}Z(\lambda )\)

故得：

\(\frac{{{k}_{K}}+1}{2{{k}_{K}}}\cdot {{\dot{m}}_{K}}{{a}_{crK}}Z({{\lambda }_{K}})+\frac{{{k}_{r}}+1}{2{{k}_{r}}}\cdot {{\dot{m}}_{r}}{{a}_{crr}}Z({{\lambda }_{r}})\)

=\(\frac{{{k}_{mx}}+1}{2{{k}_{mx}}}\cdot {{\dot{m}}_{mx}}{{a}_{cr}}_{mx}Z({{\lambda }_{mx}})\)

即为：

\(\frac{{{k}_{mx}}+1}{2{{k}_{mx}}}(N+1){{a}_{cr}}_{mx}Z({{\lambda }_{mx}})=\frac{{{k}_{K}}+1}{2{{k}_{K}}}N{{a}_{cr}}_{K}Z({{\lambda }_{K}})+\frac{{{k}_{r}}+1}{2{{k}_{r}}}{{a}_{crr}}Z(\lambda r)\)

式中k_mx，k_K，k_r，分别代表混合气的，空气的，及燃气的绝热指数。

a_crmx，a_crK，a_crr，分别代表混合气的，空气的及燃气的临界音速。

λ_mx，λ_K，λ_r分别代表混合气的，空气的，及燃气的速度系数。

因为               \({{a}_{cr}}=\sqrt{\frac{2k}{k+1}RT*}\)

并以               \({{x}_{mx}}=\sqrt{\frac{{{k}_{mx}}+1}{{{k}_{mx}}}\cdot \frac{{{k}_{K}}}{{{k}_{K}}+1}\cdot \frac{{{R}_{mx}}}{{{R}_{K}}}}\)

\({{x}_{r}}=\sqrt{\frac{{{k}_{r}}+1}{{{k}_{r}}}\cdot \frac{{{k}_{K}}}{{{k}_{K}}+1}\cdot \frac{{{R}_{r}}}{{{R}_{K}}}}\)

\({{\tau }_{mx}}=\frac{T_{mx}^{*}}{T_{K}^{*}}\)

的关系代入，最后得：

\({{x}_{mx}}(N+1)\sqrt{{{\tau }_{mx}}}Z({{\lambda }_{mx}})=NZ({{\lambda }_{K}})+{{x}_{r}}\sqrt{\frac{1}{{{\theta }_{r}}}}Z({{\lambda }_{r}})\)                        （5-11）

很明显，如果忽略空气与燃气以及混合气体的气体常数和比热容的差别，则上面方程式便简化为：

\(Z({{\lambda }_{mx}})=\frac{N\sqrt[{}]{{{\theta }_{r}}}Z({{\lambda }_{K}})+Z({{\lambda }_{r}})\left[ * \right]}{\sqrt{(N{{\theta }_{r}}+1)(N+1)}}\)                                   （5-12）

利用（5-6）式（5-8）式及（5-11）等式，在已知引射掺混段进口气流参数的条件下，就可求出掺混段出口混合气流的速度系数λ_mx及其他物性参数。不过求解（5-11）式一般会出现两个解，即λ_mx＜1和λ_mx＞1，（特殊情况下可能会得出λ_mx =1.0），在火箭——冲压发动机的圆筒形引射掺混段中，取λ_mx≤1.0的解是合理的。如果引射掺混段出口截面上的速度系数是限定的，这时可利用（5-11）式求引射掺混段进口截面上空气的进气速度λ_k。

值得注意的是，在上面所介绍的方程式中的引射系数N，它不是一个独立的变量，而是跟引射掺混段进口截面上的气流参数，及几何外形联系着。

由流量方程得：

〔*〕因为在这条件下\({{\tau }_{mx}}=\frac{T_{mx}^{*}}{T_{r}^{*}}\cdot \frac{T_{r}^{*}}{T_{K}^{*}}=\frac{1+N{{\theta }_{r}}}{1+N}\cdot \frac{1}{{{\theta }_{r}}}\)

\(N=\frac{{{{\dot{m}}}_{K}}}{{{{\dot{m}}}_{r}}}=\frac{p_{K}^{*}{{A}_{2}}q({{\lambda }_{K}}){{m}_{k}}}{p_{r}^{*}{{A}_{r}}q({{\lambda }_{r}}){{m}_{r}}}\cdot \frac{\sqrt{T_{r}^{*}}}{\sqrt{T_{K}^{*}}}\)

式中\(p_{K}^{*}、p_{r}^{*}\)分别为空气和燃气的总压。

即                   \(N=\frac{p_{K}^{*}{{m}_{K}}q({{\lambda }_{K}})}{p_{r}^{*}{{m}_{r}}q({{\lambda }_{r}})}\cdot \frac{1}{\sqrt{{{\theta }_{r}}}{{f}_{{{r}_{2}}}}}\)                        （5-13）

式中                 \({{f}_{{{r}_{2}}}}=\frac{{{A}_{r}}}{{{A}_{2}}}\)

A₂为空气进气的环形截面积，A_r为燃气发生器喷口的截面积。

从上式中可以看出：在引射掺混段几何外形已定的情况下，引射系数N便不能任意选取。

5.5  压缩比π及其主要的影响参数

压缩比π。我们定义为引射掺混段出口截面上混合气流的总压\(p_{mx}^{*}\)与引射掺混段进口截面上空气总压\(p_{K}^{*}\)之比。它是引射掺混段的主要特性参数之一，因为它影响火箭—冲压发动机的推力性能。

由流量方程：

\({{\dot{m}}_{K}}=\frac{{{m}_{K}}p_{K}^{*}{{A}_{2}}q({{\lambda }_{K}})}{\sqrt{T_{K}^{*}}}\)

\({{\dot{m}}_{mx}}=\frac{{{m}_{mx}}p_{mx}^{*}{{A}_{3}}q({{\lambda }_{mx}})}{\sqrt{T_{mx}^{*}}}\)

所以压缩比π为：

π=\(\frac{p_{mx}^{*}}{p_{K}^{*}}=\frac{{{m}_{K}}q({{\lambda }_{K}})}{{{m}_{mx}}q({{\lambda }_{mx}})}\frac{N+1}{N}\sqrt{{{\tau }_{mx}}}{{f}_{2}}\)

式中f₂为                        \({{f}_{2}}=\frac{{{A}_{2}}}{{{A}_{3}}}\)

对圆筒形引射掺混段：\({{A}_{3}}={{A}_{2}}+{{A}_{r}}\)

所以                     \(\frac{{{A}_{3}}}{{{A}_{2}}}=1+\frac{{{A}_{r}}}{{{A}_{2}}}=1+{{f}_{{{r}_{2}}}}\)

这样上式可改写成：

π=\(\frac{\left( N+1 \right)}{N}\sqrt{{{\tau }_{mx}}}\frac{{{m}_{K}}}{{{m}_{mx}}}\frac{q\left( {{\lambda }_{K}} \right)}{q\left( {{\lambda }_{mx}} \right)}\frac{1}{1+{{f}_{{{r}_{2}}}}}\)                        （5-14）

如果我们略去混合气流，空气，和燃气的气体常数和比热容的差别，则引射掺混段的压缩比π便简化为

π=\(\sqrt{(1+\frac{1}{N})(1+\frac{1}{N{{\theta }_{r}}})}\frac{1}{1+{{f}_{{{r}_{2}}}}}\cdot \frac{q({{\lambda }_{K}})}{q({{\lambda }_{mx}})}\)                        （5-15）

从上式中可以看出：引射掺混段的压缩比π，它与掺混段进口气流的流动状态。引射系数N和燃气与空气的总温比\({{\theta }_{r}}\)有关，下面我们分别就这些参数对压缩比的影响进行讨论。

(1)掺混段进口截面上空气流速的影响

空气流速λ_k对压缩比π的影响于图5-5所示。

混合室长度\(\bar{L}={L}/{D}\;\)

图5-5  引射掺混段进口空气流速对压缩比的影响

从图中可以看出：在其他参数不变时，开始随空气流速的加大，压缩比π缓慢地下降，而后在空气流速达到某一数值时，压缩比π便直线下降。引射掺混段的这一工作点，称为临界工作点。

压缩比π随空气速度λ_k的这种变化规律是不难理解的，因为空气流速λ_k的加大，就意味着被引射的空气流量增大，（亦即引射系数N增大），因而就减小了每单位质量空气从高能喷射燃气中吸收的能量。这自然就会降低掺混后混合气流的总压，使压缩比π下降。当空气流速到达某一数值后，便在掺混段某一截面处被引射空气的流速达到临界速度。被引射空气流量也就不再增大了，这时即使降低后面的反压而改变压缩比π，也不会改变进入空气的流速λ_k和引射系数N。

这种事实说明：在火箭—冲压发动机的实际工作情况中，它往往不在设计点工作，即引射掺混段的原始参数会随工作状态的改变而变化，这时势必引起压缩比的变化，而改变着发动机的推力特性。

(2)燃气发生器喷管出口总压比\(P_{r}^{*}/P_{K}^{*}\)对压缩比π的影响

现在我们来讨论燃气发生器喷管出口总压比\(p_{r}^{*}/p_{K}^{*}\)对压缩比π的影响。图5-6表示压缩比π随总压比\(p_{r}^{*}/p_{K}^{*}\)的变化规律。从图可见：当总压比\(p_{r}^{*}/p_{K}^{*}\)增大时，压缩比π是不断增加的，但这种增加的趋势，随引射系数N的增大而缓慢，当\(p_{r}^{*}/p_{K}^{*}\)＞50，特别在大引射系数N下，压缩比π随\(p_{r}^{*}/p_{K}^{*}\)的变化，其增加的趋势就十分缓慢了。以上事实说明：由于飞行器飞行速度和高度的变化，会使压缩比π发生改变。因而在设计助推补燃室时，对总比\(p_{r}^{*}/p_{K}^{*}\)要恰当选取。以便照顾到飞行情况的变化而不太大地影响发动机的有效工作。一般来说，根据火箭—冲压发动机的具体战术技术要求，在起动时，可选取\(p_{r}^{*}/p_{K}^{*}\)值在50~100范围内。这样，即使N沿飞行弹道十倍地增加，火箭—冲压发动机仍能有效地工作。

图5－6 引射掺混段的压缩比\(p_{r}^{*}/p_{K}^{*}\)随压力比的变化

(3)燃气发生器喷管出口气流的膨胀情况对压缩比π的影响

压缩比π随燃气发生器喷管出口气流膨胀情况的变化于图5-7所示。

图5-7  引射掺混段的压缩比随燃气发生器喷管出口气流膨胀情况的变化

由图可见：最佳压缩比系对应着燃气发生器喷管出口气流略有不完全膨胀的情况。在最佳值附近曲线相当平缓：如在\({{p}_{r}}={{p}_{r}}/{{p}_{K}}=0.5\tilde{\ }2.0\)的非设计值范围内，压缩比π仅变化3-7%。偏离设计状态很大时，特别在P_r＜1.0时，对引射掺混段特性的影响就比较显著。因之参考到火箭——冲压发动机是在各种不同状态下工作，而进气道出口的压力随飞行速度的增加而增加，这样燃气发生器喷管出口按弹道来选取某一“折衷”压力是合适的。如在沿弹道飞行的火箭——冲压发动机中，引射系数N十倍地增加时，在起动状态，燃气发生器喷管的非设计状态程度可在\({{\bar{p}}_{r}}=1.5\tilde{\ }2\)范围内选择。这样可保证在很宽广的飞行状态中引射掺混段能有效地工作。

(4)引射掺混段出口混合气流的速度λ_mx对压缩比π的影响

前面研究了主要原始参数在引射掺混段为临界工作状态下对引射掺混段压缩比的影响。下面我们再讨论一下在亚临界工作状态下引射掺混段的特性。图5-8表示了引射掺混段偏离临界状态时，出口混合气流的速度λ_mx对压缩比π的影响。从图可见：在小引射系数N下，对临界状态的偏离会导致对压缩比π的显著下降，但随引射系数N的增大，压缩比π随混合气流的速度（λ_mx）的变化曲线就很平缓了。因之从压缩比方面看来。设计时选用大一点的引射系数N，及得出稍大一点混合气流速度是有利的。但要考虑“热堵塞”的影响。

图5-8  节流对引射掺混段压缩比的影响

前面我们对引射掺混段中气流的流动情况，及出口截面上物性参数的确定进行了讨论。从进气道流来的新鲜空气与从燃气发生器喷管喷射出来的富燃烧气经掺混后，紧接便进行补燃。为了讨论的方便，我们认为从燃气发生器（火箭发动机）喷管排出来的是富燃的气体燃料（如CO，H₂等）和金属燃料（如镁、铝、硼的微粒子等）的混合物。它们与空气掺混后，在补燃段内发生补燃放热。下面就补燃段内发生化学反应时的一些基本现象进行讨论。

5.6  等截面补燃段中加热过程的流体动力学

为了便于了解补燃段内复杂的补燃过程进行的实质。我们先简化地研究一下等截面补燃段中的加热过程。

为了确定加热后的气体参数，我们利用：

连续方程：（见图5-9）\({{\rho }_{mx}}{{V}_{mx}}={{\rho }_{br}}{{V}_{br}}\)

即                             \(\frac{{{\rho }_{br}}}{{{\rho }_{mx}}}=\frac{{{V}_{mx}}}{{{V}_{br}}}\)                          （5-16）

