第七章固体火箭发动机内弹道学

发表于： 2019年10月31日 2019年12月22日
分类：火箭发动机原理

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本章主要讨论固体火箭发动机燃烧室工作压强的变化规律和计算方法。首先以不考虑燃烧室内燃气流动对装药燃烧影响情况下的发动机为最基本的情况，分析发动机内弹道计算的基本方程（即零维内弹道计算方程），在此基础上，讨论等燃面燃烧的装药发动机工作压强计算的基本关系和各种条件对工作压强的影响，并讨论压强上升段和下降段的计算方法；然后进一步研究不考虑燃烧室内燃气流动影响的变燃面燃烧发动机（即零维变燃面发动机）和考虑燃烧室内燃气流动与侵蚀燃烧影响的侧面燃烧装药发动机（即一维变燃面发动机）内工作压强的变化规律，并给出了一些求解固体火箭发动机内弹道参数的计算实例。最后，讨论了有关固体火箭发动机工作压强计算中的某些特殊问题。

§7.1 概述

一、内弹道学的含义

内弹道学（Interior Ballistics）一词来自枪炮技术，它的主要内容是研究枪炮发射过程中弹丸在膛内的运动和膛内压强的变化等各种现象的规律。对固体火箭发动机来说，内弹道实际上就是发动机燃烧室内的气体动力学，其基本任务是在发动机各种工作条件下计算燃烧室内工作压强随时间和空间的变化规律（通常不考虑燃气温度的变化）。因此，固体火箭发动机内弹道计算必须涉及燃烧室中燃气的流动过程，实际上已经逐渐发展成为燃烧室内的压强和气动流场计算。

二、燃烧室压强的重要性

燃烧室压强是一个非常重要的参数，这是因为：

燃烧室压强的高低及其变化规律决定了发动机的推力和工作时间（即推力方案）

由推力公式$ F={{C}_{F}}{{p}_{c}}{{A}_{t}}$可以看到，对一定的发动机来说，推力系数C_F和喷管喉部截面积A_t可以看作是定值，因而推力F便与燃烧室压强p_c成正比。推力随时间的变化（即推力方案）直接决定于燃烧室内压强随时间的变化。

燃烧室压强对燃烧室内的燃烧过程和喷管中的膨胀过程都有一定的影响

固体推进剂的燃速是随压强变化而变化的，一般情况下，压强越高，燃速越快。对一定的装药来说，燃烧层的厚度（即燃烧肉厚）是一定的，其燃烧时间将随着压强升高、燃速增大而减小，因此，燃烧室压强又是决定发动机装药燃烧时间的一个重要因素。另一方面，对于一定设计高度下的发动机（即p_a一定），燃烧室压强越高，完全膨胀状态（即p_e=p_a）下的p_e/p_c越小，说明燃气在喷管中的膨胀越充分。由此可见，燃烧室中的压强对燃烧室内的燃烧过程和喷管中的膨胀过程都有一定的影响，因而也会影响到发动机比冲。

燃烧室压强是保证发动机稳定工作的必要条件

燃烧室压强是保证发动机工作稳定、正常的一个必要条件。为了使推进剂燃烧稳定和达到比较完全的燃烧，必须保持燃烧室压强高于固体推进剂的临界燃烧压强。

燃烧室压强是一个重要的设计参数

从发动机结构设计的角度来说，燃烧室压强是一个重要的设计参数。燃烧室是一个主要承受内压的部件，其各部分受力的大小决定于室内压强的高低。为了进行强度计算，必须先确定燃烧室中可能出现的最大压强。另外，发动机内部零件的受热条件除了决定于燃气的高温、高速以外，压强也是一个重要因素。因此，压强的高低直接影响对燃烧室的强度要求和发动机的结构重量，而发动机的结构质量又是发动机性能中的一个重要参数，因此，燃烧室的内弹道计算也是发动机设计中一项比较重要的计算。

固体火箭发动机燃烧室的工作压强历来是比较高的。早期采用双基推进剂，为了保证燃烧正常与稳定，要求在较高的压强下工作，发动机的实际工作压强达到9~20兆帕的水平。有的为了加快燃速，缩短发动机的工作时间，燃烧室压强会更高。压强的提高需要增加结构重量，有碍于发动机整体性能的改善，因此，总的发展趋势是要求不断降低燃烧室压强。而复合推进剂的发展和应用，可以在更低的压强下正常燃烧。采用复合推进剂，最低工作压强可到2兆帕左右。一般的工作压强大都保持在3~8兆帕的水平上。对于高空工作的发动机，其压强甚至更低一些。

三、固体火箭发动机燃烧室压强的变化

固体火箭发动机燃烧室的压强是随时间变化的。图7-1所示就是全部工作过程中燃烧室压强随时间变化的典型示意曲线。按照这种典型的压强变化，通常将压强变化分成三个阶段：首先是发动机起动的压强上升段1（亦称为压强的建立过程，即从点火瞬时开始，到装药开始燃烧、燃烧室压强迅速上升到工作压强）；接着就是稳定工作段2（燃烧室压强大体能相对稳定在预定的设计水平上，直到燃烧结束）；最后是拖尾段3（亦称为“后效”过程，是发动机工作的尾声，此段中压强迅速下降，工作结束）。

燃烧室压强如何产生这样的变化呢？为了认识压强变化的规律，不妨把燃烧室看作是一个充满高温高压燃气的容器，它的容积是一定的。在一个封闭的容器中，室内的压强显然取决于气体的总量和温度，并可由气体的状态方程${{p}_{c}}{{V}_{c}}=mRT$来确定。但在火箭发动机的燃烧室中，燃气不断生成，同时又通过喷管不断排出，所以燃烧室内的燃气贮存量m和压强p_c的变化规律必然取决于装药燃烧的燃气生成率${{\dot{m}}_{b}}$与喷管质量流率${{\dot{m}}_{d}}$的相对关系：

图7-1 燃烧室压强变化的三个阶段

${{\dot{m}}_{b}}>{{\dot{m}}_{d}}$时，压强将随装药的燃烧时间而升高。例如，发动机起动的压强上升阶段，该段包括装药的点火、燃烧和燃烧室自由空间的充气过程。装药点燃之后，全部燃烧面开始燃烧，有较大的燃气生成率${{\dot{m}}_{b}}$，而在开始燃烧初期，由于燃烧室压强还比较低，喷管质量流率${{\dot{m}}_{d}}$也就较低，所以燃气生成率${{\dot{m}}_{b}}$总是大于喷管质量流率${{\dot{m}}_{d}}$、使燃烧室内燃气贮量增加。随着燃烧室内燃气贮量的增加，压强迅速上升，一直达到工作压强为止。这一阶段所占时间很短，一般为百分之几秒以内。
${{\dot{m}}_{b}}<{{\dot{m}}_{d}}$时，压强随时间而降低。例如，发动机的排气拖尾阶段，该段包括余药的燃烧及室内贮量燃气的排放过程。在这一阶段，由于燃气生成率${{\dot{m}}_{b}}\approx 0$，所以燃烧室中的燃气贮量迅速减少，压强将以较大的速度下降，直到与外界环境压强相等、排气停止，拖尾段结束。
当${{\dot{m}}_{b}}={{\dot{m}}_{d}}$时，燃烧室内燃气贮存量相对稳定平衡，从而得到所谓的平衡压强。例如，发动机的稳定工作阶段，该段相对于上升段和拖尾下降段占有很长的时间，基本上等于装药的稳定燃烧时间。在这一阶段中，如果燃面和燃速不变，燃烧室压强就不随时间变化（参见图7-1中的等面燃烧情况），否则，压强将随时间略有变化（参见图7-1中的减面或增面燃烧情况）。

而装药燃烧产生的燃气生成率${{\dot{m}}_{b}}$取决于装药燃速及装药燃面的变化规律，因而${{\dot{m}}_{b}}$与推进剂的性质、装药几何特性、装填密度、发动机结构及工作条件等多方面因素有关。发动机燃烧室压强计算的任务就是在给定条件下计算压强随发动机工作时间的关系，并研究它与各种影响因素之间的关系，以便有效地加以控制，确保发动机既能满足规定的战术技术要求，又能可靠而稳定地工作。

由图7-1可见，在发动机的三个工作阶段中，稳定工作段是发动机的主要工作阶段。在大多数情况下，要求发动机在该段性能相对稳定，燃面变化（增面或减面）尽可能小一些，尽量采用等面燃烧，以确保燃烧室压强的相对稳定、且压强随时间的变化比较小。因此该段可以作为定常或准定常问题来处理。而与此段相反，在压强上升段和拖尾段中，压强随时间的变化很大，离准定常的条件更远，处理要更复杂一些。

在前面的分析中，燃烧室被看作是一个充满高压燃气的容器，不考虑燃气的流动和燃烧室内的压强分布，认为室内各点的压强都相等。这样，整个燃烧室压强都同时随时间变化，与计算点在燃烧室内的位置坐标无关，这就是所谓“零维”的压强变化（即不考虑燃烧室内燃气流动对燃烧影响情况下室内压强的变化）。对于室内燃气流速很小的燃烧室来说，压强计算可以看作是一个“零维”问题来处理，如等面燃烧的端面装药发动机以及装填密度较小、通道模截面积较大、气流参数（流速，压强，密度，温度等）沿轴向位置差别很小的发动机便属于这种情况。但是，随着发动机推力的不断增大和装填密度的不断提高，使药柱初始的燃气通道截面积越来越小，因而使燃气在药柱通道中的流动沿药柱轴向产生了很大的加速，燃烧室中的压强沿药柱轴向将有显著的下降。这种情况下就应该考虑压强在燃烧室中的空间分布，应该作为“一维”问题（即考虑燃烧室内燃气流动情况下室内压强的变化）处理，因为燃烧室压强与推进剂燃速有关，而燃速又取决于装药通道内的局部流动参数（主要是压强和流速），所以内弹道计算中必须考虑燃气流动对燃烧的影响，其计算过程就更复杂了。

下面将首先讨论“零维”（即不考虑燃烧室内燃气流动影响情况下）内弹道计算的基本方程以及等燃面装药发动机燃烧室内工作压强计算的基本关系和各种条件对工作压强的影响。

§7.2 零维内弹道学及等燃面装药发动机工作压强计算

一、零维内弹道学基本方程

基本假设

（1）燃烧室内压强均匀一致，不计因燃气流动而造成的压强下降。即：燃烧室中燃气流速很小，压强分布可以看作是均匀的，室内各点处的压强相等，是“零维”的压强计算。

（2）装药燃面上各点的燃速均匀一致，因为是“零维”计算，所以没有侵蚀燃烧的影响，燃速可以用不计侵蚀燃烧的燃速关系，例如，$r={a} p_{c}^{n}$。

（3）燃烧产物是具有平均性质的单一成份气体，服从完全气体状态方程。

（4）喷管流动是准定常的，喷管流率可用${{\dot{m}}_{d}}=\frac{\Gamma }{\sqrt{R{{T}_{c}}}}{{A}_{t}}{{p}_{c}}$表示。

（5）燃烧室内无热损失。

基本方程

根据以上假设条件，“零维”内弹道计算所根据的基本关系是质量守恒和气体的状态方程。以整个燃烧室的自由容积为控制体、按照质量守恒原则，燃烧室内燃气的质量生成率${{\dot{m}}_{b}}$分成两部分：一部分经过喷管排出去，即喷管质量流率${{\dot{m}}_{d}}$；另一部分用来增加燃烧室自由容积中的燃气贮量，其增长率为$\text{d}({{\rho }_{c}}{{V}_{c}})/\text{d}\,t$。因而有质量守恒方程：

${{\dot{m}}_{b}}={{\dot{m}}_{d}}+\frac{\text{d}({{\rho }_{c}}{{V}_{c}})}{d\ t}$ （7-1）

其中 ${{\dot{m}}_{b}}={{\rho }_{p}}{{A}_{b}}r$ （7-2） ${{\dot{m}}_{d}}={{C}_{D}}{{p}_{c}}{{A}_{t}}=\frac{\Gamma {{p}_{c}}{{A}_{t}}}{\sqrt{R{{T}_{c}}}}=\frac{{{p}_{c}}{{A}_{t}}}{{{c}^{*}}}$ （7-3）

式中的ρ_c为燃气密度，V_c为燃烧室自由容积，t为时间，ρ_p为推进剂密度，A_b为燃面面积，r为燃速，C_D为流率系数，A_t为喷管喉部截面积，Г为比热比k的函数，R为燃气的气体常数，T_c为燃烧室内燃气温度，c^*为推进剂的特征速度，而：

$\frac{\text{d}({{\rho }_{c}}{{V}_{c}})}{\text{d}\,t}={{V}_{c}}\frac{\text{d}{{\rho }_{c}}}{\text{d}\,t}+{{\rho }_{c}}\frac{\text{d}{{V}_{c}}}{\text{d}\,t}$ （7-4）

由此可见，燃烧室内燃气的质量增长率由两部分组成：一是由于燃气密度的增加，一是由于燃烧室内自由容积的增加。燃烧室内自由容积的增加应等于推进剂燃烧使装药体积减小而空出来的容积，即：

$\frac{\text{d}{{V}_{c}}}{\text{d}\,t}={{A}_{b}}r$ （7-5）

综合以上（7-2）~（7-5）各式，质量守恒方程（7-1）可以写为：

${{\rho }_{p}}{{A}_{b}}r=\frac{{{p}_{c}}{{A}_{t}}}{c*}+{{\rho }_{c}}{{A}_{b}}r+{{V}_{c}}\frac{\text{d}{{\rho }_{c}}}{\text{d}\,t}$

整理后得：

${{V}_{c}}\frac{\text{d}{{\rho }_{c}}}{\text{d}\,t}=(1-\frac{{{\rho }_{c}}}{{{\rho }_{p}}}){{\rho }_{p}}{{A}_{b}}r-\frac{{{p}_{c}}{{A}_{t}}}{{{c}^{*}}}$ （7-6）

为了计算$\text{d}{{\rho }_{c}}/\text{d}\,t$，将状态方程

${{\rho }_{c}}=\frac{{{p}_{c}}}{R{{T}_{c}}}$ （7-7）

对时间求导，考虑到燃气的温度和成分都不变，RT_c为常数。因假设燃烧室内无散热损失，所以可以将燃气温度Tc取为推进剂的绝热燃烧温度T_f，得：

$\frac{\text{d}{{\rho }_{c}}}{\text{d}\,t}=\frac{1}{R{{T}_{f}}}\cdot \frac{\text{d}{{p}_{c}}}{\text{d}\,t}$ (7-8)

引入燃速关系式：

$r=ap_{c}^{n}$ （7-9）

则式（7-6）变为：

$\frac{{{V}_{c}}}{R{{T}_{f}}}\cdot \frac{\text{d}{{p}_{c}}}{\text{d}\,t}=(1-\frac{{{\rho }_{c}}}{{{\rho }_{p}}}){{\rho }_{p}}{{A}_{b}}ap_{c}^{n}-\frac{{{p}_{c}}{{A}_{t}}}{{{c}^{*}}}$ （7-10）

在一般发动机的工作条件下，燃气密度ρ_c比推进剂密度ρ_p小得多，例如，当p_c=9.81MPa（100kg/cm²）、T_f=3000K、R=400J/kg.K、ρ_p=1600kg/m³时，有：

${{\rho }_{c}}=\frac{{{p}_{c}}}{R{{T}_{f}}}=\frac{9.81\times {{10}^{6}}}{400\times 3000}=8.175$kg/m³

$\frac{{{\rho }_{c}}}{{{\rho }_{p}}}=\frac{8.175}{1600}=0.0051$

ρ_c/ρ_p的量级约为0.01，与1相比，可以看作是微量，令：

$\varepsilon =\frac{{{\rho }_{c}}}{{{\rho }_{p}}}=\frac{{{p}_{c}}}{R{{T}_{f}}{{\rho }_{p}}}$ （7-11）

并引入关系： $c*=\frac{\sqrt{R{{T}_{f}}}}{\Gamma }$

最后可得：

$\frac{{{V}_{c}}}{{{\Gamma }^{2}}{{c}^{*2}}}\frac{\text{d}{{p}_{c}}}{\text{d}\,t}=(1-\varepsilon ){{\rho }_{p}}{{A}_{b}}ap_{c}^{n}-\frac{{{p}_{c}}{{A}_{t}}}{c*}$ （7-12）

如果略去微量ε，得：

$\frac{{{V}_{c}}}{{{\Gamma }^{2}}{{c}^{*2}}}\frac{\text{d}{{p}_{c}}}{\text{d}\,t}={{\rho }_{p}}{{A}_{b}}ap_{c}^{n}-\frac{{{p}_{c}}{{A}_{t}}}{c*}$ （7-13）

式（7-12）和（7-13）便是“零维”内弹道学中计算燃烧室压强随时间变化的基本微分方程。积分求解（7-13）或（7-12）式（注：积分求解时应注意方程中的V_c、A_b也是随发动机工作时间变化而变化的），便可得到压强随时间变化的关系。对于脉冲工作的发动机，一般应采用积分求解基本方程的方法，而对于工作时间相对较长的发动机，也可根据图7-1所示的燃烧室压强变化的上升段、工作段、下降段等三个阶段的不同特点近似求解。下面首先介绍工作段的压强计算。

二、等燃面装药发动机工作压强计算

平衡压强

由实验得知，在喷管喉面A_t不变的条件下，燃烧室压强随时间变化的规律基本上与装药燃烧面面积A_b的变化规律一致。对于等燃面性装药（如端面燃烧的装药等），A_b不随时间变化，当燃烧室压强已经建立、开始进入工作段时，压强上升到最大值而相对稳定，这时可以认为$d{{p}_{c}}/dt=0$（参见图7-1中的等面曲线），式（7-12）化为：

$(1-\varepsilon ){{\rho }_{p}}{{A}_{b}}ap_{c}^{n}-\frac{{{p}_{c}}{{A}_{t}}}{c*}=0$ （7-14）

解之，得：

${{p}_{c}}={{({{\rho }_{p}}c*a\frac{{{A}_{b}}}{{{A}_{t}}})}^{\frac{1}{1-n}}}{{(1-\varepsilon )}^{\frac{1}{1-n}}}$ （7-15）

定义燃面面积A_b对喷管喉部截面积A_t之比为燃喉比，用K表示，即：

$\frac{{{A}_{b}}}{{{A}_{t}}}=K$ （7-16）

式（7-15）化为：

${{p}_{c}}={{({{\rho }_{p}}c*aK)}^{\frac{1}{1-n}}}{{(1-\varepsilon )}^{\frac{1}{1-n}}}$ （7-17）

而 ${{(1-\varepsilon )}^{\frac{1}{1-n}}}=1-\frac{1}{1-n}\varepsilon +\cdots $

由于$\varepsilon <<1$，略去其高次项，可得：

${{p}_{c}}={{({{\rho }_{p}}{{c}^{*}}aK)}^{\frac{1}{1-n}}}\left( 1-\frac{1}{1-n}\varepsilon \right)$ （7-18）

如果略去微量ε不计，则得：

${{p}_{c}}={{p}_{c,eq}}={{({{\rho }_{p}}c*aK)}^{\frac{1}{1-n}}}$ （7-19）

这时的燃烧室压强定义为平衡压强p_c,eq。从p_c,eq的导出可以看到，平衡压强就是等燃面装药发动机的工作压强，是在$d{{p}_{c}}/dt=0$且不计微量$\varepsilon ={{\rho }_{c}}/{{\rho }_{p}}$（即略去推进剂燃烧空出来的容积中所充填的燃气质量）的条件下得到的。将这两个条件代入式（7-12），可得：

${{\rho }_{p}}{{A}_{b}}ap_{c,eq}^{n}=\frac{{{p}_{c,eq}}{{A}_{t}}}{c*}$ （7-20）

这就是${{\dot{m}}_{b}}={{\dot{m}}_{d}}$，也就是说，等燃面装药发动机燃烧室中燃气的质量生成率${{\dot{m}}_{b}}$与喷管质量流率${{\dot{m}}_{d}}$达到平衡，相应的压强就是平衡压强。在这个压强下工作，可以保持压强的相对稳定，这就是发动机的稳定工作段。所以平衡压强是等燃面装药发动机工作中最有代表性的特征压强，可根据（7-19）式计算。

但是必须注意：

平衡压强p_c,eq的理论计算值常常与实测值不符。

除去某些偶然因素的影响之外，产生偏差的主要原因是：

燃烧室内有热损失，热力计算得到的c*值总是大于实际值。
燃速仪测定的燃速数据总是小于发动机内的实际燃速。因此，如能够采用通过发动机实验直接给出的平衡压强与燃喉比的关系（即${{p}_{c,eq}}\tilde{\ }K$的关系曲线或表格）,将会减小计算值与实测值之间的误差。
对于含金属推进剂，其燃烧产物中含有一定量的凝相产物，它一方面减少了燃气生成量，同时又减少了对气相的加热量（因为有部份热量聚集在凝相中），因而实测的平衡压强也相应降低。
平衡压强的公式形式同所用的燃速公式有直接关系。

在前面的推导中，我们采用了$r=a{{p}^{n}}$的指数形式的燃速式，得到了式（7-19）所示的平衡压强。如果采用其它的燃速关系，便得出另外的平衡压强公式。例如，采用燃速关系$r=a+bp$，得到的平衡压强关系式为：

${{p}_{c,eq}}=\frac{a}{\frac{1}{{{\rho }_{p}}c*K}-b}$ （7-21）

如果采用燃速关系 $\frac{1}{r}=\frac{a}{p}+\frac{b}{{{p}^{1/3}}}$，平衡压强为：

${{p}_{c,eq}}={{\left( \frac{{{\rho }_{p}}c*K-a}{b} \right)}^{3/2}}$ （7-22）

这些公式都可以根据燃气生成率与喷管质量流率平衡（${{\dot{m}}_{b}}={{\dot{m}}_{d}}$）的条件，参照前面的步骤导出。

[例7-1]

某固体火箭发动机采用两端包覆的单根管状装药，药柱尺寸为：外径$D=\varphi 93mm$、内径$d=\varphi 14mm$、长度L=300mm。喷管喉径d_t=17.5mm，推进剂燃速$r=0.5125{{p}^{0.66}}\,mm/s$ （注：式中p的单位为kg/cm²）、推进剂密度${{\rho }_{p}}=1.6g/c{{m}^{3}}$、特征速度${{c}^{*}}=1341.2m/s$。

试计算燃烧室的平衡压强。

解：平衡压强的计算可直接应用式（7-19），但要注意各量的应用单位。一般是按照国际单位制（SI制）计算，即：压强取帕（N/m²）、密度取kg/m³、速度取m/s。因此有：

（1）燃速计算公式改写为国际制形式：

$r=0.5125{{p}^{0.66}}\ (mm/s)$ （注：式中p的单位为kg/cm²）

$=0.5125\times {{(1.02\times {{10}^{-5}}p)}^{0.66}}\times {{10}^{-3}}\ (m/s) $

$=2.6024\times {{10}^{-7}}{{p}^{0.66}}\,(m/s) $

（注：式中p的单位为帕）

（2）燃喉比K的计算：

$K=\frac{{{A}_{b}}}{{{A}_{t}}} $

$=\frac{\pi (D+d)L}{\frac{\pi \,{{d}_{t}}^{2}}{4}}=\frac{4(D+d)L}{{{d}_{t}}^{2}} $

$=\frac{4\times (93+14)\times 300}{{{17.5}^{2}}}=419.2653 $

（3）平衡压强计算：

${{p}_{c,eq}}={{({{\rho }_{p}}c*aK)}^{\frac{1}{1-n}}} $

$ ={{(1600\times 1341.2\times 2.6024\times {{10}^{-7}}\times 419.2653)}^{\frac{1}{1-0.66}}} $

$=9.313\times {{10}^{6}}\,(\text{Pa})=9.313\,(\text{MPa)} $

燃喉比K与压强指数n对平衡压强的影响

燃喉比$K=\frac{{{A}_{b}}}{{{A}_{t}}}$是固体火箭发动机的一个重要结构参数。在平衡压强公式（7-19）式中，当推进剂和初温一定时，ρ_p,c*,a和n等都是常数，于是有：

${{p}_{c,eq}}={{({{\rho }_{p}}c*a)}^{\frac{1}{1-n}}}{{K}^{\frac{1}{1-n}}}$=常数$\cdot {{K}^{\frac{1}{1-n}}}$ （7-23）

这就是说，当推进剂和初温一定时，p_c,eq主要取决于K值。实际上，发动机设计中，当推进剂已经选定之后，就是通过选择适当的K值来获得需要的燃烧室压强和推力的。

式（7-23）表明，平衡压强p_c,eq与燃喉比K的1/(1-n)次方成正比。采用n值大的推进剂时，燃烧室压强随燃喉比变化得很厉害。例如，对于n=0.4的推进剂，燃喉比变化10%时，燃烧室压强变化17%，而对于n=0.7的推进剂，则为37%；当n值一定，K值增大，平衡压强也相应升高，如图7-2所示。

图7-2 平衡压强与燃喉比K的关系（n一定）

图7-3 不同n条件下平衡压强与K的关系

由$K={{A}_{b}}/{{A}_{t}}$可以看到，在一定意义上，A_b可以表征燃气的质量生成率${{\dot{m}}_{b}}$，A_t表征燃气经过喷管的质量流率${{\dot{m}}_{d}}$。K值增加，意味着燃气生成率相对于喷管质量流率的增加，需要在更高的压强下才能达到平衡，使平衡压强增加。同样，K值减小，意味着生成率相对于喷管质量流率的减小，平衡压强降低。

下面我们进一步分析压强指数n的影响。

将式（7-23）先取对数再微分，可得：

$\frac{\text{d}{{p}_{c,\,eq}}}{{{p}_{c,\,eq}}}=\frac{1}{1-n}\cdot \frac{\text{d}K}{K}$ （7-24）

式（7-24）表明，当燃喉比K变化时，平衡压强的相对变化量是燃喉比相对变化量的$\frac{1}{1-n}$倍。这里的$\frac{1}{1-n}$相当于放大倍数，当燃速压强指数n从0.2变到0.8时，$\frac{1}{1-n}$从1.25增大到了5。由此可知，燃速压强指数n的大小也反应了平衡压强对燃喉比变化的敏感程度。当K值变化相同时，n值较大的推进剂，平衡压强的变化量也比较大。图7-3是两种推进剂的实验曲线。从图中可以看出，燃速压强指数较大的推进剂（A）对燃喉比K的变化比较敏感。

在发动机工作过程中，如果燃面面积和喉面面积都不变，K和p_c,eq也不随时间变化。但是，当喷管喉部有金属氧化物沉积或发生烧蚀的时候，K和p_c,eq都会发生意外的变化，从而破坏了预设方案中的压强和推力的变化规律。装药的破碎（特别是在工作后期，肉厚变得很薄的时候），一方面使燃面面积增加，另一方面又可能造成喷喉堵塞，这就会引起燃烧室压强急升，甚至导致发动机爆炸。因此，发动机设计中应当采取必要的措施防止上述现象的发生。

装药初温对平衡压强的影响

实验表明，装药初温对平衡压强有很大的影响。对同一发动机来说，初温愈高，平衡压强愈大、工作时间愈短；初温愈低，平衡压强愈低、工作时间愈长。图7-4是一组典型的试验曲线。压强的这种变化必然引起推力产生相应的变化，随着季节环境温度不同，变化的幅度相当大，甚至可以达到额定值的100%。这种变化对整个导弹的战术性能和发动机本身的工作可靠性都有很大的影响。因此发动机设计中，必须考虑环境温度（即装药初温）对压强和推力的影响，同时还要通过高、低温实验确定其实际影响程度。

燃烧室压强随初温变化的主要原因是推进剂燃速随初温度变化，但不是唯一的原因。其它的推进剂特性如c*和ρ_p等也或多或少受初温的影响，使压强有所变化，虽然影响不如燃速变化之大，但仍能在压强的变化上反映出来。

图7-4 p(t)曲线受初温的影响

发动机工作压强随初温的变化用压强的温度敏感系数π_K来表示。它代表在一定的燃喉比K下，初温度变化1℃时，燃烧室压强变化的相对值。即：

${{\pi }_{K}}=\frac{1}{p}{{(\frac{\partial p}{\partial {{T}_{i}}})}_{K}}={{(\frac{\partial \ln p}{\partial {{T}_{i}}})}_{K}}$ （7-25）

下角标K表示燃喉比K为常数。这里的p就取平衡压强，可由$p={{({{\rho }_{p}}{{c}^{*}}aK)}^{\frac{1}{1-n}}}$得：

${{\pi }_{K}}={{(\frac{\partial \ln p}{\partial {{T}_{i}}})}_{K}}=\frac{1}{1-n}\left[ {{(\frac{\partial \ln {{\rho }_{p}}}{\partial {{T}_{i}}})}_{K}}+{{(\frac{\partial \ln c*}{\partial {{T}_{i}}})}_{K}}+{{(\frac{\partial \ln a}{\partial {{T}_{i}}})}_{K}} \right]$ （7-26）

在式（7-26）中，π_K不仅反映了燃速系数a的变化，也包括了推进剂密度和特征速度随温度的变化。

由于初温升高，推进剂体积膨胀，其密度ρ_p会有所减小，可以按照推进剂的线膨胀系数来计算。双基推进剂的线膨胀系数为$1.2\times {{10}^{-4}}\tilde{\ }2\times {{10}^{-4}}{{K}^{-1}}$，复合推进剂的线膨胀系数为$0.5\times {{10}^{-4}}\tilde{\ }1.5\times {{10}^{-4}}{{K}^{-1}}$。在一般情况下，初温影响ρ_p的变化很小，除非进行某些精确计算，通常是可以不考虑的。

特征速度c*随初温的变化而略有变化。初温升高，相当于推进剂进入燃烧前所含的热量有所增加，也就是总焓有所增加，从而提高燃烧温度T_f，使c*增加。通常，T_f的数值是比较大的，约在2500~3500K之间甚至更高，但初温的变化幅度却相对较小，最大幅度在100K以内，且c*又是只随$\sqrt{{{T}_{f}}}$而增大，因此c*随初温变化的相对值也不大。有关的经验数据表明，当推进剂初温变化100K时，lnc*值的变化为0.5~0.75%，即：

\[\frac{\partial \ln c*}{\partial {{T}_{i}}}=\frac{(0.5\tilde{\ }0.75%)}{100}=0.005\tilde{\ }0.0075%\ \ \ {{K}^{-1}}\]

对压强影响最大的是燃速的变化，前面已经定义了在一定压强下燃速的温度敏感系数σ_p为：

${{\sigma }_{p}}={{\left( \frac{\partial \ln r}{\partial {{T}_{i}}} \right)}_{p}}=\frac{\partial \ln a}{\partial {{T}_{i}}}$

如果不计密度ρ_p受初温的影响，可将式（7-26）写为：

${{\pi }_{K}}=\frac{1}{1-n}\left[ {{\sigma }_{p}}+\frac{1}{{{T}_{2}}-{{T}_{1}}}\ln \left( \frac{c_{2}^{*}}{c_{1}^{*}} \right) \right]$ （7-27）

其中$c_{1}^{*}$和$c_{2}^{*}$分别为初温T₁、T=下的特征速度。由于n<1，π_K值比б_p值有所放大，其放大的程度决定于n值的大小。当n较大，接近于1时，放大位数可以很大，即压强受初温的影响比燃速受初温的影响增大很多倍。当然，推力也受同样的影响而增大，这对发动机的性能来说是不利的。只有当n值较小时，增大的程度也小。当n趋近于零时，π_K的数值同б_p值才相差不大，压强的变化与燃速的变化相当，增大倍数很小，是比较可以接受的。因此，为了减小发动机性能受初温变化的影响，不仅要尽量降低推进剂燃速的温度敏感系数，而且要尽量减小燃速的压强指数n，这就是为什么要发展压强指数接近于零的平台推进剂的原因。

π_K的单位是（1/℃），它的数量级为百分之零点几。

除了б_p和π_K以外，还用到另外两个温度敏感系数σ_K和π_p/r。σ_K定义为：

${{\sigma }_{K}}={{\left[ \frac{\partial \ln r}{\partial {{T}_{i}}} \right]}_{K}}$ （7-28）

它表示在发动机中一定的燃喉比下推进剂燃速的温度敏感度，也就是对一台已经做好的发动机，当初温升高1℃时，其推进剂燃速增加的相对值。引用燃速关系式$r=a{{p}^{n}}$，得：

${{\sigma }_{K}}=\left[ \frac{\partial \ln a}{\partial {{T}_{i}}} \right]+n{{\left[ \frac{\partial \ln p}{\partial {{T}_{i}}} \right]}_{K}}={{\sigma }_{p}}+n{{\pi }_{K}}$ （7-29）

由此可见，在一定的发动机中，燃速的温度敏感系数σ_K比其在一定压强下的温度敏感系数σ_p要大得多，因为在发动机中除了初温变化直接引起燃速变化以外，还因初温变化使压强变化，也引起燃速变化，而压强对燃速的影响是比较显著的。

π_p/r定义为：

${{\pi }_{p/r}}={{\left( \frac{\partial \ln p}{\partial {{T}_{i}}} \right)}_{p/r}}$ （7-30）

它表示在一定的p/r值下发动机压强的温度敏感度。也就是保持发动机中p/r值不变，当初温度化1℃时发动机压强变化的相对值。如何保持发动机的p/r值不变？由平衡压强关系，有：

${{\rho }_{p}}{{A}_{b}}r=\frac{p{{A}_{t}}}{c*}$

故得

$\frac{p}{r}={{\rho }_{p}}c*K$ （7-31）

p/r为定值，即${{\rho }_{p}}c*K$为定值。π_p/r就是当${{\rho }_{p}}c*K$为定值时发动机压强的温度敏感系数，因此：

${{\pi }_{p/r}}={{\left( \frac{\partial \ln p}{\partial {{T}_{i}}} \right)}_{p/r}}={{\left[ \frac{\partial \ln {{({{\rho }_{p}}c*aK)}^{\frac{1}{1-n}}}}{\partial {{T}_{i}}} \right]}_{{{\rho }_{p}}{{c}^{*}}K}} $

$=\frac{1}{1-n}\cdot \frac{\partial \ln a}{\partial {{T}_{i}}}=\frac{{{\sigma }_{p}}}{1-n} $

（7-32）

可见π_p/r只是反映了初温对燃速的影响而引起的压强变化，没有考虑ρ_p、c*和K等参数受初温影响而引起的变化。所以，π_p/r和σ_p都只是推进剂的燃速特性，与其它参数无关，而π_K和σ_K则不仅反映了燃速的温度敏感度，同时也反映了其它参数如c*等随初温变化的影响，因而是在一定的发动机中压强和燃速的温度敏感系数。

通过这几个温度敏感系数，当发动机从初温T₁的工作状态过渡到初温T₂工作时，可以利用各初温下的$\ln r-\ln p$图线（图7-5）确定其相应的工作压强和燃速的变化。

图7-5 各种温度敏感系数之间的关系

平衡压强的误差分析和预估

实验表明，按照同一设计图，用同一工艺方法生产的发动机，在相同条件下进行点火热试车时，每次测得的平衡压强都会有所不同。这种随机的变化是推进剂性能及发动机生产工艺参数在一定公差范围内随机变化的结果。

将（7-19）式取对数再微分得

$\frac{\text{d}{{p}_{c,eq}}}{{{p}_{c,eq}}}=\frac{1}{1-n}\left( \frac{\text{d}{{\rho }_{P}}}{{{\rho }_{P}}}+\frac{\text{d}c*}{c*}+\frac{\text{d}a}{a}+\frac{\text{d}K}{K} \right)$ （7-33）

或

$\frac{\Delta {{p}_{c,eq}}}{{{p}_{c,eq}}}=\frac{1}{1-n}\left( \frac{\Delta {{\rho }_{P}}}{{{\rho }_{P}}}+\frac{\Delta c*}{c*}+\frac{\Delta a}{a}+\frac{\Delta K}{K} \right)$ （7-33）＇

而 $\frac{\text{d}K}{K}=\frac{\text{d}{{A}_{b}}}{{{A}_{b}}}-\frac{\text{d}{{A}_{t}}}{{{A}_{t}}}$

式（7-33）或式（7-33）＇说明，平衡压强的变化量取决于装药密度、燃速系数、特征速度和发动机燃喉比的变化，而且燃速压强指数n愈大，它们对平衡压强的影响也愈大。因此，可以将影响平衡压强的因素归纳为以下几个方面：

1）加工公差：装药尺寸和结构零件主要尺寸（如喷管喉径等）都有一定的公差。当实际尺寸在公差范围内变化时，装药燃面A_b和喷管喉径d_t都要相应变化，因而平衡压强也有相应变化。

2）装药性能的偏差：即使是同一配方的推进剂，在不同生产批次中，由于原材料性质、推进剂成份、工艺条件等均允许有一定的偏差，因而各批次装药的性能也不会完全相同。实际上，c*,ρ_p和r等都允许有一定的变动范围，其中燃速的变化特别大。例如双芳镁-1双基推进剂不同批次间的燃速允许变动的范围为r=6.6~8.2毫米/秒（初温20℃，压强65公斤/厘米²）。通常认为燃速压强指数不变，燃速的变化只是燃速系数的变化，于是：

$\frac{\Delta r}{r}=\frac{\Delta a}{a}=\frac{8.2-6.6}{6.6}=24%$

该推进剂压强指数n=0.51，因而燃速变化引起的压强变化为：

$\frac{\Delta {{p}_{c,eq}}}{{{p}_{c,eq}}}=\frac{1}{1-n}\frac{\Delta a}{a}=48%$

显然，这样大的压强变化一定会导致推力发生相应的变化，所以必须采取适当措施加以解决。例如某空空弹发动机就是根据不同批次推进剂的燃速来选配适当的喷管喉径，以削减压强和推力的变化幅度。

3）其它：除了以上两个方面之外，还有一些次要因素，也可能引起平衡压强的变化。例如不同发动机的热防护层特性的变动能引起燃烧室热损失的差异；材料烧蚀程度的不同，则能引起燃烧产物热力特性的变化，这一切都会使c*的实际值彼此有所不同。又如推进剂老化程度的不同，保温条件的差异等，也能使装药燃速发生一定的变化。此外，低温下装药的收缩，点火增压使装药内孔尺寸增大，以及燃烧室壳体的变形等都会影响装药的几何特性。

确定平衡压强（或其它内弹道特性参数）实际值及其随机偏差的最可靠的方法是大量进行全尺寸发动机的热试车试验，然后用统计的方法确定其数学期望值和标准差（或给出置信限及相应的置信度）。但是，这种方法要花费大量人力、物力和时间，尤其不适用于大型发动机。因此人们更加关心如何用理论方法来估评平衡压强或其它性能参数的误差。目前最简单的方法是将所有有关因素ρ_p、a、n、c*、A_b、A_t等的偏差（尺寸公差或性能偏差）加起来，如（7-33）＇式（其中各项均取其绝对值）。这种方法可以估计各种偏差以最不利的方式组合起来所造成的极限误差。第二种方法，也是比较常用的方法，是求各个偏差的均方根值，如：

$\frac{\Delta {{p}_{c,eq}}}{{{p}_{c,eq}}}=\frac{1}{1-n}\sqrt{{{\left( \frac{\Delta a}{a} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{\Delta {{\rho }_{P}}}{{{\rho }_{P}}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{\Delta c*}{c*} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{\Delta K}{K} \right)}^{2}}}$ （7-34）

这种方法给出的是各个偏差以最可能（概率最大）的方式相互组合所产生的误差。第三种方法是统计检验法，经常使用的是所谓Montecarlo法。这种方法较之前两种更为精确，但也更为复杂。

5．平衡压强的稳定性

前面已经指出，平衡压强对应于发动机的平衡状态（${{\dot{m}}_{b}}={{\dot{m}}_{d}}$）。发动机同其它任何一种物理系统一样，它的平衡状态可能是稳定的，也可能是不稳定的。发动机工作过程中，总会有各种各样的偶然因素破坏燃气生成率${{\dot{m}}_{b}}$与喷管质量流率${{\dot{m}}_{d}}$之间的平衡。例如装药中的裂纹、气泡等缺陷都可以导致燃面偶然增大；成份的不均匀也可引起燃速的不规则变化；喷管喉部暂时的局部阻塞则会造成喷管质量流率的短暂变化，等等。以上各种因素都能使燃烧室压强暂时偏离平衡压强而发生压强波动。当这些干扰因素消失后，如果发动机能够自动回到平衡状态，它就是静力学稳定的，相应的平衡压强就是发动机的稳定工作压强。与此相反，如果干扰因素消失之后，燃烧室压强偏离平衡压强愈来愈远，以致造成爆炸或熄火，此平衡压强所对应的就是一种不稳定的平衡状态，发动机不能稳定工作。上述情况可用图7-6表示。

正如前文所述，燃烧室内压强p_c的变化取决于燃气生成率${{\dot{m}}_{b}}$与喷管质量流率${{\dot{m}}_{d}}$的相对关系。图7-7中画出了燃气生成率${{\dot{m}}_{b}}$和流率${{\dot{m}}_{d}}$随燃烧室压强p_c变化的曲线，其中${{\dot{m}}_{d}}=\frac{{{p}_{c}}{{A}_{t}}}{{{c}^{*}}}$，它对p_c的关系是线性关系；而${{\dot{m}}_{b}}={{\rho }_{p}}{{A}_{b}}ap_{c}^{n}$，它对p_c的关系随压强指数的不同而有两种变化趋势，即可以上凸弯曲、也可以下凹弯曲，但均在${{\dot{m}}_{b}}={{\dot{m}}_{d}}$的交点上，对应于平衡压强p_c,eq。那么，设想发动机原来在平衡压强p_c,eq下工作，现因某种偶然因素的暂时扰动，产生了一个微小的压强增量$\Delta {{p}_{c}}$。由于压强的增大，燃气生成率${{\dot{m}}_{b}}$和喷管质量流率${{\dot{m}}_{d}}$发生相应的微量变化$\Delta {{\dot{m}}_{b}}$和$\Delta {{\dot{m}}_{d}}$，它们与压强增量的关系为：

图7-6 平衡压强稳定性示意图

图7-7 燃气生成率和流率随压强的变化

$\Delta {{\dot{m}}_{b}}={{(\frac{\text{d}{{{\dot{m}}}_{b}}}{\text{d}{{p}_{c}}})}_{eq}}\times \Delta {{p}_{c}}$ （7-35）

$\Delta {{\dot{m}}_{d}}={{(\frac{\text{d}{{{\dot{m}}}_{d}}}{\text{d}{{p}_{c}}})}_{eq}}\times \Delta {{p}_{c}}$ （7-36）

很明显，如果：

${{\left( \frac{\text{d}{{{\dot{m}}}_{b}}}{\text{d}\,{{p}_{c}}} \right)}_{eq}}>{{\left( \frac{\text{d}{{{\dot{m}}}_{d}}}{\text{d}\,{{p}_{c}}} \right)}_{eq}}$ （7-37）

则有$\Delta {{\dot{m}}_{b}}>\Delta {{\dot{m}}_{d}}$，即燃气生成率的增量大于喷管质量流率的增量，这将导致燃烧室中的燃气贮存量和燃烧室压强进一步增加，结果是压强扰动的影响愈来愈大，不但不能恢复平衡，而且更加远离平衡。相反，如果：

${{\left( \frac{\text{d}{{{\dot{m}}}_{b}}}{\text{d}\,{{p}_{c}}} \right)}_{eq}}<{{\left( \frac{\text{d}{{{\dot{m}}}_{d}}}{\text{d}\,{{p}_{c}}} \right)}_{eq}}$ （7-38）

则有$\Delta {{\dot{m}}_{b}}<\Delta {{\dot{m}}_{d}}$，即燃气生成率的增量小于喷管质量流率的增量，这将使燃烧室的燃气贮存量和压强都要减小，从而抵消了压强扰动的作用，促使压强回到平衡值，发动机得以继续稳定工作。因此，发动机稳定工作的条件就是（7-38）式。

图7-7中实线所代表的${{\dot{m}}_{b}}$，上凸弯曲，正好满足式（7-38）的条件；而图中虚线所代表的${{\dot{m}}_{b}}$下凹弯曲，满足式（7-37）的条件而不满足式（7-38）的条件，这不仅不能使燃烧室压强恢复到原来的平衡压强，而且越来越远离原来的压强，破坏了发动机的稳定工作。

同样，如果最初的压强扰动是微量减小，即$\Delta {{p}_{c}}$是负的，按照相同的分析方法也可以得到式（7-38）的稳定条件。

现在我们根据发动机这一稳定工作的条件分析稳定工作所需要的推进剂的燃速特性。

由${{\dot{m}}_{b}}={{\rho }_{p}}{{A}_{b}}r$和${{\dot{m}}_{d}}={{p}_{c}}{{A}_{t}}/c*$得：

$\frac{\text{d}{{{\dot{m}}}_{b}}}{\text{d}{{p}_{c}}}={{\rho }_{p}}{{A}_{b}}\frac{\text{d}r}{\text{d}{{p}_{c}}}={{\dot{m}}_{b}}\frac{\text{d}\ln r}{\text{d}{{p}_{c}}}$ （7-39）

$\frac{\text{d}{{{\dot{m}}}_{d}}}{\text{d}{{p}_{c}}}=\frac{{{A}_{t}}}{{{c}^{*}}}\frac{\text{d}{{p}_{c}}}{\text{d}{{p}_{c}}}={{\dot{m}}_{d}}\frac{\text{d}\ln {{p}_{c}}}{\text{d}{{p}_{c}}}$ （7-40）

发动机在平衡状态时，${{\dot{m}}_{b}}={{\dot{m}}_{d}}$，因此，式（7-38）的稳定工作条件可以写为：

$\frac{\text{d}\ln r}{\text{d}{{p}_{c}}}<\frac{\text{d}\ln {{p}_{c}}}{\text{d}{{p}_{c}}}$ （7-41）

或 $\frac{\text{d}\ln r}{\text{d}\ln {{p}_{c}}}<1$ （7-42）

这就是判断发动机静力稳定性时对推进剂燃速特性的要求。

如果燃速用指数式$r=ap_{c}^{n}$表示，有：

$\frac{\text{d}\ln r}{\text{d}\ln {{p}_{c}}}=n$ （7-43）

此时，燃烧室压强静力稳定的条件便是：

n<1 （7-44）

这就是说，推进剂的燃速压强指数n<1时，发动机可以稳定工作；n>1时，发动机不能稳定工作。这一结论还可以从图7-7直接看出，很明显，图中实线所表示的情况（n<1）与稳定性条件（7-38）式一致，而图中虚线所示情况（n>1）则与（7-37）式一致。

事实上，火箭中应用的固体推进剂现有的压强指数通常都在0.2~0.8范围内，都能满足这个要求，其中数值较大的值属于属于快速燃烧的均质燃料，较小的值为异质燃料。

如果燃速用二项式$r=a+bp$表示，稳定工作的条件为：

$a>0 and {{\rho }_{p}}c*Kb<1$ （7-45）

如果燃速关系为 $\frac{1}{r}=\frac{a}{p}+\frac{b}{{{p}^{1/3}}}$，稳定工作条件为：

$\frac{1}{r}>\frac{a}{p}+\frac{b}{3{{p}^{1/3}}}$ （7-46）

这在一般条件下是能满足的，它只要求b>0。

最后还必须指出，式（7-38）仅是判断发动机静力（学）稳定性的准则。n<1只能保证发动机静力（学）稳定，并不能保证发动机内不出现不稳定燃烧现象。实际上，一个静力（学）稳定的系统，动力（学）上很可能是不稳定的。关于不稳定燃烧的问题，请参见第六章。

6．高压下的压强计算

前面在推导式（7-19）的平衡压强公式时，我们将$\varepsilon ={{\rho }_{c}}/{{\rho }_{p}}$当作微量略去不计了。这在压强不高的情况下是允许的。不致引起太大的误差。但若燃烧室在更高的压强下工作，情况就不一样。例如，当p_c=300千克力/厘米²（29.4兆帕）时，对一般推进剂的燃烧产物，其ε值可达2%。在这种情况下，对比较精确的计算，就要求考虑ε的影响，按照$\text{d}{{p}_{c}}/\text{d}t=0$的条件来计算燃烧室压强，就必须用式（7-18）即：

${{p}_{c}}={{({{\rho }_{p}}c*aK)}^{\frac{1}{1-n}}}(1-\frac{\varepsilon }{1-n})$ （7-18）

而 $\varepsilon =\frac{{{p}_{c}}}{{{\rho }_{p}}R{{T}_{f}}}$

代入上式，得

${{p}_{c}}={{({{\rho }_{p}}c*aK)}^{\frac{1}{1-n}}}(1-\frac{{{p}_{c}}}{(1-n){{\rho }_{p}}R{{T}_{f}}})$

解p_c，得

${{p}_{c}}={{({{\rho }_{p}}c*aK)}^{\frac{1}{1-n}}}\frac{1}{1+\frac{({{\rho }_{p}}c*aK)\frac{1}{1-n}}{(1-n){{\rho }_{p}}R{{T}_{f}}}}$ （7-47）

可以近似地写为

${{p}_{c}}={{({{\rho }_{p}}c*aK)}^{\frac{1}{1-n}}}\left[ 1-\frac{1}{1-n}\cdot \frac{{{({{\rho }_{p}}c*aK)}^{\frac{1}{1-n}}}}{{{\rho }_{p}}R{{T}_{f}}} \right]$ （7-48）

式（7-48）同式（7-19）相比，考虑了ε的影响，结果更精确一些，更适于在高压的条件下应用。

如果燃烧室压强更高一些，例如，有的发动机可以达到500千克力/厘米²左右，除了不能略去ε的影响以外，还要考虑对所用的气体状态方程进行修正。在较低压强下工作的燃烧室中，由于燃烧温度较高，燃气密度不大，可以按完全气体来处理。但在很高压强下工作时，燃气已经偏离完全气体，需要采用真实气体的状态方程。一般地说，由于气体压强增大，比容减小，与此比容相比，气体分子所占的体积便不能略而不计，这就需要在状态方程中考虑气体的“余容”。其状态方程修正为：

$p=\frac{\rho }{1-a\rho }RT$ （7-49）

其中a为气体的余容。一般推进剂的燃气可以取a=1厘米³/克。用式（7-49）代替原来采用的完全气体的状态方程式（7-7），可以在很高的压强下进行更精确的压强计算。

§7.3 零维变燃面装药发动机工作压强计算

一、基本方程的变换

实践表明，当采用变燃面装药时，燃喉比也随着燃面的变化而变化，此时发动机工作段的压强不再恒定不变，而是随着燃面的变化，产生相应的变化。零维变燃面装药发动机工作段压强的计算也是从基本方程（7-13）式出发，只是燃面A_b和自由容积V_c都是随时间而变化的，但是它们并不是时间t的单变量函数，还是装药燃去厚度e的函数，而由燃速$r=\frac{\Delta e}{\Delta t}$可知，$\Delta e=r\cdot \Delta t=ap_{c}^{n}\cdot \Delta t$，所以，A_b和V_c实际上都是工作时间t和燃烧室压强p_c的函数。这样一来，就不能用分离变量法从（7-13）式直接导出压强与时间的解析关系。在这种情况下，为了求出p_c~t关系，必须采用数值计算法，将计算分两步进行：第一步先找出p_c~e关系，同时找到r~e关系；第二步根据r~e关系找到e~t关系，进而得出p_c~t曲线。为此，须将基本方程（7-13）式加以变换。按照燃速的定义：

$r=\frac{\text{d}e}{\text{d}\,t}=ap_{c}^{n}$

所以

$\frac{\text{d}{{p}_{c}}}{\text{d}\,t}=\frac{\text{d}{{p}_{c}}}{\text{d}e}\cdot \frac{\text{d}e}{\text{d}\,t}=\frac{\text{d}{{p}_{c}}}{\text{d}e}\cdot ap_{c}^{n}$ （7-50）

将（7-50）代入（7-13）式得：

$\frac{{{V}_{c}}}{{{\Gamma }^{2}}c{{*}^{2}}}\cdot \frac{\text{d}{{p}_{c}}}{\text{d}e}\cdot ap_{c}^{n}={{\rho }_{P}}{{A}_{b}}ap_{c}^{n}-\frac{{{p}_{c}}{{A}_{t}}}{c*}$ （7-51）

或

$\frac{\text{d}{{p}_{c}}}{\text{d}e}=\frac{{{\Gamma }^{2}}c*{{A}_{t}}}{{{V}_{c}}a}\left( \frac{{{\rho }_{P}}{{A}_{b}}ac*}{{{A}_{t}}}-p_{^{c}}^{1-n} \right)$ （7-52）

利用（7-19）式，令：

$\frac{{{\rho }_{P}}{{A}_{b}}c*a}{{{A}_{t}}}=p_{_{c,eq}}^{1-n}$

则得：

$\frac{\text{d}{{p}_{c}}}{\text{d}e}=\frac{{{\Gamma }^{2}}c*{{A}_{t}}}{{{V}_{c}}a}\left( p_{_{c,eq}}^{1-n}-p_{^{c}}^{1-n} \right)$ （7-53）

或：

$p_{^{c}}^{1-n}=p_{c,eq}^{1-n}-\frac{{{V}_{c}}a}{{{\Gamma }^{2}}c*{{A}_{t}}}\frac{\text{d}{{p}_{c}}}{\text{d}e}$ （7-54）

式中p_c,eq称为瞬时平衡压强，其表达式为：

$p_{_{c,eq}}^{{}}={{\left( \frac{{{\rho }_{P}}{{A}_{b}}c*a}{{{A}_{t}}} \right)}^{\frac{1}{1-n}}}={{\left( {{\rho }_{P}}c*aK \right)}^{\frac{1}{1-n}}}$ （7-55）

式（7-55）形式上与等燃面装药发动机的平衡压强计算公式（7-19）完全相同。但因燃面A_b是随时间而变化的，所以，式（7-55）中的p_c,eq也是一个瞬变量，因此称为瞬时平衡压强。前面已经提到，平衡压强是指燃气生成率${{\dot{m}}_{b}}$与喷管质量流率${{\dot{m}}_{d}}$相等、燃气流动处于平衡状态时的燃烧室压强。在等燃面燃烧的情况下，燃面或燃喉比不变，所以平衡压强也不随时间变化，但是在变燃面发动机中，大小不同的燃面面积却对应着不同的平衡压强。对于变燃面发动机，如果在每一瞬时燃气生成率都能与喷管质量流率平衡，那么燃烧室压强就等于和当时燃面面积相对应的平衡压强，这就是瞬时平衡压强的物理本质。既然燃面A_b是燃去厚度e的函数，所以瞬时平衡压强也是e的函数。

式（7-54）表明，在一般情况下，燃烧室压强的瞬时值并不等于瞬时平衡压强，两者之间相差一个与压强变化率有关的修正项。在变燃面发动机中，由于瞬间燃面的改变，使燃烧室内自由容积的充气升压或排气降压都需要一定的时间，即从旧的平衡状态被破坏到建立起另一个新的平衡状态是不能瞬时完成的，因而在一段时间内，燃烧室内实际瞬变压强可能既不等于旧平衡状态下的平衡压强，也不等于新平衡状态下的平衡压强。当燃面面积比较迅速地连续变化时，燃烧室压强便可能始终落后于燃面的变化，任何瞬时都不能达到对应燃面下的瞬时平衡压强。这就是（7-54）式右端出现修正项（右端第二项）的原因。很明显，燃面的变化越快，这种滞后现象越严重，修正项的（绝对）值就越大。对于增面性装药，燃气生成率始终大于喷管质量流率，燃烧室的自由容积不断充气升压，所以$\frac{\text{d}{{p}_{c}}}{\text{d}\,t}>0$（亦即$\frac{\text{d}{{p}_{c}}}{\text{d}e}>0$），同时由于瞬时压强总是落后于燃面的变化，所以${{p}_{c}}<{{p}_{c,eq}}$；对于减面性装药，燃气生成率始终小于喷管质量流率，自由容积不断排气降压，所以$\frac{\text{d}{{p}_{c}}}{\text{d}\,t}<0$（亦即$\frac{\text{d}{{p}_{c}}}{\text{d}e}<0$），又因瞬时压强落后于燃面变化，所以${{p}_{c}}>{{p}_{c,eq}}$。

二、零维变燃面装药发动机工作段压强的计算

实验表明，一般的变燃面装药发动机的燃面变化并不会使燃烧室的瞬时工作压强和瞬时平衡压强有很大的差别，所以，两者的变化率$\frac{\text{d}{{p}_{c}}}{\text{d}e}$和$\frac{\text{d}{{p}_{c,eq}}}{\text{d}e}$也相差不多，大多数情况下仅差一个高阶微量。因此，在用式（7-54）计算时，常用$\frac{\text{d}{{p}_{c,eq}}}{\text{d}e}$去代替$\frac{\text{d}{{p}_{c}}}{\text{d}e}$，从而大大地简化了计算。

我们知道，瞬时平衡压强p_c,eq和燃面A_b都是燃去厚度e的函数，将（7-55）式取对数，再对燃去厚度e微分，在只有燃面变化的条件下得：

$\frac{\text{d}{{p}_{c,eq}}}{{{p}_{c,eq}}\text{d}e}=\frac{1}{1-n}\frac{\text{d}K}{K\text{d}e}$ （7-56）

于是 $\frac{\text{d}{{p}_{c,eq}}}{\text{d}e}=\frac{{{p}_{c,eq}}}{K(1-n)}\frac{\text{d}K}{\text{d}e}$

或 $\frac{\Delta {{p}_{c,eq}}}{\Delta e}=\frac{{{p}_{c,eq}}}{K(1-n)}\frac{\Delta K}{\Delta e}$ （7-57）

这里$K={{A}_{b}}/{{A}_{t}}$为燃喉比，因为A_t为常数，又可写为：

$\frac{\text{d}{{p}_{c,eq}}}{\text{d}e}=\frac{{{p}_{c,eq}}}{{{A}_{b}}(1-n)}\frac{\text{d}{{A}_{b}}}{\text{d}e}$

或 $\ \ \frac{\Delta {{p}_{c,eq}}}{\Delta e}=\frac{{{p}_{c,eq}}}{{{A}_{b}}(1-n)}\frac{\Delta {{A}_{b}}}{\Delta e}$ （7-58）

在变燃面发动机计算中，利用（7-55）式可以计算出瞬时平衡压强p_c,eq与燃去肉厚的关系，即对应于一定的燃烧肉厚，有其相应的p_c,eq、K和$\Delta K/\Delta e$（也可以是p_c,eq、A_b和ΔA_b\∆e），这样就可以由式（7-57）或（7-58）计算出相应的∆p_c,eq/∆e值，将$\Delta {{p}_{c,eq}}/\Delta e$当做$\Delta {{p}_{c}}/\Delta e$值，用公式：

$p_{c}^{1-n}=p_{c,eq}^{1-n}-\frac{{{V}_{c}}a}{c*{{\Gamma }^{2}}{{A}_{t}}}\frac{\Delta {{p}_{c,eq}}}{\Delta e}$ （7-59）

对相应的燃烧室工作压强进行修正，求得更精确的p_c~e的关系。再与e~t的关系联立，就可以确定更精确的p_c~t关系了。详细的计算过程见例题[7-2]。

应该说，式（7-59）用∆p_c,eq/∆e代替式（7-54）中的∆p_c/∆e（即式中的dp_c/de）来修正p_c，原则上是有一定误差的。为消除此误差，可以进行迭代计算，即由式（7-59）求得p_c，再按照p_c~e关系确定每一相应e上的∆p_c/∆e，以此作为dp_c/de代入式（7-54），再修正p_c，这样反复迭代，直至达到必要的精度。实际上，在一般情况下由于∆p_c,eq与p_c已很接近，用∆p_c,eq/∆e代替式（7-54）中的∆p_c/∆e进行一次修正即已能满足一般的计算要求。