动量方程：

\({{p}_{mx}}-{{p}_{br}}={{\rho }_{br}}{{V}^{2}}_{br}-{{\rho }_{mx}}{{V}^{2}}_{mx}\)

因                            \(\rho {{V}^{2}}=kp{{M}^{2}}\)

图5-9  补燃段中对气流的加热

故得：                 \({{p}_{mx}}-p={{k}_{br}}{{p}_{br}}M_{br}^{2}-{{k}_{mx}}{{p}_{mx}}M_{mx}^{2}\)

即                        \(\frac{{{p}_{br}}}{{{p}_{mx}}}=\frac{1+{{k}_{mx}}M_{mx}^{2}}{1+{{k}_{br}}M_{br}^{2}}\)                     （5-17）

由状态方程：

\(\frac{{{p}_{br}}}{{{p}_{mx}}}=\frac{{{\rho }_{br}}}{{{\rho }_{mx}}}\cdot \frac{{{T}_{br}}}{{{T}_{mx}}}\)                         （5-18）

由马赫数的定义得：（略去混合和燃气的气体常数和比热容的差别）

\(\frac{{{M}_{br}}}{{{M}_{mx}}}=\frac{{{V}_{br}}}{{{V}_{mx}}}\cdot \frac{{{a}_{mx}}}{{{a}_{br}}}=\frac{{{V}_{br}}}{{{V}_{mx}}}\sqrt{\frac{{{T}_{mx}}}{{{T}_{br}}}}\)                  （5-19）

以（5-17）和（5-16）式代入（5-18）式，经整理后得：

\(\frac{{{T}_{br}}}{{{T}_{mx}}}=\frac{1+{{k}_{mx}}M_{mx}^{2}}{1+{{k}_{br}}M_{br}^{2}}\cdot \frac{{{V}_{br}}}{{{V}_{mx}}}\)                    （5-20）

以（5-19）式中的\(\frac{{{V}_{br}}}{{{V}_{mx}}}\)关系代入（5-20）式，便得：

\(\frac{{{T}_{br}}}{{{T}_{mx}}}=\frac{{{M}^{2}}_{br}}{{{M}^{2}}_{mx}}\cdot \frac{{{(1+{{k}_{mx}}{{M}^{2}}_{mx})}^{2}}}{{{(1+{{k}_{br}}{{M}^{2}}_{br})}^{2}}}\)                  （5-21）

由熟知的气流总温和静温的关系：

\({{\text{T}}^{\text{*}}}=\text{T(1}+\frac{k-1}{2}{{M}^{2}}\)）

代入（5-21）式，便可得出以气流总温表示的关系式：

\(\frac{T_{br}^{*}}{T_{mx}^{*}}=\frac{{{M}^{2}}_{br}}{{{M}^{2}}_{mx}}\cdot \frac{{{(1+{{k}_{mx}}{{M}^{2}}_{mx})}^{2}}}{{{(1+{{k}_{br}}{{M}^{2}}_{br})}^{2}}}\cdot \frac{(1+\frac{{{k}_{br}}-1}{2}{{M}^{2}}_{br})}{(1+\frac{{{k}_{mx}}-1}{2}{{M}^{2}}_{mx})}\)         （5-22）

利用加热后与气流总温的变化关系：

\({{Q}_{br}}={{c}_{P}}(T_{br}^{*}-T_{mx}^{*})\)

即                       \(\frac{T_{br}^{*}}{T_{mx}^{*}}=\frac{{{Q}_{br}}}{{{c}_{P}}T_{mx}^{*}}+1\)                         （5-23）

忽略加热前后气体比热容和气体常数的差别，并综合（5-22）式和（5-23）式，最后得气流速度的变化与加热量的关系为：

\(\frac{{{Q}_{br}}}{{{c}_{P}}T_{mx}^{*}}=\frac{{{M}^{2}}_{br}{{(1+k{{M}^{2}}_{mx})}^{2}}}{{{M}^{2}}_{mx}{{(1+k{{M}^{2}}_{br})}^{2}}}\cdot \frac{(1+\frac{k-1}{2}{{M}^{2}}_{br})}{(1+\frac{k-1}{2}{{M}^{2}}_{mx})}-1\)         （5-24）

从上式中可以看出：加热前入口气流速度为亚音速时（M_mx＜1.0）,在等截面补燃段中，加热会使气流速度增大。

入口气流速度为超音速时（M_mx＞1.0），加热会使气流速度下降。

等截面补燃段中，气流速度随加热量的这种变化规律，从瑞利曲线中更可清楚地看出。（见图5-10），不管上述的那种入口气流的状态（M_mx＜1.0），加热使气流加速或减速以达“临界速度”为极限。这时就出现了所谓的“热临界”，管内流动出现所谓的“热堵塞”这种状态在火箭—冲压发动机中，如果原始设计参数选择不当，或补燃时加热过大，是可能出现的。

图5－10 瑞利曲线

上面介绍的加热比随进口气流速度的变化规律是不难理解的，因为在M_mx＜1.0时，在等截面补燃段中加热势必使气流比容加大，因而在维持进口气流参数不变，使气流量能够通过就必须加大气流的速度。而在M_mx＞1.0时，气流的静压是随加热量的加大而增加，即加热会使气流比容减小，所以在保持进口气流参数不变条件下，加热使气流速度下降以通过同样的流量。

加热使气流加速或减速，一旦达到“临界速度”以后，如果继续对气流加热超过极限加热量，这时便会改变进口气流时参数，即会改变进口气流速度等以适应此加热量。这意味着在火箭——冲压发动机中，不允许达到极限加热量，因为在发动机工况变化时稍许超过极限加热量，便会影响引射掺段进口的流动条件，而影响进气道的稳定工作。

补燃段出现“热临界”状态时所对应的加热比，称为“极限加热比”

\({{\left( \frac{{{Q}_{br}}}{{{c}_{P}}T_{mx}^{*}} \right)}_{\max }}\)

从（5-24）式，当M_br=1.0时，得

\({{\left( \frac{{{Q}_{br}}}{{{c}_{P}}T_{mx}^{*}} \right)}_{\max }}=\frac{{{(1+k{{M}^{2}}_{mx})}^{2}}(1+\frac{k-1}{2})}{{{M}^{2}}_{mx}{{(1+k)}^{2}}(1+\frac{k-1}{2}{{M}^{2}}_{mx})}-1\)

即为：            \({{\left( \frac{{{Q}_{br}}}{{{c}_{P}}T_{mx}^{*}} \right)}_{\max }}=\frac{{{(1+{{M}^{2}}_{mx})}^{2}}}{2(k+1){{M}^{2}}_{mx}(1+\frac{k-1}{2}{{M}^{2}}_{mx})}\)           （5-25）

用上式可作出“极限加热比”与进口气流速度M_mx的变化曲线于图5-11所示。

图5-11  在圆筒形补燃段中极限加热量与进口M_mx的关系

从图中可清楚地看出：在M_mx＜1.0时，极限加热比随进口气流速度的增大而下降。因而在这种情况下，减小进口的M_mx数，有向气流加进更多热量的可能。在M_mx＞1.0时，极限加热比随进口流速的增大而增大。但这一增大有一加热绝对极限，此极限为当M_mx =∞时所对应的

\({{\left( \frac{{{Q}_{br}}}{{{c}_{P}}T_{mx}^{*}} \right)}_{\max }}=M_{mx\to \infty }^{\ell im}\frac{{{(1-{{M}_{mx}})}^{2}}}{2(k+1){{M}_{mx}}(1+\frac{k-1}{2}{{M}^{2}}_{mx})}=\frac{1}{(k+1)(k-1)}\)

例如对空气k=1.4, \({{\left( \frac{{{Q}_{br}}}{{{c}_{P}}T_{mx}^{*}} \right)}_{\max }}=1.04 or \frac{T_{_{br}}^{*}}{T_{mx}^{*}}=2.04\)。

可见在补燃段中，如为超音速进气，则允许的相对加热量非常小。

一般来说补燃段中加热存在两个范围：在第一个范围里，由于燃烧时放热量不够，实际上不可能达到极限加热。而在第二个范围里，不可能在不影响气流起始参数的条件下，把化学反应所产生的热量全部加到气流中去。

5.7  补燃段的总压损失

气流在补燃段中流动并进行化学反应时，会遭受流动损失和加热损失，使出口气流的总压下降。显然损失加大，就意味着气体作功能力减小，而影响发动机的推力的改善。下面我们来讨论这些损失。

（1）流动损失

流动损失主要是气流与管道壁面之间的摩擦以及气流中出现滑流时的损失。我们借用总压恢复系数：

\({{\sigma }_{ch}}=\frac{p_{br}^{*}{‘}}{p_{mx}^{*}{‘}}\)

式中\(p_{br}^{{{*}’}}p_{mx}^{{{*}’}}\)是冷吹风时的总压（纯流动损失）。

借用水力学中流阻系数ξ的定义，对每个给定的燃烧室来说：

ξ=\(2\frac{p_{br}^{{{*}’}}-p_{mx}^{{{*}’}}}{{{{{\rho }’}}_{mx}}{{V}^{2}}_{mx}}=2\frac{p_{mx}^{{{*}’}}(1-p_{br}^{{{*}’}}/p_{mx}^{{{*}’}})}{{{\rho }_{mx}}{{V}^{2}}_{mx}}=\frac{2(1-{{\sigma }_{ch}})p_{mx}^{{{*}’}}}{{{\rho }_{mx}}{{V}^{2}}_{mx}}\)

故得：       \({{\sigma }_{ch}}=1-\xi \frac{{{\rho }_{mx}}{{V}^{2}}_{mx}}{2}\cdot \frac{1}{p_{_{mx}}^{{{*}’}}}\)

因为：       \(\frac{1}{2}\rho {{V}^{2}}=\frac{1}{2}kp{{M}^{2}}p*=p{{(1+\frac{k-1}{2}{{M}^{2}})}^{\frac{k}{k-1}}}\)

最后得：     \({{\sigma }_{ch}}=1-\xi \frac{k}{2}M_{mx}^{2}\frac{1}{{{(1+\frac{k-1}{2}M_{mx}^{2})}^{k/\left( k-1 \right)}}}\)

在确定\({{\sigma }_{ch}}\)时，认为\(\frac{k-1}{2}{{M}_{mx}}\)值与1.0比较可以略去，则得：

\({{\sigma }_{ch}}=1-\xi \frac{k}{2}M_{mx}^{2}\)                                                     （5-26）

图5-12  流动损失系数\({{\sigma }_{ch}}\)与进口M数的关系

式中流动损失系数ξ由冷吹风试验来确定。

从上式可见，降低进口气流速度，可使总压恢复系数大些。或在小进气流速下，允许有比较大些ξ值，而不会使气流的总压损失太大。

当然在发动机的实际设计中，只有明显地可改善燃烧情况，或扩大稳定工作范围等情况下，采用大的ξ值才是合理的。

（2）加热损失

当混合气体与空气中的氧发生化学反应时，即燃烧加热时，还会带来一种特殊损失—加热损失。

我们采用总压恢复系数来表示：

\({{\sigma }_{br}}=\frac{p_{br}^{*}}{p_{mx}^{*}}\)

利用

\({{p}^{*}}=p{{\left( 1+\frac{k-1}{2}{{M}^{2}} \right)}^{\frac{k}{k-1}}}\)

便得：

\({{\sigma }_{br}}=\frac{{{p}_{br}}{{\left( 1+\frac{k-1}{2}{{M}^{2}}_{br} \right)}^{k/k-1}}}{{{p}_{mx}}{{\left( 1+\frac{k-1}{2}{{M}^{2}}_{mx} \right)}^{k/k-1}}}\)

又由在等截面补燃段中：

\({{p}_{mx}}-{{p}_{br}}={{\rho }_{br}}{{V}^{2}}_{br}-{{\rho }_{mx}}V_{mx}^{2}=k{{p}_{br}}{{M}^{2}}_{br}-k{{p}_{mx}}{{M}^{2}}_{mx}\)

即

\(\frac{{{p}_{br}}}{{{p}_{mx}}}=\frac{1+k{{M}^{2}}_{mx}}{1+k{{M}^{2}}_{br}}\)

以此式代入\({{\sigma }_{br}}\)的关系式中，最后得：

\({{\sigma }_{br}}=\frac{\left( 1+k{{M}^{2}}_{mx} \right){{\left( 1+\frac{k-1}{2}{{M}^{2}}_{br} \right)}^{\frac{k}{k-1}}}}{\left( 1+k{{M}^{2}}_{br} \right){{\left( 1+\frac{k-1}{2}{{M}^{2}}_{mx} \right)}^{k/k-1}}}\)                （5-27）

可见，在加热量不变时，加热前气流的速度越大，总压恢复系数\({{\sigma }_{br}}\)便越小，（见图5-13，5-14）特别是在M_mx＞1.0时，总压损失特别大。

图5-13  进气为亚音速时补燃段中加热时的总压损失系数

这样，从加热时的损失来考虑，在设计发动机时，进口气流速度不应太大。以免降低发动机的推力性能。

图5-14  进气为超音速时补燃段中加热时的总压损失

5.8  补燃段中燃料的燃烧过程

从燃气发生器喷管喷射出来的高温富燃燃气及金属微粒，与从进气道流来的新鲜空气经掺混后，因高温燃气是个最好的点火源。所以气体燃料在与氧的接触中，在高温的作用下，便迅速地完成点燃及燃烧。而金属微粒的点燃温度较高，可以预料金属组分将伸入气态反应区很远。事实上，由于金属难于汽化，以致在最后点燃并燃烧前。这些金属微粒在气态燃烧区将分裂、凝聚、熔解、结块并移动。金属组分似乎更倾向于在燃烧剂——氧化剂反应的热气态产物中以球颗粒的形式参与燃烧。