在燃面变化不大的情况下，对燃烧室工作压强的修正项$\frac{{{V}_{c}}a}{c*{{\Gamma }^{2}}{{A}_{t}}}\frac{\text{d}{{p}_{c}}}{\text{d}e}$的数值相对很小，应用瞬时平衡压强修正法，就能得到比较满意的结果。所以在发动机设计中，常常应用瞬时平衡压强修正法对p_c~t曲线进行初步计算。具体的计算步骤如下：

1．将装药总的燃烧肉厚E等分为n段，每个微元燃烧肉厚为$\Delta e=\frac{E}{n}$。由此得到燃去肉厚e（自变量）的n+1个值，组成如下的序列：$0{{,}^{{}}}{{e}_{1}}{{,}^{{}}}{{e}_{2}}\ldots \ldots {{e}_{i}}\ldots \ldots {{e}_{n}}$，同时计算出$\Delta {{e}_{1}}{{,}^{{}}}\Delta {{e}_{2}}\ldots \ldots \Delta {{e}_{i}}\ldots \ldots \Delta {{e}_{n}}$，这里$\Delta {{e}_{i}}={{e}_{i}}-{{e}_{i-1}}$。

2．计算对应于每个燃去肉厚的燃烧面积A_bi值：${{A}_{b0}}{{,}^{{}}}{{A}_{b1}}{{,}^{{}}}{{A}_{b2}}\ldots \ldots {{A}_{bi}}\ldots \ldots {{A}_{bn}}$。

3．利用式（7-55）计算对应于相应燃面的瞬时平衡压强值及$\Delta {{p}_{c,eqi}}$值：

${{p}_{c,eq0}},{{p}_{c,eq1}},p{}_{c,eq2}\ldots {{p}_{c,eqi}}\ldots {{p}_{c,eqn}}$、 $\Delta {{p}_{c,eq1}},\Delta p{}_{c,eq2}\ldots \ldots \Delta {{p}_{c,eqi}}\ldots \ldots \Delta {{p}_{c,eqn}}$

4．计算对应于每个燃去肉厚的燃烧室自由容积：${{V}_{c,0}},{{V}_{c,1}},{{V}_{c,2}}\ldots \ldots {{V}_{c,i}}\ldots \ldots {{V}_{c,n}}$。

5．计算（7-59）式中对应于每个燃去肉厚的修正项${{\left( \Delta {{p}_{c,eq}}/\Delta e \right)}_{i}}$，

（注：${{\left( \Delta {{p}_{c,eq}}/\Delta e \right)}_{i}}\approx {{\left( \Delta {{p}_{c}}/\Delta e \right)}_{i}}$）。

6．按（7-59）式计算对应于每个燃烧肉厚的燃烧室工作压强${{p}_{c,i}}$：

$p_{c,i}^{1-n}=p_{c,eq,i}^{1-n}-\frac{{{V}_{c}}a}{c*{{\Gamma }^{2}}{{A}_{t}}}{{\left( \frac{\Delta {{p}_{c,eq}}}{\Delta e} \right)}_{i}}$

7．计算相邻两点（相邻两个燃烧厚度之间）的燃烧室工作压强的平均值${{\bar{p}}_{c,i}}$：

${{\bar{p}}_{c,i}}=\frac{{{p}_{c,i}}+{{p}_{c,i-1}}}{2}$

8．根据各燃去肉厚段的平均压强${{\bar{p}}_{c,i}}$计算对应于燃去肉厚的燃速${{r}_{i}}$：${{r}_{i}}=a\bar{p}_{c,i}^{n}$。

9．计算各燃去肉厚段的燃烧时间$\Delta {{t}_{i}}$：$\Delta {{t}_{i}}=\frac{\Delta {{e}_{i}}}{{{r}_{i}}}$。

10．计算燃去总燃烧肉厚E的燃烧时间t_b：${{t}_{b}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\Delta {{t}_{i}}}$。

[例7-2]

已知：某固体火箭助推器的原始数据如下：

燃烧室筒段内径D_ci=96mm、筒段装药可占用长度L_ci=340mm，喷管喉径d_t=17.7mm，装药采用SQ-2单根管状药，药柱D/d-L为：∅ 93/∅ 14-330mm，全表面燃烧。初温T_i=20℃时的推进剂燃速r=0.5125p^0.66mm/s（注：式中p的单位为kg/cm²）、推进剂密度ρ_p=1.6kg/cm³、比热比k=1.252、定压燃烧温度T_f=2193.2K、燃气平均分子量$\bar{m}$=23.4kg/mol，助推器点火压强p_ig=2MPa。

求该助推器在初温T_i=20℃时工作段的p_c~t曲线。

解：全表面燃烧的管状装药的燃烧面积随发动机的工作时间是逐渐减小的，且$J=\frac{{{A}_{t}}}{{{A}_{p}}}=\frac{{{d}_{t}}^{2}}{({{D}_{ci}}^{2}-{{D}^{2}})+{{d}^{2}}}=0.41<0.5$，故可按零维变燃烧面的情况进行计算。因此有：

（1）常量计算：

燃烧室初始自由容积：

${{V}_{ci}}=\frac{\pi {{D}_{ci}}^{2}}{4}\times {{L}_{ci}}-\frac{\pi ({{D}^{2}}-{{d}^{2}})}{4}\times L $

$ =\frac{3.14\times {{96}^{2}}}{4}\times 340-\frac{3.14\times ({{93}^{2}}-{{14}^{2}})}{4}\times 330 $

$=270000.75$mm³

$=2.7\times {{10}^{-4}}$m³

装药初始燃烧面积：

${A}_{bi}=\pi (D+d)L+2\times \frac{\pi ({{D}^{2}}-{{d}^{2}})}{4} $

$ =3.14\times (93+14)\times 330+2\times \frac{3.14\times ({{93}^{2}}-{{14}^{2}})}{4} $

$=124144.61$mm²

$=0.1241$ m²

装药总燃烧肉厚： $E=\frac{D-d}{4}=\frac{93-14}{4}=19.75$ (mm)

喷喉面积：

${{A}_{t}}=\frac{\pi }{4}d_{t}^{2} $

$=\frac{3.14}{4}\times {{17.7}^{2}}=245.933\quad (m{{m}^{2}})=2.46\times {{10}^{-4}}\ ({{m}^{2}}) $

Г值：

$\Gamma =\sqrt{k}{{\left( \frac{2}{k+1} \right)}^{\frac{k+1}{2\left( k-1 \right)}}} $

$=\sqrt{1.252}\times {{\left( \frac{2}{1.252+1} \right)}^{\frac{1.252+1}{2\times \left( 1.252-1 \right)}}}=0.6584 $

特征速度：

$c*=\frac{\sqrt{R{{T}_{f}}}}{\Gamma }=\frac{\sqrt{\frac{8.314\times {{10}^{3}}}{23.4}\times 2193.2}}{0.6584}=1340.75\ (m/s)$

燃速公式改写为国际制：

$r=0.5125{{p}^{0.66}}\ (mm/s)$ （注：式中的单位为kg/cm²）

$=0.5125\times {{(1.02\times {{10}^{-5}}p)}^{0.66}}\times {{10}^{-3}}\ (m/s) $

$=2.6024\times {{10}^{-7}}{{p}^{0.66}}\,(m/s) $

（注：式中的单位为帕）

（2）工作段p~t曲线计算：

装药燃去厚度为e时的燃烧面积计算：

$ {{A}_{b}}=\pi (D-2e+d+2e)(L-2e)+2\pi \left[ \frac{{{(D-2e)}^{2}}}{4}-\frac{{{(d+2e)}^{2}}}{4} \right] $

$={{A}_{bi}}-4\pi (D+d)e $

$=0.1241-1.344e\quad ({{m}^{2}}) $

装药燃去厚度为e时燃烧室自由容积：

${{V}_{c}}={{V}_{ci}}+\left\{ \frac{\pi ({{D}^{2}}-{{d}^{2}})}{4}L-\frac{\pi \left[ {{(D-2e)}^{2}}-{{(d+2e)}^{2}} \right]}{4}\left( l-2e \right) \right\} $

$={{V}_{ci}}+\pi e(D+d)\left[ (L-2e)+\frac{1}{2}(D-d) \right] $

$=2.7\times {{10}^{-4}}+3.14e\left( 0.093+0.014 \right)\left[ \left( 0.330-2e \right)+\frac{1}{2}\left( 0.093-0.014 \right) \right] $

$=2.7\times {{10}^{-4}}+0.1242e-0.672{{e}^{2}}\quad ({{m}^{3}}) $

利用式（7-55）计算瞬时平衡压强：

${{p}_{c,eq}}={{({{\rho }_{p}}c*a\frac{{{A}_{b}}}{{{A}_{t}}})}^{\frac{1}{1-n}}} $

$={{(1600\times 1340.75\times 2.6024\times {{10}^{-7}}\times \frac{{{A}_{b}}}{2.46\times {{10}^{-4}}})}^{\frac{1}{1-0.66}}} $

$={{(2269.38{{A}_{b}})}^{2.9412}}\quad (\text{Pa}) $

$={{(2269.38{{A}_{b}})}^{2.9412}}\times {{10}^{-6}}\quad (\text{MPa}) $

修正量： $\frac{\text{d}{{p}_{c}}}{\text{d}e}\approx \frac{\Delta {{p}_{c,eq}}}{\Delta e}$

利用式（7-59）计算燃烧室压强：

$p_{c}^{1-n}=p_{c,eq}^{1-n}-\frac{{{V}_{c}}a}{c*{{\Gamma }^{2}}{{A}_{t}}}\cdot \frac{\Delta {{p}_{c,eq}}}{\Delta e} $

$=p_{c,eq}^{1-n}-\frac{2.6024\times {{10}^{-7}}}{1340.75\times {{0.6584}^{2}}\times 2.46\times {{10}^{-4}}}\times {{V}_{c}}\cdot \frac{\Delta {{p}_{c,eq}}}{\Delta e} $

$=p_{c,eq}^{1-n}-1.82\times {{10}^{-6}}\times {{V}_{c}}\cdot \frac{\Delta {{p}_{c,eq}}}{\Delta e}\quad (\text{Pa}) $

${{p}_{c}}={{\left[ p_{c,eq}^{1-n}-1.82\times {{10}^{-6}}\times {{V}_{c}}\cdot \frac{\Delta {{p}_{c,eq}}}{\Delta e} \right]}^{\frac{1}{1-n}}}\quad (\text{Pa})$

燃烧时间计算：

药柱燃去$\Delta {{e}_{i}}$厚度时的燃烧时间$\Delta {{t}_{i}}$：

$\Delta {{t}_{i}}=\frac{\Delta {{e}_{i}}}{{{{\bar{r}}}_{i}}}=\frac{\Delta {{e}_{i}}}{a\bar{p}_{ci}^{n}}=\frac{\Delta {{e}_{i}}}{2.6024\times {{10}^{-7}}{{\left[ \left( {{p}_{c(i-1)}}+{{p}_{ci}} \right)/2 \right]}^{0.66}}}$

药柱烧去肉厚e时的燃烧时间t： $t=\int_{\,0}^{\,e}{\frac{\text{d}e}{r}\approx \sum{\frac{\Delta {{e}_{i}}}{{{{\bar{r}}}_{i}}}=\sum{\Delta {{t}_{i}}}}}$

药柱烧去全部肉厚E时的燃烧时间t_b： ${{t}_{b}}=\int_{\,0}^{\,E}{\frac{\text{d}e}{r}\approx \sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{\Delta {{e}_{i}}}{{{{\bar{r}}}_{i}}}}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\Delta {{t}_{i}}}$

关于微元燃烧距离∆e_i的划分，为计算方便起见，可以将装药总的燃烧肉厚划分为若干相等的或不相等的∆e_i。∆e_i愈小，计算的精度愈高，但计算的工作量却相应增加。在压强变化比较显著的期间（如压强建立过程），为了提高计算精度，其∆e_i应相对取小一些。

按照上述的步骤和公式，例题[7-2]的计算列表如表7-1。将计算结果绘成图线便是图7-8中的工作段。

图7-8 计算曲线和试验曲线的比较

表7-1 例题[7-2]的计算列表

e_i×10^-3（m）		0	1.975	3.95	5.925	7.9	9.875	11.85	13.825	15.8	17.775	19.75
Δe_i×10^-3（m）		1.975	1.975	1.975	1.975	1.975	1.975	1.975	1.975	1.975	1.975	1.975
A_b（m²）		0.1241	0.1214	0.1188	0.1161	0.1135	0.1108	0.1082	0.1055	0.1029	0.1002	0.09756
V_c×10^-3（m³）		0.27	0.513	0.75	0.982	1.21	1.43	1.65	1.86	2.06	2.27	2.46
K=A_b/A_t		504.47	493.50	482.93	471.95	461.38	450.41	439.84	428.86	418.29	407.32	396.59
p_c,eq×10⁶（Pa）		16.03	15.05	14.10	13.19	12.32	11.50	10.70	9.95	9.23	8.55	7.899
的第一次近似	∆p_c,eqi×10⁶（Pa）		-0.98	-0.95	-0.91	-0.87	-0.82	-0.8	-0.75	-0.72	-0.68	-0.651
	$\frac{\Delta {{p}_{c.eqi}}}{\Delta {{e}_{i}}}\times {{10}^{9}}$（Pa/m）	0	-0.50	-0.48	-0.46	-0.44	-0.42	-0.40	-0.38	-0.36	-0.35	-0.33
	${{p}_{c}}^{(1)}\times {{10}^{6}}$（Pa）	16.03	15.12	14.20	13.31	12.46	11.64	10.86	10.11	9.39	8.71	8.05
	$\left( {{p}_{c}}^{(1)}-{{p}_{c,eq}} \right)/{{p}_{c,eq}}$		0.0047	0.0071	0.0091	0.011	0.012	0.015	0.016	0.017	0.019	0.0191
的第二次近似	$\Delta {{p}_{ci}}^{(1)}\times {{10}^{6}}$（Pa）		-0.91	-0.92	-0.89	-0.85	-0.82	-0.78	-0.75	-0.72	-0.68	-0.66
	$\frac{\Delta {{p}_{ci}}^{(1)}}{\Delta {{e}_{i}}}\times {{10}^{9}}$（Pa/m）	0	-0.46	-0.47	-0.45	-0.43	–0.42	-0.39	-0.38	-0.36	-0.34	-0.33
	${{p}_{c}}^{(2)}\times {{10}^{6}}$（Pa）	16.03	15.12	14.20	13.31	12.455	11.65	10.85	10.11	9.39	8.71	8.06
	$\left( {{p}_{c}}^{(2)}-{{p}_{c}}^{(2)} \right)/{{p}_{c}}^{(1)}$		0	0	0	-0.000401	0.00086	-0.00092	0	0	0	0.00124
$r=ap_{c}^{n}$（m/s）		0.0148	0.0143	0.0137	0.0131	0.0125	0.0120	0.01145	0.01093	0.01041	0.0099	0.00941
${{\bar{r}}_{i}}$（m/s）			0.01455	0.014	0.0134	0.0128	0.0123	0.0117	0.0112	0.0107	0.0106	0.0097
$\Delta {{t}_{i}}=\Delta {{e}_{i}}/{{\bar{r}}_{i}}$（s）			0.136	0.141	0.147	0.154	0.161	0.1684	0.1765	0.1851	0.1945	0.2046
$t={{\sum{\Delta t}}_{i}}$（s）		0	0.136	0.277	0.424	0.578	0.739	0.9074	1.0839	1.269	1.4635	1.668

注：在第二次近似迭代计算中,计算公式与第一次近似迭代计算公式一样,只是把公式中的$\Delta {{p}_{c,eq}}/\Delta e$用$\Delta {{p}_{c}}^{(1)}/\Delta e$替代即可.由表7-1可见,本例中前后两次近似迭代计算出的压强值已非常接近,故可结束计算.

§7.4 固体火箭发动机点火过程及压强上升段的计算

固体火箭发动机根据操作指挥人员或某种自动控制装置发出的点火指令而开始工作。点火指令信号先使发动机点火器的发火系统起动工作，发火系统再点燃能量释放系统，形成两级点火，能量输出逐级放大，产生足以保证点燃主推进剂装药所需的高温燃烧产物，并通过热传导、对流、辐射以及其中灼热质点对主装药表面的撞击等方式将热量传递给推进剂，使装药表面温度升高到着火温度，产生燃烧火焰。如果点火正常，则主装药燃烧将能自持稳定地延续下去。

点火是发动机开始工作的第一步，点火过程的完善程度对发动机工作有重要影响。下面我们将就点火器、点火过程及其相应的压强上升段计算三个问题进行讨论。

一、点火器

点火器的形式与结构随发动机和推进剂装药不同而有很大的差异，一般点火器可分为发火系统和能量释放系统两个基本部分。

1．发火系统

发火系统含有发火药，发火药产生的热量，用来点燃能量释放系统的点火药。发火药的成分，视激发发火系统工作的外加能源种类而不同。目前普遍使用的激发发火系统工作的能源是电能，当按下发射接钮时，电流便由点火电源通过埋在发火药中的、有一定电阻的细金属丝，使金属丝发热。因此，此时发火药主要成分是热敏药，如三硝基苯间二酚铅等。发火系统的激发能源也可能使用机械能（机械撞击）、化学能（两种化学物质的化学反应）、冲击波或激光束等，这时发火药也相应地包含对上述能量敏感的物质。

2．能量释放系统

能量释放系统的主体是点火药。点火药靠发火药点燃，然后再用来点燃发动机的推进剂主装药。点火药的种类和型号规格繁多，大致可以分为三类：黑火药、烟火剂和复合推进剂。

早期的固体火箭，多采用黑火药作为点火药。现代黑火药的成分包含木炭、硫和硝酸钾，大体上仍沿袭中国古代发明黑火药时所采用的配方。对于双基推进剂来说，一般使用黑火药就可满足点火要求。含铝复合推进剂要求能量更高的点火药，因此普遍采用由金属粉（铝、镁、锆、硼等）和氧化剂（过氯酸钾、硝酸钾、聚四氟乙烯等）组成的烟火剂点火药，它们加上少量粘结剂混和后经过造粒或压成药片使用，点火药颗粒尺寸越大，则燃烧时间越长。

烟火剂或黑火药的药盒式点火器在小型固体火箭发动机上广泛使用，而在现代大、中型固体火箭发动机上多采用点火发动机式点火器，其中点火药为专供点火用的复合推进剂，这时点火器如同一个小型固体火箭发动机的燃烧室。燃烧产物经由定向喷孔喷出，用来点燃发动机的主装药。由于要求在极短的点火时间内产生大量点火药燃烧产物，所以点火发动机通常采用高燃速、薄肉厚、大燃面的星型内孔或轮辐形内孔推进剂装药。点火发动机式点火器的性能可用燃烧产物流率、总流量、工作时间、燃烧产物温度、凝相微粒含量以及热流密度的空间分布等参数来表示。

二、固体火箭发动机的点火起动过程

发动机的起动过程就是依靠点火器点燃主装药，使燃烧室压强不断升高，并趋近工作段的平衡压强，在主装药转入稳定燃烧的同时，发动机也进入稳定工作状态。全部起动过程大致可划分成以下几个阶段：

1．预备阶段

从发出点火指令、接通点火器发火系统的电路开始，到点火器开始向燃烧室内腔排出燃烧产物为止。这一阶段所需时间称为点火器的发火延迟和能量释放延迟时间。

2．点火药燃烧产物在燃烧室自由容积中的传播

点火器向燃烧室内排出的燃烧产物首先充满燃烧室空腔、然后向喷管端流动，同时排挤和压缩燃烧室内原有的冷空气。点火药燃烧所产生的压缩波则以更高的速度（音速）传播，达到喷管端即发生反射。在特定条件下，压缩波有可能发展成激波。被排挤到喷管端的空气压强上升到一定程度，喷管堵盖被推开，空气开始外流，同时有一个稀疏波向燃烧室头部端传播。由此不难看出，这一阶段的流场是相当复杂的。另一方面，如果点火器放在主装药通道内部或尾部（即喷管端），流场还可能具有明显的不均匀性，其特征与点火器的具体结构有关。

3．主装药的加热和点燃

点火药燃烧产物流过装药表面时，即以对流、辐射、炽热颗粒的直接接触、撞击等方式加热主装药。由于起动过程流场的非定常性、不均匀性以及边界层结构沿轴向的变化等，主装药表面各部分的受热状态很不一样，所以主装药表面各点的点燃有先后之分。当表面某点首先达到点火临界温度时，主装药即在该点首先点燃，并转入下一阶段。

4．装药表面的火焰传播

主装药表面局部点燃之后，主装药的燃烧产物与点火药的燃烧产物共同对主装药加热，使主装药表面其余部分先后点燃，这就是装药表面的火焰传播过程。在这个过程中，装药表面上方燃气的流动状态以及装药表面的受热状态都有很大的变化。这是因为：

（1）装药点燃之后即向药柱通道喷注燃气，这必然要引起装药表面边界层结构的变化（相对于装药未点燃之前）。边界层结构的变化，作为一种微小扰动，将在火焰前锋的前面以音速传播，从而改变了对流换热特性。

（2）装药燃烧产物和点火药燃烧产物的混合燃气以大于火焰传播的速度运动，从而增强了对未燃表面的加热。

（3）已燃部分将不断产生压缩波，它们以音速传播和反射，从而使流场参数及加热条件不断变化。

5．燃烧室自由容积的充填过程

当主装药表面局部点燃出现火焰、火焰沿主装药表面向药柱头尾部传播，致使主装药表面全部点燃，并产生大量的燃气充填燃烧室内的自由容积，使燃烧室内的压强升高且压强上升率也增大，这些又都促使装药燃速增加。因此，在各因素的综合影响下，发动机点火起动阶段的压强上升率是很高的，可达10²~10⁴兆帕/秒。从主装药表面局部点燃到主装药表面全部点燃所需要的时间称为主装药点火延迟时间。

固体火箭发动机点火的成败和好坏通常用点火延迟时间t_ID来衡量。点火延迟时间的基本定义是：从发出点火指令、施加外部激励开始，到确认装药全部表面已点燃的瞬时，所经历的时间。由此可见，点火延迟时间由点火器的发火延迟、能量释放延迟和主装药点火延迟组成。点火过程的物理化学过程及点火延迟时间示意如图7-9和7-10所示。

为了确保主装药的可靠点火和加快发动机的起动过程，一般均使点火药略有富裕，所以在主装药表面全部点燃之后，仍有一部分剩余的点火药继续燃烧。点火药的燃烧产物与主装药的燃烧产物互相混合，一部分从喷管流出一部分充填燃烧室，使室内压强不断上升。这时，剩余点火药量及点火药的粒度对燃烧室内的充填过程、整个发动机起动过程的压强瞬变特性都有重大的影响。图7-11表示几种典型的点火过程压强上升曲线。曲线1表示点火药过少、点火压强过低，点火药的能量不足，因而点火失败（也可能发生反常燃烧现象）；曲线2表示点火药略嫌不足，发生了点火延迟现象；曲线3代表正常情况；曲线4说明点火药粒度太细、燃烧时间过短，不能与装药的点火及火焰传播过程恰当匹配，因而造成了点火初始压强峰和随后的下凹现象；曲线5表示点火药量过多，以致造成严重的点火压强峰。发动机设计要求在各种工作条件下（例如低温或低压下）主装药都能可靠点火，发动机可在规定时期内进入稳定的工作状态，既不产生过大的点火压强峰，更不能过多地延迟发火或点不着火。

图7-9 固体推进剂点火的物理化学过程

图7-10 点火延迟时间示意图

图7-11 不同点火过程压强变化的比较

发动机点火起动过程中以上各个阶段的划分带有任意性，其目的只是为了便于描述起动过程。实际上，以上所说各个阶段并不能截然分开，各阶段是相互重叠，同时进行的。

三、点火起动段压强建立过程的工程计算

由以上所述可知，发动机点火起动过程包含多种物理、化学变化，燃烧室内燃气流动状态相当复杂，并且随时都在变化。很明显，为了尽可能真实的反映点火过程的细节，必须考虑燃气流动的非定常性、非稳态的热交换和质量交换过程、火焰传播、侵蚀效应、压强瞬变对燃速的影响以及燃气温度的瞬态变化等等，且在起动过程中的不同阶段，装药表面的边界条件还将有所不同，因此，必须用一组考虑各种因素后的偏微分方程来描述点火起动过程。目前，借助计算机技术，用数值法求解点火过程的偏微分方程组并不是十分困难的事情，而实际的困难在于对起动过程中的许多物理、化学过程了解不足，无法精确描述这些过程、严格地确定边界条件，因而在精确计算中不得不引入各种简化假设和经验关系式。不过随着对点火过程逐步深入的了解和计算技术的进一步发展，精确计算点火过程将愈加有可能。

目前，点火起动段压强建立过程的工程计算法均假设主装药点火（包播火焰传播等）是瞬时完成的，压强计算可从点火压强开始，从而避开了点火药燃气流动及主装药点火的过程。同时还假定所有燃气参数在整个燃烧室自由容积中都是均匀一致的，这样便将实际中的多维流动问题简化成为零维流动问题。经过这样的简化，计算困难将大大减少。应当强调指出的是，这种工程简化计算方法不能反映真实的点火过程的详细情况，有一定的工程计算缺陷。下面介绍一种简单的点火起动段压强建立过程的工程计算法。

计算中假设：

1．装药点火瞬时完成，这时的燃烧室内压强为点火压强p_ig。点火压强须根据实验或某些经验式确定。根据这一假设，压强建立过程计算的初始条件应为：t=0,p_c=p_ig。

2．主装药点燃后，压强上升很快，燃烧室的自由容积和燃面来不及发生明显的变化，因而可以认为发动机燃烧室的自由容积和燃喉比均保持不变，为初始值，即V_c=V_ci,K=K₀，为常数。

3．点火起动过程的压强瞬变为等温过程，因而c*或C_D为常数。

4．没有剩余点火药。

由上述假设条件不难看出，此时的压强建立过程的计算实际上已被简化为燃烧室充填过程的计算。

根据以上假设，从压强计算的基本方程（7-13）式可以得到：

$\frac{\text{d}{{p}_{c}}}{\text{d}\,t}=\frac{{{\Gamma }_{2}}c*{{A}_{t}}}{{{V}_{ci}}}\left( {{\rho }_{P}}c*a{{K}_{0}}p_{c}^{n}-{{p}_{c}} \right)$ （7-60）

分离变量进行积分：

$\int_{\,\ 0}^{\ t}{\text{d}\,t=\frac{{{V}_{ci}}}{{{\Gamma }^{2}}c*{{A}_{t}}}}\int_{\,{{p}_{ig}}}^{\,{{p}_{c}}}{\frac{\text{d}{{p}_{c}}}{{{\rho }_{P}}ac*{{K}_{0}}p_{c}^{n}-{{p}_{c}}}}$ （7-61）

积分结果为：

$t=\frac{{{V}_{ci}}}{{{\Gamma }^{2}}c*{{A}_{t}}}\int_{\ {{p}_{ig}}}^{\ {{p}_{c}}}{\frac{1}{1-n}\cdot }\frac{-p_{c}^{n}\text{d}({{\rho }_{P}}c*a{{K}_{0}}-p_{^{c}}^{1-n})}{p_{^{c}}^{n}({{\rho }_{P}}c*a{{K}_{0}}-p_{^{c}}^{1-n})}$

$={{\frac{1}{1-n}}^{{}}}\frac{{{V}_{ci}}}{{{\Gamma }^{2}}c*{{A}_{t}}}\left[ -\ln ({{\rho }_{P}}c*a{{K}_{0}}-p_{^{c}}^{1-n}) \right]_{\ {{p}_{ig}}}^{\ {{p}_{c}}}$

$={{\frac{1}{1-n}}^{{}}}\frac{{{V}_{ci}}}{{{\Gamma }^{2}}c*{{A}_{t}}}\ln \left( \frac{{{\rho }_{P}}c*a{{K}_{0}}-{{p}_{ig}}^{1-n}}{{{\rho }_{P}}c*a{{K}_{0}}-p_{^{c}}^{1-n}} \right)$ （7-62）

式（7-62）给出了压强建立过程中燃烧室内瞬时压强p_c和时间t的关系。此式只适宜于给出p_c去计算对应的时间t，并在p_c~t图上描绘出压强上升曲线。为了便于给出t去计算对应的p_c，必须进行适当变换。令：

${{\rho }_{P}}c*a{{K}_{0}}=p_{_{c,eq}}^{1-n}$

及

$\tau =\frac{1}{1-n}\cdot \frac{{{V}_{ci}}}{{{\Gamma }^{2}}c*{{A}_{t}}}$ （7-63）

则（7-62）式可简化为：

$t=\tau \ln \frac{p_{c,eq}^{1-n}-p_{ig}^{1-n}}{p_{c,eq}^{1-n}-p_{c}^{1-n}}$ （7-64）

改写成指数形式：

$\frac{p_{_{c,eq}}^{1-n}-p_{_{ig}}^{1-n}}{p_{_{c,eq}}^{1-n}-p_{^{c}}^{1-n}}={{e}^{\frac{t}{\tau }}}$ （7-65）

或：

$p_{c}^{1-n}=p_{c,eq}^{1-n}-(p_{c,eq}^{1-n}-p_{ig}^{1-n}){{e}^{-\frac{t}{\tau }}}$ （7-66）

最后得：

${{\left( \frac{{{p}_{c}}}{{{p}_{c,eq}}} \right)}^{1-n}}=1-\left[ 1-{{(\frac{{{p}_{ig}}}{{{p}_{c,eq}}})}^{1-n}} \right]{{e}^{-\frac{t}{\tau }}}$ （7-67）

或

${{\left( \frac{{{p}_{c}}}{{{p}_{c,}}_{eq}} \right)}^{1-n}}=1-c{{e}^{-\frac{t}{\tau }}}$ （7-68）

式中，$c=1-{{\left( \frac{{{p}_{ig}}}{{{p}_{c,eq}}} \right)}^{1-n}}$。

四、压强建立过程中瞬变压强的变化特征

式（7-68）直接给出了压强p_c与时间t的关系。很明显，若p_ig<p_c,eq，则c>0，随着的增长，燃烧室压强将从点火压力p_ig开始按指数关系不断上升，理论上，当t趋于无穷大时，p_c趋于p_c,eq，所以平衡压强也叫做极限压强；如果点火压强高于平衡压强，即p_ig>p_c,eq，则c<0，燃烧室压强将随着时间的增长而不断下降，理论上，当t→∞时，p_c→p_c,eq。上述两种变化情况示于图7-12。由此可知，从非平衡压强过渡到平衡压强需要一定的时间而不能瞬时完成。从理论上讲，燃烧室压强要经过无限长时间才能达到平衡压强，但在实际上，就一般发动机的装填条件来说，燃烧室压强变化很快，只需百分之几秒或十分之几秒就能上升到平衡压强的95~98%，此时，燃烧室内的实际压强与平衡压强的差别已经很小，故可以认为燃烧室压强实际上已经达到平衡压强。因此经常用压强达到平衡压强的95%所需时间来衡量压强上升的快慢。

从式（7-68）不难看出，影响压强变化过程的各个因素都包含在参数c和τ中。c值实际上取决初始点火压强p_ig与平衡压强p_c,eq之差。显然，压强差越大，则c值越大，过渡过程所需时间也越长；参数τ具有时间的量钢，其大小主要取决于燃烧室的初始自由容积V_ci和喷管喉部面积A_t，或发动机的装填密度，所以τ是发动机的特征时间。很明显，燃烧室初始自由容积（或L*）越大，则特征时间τ越长，压强变化就越慢。换言之，若发动机装填密度比较小，充填自由容积或从自由容积排出多余气体都需要更长的时间。

在工程上经常用发动机的点火延迟时间来衡量起动过程的快慢。显然，点火延迟时间越短、起动越迅速，发动机能更快地进入稳定工作状态。为了缩短点火延迟时间，一方面要改进点火器的设计或加大点火药量，以提高点火压强；另一方面也可通过增大发动机装填密度，安装喷管堵盖等措施来增大压强上升的速率。

图7-12 压强建立过程中瞬变压强的变化特征

§7.5 固体火箭发动机熄火过程及压强下降段的计算

一、熄火过程概述

固体火箭发动机根据应用场合的不同，有两种熄火情况。

1．自行熄火

所谓自行熄火，就是主装药燃尽后发动机自动熄火、工作结束。对大多数战术导弹来说，如果不是要求在主动段击中目标，则发动机熄火一般是在推进剂主装药燃尽后自行熄火。

2．强迫熄火

所谓强迫熄火，就是在主装药燃尽前采取一些强迫措施使发动机熄火而结束工作。例如，弹道式战略导弹为了保证弹头命中目标常常需要适时终止发动机推力；航天用火箭发动机，为了使航天飞行器准确进入预定轨道，都要求火箭发动机在主动段工作的终点具有预定的速度向量，为此，常常在火箭发动机头部装置加速度积分仪作为测定速度的传感器，当飞行器达到规定的速度向量时发出信号，适时终止发动机的推力作用，等。推力终止首先要使火箭发动机迅速熄火、不再产生推力，同时要使飞行器与火箭发动机强行分离，即使发动机有某些剩余推力，仍不致于作用在飞行器上，以免干扰飞行器的预定弹道。因此，为了适时终止正在工作的火箭发动机的推力，常采用强迫熄火。

强迫熄火常用的方法有：

采用反推力装置。

在发动机头部设置若干个反向喷管，发动机正常工作时，它们都被密封堵住，一旦需要终止推力时，就将它们突然打开。这时，产生反向推力使发动机与弹头脱离。

打开反向喷管时，发动机燃烧室压强突然降低。突然降压使气相密度减小，火焰与推进剂表面距离增大，减小了温度梯度，因而减小了由火焰传向表面的热流密度。另一方面，压强降低使气相反应速率减小，造成气相反应区增厚，也使温度梯度减小。上面两个因素结合在一起，当降压率达到一定值时，便造成熄火。

对于复合推进剂来说，由于氧化剂与燃料成分的分解速率对表面热流密度变化的敏感程度不同，当突然降压时，就引起气相混合比暂时变化，一般是变成更富燃的，因而火焰温度显著下降。这反过来又使表面所接受的热流密度减少，造成恶性循环，导致迅速熄火。

试验证明，当燃烧室内压强变化率$dp/dt$超过某一临界值时，装药便能可靠熄火。每一种推进剂有其特定的临界压强下降率，它也与熄火前的燃烧室压强值有关，熄火前燃烧室压强越高，临界压强下降率也越大。例如，某一种复合推进剂，当燃烧室压强为$3.75\times {{10}^{6}}$帕时，

临界压强下降率${{\left( -\frac{\text{d}p}{\text{d}\,t} \right)}_{cr}}=5.1\times {{10}^{6}}$帕/秒。

2）喷射阻燃剂

阻燃剂可以采用液体（如水）、固体（如碳酸氢铵粉末）或气体（如氮气）。向推进剂主装药表面喷射阻燃剂时，阻燃剂升温、气化要吸收热量，从而降低了装药表面温度和燃气温度；阻燃剂本身以及它所产生的气体，阻挡了燃气向装药表面的热量传递，也使装药表面温度降低，因此使推进剂装药分解速率及火焰温度降低，进而造成燃烧室压强急剧下降，导致发动机强迫熄火。

选择阻燃剂时要求阻燃剂的热容和气化热都大，以便减少阻燃剂消耗量。喷射阻燃剂强迫熄火法的缺点是需要在飞行器上装置阻燃剂系统，其中包括贮箱和喷注器等，增加了结构复杂性和重量。

无论是自行熄火还是强迫熄火，在熄火后都有一段发动机燃烧室内燃烧产物向外排出的过程，这时压强和推力持续下降，形成压强–时间曲线和推力–时间曲线的下降段（亦称拖尾段）。在下降段中推力所产生的冲量，叫做后效冲量。后效冲量的大小及偏差影响弹道精度，也影响级间的分离（包括弹头与末级发动机的分离）。级间分离通常要求推力在大约10~20毫秒内终止，因此要求后效冲量应小。采用反推力喷管就是减小后效冲量的一个办法。

二、压强下降段的计算

自行熄火或强迫熄火使发动机工作结束以后的压强下降过程可能有两种不同的情况：

第一种情况是主装药不产生余药（如主装药完全燃尽的自行熄火或强迫熄火后主装药不再燃烧的情况等），此时发动机熄火后，燃面和燃气生成率突然变为零，只有通过喷管向外界排放燃气的过程。那么随着燃烧室内燃气贮存量的减少、燃气不断膨胀，燃烧室压强将迅速下降到环境压强，发动机推力也相应地下降到零。

第二种情况是对于自行熄火的发动机，主装药基本燃烧结束以后，还有少量余药继续燃烧。因为余药的燃面和燃气生成率本来不大，而且还要随时间迅速减小，所以燃烧室压强和推力仍要快速下降。

不论哪种情况，压强和推力的消失都需要一定的时间，因此这一阶段的推力仍可产生一定的后效冲量。一般来讲，后效冲量数值不大，仅占总冲量的很小一部分，对常规的发动机可能并不起重要作用，不过在要求严格控制发动机工作结束时导弹的最大速度或级间分离的情况下，不能不考虑后效冲量的作用。于是，下降段的压强和推力的计算便成为一个不可缺少的步骤了。

在发动机工作的下降段，喷管质量流率${{\dot{m}}_{d}}$大于燃气生成率${{\dot{m}}_{b}}$，压强以一定速率下降，在下降过程中，燃气与发动机壁面之间存在传热、燃气与喷管壁之间以及燃气分子之间存在摩擦、对于某些药型的装药来说往往还有余药的燃烧甚至包覆层的燃烧，等等。因此压强下降过程是一个复杂的膨胀过程。为了计算下降段的压强，经常见到的有两种处理方法：

一种方法是把压强下降过程近似看作为等温膨胀过程。按等温膨胀过程处理时，认为燃烧室内燃气在膨胀过程中温度保持不变。例如，燃烧室内有余药燃烧的排气过程，虽然余药的燃烧面比工作段中主装药的燃烧面要小得多，但是余药的燃烧不断产生高温燃气，多少弥补了燃烧室内燃气在喷管膨胀过程中温度的下降，所以近似地看作是等温膨胀。

另一种方法是把压强下降过程近似看作是绝热膨胀过程。按绝热膨胀过程处理时，认为下降段压强降低的速率很快，膨胀过程进行时间很短，燃气与外界的热交换往往可以忽略不计，这时按绝热膨胀过程处理更接近于实际。例如，对于燃烧室内没有余药或余药很少的情况，或者对于快速熄火的情况，等等。

等温膨胀和绝热膨胀是两种理想的极限情况，实际过程必然处于中间状态。下面分别说明这两种计算方法。

按等温膨胀计算下降段压强

在等温膨胀条件下，燃气温度不变，则流率系数C_D或特征速率c*可以看作常数，基本方程（7-13）式则可以用于压强下降段的计算。此时，装药燃面A_b=0，燃烧室自由容积V_c为常数并近似地等于整个燃烧室的容积，于是（7-13）式简化为：

$\frac{\text{d}{{p}_{c}}}{\text{d}\,t}=-\frac{{{\Gamma }^{2}}c*}{{{V}_{c}}}{{p}_{c}}{{A}_{t}}$ （7-69）

分离变量并积分（7-69）式：

$\int_{\,0}^{\,t}{\text{d}\,t}=-\frac{{{V}_{c}}}{{{\Gamma }^{2}}c*{{A}_{t}}}\cdot \int_{{{p}_{c,eq}}}^{{{p}_{c}}}{\frac{\text{d}{{p}_{c}}}{{{p}_{c}}}}$ （7-70）

得：

$t=\frac{{{V}_{c}}}{{{\Gamma }^{2}}c*{{A}_{t}}}\ln \frac{{{p}_{c,eq}}}{{{p}_{c}}}$ （7-71）

式（7-71）表明，压强下降段的p_c~t曲线是一条指数曲线。式中的p_c,eq为装药燃烧结束时刻对应的燃烧室压强，其数值可以从工作段的计算中得到。

按绝热等熵膨胀计算下降段压强

在绝热等熵膨胀的情况下，燃气温度T是不断下降的，由于流率系数C_D或特征速度c*与温度有关，因此T、C_D和c*都是时间的函数。基本方程（7-13）式不再适用，必须用质量守恒方程（7-1）、状态方程（7-7）、容积变化率方程（7-5）和等熵关系式（代替能量方程）导出压强计算公式。

令：A_b=0，V_c=常数，于是质量守恒方程（7-1）式简化为：

${{V}_{c}}\frac{\text{d}{{\rho }_{c}}}{\text{d}\,t}=-\frac{\Gamma }{\sqrt{RT}}{{A}_{t}}{{p}_{c}}$ （7-72）

绝热膨胀过程中，${{p}_{c}}/\rho _{c}^{k}$=常量。设燃烧室内装药燃烧结束时（即熄火时）燃气的压强为p_c,eq、密度为ρ_c,eq，它们的数值都可以从工作段的计算中得到，在这里作为已知数，因此有：

${{\rho }_{c}}={{\rho }_{c,eq}}{{\left( \frac{{{p}_{c}}}{{{p}_{c,eq}}} \right)}^{1/k}}$

上式两边对时间t微分得：

$\frac{\text{d}{{\rho }_{c}}}{\text{d}\,t}=\frac{{{\rho }_{c,eq}}}{kp_{c,eq}^{1/k}}{{p}_{c}}^{\frac{1-k}{k}}\frac{\text{d}{{p}_{c}}}{\text{d}\,t}$

代入式（7-72）得：

$\frac{{{V}_{c}}{{\rho }_{c,eq}}}{kp_{c,eq}^{1/k}}{{p}_{c}}^{\frac{1-k}{k}}\frac{\text{d}{{p}_{c}}}{\text{d}\,t}=-\frac{\Gamma {{A}_{t}}{{p}_{c}}}{\sqrt{RT}}$ （7-73）

由状态方程：

$RT=\frac{{{p}_{c}}}{{{\rho }_{c}}}=\frac{{{p}_{c}}}{{{\rho }_{c,eq}}{{\left( \frac{{{p}_{c}}}{{{p}_{c,eq}}} \right)}^{1/k}}}=\frac{p_{c,eq}^{1/k}}{{{\rho }_{c,eq}}}{{p}_{c}}^{1-\frac{1}{k}}$

代入式（7-73）得：

$\frac{{{V}_{c}}{{\rho }_{c,eq}}}{kp_{c,eq}^{1/k}}{{p}_{c}}^{\frac{1-k}{k}}\frac{\text{d}{{p}_{c}}}{\text{d}\,t}=-\Gamma {{A}_{t}}\frac{\rho _{c,eq}^{1/2}}{p_{c,eq}^{1/2k}}{{p}_{c}}^{\frac{k+1}{2k}}$ （7-74）

整理式（7-74）并分离变量得：

$\text{d}\,t=-\frac{{{V}_{c}}}{k\Gamma {{A}_{t}}}\frac{\rho _{c,eq}^{1/2}}{p_{c,eq}^{1/2k}}{{p}_{c}}^{\frac{1-2k}{2k}}\text{d}{{p}_{c}}$

从燃烧结束瞬间算起，进行积分：

$\int_{\ 0}^{\ t}{\text{d}\,t=\int_{\ {{p}_{c,eq}}}^{\ {{p}_{c}}}{-\frac{{{V}_{c}}}{k\Gamma {{A}_{t}}}\frac{\rho _{c,eq}^{1/2}}{p_{c,eq}^{1/2k}}{{p}_{c}}^{\frac{1-2k}{2k}}\text{d}{{p}_{c}}}}$

可得：

$t=\frac{2{{V}_{c}}}{(k-1)\Gamma {{A}_{t}}\sqrt{R{{T}_{f}}}}\left[ {{\left( \frac{{{p}_{c}}}{{{p}_{c,eq}}} \right)}^{\frac{1-k}{2k}}}-1 \right]$ （7-75）

由式（7-75）解出p_c，得：

${{p}_{c}}={{p}_{c,eq}}{{\left[ \frac{2{{V}_{c}}}{2{{V}_{c}}+\Gamma \sqrt{R{{T}_{f}}}{{A}_{t}}(k-1)t} \right]}^{\frac{2k}{k-1}}}$ （7-76）

式（7-76）就是燃烧结束以后，按照绝热膨胀条件所得到的燃烧室压强随时间变化的关系式。严格讲，（7-71）和（7-75）式只适用于喷管超临界流动的情况，因为其中引用了超音速流动的流量公式，而在压强下降过程中，喷管中的燃气流动从超临界流动过渡到亚临界流动。因此，式（7-71）和式（7-75）只适用于当${{p}_{a}}/{{p}_{c}}\le {{\left[ 2/\left( k+1 \right) \right]}^{k/\left( k-1 \right)}}$的情况，当p_c下降到使${{p}_{a}}/{{p}_{c}}>{{[2/(k+1)]}^{k/(k-1)}}$时，喷管中的流动全是亚声速，这时必须用亚声速流率关系式来计算流率。但是，实际上在压强下降过程中，绝大部分时间喷管是在超临界状态下工作，只有当p_c下降到约为2p_a（p_a为环境压强）以下时才会出现亚临界状态，这段时间很短，对整个发动机性能影响很小，可以不加考虑。

以上两种方法相比，由于（7-75）式考虑了温度的下降，所以燃烧室压强下降得更快一些。但总的来说，两者差别不大。

[例7-3]

完成[例7-2]中的压强上升段和下降段的计算

解：1．压强上升段的计算

将已知数据：${{p}_{ig}}=2\ \text{MPa}$

${{V}_{ci}}=2.7\times {{10}^{-4}}\ {{m}^{3}}$

${{K}_{0}}=\frac{{{A}_{bi}}}{{{A}_{t}}}=\frac{0.1241}{2.46\times {{10}^{-4}}}=504.47$

代入（7-62）式可得：

$t=\frac{1}{1-n}\frac{{{V}_{ci}}}{{{\Gamma }^{2}}c*{{A}_{t}}}\ln \left[ \frac{{{\rho }_{P}}c*a{{K}_{0}}-{{p}_{ig}}^{1-n}}{{{\rho }_{P}}c*a{{K}_{0}}-p_{c}^{1-n}} \right]$

$=\frac{1}{1-0.66}\cdot \frac{2.7\times {{10}^{-4}}}{{{0.6584}^{2}}\times 1340.75\times 2.46\times {{10}^{-4}}}\times $ $\ln \left[ \frac{1340.75\times 1600\times 2.6024\times {{10}^{-7}}\times 504.47-{{\left( 2\times {{10}^{6}} \right)}^{1-0.66}}}{1340.75\times 1600\times 2.6024\times {{10}^{-7}}\times 504.47-p_{^{c}}^{1-0.66}} \right]$

$=0.0055542\ln \frac{142.84}{281.62-p_{c}^{0.34}}$

压强上升段的计算结果如下表7-2所示。

表7-2 压强上升段计算结果

压强

（MPa）

上升

时间（s）

0.0009

0.0017

0.0024

0.0032

0.0040

0.0049

0.0068

0.0094

0.0134

0.035

2．压强下降段的计算

已知数据${{V}_{ci}}=2.46\times {{10}^{-3}}\ {{m}^{3}}$；

${{p}_{c,eq}}=8.06\times {{10}^{6}}$ Pa

1）按等温膨胀过程计算：

据公式（7-75）得：

$t=\frac{{{V}_{c}}}{\text{ c*}{{\Gamma }^{\text{2}}}{{\text{A}}_{\text{t}}}}\ln \frac{{{p}_{c,eq}}}{{{p}_{c}}}$

$=\frac{2.46\times {{10}^{-3}}}{{{0.6584}^{2}}\times 1340.75\times 2.46\times {{10}^{-4}}}\ln \frac{8.06\times {{10}^{6}}}{{{p}_{c}}}$

$=0.0172\ln \frac{8.06\times {{10}^{6}}}{{{p}_{c}}}$

等温膨胀的压强下降段的计算结果如下表7-3所示。

表7-3 等温膨胀压强下降段计算结果

压强（MPa）	8	6	4	2	1
下降时间（s）	0.000129	0.00508	0.0121	0.02397	0.03589

2）按绝热膨胀过程计算

据公式（7-75）得

$t=\frac{2{{V}_{c}}}{(k-1)\Gamma {{A}_{t}}\sqrt{R{{T}_{f}}}}\left[ {{\left( \frac{{{p}_{c}}}{{{p}_{c,eq}}} \right)}^{\frac{1-k}{2k}}}-1 \right]$

$=\frac{2\times 2.46\times {{10}^{-3}}}{(1.252-1)\times 0.6584\times 2.46\times {{10}^{-4}}\times \sqrt{\frac{8.31\times 103}{23.4}\times 2193.2}}$

$\times \left[ {{\left( \frac{{{p}_{c}}}{8.06\times {{10}^{6}}} \right)}^{\frac{1-1.252}{2\times 1.252}}}-1 \right]$

$=0.1366\left[ {{\left( \frac{{{p}_{c}}}{8.06\times {{10}^{6}}} \right)}^{-0.10064}}-1 \right]$

绝热膨胀的压强下降段的计算结果如下表7-4所示。

表7-4 绝热膨胀压强下降段计算结果

压强（MPa）	8	6	4	2	1
下降时间（s）	0.0001028	0.004118	0.00998	0.02057	0.03192

可见按绝热膨胀过程计算比按等温过程计算，p_c~t曲线下降得快一点。将上升段和下降段分别加在[例题7-2]计算的工作段的前、后，即可得到完整的、发动机点火起动至工作结束时的p_c~t曲线（参见图7-8）。

§7.6 一维侧面燃烧装药发动机内弹道学

7.2~§7.5节所介绍的压强计算方法适用于装填密度比较小的侧面燃烧装药发动机或端面燃烧装药发动机。这些发动机的特点是燃烧室中平行于装药燃烧表面的燃气流速很小或没有平行于装药燃烧表面的燃气流动，燃气参数沿装药通道长度方向无显著变化，可以不计燃气流动和侵蚀燃烧的影响，因而可按零维问题处理。但是随着发动机性能的日益提高、发动机的体积装填密度越来越大而使装药通道横截面积越来越小，燃气在通道中被强烈加速，所有燃气参数沿装药通道长度方向都要发生明显的变化。其中燃气静压下降和高速燃气流的侵蚀效应将引起装药燃速的变化、滞止参数的下降则要改变喷管的流量，等等，这一切当然都要影响到发动机的内弹道特性，所以此类发动机的压强计算必须考虑装药通道中的燃气流场分布。严格说来，发动机燃烧室自由容积中的燃气流场都是三维的，但在工程计算中一般都将其简化为一维问题处理。因此本节将首先讨论燃气参数沿装药通道轴向变化的规律，然后再介绍一维侧面燃烧装药发动机内弹道学的基本方程。

一、侧面燃烧装药通道中燃气流动与燃烧的特点

对于如图7-13所示的固体火箭发动机而言，燃气在装药通道中的流动可以作为《气体动力学》上的一维加质管流问题处理（而对于液体火箭发动机则可看作加热管流问题）。由于沿着装药通道不断地有燃烧生成的燃气加入，从通道的头部到喷管一端的出口截面，燃气流速不断增大，且随着气流速度的增加，不仅燃气的静压要相应的下降，总压也有所下降，相应的气流参数都在沿通道长度方向变化，图7-13就是气流速度和压强沿装药通道长度方向变化的情况。这就不再是零维问题，通常都作为一维问题来研究。

在侧面燃烧过程中，由于平行于燃烧表面的气流速度和压强的影响，整个燃烧表面上燃速的变化就显得比较复杂。就以装药燃烧表面的燃速沿通道长度方向的变化来说，由于气流速度沿通道长度方向逐渐增大，影响燃速也沿通道长度方向增大（即出现侵蚀燃烧现象）；而由于压强沿通道长度方向逐渐下降，又影响燃速沿通道方向减小。由此可见，沿装药通道长度方向，燃气流速和压强相互矛盾地影响着燃烧表面的燃烧速度。也就是说，在离装药头部（1-1截面）某一距离的截面上，燃气静压强总是小于p₁，而燃速却可能小于或大于1-1截面处的燃速，这取决于燃气静压降低使燃速减小占优势还是侵蚀燃烧使燃速增大占优势。图7-13中的实线表示没有侵蚀燃烧时通道内燃气静压强和流速沿通道长度的变化，虚线则为存在侵蚀燃烧时参数的变化。实际情况表明，在大多数情况下，燃速受侵蚀燃烧影响而增加是主要的，压强下降对燃速的影响并不显著。

图7-13 气流速度、压强沿装药通道分布

图7-14 具有初始压强峰的p-t曲线

在一般情况下，装药末端L-L与喷管入口截面c-c是不相重合的，且在装药末端L-L上可能装有固定装药的挡药板，因此，在L-c段上燃气压强和流速都有变化，这起初是因气流突然膨胀引起的，以后则与气流流入喷管产生收缩有关。

为了确定通道内燃速的总的变化，就必须对通道内气流参数的分布规律作出定量的分析，这就是燃气流动对燃烧的影响。另一方面，燃速变化，也就是表征着单位时间内装药表面燃烧加入的燃气质量的变化，它直接影响通道中的燃气流动，首先是影响燃烧室装药通道内燃气的压强及其分布。因此，一般地讲，装药通道中的燃气流动和燃烧表面的燃烧是相互影响的，在燃烧室压强计算中必须综合考虑燃气流动引起的整个燃烧表面上的燃速变化。

在发动机工作过程中，装药燃烧使通道横截面积随工作时间不断扩大，气流速度则随工作时间减小，气流速度对压强分布的影响和侵蚀燃烧对燃速的影响都因之而随工作时间变化。在发动机工作的初始燃烧阶段，装药通道的横截面积最小，气流速度较大，侵蚀燃烧的影响在这时比较突出。侵蚀燃烧使发动机工作起始阶段的燃速加大、压强升高，形成初始压强峰；随着装药的燃烧，装药通道横截面积的不断加大，气流速度相对减小，侵蚀燃烧的影响也逐渐减小，以致消失，燃烧室压强便从初始压强峰下降到没有侵蚀燃烧影响的平衡压强上来。图7-14就是一个等燃面的侧面燃烧装药发动机由于侵蚀燃烧而形成的典型的p_c~t曲线。

二、一维侧面燃烧装药发动机内弹道计算的基本方程

综上所述，侧面燃烧装药发动机燃烧室中的气流参数，既是空间的函数，又随工作时间变化。关于气流参数在空间的分布，在大多数情况下，最显著的变化是燃气流动沿装药长度方向（即发动机轴向）加速和燃速沿长度方向的变化，或者装药通道横截面积沿通道长度变化而引起的气流参数沿装药长度方向的变化，等等，因而常把它当作一维问题来处理；关于气流参数随工作时间的变化，首先是由于装药燃烧使通道横截面积随时间而增大，或者装药燃烧面积在发动机工作过程中随时间变化（即变燃面发动机），或者还有其他随时间变化的因素。总之，大多数侧面燃烧装药发动机的内弹道计算都可以按一维非定常过程来处理。

现在根据质量、动量和能量守恒的基本原理来推导一维侧面燃烧装药发动机内弹道计算的基本方程。

在装药通道上截取一段微元体，如图7-15所示。并假设：

1．装药通道同一横截面上的气流参数是均匀的，气流在装药通道中是一维流动。当通道曲率不大时，这样假设是允许的。

2．燃气遵循完全气体定律。

3．推进剂的燃烧限于燃烧表面附近很薄的气相层内，其作用就是加入焓为H_p的燃气质量。

4．忽略加入质量的轴向动量分量。

图7-15 推进剂装药通道微元体

设气流的压强、密度、温度和速度分别用p、ρ、T和u表示，通道横截面积用A_p表示，气体内能用E表示，则在所取的装药通道微元体内，经过时间间隔∆t，微元体内燃气质量、动量和能量的变化分别为：

$\frac{\partial }{\partial t}(\rho {{A}_{p}}\Delta x)\Delta t$

$\ \frac{\partial }{\partial t}(\rho \,u{{A}_{p}}\Delta x)\Delta t$

和 $\frac{\partial }{\partial t}\left[ \rho {{A}_{p}}(\frac{{{u}^{2}}}{2}+E)\Delta x \right]\Delta t$

导致装药通道微元体中燃气质量、动量和能量变化的原因，首先是由于进入微元体的燃气与流出微元体的燃气在质量、动量和能量上的差额。就动量来说，如果不计摩擦，还包括作用在微元体各边界面上轴向压强冲量的代数和。就能量来说，还包括微元体各边界面上压力功的代数和，以及由于燃烧而加入燃气的能量。现分别分析产生这些变化的因素：

1．在∆t时间内，进入微元体左边界（参见图7-15）的燃气质量、动量和能量分别为：

$\rho \,u{{A}_{p}}\Delta t$

$\rho \,{{u}^{2}}{{A}_{p}}\Delta t$

和 $\ \rho \,u{{A}_{p}}\left( \frac{{{u}^{2}}}{2}+E \right)\ \Delta t$

在微元体左边界截面上压强p的冲量为$p{{A}_{p}}\Delta t$，上游燃气对微元体所作的流动功为$pu{{A}_{p}}\Delta t$。

2．在时间内，从微元体右边界流出的燃气质量，动量和能量分别为：

$\rho \,u{{A}_{p}}\Delta t+\frac{\partial }{\partial x}(\rho \,u{{A}_{p}})\Delta x\Delta t$

$\rho \,{{u}^{2}}{{A}_{p}}\Delta t+\frac{\partial }{\partial x}(\rho \,{{u}^{2}}{{A}_{p}})\Delta x\Delta t$

和 $\rho \,u{{A}_{p}}\left( \frac{{{u}^{2}}}{2}+E \right)\Delta t+\frac{\partial }{\partial x}\left[ \rho \,u{{A}_{p}}\left( \frac{{{u}^{2}}}{2}+E \right)\Delta x \right]\Delta t$

在微元体右边界截面上压强p的冲量为 $-\left[ p{{A}_{p}}\Delta t+\frac{\partial }{\partial x}(p{{A}_{p}})\Delta x\Delta t \right]$

所作的流动功为 $-\left[ pu{{A}_{p}}\Delta t+\frac{\partial }{\partial x}(pu{{A}_{p}})\Delta x\Delta t \right]$。

3．设推进剂装药的密度、燃速、焓和燃烧表面积分别以ρ_p、r、H_p和A_b表示，则在∆t时间内，由装药通道表面进入微元体的燃气质量和能量分别为：

${{\rho }_{p}}r\frac{\partial {{A}_{b}}}{\partial x}\Delta x\Delta t$

和 ${{\rho }_{p}}r\frac{\partial {{A}_{b}}}{\partial x}{{H}_{p}}\Delta x\Delta t$

沿着通道表面分布的压强p在x轴方向上的冲量为 $p\frac{\partial {{A}_{p}}}{\partial x}\Delta x\Delta t$。

综上所述，可写出微元体内燃气质量、动量和能量的守恒方程如下：

$\frac{\partial }{\partial t}(\rho {{A}_{p}}\Delta x)\Delta t=-\frac{\partial }{\partial x}(\rho \,u{{A}_{p}})\Delta x\Delta t+{{\rho }_{p}}r\frac{\partial {{A}_{b}}}{\partial x}\Delta x\Delta t$