（1） 金属燃料燃烧的特点

除碳氢型贫氧推进剂外，大多数贫氧推进剂均大量添加金属燃料，如Mg、Al、B和Zr等。存在于合金或盐类中的金属元素，还可能有Na、Li、Ca、K等。考虑到金属点火温度比较高，一般金属型贫氧推进剂中，氧化剂的实际含量往往不低于30%，一次燃烧产物的温度大于1700~2000K，含有大量活性可燃组分、大量已加热或已点燃的金属微粒的燃气，由燃气发生器喷管出后，与来自进气道的新鲜空气接触、掺混、迅速进行补燃——即所谓二次燃烧。由于一次燃气射流温度高，反应物活性高，因而二次燃烧过程，火焰传播速度快，不需要再有新的点火源（包括开始工作时专门的点火器能量释放系统），即反应自动进行，带有自燃性。

金属微粒燃烧是一个复杂的物理化学过程。不同金属的燃烧特性，可以有相当大的差异，这些差异由各种金属—金属氧化物系统特性上的不同而引起。试验和理论研究表明，影响金属点燃和燃烧的重要物理特性是：

1） 金属与金属氧化物的相对挥发性；

2） 金属及其氧化物的互溶性；

3） 金属是否容易汽化；

4） 燃烧时金属微粒的破裂特性。

表5-1列出某些金属及其氧化物的沸点和熔点。可以看到，大多数金属氧化物的沸点高于补燃室中燃气的平均温度。即大多数金属形成凝聚相氧化物，并混于燃烧区中。因而，金属型贫氧推进剂二次燃烧呈非均质扩散火焰。

按照金属的挥发性（是否易汽化）及其氧化物的相对挥发性，可把金属燃烧分为两类：气相燃烧和表面燃烧。如果金属本身易汽化，其沸点比氧化物的低，则金属首先汽化。金属蒸汽和氧发生气相反应，现象是火焰明亮，产物形成烟，镁、锂是典型的易挥发金属，火焰传播速度很高。如果金属本身熔点、沸点高、不易挥发，而其氧化物相对易挥发，则燃烧在金属表面进行。硼是典型的表面燃烧金属。

表5-1  某些金属及其氧化物的沸点和熔点

金属	熔点K	沸点K	氧化物	熔点K	沸点K
Li	454	1620	Li2O	2000	2600
Mg	923	1381	MgO	3075	3350
Al	932	2740	Al2O3	2318	3800
K	330	1030	K2O	800	1750
B	2573	2820	B2O3	723	2320
Zr	2120	5770	ZrO2	2960	4570

氧化物是否能溶解到金属中去，对金属燃烧过程也有很大影响。锆（Zr）的氧化物可溶于金属，不会形成象Al₂O₃那样的“屏障”。尽管Zr本身熔点、沸点高，但它们燃烧性能相当好。下面重点讨论常用金属和合金的燃烧特性。

Mg粉、Li粉、Mg-Li合金粉都是易挥发金属，燃烧性能好。这些金属燃点低（接近其熔点）。在气相燃烧中形成微扩散火焰，燃速很高。例如直径50μm的镁粒，平均燃速达100μm/ms，即0.5ms可燃尽。Mg粉已在中能贫氧推进剂中获得成功应用，添加量为20%~65%。Li活性太高，难以单独添加。Li-Mg合金粉，也存在相容性和稳定性问题。已有试验报导，少量添加这些金属粉，可改善B粉等的点燃性能。

Al粉在固体火箭发动机推进剂中已广泛使用，添加量一般为5%~18%。关于Al粉燃烧理论的研究，也进行得比较充分。

Al粉的燃烧，大致经历三个阶段：

首先，被加热到Al的熔点，形成被Al₂O₃薄壳包围的球形液滴，进一步加热，当温度超过氧化物熔点时，在金属蒸气压力作用下，Al₂O₃薄膜被迅速吹起或破裂。最后，Al蒸气向外扩散，介质中的氧向金属扩散，进行气相燃烧。在氧浓度大时，铝粒燃烧时大多发生爆裂，有助于加快燃烧速度。

Al粉的燃点约2300K，接近Al₂O₃的熔点。

B粉是不易挥发金属，它的熔点达2573K，沸点为2320K。B的燃烧是表面氧化过程，因而燃烧速率较低。

温度较低时，B₂O₃熔解后呈粘稠态，紧贴在B粒上，硼氧化十分缓慢，温度上升到1850K时，硼氧化速率剧增到每毫秒零点几微米。大多数研究者认为：1850K是硼的燃点。

Schadow^[77]等人，对火箭冲压发动机中B的燃烧作了比较深入的研究。研究表明，B粉的燃烧经历三个阶段。第一阶段是预热期。B粉被周围热燃气加热至发出黄光，温度达到1850K。第二阶段为点燃期，在此期间，B粉由发黄光转为发绿光，开始燃烧，温度上升至2820K。第三阶段是稳定燃烧期，直至最后燃尽。

金属粉的燃烧研究，开始在Mg粉中，后来在Al粉和B粉中，都发现了有趣的“合作效应”（Cooperative effect），即多粒燃烧与单粒燃烧相比，出现金属燃点下降，或着火延迟期变短的现象。

我们可以把补燃段的燃烧过程用这一模型来分析，在这模型中把整个补燃过程划分为五个区域，见图5-15。

在I区中，气体燃料如CO、H₂等，已经在和新鲜氧气的接触过程中燃烧起来，由于它们的燃烧放热，使气体温度升高而达到使最容易点燃的金属（如镁）的点燃温度。线“a”为镁金属颗粒的点燃温度线。

在II区，镁粒子燃烧起来，其他金属粒子尚未点燃。由于镁粒子的燃烧使气流加热，温度上升而达到使其他金属粒子（如硼）的点燃温度。“b”线为硼粒子的点燃温度线。

图5-15  助推补燃室燃烧模型

在Ⅲ区，两种金属粒子都燃烧起来了，但可能在局部供氧不足，使金属粒子未能烧尽，到“c”线因冷空气的不断流入，使气流温度下降而低于硼的点燃温度线。“d”线为镁粒子的熄火温度线。过“d”线两种金属粒子都不能点燃了。

总的来说，金属组分燃烧较慢，金属微粒在富燃气态反应区下游很远还在继续燃烧，为了能实现加入金属以提供改善发动机性能的潜在能力，必须使金属的燃烧效率达到很高的程度，这样金属微粒燃烧时间便将影响为了获得可接受性能所要求的燃烧室尺寸。

诚然各种金属微粒的燃烧是有所差别的，但为了粗略地了解它们的燃烧情况，今以硼微粒的燃烧为例来加以讨论，仍然可供参考的。

在硼微粒与空气均匀掺混，而没有微粒聚集现象的情况下，当它和空气中的氧接触过程中，在已发生反应的燃气的高温作用下到达稳定燃烧时要经历三个阶段，每一阶段由不同的物理和化学机理所控制。

第Ⅰ阶段为硼微粒的预热期——硼微粒开始接触热源到微粒发出黄色火焰（T_P≈1850K）。这期间不发生反应，微粒靠热传导和辐射方式从周围热气流中吸取热量来加热。这期间的长短与周围气体的温度和微粒的大小有关。（见图5-16）。周围气体温度越高。予热时间可大大缩短。颗粒直径小，予热时间也可缩短。

图5-16  硼微粒预热时间与微粒直径和气体温度的关系

第II阶段为硼微粒的点燃期——硼微粒由开始出现黄色火焰到维持绿色亮光的这段时间。（这时间内微粒从1850K加温到2825K），在这阶段的初期、微粒与其表面周围的氧发生反应以及周围的高温气体向它传热这都使微粒加热。这过程的不断进行使微粒温度不断上升而达到使其维持稳定燃烧的温度。当然微粒温度的上升率与微粒表面的反应过程，周围热气的温度及微粒直径的大小有关。（见图5-17）由图可见：减小微粒的直径可增加表面反应而使温度上升率加快，并且在增大与周围气体的传热时那效果就更为明显。

图5-17  点燃时间与气体温度与微粒直径的关系

第Ⅲ阶段为硼微粒的稳定燃烧期——认为是从维持稳定亮光到微粒熄火的这段时间。硼微粒的稳定燃烧率取决于过程控制的机理。硼微粒的稳定燃烧率跟微粒的直径大小关系甚大，所以微粒直径小一点，既使在周围气体温度不很高的情况下仍可维持稳定燃烧。

从上面对于金属微粒燃烧的讨论中，可以看出，为了在补燃室中，能做到稳定而迅速地补燃，以缩短补燃室的长度和改善发动机的性能，就必须首先创造良好的混合条件，使气体燃料和金属微粒均匀地散布于新鲜空气中，然而金属微粒单靠掺混只是很小地散布于富氧次流中（空气）。所以为有利于金属微粒的燃烧把它从火箭发动机喷管中流出时成一定角度射向次流是很有用的。金属微粒直径大小对于燃烧性态影响十分明显，曾经有人提出过，大约以直径50~80微米为分界把金属微粒分为“大”“小”两类。应尽量采用细的金属颗粒。燃气温度对补燃的影响也是十分明显的。在极端情况下，由于燃气温度不很高，金属微粒根本达不到点燃，而极可能金属颗粒烧结成块。恶化整个燃烧过程。

图5-18  微粒大小对燃气温度上升的影响

图5-19  富燃气体温度对燃气温度上升的影响

上面我们对助推补燃室中气体流动及燃烧情况进行了讨论。需补充指出的是：在掺混段内，两股不同物性气流达到完全掺混均匀所需的混合长度，与掺混段进口截面上两股气流的速度比（\({{V}_{K}}/{{V}_{r}}\)），温度比（\(T_{K}^{*}/T_{r}^{*}\)）等有关，（见图5-20），因之为了缩短混合长度。以减轻发动机的质量，应尽可能取速度和温度的比值低些。例如对一给定引射掺混段直径比（\({{D}_{2}}/{{D}_{r}}\)）为（D₂为引射掺混段进口截面上空气进气面积所对应的直径）1.6的。及速度比\({{V}_{K}}/{{V}_{r}}=0.1\)时，则完全掺混时所要求的混合长度比为4.8。

图5-20  两股气流的速度和温度比对混合长度的影响

有时为了缩短掺混段长度，可用几个喷管组成的喷管群来代替单一喷管。因为在气体流量不变时，混合表面积的减加与喷管数目的平方根成比例。试验指出：这时引起掺混段长度也与喷管数目的平方根成比例地缩小。

试验还指出：金属微粒很小时靠单独掺混而迅速地散布到富氧的次流（空气）里去。因之为了使金属微粒迅速地均匀地散布到气流里以利于最快地点燃金属微粒，从燃气发生器喷管喷射出来的金属微粒以一定角度射向次流是适宜的。

（2） 碳氢燃料燃烧的特点

与金属燃料贫氧推进剂不同，碳氢燃料贫氧推进剂的燃烧过程有其新的特点。

在燃气发生器中，碳氢燃料贫氧推进剂首先进行自动热分解。它的一次燃烧（热分解）产物温度比较低（900~1500K）。产物中含较多的H₂、CO等可燃气体和一部分已燃产物，还有不少碳粒。

由于一次燃烧产物温度较低，进入补燃室后，它和空气掺混后的混气温度更低，因而不足以自动着火，需要专门的二次燃烧点火器。碳氢燃料—空气混气的火焰传播速度比较低。为了保证持续稳定地燃烧，需要由回流区和边界层供给和传递点火所需要的能量。与金属燃烧不同，能维持稳定燃烧的余气系数范围比较窄。

文献[78]给出典型的试验曲线。试验中采用含40%AP和60%HTPB的贫氧推进剂。试验表明：补燃室火焰稳定性与丙烷类似；当补燃室较长时（L/D≥7.7），燃烧效率也与气态丙烷接近。

5.9  补燃段出口气流参数的确定

为了确定补燃段出口气流的参数。我们利用：

冲量方程：对补燃段进出口截面的冲量方程为：

\({{\dot{m}}_{mx}}{{V}_{mx}}+{{p}_{mx}}{{A}_{3}}={{\dot{m}}_{mx}}{{V}_{br}}+{{p}_{br}}{{A}_{4}}\)

即      \(\frac{{{k}_{mx}}+1}{2{{k}_{mx}}}{{\dot{m}}_{mx}}{{a}_{crmx}}Z({{\lambda }_{mx}})=\frac{{{k}_{br}}+1}{2{{k}_{br}}}\cdot {{\dot{m}}_{mx}}{{a}_{crbr}}Z({{\lambda }_{br}})\)

故     \(Z({{\lambda }_{mx}})=\sqrt{\frac{{{k}_{br}}+1}{{{k}_{br}}}\cdot \frac{{{k}_{mx}}}{{{k}_{mx}}+1}\cdot \frac{{{R}_{br}}}{{{R}_{mx}}}}\sqrt{\frac{T_{br}^{*}}{T_{mx}^{*}}}Z({{\lambda }_{br}})\)

即为： \(Z({{\lambda }_{mx}})=\sqrt{\frac{{{k}_{br}}+1}{{{k}_{br}}}\cdot \frac{{{k}_{mx}}}{{{k}_{mx}}+1}\cdot \frac{{{R}_{br}}}{{{R}_{mx}}}}\sqrt{{{\tau }_{m-b}}}Z({{\lambda }_{br}})\)                   （5-28）

式中：\({{\tau }_{m-b}}=\frac{T_{br}^{*}}{T_{mx}^{*}}\)，为混合到补燃温升。

如果我们忽略混气和补燃气的比热容和气体常数的差别，则上式便为：

\(Z({{\lambda }_{mx}})=\sqrt{{{\tau }_{m-b}}}Z({{\lambda }_{br}})\)

能量方程：写出补燃段进出口截面上气流的能量方程为：

\({{\dot{m}}_{mx}}{{c}_{Pmx}}T_{mx}^{*}+Q={{\dot{m}}_{mx}}{{c}_{Pbr}}T_{br}^{*}\)

式中Q为补燃时的加热量，它为：

\(Q={{\dot{m}}_{r}}{{Q}_{br}}\cdot {{\eta }_{br}}\)

式中Q_br为燃料的补燃热值，η_br为补燃室的燃烧效率。

在这里我们介绍另一参数，余气系数\(\alpha \)。它为：

可见\(\alpha \)＜1.0，实际空气量小于理论所需空气量，这样供氧不足，燃料没有完全烧掉，称富燃，\(\alpha \)＞1.0实际空气量大于理论所需空气量。燃料不足，称贫燃或富氧。

所以每烧掉一千克燃料的实际空气量便为\(\alpha {{L}_{o}}\)。

这样烧掉\({{\dot{m}}_{r}}\)kg/s燃料所需的实际空气量便为：

\({{\dot{m}}_{k}}={{\dot{m}}_{r}}\alpha {{L}_{o}}\)

所以                    \({{\dot{m}}_{mx}}={{\dot{m}}_{r}}+{{\dot{m}}_{k}}={{\dot{m}}_{r}}(1+\alpha {{L}_{o}})\)

故                              \(\frac{{{{\dot{m}}}_{r}}}{{{{\dot{m}}}_{mx}}}=\frac{1}{1+\alpha {{L}_{o}}}\)

以此式代入上式，便可把能量方程式改写为：

\({{c}_{Pmx}}T_{mx}^{*}+\frac{1}{1+\alpha {{L}_{o}}}{{Q}_{br}}{{\eta }_{br}}={{c}_{Pbr}}T_{br}^{*}\)                （5-29）

由连续方程

\(\frac{{{m}_{mx}}p_{mx}^{*}{{A}_{3}}q({{\lambda }_{mx}})}{\sqrt{T_{mx}^{*}}}=\frac{{{m}_{br}}p_{br}^{*}{{A}_{4}}q({{\lambda }_{br}})}{\sqrt{T_{br}^{*}}}\)

因为   \({{A}_{4}}={{A}_{3}}\)（等截面补燃段）

故得：                     \(\frac{p_{br}^{*}}{p_{mx}^{*}}=\frac{{{m}_{mx}}}{{{m}_{br}}}\sqrt{{{\tau }_{h-b}}}\frac{q({{\lambda }_{mx}})}{q({{\lambda }_{br}})}\)                   （5-30）

不难看出：在已知燃料的补燃热值Q_br，补燃效率η_br及余气系数\(\alpha \)的情况下，就可利用（5-28），（5-29）及（5-30）等式求出补燃段出口气流的参数。这里要注意的余气系数\(\alpha \)与引射系数N之间有一定关系。因为：

\(N=\frac{{{{\dot{m}}}_{K}}}{{{{\dot{m}}}_{r}}}=\frac{{{{\dot{m}}}_{r}}\alpha {{L}_{o}}}{{{{\dot{m}}}_{r}}}=\alpha {{L}_{o}}\)

往往在做助推补燃室的计算中，直接由引射掺混段进口截面上的气流参数来计算补燃段出口截面上的气流参数，这时，可直接写出助推补燃室进出口截面上气流所应遵守冲量方程，能量和流量方程来求助推补燃室出口截面的气流参数就更为方便，为此，我们写出：

\(\frac{{{k}_{K}}+1}{2{{k}_{K}}}{{\dot{m}}_{K}}{{a}_{crK}}Z({{\lambda }_{K}})+\frac{{{k}_{r}}+1}{2{{k}_{r}}}{{\dot{m}}_{r}}{{a}_{crr}}Z({{\lambda }_{r}})=\frac{{{k}_{br}}+1}{2{{k}_{br}}}{{a}_{crbr}}Z({{\lambda }_{br}}){{\dot{m}}_{br}}\)

因为： \({{a}_{cr}}=\sqrt{\frac{2k}{k+1}RT*}\)

及     \(\frac{{{{\dot{m}}}_{br}}}{{{{\dot{m}}}_{K}}}=\frac{{{{\dot{m}}}_{r}}+{{{\dot{m}}}_{K}}}{{{{\dot{m}}}_{K}}}=1+\frac{1}{\alpha {{L}_{o}}}=\beta \)

\(\frac{{{{\dot{m}}}_{r}}}{{{{\dot{m}}}_{K}}}=\frac{1}{\alpha {{L}_{0}}}=\frac{\beta }{1+\alpha {{L}_{0}}}\)

则上式为：

\({{x}_{br}}\beta \sqrt{{{\tau }_{br}}}Z({{\lambda }_{br}})={{x}_{r}}\frac{\beta }{1+\alpha {{L}_{0}}}\frac{1}{\sqrt{{{\theta }_{r}}}}Z({{\lambda }_{r}})+Z({{\lambda }_{K}})\)                                   （5-31）

式中：

\({{x}_{br}}=\sqrt{\frac{{{k}_{br}}+1}{{{k}_{br}}}\cdot \frac{{{k}_{K}}}{{{k}_{K}}+1}\cdot \frac{{{R}_{br}}}{{{R}_{K}}}}\)

\({{x}_{r}}=\sqrt{\frac{{{k}_{r}}+1}{{{k}_{r}}}\cdot \frac{{{k}_{K}}}{{{k}_{K}}+1}\cdot \frac{{{R}_{r}}}{{{R}_{K}}}}\)

\({{\tau }_{br}}=\frac{T_{br}^{*}}{T_{K}^{*}}\)

能量方程：

\({{\dot{m}}_{br}}{{c}_{Pbr}}T_{br}^{*}={{\dot{m}}_{K}}{{c}_{PK}}T_{K}^{*}+{{\dot{m}}_{r}}{{c}_{Pr}}T_{r}^{*}+{{\dot{m}}_{r}}{{Q}_{br}}{{\eta }_{br}}\)           （5－32）

即为             \(\frac{{{c}_{Pbr}}T_{br}^{*}}{{{c}_{PK}}T_{K}^{*}}=\frac{\alpha {{L}_{o}}}{1+\alpha {{L}_{o}}}+\frac{1}{(1+\alpha {{L}_{o}})}\cdot \frac{{{c}_{Pr}}T_{r}^{*}}{{{c}_{PK}}T_{K}^{*}}+\frac{{{Q}_{br}}{{\eta }_{br}}}{(1+\alpha {{L}_{o}}){{c}_{PK}}T_{K}^{*}}\)

流量方程：

\(\frac{p_{br}^{*}}{p_{K}^{*}}=(1+\frac{1}{\alpha {{L}_{o}}})\frac{{{m}_{K}}}{{{m}_{b}}}\sqrt{{{\tau }_{br}}}\frac{q({{\lambda }_{K}})}{q({{\lambda }_{br}})}\cdot \frac{1}{1+{{{\bar{f}}}_{{{r}_{2}}}}}\)                      （5-33）

可见在给定助推补燃室进口截面上的气流参数，及引射系数N的情况下，就可借（5-31），（5-32），（5-33）等式直接求出助推补燃室出口截面上气流的参数。

5.10  助推补燃室的临界工作状态（流量特性）

现在我们来讨论一下助推补燃室的最大可能气体流量的条件，即所谓“临界”工作状态。一般把临界工作状态分为三种，这时对已定几何外形的助推补燃室通过的被引射的空气量为最大。

（1）第一种临界工作状态

相当于引射掺混进口被引射空气的速度为音速的情况（见图5-21）。这时燃气发生器喷管为设计流动状态或在过渡膨胀状态下工作。超音速和亚音速这两股气流在掺混段中进行掺混。掺混的结果可能形成亚音速流或超音速流。

图5-21  在第一种临界工作状态时的流动示意图

在这工作状态下，引射掺混段进口处燃气及空气的静压分别为：

\({{p}_{r}}=p_{r2}^{*}\pi ({{\lambda }_{r}}),{{p}_{K}}=p_{K}^{*}\pi ({{\lambda }_{K}})\)

在设计流动状态下，燃气发生器喷管出口气流为完全膨胀，则在掺混段进口截面上两股气流的静压相等，\({{p}_{r}}={{p}_{K}}\)

所以在掺混段进口空气速度达音速的条件便为：

\(\pi ({{\lambda }_{r}})=\frac{\pi ({{\lambda }_{K}}=1.0)}{p_{{{r}_{2}}}^{*}/p_{K}^{*}}=\frac{0.528}{\bar{p}_{{{r}_{2}}}^{*}}\)

式中                    \(\overline{p_{{{r}_{2}}}^{*}}=\frac{p_{{{r}_{2}}}^{*}}{p_{K}^{*}}\)

而掺混段进口空气的总压\(p_{K}^{*}\)等于迎面气流的总压\(p_{H}^{*}\)和进气道中压力恢复系数\({{\sigma }_{in}}\)的乘积

即       \(p_{K}^{*}=p_{H}^{*}{{\sigma }_{in}}\)

另外燃气发生器喷管出口燃气的总压\(p_{{{r}_{2}}}^{*}\)为燃烧室中压力\(p_{r}^{*}\)和喷管中总压恢复\({{\sigma }_{r}}\)的乘积，

即                           \(p_{{{r}_{2}}}^{*}=p_{r}^{*}{{\sigma }_{r}}\)

式中\({{\sigma }_{r}}\)为火箭喷管中的总压恢复系数。

这样上式可写成：

\(\pi ({{\lambda }_{r}})=0.528\frac{{{\sigma }_{in}}}{{{\sigma }_{r}}}\cdot \frac{p_{H}^{*}}{p_{r}^{*}}\)                      （5-34）

可见在燃气发生器出口速度系数\({{\lambda }_{r}}\)满足上式时，即可能在掺混段进口气流速度为音速的临界工作状态。这时通过的空气流量：

\({{\dot{m}}_{K2}}=\frac{0.4p_{H}^{*}{{\sigma }_{in}}{{A}_{2}}}{\sqrt{T_{H}^{*}}}\)

就限定了。

一般来说，火箭——冲压发动机中，不大可能出现这种临界工作状态。设计时掺混进口空气的流速不能选得太大，一般为\({{\lambda }_{K}}=0.15\tilde{\ }0.3\)，这得考虑到整体发动机稳定地有效地工作。

（2）第二种临界工作状态

如果燃气发器喷管处在不完全膨胀下工作，则燃气出喷口后继续在掺混段中进行膨胀，并压缩空气。使空气在掺混段管壁和超音速射流曲线边界间形成“流体”喷管中加速，在截面2’处达临界流速（见图5-22），这种状况为助推补燃室的第二临界工作状态。

在这状态时，2’截面处的气流参数可以这样来确定。

我们近似地认为在截面（2’）前，两股气流没有掺混。于是利用2’-2’截面上静压相等条件得：

\(p_{K}^{{{*}’}}\pi ({{\lambda }_{{{r}_{2}}^{\prime }}})=p_{{{r}’}}^{*}\pi ({{\pi }_{{{r}’}}})\)

利用几何关系：

\({{A}_{2}}+{{A}_{r}}={{{A}’}_{2}}+{{{A}’}_{r}}\)

故得                        \(\frac{{{A}_{r}}}{{{A}_{2}}}+1=\frac{{{{{A}’}}_{2}}}{{{A}_{2}}}+\frac{{{{{A}’}}_{r}}}{{{A}_{2}}}\)

即                   \({{f}_{{{r}_{2}}}}+1=\frac{{{A}_{r}}}{{{A}_{2}}}\cdot \frac{{{{{A}’}}_{r}}}{{{A}_{r}}}+\frac{{{{{A}’}}_{2}}}{{{A}_{2}}}={{f}_{{{r}_{2}}}}\frac{{{{{A}’}}_{r}}}{{{A}_{r}}}+\frac{{{{{A}’}}_{2}}}{{{A}_{2}}}\)

式中带“′”的参数为2′-2′截面的参数

由流量方程：

\(A=\frac{const}{{{p}^{*}}q(\lambda )}\)

所以                         \(\frac{{{{{A}’}}_{r}}}{{{A}_{r}}}=\frac{q({{\lambda }_{r}})}{q({{{{\lambda }’}}_{r}})}\cdot \frac{1}{\sigma }\)

及                   \(\frac{{{{{A}’}}_{2}}}{{{A}_{2}}}=\frac{q({{\lambda }_{K}})}{q({{{{\lambda }’}}_{K}})}=q({{\lambda }_{K}})({{{\lambda }’}_{K}}=1.0)\)