$\frac{\partial }{\partial t}(\rho \,u{{A}_{p}}\Delta x)\Delta t=-\frac{\partial }{\partial x}(\rho \,{{u}^{2}}{{A}_{p}})\Delta x\Delta t-\frac{\partial }{\partial x}(p{{A}_{p}})\Delta x\Delta t+p\frac{\partial {{A}_{p}}}{\partial x}\Delta x\Delta t$

和 $\frac{\partial }{\partial t}\left[ \rho {{A}_{p}}\left( \frac{{{u}^{2}}}{2}+E \right)\Delta x \right]\Delta t=-\frac{\partial }{\partial x}\left[ \rho \,u{{A}_{p}}\left( \frac{{{u}^{2}}}{2}+E \right)\Delta x \right]\Delta t $

$-\frac{\partial }{\partial x}(pu{{A}_{p}})\Delta x\Delta t+{{\rho }_{p}}r\frac{\partial {{A}_{b}}}{\partial x}{{H}_{p}}\Delta x\Delta t $

整理以上三式得：

质量方程 $\frac{\partial }{\partial t}(\rho {{A}_{p}})+\frac{\partial }{\partial x}(\rho \,u{{A}_{p}})={{\rho }_{p}}r\frac{\partial {{A}_{b}}}{\partial x}$ （7-77）

动量方程 $\frac{\partial }{\partial t}(\rho \,u{{A}_{p}})+\frac{\partial }{\partial x}(\rho \,{{u}^{2}}{{A}_{p}}+p{{A}_{p}})=p\frac{\partial {{A}_{p}}}{\partial x}$ （7-78）

能量方程

$\frac{\partial }{\partial \,t}\left[ \rho {{A}_{p}}\left( \frac{{{u}^{2}}}{2}+E \right) \right]+\frac{\partial }{\partial x}\left[ \rho \,u{{A}_{p}}\left( \frac{{{u}^{2}}}{2}+H \right) \right]={{\rho }_{p}}r\frac{\partial {{A}_{b}}}{\partial x}{{H}_{p}}$ （7-79）

式中 $H=E+\frac{p}{\rho }={{c}_{p}}T=\frac{k}{k-1}$RT是燃烧产物的焓。

除了上面三个方程以外，还应增加气体的状态方程

$p=\rho RT$ （7-80）

上述方程式中出现的燃速r由推进剂燃速特性给定： $r=f(p,u)$

A_b和A_p则由装药几何结构和已燃去的肉厚e（$e=\int_{\,0}^{\,t}{rdt}$）来确定，而且A_p与A_b的变化保持一定的几何关系。在∆t时间内，推进剂装药已燃去的肉厚为r∆t，设燃烧周界长度为П，则∆t时间内通道横截面积扩大：

$\frac{\partial {{A}_{b}}}{\partial t}\Delta t=\Pi r\Delta t$

因燃烧周界长度： $\Pi =\frac{\partial {{A}_{b}}}{\partial x}$

故得：

$\frac{\partial {{A}_{P}}}{\partial t}=r\frac{\partial {{A}_{b}}}{\partial x}=r\Pi $ （7-81）

此外，ρ_p、k、c_p等为给定的推进剂常数。这样，式（7-77）至式（7-80）等四个方程就组成了一维侧面燃烧装药发动机内弹道计算的基本方程，未知量为p、u、ρ和T，自变量为x和t。方程式的数量同未知量的数量相等，方程组是封闭的，只要给出适当的边界条件和初始条件，原则上就可以解出各未知量随x和t的变化。因此，这个方程组描述了燃气在燃烧室装药通道中的一维非定常流动。

三、一维非定常基本方程组简化为准定常方程组的条件

表征燃烧室中燃气在装药通道内流动的一维偏微分方程组式（7-77）至式（7-80），给出适当的边界条件和初始条件后，原则上就可以用数值方法求解，但计算过程是很繁琐的。而根据固体火箭发动机内弹道性能的特点（参见图7-1），即压强的上升和下降段虽然具有典型的非定常性，但时间很短（毫秒级）；工作段的参数随时间的变化较为平稳，因此，如能略去发动机工作段中的自变量t，则上述方程就可由偏微分方程组简化成常微分方程组，且这种转化不至于给内弹道计算带来较大的计算误差，因此转化是有条件的。下面就来分析可以由偏微分方程组简化成常微分方程组的条件。

为简化问题，先研究装药通道横截面积沿轴向不变（即等截面通道A_p=常数）和通道侧面没有质量加入（即r=0，同时利用几何燃烧方程$\frac{\partial {{A}_{p}}}{\partial t}=r\frac{\partial {{A}_{b}}}{\partial x}$可推出$\frac{\partial {{A}_{p}}}{\partial t}=0$）的情况，这时质量方程（7-77）及动量方程（7-78）变为：

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\rho \frac{\partial \,u}{\partial x}+u\frac{\partial \rho }{\partial x}=0 $

$ \rho \frac{\partial \,u}{\partial t}+u\frac{\partial \rho }{\partial t}+\frac{\partial (\rho \,{{u}^{2}})}{\partial x}+\frac{\partial \,p}{\partial x}=0 $

将以上方程改写成与时间间隔∆t相应的有限增量形式为：

$\frac{\Delta \rho }{\Delta t}+\rho \frac{\Delta u}{\Delta x}+u\frac{\Delta \rho }{\Delta x}=0 $

$\rho \frac{\Delta u}{\Delta t}+u\frac{\Delta \rho }{\Delta t}+\frac{\Delta (\rho \,{{u}^{2}})}{\Delta x}+\frac{\Delta p}{\Delta x}=0 $

若要略去以上方程中的$\Delta \rho /\Delta t\rho \Delta u/\Delta t$和$u\Delta \rho /\Delta t$等与时间相关的项，则必须满足以下要求：

（1）$\frac{\Delta \rho }{\Delta t}<<\frac{\rho \Delta u}{\Delta x}$；（2）$\frac{\Delta \rho }{\Delta t}<<\frac{u\Delta \rho }{\Delta x}$；

（3）$\frac{\rho \Delta u}{\Delta t}<<\frac{\Delta p}{\Delta x}$；（4）$\frac{u\Delta \rho }{\Delta t}<<\frac{\Delta p}{\Delta x}$

由（1）和（3）得：

$\frac{1}{\rho }\frac{\Delta x}{\Delta u}\frac{\Delta \rho }{\Delta t}<<\frac{1}{\rho }\frac{\Delta t}{\Delta u}\frac{\Delta p}{\Delta x}$

整理得：

${{\left( \frac{\Delta x}{\Delta t} \right)}^{2}}<<\frac{\Delta p}{\Delta \rho }$ 即 $u<<a$

利用（2）和（4）可以推出相同的条件。可见，只有在装药通道中燃气流速远低于当地声速的条件下，才可以略去对时间的导数项。

现在进一步研究质量方程和动量方程中可以忽略$\partial {{A}_{p}}/\partial t$的条件。为简便起见，假定$\partial {{A}_{p}}/\partial x=0$，并假定$\partial \rho /\partial t=0$或$\partial \,u/\partial t=0$，这时方程（7-77）和（7-78）变为：

$\rho \frac{\partial {{A}_{p}}}{\partial \,t}+{{A}_{p}}\frac{\partial }{\partial x}(\rho \,u)={{\rho }_{p}}r\frac{\partial {{A}_{b}}}{\partial x}={{\rho }_{p}}\frac{\partial {{A}_{p}}}{\partial t}$

$\rho \,u\frac{\partial {{A}_{p}}}{\partial \,t}+2\rho \,u{{A}_{p}}\frac{\partial \,u}{\partial x}+{{u}^{2}}{{A}_{p}}\frac{\partial \rho }{\partial x}+{{A}_{p}}\frac{\partial p}{\partial x}=0$

可以忽略质量方程中$\partial {{A}_{p}}/\partial t$的条件是：

$\rho \frac{\partial {{A}_{p}}}{\partial \,t}<<{{\rho }_{p}}\frac{\partial {{A}_{p}}}{\partial \,t}, rho <<{{\rho }_{p}}$

可以忽略动量方程中$\rho \,u\partial {{A}_{p}}/\partial \,t$的条件是$\rho \,u\partial {{A}_{p}}/\partial \,t$的量级远远小于其他各项的量级。例如：

$\rho \,u\frac{\partial {{A}_{p}}}{\partial \,t}<<2\rho u{{A}_{p}}\frac{\partial \,u}{\partial x}$ 或 $\frac{\partial {{A}_{p}}}{\partial \,t}<<{{A}_{p}}\frac{\partial u}{\partial x}$

写成有限增量的形式后，得： $\frac{\Delta {{A}_{p}}}{\Delta t}<<{{A}_{p}}\frac{\Delta u}{\Delta x}$

而考虑到$u=\Delta x/\Delta t$，因此有： $\frac{\Delta {{A}_{p}}}{{{A}_{p}}}<<\frac{\Delta u}{u}$

上式左边代表发动机工作期间装药通道横截面积的增量，右边代表通道内燃气流速的增量，而沿通道长度方向速度增量与速度的量级相当，所以$\frac{\Delta u}{u}$的量级是1，故要求$\frac{\Delta {{A}_{p}}}{{{A}_{p}}}<<1$，即装药通道横截面积的增量远小于通道横截面积。

满足$u<<a\rho <<{{\rho }_{p}},\Delta {{A}_{p}}<<{{A}_{p}}$等条件时，燃气流动参数随时间的变化很小，这时认为燃气在装药通道中的运动是准定常的流动，如果忽略控制方程组中对时间的偏导数各项，不致产生较大的误差。

令方程（7-77）至（7-79）中所有对时间t的导数为零，再补充方程（7-80），就得到燃气在装药通道内流动的一维准定常控制方程组：

$\frac{\text{d}}{\text{d}x}(\rho \,u{{A}_{p}})={{\rho }_{p}}r\frac{\text{d}{{A}_{b}}}{\text{d}x}$ （7-82）

$\frac{\text{d}}{\text{d}x}[(p+\rho \,{{u}^{2}}){{A}_{p}}]=p\frac{\text{d}{{A}_{p}}}{\text{d}x}$ （7-83）

$\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left[ \rho \,u{{A}_{p}}\left( \frac{{{u}^{2}}}{2}+H \right) \right]={{\rho }_{p}}r\frac{\text{d}{{A}_{b}}}{\text{d}x}{{H}_{p}}$ （7-84）

$p=\rho RT$ （7-85）

上述方程组中，未知数是p、ρ、u和T，自变量是装药通道长度变量x。

四、绝能流动条件下的一维准定常控制方程组

在发动机工作期间，如果忽略装药通道内燃气向燃烧室壁的散热损失，通道内燃气的一维准定常流动就可认为是绝能流动，这时$H+{{u}^{2}}/2=$常量，能量方程（7-84）可以写成：

$\left( H+\frac{{{u}^{2}}}{2} \right)\frac{\text{d}}{\text{d}x}(\rho \,u{{A}_{p}})={{H}_{p}}{{\rho }_{p}}r\frac{\text{d}{{A}_{b}}}{\text{d}x}$

将式（7-82）代入上式并整理，可得：

$H+\frac{{{u}^{2}}}{2}={{H}_{p}}$

即 ${{c}_{p}}T+\frac{{{u}^{2}}}{2}={{c}_{p}}{{T}_{f}}$

式中T_f为固体推进剂燃烧产物的总温。

由此得到绝能流动条件下的一维准定常控制方程组为：

$\frac{\text{d}}{\text{d}x}(\rho \,u{{A}_{p}})={{\rho }_{p}}r\frac{\text{d}{{A}_{b}}}{\text{d}x}$ （7-86）

$\frac{\text{d}}{\text{d}x}[(p+\rho \,{{u}^{2}}){{A}_{p}}]=p\frac{\text{d}{{A}_{p}}}{\text{d}x}$ （7-87）

${{c}_{p}}T+\frac{{{u}^{2}}}{2}={{c}_{p}}{{T}_{f}}$ （7-88）

$p=\rho RT$ （7-89）

绝能流动条件下的一维准定常控制方程组中包括两个常微分方程和两个代数方程。

§7.7 一维等截面通道装药发动机内弹道学

侧面燃烧装药发动机的药柱通道一般分为等截面通道和变截面通道两大类。那么，为了简化内弹道计算，最常采用的处理方法是，当侧面燃烧装药发动机药柱通道的横截面积沿药柱长度方向变化不大或就是等截面通道时，则采用等截面通道装药发动机内弹道计算的基本控制方程组，从而简化计算过程。实际上很多侧面燃烧装药的药柱通道沿长度方向变化不大，可以近似地认为通道的横截面积沿长度不变而不致引起太大的误差。当然，整个药柱通道由于推进剂燃烧而随发动机工作时间增大，但大多数发动机中都能符合上一节讨论中所述的准定常条件，仍可按准定常过程来处理。在这种情况下，一维准定常方程组（7-82）~（7-85）可以作相应的简化而得到等截面通道装药发动机内弹道计算的基本控制方程组。

一、基本假设

1．燃烧产物是具有平均性质的单一成份气体，服从理想气体状态方程。

2．燃气在燃烧室和喷管中的流动均为准定常流动。

3．装药通道横截面积沿轴向（即药柱长度方向）不变（但通道横截面积随发动机工作时间而变化）。

4．不计摩擦和热损失；

5．单位质量燃气的总能量等于气流的滞止焓，即燃气的滞止温度等于推进剂的绝热燃烧温度。

二、基本方程

根据以上基本假设，可以将一维准定常方程组（7-82）~（7-85）简化为如下方程组：

1．质量守恒方程

${{A}_{p}}\frac{\text{d}}{\text{d}x}(\rho \,u)={{\rho }_{p}}r\Pi $ （7-90）

或

$\frac{\text{d}(\rho \,u)}{\text{d}x}=\frac{\Pi }{{{A}_{p}}}{{\rho }_{p}}r$ （7-90＇）

其中，为装药燃烧周界长度，为装药微元燃烧段的局部燃速（由于装药通道内燃气流场的不均匀，装药燃面不同部位的燃速也不相同）。

2．动量守恒方程

对等截面药柱通道，有$\frac{\text{d}{{A}_{p}}}{\text{d}x}=0$。由式（7-83），有质量加入、不计摩擦和热损失的一维准定常流动的动量方程可写为：

$\text{d}(\rho \,{{u}^{2}}{{A}_{p}})=-{{A}_{P}}\text{d}p$ （7-91）

或

$\text{d}(\rho \,{{u}^{2}})=-\text{d}p$ （7-91＇）

3．能量方程

$\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left[ \rho \,u{{A}_{p}}\left( \frac{{{u}^{2}}}{2}+H \right) \right]={{\rho }_{p}}r\Pi {{H}_{p}}$ （7-92）

将质量守恒方程$\frac{\text{d}}{\text{d}x}(\rho \,u{{A}_{p}})={{\rho }_{p}}r\Pi $代入上式，同时考虑到推进剂总焓H_p是常数，则有：

$\text{d}\left[ \rho \,u{{A}_{p}}\left( \frac{{{u}^{2}}}{2}+H-{{H}_{p}} \right) \right]=0$ （7-92＇）

4．状态方程

$p=\rho RT$ （7-93）

对于图7-13所示的等截面通道情况，截面1-1表示装药通道的最前端（即燃烧室头部），气流参数用p₁、T₁、ρ₁、u₁等表示；截面L-L表示装药通道的末端，此截面的参数用p_L、T_L、ρ_L、u_L等表示；通道中间任一截面x处的气流参数为p、T、ρ、u等。由于1-1截面的气流速度u₁=0，所以1-1截面的气流参数也就是气流的滞止参数。其中压强p₁也就是当地的滞止压强p₀₁，可以在发动机试验时测量出来。温度T₁就是燃气的滞止温度T₀₁，也就是热力计算所得的推进剂绝热燃烧温度T_f。由于能量守恒，通道中各截面的滞止温度T₀都是一样的，都等于T_f，因此，边界条件为：

$x=0, {{u}_{1}}=0 $

${{T}_{1}}={{T}_{01}}={{T}_{f}}$

${{p}_{1}}={{\rho }_{1}}R{{T}_{1}}={{p}_{01}}$ （7-94）

$x=L,\quad {{\rho }_{L}}{{u}_{L}}{{A}_{p}}=\frac{{{A}_{t}}{{p}_{\text{0}L}}}{c*}$ （7-95）

显然，这里已经忽略了发动机燃烧室头部空腔和喷管前腔的影响。

三、燃气参数与速度系数λ的关系

通过积分上面的微分方程可以导出各个燃气参数沿通道长度的分布规律。通常的作法是先找出通道x截面上的燃气参数与相应截面的燃气流速u或速度参数λ的关系，然后再通过流速（或速度系数）与距离x的关系建立其它参数与x的关系。这里速度系数$\lambda =\frac{u}{a*}$，a*为临界音速。采用速度系数λ的目的是可以直接利用气动函数表，计算起来特别方便。

对于图7-13所示的等截面通道情况，由气动函数可知：

燃气静温与速度系数λ的关系为：

$\frac{T}{{{T}_{0}}}=\frac{T}{{{T}_{1}}}=1-\frac{k-1}{k+1}{{\lambda }^{2}}=\tau (\lambda )$ （7-96）

燃气静压与速度系数λ的关系为：

$\frac{p}{{{p}_{1}}}=\frac{1-\frac{k-1}{k+1}{{\lambda }^{2}}}{1+{{\lambda }^{2}}}=r(\lambda )$ （7-97）

燃气密度与速度系数λ的关系为：

$\frac{\rho }{{{\rho }_{1}}}=\frac{p}{{{p}_{1}}}\cdot \frac{{{T}_{1}}}{T}=\frac{r(\lambda )}{\tau (\lambda )}=\frac{\frac{1-\frac{k-1}{k+1}{{\lambda }^{2}}}{1+{{\lambda }^{2}}}}{1-\frac{k-1}{k+1}{{\lambda }^{2}}}=\frac{1}{1+{{\lambda }^{2}}}=\varepsilon \left( \lambda \right)$ （7-98）

而根据气动函数$\frac{p}{{{p}_{0}}}={{\left( 1-\frac{k-1}{k+1}{{\lambda }^{2}} \right)}^{\frac{k}{k-1}}}=\pi (\lambda )$ ，可推出通道任一截面x的总压p₀与1-1截面总压p₁之比为：

$\frac{{{p}_{0}}}{{{p}_{1}}}=\frac{{{p}_{0}}}{p}\frac{p}{{{p}_{1}}}=\frac{r(r)}{\pi (r)}=\frac{\frac{1-\frac{k-1}{k+1}{{\lambda }^{2}}}{1+{{\lambda }^{2}}}}{{{\left( 1-\frac{k-1}{k+1} \right)}^{\frac{k}{k-1}}}}=\frac{1}{(1+{{\lambda }^{2}}){{\left( 1-\frac{k-1}{k+1}{{\lambda }^{2}} \right)}^{\frac{1}{k-1}}}}=\frac{1}{f(\lambda )}$ （7-99）

其中f(λ)的倒数又定义为б(λ)，即：

$\frac{{{p}_{0}}}{{{p}_{1}}}=\sigma (\lambda )=\frac{1}{(1+{{\lambda }^{2}}){{\left( 1-\frac{k-1}{k+1}{{\lambda }^{2}} \right)}^{\frac{1}{k-1}}}}$ （7-100）$\frac{\rho \,u}{{{\rho }_{\lambda =1}}{{a}^{*}}}=\frac{2\lambda }{1+{{\lambda }^{2}}}=\frac{2}{\left( \frac{1}{\lambda }+\lambda \right)}=\frac{1}{\frac{1}{2}\cdot \left( \frac{1}{\lambda }+\lambda \right)}=\frac{1}{Z(\lambda )}$ （7-101）

必须注意，以上各式中的p₁和ρ₁实际上是速度为零处的压强和密度。如果装药通道入口截面处的速度${{u}_{1}}\ne 0$，则以上各式中的p₁应代之为折算总压p₀,ρ₁应代之为折算总密度ρ₀。其次，${{\rho }_{\lambda =1}}$表示通道内气流加质流动达到λ=1时的密度，令（7-98）式中的λ=1，即得：

${{\rho }_{\lambda =1}}=\frac{1}{2}{{\rho }_{1}}$ （7-102）

以上气动函数可绘成如图7-16所示的曲线。由图可见，随着流速的增加，静温略降（总温不变），滞止压强和密度明显下降，而静压则剧烈下降。

图7-16 k=1.15时气动函数的变化特征

四、速度系数（λ）与通道计算截面位置(x)的关系

到目前为止，我们仍然没有找出气流参数与截面位置x的关系。为了解决这个问题，必须先找出速度系数λ与x的关系。

质量守恒方程（7-90＇）给出了气体流速u或密流ρu与x的关系。将（7-90＇）式改写一下，可得：

$\frac{{{\rho }_{P}}\Pi }{{{A}_{P}}}\text{d}x=\frac{{{\rho }_{\lambda =1}}{{a}^{*}}}{r}\text{d}\left( \frac{\rho \,u}{{{\rho }_{\lambda =1}}{{a}^{*}}} \right)$

将（7-102）式、（7-101）式代入上式，并整理后可得：

$\frac{{{\rho }_{P}}\Pi }{{{A}_{P}}}\text{d}x=\frac{{{\rho }_{1}}{{a}^{*}}}{2r}\text{d}\left( \frac{1}{Z(\lambda )} \right) $

$=\frac{{{p}_{1}}}{R{{T}_{1}}}\frac{a*}{r}\frac{1-{{\lambda }^{2}}}{{{(1+{{\lambda }^{2}})}^{2}}}\text{d}\lambda $

考虑到等截面侧面燃烧装药发动机侵蚀燃烧效应，令燃速

$r=a{{p}^{n}}\varepsilon =ap_{1}^{n}{{\left( \frac{p}{{{p}_{1}}} \right)}^{n}}\varepsilon =ap_{1}^{n}{{r}^{n}}(\lambda )\varepsilon $，代入上式并进行积分得：

$\frac{{{\rho }_{P}}\Pi R{{T}_{1}}a}{p_{_{1}}^{1-n}{{A}_{p}}a*}\cdot x=\int_{\ 0}^{\ {{\lambda }_{{}}}}{\frac{1}{{{r}^{n}}(\lambda )\varepsilon }}\frac{1-{{\lambda }^{2}}}{{{(1+\lambda {}^{2})}^{2}}}\text{d}\lambda $ （7-103）

式（7-103）给出了λ与x的关系。但是，必须注意，式中的p₁仍是一个未确定的参数，这是因为发动机燃烧室装药通道的入口边界条件（7-94）式只有三个方程，却含有四个待定参数，因而必须利用装药通道出口端的边界条件（7-95）式来确定p₁，否则，式（7-103）仍然无法使用。实际上，在一般情况下，可以认为气流在离开装药通道出口以后就不再有燃气质量加入了，因而燃气的质量流率不变。那么，从装药通道出口到喷管喉道处的连续方程可以写为（也就是把（7-95）式改写为下列形式）：

${{\rho }_{L}}{{A}_{p}}{{u}_{L}}=\frac{{{A}_{t}}{{p}_{0L}}}{c*}=\rho *a*{{A}_{t}}$

或

$J=\frac{{{A}_{t}}}{{{A}_{P}}}=\frac{{{\rho }_{L}}{{u}_{L}}}{\rho *a*}$ （7-104）

式中J为发动机的喉通比。喉通比J是固体火箭发动机的一个重要设计参数，它表征了装药通道出口处气流速度的大小。由气动函数关系式可知：

$q(\lambda )=\frac{\rho \,u}{\rho *a*}={{\left( \frac{k+1}{2} \right)}^{\frac{1}{k-1}}}\lambda {{\left( 1-\frac{k-1}{k+1}{{\lambda }^{2}} \right)}^{\frac{1}{k-1}}}$

所以

$J=\frac{{{A}_{t}}}{{{A}_{p}}}=q({{\lambda }_{L}})={{\left( \frac{k+1}{2} \right)}^{\frac{1}{k-1}}}{{\lambda }_{L}}{{\left( 1-\frac{k-1}{k+1}\lambda _{L}^{2} \right)}^{\frac{1}{k-1}}}$ （7-105）

由此可知，喉通比J是装药通道出口处速度系数λ_L的函数，或者说，λ_L的数值主要决定于J的数值。

式（7-104）表明，当发动机的A_t和A_p一定时，装药通道出口截面处的速度系数λ_L即被确定，因而通道出口截面处的边界条件也可以写为$x=L,\ \lambda ={{\lambda }_{L}}$。将此边界条件代入（7-103）式即得：

$\frac{{{\rho }_{P}}\ \Pi R{{T}_{1}}\ a}{p_{_{1}}^{1-n}{{A}_{p}}\ a*}L=\int_{\ 0}^{\ {{\lambda }_{L}}}{\frac{1}{{{r}^{n}}(\lambda )\varepsilon }}\frac{1-{{\lambda }^{2}}}{{{(1+\lambda {}^{2})}^{2}}}\text{d}\lambda $ （7-106）

计算出式（7-106）右端的积分，就确定了p₁（在装药特性和药柱长度L一定的条件下）。或者用（7-106）式除（7-103）式，消去p₁便得到：

$\frac{x}{L}=\frac{\int_{\ 0}^{\ \lambda }{\frac{1}{{{r}^{n}}(\lambda )\ \varepsilon }}\frac{1-{{\lambda }^{2}}}{{{(1+{{\lambda }^{2}})}^{2}}}\text{d}\lambda }{\int_{\ 0}^{\ {{\lambda }_{L}}}{\frac{1}{{{r}^{n}}(\lambda )\ \varepsilon }}\frac{1-{{\lambda }^{2}}}{{{(1+{{\lambda }^{2}})}^{2}}}\text{d}\lambda }$ （7-107）

取不同的λ_L值（即不同的J值，当J值确定以后，就可以根据$q({{\lambda }_{L}})=J$，直接从气动函数表中查出λ_L），由式（7-107）可以用数值积分法计算出λ随x/L的变化关系（参见图7-17的曲线族）。由图7-17可见，J值一定时，λ随x/L的增加而增加。而当J值增大时，通道内各点的流速普遍增大。在固体火箭发动机中，装药的初始通气截面积A_p最小、初始喉通比J最大，因而工作初期通道内的气流速度最大，所以在发动机的工作初期最易出现侵蚀燃烧现象。而随着装药的燃烧，通气面积A_P不断增大，J值不断减小，通道各个截面上的流速也相应减小、侵蚀燃烧现象也随之消失。

图7-17 λ随x/L的变化关系

由上面的讨论可知，燃气在装药通道内将不断加速，只要装药足够长，单靠加质作用，气流也可以被加速到声速，这就是无喷管发动机的基本工作原理。然而，在一般的发动机中，主要是靠喷管加速气流，燃烧室则相当于燃料贮箱和燃烧器。对于上述我们所讨论的情况，气流的加速是分两段进行的，即：在燃烧室中，靠加质作用从λ=0加速到λ_L，随后，在喷管收敛段内靠喷管截面变化在喷管喉部处气流被加速到声速。因此，喷管喉面处λ_t=1似乎是一个天然的边界条件，所以喷管喉部尺寸一定（即$J=\frac{{{A}_{t}}}{{{A}_{p}}}$一定）时，λ_L必定为定值，这是由变截面管等熵流动的内在规律所决定的。这就是说，装药长度L一定时，发动机燃烧室的头部压强p₁决定于发动机的喉通比J或λ_L；当J值一定时，改变装药长度，只会引起头部压强p₁的变化，而不会影响λ_L的大小。

下面举一个例题来说明具体的计算步聚。主要目的是为了加深对基本概念的理解，同时在处理一些工程问题时，也往往需要进行一些必要的计算。

[例7-4]

已知某固体火箭发动机喷管喉径d_t=4.15cm，采用内孔燃烧、等截面通道的双基推进剂药柱，药柱长度L=155cm、初始燃面A_bi=3740cm²，通道出口初始通气截面积A_pi=22.8cm²，推进剂性能为：ρ=1.61g/cm³、 Tf=2355K、k=1.26、$\bar{m}$=23.27g/mol、c*=1390m/s、推进剂的侵蚀比ε=1+0.0012(u-120)（注：式中u为气流速度（米/秒））、+20℃下推进剂燃速为r=3.26×10^-6p^0.5（注：式中燃速单位为米/秒，p的单位为帕）。

试计算：1）该发动机在+20℃下开始工作瞬间药柱通道内燃气压强沿通道长度的变化。

2）若其它参数不变，将药柱长度改变为L=180cm，该发动机在开始工作瞬间药柱通道内燃气压强沿通道长度的变化。

解：1）+20℃下开始工作瞬间药柱通道内燃气压强沿通道长度变化的计算步骤如下：

常量计算

初始喉通比：$J=\frac{{{A}_{t}}}{{{A}_{pi}}}=\frac{\frac{\pi \times {{4.15}^{2}}}{4}}{22.8}=0.59$

根据$k=1.26,J=q({{\lambda }_{L}})=0.59$，查气动函数表得： λ_L=0.40

燃气的气体常数：$R=\frac{8.314\times {{10}^{3}}}{23.27}$=357.3 (J/kg.K)

临界声速：$a*=\sqrt{\frac{2k}{k+1}R{{T}_{f}}}=\sqrt{\frac{2\times 1.26}{1.26+1}\times 357.3\times 2355})$=968.6m/s

药柱初始燃烧周长：$\Pi =\frac{{{A}_{bi}}}{L}=\frac{4730}{155}=30.52\ (cm)$

初始燃喉比：${{K}_{0}}=\frac{{{A}_{bi}}}{{{A}_{t}}}=\frac{4730}{\frac{3.14\times {{4.15}^{2}}}{4}}=349.86$

通道内计算截面处速度系数λ与计算截面相对位置x/L的关系确定

根据式（7-107），利用数值积分法计算装药通道中速度系数λ与计算截面相对位置x/L的关系。先将λ=0到λ=0.4分成四个相等的间隔，即j=0,1,2,3,4。燃后就每一个j值对式（7-107）依次进行数值积分，最后求出计算截面相应的x/L值，计算中使：