故得：                     \({{f}_{r}}_{2}+1={{f}_{r}}_{2}\frac{q({{\lambda }_{r}})}{q\left( {{{{\lambda }’}}_{r}} \right)}\cdot \frac{1}{\sigma }+q({{\lambda }_{K}})\)

式中б为超音主射流在掺混段中膨胀时的总压恢复系数。在近似计算中，可令б=1。

亦即：                   \(q({{{\lambda }’}_{r}})=\frac{{{f}_{{{r}_{2}}}}q({{\lambda }_{r}})}{(1+{{f}_{{{r}_{2}}}})-q({{\lambda }_{K}})}\cdot \frac{1}{\sigma }\)                （5-35）

这样可根据上式，求出当助推补燃室处在第二种临界工作状态时所对应的在进口截面上的气流参数。

图5-22  助推补燃室的第二种临界工作状态

（3）第三临界工作状态

第三种临界工作状态，系对应于从燃气发生器喷管中流出的“热”喷流和空气相混，并进行补燃对气流加热，使在助推补燃室出口气流达到音速的这种状态。这种状态又称为“热临界”状态，它是火箭——冲压发动机所特有的。

图5-23  助推补燃室的第三种临界工作状态

助推补燃室第三临界工作状态存在条件可利用冲量方程求得：

由（5-31）式，当\({{\lambda }_{br}}=1.0,Z({{\lambda }_{br}})=2.0\)

得：\({{x}_{br}}\beta \sqrt{{{\tau }_{br}}}\cdot 2={{x}_{r}}\frac{\beta }{1+\alpha {{L}_{o}}}\frac{1}{\sqrt{{{\theta }_{r}}}}Z({{\lambda }_{r}})+Z({{\lambda }_{K}})\)                      （5-36）

为了简化分析，忽略空气、燃气，及补燃气之间的比热容和气体常数的差别，则得：

\(2\beta \sqrt{{{\tau }_{br}}}=\frac{\beta }{(1+\alpha {{L}_{o}})\sqrt{{{\theta }_{r}}}}\)

\(Z({{\lambda }_{r}})+Z({{\lambda }_{K}})\)

即               \(2\frac{N+1}{N}\sqrt{{{\tau }_{br}}}=\frac{1}{1+N}\cdot \frac{N+1}{N}\cdot \frac{1}{\sqrt{{{\theta }_{r}}}}Z({{\lambda }_{r}})+Z({{\lambda }_{K}})\)

所以                     \({{N}_{cr}}=\frac{Z({{\lambda }_{r}})-2\sqrt{{{\tau }_{br}}}\sqrt{{{\theta }_{r}}}}{\sqrt{{{\theta }_{r}}}\left[ 2\sqrt{{{\tau }_{br}}}-Z(\sqrt{{{\lambda }_{K}}}) \right]}\)                 （5-37）

由上式可见：在助推补燃室出现第三种临界工作状态时的临界引射系数N_cr，随补燃加热量的增大和随进口空气流速（λ_K）的增大而减少。这样从避免发动机补燃室中出现“热临界”状态，设计时选取较小的进口空气流速也是适宜的。

5.11  助推补燃室与其他部件的共同工作

火箭——冲压组合发动机特性在很大程度上，取决于气流通道的“协调性”，火箭—冲压发动机的推力不能看作是火箭（燃气发生器）和冲压发动机推力的简单相加。因为火箭（燃气发生器）排出的气流不是流向大气，而是流向助推补燃室，实质上，气流反作用冲量全部传给由进气道流来的空气。如果气流通道流通截面选择不好，可能损失相当大一部分火箭的反作用冲量，同时由于沿气流通道的附加压力损失，而使火箭——冲压发动机的推力特性恶化。为了了解这些损失是怎样产生的，下面讨论引射渗混补燃室和进气道及喷管的协同工作。

(1)助推补燃室和进气道的协同工作

根据流入发动机进口前未扰动气流切面H-H的空气流量与扩压器出口即助推补燃室进口2-2截面空气流量相等的条件，得：

\(\frac{p_{H}^{*}{{m}_{H}}q({{\lambda }_{H}}){{A}_{H}}}{\sqrt{T_{H}^{*}}}=\frac{p_{K}^{*}{{A}_{2}}{{m}_{K}}q({{\lambda }_{K}})}{\sqrt{T_{K}^{*}}}\)

当空气在进气道内为绝热滞止过程时，可认为T*，气体常数R，和绝热指数k为常值，则得：

\(p_{H}^{*}{{A}_{H}}q({{\lambda }_{H}})=p_{K}^{*}{{A}_{2}}q({{\lambda }_{K}})\)

因为  \(\frac{p_{K}^{*}}{p_{H}^{*}}={{\sigma }_{in}}\)进气道的总压恢复系数。

及                     \(\frac{{{A}_{H}}}{{{A}_{2}}}=\frac{\varphi {{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}=\frac{\varphi {{A}_{1}}}{{{A}_{4}}}\frac{{{A}_{4}}}{{{A}_{2}}}=\varphi {{f}_{1}}(1+{{f}_{{{r}_{2}}}})\)

所以进气道出口的无因次密流可以表成下面形式：

\(q({{\lambda }_{K}})=\frac{\varphi q({{\lambda }_{H}})}{{{\sigma }_{in}}}(1+{{f}_{r}}_{_{2}}){{f}_{1}}\)                                   （5-38）

式中  \({{f}_{1}}=\frac{{{A}_{1}}}{{{A}_{4}}}\)

A₁为进气道的进口截面积。

从上式中可以看出：当进气道的总压恢复系数最大时（\({{\sigma }_{in}}={{\sigma }_{in\max }}\)），进气道出口气流的速度系数λ_K便最小。因之在进气道的结尾冲波损失增大时，进气道出口速度系数λ_K将加大。

进气道出口气流的速度系数λ_K，同时也就是助推补燃室进口气流的速度系数，它又与助推补燃室的工作状态有关。也就是说它应满足助推补燃室中，气体流动的基本方程式（5-31~5-32）。当补燃室出口为“热临界”（\({{\lambda }_{br}}=1.0\)）时，助推补燃室进口的速度系数应符合（5-36）式。

按（5-38）式求出的λ_K和按（5-36）式求出的λ_K相等，这时进气道与助推补燃室工作匹配。（或在λ_br＜1.0时按（5-31）~（5-33）等式求出的λ_K应等于按（5-38）式求出的。如果用（5-36）式（或5-31~5-33等式）求出的λ_K大或小于按（5-38）式求出的λ_K值。则进气道与助推补燃室工作便不匹配，这时势必影响进气道的工作。例如按（5-36）式求出的λ_K大于在进气道的总压恢复系数б_in为最大值时按（5-38）式求出的λ_K值，则表示进气道喉道后结尾冲波会顺气流下移，以增大总压损失，降低б_in，来满足速度系数λ_K加大的要求。

如果按（5-36）式求出的速度系数λ_K值（或按（5-31）等式求出的）比按（5-38）式求出的最小出口速度系数λ_Kmin还小，则在这种情况下，因要比进气道的总压恢复系数б_in已达最大值（б_inmax）所得的进气道出口速度系数λ_K还要小，便只有降低进气道的流量系数φ来满足速度系数λ_K的要求了，直到进气道出现喘振为止。因为进气道的φ特性线很陡，所以一般不允许火箭——冲压组合发动机有比λ_Kmin还小的工作状态出现。

依据前面所讲的可以得出：火箭——冲压发动机的超音速进气道与助推补燃室在协同工作（相互匹配）的设计状态下，进气道出口具有最高的压力恢复，这时固体火箭冲压发动机的推力性特性最佳。当火箭——冲压发动机的工作状态偏离设计点时，会改变进气道的流动状态而恶化整体发动机的性能。乃至有出现不稳定工作的可能，为了避免这点便要求进气道放气，或可调。

图5-24  助推补燃室和进气道的共同工作

（2）助推补燃室与尾喷管的协同工作

下面我们来讨论助推补燃室与尾喷管的协同工作。一般来说在火箭——冲压组合发动机补燃室后的发动机尾喷管中总是达到临界压力降，这时由流方程：

\(\frac{{{m}_{br}}{{A}_{4}}p_{br}^{*}q({{\lambda }_{br}})}{\sqrt{T_{br}^{*}}}=\frac{{{m}_{br}}{{A}_{t}}p_{t}^{*}}{\sqrt{T_{br}^{*}}}q{{({{\lambda }_{t}})}_{{{\lambda }_{t}}=1.0}}\)

故得：                        \(q({{\lambda }_{br}})={{\sigma }_{P1}}/{{\varepsilon }_{i}}\)                      （5-39）

式中：亚音速收敛段总压恢复系数\({{\sigma }_{{{P}_{1}}}}=\frac{p_{t}^{*}}{p_{br}^{*}}\)，

喷管面积收缩比：\({{\varepsilon }_{i}}={{A}_{4}}/{{A}_{t}}\)

由上式可见：补燃室出口气流的速度仅取决于尾喷管的尺寸，在尾喷管临界截面尺寸已定的情况下，补燃室出口气流的速度也就决定了，这样如果按（5-31）等式求出的补燃室出口速度λ_br大于由（5-39）式得出速度系数λ_br，则由于尾喷管临界截面对气流量的限制，要想维持在补燃室中不变的加热量，就势改变助推补燃室进口气流的流动条件，以适应其出口速度系数的要求，因而就改变进气道的工作状态。所以在设计点上助推补燃室与尾喷管是匹配的，即发动机处在最佳工作状态，而发动机工作状态改变（飞行速度或飞行高度改变），或加热比改变时，势必影响发动机的有效工作。

从上面关于助推补燃室与进气道和尾喷管的协同工作的讨论中，可以看出：为了使火箭——冲压组合发动机能在整个弹道点上都能有效地工作，那么进气道和尾喷管最好采用可调式的，以便做到在不同飞行情况下火箭——冲压组合发动机气流通道截面的协调性。

图5-25  助推补燃室和尾喷管的共同工作

5.12 无喷管助推器

可抛式助推喷管是整体式助推发动机最广泛应用的方案。当药柱燃烧结束时，转机控制装置接通喷管释放机构的电爆管，使之解锁，助推喷管抛出，进气道的堵盖在压差的作用下相继脱落,燃气发生器点火工作，主发动机相继工作。采用这种方案,整体式助推器的性能基本不受影响，转机控制比较精确。借鉴导弹与航天器的级分离技术，这种方案的工作可靠性也相当高。缺点是增加了喷管释放机构提高了结构的复杂性与成本。同时在喷管抛落过程中，对导弹仍有一定的扰动。对于空空弹，抛落的喷管有可能撞击发射导弹的飞机。其设计可参见固体火箭发动机原理和设计有关教材，本文不作介绍。

关于无喷管固体火箭发动机，PriceE.W.早在1954年就发表了理论探讨的文章。1960年由美国NASA资助，开始做7英寸发动机的实验研究。研究结果表明，无喷管发动机的性能是可以预计的，能达到相当高的水平。它结构简单，经济效益也很好。目前，无喷管发动机主要用于小型火箭或作为大发动机的点火发动机。从1976年开始美国还特将它用到组合式固体火箭冲压发动机的预示研究工作中去。

无喷管固体火箭发动机是去掉机械喷管的固体火箭发动机。其工作原理是利用气动力学中加质管流使气流加速，直至产生壅塞（Ma=1）,并经过进一步膨胀达到超音速，从而完成燃气热能向动能的转化。

无喷管方案的优点在于结构简单，即取消了专门的喷管助推结构件，采用简单的内孔装药(尾部一般有扩张段)，燃气在装药通道内膨胀加速，但是采用这种方案，助推发动机的比冲要比采用同性能推进剂的有喷管方案低10%-15%。由此造成的损失可以用增加推进剂的质量来补偿。在空中发射的导弹上采用这种方案，往往得益更多。

助推器一方面要有足够的容积来容纳助推装药，另一方面要有足够的长度以使二次补燃有足够的混合长度和燃烧时间。影响补燃室设计的因素还有：空气进气口的数量、位置、高度和截面积；燃气发生器喷管(燃料喷嘴)的数量(位置、喷口截面积和喷射角度)；前部顶盖形状；贫氧推进剂装药燃料的类型和二次燃烧特性；燃气的热力参数、补燃室的特征长度等。图5－26 为典型的无喷管装药示意图。

图中：

d_i1  绝热层左端厚度 (mm);

d_i2 绝热层右端厚度(mm);

L_n   冲压喷管长度 (mm);

L_t   冲压喷管喉道长度l_t；

b   冲压喷管收敛半角 (°)；

a   冲压喷管扩张半角 (°)；

R_t     冲压喷管喉道直径 (mm)；

d_c   金属壳体壁厚 (mm)；

e_a   装药尾端面厚度 (mm);

q   装药出口锥面半角 (°)；

R₀   装药内通道半径 (mm)；

R_e   装药出口通道半径 (mm)；

图中：0位置为装药头部，t位置为喉部（喉部在燃烧过程是变化的），e为装药出口位置。x为装药轴向，y为装药径向。

无喷管助推器的功能，一是将固体火箭冲压发动机加速到转级速度，二是提供明确的转级信号，以便开始转级过程。因此在设计无喷管助推器时，必须考虑三个方面的问题：

（1）满足要求的助推器指标体系如总冲、工作时间、最小推力等；

（2）与冲压补燃室相邻其它部件的工作特性相适应。如与转级机构、补燃室热防护层等相适应；

（3）助推器工作结束时，推力下降的梯度和时间满足一定要求，以便给出明确的转级信号。

无喷管助推器没有专用的喷管，由装药通道本身起到使燃气加速及膨胀的作用。因此，其装药设计与内弹道计算又不同于一般的火箭发动机。表现如下：

（1）无喷管助推器装药多采用圆管型内孔燃烧药柱，出口部位有扩张锥；

（2）无喷管助推器工作过程中，燃气通道、喉部面积、出口面积随时间快速增大；

（3）无喷管助推器工作过程中，燃烧表面气流速度从头部0到尾部的超声速，侵蚀效应贯穿助推器工作整个过程；

（4）没有比较简单的经验公式预示其工作过程。

5.12.1一维非定常内弹道 ^【44】

发动机的内弹道性能曲线和总冲直接由装药燃面－肉厚变化曲线决定，发动机的装填系数和药柱内部的应力应变情况也与药型设计密切相关。研究表明，对于无喷管火箭发动机来说，应用最多的是圆管型内孔燃烧药柱，目前在整体式火箭冲压发动机上获得应用的无喷管助推器也多采用圆管型内孔燃烧药柱。由于无喷管发动机的内弹道性能曲线受侵蚀燃烧和燃烧室出口变化的影响，与燃面－肉厚曲线不尽一致，因此在无喷管发动机装药设计中，需要专门的计算手段对其内弹道性能进行评估。本章以圆管型内孔燃烧药柱为例说明无喷管发动机内弹道预示过程。

无喷管固体火箭发动机内流场不仅是有燃烧加质的跨音速流场，而且是非定常的两相混合流动。跨音速统一流场的求解对计算方法和计算机性能提出了新的要求。同时流动的非定常性、燃烧过程与流动的耦合影响增加了求解过程的复杂性。在这种情况下，利用固体火箭发动机通常所采用的静态的半经验公式的内弹道设计方法无法完成无喷管助推器内弹道设计过程。目前较为流行的做法是：从更基本的定理、定律出发对流动过程中的物量守恒关系进行更为精细的微积分描述，并研究平衡方程的数值解法。

（1）基本假设

对无喷管固体火箭发动机内弹道设计所涉及的流动的描述目前一般采用纯气相或考虑固相粒子作用的两相流模型，前者是后者的简化子空间。对后者考虑到无喷管发动机实际工作特点和工程化要求，一般采用一维两相非定常变截面有加质流动模型。同时，为便于处理，作基本假设如下：

1） 流动是一维绝热的，流动参数是时间和坐标t,x的函数，燃烧和加质过程瞬间完成，燃烧产物加质方向与x轴方向垂直；

2） 燃烧在燃面附近薄层内完成，通道内燃烧产物成分冻结；

3） 燃气除颗粒表面外无黏性，颗粒相是拟流体；

4） 固相微粒为相同尺寸的球体，比热容恒定，其内温度均一。固相微粒无相变，微粒之间无相互作用；

5） 忽略燃气的体积力和辐射热,微粒与气体间的换热仅以对流方式进行；

6） 气相物质为完全气体，无粘，但与固相颗粒相互作用时除外，燃气服从理想气体状态方程。微粒体积忽略，系统的压强由气体压强决定；

7） 忽略相之间的质量传输；

8） 装药通道中的燃烧效率处处一致。

（2） 控制方程

在充满流体的空间中取控制体V，其控制面为Σ，控制面上气流速度为v，单位外法向矢量为n；时刻t流体微团占据该控制体，设Φ为流体内部某物理量，ψ为流体中Φ量的单位体积量，则在t时刻占据控制体的流体的Φ量的变化率等于控制体内量的变化率,即控制体内Φ量的时间变化率与通过控制面Σ流出的量净流率之和。用公式表述如下：

\(\frac{D\Phi }{Dt}=\int_{V}{\frac{\partial \phi }{\partial t}dV+\int_{\Sigma }{\phi \left( V\bullet n \right)d\Sigma }}\)                                     (5－40)

利用奥高公式将（5－40）式中的面积积分转化为体积分，得：

\(\frac{D\Phi }{Dt}=\int_{V}{\left( \frac{\partial \phi }{\partial t}+\nabla \bullet \phi V \right)dV}\)                                       (5－41)

设\(S{}_{\phi }\)为流体内部和表面因素作用下单位体积内φ量的产生率，则：

\(\frac{D\Phi }{Dt}=\int_{V}{{{S}_{\phi }}dV}\)                                                 (5－42)

将(5－42)式代入（5－41）式，得：

\({{S}_{\phi }}=\frac{\partial \phi }{\partial t}+\nabla \bullet \phi V\)                                               (5－43)

对通道横截面积为A，流速为u的一维管流，取长为Δx的微元段流体作为研究对象，(5－43)式变为：

\(\frac{\partial }{\partial t}\left( \phi A\Delta x \right)+\frac{\partial }{\partial x}\left( \phi uA\Delta x \right)={{S}_{\phi }}A\Delta x\)                                   (5－44)

(5－44)式整理为：

\(\frac{\partial }{\partial t}\left( \phi A \right)+\frac{\partial }{\partial x}\left( \phi uA \right)={{S}_{\phi }}A\)                                         (5－45)

假设颗粒相是拟流体，以上推导过程同样适用于颗粒相。式(5－45)即为一维两相非定常变截面有加质流动模型的主控方程。

为便于处理，将式(5－45)式简记为：

\(\frac{\partial Q}{\partial t}+\frac{\partial F}{\partial x}=S\)                                                   (5－46)

此式即为一维无粘可压缩流体的控制方程。(5－46)式中根据不同的问题， Q，F，S，取不同的值。在燃气流动过程中，质量守恒体现了流动状态变化与加质的关系；动量守恒体现了流动状态变化与力的关系；能量守恒体现流动状态变化与功、热、能之间的关系。最后，通过这样一些守恒状态的求解完成对整个流场状态的预示。

有加质和加热的单相流动

对有加质和加热的单相流动， 有：

(5－47)

上式中： A——燃气通道面积，mm²；

ρ——流体密度；

\(m=\rho u\)——动量密度，其中u为速度，m/s；

p——为压强，Pa；

\(E=\rho (e+{{u}^{2}}/2)\)——总能密度；

状态方程为： \(p=\rho RT\)                                              (5－48)

式中： R——气体常数，R=8.3144 kJ/kmo1•K；

T——温度，K。

对固体火箭发动机内弹道问题，公式(5－47)中的源项分别为：

\({{S}_{\rho }}={{\rho }_{s}}\frac{\partial A}{\partial t},{{S}_{m}}=p\frac{\partial A}{\partial x},{{S}_{E}}={{S}_{\rho }}{{H}_{s}}\)

为了采用迎风格式，需计算通量项F的Jacobi矩阵：

           (5－49)

矩阵J的特征值为：

\({{\lambda }_{1}}=u,{{\lambda }_{2}}=u+c,{{\lambda }_{3}}=u-c\)                                (5－50)

其中c为当地声速： \(c=\sqrt{\gamma RT}\)                                     (5－51)

一维两相流控制方程

对采用双流体模型的一维两相流流控制方程，参数项、通量项及源项的公式为：

   (5－52)

下标表示颗粒相。状态方程和公式(5－52)中的源项分别为：

\(p=\rho RT \)

\( \dot{m}={{\rho }_{s}}\frac{\partial A}{\partial t} \)

\({{S}_{\rho }}= \varepsilon \dot{m} \)

\({{S}_{m}}=p\frac{\partial A}{\partial x}-{{\rho }_{p}}{{F}_{p}}A \)

\({{S}_{E}}= H{{S}_{\rho }}-{{m}_{p}}A{{F}_{p}}+{{\rho }_{p}}{{Q}_{p}}A \)

\({{S}_{{{\rho }_{p}}}}= (1-\varepsilon )\dot{m} \)

\({{S}_{{{m}_{p}}}}={{\rho }_{p}}{{F}_{p}}A \)

\({{S}_{{{E}_{p}}}}= {{H}_{p}}{{S}_{{{\rho }_{p}}}}+{{m}_{p}}A{{F}_{p}}-{{\rho }_{p}}{{Q}_{p}}A \)

\({{F}_{p}}={{A}_{p}}(u-{{u}_{p}})  \)

\({{A}_{p}}=4.5\mu \mathop{\overline{C}}_{D}/({{\rho }_{m}}r_{m}^{2})  \)

\(\mathop{\overline{C}}_{D}=1+\frac{1}{6}\mathop{\text{Re}}^{2/3} \)

\({{\text{Q}}_{\text{p}}}= {{\text{B}}_{\text{p}}}({{\text{T}}_{\text{p}}}-\text{T}) \)

\({{\text{B}}_{\text{p}}}= 3\mu {{c}_{\text{P}}}\overline{\text{Nu}}/({{\rho }_{\text{m}}}\text{r}_{\text{m}}^{2}\text{Pr}) \)

\(\overline{\text{Nu}}= 1+0.2295\mathop{\text{Re}}^{0.55}\mathop{\text{Pr}}^{0.33}  \)

\(\text{Re}=\frac{2\rho (\text{u}-{{\text{u}}_{\text{p}}}){{\text{r}}_{\text{m}}}}{\mu }\)

上面诸式中：ε——气相质量分数；

r_m、ρ_m——分别为燃气中颗粒的半径，m及物质密度，kg/m²；

μ——燃气与颗粒间的动力黏度系数；

μ_r——推进剂的线性燃速，mm/s；

П——燃面周长，mm；

θ——燃面与发动机轴线方向的夹角，度；

c_p——燃气定压比热容，J/g·K，可由气体常数和比热容比算出。

设燃气为理想气体，其定压比热容为： \[{{c}_{P}}=\frac{\gamma R}{\gamma -1}\]

燃气的能量加入率H由当地压强及绝热燃烧温度T_f计算得到，颗粒能量加入率假设颗粒温度为T_f，由积分：\[\int_{{{T}_{ref}}}^{{{T}_{f}}}{}\,{{c}_{Pp}}\,dT\]确定

源项中：Pr——由热力学参数计算程序算出；

c_pp——颗粒比热容， J/g·K，由经验公式确定。

得到：

\[{{c}_{Pp}}=1437.2106995709, T>2318K\]

\({{c}_{Pp}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}T+{{a}_{2}}{{T}^{2}}+{{a}_{3}}{{T}^{3}}+{{a}_{4}}{{T}^{4}}+{{a}_{5}}{{T}^{5}},   T<2318K\)   （5－53）

式中：

\({{a}_{0}}=1173.7220305146\)

\({{a}_{1}}=-0.11725032870308\)

\({{a}_{2}}=2.5876716622045\times {{10}^{-4}} \)

\({{a}_{3}}= -1.0636109436456\times {{10}^{-7}} \)

\({{a}_{4}} = 1.5361955193463\times {{10}^{-11}} \)

\({{a}_{5}} = -16853978.748613\)

式(5－52)中通量项的Jacobi矩阵为J,其中的J₁即为式(5－49)中的J，J_P为：：

的特征值为：

\[{{\lambda }_{1}}={{\lambda }_{2}}={{\lambda }_{3}}={{u}_{p}}\]

所以，颗粒相控制方程的离散只需根据颗粒速度为正值或负值作后差或前差即可。分裂的矢通量为：

（3） 燃速模型

除了发动机长径比特大的情况(15／1或者更高)之外，推进剂的燃速必须更高，如长径比在7～10之间的情况，燃速一般要求15～40mm/s，才能避免过长的余气排气时间；在高、低两个极限工作温度下，推进剂的强度也必须较高（如大于0.6MPa）。在低温条件下，较高的应变能力（如大于40％）便于得到最佳的肉厚分数、推进剂装填密度及总体性能。推进剂的燃速指数必须较低（如小于0.35），以利于获得较高的平均工作压强，提高装药能量转换效率等。由于无喷管助推器的工作过程与装药几何形状关系密切，呈现显著的非定常特征和侵蚀燃烧效应，所以在进行无喷管助推器内弹道性能预示时，需要确定装药的燃速变化和侵蚀燃烧规律。

方程求解过程中，对于无喷管固体火箭发动机工作过程中推进剂燃速的处理，采用基础燃速加侵蚀燃烧燃速形式，推进剂总的燃速公式为：

\(r={{r}_{0}}+\alpha \left( {{G}^{m}}-G_{cr}^{m} \right){{M}^{0.5}}\)                                        (5－57)

其中基本燃速公式采用维也里经验公式

\[{{r}_{0}}={{a}_{0}}{{p}^{n}}\]                                                      (5－58)

若考虑初温的影响

\[r={{a}_{0}}{{e}^{{{\sigma }_{P}}\left( T-{{T}_{0}} \right)}}{{p}^{n}}\]                                               (5－59)

其中\(G=\rho V\)为燃气质量流率；\({{\sigma }_{P}}\)为推进剂燃速温度敏感系数。这样影响燃速的侵蚀燃烧、推进剂初温的影响也都纳入模型。对于无喷管对发动机性能的影响，可以通过对无喷管发动机试验数据的辨识归结为对燃速的影响。从而提高模型精度。

(4) 数值方法

方程(5－49)的求解，时间方向采用一阶精度的隐式格式离散，则：

\(\frac{{{Q}^{n+1}}-{{Q}^{n}}}{\Delta t}\approx {{S}^{n+1}}-\frac{\partial {{F}^{n+1}}}{\partial x}\)                                        (5－60)