$\int_{\ 0}^{\ \lambda }{\frac{1}{{{r}^{n}}(\lambda )\ \varepsilon }}\frac{1-{{\lambda }^{2}}}{{{(1+\lambda {}^{2})}^{2}}}\text{d}\lambda =\int_{\ 0}^{\ \lambda }{g\ \left( \lambda \right)\text{d}\lambda }$

即 $g(\lambda )=\frac{1}{{{r}^{n}}(\lambda )\varepsilon }\frac{1-{{\lambda }^{2}}}{{{(1+\lambda {}^{2})}^{2}}}$ （7-108）

数值积分时，使：

$\int_{\ 0}^{\ \lambda }{g(\lambda )\ \text{d}\lambda =\sum\limits_{j=0}^{N}{g\ ({{\lambda }_{j}})\Delta {{\lambda }_{j}}=\sum\limits_{j=0}^{N}{\Delta {{G}_{j}}}}}$

这里ΔG_j为以g(λ_j-1)和g(λ_j)为上、下底、Δλ_j为高的梯形面积，其相应值为：

$\Delta {{G}_{j}}=\frac{g({{\lambda }_{j-1}})+g({{\lambda }_{j}})}{2}\Delta {{\lambda }_{j}}$

通道内计算截面处速度系数λ与计算截面相对位置x/L的关系列于表7-5中。

表7-5 某发动机装药通道内计算截面处气流速度系数λ随计算截面相对位置x/L的变化

序号

u=λa*

米/秒

侵

蚀

比

Z(λ)（查气动函数表）

r(λ)（查气动函数表）

$g(\lambda )=\frac{1}{{{r}^{n}}(\lambda )\varepsilon }\frac{1-{{\lambda }^{2}}}{{{(1+\lambda {}^{2})}^{2}}} $

Δλ

ΔG_j

$\int_{\ 0}^{\ \lambda }{g\left( \lambda \right)\text{d}\lambda } $ $=\sum\limits_{j=0}^{N}{\Delta {{G}_{j}}} $

x/L

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

96.86

193.7

290.6

387.4

1.00

1.08

1.20

1.31

5.050

2.600

1.817

1.450

1.000

0.989

0.957

0.908

0.846

1.000

0.9759

0.8400

0.6698

0.5180

0.1

0.0988

0.0908

0.0754

0.0608

0.0988

0.1896

0.2650

0.3258

0.303

0.582

0.813

1.000

+20℃下开始工作瞬间药柱通道内燃气压强沿通道长度的变化

根据表7-5所给出的λ与x/L的变化关系可知，当λ_L=0.4时，积分$\int_{0}^{{{\lambda }_{L}}}{g\left( \lambda \right)\text{d}\lambda }=0.3258$，将此值及初始燃烧周长П、药柱长度L、燃速公式中的a,n等参数代入式（7-106）即可计算出开始工作瞬间该发动机的头部压强p₁，即：

$p_{_{1}}^{1-0.5}=\frac{{{\rho }_{P}}\ \Pi R{{T}_{f}}\ a\cdot L}{{{A}_{p}}\ a*\cdot \int_{\ 0}^{\ {{\lambda }_{L}}}{\frac{1}{{{r}^{n}}(\lambda )\varepsilon }}\frac{1-{{\lambda }^{2}}}{{{(1+\lambda {}^{2})}^{2}}}\text{d}\lambda } $

$=\frac{\text{1610}\times \text{30}\text{.52}\times \text{1}{{\text{0}}^{\text{-2}}}\times 357.3\times 2355\times 3.26\times {{10}^{-6}}\times 155\times {{10}^{-2}}}{\text{22}\text{.8}\times \text{1}{{\text{0}}^{\text{-4}}}\times 968.6\times 0.3258}=2903.71 $

则：${{p}_{1}}={{\left( 2903.71 \right)}^{\frac{1}{1-0.5}}}=8.4\times {{10}^{6}}\ (\text{Pa)}=\text{8}\text{.4}\ \text{(MPa)}$

根据计算的p₁值及表7-5所给出的λ与x/L的变化关系，即可计算出气流参数沿通道长度的变化，计算步骤及结果列于表7-6中。

表7-6 长度155厘米的装药通道中气流参数沿通道长度的变化

厘米

τ (λ)

r (λ)

$\frac{{{p}_{0}}}{{{p}_{1}}}=\frac{1}{f(\lambda )}$

u=λa*

(米/秒)

T(K)

p₀

×10⁶帕

126

155

0.1

0.2

0.3

0.4

1.00

0.999

0.995

0.990

0.980

1.00

0.989

0.957

0.908

0.846

1.00

0.99

0.98

0.96

0.93

96.86

193.7

290.6

387.4

2355

2353

2343

2332

2308

8.4

8.31

8.04

7.63

7.11

8.4

8.32

8.23

8.06

7.81

2）其它参数不变，药柱长度为L=180cm时，开始工作瞬间药柱通道内燃气压强沿通道长度变化的计算步骤如下：

由于其它参数不变只改变了药柱长度，因此前面计算的常量也保持不变，药柱长度的增加只会使发动机的头部压强p₁增大，即：

$ p_{_{1}}^{1-0.5}=\frac{{{\rho }_{P}}\ \Pi R{{T}_{f}}\ a\cdot L}{{{A}_{p}}\ a*\cdot \int_{\ 0}^{\ {{\lambda }_{L}}}{\frac{1}{{{r}^{n}}(\lambda )\varepsilon }}\frac{1-{{\lambda }^{2}}}{{{(1+\lambda {}^{2})}^{2}}}\text{d}\lambda } $

$=\frac{\text{1610}\times \text{30}\text{.52}\times \text{1}{{\text{0}}^{\text{-2}}}\times 357.3\times 2355\times 3.26\times {{10}^{-6}}\times 180\times {{10}^{-2}}}{\text{22}\text{.8}\times \text{1}{{\text{0}}^{\text{-4}}}\times 968.6\times 0.3258}=3372.05 $

则：${{p}_{1}}={{\left( 3372.05 \right)}^{\frac{1}{1-0.5}}}=11.37\times {{10}^{6}}\ (\text{Pa)}=\text{1}1.37\ \text{(MPa)}$

那么，根据计算的p₁值及表7-5所给出的λ与x/L的变化关系，即可计算出气流参数沿通道长度的变化，计算步骤及结果列于表7-7中。

表7-7 长度180厘米的装药通道中气流参数沿通道长度的变化

厘米

τ (λ)

r (λ)

$\frac{{{p}_{0}}}{{{p}_{1}}}=\frac{1}{f(\lambda )}$

u=λa*

(米/秒)

T(K)

p₀

×10⁶帕

54.54

104.76

146.34

180

0.1

0.2

0.3

0.4

1.00

0.999

0.995

0.990

0.980

1.00

0.989

0.957

0.908

0.846

1.00

0.99

0.98

0.96

0.93

96.86

193.7

290.6

387.4

2355

2353

2343

2332

2308

11.37

11.24

10.88

10.32

9.62

11.37

11.26

11.14

10.92

10.57

五、考虑装药通道中燃气流动情况下燃烧室头部压强p₁的计算及讨论

由于装药通道中燃气的流动，燃烧室内的燃气压强沿装药通道长度方向有所下降。而燃烧室头部的压强p₁（也就是装药通道入口处的压强）是整个装药通道中的最大压强，在发动机试验时可以用传感器在燃烧室头部直接测得。为了将理论计算结果与实验结果相比较，计算燃烧室头部压强p₁随工作时间的变化规律是一维内弹道计算（即考虑装药通道中燃气流动情况下的内弹道计算）核心内容之一。下面就介绍考虑装药通道中燃气流动情况下燃烧室头部压强p₁的计算方法及进行相应的一些讨论。

1．燃气流动情况下装药表面平均燃速的计算

由于装药通道内燃气流动的影响，装药燃面不同部分的燃速也不相同。为了使问题简化，定义一个平均燃速：

$\bar{r}=\frac{\sum \Delta {{A}_{b}}r{{\rho }_{P}}}{{{\rho }_{P}}{{A}_{b}}}=\frac{\sum \Delta {{A}_{b}}\cdot r}{{{A}_{b}}}$ （7-109）

平均燃速$\bar{r}$是一个假想的等效燃速。式（7-109）表示，如果整个燃面均以平均燃速燃烧，则其燃气生成率$\bar{r}{{\rho }_{p}}{{A}_{b}}$与整个燃面以实际的燃速r燃烧的燃气生成率相等。显然，一旦确定了平均燃速，就可以直接应用§7.2节中所介绍的“平衡压强”的概念来计算考虑装药通道中燃气流动情况下燃烧室头部压强p₁随时间变化的过程，计算的关键步骤是平均燃速的计算。

根据平均燃速的定义：

${{\rho }_{p}}{{A}_{b}}\bar{r}={{\rho }_{L}}{{u}_{L}}{{A}_{p}}={{\rho }_{\lambda =1}}{{a}^{*}}\frac{{{\rho }_{L}}{{u}_{L}}}{{{\rho }_{\lambda =1}}{{a}^{*}}}{{A}_{p}}$ （7-110）

将（7-101）及（7-102）代入式（7-110）得：

$\bar{r}=\frac{{{A}_{p}}{{p}_{1}}a*}{{{A}_{b}}{{\rho }_{p}}R{{T}_{1}}}\cdot \frac{{{\lambda }_{L}}}{1+\lambda _{L}^{2}}$

将上式与（7-106）结合，并考虑到$\Pi \cdot L={{A}_{b}}$、${{r}_{1}}=ap_{1}^{n}$，消去A_b，A_p，ρ_p，RT₁，a*等，可得：

$\frac{{\bar{r}}}{{{r}_{1}}}=2\times {{\left[ Z({{\lambda }_{L}})\int_{\,0}^{\,{{\lambda }_{_{L}}}}{\frac{\frac{1}{{{\lambda }^{2}}}-1}{{{Z}^{2}}(\lambda ){{r}^{n}}(\lambda )\varepsilon }\text{d}\lambda } \right]}^{-1}}$ （7-111）

式（7-111）右边积分中的Z(λ)、r(λ)都是λ的函数，积分限又是从0到λ_L，如果侵蚀比ε也是λ的函数，则燃速比$\frac{{\bar{r}}}{{{r}_{1}}}$可以通过式（7-111）表示为λ_L的函数，而λ_L又决定于J=q(λ_L)，所以$\frac{{\bar{r}}}{{{r}_{1}}}$也是J的函数。也就是说，当推进剂选定以后，燃速比$\frac{{\bar{r}}}{{{r}_{1}}}$只是喉通比J的函数。图7-18是某双基推进剂和JPN推进剂的$\frac{{\bar{r}}}{{{r}_{1}}}$~J曲线。

式（7-111）含有r(λ)和ε（也是λ的函数），所以燃速比既要受静压下降的影响，也要受侵蚀燃烧的影响。当J增大时，静压下降使局部燃速下降，而侵蚀燃烧则使局部燃速增大，但因侵蚀燃烧的作用超过静压下降的影响，所以一般来说，当J值增大到某一界限数值

时，$\bar{r}$开始大于r₁了，这以后$\frac{{\bar{r}}}{{{r}_{1}}}$随着J值的增加，越来越大。因为J值增加，装药通道中的燃气流速越来越大，由于侵蚀燃烧的影响，燃速增加，整个燃烧面上的平均燃速也随之增加（参见图7-18）。

图7-18 燃速比同J的关系

图7-19 p₁与K、J的关系

2．燃气流动情况下燃烧室头部压强p₁的计算

根据§7.2节中所介绍的“平衡压强”的概念（即燃气的生成率${{\dot{m}}_{b}}$与喷管质量流率${{\dot{m}}_{d}}$达到平衡，相应的压强就是平衡压强）可以直接导出燃气流动情况下燃烧室头部压强p₁的计算式。在已知平均燃速$\bar{r}$的情况下，应有：

${{\dot{m}}_{b}}={{\rho }_{p}}{{A}_{b}}\bar{r}=\frac{{{A}_{t}}{{p}_{c}}}{c*}={{\dot{m}}_{d}}$ （7-112）

其中，燃烧室压强p_c就是喷管入口或装药通道出口末端的滞止压强，即p_c=p_0L。将${{p}_{c}}=\left( \frac{{{p}_{c}}}{{{p}_{1}}} \right){{p}_{1}}$及$\bar{r}=\frac{{\bar{r}}}{{{r}_{1}}}\cdot {{r}_{1}}=\frac{{\bar{r}}}{{{r}_{1}}}\cdot ap_{1}^{n}$代入式（7-112），得：

${{\rho }_{p}}{{A}_{b}}\cdot \frac{{\bar{r}}}{{{r}_{1}}}ap_{_{1}}^{n}=\frac{{{A}_{t}}{{p}_{1}}}{c*}\frac{{{p}_{c}}}{{{p}_{1}}}$

考虑到${{p}_{c}}={{p}_{0L}}=\frac{{{p}_{1}}}{f({{\lambda }_{L}})}$，则上式变为：

${{\rho }_{p}}{{A}_{b}}\frac{{\bar{r}}}{{{r}_{1}}}ap_{_{1}}^{n}=\frac{{{A}_{t}}{{p}_{1}}}{c*f({{\lambda }_{L}})}$ （7-113）

从式（7-113）解出p₁即得：

${{p}_{1}}={{\left[ {{\rho }_{p}}c*aKf({{\lambda }_{L}})\frac{{\bar{r}}}{{{r}_{1}}} \right]}^{\frac{1}{1-n}}}={{p}_{c,eq}}{{\left[ f\left( {{\lambda }_{L}} \right)\frac{{\bar{r}}}{{{r}_{1}}} \right]}^{\frac{1}{1-n}}}$ （7-114）

式中，p_c,eq是不考虑气体流动影响时的平衡压强，由式（7-19）计算；f(λ_L)代表燃气流动使总压下降对燃烧室头部压强p₁的影响；$\frac{{\bar{r}}}{{{r}_{1}}}$则同时含有静压下降和侵蚀的影响。显然，如果装药通道中气流速度趋于零，则f(λ_L)=1和$\frac{{\bar{r}}}{{{r}_{1}}}=1$，p₁=p_c,eq，式（7-114）便与零维内弹道计算中平衡压强的计算公式（7-19）一致了。一般情况下，f(λ_L)>1（参见图7-16），$\frac{{\bar{r}}}{{{r}_{1}}}>1$所以p₁>p_c,eq。

根据前面的讨论并参见式（7-114）可知，如果侵蚀比ε与f(λ_L)一样，也是λ的函数，那么$\frac{{\bar{r}}}{{{r}_{1}}}$也是J的函数。当J值增大时，f(λ_L)和$\frac{{\bar{r}}}{{{r}_{1}}}$均随之增大，所以，燃烧室压强p₁不仅是燃喉比K的函数（p_c,eq的计算是与K有关的）也是喉通比J的函数，并随着J的增大

而增大的（参见图7-19）。发动机工作过程中，初始喉通比最大，燃气流动和侵蚀效应对p₁的影响也最显著。随着装药的燃烧，通气面积不断扩大，J值逐渐减小，p₁也逐渐下降到p_c,eq值，结果是在p_c~t曲线上形成一个压强峰（参见图7-14所示），这个初始压强峰，主要是由侵蚀效应造成的，所以叫做侵蚀压强峰。

应当指出，只有当侵蚀比ε仅仅是λ的函数时，由式（7-111）积分得到的燃速比$\bar{r}/{{r}_{1}}$才仅仅是λ_L的函数，才能得出燃速比$\bar{r}/{{r}_{1}}$只是喉通比J值的函数，而进行上述的计算。但是，在有些情况下，推进剂的侵蚀比ε不仅是速度的函数，而且与气流密度有关。此时，燃速比$\bar{r}/{{r}_{1}}$不仅是λ_L的函数，同时也是燃烧室压强的函数。例如，把侵蚀比ε整理成密流ρu函数的情况，就是这样。因为密度ρ通过状态方程可以表示成压强p的函数。这样一来，燃速比$\bar{r}/{{r}_{1}}$既是J值的函数，又是燃烧室压强的函数。上述$\bar{r}/{{r}_{1}}$对J的关系曲线，只能对一定的燃烧室压强下才适用。不同的燃烧室压强，可以得到不同的$\bar{r}/{{r}_{1}}$与J的关系曲线。对于一种推进剂就可以得出一组在不同燃烧室压强下的$\bar{r}/{{r}_{1}}$与J的关系曲线。

在这种情况下，不能简单地从式（7-114）直接求出p₁，因为式（7-114）不是p₁的显式，其右边的$\bar{r}/{{r}_{1}}$本身也是p₁的函数。这就需要在确定$\bar{r}/{{r}_{1}}=f(p,J)$的关系以后再利用式（7-114）的关系消去$\bar{r}/{{r}_{1}}$、确定p₁=f(K,J)的关系。只是处理过程更复杂一些，没有原则上的差别。不过，由于侵蚀比随压强增加而增加，因此$\bar{r}/{{r}_{1}}$亦随压强增加而增加，K值愈大，p₁随J的增加亦更大。

3．峰值比

在侧面燃烧装药的发动机中，由于装药通道内燃气流速增大、侵蚀燃烧效应比较显著，在燃烧室压强随时间变化的p(t)曲线上出现初始压强峰，在大多数情况下，这一初始压强峰往往就是发动机整个工作过程中的最高压强p_max。在发动机结构设计中，就是根据这一压强峰值来要求发动机的承载能力，也就是说p_max直接影响着发动机的结构质量。因此，初始压强峰值p_max是一个比较重要的设计参数。为了判断燃气流动，特别是侵蚀燃烧对燃烧室压强的影响，我们定义一个无因次参数：

${{p}_{r}}=\frac{{{p}_{1,\max }}}{{{p}_{c,eq}}}$ （7-115）

这里，参数p_r称为峰值比或峰值比准则，p_1,max是侵蚀峰的最大压强，p_c,eq是无侵蚀时的燃烧室平衡压强。如果认为在发动机点火起动过程中A_p来不及发生明显的变化则可取p_1,max等于对应于初始喉通比J值的p₁值，此时，将式（7-114）代入（7-115）式可得：

${{p}_{r}}={{\left[ f({{\lambda }_{L}})\frac{{\bar{r}}}{{{r}_{1}}} \right]}^{\frac{1}{1-n}}}$ （7-116）

式（7-116）表明，如果说$\bar{r}/{{r}_{1}}$只是J的函数，那么峰值比p_r也是发动机初始喉通比J₀的函数。

此时，根据特定推进剂的侵蚀特性，应用式（7-116）可以算出p_r与初始喉通比J₀的关系（参见图7-20）。由图可见，提高发动机装填密度使初始喉通比J₀增大，其结果是造成了较高的侵蚀压强峰。如果峰值比过高，必然增加发动机的结构质量，从而使发动机的总体性能降低。因此，发动机设计中，必须恰当地选定允许的峰值比，以求尽可能提高装填密度，又不过分增大结构质量。既然p_r是初始喉通比J₀的函数，那么限制峰值比的根本措施就是限制发动机的初始喉通比J₀。以图7-20为例，峰值比为时，相应的J₀值为，如果限制p_r<1.3，则J₀<0.5。一般认为，大多数发动机，只要J₀<0.5，峰值比就不会太大。实际上，允许的J₀值与发动机所选用的推进剂的侵蚀特性有关，如推进剂的侵蚀效应越强，允许的J₀值应当越小。

图7-20 p_r与初始喉通比J₀的关系

必须注意，侵蚀比ε并不仅仅是气流速度的函数。除了气流速度之外，ε还与压强（或密度）有关，所以，燃速比$\bar{r}/{{r}_{1}}$和峰值比p_r都会随着压强的升高而增大，且对不同的推进剂，其侵蚀比ε是有差别的，因此很难用一个统一的初始喉通比J₀值来限制制不同推进剂的峰值比。

另一方面，燃烧室压强的高低主要决定于燃喉比K，同时也受发动机工作初温的影响。因此，有时既使K值不变，在高温条件下，峰值比也会额外增大。在实际的发动机工作中，由于初温升高而出现的压强峰或增大的峰值比，称之为温度压强峰。

在苏联的资料中，比较习惯于用波别多诺士采夫准则（即通气参量æ）来表示装药通道内气体流动对压强的影响。实际上，æ与J之间存在着如下的简单关系：

æ=K.J （7-117）

所以，对于单通道发动机，æ和J没有实质性区别。但是对多通道发动机来说，应用æ值作为判断侵蚀影响的判据特别方便，这是因为各个通道都有自己的æ值。

对采用双基推进剂的发动机，提出应该用æ<160~180的经验关系来限制过大的峰值比p_r。按照式（7-117），æ准则不仅可以考虑J对$f({{\lambda }_{L}})\frac{{\bar{r}}}{{{r}_{1}}}$的影响，而且也包括了压强（即K

值）的影响。不过，流速和压强对$\bar{r}/{{r}_{1}}$的影响并不经常是以K.J的乘积来表示的，而且也会因推进剂不同而有较大的差别。

因此，简单地利用有关的准则来预估或限制侵蚀燃烧对压强峰或峰值比的影响，有一定的局限性，只能在某些具体条件下应用。确切的压强峰或峰值比，仍须从推进剂的侵蚀燃烧特性出发，按照前面的方法，进行具体的计算。

4．燃气流动对压强建立过程的影响

将$\bar{r}=\frac{{\bar{r}}}{{{r}_{1}}}{{r}_{1}}=\frac{{\bar{r}}}{{{r}_{1}}}\cdot ap_{1}^{n}$和${{p}_{c}}=\frac{{{p}_{1}}}{f({{\lambda }_{L}})}$代入压强计算的基本方程（7-13）式，可得：

$\frac{{{V}_{c}}}{c{{*}^{2}}{{\Gamma }^{2}}}\cdot \frac{\text{d}{{p}_{1}}}{\text{d}t}={{\rho }_{p}}{{A}_{b}}\frac{{\bar{r}}}{{{r}_{1}}}ap_{1}^{n}-\frac{{{A}_{t}}}{c*}\cdot \frac{{{p}_{1}}}{f({{\lambda }_{L}})}$ （7-118）

或：

$\text{d}t=\frac{{{V}_{c}}f({{\lambda }_{L}})}{{{\Gamma }^{2}}c*{{A}_{t}}}\cdot \frac{\text{d}{{p}_{1}}}{\left( c*{{\rho }_{p}}aK\frac{{\bar{r}}}{{{r}_{1}}}f({{\lambda }_{L}})p_{1}^{n}-{{p}_{1}} \right)}$ （7-119）

假设在发动机起动过程中，燃烧室自由容积和燃喉比都来不及发生明显的变化，均保持初始的自由容积和燃喉比，即${{V}_{c}}={{V}_{ci}},K={{K}_{0}}$，取初始条件为$t=0,\ p={{p}_{ig}}$，积分式（7-119）得：

$t=\frac{1}{1-n}\cdot \frac{f({{\lambda }_{L}}){{V}_{ci}}}{{{\Gamma }^{2}}c*{{A}_{t}}}\cdot \ln \left[ \frac{{{\rho }_{p}}c*a{{K}_{0}}\frac{{\bar{r}}}{{{r}_{1}}}f({{\lambda }_{L}})-{{p}_{ig}}^{1-n}}{{{\rho }_{p}}c*a{{K}_{0}}\frac{{\bar{r}}}{{{r}_{1}}}f({{\lambda }_{L}})-p_{1}^{1-n}} \right]$ （7-120）

显然，若不考虑气体流动的影响，即$f({{\lambda }_{L}})=1{{,}_{{}}}\frac{{\bar{r}}}{{{r}_{1}}}=1$时，p₁等于p_c，上式也就简化为（7-62）式。实践表明，考虑气体流动，特别是侵蚀效应时，压强上升得更快上些。

综上所述，初始压强峰的出现，要求燃烧室有更高的承压能力，需要增加一定的结构质量，不利于发动机性能提高。因此，在发动机设计中要尽量减小或消除压强峰，使p~t曲线变化比较平稳。这对于即要提高装填密度、又要采用侧面燃烧装药的发动机来说，是一个需要恰当解决的矛盾。最好是采用侵蚀比比较小的推进剂。但是，从改进推进剂配方来减小侵蚀效应，尚未得到有效的进展。需要更多的从发动机设计方案上进行改进。

一种方案是减小装药通道中的气流速度。例如，可以采用分段排气的前后两处喷管的方案（图7-21（a））。更多的是采用渐扩通道（图7-21(b)）。渐扩通道的截面积从装药前端到喷管一端逐渐扩大，随着燃气的质量加入，流率增大，通道截面积也相应扩大，使气流速度不致于增加很大，同时还保持了一定的装填密度。

图7-21 减小气流速度的方案图

另一种方案是减小起始阶段的燃面面积。目前已经应用的方法是将缓燃阻燃层覆盖装药燃烧表面的一部分面积，抵消了起始阶段侵蚀燃烧效应的影响。在经过一段时间的燃烧以后，侵蚀燃烧效应逐渐减小而消失，此时缓燃阻燃层却已烧完，原来被覆盖的燃面又参与燃烧，以保持燃烧室的一定压强。

无论是渐扩通道的设计，或是缓燃阻燃层的覆盖，都需要根据推进剂的侵蚀燃烧特性，进行具体的计算。

[例7-5]

针对例题[7-4]，完成以下工作：

1）计算推进剂侵蚀燃烧特性的$\frac{{\bar{r}}}{{{r}_{1}}}\tilde{\ }J$曲线；

2）根据$\frac{{\bar{r}}}{{{r}_{1}}}\tilde{\ }J$曲线，计算+20℃下发动机开始工作瞬间，考虑与不考虑侵蚀燃烧效应时燃烧室的头部压强p₁；

3）如发动机的初始自由容积V_ci=5000cm³、点火压强p_ig=2MPa，计算+20℃下，考虑与不考虑侵蚀燃烧效应时燃烧室的压强建立过程。

解：1）计算$\frac{{\bar{r}}}{{{r}_{1}}}\tilde{\ }J$曲线

由例[7-4]可知推进剂的性能参数及其侵蚀比$\varepsilon =1+0.0012(u-120)$，u为气流速度，单位米/秒。为计算$\frac{{\bar{r}}}{{{r}_{1}}}\tilde{\ }J$曲线，需将式（7-111）中的积分项进行数值积分计算，即：

$ \int_{\ 0}^{\ {{\lambda }_{L}}}{\frac{\frac{1}{{{\lambda }^{2}}}-1}{{{Z}^{2}}(\lambda ){{r}^{n}}(\lambda )\ \varepsilon }}\text{d}\lambda =\int_{\ 0}^{\ {{\lambda }_{L}}}{F\ \left( \lambda \right)\text{d}\lambda } =\sum\limits_{j=0}^{N}{F\left( {{\lambda }_{j}} \right)\cdot \Delta {{\lambda }_{j}}=\sum\limits_{j=0}^{N}{\Delta {{s}_{j}}}}$

式中$\Delta {{s}_{j}}$为以$F({{\lambda }_{j-1}})$和$F({{\lambda }_{j}})$为上、下底、$\Delta {{\lambda }_{j}}$为高的梯形面积，${{\lambda }_{j}}$是在0~1之间选择的一系列的λ值（因为只要装药足够长，燃气在装药通道内单靠加质作用，最大可加速到声速），因此有：

$\Delta {{s}_{j}}=\frac{F({{\lambda }_{j-1}})+F({{\lambda }_{j}})}{2}\Delta {{\lambda }_{j}}$

$\frac{{\bar{r}}}{{{r}_{1}}}\tilde{\ }J$曲线的计算结果列于表7-8中，曲线如图7-22所示。

表7-8 某推进剂侵蚀燃烧特性的$\frac{{\bar{r}}}{{{r}_{1}}}\tilde{\ }J$计算结果

序号

u=λa*

米/秒

侵

蚀

比

Z(λ)（查气动函数表）

r(λ)（查气动函数表）

F(λ)=$\frac{\frac{1}{{{\lambda }^{2}}}-1}{{{Z}^{2}}(\lambda ){{r}^{n}}(\lambda )\varepsilon } $

Δλ

Δs_j

$\sum\limits_{j=0}^{N}{\Delta {{s}_{j}}}$

$\frac{{\bar{r}}}{{{r}_{1}}}$

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

96.86

193.7

290.6

387.4

484.3

581.2

678.02

774.9

871.74

968.6

1.00

1.08

1.20

1.31

1.44

1.55

1.67

1.75

1.78

2.02

5.050

2.600

1.817

1.450

1.250

1.134

1.065

1.025

1.006

1.00

1.000

0.989

0.957

0.908

0.846

0.777

0.705

0.633

0.565

0.501

0.443

4.000

3.903

3.360

2.678

2.071

1.513

1.062

0.636

0.407

0.183

0.1

0.395

0.363

0.302

0.237

0.179

0.129

0.085

0.052

0.0295

0.0092

0.395

0.758

1.06

1.297

1.476

1.605

1.69

1.742

1.772

1.781

1.003

1.015

1.038

1.063

1.084

1.099

1.111

1.121

1.122

1.123

0.159

0.314

0.461

0.596

0.715

0.816

0.896

0.954

0.989

1.00

图7-22 某推进剂的$\frac{{\bar{r}}}{{{r}_{1}}}\tilde{\ }J$计算曲线

2）计算发动机开始工作瞬间燃烧室的头部压强p₁

由例[7-4]可知，发动机的初始燃喉比K₀=349.86、r=3.26×10^-6p^0.5m/s（压强单位为帕）、ρ_p=1.61g/cm³、k=1.26，药柱通道出口截面处的速度系数λ_L=0.4，由此可得λ_L=1.087, $\frac{{\bar{r}}}{{{r}_{1}}}=1.063$。

若不考虑侵蚀效应的影响，则开始工作瞬间燃烧室头部压强p₁为：

$ {{p}_{1}}={{p}_{c,eq}}={{\left[ {{\rho }_{p}}c*a{{K}_{0}} \right]}^{\frac{1}{1-n}}}$