上式中上标表示时间步。

将空间离散记为δx，则空间偏导数可近似为：

\(\frac{\partial {{F}^{n+1}}}{\partial x}\approx {{\delta }_{x}}{{F}^{n+1}}\)                                               (5－61)

式(5－51)代入(5－50)并使用Newton迭代法求解：

\(\left( I+\Delta t\frac{\partial {{\delta }_{x}}F}{\partial Q}-\Delta t\frac{\partial S}{\partial Q} \right)\delta Q\approx \Delta t\left[ {{S}^{n+1,m}}-{{\delta }_{x}}{{F}^{n+1,m}} \right]-{{Q}^{n+1,m}}+{{Q}^{n}}\)               (5－62)

其中

\(\delta Q={{Q}^{n+1,m}}+{{Q}^{n}}\)

使用Van Leer的MUSCL方法来做空间离散有：

\({{\left. \frac{\partial F}{\partial x} \right|}_{x={{x}_{i}}}}=\frac{{{F}_{i+\frac{1}{2}}}-{{F}_{i-\frac{1}{2}}}}{\Delta x}\)                                     (5－63)

为确保通量项在声速点和驻点连续可微，由Van Leer的矢通量分裂方法，将通量项表示为局部一维马赫数（M=u/c）的函数进行分裂，再用M的二次多项式光滑之，分裂如下：

\({{F}_{i+\frac{1}{2}}}={{F}^{+}}\left( {{Q}_{i+1}} \right)+{{F}^{-}}\left( {{Q}_{i}} \right)\)                                   (5－64)

当流动为亚音速时，通量分裂有如下公式：

其中

\({{f}^{\pm }}=\pm \rho c{{\left( 1\pm M \right)}^{2}}/4\)

M=u/c

当流动为超音速时，有：

\({{F}^{+}}=F,{{F}^{-}}=0,M>1 \)

\({{F}^{+}}=0,{{F}^{-}}=F,M\le 1 \)

时间方向采用一阶精度的隐式格式离散使源项为全隐式，避免方程呈刚性；使用Van Leer的MUSCL方法来做空间离散使方程组的解具有良好的保单调性和高阶精度。另外，对通量项进行分裂，并对迭代方程的系数矩阵进行三角分解，使之能够快速求解。

（5）点火过程

为了模拟点火过程，在点火阶段，在装药的初始通道中的一段长度上人为加入质量和能量。这种做法忽略了点火器所占据的体积，由于点火器的体积与装药的初始通道的体积相比很小，这种忽略是合理的。为了简化分析，所加入的质量和能量在这段长度上处处相同。由于点火器的装药总量限制，人为加入的质量和能量必需等于点火器装药的总质量和总能量。加入质量随时间变化的函数形式由用户指定， 程序根据用户提供的点火器的装药的总能量和总质量及工作时间计算出所应采用的源项函数。

设点火器装药的总质量为M，总能量为E_t，点火器工作时间为t₀，质量随时间变化的型函数为f(t)。型函数的定义域为[0,1]且有。能量和质量在 [x₀,x₁]段均匀加入。\({{\rho }_{A}}\)为单位时间单位长度上质量加入量，其单位为Kg/(m·s)， 则：

\[{{\rho }_{A}}=\frac{M}{{{t}_{0}}({{x}_{1}}-{{x}_{0}})}\]                                      (5－66)

点火器燃气流与药柱表面的摩擦在推进剂点燃前后是不同的。点燃后由于药柱表面向燃气通道的加质，这时摩擦力由于气垫的作用很小，可以忽略。只需要考虑点火燃气与推进剂表面的摩擦。 管道摩擦阻力因子的公式为：

\[\eta =\frac{1}{{{[2ln(R/{{\varepsilon }_{s}})+1.68]}^{2}}}\]                                 (5－67)

式中：   R——管道半径，mm；ε_s——药柱表面的当量砂粒粗糙度。

得到质量和能量方程的源项为：

\({{S}_{\rho }} ={{\rho }_{A}}f(t/{{t}_{0}}), x\in [{{x}_{0}},{{x}_{1}}] \)

\({{S}_{\rho }}=0,x\not{\in }\left[ {{x}_{0}},{{x}_{1}} \right]\)      (5－68)

\[{{S}_{m}} =p\frac{\partial A}{\partial x}-\eta \frac{\rho {{u}^{2}}}{8}\Pi \]                                   (5－69)

\[{{S}_{E}} ={{S}_{\rho }}{{H}_{i}}-\rho \dot{q}\Pi -\eta u\frac{\rho {{u}^{2}}}{8}\Pi \]                             (5－70)

另外，发动机出口堵盖也影响点火过程，在数值模拟中，在堵盖未破裂前，出口边界条件采用固体壁边界条件，堵盖破裂后，采用流出边界条件。堵盖破裂的判据是出口压强超过堵盖破裂压强，\[p\ge {{p}_{c}}\]。

利用上述诸方程可以计算出发动机药柱表面温度的演化，当药柱表面温度大于推进剂燃点时，该点的装药被点燃，\[{{T}_{s}}\ge {{T}_{c}}\]。

（6）有关热力参数计算

已知内能，密度，速度，及由内能及压强求热力学参数的函数f(e,p)，求比热容比γ，比热容等参数。 设气体为理想气体有： \[p=\rho RT\]

取初值p₀,p₁，由函数f(e,p)计算出，气体常数R及温度T，由状态方程求出密度ρ₀,ρ₁。利用割线法计算出实际值。

\[{{p}_{n}}={{p}_{n-1}}-\frac{{{p}_{n-1}}-{{p}_{n-2}}}{{{\rho }_{n-1}}-{{\rho }_{n-2}}}({{\rho }_{n-1}}-\rho )\]

同理，可由压强和密度计算比内能。公式为：

\[{{e}_{n}}={{e}_{n-1}}-\frac{{{e}_{n-1}}-{{e}_{n-2}}}{{{\rho }_{n-1}}-{{\rho }_{n-2}}}({{\rho }_{n-1}}-\rho )\]

由颗粒比内能计算温度：

\[{{T}_{n}}={{T}_{n-1}}-\frac{{{T}_{n-1}}-{{T}_{n-2}}}{{{e}_{n-1}}-{{e}_{n-2}}}({{e}_{n-1}}-e)\]

(7) 边值条件

一维非定常控制方程求解边值条件如下：

求解的初始条件：计算初始（t=0），整个通道中气体处于静止状态，气体压强为环境压强，气体、颗粒温度为推进剂初温，气体和颗粒速度为零。

求解的边界条件：在上游边界（x=0）燃气流速为“0”，温度为燃气总温，密度由外推得出。下游边界（x=L）处，当气流速度为亚音速时，出口压强为环境压强，流速和密度由外插确定，当气流速度为超音速时，全部参数由外插确定。

在燃烧室壁面上有u=0， e和ρ通过外插确定。设出口压强为p_a，可由压强和密度计算出亚音速出口的e。

另外，对于燃气气体状态的计算，仍然采用理想气体状态方程\[p=\rho RT\]，但状态方程的气体常数通过化学平衡计算得到，使其成为温度和压强的函数，更接近于实际情况。

(8) 内弹道性能影响因素分析

图5－27和5-28为典型的无喷管压力曲线和推力曲线。影响内弹道性能的因素有如下几个方面：

图5-27 无喷管发动机典型压力曲线

图5-28无喷管典型推力曲线

1) 装药结构尺寸的影响

对无喷管固体火箭发动机通常所采用的内孔装药，装药初始燃通比决定了初始压强峰的大小；长径比（长度／外径）影响压强水平，进而影响无喷管发动机比冲效率；扩张锥尺寸影响燃气膨胀的完善程度；装药肉厚等影响装药结构完整性水平。一般说来，在装药结构允许的范围内，合理的设计装药扩张锥尺寸，增加装药初始燃通比和增大发动机长径比，能使无喷管固体火箭发动机工作在一个较为高效的水平上，获得较高的总冲值。

2) 固体推进剂燃烧规律的影响

在无喷管发动机结构允许的情况下，提高推进剂燃速，无喷管发动机比冲和总冲都会有明显的提高。另外推进剂压强指数对发动机性能有明显影响。分析认为，采用低压强指数或负压强指数的推进剂可以在无喷管发动机工作过程中降低或补偿由于喷喉突扩对推进剂燃速所造成的影响，从而降低发动机工作过程中的压强峰值和提高设计平均压强，进而提高无喷管发动机的综合性能。

3) 试验温度的影响。

试验研究过程中发现：无喷管发动机试验温度对其性能的影响不如有喷管发动机明显，甚至出现比冲和峰值压强低温条件下比常温甚至高温条件下为高的情况。分析认为这可能是由于低温药柱变形使装药的初始燃面发生改变和低温时侵蚀燃烧作用明显有关。

通过上述分析和描述可见，与有喷管固体火箭发动机相比，无喷管固体火箭发动机具有鲜明的设计和试验特点，其性能设计方法适用范围广，设计过程更为复杂，影响因素多。

5.12.2一维准定常内弹道^【37】

（1）控制方程

除了准定常假设不同外，其余假设与非定常流假设相同。无喷管发动机的内流场按一维加质变截面管流建立数学模型：

\( \frac{dV}{V}=\frac{1}{1-{{M}^{2}}}[(1+k{{M}^{2}})\bullet \frac{d\dot{m}}{{\dot{m}}}-\frac{dA}{A}] \)

\(\frac{dM}{M}=\frac{(1+\frac{k-1}{2}{{M}^{2}})}{1-{{M}^{2}}}\bullet [1+k{{M}^{2}}\bullet \frac{d\dot{m}}{{\dot{m}}}-\frac{dA}{A}] \)

\(\frac{dp}{p}=-\frac{2k{{M}^{2}}}{1-{{M}^{2}}}\bullet [(1+\frac{k-1}{2}{{M}^{2}})\bullet \frac{d\dot{m}}{{\dot{m}}}-\frac{dA}{A}] \)

\(\frac{d\rho }{\rho }=-\frac{{{M}^{2}}}{1-{{M}^{2}}}\bullet [(k+1)\frac{d\dot{m}}{{\dot{m}}}-\frac{dA}{A}] \)

\(\frac{dT}{T}=-\frac{(k-1){{M}^{2}}}{1-{{M}^{2}}}\bullet [(1+k{{M}^{2}})\bullet \frac{d\dot{m}}{{\dot{m}}}-\frac{dA}{A}] \)

\(\frac{d{{p}^{*}}}{{{p}^{*}}}=-k{{M}^{2}}\bullet \frac{d\dot{m}}{{\dot{m}}} \)

\(\frac{dS}{{{c}_{P}}}=(k-1){{M}^{2}}\bullet \frac{d\dot{m}}{{\dot{m}}} \)                     (5－71)

当\(\frac{dA}{A}=0\)，即通道变为等直通道时，上式可变为：

\( \frac{dV}{V}=\frac{1+k{{M}^{2}}}{1-{{M}^{2}}}\bullet \frac{d\dot{m}}{{\dot{m}}} \)

\(\frac{dM}{M}=\frac{(1+\frac{k-1}{2}{{M}^{2}})(1+K{{M}^{2}})}{1-{{M}^{2}}}\bullet \frac{d\dot{m}}{{\dot{m}}} \)

\(\frac{dp}{p}=-\frac{2k{{M}^{2}}}{1-{{M}^{2}}}\bullet (1+\frac{k-1}{2}{{M}^{2}})\bullet \frac{d\dot{m}}{{\dot{m}}} \)

\(\frac{d\rho }{\rho }=-\frac{(k+1){{M}^{2}}}{1-{{M}^{2}}}\bullet \frac{d\dot{m}}{{\dot{m}}} \)

\(\frac{dT}{T}=-\frac{(k-1){{M}^{2}}}{1-{{M}^{2}}}\bullet (1+k{{M}^{2}})\bullet \frac{d\dot{m}}{{\dot{m}}} \)

\(\frac{d{{p}^{*}}}{{{p}^{*}}}=-k{{M}^{2}}\bullet \frac{d\dot{m}}{{\dot{m}}} \)

\(\frac{dS}{{{c}_{P}}}=(k-1){{M}^{2}}\bullet \frac{d\dot{m}}{{\dot{m}}} \)                        (5－72)

对以上式子分别积分可得（5－73）式。

\( \frac{{\dot{m}}}{{{{\dot{m}}}_{cr}}}=\frac{M{{[2(k+1)(1+\frac{k-1}{2}{{M}^{2}})]}^{{}^{1}/{}_{2}}}}{1+k{{M}^{2}}} \)

\(\frac{T}{{{T}_{cr}}}=\frac{k+1}{2(1+\frac{k-1}{2}{{M}^{2}})} \)

\(\frac{p}{{{p}_{cr}}}=\frac{k+1}{1+k{{M}^{2}}} \)

\(\frac{\rho }{{{\rho }_{cr}}}=\frac{2(1+\frac{k-1}{2}{{M}^{2}})}{1+k{{M}^{2}}} \)

\(\frac{{{p}^{*}}}{p_{cr}^{*}}=\frac{k+1}{1+k{{M}^{2}}}{{[(\frac{2}{1+k})\bullet (1+\frac{k-1}{2}{{M}^{2}})]}^{\frac{k}{k-1}}} \)

\(S-{{S}_{cr}}=-R\ln \frac{{{p}^{*}}}{p_{cr}^{*}} \)                         (5－73)