$={{\left[ 1610\times 1390\times 3.26\times 349.86 \right]}^{^{\frac{1}{1-n}}}}$

$=6.52\times {{10}^{6}}\ (\text{Pa})=6.52(\text{MPa)} $

若考虑侵蚀效应的影响，则开始工作瞬间燃烧室头部压强p₁为：

${{p}_{1}}={{\left[ {{\rho }_{p}}c*a{{K}_{0}}f({{\lambda }_{L}})\frac{{\bar{r}}}{{{r}_{1}}} \right]}^{\frac{1}{1-n}}}$

$={{\left[ 1610\times 1390\times 3.26\times 349.86\times 1.087\times 1.063 \right]}^{^{\frac{1}{1-n}}}}$

$=8.7\times {{10}^{6}}\ (\text{Pa})=8.7\ (\text{MPa)} $

这一计算结果与例[7-4]中表7-6的计算结果相比，有约3%的相对误差，分析导致误差的原因主要是计算中的舍入累积产生的。

由以上计算结果可见，与不考虑侵蚀效应情况下相比，考虑药柱通道内侵蚀燃烧效应影响时，发动机燃烧室的头部压强增大。

3）压强建立过程计算

已知发动机的初始自由容积${{V}_{ci}}=5000c{{m}^{3}}$、点火压强${{p}_{ig}}=2\text{MPa}$，那么在以上计算的基础上，利用式（7-62）和式（7-120），即可完成考虑与不考虑侵蚀燃烧效应情况下的压强建立过程的计算，即：

不考虑侵蚀效应时，则有：

$ t=\frac{1}{1-n}\cdot \frac{{{V}_{ci}}}{{{\Gamma }^{2}}c*{{A}_{t}}}\cdot \ln \left[ \frac{{{\rho }_{p}}c*a{{K}_{0}}-{{p}_{ig}}^{1-n}}{{{\rho }_{p}}c*a{{K}_{0}}-p_{1}^{1-n}} \right] $

$=0.01224\ln \frac{1138.214}{2552.428-p_{c}^{0.5}} $

考虑侵蚀效应时，则有：

$=0.0133\ln \frac{1535.07}{2949.29-p_{c}^{0.5}} $

计算结果列于表7-9。

表7-9 考虑与不考虑侵蚀燃烧效应情况下压强建立过程的计算

p_c（MPa）		3	4	6	6.5	8	8.65
考虑侵蚀p₁=8.7MPa	p_c/p₁	0.3448	0.4598	0.6897	0.7471	0.9195	0.994
考虑侵蚀p₁=8.7MPa	t(s)	0.00309	0.00639	0.01492	0.01789	0.0338	0.0696
不考虑侵蚀p₁=6.52MPa	p_c/p₁	0.4601	0.6135	0.9202	0.997
不考虑侵蚀p₁=6.52MPa	t(s)	0.004	0.00885	0.0294	0.073

由表7-9可见，发动机开始工作瞬间，燃烧室头部压强达到考虑侵蚀燃烧影响时的头部压强8.7MPa时，所需的时间大约在0.0696秒左右；而达到不考虑侵蚀燃烧影响时的头部压强6.52MPa所需的时间大约在0.073秒。可见，考虑侵蚀燃烧的影响时，压强上升得略快一些。

§7.8 一维侧面燃烧装药发动机内弹道的数值求解

一维等截面通道装药发动机内弹道学中介绍的计算燃烧室头部压强的方法引用了平均燃速的概念，因而可以根据整个燃烧室的质量平衡关系，即基本方程（7-13）来计算燃烧室头部压强的变化规律。而对于装药通道截面变化或具有多个通道等比较复杂的情况，则必须直接求解一维准定常方程组（7-86）~（7-89），才能计算出p、ρ、u、T等沿通道长度的变化。由于其中包含有微分方程，在一般情况下需要用数值法求解。本节将讨论计算方法与步骤。

一、控制方程组的整理

为了便于计算机计算，将微分方程进行整理。现以式（7-86）和式（7-87）为例，用状态方程消去微分方程中的$\text{d}\rho /\text{d}x$，将它们整理成$\text{d}p/\text{d}x={{f}_{1}}(x)$和$\text{d}u/\text{d}x={{f}_{2}}(x)$的形式。

将式（7-86）的微分展开，得：

$\rho u\frac{\text{d}{{A}_{p}}}{\text{d}x}+\rho {{A}_{p}}\frac{\text{d}u}{\text{d}x}+u{{A}_{p}}\frac{\text{d}\rho }{\text{d}x}={{\rho }_{p}}r\frac{\text{d}{{A}_{b}}}{\text{d}x}$ （7-121）

状态方程取对数后对x求导，有：

$\frac{1}{p}\cdot \frac{\text{d}p}{\text{d}x}=\frac{1}{\rho }\cdot \frac{\text{d}\rho }{\text{d}x}+\frac{1}{T}\cdot \frac{\text{d}T}{\text{d}x}$ （7-122）

能量方程（7-88）对x求导

${{c}_{p}}\frac{\text{d}T}{\text{d}x}+u\frac{\text{d}u}{\text{d}x}=0$ （7-123）

归并（7-122）和（7-123）两式，消去$dT/dx$，得：

$\frac{\text{d}\rho }{\text{d}x}=\rho \left( \frac{1}{p}\frac{\text{d}p}{\text{d}x}+\frac{u}{{{c}_{p}}T}\frac{\text{d}u}{\text{d}x} \right)$ （7-124）

将式（7-124）代入质量方程（7-121），整理后得：

$\left( 1+\frac{{{u}^{2}}}{{{c}_{p}}T} \right)\frac{\text{d}u}{\text{d}x}+\frac{u}{p}\frac{\text{d}p}{\text{d}x}=\frac{{{\rho }_{p}}}{\rho }\frac{r}{{{A}_{p}}}\frac{\text{d}{{A}_{b}}}{\text{d}x}-\frac{u}{{{A}_{p}}}\frac{\text{d}{{A}_{p}}}{\text{d}x}$ （7-125）

用同样的方法整理动量方程后得：

$\left( 2+\frac{{{u}^{2}}}{{{c}_{p}}T} \right)\frac{\text{d}u}{\text{d}x}+\left( \frac{u}{p}+\frac{1}{\rho u} \right)\frac{\text{d}p}{\text{d}x}=-\frac{u}{{{A}_{p}}}\frac{\text{d}{{A}_{p}}}{\text{d}x}$ （7-126）

将（7-125）、（7-126）两式相减，并引入燃烧周界$\Pi =d{{A}_{b}}/dx$，可得：

$\frac{\text{d}u}{\text{d}x}=-\frac{1}{\rho u}\frac{\text{d}p}{\text{d}x}-\frac{{{\rho }_{p}}r}{\rho {{A}_{p}}}\Pi $ （7-127）

将式（7-127）代入式（7-125），就得到$\text{d}p/\text{d}x={{f}_{1}}(x)$。再将所得到的$\text{d}p/\text{d}x={{f}_{1}}(x)$代入式（7-127），就得到$\text{d}u/\text{d}x={{f}_{2}}(x)$。由此获得一维准定常绝能流动条件下用于计算机的控制方程组：

将控制方程进行简化，以一组一维准定常流动的常微分方程来描述通道中的燃气流动以后，各点气流参数似乎只是通道轴向距离x的函数，而与时间t无关。但是，应该看到，方程组中所包含的A_p、A_b和П都是随着燃烧时间在变化的，只是在解上述方程时，对应于一定的时间，把它看作一定值，不计其对时间的变化，而在另一时刻，它们却是另一个定值，由此可以得出另一时刻下的相应的气流参数沿轴向的分布。因此，通道中各点的气流参数，仍然是x和t的函数，通常用p(x,t)、u(x,t)、A_p（x，t）等来表示。

一般先从t=0开始计算，此时的A_p、A_b和П等都是根据装药几何给定的。然后随着t的增加，在不同时刻，根据燃烧的进程，按照装药几何确定其不同的A_p、A_b和П。

主要的问题是在解准定常方程组时所需要的边界条件。不同类型的发动机，装药形式不同，因此边界条件也不相同，现分析如图7-23所示的贴壁浇铸内孔燃烧装药发动机中的边界条件。

图7-23 具有内孔燃烧装药的发动机

在装药通道起始截面（1-1），即x=0处，一般有：

$u(0,t)=0 $

$p(0,t)={{p}_{1}} $

$T(0,t)={{T}_{f}} $

$\rho (0,t)={{\rho }_{1}}=\frac{{{p}_{1}}}{R{{T}_{f}}} $

在装药通道出口截面L-L，即x=L处，假设从L-L截面到喷管进口截面之间燃气为等熵流动，假定装药后部端面包覆阻燃，无燃气加入流动，可以认为L-L截面燃气质量流率等于喷管喉部截面t-t的质量流率，因此：

${{\rho }_{L}}{{u}_{L}}{{A}_{pL}}=\frac{\Gamma }{\sqrt{R{{T}_{f}}}}{{A}_{t}}{{p}_{0L}}$ （7-132）

这就是在上述条件下装药通道出口截面的边界条件。式中p_0-L是L-L截面处燃气滞止压强。

${{p}_{0L}}=\frac{{{p}_{L}}}{\pi ({{\lambda }_{L}})}$

而 $\pi ({{\lambda }_{L}})={{\left( 1-\frac{k-1}{k+1}\lambda _{L}^{2} \right)}^{\frac{k}{k-1}}}$

${{\lambda }_{L}}=\frac{{{u}_{L}}}{\sqrt{\frac{2}{k+1}R{{T}_{f}}}} $

$\Gamma =\sqrt{k}{{\left( \frac{2}{k+1} \right)}^{\frac{k+1}{2(k-1)}}} $

式（7-132）可用于迭代计算中检验燃烧室头部压强的假设值是否正确。

三、选定燃烧室头部压强p₁

在为计算燃烧室内燃气压强沿装药通道轴向的分布而求解微分方程之前，必须先选定燃烧室头部压强p₁，作为一个边界条件。由于p₁本身也是要通过内弹道计算才能求出，所以只能先选定一个假设值。我们利用考虑侵蚀燃烧的平衡压强计算式来估算t=0时的p₁：

${{p}_{1}}={{\left[ {{\rho }_{p}}c*a\frac{{{A}_{b0}}}{{{A}_{t}}}f({{\lambda }_{L}})\frac{{\bar{r}}}{{{r}_{0}}} \right]}^{\frac{1}{1-n}}}$ （7-133）

式中$\bar{r}/{{r}_{0}}$是根据试验结果得到的侵蚀系数的经验平均值；$f({{\lambda }_{L}})={{p}_{1}}/{{p}_{0L}}$是装药通道进口与出口处滞止压强之比，它的求法是：由${{J}_{0}}={{A}_{t}}/{{A}_{p0}}=q({{\lambda }_{L}})$查气动函数表求出λ_L，再根据λ_L查出f(λ_L)。

如果发动机经过了静止点火试验，也可根据试验结果来选定头部压强的假设值。

对于以后各个瞬时，由于p₁是时间t的连续函数，所以我们总是把瞬时t的头部压强，作为后一瞬时（t+Δt）的头部压强的初次假设值，直到燃烧结束为止。

四、迭代计算

为了检验所假设的头部压强p₁是否正确，在对微分方程进行数值求解过程中，必须对流率、压强和燃速进行迭代，来求得某一瞬时的喷管流率和某一瞬时、某一位置的压强和燃速。

选定p₁的假设值以后，就可求解微分方程组，求出p、ρ、u、T沿装药通道长度的分布。解微分方程时，必须满足装药通道出口截面L-L上的燃气流率等于喷管喉部截面t-t流率的边界条件，即（7-132）式。

根据总压与静压的关系，装药通道出口燃气的总压为：

${{p}_{0L}}=\frac{{{p}_{L}}}{\pi ({{\lambda }_{L}})}=\frac{{{p}_{L}}}{{{\left( 1-\frac{k-1}{k+1}\lambda _{L}^{2} \right)}^{\frac{k}{k-1}}}}$ （7-134）

对于内孔燃烧装药，喷管流率等于装药通道出口的燃气流率，也就是通道燃烧表面上的燃气质量生成率，即

${{m}_{t}}=\frac{{{p}_{c}}{{A}_{t}}}{c*}={{\rho }_{p}}\int_{\ 0}^{\ L}{\,r\ \Pi \ \text{d}x}$ （7-135）

若不计喷管出口以后的流动损失，可近似认为喷管进口总压p_c等于装药通道出口截面总压p_0L，故有：

${{{p}’}_{0L}}=\frac{{{c}^{*}}{{\rho }_{p}}}{{{A}_{t}}}\int_{\ 0}^{\ L}{\,r\ \Pi \ \text{d}x}$ （7-136）

如果头部压强p₁的假设值等于真值，则由式（7-134）计算得到的装药通道出口总压p_0L应等于根据喷管流率关系（即式7-136）得到的装药通道出口总压${{{p}’}_{0L}}$。实际上p₁的假设值一般不等于真值，因此${{p}_{0L}}\ne {{{p}’}_{0L}}$，这时需要修正p₁值，重新计算，使之满足质量流率的关系式（7-135），也就是使${{p}_{0L}}={{{p}’}_{0L}}$。因此，必须连续的迭代下去，直到满足一定精度为止。一般要求的精度为ε=0.005，即到$\varepsilon =\left| {{{{p}’}}_{0L}}/{{p}_{0L}}-1 \right|\le 0.005$时，迭代才结束。

在流率迭代过程中，燃烧室头部压强和沿燃烧室长度方向各点的压强、各点的流速，也随着接近真实值。一维侧面燃烧装药发动机内弹道的数值求解步骤详见图7-24所示。

[例7-6]

已知某发动机采用复合推进剂，六角星型内孔装药，贴壁浇铸于发动机内（结构示意如图7-25所示）。装药结构尺寸为：外径φ190mm、长度L=2500mm、星边夹角θ=66°、星尖角分数ε=0.818、工作肉厚w=43.6mm、特征长度龙l=48mm、星尖角导园半径f=3mm。推进剂性能参数为：ρ_p=1.75g/cm³、燃速$r=0.003303{{p}^{0.392}}m/s$（式中压强单位为MPa）、侵蚀比$\varepsilon =1+1.12\left( \lambda -0.1 \right)$、k=1.2、c*=1500m/s、T_f=3600K。若喷管喉径d_t=66mm，试计算：

（1）装药通道出口截面L-L处速度系数λ_L随工作时间的变化曲线；

（2）考虑与不考虑侵蚀燃烧情况下，发动机头部压强p₁随工作时间的变化曲线。

图7-25 星型内孔装药发动机

解：如考虑侵蚀燃烧的影响，则为一维内弹道计算；如不考虑侵蚀燃烧的影响，则为零维内弹道计算（即燃烧室内压强处处相等）。计算步骤详见图7-24。大致可分为以下关键步：

（1）原始参数输入：主要是输入命题参数、推进剂性能等。

（2）常量计算：对于计算中多次使用的常量进行计算，如气体常数、临界声速等。

（3）假设一个头部压强p₁

假设值的选定是否接近实际值将影响计算迭代次数和计算时间，一般可参照同类推进剂的试验结果给定或利用式（7-114）初步估算。

（4）计算时间划分：

本例为六角星孔等面燃烧的等截面通道装药，时间划分是直接给出时间计算步长Δt（本例中Δt=0.01s），针对每一时间计算步，计算相应的Δe，进而计算出每一燃烧时刻的燃去肉厚e。

（5）计算空间划分：

为了计算某一工作瞬时沿装药长度方向上的气流参数变化，可沿装药长度方向分成若干计算截面，从装药头部1-1截面开始，依次计算各个截面，一直计算到装药末端L-L截面为止（本例中沿装药长度方向上取了512个计算截面）。针对每一个工作瞬间，计算完该瞬间沿装药长度方向上的气流参数分布后，再转入下一工作瞬时计算。

（6）计算装药几何参数

根据装药形式和尺寸计算燃烧周边长度П、燃烧表面积A_b和通气截面积A_p。如果装药形状复杂，可列出装药几何计算子程序。

（7）计算燃速

根据给定的推进剂特性，计算装药各计算截面上的燃速。推进剂的燃速取决于推进剂的配方，另一方面燃速又是内弹道参数（如p、u等）的函数。在固体火箭发动机工作过程中，随着燃烧肉厚的变化，内弹道参数不断变化，因而燃速也随之不断变化，在这种情况下，推进剂燃速很难一次求定，通常是采用一次预报（即前一时刻的燃速公式计算值）、多次校正的方式来确定。当侵蚀效应比较严重时，上述情况更为明显。本例中，燃速值不进行迭代修正，直接用燃速公式预报值给出。

（8）计算各燃烧瞬时各截面上的气流参数

用龙格-库塔法求解微分方程组，算出各截面上压强p、密度ρ、速度u和燃速r的值。

$ \frac{\text{d}p}{\text{d}x}=\frac{\rho {{u}^{2}}}{{{A}_{p}}}$

$\frac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}-{{u}^{2}}}\ \ \frac{\text{d}{{A}_{p}}}{\text{d}x}-\frac{{{\rho }_{p}}r\Pi u}{{{A}_{p}}}\left[ \frac{2{{a}^{2}}+(k-1){{u}^{2}}}{{{a}^{2}}-{{u}^{2}}} \right]={{f}_{1}}(x,p,\rho ,T,u) $

$ \frac{\text{d}u}{\text{d}x}=\frac{{{\rho }_{p}}r\Pi }{\rho {{A}_{p}}}$

$\frac{{{a}^{2}}+k{{u}^{2}}}{{{a}^{2}}-{{u}^{2}}}-\frac{{{a}^{2}}u}{{{A}_{p}}({{a}^{2}}-{{u}^{2}})}\ \ \frac{\text{d}{{A}_{p}}}{\text{d}x}={{f}_{2}}(x,p,\rho ,T,u) $

$ {{c}_{p}}T+\frac{{{u}^{2}}}{2}={{c}_{p}}{{T}_{f}} $

$p=\rho RT $

$ r=\varepsilon a{{p}^{n}} $

可单独编制气流参数计算的子程序。

（9）流率迭代：

根据燃气生成率应与喷管流率相等的原则，检验头部压强假设值p₁的准确性。

典型的计算结果如图7-26所示。由计算结果可见：

在发动机开始工作瞬间，药柱出口截面的速度系数已达4，计算中应考虑侵蚀效应的存在；
考虑侵蚀效应存在时，弹道曲线有明显的侵蚀压强峰，且由于侵蚀的存在，使整个发动机的工作时间略有减小。

（a）λ_L~t曲线

（b）p1~t曲线

图7-26 计算结果

§7.9 固体火箭发动机内弹道计算的某些特殊问题

我们在第§7.1~§7.8节中根据简单的物理模型介绍了固体火箭发动机内弹道学压强计算的基本方法。实际上，装药结构和发动机工作条件是多种多样的，在不同情况下，压强计算需要考虑某些特殊问题。本节将介绍几种典型情况下发动机压强计算的主要特点。

一、单室双推力发动机过渡段的压强计算

单室双推力发动机广泛应用于小型战术导弹。这种发动机的推力——时间曲线如图7-27所示。

将平衡压强计算公式（7-19）代入推力计算公式

$F={{C}_{F}}{{p}_{c}}{{A}_{t}}$，整理后可得：

$F={{C}_{F}}{{p}_{c}}{{A}_{t}}={{C}_{F}}{{({{\rho }_{p}}ac*{{A}_{b}})}^{\frac{1}{1-n}}}\cdot A_{t}^{\frac{-n}{1-n}}$

图7-27 单室双推力发动机的推力变化

由式（7-137）可以看出，影响推力的主要参数是燃速、燃面面积和喷管喉部面积，改变其中的一个、两个或三个均可实现双推力方案。目前已经得到广泛应用的方法是保持喷管喉面不变，分别改变燃面和燃速，或者同时改变燃面和燃速。而调节喷管喉面，特别是燃面或燃速与喷管喉面同时变化的方法虽然具有很多优点，但因许多实际问题不易解决，迄今尚在研究当中。

在喷管喉面积不变、燃面和燃速改变的条件下，单室双推力发动机的p~t曲线与发动机的F~t曲线（如图7-27）形状相似。通常助推段和续航段的工作压强没有太大的变化，都可以用计算瞬时平衡压强的方法进行计算，需要注意的是助推段有可能是两种燃速不同的推进剂在同时燃烧。而助推段和续航段两级压强或推力之间的过渡段的特性因发动机的具体结构而会有差异。一般来说，由于过渡段有续航装药的燃烧，有时还可能有助推装药的余药同时燃烧，因此过渡段可能比较长、瞬变压强的下降速率比较小。另一方面，为了保证单室双推力发动机的正常工作，过渡段的降压速率也不宜过大，以免发生熄火或不稳定燃烧现象。因此，当过渡段较长时，计算过渡段瞬变压强时如果忽略燃烧室自由容积的变化有可能会带来较大的误差，那么，当过渡段较长时，瞬变压强计算中如何考虑燃烧室自由容积和燃面的变化呢？

首先，将压强随燃烧肉厚e变化的（7-53）式改写为：

$\frac{\text{d}{{p}_{c}}}{de}=\frac{{{\rho }_{p}}{{\Gamma }^{2}}c{{*}^{2}}{{A}_{b}}}{{{V}_{c}}}[1-{{(\frac{{{p}_{c}}}{{{p}_{c,eq}}})}^{1-n}}]$ （7-138）

分离变量得：

$\frac{\text{d}{{p}_{c}}}{1-{{(\frac{{{p}_{c}}}{{{p}_{c,eq}}})}^{1-n}}}={{\rho }_{p}}{{\Gamma }^{2}}c{{*}^{2}}\frac{{{A}_{b}}\text{d}e}{{{V}_{c}}}$ （7-139）

式中A_b和V_c均为燃烧肉厚e的函数，其函数关系可能相当复杂（复杂程度与装药结构有关），如果把这些函数关系引入式（7-139），可能很难积分求解。根据$\text{d}{{V}_{c}}/\text{d}t={{A}_{b}}r$和$r=\text{d}e/\text{d}t$的关系可知：

$\text{d}{{V}_{c}}={{A}_{b}}\text{d}e$

将其代入（7-139）式，并令$\pi =\frac{{{p}_{c}}}{{{p}_{c,eq}}}$，即得：

$\frac{\text{d}\pi }{1-{{\pi }^{1-n}}}=\frac{{{\rho }_{p}}{{\Gamma }^{2}}c{{*}^{2}}}{{{p}_{c,eq}}}\cdot \frac{\text{d}{{V}_{c}}}{{{V}_{c}}}$ （7-140）

式（7-140）是变量π对自变量V_c的微分方程，但因瞬时平衡压强p_c,eq与V_c有关，式（7-140）仍然不便直接积分求解，只能用数值积分法进行计算。为了方便数值积分计算，将过渡段分为若干短小的瞬间段，其中每一瞬间段Δt_i对应于燃烧肉厚从e_i-1到e_i或燃烧室自由容积从V_c,i-1到V_c,i的一小段燃烧过程。若在每一瞬间段中用瞬时平衡压强的平均值${{\bar{p}}_{c,eq}}$代替（7-140）式中的p_c,eq，则上式可在i-1~i的这一瞬间段内进行积分，即：

$\int_{\ {{\pi }_{i-1}}}^{\ {{\pi }_{i}}}{\frac{\text{d}\pi }{1-{{\pi }^{1-n}}}=\frac{{{\rho }_{p}}\ {{\Gamma }^{2}}c{{*}^{2}}}{{{{\bar{p}}}_{c,\ eqi}}}}\cdot \int_{\ {{V}_{c,}}_{i-1}}^{\ {{V}_{c,i}}}{\frac{\text{d}{{V}_{c}}}{{{V}_{c}}}}$ （7-141）

式（7-141）等号左边的积分可写作：

$\int_{\ {{\pi }_{i-1}}}^{\ {{\pi }_{i}}}{\frac{\text{d}\pi }{1-{{\pi }^{1-n}}}=\int_{\ 0}^{\ {{\pi }_{i}}}{\frac{\text{d}\pi }{1-{{\pi }^{1-n}}}-\int_{\ 0}^{\ {{\pi }_{i-1}}}{\frac{\text{d}\pi }{1-{{\pi }^{1-n}}}}}}=M({{\pi }_{i}})-M({{\pi }_{i-1}})$

于是式（7-141）可以写为：

$M({{\pi }_{i}})-M({{\pi }_{i-1}})=\frac{{{\rho }_{p}}{{\Gamma }^{2}}c{{*}^{2}}}{{{{\bar{p}}}_{c,eqi}}}\cdot \ln \frac{{{V}_{c,}}_{i}}{{{V}_{c,}}_{i-1}}$ （7-142）

必须注意，函数M(π)与压强指数n有关（$M(\pi )=\int_{\ 0}^{\ \pi }{\frac{\text{d}\pi }{1-{{\pi }^{1-n}}}}$），仅当n取某几个特殊值（例如$\frac{1}{3},\,\frac{1}{2},\ \frac{2}{3}$等）时，才能通过积分得到M(π)的解析式。一般情况下，应当针对不同的n值进行函数M(π)的数值积分计算，并将计算结果列成表格备查。表7-10给出了部分M(π)的计算数据。

表7-10 M(π)

𝛑

0.25

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.10

0.20

0.24

0.28

0.32

0.36

0.40

0.44

0.48

0.52

0.56

0.60

0.64

0.68

0.72

0.76

0.80

0.84

0.88

0.1116

0.2435

0.3025

0.3654

0.4327

0.5048

0.5823

0.6601

0.7567

0.8554

0.9636

1.0829

1.2158

1.3654

1.5361

1.7344

1.9703

2.2608

2.6374

0.1137

0.2499

0.3111

0.3766

0.4469

0.5224

0.6037

0.6916

0.7871

0.8912

1.0054

1.1317

1.2725

1.4312

1.6125

1.8234

2.0747

2.3844

2.7865

0.1193

0.2665

0.3336

0.4058

0.4835

0.5675

0.6584

0.7570

0.8644

0.9821

1.1116

1.2552

1.4158

1.5973

1.8052

2.0477

2.3374

2.6952

3.1608

0.1278

0.2911

0.3665

0.4481

0.5366

0.6326

0.7369

0.8506

0.9750

1.1117

1.2626

1.4305

1.6189

1.8324

2.0777

2.3645

2.7079

3.1331

3.6878

0.1416

0.3298

0.4178

0.5139

0.6186

0.7327

0.8574

0.9939

1.1438

1.3091

1.4924

1.6968

1.9269

2.1885

2.4898

2.8431

3.2672

3.7936

4.4818

0.1660

0.3966

0.5042

0.6266

0.7586

0.9033

1.0621

1.2386

1.4294

1.6425

1.8797

2.1453

2.4450

2.7868

3.1816

3.6457

4.2043

4.8994

5.8102

0.90

0.92

0.94

0.96

0.98

0.99

2.8770

3.1711

3.5513

4.0885

5.0094

5.9319

3.0425

3.3569

3.7635

4.3384

5.3243

6.3123

3.4578

3.8229

4.2956

4.9646

6.1131

7.2650

4.0421

4.4782

5.0434

5.8441

7.2204

8.6016

4.9222

5.4647

6.1686

7.1671

8.8846

10.6102

6.3940

7.1140

8.0492

9.3772

11.6642

13.9630

此外，因为π=1是被积函数$\frac{1}{1-{{\pi }^{1-n}}}$的奇点，可使M(π)成为不定值，所以式（7-142）仅适用于π<1，即p_c<p_c,eq的情况。换言之，式（7-142）仅适用于压强上升的过渡段或点火起动段压强建立过程的计算（注：§7.4中介绍的点火起动段压强建立过程的计算是不考虑燃烧室自由容积和燃面的变化的）。而为了计算单室双推力发动机压强下降的过渡段或具有余药的发动机熄火拖尾段，式（7-142）还要进行修正。现将（7-140）式两端同乘以（）即得：

$\frac{\text{d}\pi }{{{\pi }^{1-n}}-1}=-\frac{{{\rho }_{p}}{{\Gamma }^{2}}c{{*}^{2}}}{{{p}_{c,eq}}}\cdot \frac{\text{d}{{V}_{c}}}{{{V}_{c}}}$

将上式在第个瞬间计算段内积分，便得：

$L({{\pi }_{i}})-L({{\pi }_{i-1}})=-\frac{{{\rho }_{p}}{{\Gamma }^{2}}c{{*}^{2}}}{{{{\bar{p}}}_{c,eqi}}}\cdot \ln \frac{{{V}_{c,}}_{i}}{{{V}_{c,}}_{i-1}}$ （7-143）

这里，$L({{\pi }_{i}})=\int_{\ {{\pi }_{k}}}^{\ {{\pi }_{i}}}{\frac{\text{d}\pi }{{{\pi }^{1-n}}-1}}$，$L({{\pi }_{i-1}})=\int_{\ {{\pi }_{k}}}^{\ {{\pi }_{i-1}}}{\frac{\text{d}\pi }{{{\pi }^{1-n}}-1}}$。其中积分下限π_k是任选的一个大于1的数（例如可取${{\pi }_{k}}=1.05$）。同样可以针对不同的n值进行函数L(π)的数值积分计算，并将计算结果制成表格备查，表7-11给出了部分L(π)的计算数据。

表7-11 L(π)