对于可压缩流动，当出口流速为亚音速时，出口的压强就等于环境压强。因此当出口压强高于环境压强时，可以认为出口处的流速不是音速就是超音速的。由上面的压强计算公式可以知道只要无喷管发动机的头部压强满足\({{P}_{0}}>(k+1){{P}_{a}}\approx 2.2{{P}_{a}}\)，无喷管发动机通道内一定存在壅塞截面。同时在等直通道的无喷管发动机内，燃气流速只能达到M＝1，不可能达到超音速，否则系统的熵是减少的，因此无喷管发动机装药通道尾部往往有个扩张角，可以使燃气进一步膨胀，达到超音速。由上式可知，要使气流从M＝1进一步加速，扩张角段的截面变化率必须满足：

\(\frac{dA}{A}\rangle (1+k)\frac{d\dot{m}}{{\dot{m}}}\)

并由此经推导得扩张角为：

\(\theta \rangle \arctan (\frac{k+1}{2}\bullet \frac{{{R}_{0}}}{L})\)                                         (5－74)

（2）简化计算方法^【45】

简化计算认为装药在燃烧过程中设计等截面向前推进的，压强从头部到尾部是下降的，可使燃速减小，而速度是增加的，又使侵蚀严重，应该说侵蚀的作用更强。实际上等截面假设是有误差的。将喉部以前的装药通道分成N等分，若分成的等分足够小，则每等分都可以看成是等直通道，由内弹道计算的基本公式可以进行计算。

装药截面的参数如下：

r₀ 头部燃速

ρ_p装药密度

ρ 燃气密度

A_b燃烧面积

A_p 通道截面积

\(\dot{m}\) 质量流率

按准定常假设，单位时间内直通道侧面的加入的气体质量应等于从壅塞截面上排出的流量，即

\({{\dot{m}}_{in}}={{\dot{m}}_{out}}\)                                                       (5－75)

\( {{{\dot{m}}}_{in}}={{A}_{b}}{{\rho }_{p}}r=0.5{{A}_{p}}[1+{{(\frac{1}{1+k})}^{n}}]{{\rho }_{p}}ap_{0}^{*n} \)

\({{{\dot{m}}}_{out}}=\rho {{A}_{p}}u=\frac{k}{\sqrt{2k+1}}\bullet \frac{p_{0}^{*}{{A}_{p}}}{{{C}_{0}}}=0.8{{c}_{P}}{{A}_{P}}P_{0}^{*} \)

得

\[p_{0}^{*}={{\left\{ \frac{[1+{{(\frac{1}{1+k})}^{n}}]a{{L}_{bt}}{{\rho }_{p}}}{0.8{{C}_{D}}R} \right\}}^{\frac{1}{1-n}}}\]                                   (5－76)

简化计算中主要的假设之一是通道半径随时间成线性增加的，即

\(R={{R}_{0}}+\bar{r}t={{R}_{0}}+{{C}_{2}}r_{0}^{0}t\)                                  (5－77)

式中

\({{C}_{2}}={}^{({{R}_{H}}-{{R}_{0}})}/{}_{(r_{0}^{0}{{t}_{0}})}\)                                      (5－78)

代入（6－75）可以得到初始压强和任意时刻的压强之比为：

\[\frac{p_{0}^{*0}}{p_{0}^{*}}={{[1+\frac{{{C}_{2}}r_{0}^{0}t}{R_{0}^{0}}]}^{\frac{1}{1-n}}}\]                                   (5－79)

通过统计发无喷管发动机的实验结果，得到修正系数C₂=0.705。所以由此公式可以得到每个截面上任意一个时刻的压强，从而其他参数任意时刻的值也可以一一计算出来，这样每一个参数将是时间的函数。

5.12.3零维内弹道^【49】

初始的燃烧速度r描述上在头部的位置燃烧速度的值，它是头部压力的函数。

\[r=ap_{0}^{*n}\]                                             (5－80)

在等面通道内的一维控制方程为：

质量方程：

\(d\dot{m}={{A}_{p}}d\left( \rho u \right)\)                                      (5－65)

动量方程：

\(-dP=d\left( \rho {{u}^{2}} \right)\)                                      (5－81)

能量方程：

\(dh+udu=0\)                                          (5－82)

同时也要利用理想气体的状态方程，故：

\[p=\rho RT\]                                           (5－83)

且

\[{{c}_{P}}=\frac{k}{k-1}R\]                                        (5－84)

这里R为气体常数。很明显的看出，当在发动机下游尾部（出口处）使用壅塞条件M=1时，可以得到下列关系：

\({{T}_{t}}=\frac{2}{k+1}T_{0}^{*}\)                                         (5－85)

\(T_{t}^{*}=T_{0}^{*}\)                                         (5－86)

\[{{p}_{t}}=\frac{1}{k+1}p_{0}^{*}\]                                       (5－87)

\[p_{t}^{*}=\frac{1}{2}{{\left( \frac{k+1}{2} \right)}^{\frac{1}{k-1}}}p_{0}^{*}=Cp_{0}^{*}\]                            (5－88)

下标t代表喉部位置。由于总焓不变，所以沿整个发动机通道总温保持不变，于是

\(C=\frac{1}{2}{{\left( \frac{k+1}{2} \right)}^{\frac{1}{k-1}}}\)                                     (5－89)

对于给定的典型的k值，C非常0.8接近(误差在1%以内),可以证明滞沚压强沿通道损失20%。这种损失来自于非等熵条件，它与加质引起的熵增有关（由于压力降低)。在发动机的任何位置，头部压强是最高的，同时，头部的流动速度为零，因此头部的参数就代表了滞沚条件。

通过通道的整体的质量和运动方程，使用边界条件在头部(x=0)时$\dot{m}=0$和\[p=p_{0}^{*}\]可得：

\[\frac{p}{p_{0}^{*}}=\frac{1+k\sqrt{1-{{\left( {{\dot{m}}}/{{{{\dot{m}}}_{t}}}\; \right)}^{2}}}}{1+k}\]                               (5－90)

其中，p和\(\dot{m}\)分别表示静态压强和在沿通道轴向的质量流率，\({{\dot{m}}_{t}}\)是出口截面的质量流率，考虑到壅塞位置（M=1），根据设想，瞬时的r是沿通道不变的，于是相关的质量流率在任何轴向位置可以用下式表示：

\[\frac{p}{p_{0}^{*}}=\frac{1+k\sqrt{1-{{\left( {x}/{{{L}_{bt}}}\; \right)}^{2}}}}{1+k}\]                              (5－91)

燃烧室的流动情况可用特征速度C^*来描述：

\({{C}^{*}}=\frac{1}{\Gamma }\sqrt{RT_{0}^{*}}\)                                       (5－92)

其中T₀是燃烧室的常量总温，Г被定义如下：

\(\Gamma =\sqrt{k}{{\left( \frac{2}{k+1} \right)}^{\frac{k+1}{2(k-1)}}}\)                                    (5－93)

可以用C*与出口部的总压计算质量流率：

\[{{\dot{m}}_{t}}=\frac{p_{t}^{*}{{A}_{P}}}{{{C}^{*}}}\]                                           (5－94)

其中Ap为通道的截面积，也可认为为“喉部”（或壅塞截面）或出口截面，当使用可测量的头部压强p₀^*（p_t或p_t^*是不可测量的量），可以得到：

\[{{\dot{m}}_{t}}=\frac{Cp_{\text{t}}^{*}{{A}_{P}}}{{{C}^{*}}}\]                                           (5－95)

这时燃烧面积为：

\({{A}_{b}}=\pi D{{L}_{bt}}\)

D为装药最大外径。“喉部”面积等于通道面积，为：

\({{A}_{P}}={\pi {{D}^{2}}}/{4}\;\)

燃烧面积与喉部面积之比(喉通比)为：

\(\frac{{{A}_{b}}}{{{A}_{p}}}=\frac{4{{L}_{bt}}}{D}\)

根据假设，每瞬时燃烧速度r不变(方程1)并使用稳态的近似，可得到瞬时头部压强公式：

\[p_{0}^{*}={{\left( {{\rho }_{P}}a{{C}^{*}}\frac{4{{L}_{bt}}}{CD} \right)}^{\frac{1}{1-n}}}=p_{0}^{*0}{{\left( \frac{{{D}_{0}}}{D} \right)}^{\frac{1}{1-n}}}\]                 (5－96)

D₀为装药初始内径。方程(5－96)显示：头部压强\[p_{0}^{*}\propto {{\left( {L}/{D}\; \right)}^{{1}/{\left( 1-n \right)}\;}}\]。对于一个类似的通道直径，长度越长压强越高，对于一个给定的发动机,最大的压力p_max总是发生在燃烧的初始时刻(当然是在发动机的头部,例如, \[{{p}_{\max }}=p_{0}^{0}\]),初始通道直径D₀越小,压强越高。根据方程(5－82)和方程(5－96)所计算的燃烧速度也是在开始获得最大值,它随着通道直径的增加而减小,有公式:

\(r={{r}_{0}}{{\left( \frac{{{D}_{0}}}{D} \right)}^{\frac{n}{1-n}}}\)                                   (5－97)

时间与通道直径可以被描述为：

\(\frac{dD}{dt}=2r\)

使用方程(5－97)，对于瞬时的燃烧速度和通道直径从D₀(t=0)到D_max(t=t_b)的整体范围来说,整个燃烧时间可以被表示为:

\({{t}_{b}}=\frac{\left( 1-n \right){{D}_{0}}}{2r}\left[ {{\left( \frac{{{D}_{\max }}}{{{D}_{0}}} \right)}^{\frac{1}{1-n}}}-1 \right]\)               (5－98)

平均头部压强被定义为:

\[{{p}_{avg}}=\int\limits_{0}^{{{t}_{b}}}{{{p}_{0}}dt/{{t}_{b}}}\]

根据推进剂的性质参数(\({{\rho }_{p}},{{C}^{*}},a,n\))和几何参数(D₀，D_max，L)，可得到平均压强\[{{p}_{avg}}\]:

\[{{p}_{avg}}=\left( \frac{1}{1-n} \right){{\left( \frac{4{{\rho }_{P}}a{{C}^{*}}}{C} \right)}^{\frac{1}{1-n}}}{{L}^{\frac{1}{1-n}}}\left[ \frac{\ln \left( {{{D}_{\max }}}/{{{D}_{0}}}\; \right)}{D_{\max }^{\frac{1}{1-n}}-D_{0}^{\frac{1}{1-n}}} \right]=\left( \frac{1}{1-n} \right)p_{0}^{0}\left[ \frac{\ln \left( {{{D}_{\max }}}/{{{D}_{0}}}\; \right)}{\left( \frac{{{D}_{\max }}}{{{D}_{0}}} \right)_{{}}^{\frac{1}{1-n}}-1} \right]\]    (5－99)

方程(5－99)说明,平均压强是\[{{p}_{avg}}\propto {{L}^{{1}/{\left( 1-n \right)}\;}}\],与瞬时的和最大的压强相似。p_avg完全依靠D₀和D_max确定。平均压强与最大压强之间的变化率(p_max=p₀⁰)是独立于L和推进剂性质的(除了n)。平均压强与最大压强之比随着D_max/D₀的增加而减小的,具体是:

\[\frac{{{p}_{avg}}}{{{p}_{\max }}}=\left( \frac{1}{1-n} \right)\frac{\ln \left( {{{D}_{\max }}}/{{{D}_{0}}}\; \right)}{\left( \frac{{{D}_{\max }}}{{{D}_{0}}} \right)_{{}}^{\frac{1}{1-n}}-1}\]                                     (5－100)

值得注意的是，燃速系数a与装药长度L对最大压强和平均压强有相同的影响。另一方面, 在燃烧过程中中，较小的压强指数n会引起较小的压强波动和较大的p_avg/_pmax压强比。一般来说,对于同样的最大压强p_max，可以有更好的发动机性能。

由于其特殊的结构,无喷管火箭发动机的推力可简单由下式决定：

\[F=\left( {{p}_{0}}-{{p}_{a}} \right){{A}_{P}}={{p}_{0}}{{A}_{P}}-{{p}_{a}}{{A}_{P}}\]                                 (5－101)

按照内弹道参数方程，(5－83)式可写成如下形式:

\[F={{\left( \frac{4{{\rho }_{P}}a{{C}^{*}}L}{C} \right)}^{\frac{1}{1-n}}}\frac{\pi }{4}{{D}^{\frac{1-2n}{1-n}}}-{{p}_{a}}\frac{\pi }{4}{{D}^{2}}=\frac{p_{0}^{0}}{{{D}_{0}}_{{}}^{\frac{1}{1-n}}}\frac{\pi }{4}{{D}^{\frac{1-2n}{1-n}}}-{{p}_{a}}\frac{\pi }{4}{{D}^{2}}\]       (5－102)

方程(5－84)表明：当n=0.5时,推力公式的第一项为常数,当n<0.5时,第一项随着时间(由于D增加)的增加而增加,当n>0.5时, 第一项随着时间增加而减小。第二项,对于任何非零环境压强Pa,都随着时间的增加而增加。开始时刻,其值相对于主推力项非常小,但是在发动机末段,它会显著增加而不能忽略。仅当Pa=0（在真空工作）、n=0.5时推力在整个燃烧过程才能保持不变，是一个精确的数学解。但是对于任何非零的Pa,近于等推力的工作由n<0.5来表征,且产生初始随时间而增加的推力,在达到峰值后单调的下降。