𝛑

0.2

0.25

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

5.0

4.0

3.0

2.8

2.6

2.4

2.2

2.0

5.8257

5.3941

4.80719

4.6582

4.4633

4.3081

4.0965

3.8491

6.3119

5.8306

5.1817

5.0179

4.8370

4.6343

4.4034

4.1341

6.8698

6.3309

5.6104

5.4296

5.2303

5.0075

4.7544

4.4600

8.2725

7.5867

6.6848

6.4610

6.2153

5.9421

5.6330

5.2775

10.2489

9.3529

8.1932

7.0982

7.5972

7.2527

6.8649

6.4186

13.2298

12.0126

10.4611

10.0842

9.6738

9.2215

8.7149

8.1348

18.2199

16.4592

14.2480

13.7162

13.1396

12.5068

11.8012

10.9972

1.9

1.8

1.7

1.6

1.5

1.4

1.3

1.25

1.2

1.15

1.10

3.7074

3.5499

3.3726

3.1693

2.9305

2.6404

2.2695

2.0398

1.7510

1.3854

0.8726

3.9801

3.0894

3.6174

3.3976

3.1399

2.8275

2.4288

2.1779

1.8725

1.4810

0.9324

4.2620

4.1060

3.8972

3.6586

3.3784

3.0414

2.6108

2.3404

2.0115

1.5903

1.0007

5.0725

4.8483

4.5973

4.3115

3.9782

3.5762

3.0661

2.7466

2.3589

1.8635

1.1716

6.1661

5.8882

5.5781

5.2260

4.8168

4.3252

3.7035

3.3154

2.8454

2.2460

1.4108

7.8080

7.4492

7.0501

6.5984

6.0753

5.4486

4.6599

4.1688

3.5752

2.8199

1.7697

10.5461

10.0523

9.5045

8.8867

8.1733

7.3222

6.2541

5.5911

4.7615

3.7793

2.3679

综上所述，应用（7-142）式或（7-143）式进行压强过渡段计算的步骤如下：

（1）对参与过渡段燃烧的装药，任取一系列装药燃去肉厚值e：${{e}_{0}}{{,}_{{}}}{{e}_{1}}{{,}_{{}}}{{e}_{2}},\cdots {{e}_{i-1}}{{,}_{{}}}{{e}_{i}}\cdots $（注：与工作段相比，过渡段较短，因此为了保证计算精度，$\Delta {{e}_{i}}$应取小一些）。

（2）根据装药的几何特性计算对应的燃面面积和燃烧室自由容积。

（3）计算和各个燃面面积对应的瞬时平衡压强${{p}_{c,eqi-1}}$和${{p}_{c,eqi}}$以及相邻两点间瞬时平衡压强的平均值${{\bar{p}}_{c,eqi}}$。

（4）将（7-142）式或（7-143）式分别应用于各个瞬间计算段，就每一瞬间段而言，${{V}_{c,}}_{i},\ {{V}_{c,}}_{i-1},{{\bar{p}}_{c,eqi}}$及${{\rho }_{p}}{{\Gamma }^{2}}c{{*}^{2}}$均为已知，故可逐段算出公式（7-142）或（7-143）等号右边的值。

（5）在逐段计算的过程中，就每一瞬间计算段而言，${{p}_{c,}}_{i-1}$都是已知的。在第一瞬间计算段，${{p}_{c,}}_{i-1}$是已知的初始压强。对于点火起动过程，初始压强就是选定的点火压强p_ig；在有余药燃烧的拖尾段计算中，初始压强是稳定工作段结束瞬时的燃烧室瞬时平衡压强；而在单室双推力发动机过渡段的计算中，初始压强是助推段结束瞬时的平衡压强。对于以后的各瞬时计算段，${{p}_{c,i-1}}$均为前一计算段的${{p}_{c,i}}$。于是，在各瞬间段计算中都可以根据${{\pi }_{i-1}}$值查表7-6或表7-7，得到$M({{\pi }_{i-1}})$或$L({{\pi }_{i-1}})$，并由（7-142）式或（7-143）式算出$M({{\pi }_{i}})$或$L({{\pi }_{i}})$。

（6）由计算得到的$M({{\pi }_{i}})$或$L({{\pi }_{i}})$值再查表7-10或表7-11，得出对应的${{\pi }_{i}}$值，并算出${{p}_{c,i}}$值。顺序逐段进行计算，便可得到压强过渡段的：${{p}_{c,0}}{{,}_{{}}}{{p}_{c,1}}{{,}_{{}}}{{p}_{c,2}}\cdots \cdots {{p}_{c,i-1}}{{,}_{{}}}{{p}_{c,i}}\cdots \cdots $

（7）计算各段的平均燃速${{\bar{r}}_{i}}$

${{\bar{r}}_{i}}=a\ {{(\frac{{{p}_{c,i-1}}+{{p}_{c,i}}}{2})}^{n}}$

或

${{\bar{r}}_{i}}=\frac{1}{2}[ap_{c,i-1}^{n}+ap_{c,i}^{n}]$

（8）计算各段的燃烧时间$\Delta {{t}_{i}}$： $\Delta {{t}_{i}}=\frac{\Delta {{e}_{i}}}{{{{\bar{r}}}_{i}}}$

（9）计算不同燃去厚度所对应的时间${{t}_{i}}$：${{t}_{i}}=\sum\limits_{i=1}^{i}{\Delta {{t}_{i}}}$

（10）根据对应的${{p}_{c,i}}{{,}_{{}}}{{t}_{i}}$值绘出压强过渡段的$p_{c}^{{}}\tilde{\ }t$曲线。

顺便指出，如果引入整个燃面的平均燃速$\frac{{\bar{r}}}{{{r}_{1}}}$或平均侵蚀比ε，上述计算方法还可以进一步推广到气体流动和侵蚀效应不可忽略的情况。

二、喷管喉部烧蚀对内弹道特性的影响

工作时间较长（60秒以上）、推进剂能量较高的发动机（如广泛采用复合推进剂或改性双基推进剂的发动机），喷管喉部很容易发生烧蚀现象（燃蚀现象是高温燃气与发动机壁面材料之间的物理化学作用产生的）。烧蚀将使喉部尺寸不断变化，这必然要改变发动机${{p}_{c}}\tilde{\ }t$曲线和$F\tilde{\ }t$曲线的形状，而且经常使发动机无法满足预定的内弹道性能要求。解决喷管喉部问题的常用办法，一是采用耐高温、耐冲刷的材料制造喷管喉衬，尽量减小喉部因烧蚀而导致尺寸的变化；二是采用烧蚀规律已知的材料制造喷管喉村，同时在装药设计上采用适当的补偿措施，以保证预定的内弹道性能。耐高温、耐冲刷的烧材料价格昂贵，性能也受到一定的限制，因而第二种方法愈来愈受到人们的重视。本小节将就喷管烧蚀对燃烧室压强、发动机推力以及装药设计的影响问题进行初步的讨论。

喷管喉衬材料的烧蚀率，与材料的性质、推进剂燃烧产物的温度和成分、燃烧室压强和喉部直径等因素有关。非金属烧蚀材料的烧蚀速率一般用指数形式的经验公式表示，即：

${{v}_{a}}={{\phi }_{a}}p_{c}^{\eta }d_{t0}^{-0.2}$ （7-144）

式中，${{\phi }_{a}}$是一个经验系数，它的值取决于燃烧材料的性质和装药燃烧产物的温度和成分；${{d}_{t}}_{0}$为喉部初始直径（喉部初始直径的影响较小，有时可以忽略）；p_c为燃烧室压强或喷管入口截面的滞止压强；指数η是压强指数，一般可取为左右。

通常认为（7-144）式中的${{\phi }_{a}}$、d_t0及η为常数，但p_c是随时间不断变化的，所以，如假设发动机工作至时间t时，喉部半径方向烧蚀掉的厚度为e_a，根据烧蚀率公式（7-144），可得：

${{e}_{a}}={{\phi }_{a}}d_{t0}^{-0.2}\int_{\ 0}^{\ t}{p_{c}^{\eta }\text{d}t}$ （7-145）

因此任一瞬时的喷管喉部面积随时间变化的关系则为：

${{A}_{t}}=\frac{\pi }{4}{{({{d}_{t0}}+2{{e}_{a}})}^{2}}={{A}_{t0}}{{\left( 1+\frac{2{{e}_{a}}}{{{d}_{t0}}} \right)}^{2}} $

$ ={{A}_{t0}}{{\left( 1+\frac{2{{\phi }_{a}}d_{t0}^{-0.2}}{{{d}_{t0}}}\int_{\ 0}^{\ t}{\ p_{c}^{\eta }\ \text{d}t} \right)}^{2}} $ （7-146）

式中 d_t0——喷管喉部的初始直径； A_t0——喷管喉部的初始横截面积。

在喷管喉部出现烧蚀现象的情况下，任一瞬时t的喷管质量流率公式可以写为：

${{\dot{m}}_{d}}={{C}_{D}}{{p}_{c}}{{A}_{t}}={{C}_{D}}{{p}_{c}}{{A}_{t}}_{0}{{\left( 1+\frac{2{{\phi }_{a}}\ d_{t0}^{-0.2}}{{{d}_{t}}_{0}}\int_{\ 0}^{\ t}{{{p}_{c}}^{\eta }\ \text{d}t} \right)}^{2}}$ （7-147）

或者进一步简化为：

${{\dot{m}}_{d}}={{C}_{D}}{{p}_{c0}}\ {{A}_{t}}_{0}\ \psi \ \left( t \right)={{\dot{m}}_{t0}}\ \psi \left( t \right)$ （7-147＇）

式中，p_c0是没有喷管喉部烧蚀现象时的燃烧室平衡压强，且：

$\psi \left( t \right)=\frac{{{p}_{c}}}{{{p}_{c0}}}{{\left( 1+\frac{2{{\phi }_{a}}d_{t0}^{-0.2}}{{{d}_{t}}_{0}}\int_{\ 0}^{\ t}{{{p}_{c}}^{\eta }\ \text{d}t} \right)}^{2}}$ （7-148）

显然，函数Ψ(t)表示喷管质量流率随时间变化的规律。既然$F={{\dot{m}}_{d}}{{I}_{s}}$，那么在发动机比冲I_s近似为常数的情况下，Ψ(t)也表示发动机推力随时间变化的规律。

在发动机稳定工作段，我们可以根据燃气流动的瞬态平衡关系确定燃烧室的瞬间平衡压强。根据${{\dot{m}}_{b}}={{\dot{m}}_{d}}$的关系，可以写出：

${{A}_{b}}ap_{c}^{n}{{\rho }_{p}}={{C}_{D}}{{p}_{c}}{{A}_{t0}}{{\left( 1+\frac{2{{\phi }_{a}}d_{t0}^{-0.2}}{{{d}_{t0}}}\int_{\ 0}^{\ t}{p_{c}^{\eta }\ \text{d}t} \right)}^{2}}$ （7-149）

式中 A_b——推进剂装药燃烧面积；

a——燃速系数；

p_c——燃烧室压强，由于喉部烧蚀，所以是随时间变化的量；

n——燃速的压强指数；

ρ_p——推进剂密度；

C_D——流率系数。

假定推进剂装药燃面A_b为常数（即等面燃烧装药发动机），根据初始条件t=0时p_c=p_c0（p_c0是喉部未发生烧蚀时的燃烧室压强）、同时考虑到燃速${{r}_{0}}=ap_{c0}^{n}$、烧蚀率${{v}_{a0}}={{\phi }_{a}}p_{c0}^{\eta }d_{t0}^{-0.2}$以及${{A}_{b}}{{r}_{0}}{{\rho }_{p}}/{{C}_{D}}{{A}_{t0}}{{p}_{c0}}=1$（因为稳定工作时有${{\dot{m}}_{b}}={{\dot{m}}_{d}}$），由式（7-149）解出喉部发生烧蚀情况下的燃烧室压强p_c，得：

${{p}_{c}}={{p}_{c0}}{{\left[ \frac{{{d}_{t0}}(1-n)}{2{{v}_{a0}}(2\eta +1-n)t+{{d}_{t0}}(1-n)} \right]}^{\frac{2}{2\eta +1-n}}}$ （7-150）

式中 ${{v}_{a0}}={{\phi }_{a}}p_{c0}^{\eta }d_{t0}^{-0.2}$。

由式（7-150）可以看出，对于等面燃烧装药发动机，随着发动机工作时间的增长，喷管烧蚀将使发动机工作压强不断下降。在其它条件相同时，推进剂的燃速压强指数n愈大，压强下降愈快。对于同一种推进剂来说，喉部材料烧蚀率越高，压强下降也越快。

若将式（7-150）代入（7-148）式，即可得到在发动机比冲近似为常数的情况下，等燃面装药发动机推力或喷管质量流率随时间变化的规律，即：Ψ(t)的解析式：

$\psi \left( t \right)={{\left[ \frac{{{d}_{t0}}(1-n)}{2{{v}_{a0}}(2\eta +1-n)t+{{d}_{t0}}(1-n)} \right]}^{\frac{2}{2\eta +1-n}}}\cdot {{\left( 1+\frac{2{{\phi }_{a}}d_{t0}^{-0.2}}{{{d}_{t}}_{0}}\int_{\ 0}^{\ t}{{{p}_{c}}^{\eta }\ \text{d}t} \right)}^{2}}$

由上式可见，由于喷管喉面积因烧蚀而增大（${{\left( 1+\frac{2{{\phi }_{a}}d_{t0}^{-0.2}}{{{d}_{t}}_{0}}\int_{\ 0}^{\ t}{{{p}_{c}}^{\eta }\ \text{d}t} \right)}^{2}}>1$）、压强因烧蚀而不断下降（${{\left[ \frac{{{d}_{t0}}(1-n)}{2{{v}_{a0}}(2\eta +1-n)t+{{d}_{t0}}(1-n)} \right]}^{\frac{2}{2\eta +1-n}}}<1$），所以，喷管质量流率或推力是随时间增大还是减小，与烧蚀对喷管喉面扩大和压强下降的影响程度有关（即：如果烧蚀使压强下降的程度大于喉面扩大的程度，那么对比冲近似为常数的等燃面性装药发动机，推力随时间随时间逐渐下降）。下面进行等燃面性装药发动机喷管烧蚀对喉面扩大和压强下降的影响程度分析。

喷管喉部材料被烧蚀掉的厚度e_a随时间变化的为：

${{e}_{a}}={{\phi }_{a}}d_{t0}^{-0.2}\int_{\ 0}^{\ t}{p_{c}^{\eta }dt}$

将式（7-150）中的p_c代入上式得：

$ {{e}_{a}}={{\phi }_{a}}\ d_{t0}^{-0.2}{{\int_{\ 0}^{\ t}{\ {{({{p}_{c0}})}^{\eta }}\left[ \frac{{{d}_{t0}}(1-n)}{2{{v}_{a0}}(2\eta +1-n)\ t+{{d}_{t0}}(1-n)} \right]}}^{\frac{2\eta }{2\eta +1-n}}}\text{d}t $

$=\frac{{{d}_{t0}}}{2}\left\{ {{\left[ 1+\frac{2{{v}_{a0}}(2\eta +1-n)t}{{{d}_{t0}}(1-n)} \right]}^{\frac{1-n}{2\eta +1-n}}}-1 \right\} $

利用式（7-150），可将上式表示为：

${{e}_{a}}=\frac{{{d}_{t0}}}{2}\left[ {{\left( \frac{{{p}_{c0}}}{{{p}_{c}}} \right)}^{\frac{1-n}{2}}}-1 \right]$ （7-151）

喉部面积的变化情况可用下式表示：

${{A}_{t}}=\frac{\pi }{4}{{({{d}_{t0}}+2{{e}_{a}})}^{2}}=\frac{\pi }{4}{{\left\{ {{d}_{t0}}+{{d}_{t0}}\left[ {{\left( \frac{{{p}_{c0}}}{{{p}_{c}}} \right)}^{\frac{1-n}{2}}}-1 \right] \right\}}^{2}} $

$={{A}_{t0}}{{\left( \frac{{{p}_{c0}}}{{{p}_{c}}} \right)}^{1-n}} $

故得 $\frac{{{A}_{t}}}{{{A}_{t0}}}={{\left( \frac{{{p}_{c0}}}{{{p}_{c}}} \right)}^{1-n}}$ 或者 $\frac{{{p}_{c0}}}{{{p}_{c}}}={{\left( \frac{{{A}_{t}}}{{{A}_{t0}}} \right)}^{\frac{1}{1-n}}}$ （7-152）

式（7-152）表明，对于等面燃烧装药发动机，在喷管喉部材料发生烧蚀的情况下，喉部面积的扩大与燃烧室压强的降低之间存在一定的关系，视推进剂压强指数n的值不同而有差异。由于通常$0<\left( 1-n \right)<1$、因烧蚀使${{A}_{t}}>{{A}_{t0}}$，所以燃烧室压强降低的程度大于喉部面积扩大的程度。因此，对于等面燃烧装药发动机来说，当喉部发生烧蚀时，发动机推力随时间逐渐降低。

实际上，Ψ(t)或推力方案通常是预先给定的，例如要求Ψ(t)=1（即推力始终不变），或者$\psi (t)=1+\alpha t$（即推力按线性规律变化）等。显然，根据给定的Ψ(t)，利用（7-148）式可以确定需要的压强变化规律。例如，令Ψ(t)=1（即推力保持不变），由式（7-148）得：

$\frac{{{p}_{c}}}{{{p}_{c0}}}{{\left( 1+\frac{2{{\phi }_{a}}d_{t0}^{-0.2}}{{{d}_{t}}_{0}}\int_{0}^{t}{{{p}_{c}}^{\eta }\text{d}t} \right)}^{2}}=1$

积分上式，可得：

${{p}_{c}}={{p}_{co}}{{\left[ \frac{{{d}_{t0}}}{{{d}_{t0}}+4{{v}_{a0}}(\eta +0.5)t} \right]}^{\frac{1}{\eta +0.5}}}$ （7-153）

式（7-153）说明，在烧蚀使喷管喉面面积不断加大的情况下，为了保持发动机推力不变，必须使燃烧室压强p_c随着时间下降，这就要求装药燃面按照适当的规律变化。从直观印像上看，为了使压强降低，似乎应当采用减面燃烧的装药，然而实际情况并非如此。由于装药燃速要随压强的下降而减小，所以往往需要采用增面燃烧的装药，而且装药的燃速压强指数n愈高，装药的增面性应当愈强，这样才能保持喷管烧蚀时推力保持不变。

三、压强计算中关于装药变形的考虑

浇铸的壳体粘结式推进剂装药一般刚性较小，在发动机工作过程中压强和温差使装药会发生明显的变化，其中包括径向变形和切向变形（即与燃面平行方向），同时也应当计入燃烧室薄壁壳体的变形。径向变形主要是由装药的压缩性造成的，切向变形则是由装药两端的压强差引起的。切向变形通常比径向变形大得多。在发动机工作初期，装药肉厚和装药所承受的载荷都是最大的，因而切向变形也具有最大值。此后，随着装药不断燃去，变形也逐渐减小。

6.8.4中已提到，装药的切向变形可使燃速增大。此时，燃速定律应表示为：

${{r}_{\varepsilon }}=a{{p}_{c}}^{n}(1+b{{\varepsilon }_{\tau }})$ （7-154）

其中，${{r}_{\varepsilon }}$表示有切向变形时的燃速；b是一个经验系数；${{\varepsilon }_{\tau }}$为切向应变，其大小取决于装药通道半径（或肉厚）、燃烧室壳体壁厚，装药及壳体材料的弹性模量和泊桑系数。

装药变形的第二个影响是改变了装药的几何特性。就侧面燃烧的圆柱形通道药柱而言，通道半径与切向变形的关系可以表示为

${{R}_{\varepsilon }}=R(1+{{\varepsilon }_{\tau }})$ （7-155）

装药燃面面积及通气面积分别为：

${{A}_{b}}=2\pi {{R}_{\varepsilon }}L$

${{A}_{p}}=\pi R_{\varepsilon }^{2}$

必须强调指出，在考虑装药变形的条件下，一定要分清装药燃速和燃面移动速率这两个概念。燃面的移动显然是燃烧引起的燃面退移和装药变形的综合结果，所以燃速只不过是一个相对速度而已。如果我们以通道半径的变化速率来表示侧面燃烧表面的移动速率，那么由（7-154）和（7-155）式可得：

$\frac{\text{d}{{R}_{\varepsilon }}}{\text{d}t}=(1+b{{\varepsilon }_{\tau }})(1+{{\varepsilon }_{\tau }})a{{p}_{c}}^{n}$ （7-156）

若考虑装药可压缩性的影响，上式应当修正为：

$\frac{\text{d}{{R}_{\varepsilon }}}{\text{d}t}=\frac{{{\rho }_{p}}_{\varepsilon }}{{{\rho }_{p}}}(1+b{{\varepsilon }_{\tau }})(1+{{\varepsilon }_{\tau }})a{{p}_{c}}^{n}$ （7-157）

在压强计算中，用式（7-156）或（7-157）代替$r=\frac{\text{d}e}{\text{d}t}=a{{p}_{c}}^{n}$即可将装药变形考虑进去。在分段进行数值计算中，应将上式改写成有限增量的形式，即

$\Delta {{R}_{\varepsilon }}=(1+b{{\varepsilon }_{\tau }})(1+{{\varepsilon }_{\tau }})a{{p}_{c}}^{n}\Delta t$ （7-158）

利用式（7-158）可以顺序计算出各个时刻的通道半径。

计算中的困难之一是无法确定初始条件，因为初始压强和初始变形通常都是未知的。由于装药的聚合温度可能同发动机工作时的初温相差很多，装药内会有明显的温度应力和初始应变。但是为了简化起见，一般均假设装药在初始状态下没有任何变形。例如计算发动机工作压强时，经常是先按装药无变形的情况计算初始压强，然后计算对应的初始变形。这实际上就是假定燃烧室压强在某一时刻突然跃升到初始值，装药则从零变形突然达到对应的初始变形量。

此外，在工程计算中，还常常采用变形“冻结”的假设，即装药和壳体的变形不随时间而变，始终等于初始变形。这一假设虽然会引入误差。但能使计算过程大大简化。

四、旋转发动机平衡压强的计算

发动机的高速旋转将产生多方面的影响，例如使装药燃速增大、产生切向流动、径向出现较大的压强差、喷管质量流率减小等。这一切都会进一步影响燃烧室的工作压强。本小节将就以上问题分别进行简单地说明。

1、旋转对燃速的影响

在第六章中已讲过，旋转加速度过载可使装药燃速额外增大，相应的燃速定律可表示为：

${{r}_{sp}}=a{{p}_{c}}^{n}\varepsilon $ （7-159）

这里，ε是一个大于1的系数，其值与发动机转速、压强、初温及推进剂配方有关。目前还没有确定ε的理论方法，只能通过实验取得可用的数据。

2、旋转对流场的影响

旋转发动机中显然是三维流场，但是切向流速通常均远大于轴向流速和径向流速。根据流体力学理论，在一个无限长的、壁面有质量加入的圆管中，不可压缩流体的切向速度分布可以表示为，

${\frac{{{v}_{\varphi }}}{\omega {{R}_{k}}}\text{=}1}/{\left( \frac{R}{{{R}_{k}}} \right)}\;{{R}_{k}}\ge R>R* $

$ \frac{{{v}_{\varphi }}}{\omega {{R}_{k}}}\text{=}\Omega \left( \frac{R}{{{R}_{k}}} \right)R*>R\ge 0 $ （7-160）

其中：${{v}_{\varphi }}$——切向流速，

ω——管子的旋转角速度

R_k——管子内半径

$\frac{R*}{{{R}_{k}}}=\frac{2}{\sqrt{\pi {Re}}}$， $\Omega =\frac{\pi }{4}{Re}$，雷诺数${Re}=\frac{{{v}_{B}}\rho {{R}_{k}}}{\mu }$（μ是动力粘性系数、ν_B是壁面燃气喷注速率，对装药燃面来说，${{v}_{B}}=\frac{{{\rho }_{p}}{{r}_{sp}}}{\rho }$）。

式（7-160）在${Re}>{{10}^{3}}$的条件下成立。按照此式，在管子横截面上，不可压缩流体的运动可以划分为两个特征区。从壁面到R*环形区域中，流体以自由漩涡的形式沿切向运动；在核心区（即以R*为半径的圆柱形空间内），流体的切向运动具有“拟固体”性。这就是说，流体的切向运动同一个固体圆柱的旋转相似，各点的切向线速度均与半径成正比。很明显，在两区的交界面上，切向速度应当连续，也就是说，应当满足如下条件：

$\Omega {{(\frac{R*}{{{R}_{k}}})}^{2}}=1$ （7-161）

当发动机转速很高时，流体不可压缩的假设是不太合理的。不过理论分析证明，当马赫数M<0.2时，应用（7-160）式描述旋转发动机内切向流速的分布并不会导致明显的误差，这里马赫数M的定义是：

$M=\frac{\omega {{R}_{k}}}{\sqrt{kR{{T}_{c}}}}$ （7-162）

既然R_k在发动机工作过程中不断变大，所以M数也是随时间而增大的。

根据上述可知，旋转发动机的中心轴上气体切向速度为零，随着半径的增大，切向流速线性增长。当R=R*时达最大。在漩涡区中，切向流速则随半径的增大而减小。与此相对应，气体压强沿半径方向的分布可用下式表示

$\frac{{{p}_{c}}}{{{p}_{oc}}}={{e}^{\left[ \Omega {{M}^{2}}-\,{\left( \frac{{{M}^{2}}}{2} \right)}/{{{\left( \frac{R}{{{R}_{k}}} \right)}^{2}}}\; \right]}},{{R}_{k}}\ge R>R* $

$ \frac{{{p}_{c}}}{{{p}_{oc}}}={{e}^{\left( \frac{{{\Omega }^{2}}{{M}^{2}}}{2} \right)}},R*\ge R\ge 0 $ （7-163）

其中，p_oc是通道轴线上的压强。由上式不难得到燃面上的压强p_c,s为：

${{p}_{c,s}}={{p}_{oc}}e^{{M}^{2}}(\Omega -\frac{1}{2}) $

（7-164）

因为$\Omega >>\frac{1}{2}$，所以燃面上的气体压强大于中心轴上的压强。这一结论，不论对静压还是滞止压强来说都是正确的。

3、旋转对喷管质量流率的影响

喷管中的等熵旋转流动可在中轴附近造成一个“暗区”或“空穴”，从而使喷管喉部的有效面积及气体流量减小。但是必须注意，在“空穴”中，气体密度或气体流量实际上并非完全为零。

如果认为喷管喉面上流率的不均匀完全是由喷管入口截面上压强（即总压）分布不均匀造成的，我们就可以引入一个平均入口压强来计算喷管的实际质量流率，即：

${{\dot{m}}_{sp}}={{C}_{D}}{{A}_{t}}{{\bar{p}}_{c}}$ （7-165）

或者写成：

${{\dot{m}}_{sp}}={{C}_{D}}{{A}_{t}}{{p}_{c,s}}{{\psi }_{s}}$ （7-166）

这里，${{\psi }_{s}}={{p}_{c}}/{{p}_{c,s}}$，假定喷管入口截面上的压强分布也可以用（7-163）表示，那么：

${{\psi }_{s}}=\int_{\,0}^{\,1}{\frac{{{p}_{c}}}{{{p}_{c,s}}}\cdot \frac{R}{{{R}_{k}}}\cdot \text{d}(\frac{R}{{{R}_{k}}})}$ （7-167）

其中，p_c和p_c,s分别用（7-163）及（7-164）式表示。计算结果如图7-28所示。

图7-28 Ψ_s与M、Re的关系

由图可以看出：

（1）Re对Ψ_s的影响比M弱得多；

（2）M<0.1时Ψ_s值近于，旋转对喷管流量的影响可以忽略不计。

这里附带指出，多喷管发动机与单喷管发动机有很重要的差别。在多喷管发动机中，装药通道内形成的漩涡到达喷管前腔就要分裂，其数目与喷管数相等。按照环量守恒定律，每一小漩涡外侧的切向速度都要相应降低。若有n个喷管，切向速度就减小到1/n，所以在多喷管发动机中，旋转对流率的影响要小得多。

4、瞬时平衡压强的计算

假设只有垂直于燃烧表面并指向推进剂的加速度作用会使表面燃速有所变化。于是内、外表面燃烧、两端包复的管状药仅是内燃面的燃速增大，而外燃面的燃速不受旋转的影响。

鉴于一维流动理论对旋转发动机是不适用的，特别是旋转对燃速、流场及喷管质量流率的影响远远大于流动参数沿轴向变化的影响，所以在工程计算中压强计算均按零维问题处理。在发动机的工作段，整个燃烧室的质量守恒关系是：

${{\rho}_{p}}({{A}_{b}}\varepsilon +{{A}_{b}})a{{p}_{c,s}}^{n}={{\psi }_{s}}{{C}_{D}}{{A}_{t}}{{p}_{c,s}}$

由此可得：

${{p}_{c,s}}={{\left[ \frac{{{\rho }_{p}}a\,({{A}_{b}}\varepsilon +{{A}_{b}})}{{{\psi }_{s}}{{C}_{D}}{{A}_{t}}} \right]}^{\frac{1}{1-n}}}$ （7-168）

假定压强变化对ε的影响可以忽略（ε是一个大于1的系数，其值与发动机转速、压强、初温及推进剂配方有关），Ψ_s基本上不受Re的影响，则上式右端所有的量均与压强无关，只是转速和燃去肉厚e_in和e_out的函数，实际上，e_in和e_out之间存在如下关系

$\text{d}{{e}_{out}}=\frac{\text{d}{{e}_{in}}}{\varepsilon }$ （7-169）

所以通过数值计算首先可以得到${{p}_{c,s}}\tilde{\ }{{e}_{\text{in}}}$曲线，然后根据$\frac{\Delta {{e}_{\text{in}}}}{\Delta t}=a{{p}_{c}}^{n}\varepsilon $的关系即可将其换算为${{p}_{c,s}}\tilde{\ }t$曲线。

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§7.1 概述

§7.2 零维内弹道学及等燃面装药发动机工作压强计算

§7.3 零维变燃面装药发动机工作压强计算

§7.4 固体火箭发动机点火过程及压强上升段的计算

§7.5 固体火箭发动机熄火过程及压强下降段的计算

§7.6 一维侧面燃烧装药发动机内弹道学

§7.7 一维等截面通道装药发动机内弹道学

§7.8 一维侧面燃烧装药发动机内弹道的数值求解

§7.9 固体火箭发动机内弹道计算的某些特殊问题

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